Математические задачи для 2 класса: простые и сложные задания
Математика от Матшарика: математические задачи, примеры и логика! На этой странице есть простые и сложные задачи по математике на логику. Решайте и развивайтесь!
Виды наших задач по математике для 2 класса:
Логическая задачи и задания в которых между цифрами надо ставить знаки (игра).
Математические задачи, длинные и короткие примеры.
Задачи «примеры в алфавитном порядке».
Цифровые загадки и магические квадраты (игра).
610
Создан на
5 заданий по математике
Решишь или нет?
1 / 3
Было очень много яблок. Настя взяла половину. Потом Коля взял 13. Четверть остатка забрал Петя, а остаток – 4 яблока – достался Маше. Сколько апельсинов было первоначально?
60
10
0
43
20
2 / 3
В лесу гуляли 3 собаки, 7 кошек и 2 лося.
1 кошка смотрела на дерево, а 1 собака ходила в туалет по маленькому. Сколько ног стояло в лесу?
48
47
49
3 / 3
Реши: 28*94*0*41+38/2.
0
1637
8426
Ваша оценка
Средний балл 47%
Математические задания на логику для 2 класса
Расставь знаки +-:×.
Неразделённые числа принимаются как одно число!
Например:
2 + 1 + 4 + 3 * 6 = 25.
Расставь знаки +, -, : и × чтобы получилось 71.
7 4 9 3 5 8 = 71.
Расставь между цифрами знаки :, +, -, × чтобы получилось 19.
1 7 9 5 2 3 = 19.
Задачи по математике 2 класс
Леля купила в магазине 4 конфеты, 1 упаковку хлопьев, 10 яиц, 2 пакета молока и 5 яблок. Одно яблоко стоит 30 копеек, то, что в 2 раза дешевле 5 яиц. 32 конфеты стоят 48 копеек, то, что на 63 копейки дешевле 1 пачки хлопьев. 1 пакет молока стоит 15 копеек.
Сколько заплатила Леля?
Примечание: 1 рубль – 100 копеек.
87 + 24, 76 – 14 и 14 + 58.
И какой результат?
Реши супер – пример:
15 + 32 – 28 × 2 – 5 + 14 = ?
Расставь знаки :, +, – и × чтобы получилось 204.
17 3 27 15 8 4 = 204.
Реши примеры, и по алфавитному порядку составь слово.
Примечание: примеры выстроены в правильном порядке.
13 + 6, 48 – 27, 7 × 2, 24 : 2 и 3 – 2.
Реши примеры и найди сумму их ответов.
56 – 31, 52 × 4 и 12 + 69.
Реши супер – пример:
19 + (26 – 17) × 3 – 65 = ?
Реши примеры, и по алфавитному порядку узнай слово.
Примечание: примеры выстроены по правильному порядку.
8 : 2, 7 + 14, 5 – 4, 13 × 2 и 60 : 2.
Реши примеры, и по алфавитному порядку узнай слово.
Примечание: примеры выстроены в правильном порядке.
7 + 6, 2 × 5, 57 : 3 и 5 × 4.
Узнай, что надо поставить.
58732 = 7
17584 = 7
85641 = 12
54683 = …?
Реши примеры, и найди сумму их ответов.
86 + 23, 17 × 2, 85 – 37.
Узнай, что надо поставить.
94538 = 15
72943 = 13
82347 = 12
74328 = …?
Магические квадраты
Перед решением зайди в теорию: https://matsharik.ru/info/teorija-i-sovety
Игра выше содержит 3 уровня, в которых нужно решить или построить магический квадрат.
Задания повышенной сложности по математике 2 класс по УМК «Школа России»
Задания повышенной сложности по математике
2 класс (с ответами)
Арифметические ребусы
1. Вставь числа и знаки «+» или «-«, чтобы записи были верными:
23+6=49 …□□
29–7<19+ □
15 – 9>4+□
45 + 30 …□= 5
2. Поставь между цифрами знаки «+» или « – » так, чтобы в результате получилось равенство.
20 30 40 50 60 70 = 30
3. Впишите в клетки числа так, чтобы их сумма по вертикали, горизонтали
и диагоналям была равна 15.
| 7 | 6 |
|
|
|
4 |
|
|
6.Восстанови пример на сложение: поставь вместо звездочек цифры 1, 2, 3, 4 и 5, используя каждую только один раз. Найди несколько решений.
* * + 3 * + *= 60
7. Расставь знаки и скобки так, чтобы получились верные равенства.
9*9*9*=2 9*9*9=90
9*9*9=10 9*9*9=9
8. Запиши все двузначные числа, чтобы сумма десятков и единиц каждого числа была равна 8.
9. Расставь числа 2,3,4,5,6,7 в треугольниках
так, чтобы каждая пара чисел, расположенных друг напротив друга,
вместе с числом стоящим в середине, давала бы сумму 10.
10. Поставь вместо звёздочек такие знаки действий, чтобы равенства были верными.
4*4*13=13
21*8*8=21
11. . Сумма трех чисел 121526.
Одно слагаемое – наибольшее пятизначное число, все числа которого четные; второе – наименьшее четырехзначное, все числа которого нечетные. Найди третье слагаемое.
12. Сумма двух чисел равна 385. Одно из них оканчивается нулем. Если 0 зачеркнуть, то получится второе число. Найти числа.
13. В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 поставь между некоторыми цифрами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.
14. Вставь пропущенные знаки действий «+» или «-»:
а) 5…4…3…2…1 = 3
б) 5…4…3…2…1 = 5
Задачи.
1. В коробке было 7 больших и 8 маленьких пуговиц. Сколько пуговиц взяли из коробки, если их осталось 9?
2. Ученик записал все круглые числа из первой сотни, включая и 100. На написание каждой цифры он затратил одну секунду. Сколько всего секунд он затратил? (Запиши все числа и сосчитай)
3. На левую чашку весов положили арбуз, массой 6 кг, а на правую – дыню. Чтобы уравновесить весы, пришлось поставить на чашку с дыней еще гирю в 2 кг. На сколько килограммов арбуз тяжелее дыни?
4. В классе 21 ученик. Сколько потребуется парт, чтобы рассадить всех учеников?
5. У Нины 7 открыток, у Оли на 4 открытки меньше. Сколько открыток Нина отдала Оле, если теперь у девочек открыток поровну?
6. На
верхней полке на 5 книг меньше, чем на средней полке, и на 10 книг
больше, чем на нижней.
Сколько книг на трёх полках, если на верхней полке15 книг?
7. Если всю ткань из рулона разрезать на 2 куска одинаковой длины, то каждый кусок ткани будет по 15 метров. Сколько всего ткани останется в рулоне, если от него хотят отрезать 25 метров?
8. В двух коробках 29 карандашей. Когда из одной коробки взяли 7 карандашей, а из другой – 2, то карандашей в коробках осталось поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?
9. Ваня разложил на столе камешки на расстоянии 2см один от другого. Сколько камешков разложил он на протяжении 10см?
10. В двух ящиках для уроков рисования хранились цветные карандаши, по 20 пачек в каждом. Перед уроком рисования учительница взяла несколько пачек из одного ящика. А затем из второго взяла столько, сколько осталось в первом ящике. Сколько пачек осталось в обоих ящиках?
11. Три брата поймали 29 бычков. Когда один брат
отдал кошке 6штук, второй – 2, а третий – 3,то у каждого брата осталось ровное
число бычков.
12. Раздели 5 пряников поровну между шестью девочками, не разрезая ни одного пряника на 6 равных частей?
13. Бабушка ждала в гости внуков и испекла 16 пирожков. Если она даст внукам по 5 пирожков, то 1 пирожок останется, если по 6 пирожков – двух не хватит. Сколько внуков должны приехать в гости к бабушке?
14. Сергей ехал в школу на велосипеде. Занятия в школе начинаются в 9 часов. В 8 часов 40 минут он уже проехал половину пути. Если Сергей будет продолжать ехать с такой же скоростью, то приедет в школу за 10 минут до начала занятий. Сколько минут он ехал в школу?
15. А. Б, В, Г – сокращённая запись имён четырёх человек. Сообщим данные: Б – сын А, А – мать Г, В – сестра Г. Кем приходятся друг другу Б и В?
16. Коротышки из Солнечного города решили
заниматься спортом. Гимнастику выбрали 15 коротышек, бокс — на 5 меньше,
чем гимнастику, а футбол — на 4 больше, чем бокс.
17. В стакан, кружку и чашку налили молоко, простоквашу и кефир. В кружке не кефир. В чашке не кефир, и не простокваша. Что куда налили? Напиши ответ в таблицу.
18. Стоят 6 стаканов: первые из них с водой, остальные пустые. Что надо сделать, чтобы пустые стаканы и стаканы с водой чередовались? Разрешается брать только один стакан. Объясни свои действия.
В таблице записано, сколько мальчиков и сколько девочек посетили школьную выставку цветов за 5 дней.
День недели | Девочки (чел.) | Мальчики (чел.) |
8 | — | |
Вторник | — | 2 |
Среда | — | — |
Четверг | 5 | — |
Пятница | 6 | 7 |
Ответьте на вопросы:
Сколько мальчиков посетили выставку во вторник? ___________
Сколько девочек посетили выставку за 5 дней? _______________
Сколько всего мальчиков и девочек посетили выставку за 5 дней? _________
В какой из дней выставку посетили и мальчики, и девочки? _______________
19.
«Сколько учеников в вашем классе?», — спросил Яша у Гали. Галя, подумав
сказала: «Если отнять от наибольшего двузначного числа число, записанное двумя
восьмёрками, и к полученному числу прибавить наименьшее двузначное число, то
как раз и получится число учеников нашего класса». Сколько учеников было в этом
классе?
20. Масса наполненной мёдом бочки 17 кг. Если же она заполнена наполовину, то её масса равна 9 кг. Какова масса пустой бочки?
21. Катя, Галя и Оля, играя, спрятали по игрушке. Они играли с медвежонком, зайчиком и слоником. Известно, что Катя не прятала зайчика, а Оля не прятала ни зайчика, ни медвежонка. У кого какая игрушка?
22. Собрали вместе 7 стогов сена и 11 стогов. Сколько стогов получилось?
23. За столом сидели 2 дочки, 2 матери и 1 бабушка. Сколько человек сидели за столом?
24. Масса наполненной маслом канистры 17
кг. Если же она заполнена наполовину, то её масса равна 9
кг.
Какова масса пустой канистры?
25. В трехэтажном доме жили 3 котенка: белый, черный и рыжий. Котята с первого и второго этажа не были черными. Белый котенок жил не на первом этаже. Какой котенок на каком этаже жил?
1 – й этаж — ___________________
2 – й этаж — ___________________
3 – Й этаж — ___________________
26. Во дворе ходят индюки и козочки, у всех вместе 44 ноги и 14 голов. Сколько индюков и козочек ходят во дворе?
28. У дачницы было две емкости для воды – одна 9 л, а вторая – 4 л. Для разведения удобрения ей требовалось отлить 6 л воды. Посоветуй, как отлить 6 литров воды.
Геометрический материал
1.
Вдоль участка, сумма длин
сторон которого равна 20м, расставили колышки на расстоянии 5м друг от друга.
После этого 10 колышков осталось. Сколько колышков было всего?
2. Внутри данной фигуры проведи одну линию так, чтобы она разделила её на следующие фигуры:
а) на три треугольника,
б) на два четырехугольника.
3. Сколько в этой фигуре треугольников?
4. Сколько треугольников на рисунке? Отметь ответ
5.
Сколько треугольников можно сложить из
шести спичек?
6. Внутри данной фигуры проведи одну линию так, чтобы она разделила её на следующие фигуры:
а) на 3 треугольника;
б) на 2 четырехугольника.
7. Сосчитай сколько квадратов на рисунке. Запиши ответ.
ОТВЕТЫ
Арифметические ребусы
1. 23 + 6 = 49— 20
29 – 7 < 19 + 4, 5, 6…
15 – 9 > 4 + 3, 4, 5, 6, 7….
45 + 30 — 70= 5
2. 20 + 30 + 40—50 + 60 — 70 = 30
2 | 7 | 6 |
9 | 5 | 1 |
4 | 3 | 8 |
3.
6 25 +31 +4=60 24 +35 +1=60 21 +34 +5=60
25 +34 +1=60 24 +31 +5=60 21 +35 +4=60
7. (9+9):9=2 9:9+9=10
9*9+9=90 9:9*9=9
8. 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80.
9. 5
3 1 7
2 6
4
10. 4-4+13=13
21-8+8=21
11. О т в е т: 31527.
Решение:
12. 350 и 35.
13. 88 + 8 + 8 + 8 + 888 = 1000.
14. А) 5 + 4 – 3 – 2 – 1 = 3
5 – 4 + 3 – 2 + 1 = 3
б) 5 + 4 – 3 – 2 + 1 = 5
5 – 4 + 3 + 2 – 1 = 5
Задачи.
1) (7+8) – 9=6 пуговиц
2) 10,20,30, 40,50,60,70,80,90,100=написана 21 цифра
=21 секунда
3) 6=□+2, 4 кг – весит дыня, следовательно,6>4 на 2 кг
4). 11 парт
5). 7 — 4 =3(откр.- у Оли) Следовательно, 7 –2= 3 +2
Ответ: 2 открытки
6) 15+5= 20 книг на средней полке
15-10=5 книг на нижней полке.
15+20+5=40 книг на трёх полках
7) 15+15+15+15=60 метров.
60 — 25 = 35 метров
8)
9) 6 камешков
10) 20 пачек
11) 1) 6+2+3=11б.- отдали кошке
2) 29-11=18б.-осталось
3) 18:3=6б.-поровну на каждого брата
4) 6+6=12б.-у одного брата
5) 6+2=8б.
— у второго брата
6) 6+3=9б.-у третьего брата.)
12) Три пряника разрезать на 2 равные части, а оставшиеся два пряника разрезать на 3 равные части. Каждая девочка получит по 1/3 и 1/2 пряника.
13). 3 внука у бабушки.
14. 20 минут
15. Б и В являются братьями.
16. 39 коротышек занялись спортом. Коротышки предпочитают гимнастику.
17.
В кружку | Простокваша |
В стакан | Кефир |
В чашку | Молоко |
Надо взять средний наполненный стакан и перелить в средний пустой стакан.
18. 2 мальчика.
19 девочек.
28 мальчиков и девочек.
В пятницу.
19. 21 ученик.
20. 1 кг
21. У Оли — слоник, у Кати — медвежонок, у Гали — зайчик.
22. 1 стог.
23. 3 человека.
24. 1 кг.
25. 1 – й этаж — рыжий
2 – й этаж – белый
3 – Й этаж – черный
26. У индюка – по 2 ноги, а у козочек по 4 ножки, голов всего 14. Задачу можно решить разными способами. Например, так:
Если у козочек и индюков было бы по 2 ноги (голов, естественно, по одной), то: 14 2 = 28 (ног).
44 – 28 = 16 (ног), это ноги козочек, у них на 2 ножки больше, значит, козочек : 16 : 2 = 8 (козочек).
14 – 8 = 6 (индюков).
О т в е т: 8 козочек, 6 индюков гуляли во дворе.
27. 12 кг муки, это не так уж и большой мешок! Но вот поклажа, что у первого ослика, что у второго, совершенно одинакова по весу – 12 кг.
28.
Из
наполненной посуды 9 литров при помощи 4-литровой посудины отливаем 8 литров
воды. В 9-литровой остается 1 литр воды.
Переливаем 1 литр в 4-литровую посуду,
наполняем 9-литровую и из неё дополняем 4-литровую, т. е. отливаем 3 литра. В
результате в 9-литровой посуде остается 6 литров.
Геометрический материал
1. 14 колышков.
2. —-
3. 8
4. 8 треугольников
5. Четыре треугольника можно сложить из шести спичек.
6. а) б)
Комплексные числа
Комплексный номер
Комплексное число представляет собой комбинацию
Действительного числа и Воображаемого числа
Реальные числа — это такие числа, как:
| 1 | 12,38 | −0,8625 | 3/4 | √2 | 1998 |
Почти любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!
Мнимые числа, когда в квадрате дают отрицательный результат .
Обычно этого не происходит, потому что:
- когда мы возводим в квадрат положительное число, мы получаем положительный результат, а
- , когда мы возводим в квадрат отрицательное число, мы также получаем положительный результат (поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительный результат), например, −2 × −2 = +4
Но представьте, что такие числа существуют, потому что они нам нужны.
Поговорим еще о мнимых числах…
«Единица» мнимого числа (например, 1 для действительных чисел) — это i, которое является квадратным корнем из −1
Потому что, возведя i в квадрат, мы получим −1
i 2 = −1
Примеры мнимых чисел Номера:
| 3i | 1.04i | −2,8i | 3i/4 | (√2)я | 1998i |
И мы держим здесь маленькую букву «i», чтобы напомнить себе, что нам нужно умножить на √−1
Комплексные числа
Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :
.
Примеры:
| 1 + я | 39 + 3i | 0,8 − 2,2i | −2 + πi | √2 + i/2 |
Может ли число быть комбинацией двух чисел?
Можем ли мы составить число из двух других чисел? Мы можем точно!
Мы постоянно делаем это с дробями. Дробь 3 / 8 — это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».
Комплексное число — это всего лишь два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).
Любая часть может быть равна нулю
Итак, у комплексного числа есть действительная и мнимая части.
Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные числа и мнимые числа также являются комплексными числами.
| Комплексный номер | Реальная часть | Воображаемая часть | |
|---|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 | |
| 5 | 5 | 0 | Чисто настоящий |
| −6i | 0 | −6 | Чисто воображаемый |
Сложно?
Комплекс , а не означает сложный.
Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , точно так же, как комплекс зданий (здания, соединенные вместе).
Визуальное объяснение
Вы знаете, как идет числовая линия влево-вправо ?
Хорошо, пусть мнимые числа идут вверх-вниз :
И получаем Сложный Самолет
Комплексное число теперь может отображаться в виде точки:
Комплекс № 3+4 i
Добавление
Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:
(а+б я ) + (с+г я ) = (а+с) + (б+г) я
Пример: добавьте комплексные числа
3 + 2 i и 1 + 7 i- добавьте действительные числа и
- добавить мнимые числа:
(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i
Попробуем еще:
Пример: добавьте комплексные числа
3 + 5 i и 4 − 3 i (3 + 5 I ) + (4 — 3 I )
= 3 + 4 + (5 — 3) I
= 7 + 2 I
На комплексной плоскости это:
Умножение
Чтобы умножить комплексные числа:
Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа
Просто используйте «FOIL», что означает » F первоначальных, O маточных, I внутренних, L астровых» (подробнее см.
Биномиальное умножение):
| |||||||||||||||||||||||
(A + B I ) (C + D I ) = AC + AD I + BC I + BD I 2 Вот так: Пример: (3 + 2i)(1 + 7i)(3 + 2i)(1 + 7i) = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i = 3 + 21i + 2i + 14i 2 = 3 + 21i + 2i − 14 (поскольку i 2 = −1) = −11 + 23i А это: Пример: (1 + i)2(1 + i)(1 + i)= 1×1 + 1×i + 1×i + i 2 = 1 + 2i − 1 (потому что i 2 = −1) = 0 + 2i Но есть более быстрый способ!Используйте это правило: (a+b i )(c+d i ) = (ac−bd) + (ad+bc) i Пример: (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i Почему это правило работает?Это просто метод «ФОЛЬГА» после небольшой работы: (a+b i )(c+d i ) =ac + ad i + bc i + bd i 2 метод FOIL i i 0 i − bd (потому что i 2 = −1) = (ac − bd) + (ad + bc) i (собирая подобные термины) И здесь у нас есть (ac − bd) + (ad + bc) i шаблон. Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL. Попробуем i2Ради интереса воспользуемся методом вычисления i 2 Пример: i2Мы можем записать i с действительной и мнимой частями как 0 + i i 2 = (0 + i) 2 = (0 + i)(0 + i ) = (0×0 − 1×1) + (0×1 + 1×0) i = −1 + 0 i = −1 И это хорошо согласуется с определением, что я 2 = −1 Так все замечательно работает! Дополнительные сведения см. в разделе Умножение комплексных чисел. КонъюгатыЧерез минуту нам нужно будет узнать о конъюгатах! В сопряжении мы меняем знак в середине следующим образом: Спряжение часто пишется с чертой над ним: Пример:5 − 3 i = 5 + 3 i Разделение Конъюгат используется для облегчения сложного деления. Хитрость заключается в том, чтобы умножить верхнее и нижнее на сопряженное нижнее . Пример: DI DISTED:2 + 3 I 4 — 5 I Multiply Top and Note на конъюгате 4 — 5 I : . 4 − 5 i × 4 + 5 i 4 + 5 I = 8 + 10 I + 12 I + 15 I 2 16 + 20 I — 20 0009 I — 25 I 66666666666666666666666666666666666666666669. Теперь помните, что I 2 = −1, так: = 8 + 10 I + 12 I — 15 16 + 200009 I — 20 I + 25 Добавьте условия «Нравится» (и обратите внимание, как внизу 20 i − 20 i Отменить!): = −7 + 22 I 41 Наконец, мы должны поместить ответ в A + B I Форма: = — 7 41 + — 7 41 91952 + — 7 419952 + — 7 419952. ГОТОВО! Да, нужно немного посчитать. Но это можно сделать. Однако есть более быстрый способ. В предыдущем примере интересно было то, что произошло внизу: (4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 20 i — 20 i — 25 i 2 Средние члены (20 i − 20 i ) сокращаются: (4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 — 25 i 2 Также i 2 = −1 : (4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 25 А 16 и 25 — это (магически) квадраты 4 и 5: (4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 4 2 + 5 2 Довольно простой результат. Общее правило: (a + b i ) (a − b i ) = a 2 + b 2 Это может сэкономить нам время при делении, например: 2 + 3 i 4 − 5 i Умножить верх и низ на сопряженное число 4 − 5 i : 2 + 3 i 4 − 5 i × 4 + 5 i 4 + 5 i = 8 + 10 i + 12 I + 15 I 2 16 + 25 = −7 + 22 I 41 , а затем обратно в A + B I : = = 40002 = 40005 = 40002 x . ГОТОВО! Мы часто используем z для комплексного числа. И Re() для действительной части и Im() для мнимой части, например: Что выглядит на комплексной плоскости так: Прекрасное множество Мандельброта (на фото) основано на комплексных числах. Это график того, что происходит, когда мы берем простое уравнение z 2 + c (оба комплексных числа) и возвращаем результат обратно в z снова и снова. Цвет показывает, как быстро растет z 2 + c , а черный означает, что он остается в определенном диапазоне. Вот изображение, полученное путем увеличения множества Мандельброта 440, 1070, 273, 1071, 1072, 443, 3991, 271, 3992, 3993 Комплексные числа помогают найти квадратный корень из отрицательных чисел. Комплексные числа находят применение во многих научных исследованиях, обработке сигналов, электромагнетизме, гидродинамике, квантовой механике и анализе вибрации. Здесь мы можем понять определение, терминологию, визуализацию комплексных чисел, свойства и операции с комплексными числами. Комплексное число – это сумма действительного числа и мнимого числа. Комплексное число имеет вид a + ib и обычно обозначается буквой z. Здесь и a, и b – действительные числа. Величина «а» называется действительной частью, которая обозначается Re(z), а «b» называется мнимой частью Im(z). Также ib называют мнимым числом.
Примерами комплексных чисел являются \(2+3i, -2-5i, \,\,\dfrac 1 2 + i\dfrac 3 2\) и т. Степень i Алфавит i называется йотой и полезен для представления мнимой части комплексного числа. Кроме того, йота (i) очень полезна для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. У нас есть значение i 2 = -1, и оно используется для нахождения значения √-4 = √i 2 4 = + 2i Значение i 2 = -1 является основным аспектом комплексного числа. Давайте попробуем понять больше о возрастающих силах i.
График комплексных чисел Комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, которые можно рассматривать как упорядоченную пару (Re(z), Im(z)) и представлять в виде точек координат на евклидовой плоскости. Аргумент комплексного числа Угол, образованный линией, соединяющей геометрическое представление комплексного числа и начало координат с положительной осью X в направлении против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа. Аргумент комплексного числа является обратным отношением тангенса мнимой части к действительной части комплексного числа. Свойства комплексного номераСледующие свойства комплексных чисел помогают лучше понять комплексные числа, а также выполнять различные арифметические операции над комплексными числами. Сопряжение комплексного числаСопряжение комплексного числа образуется путем взятия той же действительной части комплексного числа и замены мнимой части комплексного числа на ее аддитивную обратную. Если сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то они называются сопряженными комплексными числами. Для комплексного числа z = a + ib его сопряженным является \(\bar z\) = a — ib. Сумма комплексного числа и его сопряженного равна \(z + \bar z\) = (a + ib) + (a — ib) = 2a, а произведение этих комплексных чисел \(z.\bar z \) = (a + ib) × (a — ib) = a 2 + b 2 . Обратная величина комплексного числа Обратная величина комплексных чисел полезна в процессе деления одного комплексного числа на другое комплексное число. Равенство комплексных чиселРавенство комплексных чисел аналогично равенству действительных чисел. Два комплексных числа \(z_1 = a_1 + ib_1\) и \(z_2 = a_2 + ib_2 \) называются равными, если относительная часть обоих комплексных чисел равна \(a_1 = a_2\), и мнимая части обоих комплексных чисел равны \(b_1 = b_2 \). Кроме того, два комплексных числа в полярной форме равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину, а их аргумент (угол) отличается на целое кратное 2π. Упорядочивание комплексных чисел Упорядочивание комплексных чисел невозможно. Действительные числа и другие связанные системы счисления можно упорядочить, но нельзя упорядочить комплексные числа. Комплексные числа не имеют структуры упорядоченного поля, и нет упорядоченности комплексных чисел, совместимой со сложением и умножением. Также нетривиальная сумма квадратов в упорядоченном поле есть число \(\neq 0\), а в комплексном числе нетривиальная сумма квадратов равна i 2 + 1 2 = 0. Формула Эйлера: В соответствии с формулой Эйлера для любого действительного значения θ мы имеем e iθ = Cosθ + iSinθ, и оно представляет комплексное число в координатной плоскости, где Cosθ – действительная часть, представленная относительно ось x, Sinθ – мнимая часть, представленная относительно оси y, θ – угол, образованный по отношению к оси x и воображаемой линии, соединяющей начало координат и комплексное число. Согласно формуле Эйлера и функциональному представлению x и y имеем e x + iy = e x (уютно + isiny) = e x уютно + т.е. x сине. Это разлагает экспоненциальную функцию на ее действительную и мнимую части. Операции над комплексными числами Различные операции сложения, вычитания, умножения, деления натуральных чисел можно выполнять и для комплексных чисел. Сложение комплексных чиселСложение комплексных чисел аналогично сложению натуральных чисел. Здесь в комплексных числах действительная часть добавляется к действительной части, а мнимая часть добавляется к мнимой части. Для двух комплексных чисел вида \(z_1 = a + id\) и \(z_2 = c + id\) сумма комплексных чисел \(z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d) \). Комплексные числа следуют всем следующим свойствам сложения.
Связанные темы:
Комплексные числа Советы и подсказки:
перейти к слайдуперейти к слайду Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств. Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций. Записаться на бесплатный пробный урок перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о комплексных числахЧто такое комплексные числа в математике?Комплексное число представляет собой комбинацию действительных и мнимых значений. Обозначается z = a + ib, где a, b — действительные числа, а i — мнимое число. i = \(\sqrt{-1}\) и никакое действительное значение не удовлетворяет уравнению i 2 = -1, поэтому I называется мнимым числом. Для чего используются комплексные числа? Комплексное число используется для простого нахождения квадратного корня из отрицательного числа. Здесь мы используем значение i 2 = -1 для представления отрицательного знака числа, что помогает легко найти квадратный корень. Здесь мы имеем √-4 = √i 2 4 = + 2i. Что такое действительные и комплексные числа?Комплексные числа являются частью действительных чисел. Некоторые действительные числа с отрицательным знаком трудно вычислить, и мы представляем отрицательный знак с помощью йоты «i», и такое представление чисел вместе с «i» называется комплексным числом. Дополнительные комплексные числа полезны для нахождения квадратного корня из отрицательного числа, а также для нахождения отрицательных корней квадратного или полиномиального выражения. Как делить комплексные числа? 92)}\).Как строить графики комплексных чисел?Комплексное число вида z = a + ib может быть представлено в плоскости арганда. Комплексное число z = a + ib может быть представлено в виде координат точки как (Re(z), Im(z)) = (a, ib). Здесь действительная часть представлена относительно оси x, а мнимая часть представлена относительно оси y. Как преобразовать комплексные числа в полярную форму? Комплексный номер можно легко преобразовать в полярную форму. | |||||||||||||||||||||||
22 41 i 
7 41 + 22 41 я 
Концепция комплексных чисел была впервые упомянута в I веке греческим математиком Героем Александрийским, когда он пытался найти квадратный корень из отрицательного числа. Но он просто изменил отрицательное значение на положительное и просто взял числовой корень. Кроме того, реальная идентичность комплексного числа была определена в 16 веке итальянским математиком Джероламо Кардано в процессе нахождения отрицательных корней кубических и квадратичных полиномиальных выражений.
д.
Евклидова плоскость применительно к комплексным числам называется комплексной плоскостью или Плоскостью Аргана, названной в честь Жана-Роберта Аргана. Комплексное число z = a + ib представлено действительной частью — a относительно оси x и мнимой частью -ib относительно оси y. Давайте попробуем понять два важных термина, относящихся к представлению комплексных чисел на аргановой плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. 92}\)|. Кроме того, это можно понимать как полученное из теоремы Пифагора, где модуль представляет собой гипотенузу, действительную часть — это основание, а мнимую часть — высоту прямоугольного треугольника.
{-1}\frac{b}{a}\). 9{-1}\frac{b}{a}\)).
{-1}\).
Комплексные числа можно измерить и представить на двумерной арграндовой плоскости по их величине, которая является расстоянием от начала координат.
Детали различных арифметических операций с комплексными числами заключаются в следующем.
2 = -1\). Для двух комплексных чисел \(z_1\) = a + ib, \(z_2\) = c + id произведение равно \(z_1.z_2\) = (ca — bd) + i(ad + bc).
{-1}\frac{b}{a} \)).