Формулы сокращенного умножения 💣
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Знакомство с сокращенным умножением начинается впервые в седьмом классе. Тема непростая: нужно выучить наизусть много формул. Но зато вы сможете быстрее решать задачки без ошибок. Проверим?
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
- Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
- Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.
Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.
Доказательство формул сокращенного умножения
Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).
Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a2 — b2.
Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.
Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).
Поехали:
- Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.
a2 — b2 = a2 — b2 + ab — ab
- Сгруппируем иначе: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
- Продолжим группировать: a2 — a * b — b2 +a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
- Вынесем общие множители за скобки:
(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a *(a — b) + b *(a — b)
- Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
- Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
- Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a2 — b2.
a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +
+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 + … + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+
+ 2 * an-1 * an
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 + … + a * bn-2 + bn-1).
Для четных показателей можно записать так:
a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).
Для нечетных показателей:
a2*m+1 − b2*·m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)2 = 552 + 2 * 55 * 10 + 102 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 22) = (4 * с – 2)(16 * с2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).
Как решаем:
- Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y2 + 7 * y * x — 7 * y * x — x2 = 49 * y2 — x2.
- Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)2 — x2 = 49 * y2 — x2.
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
141.9K
Таблица степеней
К следующей статье
310.4K
Умножение дробей: теория и практика
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
| Вы здесь: Главная → Рабочие листы → 7 класс Это обширная коллекция бесплатных печатных листов по математике для 7 класса и для начальной алгебры, организованных по таким темам, как выражения, целые числа, одношаговые уравнения, рациональные числа, многошаговые уравнения, неравенства, скорость, время и расстояние, графики, наклон, соотношения, пропорции, проценты, геометрия и число пи. Скачки до: Рабочие листы генерируются случайным образом каждый раз, когда вы нажимаете на приведенные ниже ссылки. Вы также можете получить новый, другой, просто обновив страницу в браузере (нажмите F5). Вы можете распечатать их прямо из окна браузера, но сначала проверьте, как это выглядит в «Предварительном просмотре». Если рабочий лист не помещается на странице, отрегулируйте поля, верхний и нижний колонтитулы в настройках страницы вашего браузера. Другой вариант — настроить «масштаб» на 95% или 90% в предварительном просмотре. Все рабочие листы поставляются с ключом ответа, размещенным на 2-й странице файла. В седьмом классе учащиеся будут изучать темы, предшествующие алгебре, такие как арифметика целых чисел, упрощение выражений, свойство дистрибутивности и решение уравнений и неравенств. Они продолжают изучать соотношение и проценты и узнают о пропорциях. Обратите внимание, что эти бесплатные рабочие листы не охватывают все темы 7-го класса; в частности, они не включают решение проблем. Введение в алгебруРабочие листы в этом вводном разделе соответствуют главе 1 Math Mammoth для 7 класса и не содержат отрицательных чисел. Порядок операций
Выражения
Уравнения
Целые числаЧисловые графики и простые неравенства с целыми числами
Сложение и вычитание
 Умножение и деление
Математика для начальных классов Эдварда Заккаро Хорошая книга по решению задач с очень разнообразными текстовыми задачами и стратегиями решения задач. Многие операции и т. д.
Одношаговые уравнения
Рациональные числаПреобразование десятичных дробей в дроби и наоборот
Десятичное сложение и вычитание
Десятичное умножение и деление
Рабочие тетради Key to Decimals Это серия рабочих тетрадей от Key Curriculum Press, которая начинается с основных понятий и операций с десятичными знаками. В комплект входят книги 1-4. => Узнать больше
Умножение и деление дробей
Рабочие тетради Key to Fractions Эти рабочие тетради от Key Curriculum Press содержат ряд упражнений, которые помогут вашему ребенку изучить дроби. => Узнать больше Научное обозначение
Сложные фракции
Уравнения и неравенства
Key to Algebra Workbooks Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить учащихся с алгеброй. => Узнать больше Постоянная скорость, время и расстояние
Графики и уклоны
Алгебра часто преподается абстрактно, практически без акцента на том, что такое алгебра или как ее можно использовать для решения реальных задач. => Узнать больше Соотношение
Пропорции
Процент
Key to Percents в первую очередь подчеркивают навыки умственных вычислений и оценок, поскольку большая часть работы с процентами выполняется без карандаша и бумаги. => Узнать больше ГеометрияПлощадь — эти листы выполняются в координатной сетке.
Объем и площадь поверхности Поскольку эти листы ниже содержат изображения разных размеров, сначала проверьте
как лист выглядит в предварительном просмотре перед печатью.
Key to Geometry Workbooks Вот простой способ подготовить учащихся к формальной геометрии. Учебники Key to Geometry знакомят учащихся с широким спектром геометрических открытий в процессе пошагового построения. => Узнать больше Круг и Пи
Если вы хотите лучше контролировать такие параметры, как количество задач, размер шрифта, расстояние между задачами или диапазон чисел, просто щелкните по этим ссылкам, чтобы самостоятельно использовать генераторы рабочих листов: Меню математических листов по математике 1 -й класс Рабочие листы Римские цифры Классификация треугольников Австралийские деньги 6 ДеньгиБританские деньги Европейские деньги Южноафриканские деньги Рабочие листы дробей 1 Десятичные рабочие листы процент/десятичный Калькулятор уравнений |
Включает главы: последовательности, решение проблем, деньги, проценты, алгебраическое мышление, отрицательные числа, логика, отношения, вероятность, измерения, дроби, деление. Вопросы каждой главы разбиты на четыре уровня: простые, несколько сложные, сложные и очень сложные.
Затем книги охватывают реальное использование десятичных знаков в ценообразовании, спорте, метриках, калькуляторах и науке.
Книга 1 учит понятиям дробей, Книга 2 учит умножению и делению, Книга 3 учит сложению и вычитанию, а Книга 4 учит смешанным числам. Каждая книга имеет практический тест в конце.
Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко понять. Словесные задачи связывают алгебру со знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные понятия. Учащиеся развивают понимание, решая уравнения и неравенства интуитивно, прежде чем вводятся формальные решения. Учащиеся начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа. Книги 5-7 знакомят с рациональными числами и выражениями. Книги 8-10 расширяют охват вещественной системы счисления.
Подобно тому, как английский можно перевести на другие языки, текстовые задачи можно «перевести» на математический язык алгебры и легко решить. Real World Algebra объясняет этот процесс в простом для понимания формате с помощью мультфильмов и рисунков. Это облегчает самообучение как ученику, так и любому учителю, который никогда не понимал алгебру в полной мере. Включает главы по алгебре и деньгам, алгебре и геометрии, алгебре и физике, алгебре и рычагам и многим другим. Предназначен для детей 4-9 классов.с более высокими математическими способностями и интересом, но может быть использована учащимися старшего возраста и взрослыми. Содержит 22 главы с инструкциями и задачами на трех уровнях сложности.
Затем учащихся учат решать задачи на проценты с использованием равных дробей и десятичного умножения. Наконец, проценты используются для решения текстовых задач в различных приложениях. Key to Percents предполагает только знание дробей и десятичных вычислений. Книга 1 посвящена понятиям процентов. Книга 2 посвящена процентам и дробям. Книга 3 охватывает проценты и десятичные дроби.
если это не
подходит, вы можете либо распечатать его в масштабе (например, в 90%), либо сделать еще один,
обновляйте страницу рабочего листа (F5), пока не найдете подходящую. 
Используя только карандаш, циркуль и линейку, учащиеся начинают с рисования линий, деления углов пополам и воспроизведения сегментов. Позже они строят сложные конструкции, включающие более дюжины шагов, и им предлагается сформировать собственные обобщения. Когда они закончат, студенты познакомятся со 134 геометрическими терминами и будут готовы заняться формальными доказательствами.
: сложение, 
Освойте сложение и вычитание с помощью этих семейных математических игр
- Fun & Puzzles
- 5 и ниже
- 6-7 лет
Сложение и вычитание являются строительными блоками математики. Так что это хорошая идея, чтобы убедиться, что ваш ребенок действительно уверенно складывает и убирает.
И чтобы доказать, что обучение не всегда должно быть тяжелой работой, мы придумали эти простые игры для детей 5, 6 и 7 лет, которые помогут им построить прочную основу для сложения и вычитания.
.
Для некоторых занятий вам понадобится только карандаш и немного бумаги. Другие игры требуют игральных карт, игральных костей, жетонов и вещей, которые вы можете найти в доме. Вам также понадобятся карточки с цифрами и доска для чисел — чтобы вам было проще, мы сделали их шаблоны, которые вы можете распечатать дома!
Прикрытие
Вам потребуются: банка или кастрюля и до 10 кубиков/фишек/фигурок пасты/кирпичиков лего
Разбросайте несколько кубиков по полу или столу.
Накройте некоторые из них перевернутым контейнером.
Попросите вашего ребенка посмотреть на количество кубиков, которые он видит снаружи коробки, а затем сказать вам, сколько кубиков находится под ней.
Вы можете адаптировать игру, увеличивая количество кубиков до 20 по мере развития вашего ребенка.
В бинго получается 10
Эта игра в основном похожа на бинго, но вместо того, чтобы просто отмечать числа, когда они называются, ваш ребенок должен сначала выполнить простой математический расчет в уме.
Вам понадобятся: карточки с числами, карандаш и бумага.
Теперь выберите карточку с числом и назовите ее. Если у вашего ребенка есть число, которое при добавлении к вашему числу дает 10, он может его вычеркнуть. Например, если вы выберете 4, 6 в сетке можно будет вычеркнуть как 4 + 6 = 10
. Когда все числа будут вычеркнуты, ваш ребенок может крикнуть «Бинго!»
Считай и двигай
Вам понадобятся: карточки с числами
Разложите карточки с числами на столе лицевой стороной вниз.
Один игрок называет действие, которое нужно выполнить, например, хлопает в ладоши, моргает, прыгает звездой, делает вид, что чихает, касается пальцами ног и т.
д.Другой игрок переворачивает карточку и должен выполнить это действие 10 раз минус число на карточке, например, если бы они перевернули число 4, то они бы хлопнули в ладоши шесть раз.
По очереди выбирайте действие и попросите другого человека перевернуть карту.
д.Вы можете использовать больше карточек, чтобы усилить числовые связи до 20 по мере развития вашего ребенка. Выбирайте действия с большим количеством движений, чтобы увеличить частоту сердечных сокращений и одновременно проработать физические мышцы!
Гонка до десяти!
Вам понадобятся: игральные карты (уберите карты с картинками)
Перемешайте 40 карт с числами и раздайте их между собой.
Тогда посмотрите, как быстро вы сможете рассортировать свои карточки до 10.
Для получения 10 можно использовать любое количество карт, например 3,4,4, 10 или 8,2.
Выигрывает тот, кто первым наберет максимальное количество десятков с помощью своих карт.
10 пар
Это похоже на пары, за исключением того, что для создания пары вам нужно найти два числа, которые при сложении дают 10.
Вам потребуются: игральные карты с удаленными картами с картинками
Разложите карты лицевой стороной вниз в четыре ряда по пять штук
По очереди переворачивайте две карты, чтобы в сумме получилось 10.
Если кто-то набирает 10, то карты остаются у него. Если нет, то они переворачиваются (вы должны помнить, где цифры!).
Играйте по очереди, пока не закончатся все карты или вы не сможете продолжить.
Победителем становится игрок с наибольшим количеством пар.
Чтобы отработать числовые связи до 20, просто используйте набор числовых карт [шаблон для печати здесь]
Четыре в ряд
В этой игре много простых сложений и вычитаний, а также элемент стратегии.
Вам понадобятся: два игральных кубика, несколько цветных фишек для каждого игрока (или кубики, монеты, цветная бумага, макароны, Lego или что-то еще, что закроет числа!) и доска для чисел [шаблон здесь].
Бросьте кости и сложите два числа вместе.
Теперь подсчитайте, что вам понадобится для изготовления 20.
Поместите жетон своего цвета на номер, если он отображается. Например, если вы бросили 3 и 4, то они складываются, чтобы получить 7. Чтобы получить 20 из 7, вам нужно 13, поэтому вы должны найти число 13 на доске и закрыть его.
На каждый номер допускается только один счетчик.
Победителем станет игрок, первым собрав четыре фишки подряд.
Ключевой совет: используйте математические слова
Дети могут запутаться в различных математических терминах, но вы можете помочь своему ребенку привыкнуть к ним, используя разные слова во время игры.
СЛОЖЕНИЕ: +, добавить, плюс, итого, больше, чем, больше, увеличить на, всего, сумма, сделать, сделать меньше, взять, между
Snap!
Это интерпретация известной игры Snap с небольшим добавлением ментальной математики.
Вам понадобятся: Карты с числами или колода игральных карт с вынутыми картами с картинками.
Выберите целевое число от 10 до 20, например 15.
Раздайте карты между игроками и по очереди выкладывайте по одной в центральную стопку.
Когда две карты, которые в сумме дают заданное число, размещаются одна за другой, гонка начинается, чтобы сказать «Снэп!» первым.
Игрок, который первым скажет «Щелк!», забирает все карты из центральной стопки.
Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не соберет все карты.
О Komodo – Komodo – это увлекательный и эффективный способ развить начальные математические навыки. Разработанный для детей от 5 до 11 лет для использования дома, Komodo использует небольшой и частый подход к изучению математики (15 минут, три-пять раз в неделю), который вписывается в занятую семейную рутину. Komodo помогает пользователям развить беглость и уверенность в математике, не задерживая их надолго у экрана.
Похожие сообщения
Математика и женский Евро-2022
16 лучших женских футбольных команд Европы сражаются за трофей. Проверьте свои математические способности и узнайте, действительно ли вы понимаете принцип игры.