§ Вычитание отрицательных чисел. Вычитание рациональных чисел

Координатная прямая Координаты точек на числовой оси Сложение отрицательных чисел Вычитание отрицательных чисел Умножение отрицательных чисел Деление отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

Если «a» и «b» — положительные числа, то вычесть из числа «a» число «b», значит найти такое число «c», которое при сложении «с» числом «b» даёт число «a».

a − b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Запомните!

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа «b» — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу «b».

a − b = a + (−b)

Пример.

6 − 8 = 6 + (− 8) = −2

Пример.

0 − 2 = 0 + (−2) = −2

Запомните!

Стоит запомнить выражения ниже.

0 − a = − a

a − 0 = a

a − a = 0

Как видно из примеров выше вычитание числа «b» — это сложение с числом противоположным числу «b».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

• −3 − (+ 4) = −3 + (−4) = −7
• −6 − (−7) = −6 + (+ 7) = 1
• 5 − (−3) = 5 + (+ 3) = 8

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

+ (+ a) = + a

+ (−a) = −a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

−(+ a) = − a

−(−a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «−».

(−6) + (+ 2) − (−10) − (− 1) + (− 7) = −6 + 2 + 10 + 1 − 7 = − 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

a − (− b + c) + (d − k + n) = a + b − c + d − k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

Правило знаков для чисел

+ (+) = +	+ (−) = −
− (−) = +	− (+) = −

Или выучить простое правило.

Запомните!

Минус на минус даёт плюс.

  Плюс на минус даёт минус.

Координатная прямая Координаты точек на числовой оси Сложение отрицательных чисел Вычитание отрицательных чисел Умножение отрицательных чисел Деление отрицательных чисел

Вычитание отрицательного числа, правило, примеры, как вычесть два отрицательных числа, как из отрицательного числа вычесть положительное

Данная статья посвящена разбору такой темы, как выполнение вычитания отрицательных чисел. Материал представляет собой полезную информацию о правиле вычитания отрицательных чисел и других определениях. Для закрепления сути параграфа мы детально разберем примеры типичных упражнений и задач.

Правило вычитания отрицательных чисел

Для того, чтобы разобраться в данной теме, следует узнать основные определения и понятия.

Определение 1

Правило вычитания отрицательных чисел формулируется так: чтобы из числа a вычесть число b со знаком минус, необходимо к уменьшаемому a прибавить число −b, которое является противоположным вычитаемому b.

Если представить данное правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a в буквенном виде, то оно будет выглядеть так: a−b=a+(−b).

Для того, чтобы использовать данное правило, необходимо доказать его справедливость.

Возьмем числа a и b. Чтобы вычесть из числа a число b, необходимо найти такое число с, которое в сумме с числом b будет равняться числу a. Другими словами, если найдено такое число c, что c+b=a, то разность a−b равна c.

Для того, чтобы доказать правило вычитания, необходимо показать, что сложение суммы a+(−b) с числом b – это есть число a. Необходимо вспомнить о свойствах действий с действительными числами. Так как в этом случае работает сочетательное свойство сложения, то равенство (a+(−b)) +b=a+((−b) +b) будет верным.

Так, как сумма чисел с противоположными знаками равняется нулю, то

a+((−b) +b) =a+0, а сумма a+0= а (если к числу прибавить нуль, то оно не изменится). Равенство a−b=a+(−b)считается доказанным, значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания чисел со знаком минус.

Мы рассмотрели, как работает данное правило для действительных чисел a и b. Но оно также считается справедливым для любых рациональных и целых чисел a и b. Действия с рациональными и целыми числами также обладают свойствами, использованными при доказательстве. Следует добавить, что с помощью разобранного правила можно выполнять действия числа со знаком минус как из положительного числа, так и из отрицательного или нуля.

Рассмотрим разобранное правило на типичных примерах.

Примеры использования правила вычитания

Рассмотрим примеры с вычитанием чисел. Для начала рассмотрим простой пример, который поможет легко разобраться со всеми тонкостями процесса.

Пример 1

Необходимо отнять от числа −13

число −7.

Возьмем число, противоположное вычитаемому −7. Это число 7. Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (−13) −(−7) =(−13) +7. Выполняем сложение. Теперь получаем: (−13) +7=−(13−7) =−6.

Вот все решение: (−13) −(−7) =(−13) +7=−(13−7) =−6. (−13)−(−7)=−6. Вычитание дробных отрицательных чисел также можно выполнять. Необходимо перейти к обыкновенным дробям, смешанным числам или десятичным дробям. Выбор числа зависит от того, с каким вариантом вам удобнее работать.

Пример 2

Необходимо выполнить вычитание из числа 3,4 числа -2323.

Применяем описанное выше правило вычитания, получаем 3,4—2323=3,4+2323. Заменяем дробь на десятичное число: 3,4=3410=175=325 (как переводить дроби, можно посмотреть в материале по теме), получаем 3,4+2323=325+2323. Выполняем сложение. На этом вычитание отрицательного числа -2323 из числа 3,4 завершено.

Приведем краткую запись решения: 3,4—2323=27115.

Пример 3

Необходимо выполнить вычитание числа −0,(326) от нуля.

По правилу вычитания, которое мы изучили выше, 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326).

Последний переход верен, так как здесь работает свойство сложения числа с нулем: 0−(−0,(326))=0,(326).

Из рассмотренных примеров видно, что при вычитании отрицательного числа может получиться как положительное, так и отрицательное число. Вычитание отрицательного числа может в результате дать и число 0, это происходит, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Пример 4

Необходимо вычислить разность отрицательных чисел -5—5.

По правилу вычитания мы получаем -5—5=-5+5.

Мы пришли к сумме противоположных чисел, которая всегда равна нулю: -5—5=-5+5=0 

Итак,-5—5=0.

В некоторых случаях результат вычитания необходимо записать в виде числового выражения. Это справедливо в тех случаях, когда уменьшаемое или вычитаемое является иррациональным числом. К примеру, вычитание из отрицательного числа

−2 отрицательного числа –π проводится так: (−2)−(−π)=(−2)+π=π−2. Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Двойное минус 1 — определение, пример, факты

Двойное минус 1

Различные стратегии сложения помогают нам лучше понимать числа и легко решать задачи. Это прививает нам способность складывать числа в уме. В этом уроке мы постараемся понять одну из таких стратегий сложения: удвоение минус один. Эта стратегия близка к фактам удвоения и известна как стратегия почти удвоения.

Родственные игры

Что такое двойные факты?

Удвоение числа означает, что мы можем дважды сложить одни и те же числа. Факт двойного сложения — это математический факт, когда мы складываем два одинаковых числа. Давайте рассмотрим факт удвоения от $1$$ до $$10$.

Заметим, что удвоение или сумма двух одинаковых чисел всегда четны.

Понимание концепции двойных фактов поможет нам манипулировать числами и использовать различные стратегии для решения различных математических задач. Мы применяем этот факт, чтобы найти суммы для почти двойных фактов. Давайте погрузимся и узнаем, как складывать числа, используя стратегию удвоения минус 1.

Связанные листы

Что такое стратегия «двойной минус один»?

Теперь, когда мы распознали двойные числа, мы можем применить их для сложения двух последовательных чисел.

Давайте узнаем больше, помогая Чи. У Чи есть лоток с яйцами, в одном ряду которого 6 яиц, а в другом ряду 5 яиц. Помогите Чи найти, сколько яиц у него всего.

Чи хочет решить $6 + 5$. Мы можем найти общее количество, посчитав все яйца. Однако мы можем использовать наши знания о двойных фактах, чтобы быстро получить ответ.

Он знает, что когда в двух рядах лотков по шесть яиц, получается 12 яиц. Другими словами, 6 долларов + 6 = 12 долларов. Мы можем использовать этот «двойной факт», чтобы найти решение.

Мы знаем, что 5 на единицу меньше 6. Поскольку 6 долларов + 6 = 12, 6 + 5 долларов на единицу меньше, чем 6 + 6 или 12 долларов. Итак, 6 + 5 долларов на единицу меньше, чем 12 или 11. Следовательно, У Чи 11 яиц.

Мы можем сложить два последовательных числа, используя стратегию двойной минус один. Это делается путем добавления большего числа дважды или удвоения его и вычитания из него единицы, чтобы получить окончательный ответ.

Например, используйте $8 + 8 = 16$, чтобы найти сумму 8 и 7. 

Поскольку 7 на единицу меньше, чем $8, 8 + 7 = 8 + 8$ $-$ $1 = 16$ $–$ $1 = 15$

Разница между стратегией «Двойник» и «Двойной минус один»

Когда мы говорим о двойном выигрыше, мы имеем в виду прибавление числа к самому себе. Результирующий ответ, который мы получаем, называется двойным числом. Напротив, стратегия удвоения минус один — это способ получить сумму двух последовательных чисел. В этом процессе мы просто удваиваем большее из двух чисел и вычитаем из него единицу, чтобы получить сумму двух чисел.

Разница между парами плюс один и парами минус один

Мы также можем использовать стратегию почти удвоения двух чисел, чтобы сложить их. Стратегии «двойной плюс один» и «двойной минус один» выводят сумму двух последовательных чисел. Давайте поймем их разницу на следующем примере.

Решенные примеры

1. Найдите 4 + 3, используя следующий факт. 4 = 8, 4 + 3 = 8 $ $-$ 1 $ = 7 $.

2.  C дополните следующее предложение.

 $12 + 11 = 12 + 12$ $– \underline{}$

Решение: 

Так как 11 на единицу меньше 12. , $12 + 11 = 12 + 12$ $-$ $1$.

Следовательно, недостающее число равно 1.

3. Запишите двойной факт, который поможет вам решить следующую задачу.

В пруду плавали 7 уток. К ним присоединились еще 6 уток. Сколько уток сейчас в пруду?

Решение:

Чтобы найти общее количество уток, нам нужно решить $7 + 6$. Поскольку $7 + 6$ на единицу меньше, чем $7 + 7$, мы можем использовать двойной факт: $7 + 7 = 14$, чтобы решить эту проблему.

Так как 7 + 7 = 14, 7 + 6 = 14 $ $-$ 1 $ = 13 $

Практические задачи

1

Какое из следующего можно решить, используя следующий двойной факт?

$3 + 4$

$7 + 6$

$5 + 4$

$9 + 8$

Правильный ответ: $5 + 4$
Так как $5 + 6$ на единицу больше, а $5 + 4$ на единицу меньше данного факта. Мы можем использовать этот факт для решения $5 + 6$ и $5 + 4$.

2

Если 7$ + 7 = 14$, что из следующего равно 7$ + 6$?

$14$ $–$ $6$

$14$ $–$ $7$

Правильный ответ: $14$ $–$ $1$
Поскольку $7 + 7 = 14, 7 + 6 = 7 + 7$ $–$ $1 = 14$ $–$ $1 = 13$

3

Какой факт удвоения поможет вам решить $9 + 8$, используя стратегию удвоения минус один?

$7 + 7$

$8 + 8$

$9 + 9$

$10 + 10$

Правильный ответ: $9 + 9$
$9 + 8$ на единицу меньше двойного числа $9$ или $9 + 9$.

Часто задаваемые вопросы

Есть ли математическая польза от изучения стратегии двойной минус 1?

Изучая двойные факты, вы сможете найти сумму множества различных математических задач на сложение. Почти двойные факты будут полезны, когда вам нужно выполнить множество различных вычислений.

Запишите факты почти удвоения $7 + 7 = 14$ , где мы используем стратегию удвоения плюс один или удвоения минус один.

Почти двойные факты зависят от сложения двойных фактов. Почти двойные факты $7 + 7 = 14$ перечислены ниже.

$8 + 7 = 15$

$7 + 6 = 13$

$7 + 8 = 15$

$6 + 7 = 13$

Всегда ли мы выбираем большую из двух цифр, чтобы найти их двойник в двойная минус одна и двойная плюс одна стратегия?

Мы используем стратегию двойной плюс один или минус один, чтобы найти сумму двух последовательных чисел. В случае удвоения плюс один, $\text{A} + \text{A} + 1$, мы используем удвоение меньшего числа. А в случае двойного минус один, $\text{A} + \text{A} – 1$, мы используем двойной факт большего числа.

Фундаментальные операции над целыми числами — A Plus Topper Это сложение, вычитание, умножение и деление.

1. Сложение целых чисел

Обезьяна сидит на дне пустого резервуара для воды высотой 8 футов. Обезьяна хочет запрыгнуть на верх резервуара с водой. Он подпрыгивает на 3 фута вверх, а затем скользит на 2 фута вниз. За сколько прыжков обезьяна доберется до верха пустой емкости для воды?

Прыжок обезьяны:

Обезьяна достигнет верха пустого резервуара для воды в шестом прыжке.
Два целых числа можно сложить так же, как складывают два целых числа, но при сложении отрицательных целых чисел мы должны двигаться влево по числовой строке.

Подробнее:

• Целые числа
• RS Aggarwal Class 6 Решети integers
• RS Aggarwal Class 7 Solutions Integers

Дополнение INTEGERS, а также SUM

из добавления INTEGERS, а также SUM

из ДВУМЫ. сумма их модулей с положительным знаком.

Пример 1: Добавить (+ 6) + (+4).
Решение: На числовой прямой сначала нарисуйте стрелку от 0 до 6, а затем продвиньтесь на 4 шага вперед. Наконечник последней стрелки достигает +10. Итак, (+ 6) + (+ 4) = +10

2. Сумма двух отрицательных целых чисел равна сумме их абсолютных значений со знаком минус (-).

Пример 2: Добавить (-3) + (-4).
Решение: На числовой прямой сначала проводим стрелку слева от нуля от 0 до -3 и далее движемся влево на 4 шага. Наконечник последней стрелки находится на -7. Итак, (-3) + (-4) = (-7)

Сложение целых чисел с противоположными знаками
Сумма двух целых чисел с противоположными знаками равна разности их абсолютных значений со знаком большего абсолютного числа ценить.

Пример 3: Добавить (+6) + (-9).
Решение: На числовой прямой сначала рисуем стрелку от 0 до 6 вправо, а затем делаем 9 шагов влево. Кончик последней стрелки находится на -3. Итак, (+6) + (-9) = (-3)

2. Вычитание целых чисел

При вычитании мы меняем знак целого числа, которое нужно вычесть, а затем прибавляем к первому целому числу . Другими словами, если a и b два целых числа, то a – b = a + (-b)

Пример 4: Вычесть 5 из 12.
Решение: (12) – (5) = (12) + (-5) = 7

Пример 5: Вычесть -7 из -15.
Решение: (-15) – (-7) = (-15) + (7)= -8

Пример 6: Вычесть 6 из -10.
Решение: (-10) -(6) = (-10) + (- 6)

Пример 7: Вычесть (-5) из 4.
Решение: 4 – (-5) = 4 + (5) = 9

Чтобы вычесть (-5) из 4, мы должны найти число, которое при добавлении к (-5) дает нам 4. Итак, на числовой прямой мы начинаем с (-5) и поднимитесь до 4. Теперь найдите, сколько единиц мы переместили. Мы переехали 9единицы измерения.
Итак, 4-(-5) =9

Примечание:

1. Сложение целых чисел
   (a) Сумма двух целых чисел с одинаковыми знаками равна сумме их абсолютных значений с одинаковым знаком.
   (b) Сумма двух целых чисел с разными знаками есть разность их абсолютных значений со знаком большего абсолютного значения.
2. Вычитание целых чисел
   Меняется знак целого числа, которое необходимо вычесть, а затем прибавить к первому целому числу.

3. Умножение целых чисел

Умножение целых чисел с одинаковым знаком
Когда два целых числа имеют одинаковый знак, их произведение равно произведению их абсолютных значений с положительным знаком.
Примеры
(a) (+6) × (+7) = + 42 или 42
(b) (+5) × (+10) = + 50 или 50
(c) (-3) × ( -5) = + 15 или 15
(d) (-20) × (-6) = 120
(e) (12) × (5) = 60

Умножение целых чисел с противоположными знаками
Произведение двух целых чисел с противоположными знаками равно произведению их абсолютных значений с отрицательным знаком.
Примеры
(a) (-10) × (8) = (- 80)
(b) (- 5) × (7) = (-35)
(c) (12) × (-3) = (-36)
(d) (-6) × (3) = (-18)
(e) 5 × (-4) = (-20)

Примечание:
плюс × минус = минус
минус × плюс = минус
минус × минус = плюс
плюс × плюс = плюс

4. Деление целых чисел

Деление целых чисел одного знака
Деление двух целых чисел одного знака – это деление их абсолютного значения с положительным знаком. Если оба числа имеют одинаковый знак, то частное будет положительным.

Примеры:
(a) (+9) ÷ (+3) = (3)
(b) (-9) ÷ (-3) = (3)
(c) (-24) ÷ (- 12) = (2)

Деление целых чисел с разными знаками
Если оба целых числа имеют разные знаки, то частное будет отрицательным.
Примеры: (a) 12 ÷ (-3) = (-4)
(b) (-10) ÷ (5) = (-2)
(c) (-18) ÷ (3) = (-6 )

Пример 8: Оценка (-13) – (-7 – 6).
Решение: (-13) – (-7 – 6)
= (-13) -(-13)
= (-13) + (13) (напротив друг друга) = 0

Пример 9 : Вычесть (-5128) из 0.
Решение: 0 – (-5128) = 0 + 5128 = 5128

Пример 10: Разделить (4000) + (- 100).
Решение: \(\frac{4000}{-100}\) = -40

Пример 11: Умножьте (-18) и (-8).
Решение: (-18) × (-8) = 18 × 8 = 144

Примечание:

1. Умножение целых чисел
   (a) Если два целых числа имеют одинаковый знак, их произведение произведение их модулей с положительным знаком.
   (b) Произведение двух целых чисел с противоположными знаками равно произведению их абсолютных значений с отрицательным знаком.
2. Деление целых чисел
   (a) Если целые числа имеют одинаковый знак, то частное всегда положительно.
   (b) Если целые числа имеют противоположные знаки, то частное будет отрицательным.

Примечание:

• Целые числа …, -3,-2,-1, 0,1, 2, 3,…
• 1, 2, 3, 4,… называются положительными целыми числами и — 1,-2,-3,… называются отрицательными целыми числами. 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
• Целое число 0 меньше любого положительного целого числа, но больше любого отрицательного целого числа.
• Абсолютное значение целого числа — это числовое значение целого числа независимо от его знака.
• Абсолютное значение целого числа либо положительное, либо равное нулю. Оно не может быть отрицательным.
• Сумма двух целых чисел с одинаковым знаком равна сумме их абсолютных значений с положительным знаком.
• Сумма двух целых чисел с противоположными знаками равна разности их абсолютных значений со знаком большего абсолютного значения.
• Чтобы вычесть целое число b из a, мы меняем знак b и прибавляем, т. е. a + (-b)
• Произведение двух целых чисел с одинаковым знаком положительно.