Синус(sin), косинус(cos), тангенс(tg), котангенс(ctg) — как найти, отношение, формулы

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже.

Они пригодятся нам при решении задач.

sin	sincos
cos	1+tg	cos = sin
tg	1+ctg	sin = cos
ctg		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
   Мы получили основное тригонометрическое тождество.
4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла

— дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

	0
sin	0
cos					0
tg	0				−
ctg	−				0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin

Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике угол равен , , .

Найдите .

Решение:

Отсюда

Найдем AC по теореме Пифагора.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A

Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos⁡ А

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда

cos⁡ А

tg A

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A

По теореме Пифагора получим

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

тогда

(по двум углам), следовательно откуда

Ответ: 12,5.

Задача 7.

В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A =

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = тогда c = АВ = 18.

sin A = = cos⁡ B =

Рассмотрим BHC:

= получим

тогда BH = = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: A = sin В =

а для ВНС: sin В = = , откуда СН =

По теореме Пифагора найдем ВН:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

тогда

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= = =

Рассмотрим BHC :

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС=

тогда а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = = = cos A = = =

тогда tg A = который найдем из BHC:

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.

Решение:

По определению tg A=

Для BHC: , значит СН =

Для АHC: tg A= то AH =

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = = sin A =

Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =

В АВС имеем sinA = = тогда AВ =

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

sin В = =

Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора получим

х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит или

k = тогда АС = ; АВ =

3-й способ.

(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

=

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = =

cos C =

Для АВС: sin А = = cos C =

Для АНВ: sin А = = то = АВ =

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A =

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А =

значит = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:

Площадь прямоугольного треугольника равна S =

поэтому

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, ),

значит sin

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

Тогда sin

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ =

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = то есть АС =

По теореме Пифагора тогда

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 100;

учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

cos A =

По определению cos A = значит

Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.

Решение:

Пусть ВАО =

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =

Поэтому tg откуда

Ответ:

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =

В BHC: то следовательно, ВН = BC =

По теореме Пифагора найдем НС:

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30),

то

Из ВСН: то следовательно,

ВН = ВС =

АН = АВ — НВ = 2 — = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

 

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.02.2023

Математические задания и игры для 1-го класса

Десять фреймов Базовые десять блоков Базовые десять блоков: вычитание двух цифр Монеты Соединительные кубики Домино Инструменты измерения Числовые линии Блоки узоров Спиннеры Стратегия «Сделай десятку». Диаграммы Венна

Как математические игры и задания повышают успеваемость учащихся в 1 классе

Математические игры и занятия могут стать прекрасным дополнением и дополнением к обучению математике. Использование математических игр в классе позволяет учащимся практиковать математику не только весело, но и эффективно. Ученики любят игры, потому что они увлекательны и увлекательны, а учителя любят игры, потому что они помогают учащимся практиковать то, чему они научились.

Учащиеся первого класса расширят свое понимание математики, считая до больших чисел и развивая навыки сложения и вычитания, используя кубики с основанием десять, монеты, соединительные кубики, числовые линии, блоки узоров, диаграммы Венна, домино и блесны. Эти занятия также предложат дополнительную практику и понимание двузначных чисел и последовательности.

Десять кадров

Использование десятичной рамки и счетчиков помогает детям развить чувство количества и чувство числа относительно десятичного основания.

Он также обеспечивает визуальный и мысленный образ чисел.

 

Чтобы смоделировать такое число, как 4, детей нужно попросить поместить одну фишку в десятую рамку, а затем добавлять по одной за раз. На каждом этапе спрашивайте, в какой группе больше, а в какой меньше, чтобы подчеркнуть числовые отношения.

Предложите детям заполнить десять рамок в первом ряду, начиная слева, как они читают книгу. Когда они заполнят первый ряд, закрепите цифру 5, чтобы дети могли использовать цифру 5 в качестве эталона при моделировании чисел 6–9. После того, как первый ряд будет заполнен, попросите детей начать размещать фишки в нижнем ряду, снова начиная слева.

 

Попросите детей использовать синюю фишку в качестве последней фишки в модели. Это изменение вводит отношения часть-часть-целое, то есть существуют разные комбинации, которые составляют одно и то же число. Дети, которые могут представить число в десятичной рамке с различными цветовыми сочетаниями, смогут перевести этот навык в понятия сложения.

Детям нужно будет размещать фишки за пределами десятичной рамки для моделирования чисел 11 и 12.

Дети могут расширить этот шаблон для других чисел до 20 и выше, а также когда они моделируют суммы больше десяти.

 

_{Список литературы
Ван де Валле, Джон, Начальная и средняя школа математики, Бостон, Массачусетс: Allyn & Bacon, 2003.}

Базовые десять блоков

Блоки с основанием 10 облегчают понимание детьми разряда и помогают им распознавать значения чисел в больших наборах. Используя кубики, дети часто находят закономерности, которые помогают им понять значение больших чисел.

²

Для моделирования двузначных чисел дети могут использовать десять палочек и один кубик. Убедитесь, что дети понимают, что кубик единиц — это единая единица, представляющая число 1 и занимающая место единиц в десятичной системе счисления. Десятка состоит из десяти соединенных кубиков с единицами и представляет 10 и разряд десятков.

 

Количество стержней в десять соответствует разряду десятков в числе. Количество кубиков единиц соответствует цифре, стоящей в числе единиц.

 

 

Чтобы смоделировать число, дети должны определить цифру в разряде десятков и разложить столько же десяти палочек. Затем они должны определить цифру, стоящую на месте единиц, и выложить столько же кубиков единиц.

Чтобы определить число, представленное моделью, дети должны сосчитать количество десяти палочек, чтобы найти цифру в разряде десятков. Количество кубиков с единицами говорит о цифре, стоящей в разряде единиц. Дети также могут подсчитать общее количество кубиков с единицами во всей модели, но этот метод грубой силы отнимает много времени и игнорирует достоинства концепций разрядности.

 

_{² Копели, Хуанита (2000). Маленький ребенок и математика, 78, Вашингтон, округ Колумбия.}

Блоки с основанием 10

Вычитание двух цифр

Дети, которые учатся вычитать двузначные числа, получают пользу от использования манипулятивных упражнений, чтобы развить твердое понимание разрядного значения. Использование десятичных блоков помогает укрепить концепции позиционных значений и построить визуальное представление процедур перегруппировки.

Конкретное задание, подобное следующему, поможет детям при переходе к абстрактному алгоритму. Пусть дети поработают в парах и потренируются составлять двузначные числа, используя палочки и кубики. Поощряйте их составлять каждое число различными способами, а затем предложите им построить число наиболее эффективным способом. Число 56, например, можно построить из 3 палочек и 26 кубиков, но эффективнее всего строить из 5 десятков и 6 единиц.

Затем попросите детей смоделировать задачи на вычитание, например, 42–18. Попросите детей построить 42 (4 стержня и 2 кубика) и предложите им придумать стратегии «убирания» 18. Дети должны увидеть, что они могут « обменяйте» 1 жезл на 10 кубиков, что позволяет забрать 18 (1 жезл и 8 кубиков). Остальные палочки и кубики показывают разницу. Когда дети обретут уверенность в своей конкретной работе, предложите им записывать свои вычитания на коврике с порядковыми значениями.

Вы можете предложить детям решить задачи на пропущенные числа. Дайте им начальное число, например 51, и попросите их найти число, которое нужно вычесть, чтобы в итоге получить заданную разницу, например 35 (16).

 

_{Ссылки
Копли, Хуанита (2000). Математика в ранние годы, 66, Рестон, Вирджиния}

Манипуляции с монетами позволяют детям внимательно изучить атрибуты каждой монеты и оценить количество денег на основе визуального сканирования горсти монет. Составление сумм различными способами развивает гибкое мышление, практикует оценку стоимости монет, укрепляет понимание стоимости места и является практическим навыком, который мотивирует детей изучать ценность различных монет.

 

Пригласите детей сыграть в игру «Монеты три пути» . Начните с предоставления партнерам выбора монет. Затем объясните, что вы собираетесь назвать сумму, и попросите их показать эту сумму тремя разными способами. Вы можете продемонстрировать, как ведется эта игра, отсчитав 27 центов как пять пятицентовиков и два пенни. Затем покажите ту же сумму, что и четверть и две копейки. Наконец, покажите 27 центов третьим способом как две десятицентовика и семь пенни. Подсчитайте каждую группу вместе с классом.

 

Попросите детей показать вам три способа, которыми они могут показать сумму. Начните с того, что попросите партнеров показать 33 цента тремя способами. Используйте детские комбинации монет, чтобы построить диаграмму, показывающую различные комбинации. Предложите детям определить, для какой комбинации требуется наименьшее количество монет, а для какой – больше всего. Предложите детям использовать данные на диаграмме для описания любых тенденций, моделей или сходств, которые они видят.

Некоторые возможные комбинации, которые составляют 27 центов:

 

_{Ссылки
Копли, Хуанита В. (2000). Математика в ранние годы, 59, Рестон, Вирджиния
Копли, Хуанита В. (2000). Маленький ребенок и математика, 79, Вашингтон, округ Колумбия}

Соединительные кубики

Соединительные кубы полезны для изучения взаимосвязей части и целого.

Дайте детям кубик разного цвета для каждого сложения. Цвета помогут детям визуализировать различные части, которые они соединяют. Например, дети могут видеть, что 1 синий кубик и 6 красных кубиков составляют 7 кубиков, 2 синих кубика и 5 красных кубиков, 3 синих кубика и 4 красных кубика и так далее.

Пусть дети сначала полностью соберут части, а затем соединят их в единое целое.

Чтение или написание комбинаций побуждает к размышлениям об отношениях «часть-часть-целое». Вы можете попросить детей записывать свою работу с помощью рисунков, чисел, написанных в пропусках, или путем написания дополнительных предложений.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (2003). Математика в начальной и средней школе: обучение с учетом развития, 104-105 Бостон, Массачусетс}

Домино

Домино полезны для моделирования связанных фактов, потому что они могут представлять факты сложения и вычитания через 6 + 6. Центральный делитель разделяет части, но точки явно являются частью единого целого. В ситуациях с вычитанием дети иногда склонны сосредотачиваться только на оставшемся числе или ответе и возвращать отнятое число в стопку. Этот маневр не дает детям задуматься над ситуацией и обратить ее вспять. С домино, так как показано и целое, и части, дети связывают понятия сложения и вычитания.

Дети обычно начинают с того, что отмечают факты сложения, связанные с домино, такие как 5 + 4 = 9 и 4 + 5 = 9.

Попросите их закрыть одну сторону костяшки пальцем или каталожной карточкой и написать связанный факт вычитания. Повторите для другого факта вычитания, накрыв другую сторону домино. Спросите: «Сколько останется, если убрать 5? Сколько останется, если убрать 4?» Предложите детям назвать и записать соответствующие факты вычитания: 9 – 5 = 4, 9 – 4 = 5.

 

После составления четырех письменных числовых предложений попросите детей использовать маркеры разных цветов, чтобы отметить каждую цифру (например, все пятерки могут быть желтыми). Помогите им увидеть, как меняется расположение числа, и свяжите отношения между целым и частями в предложениях на сложение и вычитание.

Соотнесите различные письменные формы записи (вертикальный и горизонтальный форматы), попросив детей переписать числовые предложения в другом формате.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (2003). Математика в начальной и средней школе: обучение в целях развития, 124, 149, Бостон, Массачусетс}

Измерительные инструменты

Чтобы развить более глубокое понимание того, как и зачем измерять, детям следует предоставить много возможностей для измерения и сравнения реальных объектов как с нестандартными, так и со стандартными единицами измерения.

Дети на этом уровне развития должны научиться пользоваться линейками, весами, мерными чашками и термометрами, а также связанными с ними единицами измерения. Они должны освоить измерения длины как в стандартных, так и в нестандартных единицах измерения. Занятие, подобное следующему, поможет детям развить чувство измерения.

Разделите класс на команды по два человека и дайте каждой команде дюймовую линейку и стопку скрепок. Попросите каждую команду выбрать 3 объекта в классе для измерения. (Объекты должны быть не больше стола.)

 

Попросите группы оценить длину каждого объекта и запишите свою оценку. Затем предложите детям измерить длину каждого предмета скрепками. Покажите детям, как записывать свои данные в диаграмму, подобную той, что показана здесь. Вы можете попросить детей найти разницу между их оценками и фактическими измерениями, вычитая меньшее число из большего.

 

Попросите детей повторить упражнение, оценивая и измеряя в дюймах и заполняя вторую таблицу.

Дайте командам время обсудить, как они сделали свои оценки и насколько близки их оценки к фактическим измерениям.

 

Попросите детей подумать, почему задание будет более трудным с более крупными объектами, например, с расстоянием до комнаты. Попросите нестандартную единицу (например, скакалку) и стандартную единицу (фут), которые могут быть более эффективными для измерения больших расстояний.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (1998). Математика в начальной и средней школе: обучение в целях развития, 312, New York, NY}

Номер строки

Дети в начальных классах все еще развивают свое понимание чисел, счета и числовых моделей. По этой причине детям полезно работать с числовыми линиями, поскольку они развивают свои навыки сложения. В частности, детям полезно работать с числовыми линиями, поскольку они округляют числа и оценивают суммы.

Начертите на полу числовую линию с десятками. Попросите их считать вслух десятками, пока они идут вдоль числовой строки, останавливаясь на каждой «десятке».

 

 

Затем попросите детей потренироваться находить отдельные числа на числовой прямой и определять, какое число «10» ближе всего к этому числу. Например, учитывая число 52, дети должны определить 50 как ближайшее число в числовой строке. Вы можете научить детей тому, что числа, оканчивающиеся на 5, округляются «вверх».

 

Наконец, покажите детям, как использовать числовую прямую для оценки сумм. Оценка 52 + 25 равна, например, 80, потому что 52 ближе к 50, чем к 60, поэтому оно округляется до 50. С другой стороны, 25 находится посередине между 20 и 30 и заканчивается на 5, поэтому 25 раундов до 30. 50 + 30 = 80.

Чтобы закрепить понятие округления, дети могут вместе составить числа, которые нужно округлить, а затем сложить. Пусть каждый партнер по очереди бросает числовой кубик дважды, чтобы составить и записать двузначное число. Затем попросите партнеров использовать свою числовую линейку, чтобы округлить свое число до ближайших десяти и записать его рядом с исходным двузначным числом. Наконец, попросите детей сложить свои округленные числа.

 

_{Ссылки
Копли, Хуанита (2000). Математика в ранние годы, 52, Рестон, Вирджиния}

Шаблоны блоков Блоки шаблонов

помогают детям идентифицировать фигуры по атрибутам, закреплять названия фигур и сравнивать фигуры. По мере того, как дети знакомятся с основными геометрическими фигурами, полезно предлагать задания по решению проблем, требующие от детей изучения и сравнения атрибутов. Например, первоклассники должны уметь объяснить, в чем сходство и различие фигур, исходя из их конкретных свойств.

 

 

Игра, например В какой я форме? дает детям опыт решения проблем с идентификацией формы. Чтобы играть в игру, дайте каждому ребенку на выбор кубики узора. Затем поместите фигуру позади руки. Скажите детям, что вы дадите им подсказки, которые помогут им угадать, какую фигуру вы прячете. Объясните, что после каждой подсказки они должны откладывать в сторону все свои фигуры, которые не соответствуют подсказке. Затем предложите подсказки о «загадочной форме», которую вы держите. Например, можно сказать: «У меня четыре стороны». В этот момент дети убирали треугольники и шестиугольники из своих стопок. Тогда вы можете сказать: «У меня прямые углы». Дети удаляли ромб, малый ромб и трапецию, оставляя квадрат. По мере того как дети будут устранять возможные формы, поощряйте их вербализовать свои процессы решения проблем.

 

По мере прохождения каждого урока в этой главе вы можете использовать блоки шаблонов и задание Какой я формы? игра для оценки понимания детьми понятий. Вы можете бросить вызов продвинутым учащимся, предложив более длинные описательные подсказки, включающие такие термины, как: и, но, и не. Например, вы можете сказать. «Какая у меня форма? У меня нет прямых углов и четырех сторон».

 

_{Ссылки
Ван де Валле, Дж. А. (1998). Математика в начальной и средней школе: обучение в целях развития, 348, New York, NY}

Спиннеры

Первоклассники должны знакомиться с вероятностью в неформальной, наглядной и практической форме. Понятия вероятности должны относиться к вероятности реальных событий, используя такие термины, как

более вероятно и менее вероятно . Спиннеры особенно полезны для того, чтобы помочь детям визуализировать концепции вероятностей. Детям будет полезно следующее занятие.

Разделите класс на группы по два-три человека. Дайте каждой команде спиннер, разделенный на три неравные части. Попросите детей описать свои спиннеры и сравнить, сколько места отведено каждому цвету.

 

Пусть каждая группа угадает, какой цвет «выиграет», когда они крутят спиннер 20 раз. Пока дети по очереди крутят спиннеры, пусть они записывают результаты своей группы в таблицу, подобную приведенной ниже.

 

После того, как дети заполнили свои таблицы, попросите их обсудить результаты и сообщить, какой цвет «победил». Предложите детям объяснить, почему, по их мнению, определенный цвет выпадал чаще, чем другой. Дайте детям понять, что чем больше места на счетчике занимает цвет, тем выше вероятность того, что стрела попадет на него, и тем выше вероятность того, что он «победит».

Попросите детей повторить это упражнение с разными спиннерами. Когда дети используют спиннер с секциями одинакового размера, помогите им понять, что вероятность приземления на определенный цвет одинакова для любого другого цвета, хотя результаты могут быть неточными для каждого цвета.

 

_{Ссылки
Van de Walle, J. A. (1998). Математика в начальной и средней школе: обучение в целях развития, 241, New York, NY}

Стратегия «Сделай десятку»

Дети познакомились с десятичной рамкой в ​​детском саду и рассмотрели ее использование в распознавании чисел в начале 1-го класса.

Помимо помощи детям в распознавании чисел, десятая рамка также помогает детям изучать факты сложения. Для чисел больше десяти дети могут использовать вторую рамку или включать дополнительные счетчики вне рамки. Фрейм «десять» закрепляет значение «десять» и дает детям контрольную точку 5 (верхняя или нижняя часть строки) для быстрого нахождения суммы или разности.

Стратегия сложения «сделай десять» опирается на понятия разрядности и способность детей быстро распознавать число 10. Эта стратегия требует, чтобы дети разбивали второе слагаемое в предложении сложения на части так, чтобы первое число и часть второе число составляет десять. Затем вторая часть второго числа прибавляется к десяти, чтобы найти общее количество. Эту стратегию трудно объяснить абстрактно, но ее можно быстро понять, если продемонстрировать и испытать на себе десять фреймов и счетчики, как показано ниже:0003

 

Дети также могут использовать два десятка кадров для добавления. Дайте детям два числа, например 9 + 8, для сложения. Попросите их смоделировать каждое число в отдельной десятирамке, а затем предложить им способы использования десяти рамок для сложения двух чисел путем соединения десяти рамок. Помогите детям понять, что они должны передвигать фишки из одной десятичной рамки, чтобы заполнить другую, а затем складывать или считать от десяти, чтобы найти сумму. Попросите детей объяснить, что они сделали, и особенно сосредоточьтесь на идее о том, что фишки можно взять из рамки, представляющей одно число, и сложить вместе с другой рамкой, чтобы получилось 10. Затем есть 10 и еще несколько штук.

 

Дайте детям время попрактиковаться в обоих методах с различными задачами, включая двойные (7 + 7) и почти двойные (7 + 8).

 

_{Ссылки
Копли, Хуанита В. (2000). Математика в ранние годы, 60, Вашингтон, округ Колумбия
Ван де Валле, Дж. А. (2003). Математика в начальной и средней школе: обучение в целях развития, 147, Бостон, Массачусетс}

Диаграммы Венна

Дети этого уровня имеют некоторый опыт сортировки объектов в наборе по признаку.

Сортировка объектов по атрибуту с использованием диаграммы Венна помогает детям сортировать по двум или более атрибутам и получить визуальное представление о группах и их пересечении. Вы можете использовать блоки атрибутов и круги, нарисованные на проекторе, чтобы познакомить детей с сортировкой объектов на диаграмме Венна. Сфокусируйте задачу, предоставив ограниченное количество атрибутов; слишком много вариантов может привести к тому, что диаграмма Венна не будет пересекаться.

Реальные графы, такие как конкретные графы, используют реальные объекты, которые сортируются и отображаются на графике. Большинство графиков, с которыми дети работают в главе 4, представляют собой символические графики, в которых используются квадраты, блоки, числа или крестики для представления подсчитываемых вещей. Сортировка реальных объектов в диаграммы Венна, образованные овалами из пряжи, является отличным занятием по построению реального графа и подготовит детей к символическим действиям на последующих уроках.