Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

• Умножение степеней с одинаковыми основаниями
• Примеры умножения степеней
• Деление степеней с одинаковыми основаниями
• Примеры деления степеней

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:

2³ = 2 · 2 · 2.

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22 =	(2 · 2 · 2)	·	(2 · 2)	=
	3 множ.		2 множ.

=	2 · 2 · 2 · 2 · 2	= 25.
	5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

a^x · a^y = a^x+y.

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n³n⁵.

Решение:

n³n⁵ = n^{3 + 5} = n⁸.

Пример 2. Упростите:

xy²z³x⁴y⁵z⁶.

Решение: Чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx⁴)(y²y⁵)(z³z⁶).

Теперь выполним умножение степеней:

(xx⁴)(y²y⁵)(z³

z⁶) = (x^1 + 4)(y^2 + 5)(z^3 + 6) = x⁵y⁷z⁹.

Следовательно:

xy²z³x⁴y⁵z⁶ = x⁵y⁷z⁹.

Пример 3. Выполните умножение:

а) n^xn⁵;

б) xxⁿ;

в) a^ma^m.

Решение:

а) n^xn⁵ = n^{x + 5};

б) xxⁿ = x^{n + 1};

в) a^ma^m = a^{m + m} = a^2m.

Пример 4. Упростите выражение:

а) —

a² · (-a)² · a;

б) -(-a)² · (-a) · a.

Решение:

а) —a² · (-a)² · a = —a² · a² · a = -(a²a²a) = -(a^{2 + 2 + 1}) = —a⁵;

б) -(-a)² · (-a) · a = —a² · (-a) · a = a³ · a = a⁴.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n¹² : n⁵,

где  n  — это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

n12	.
n5

Представим  n¹²  в виде произведения  n⁷ · n⁵.  Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель  n⁵:

n12	=	n7 · n5	=  n7.
n5		n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n⁷ · n⁵ = n⁷⁺⁵ = n¹².

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

a^x : a^y = a^x-y.

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а)	a5	;      б)	m18	.
	a		m10

Решение:

а)	a5	=	a4 · a	= a4;
	a		a

б)	m18	=	m8 · m10	= m8.
	m10		m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x⁷ : x²;

б) n¹⁰ : n⁵;

в) a³⁰ : a¹⁰.

Решение:

а) x⁷ : x² = x^{7 — 2} = x⁵;

б) n¹⁰

: n⁵ = n^{10 — 5} = n⁵;

в) a³⁰ : a¹⁰ = a^{30 — 10} = a²⁰.

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а)	an	;      б)	mx	;      в)	b5 · b8	.
	a2		m		b3

Решение:

а)	an	= an — 2;
	a2

б)	mx	= mx — 1;
	m

в)	b5 · b8	=	b2 · b3 · b8	= b2 · b8 = b10.
	b3		b3

§ Свойства степени. Свойства степени с натуральным показателем

Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a^m · aⁿ = a^{m + n}, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

• Упростить выражение.
  b · b² · b³ · b⁴ · b⁵ = b ^{1 + 2 + 3 + 4 + 5} = b¹⁵
• Представить в виде степени.
  6¹⁵ · 36 = 6¹⁵ · 6² = 6¹⁵ · 6² = 6¹⁷
• Представить в виде степени.
  (0,8)³ · (0,8)¹² = (0,8)^{3 + 12} = (0,8)¹⁵

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями

. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3³ + 3²) на 3⁵. Это понятно, если
посчитать (3³ + 3²) = (27 + 9) = 36 , а 3⁵ = 243

Свойство № 2

Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= a^{m − n}, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

• Записать частное в виде степени
  (2b)⁵ : (2b)
  3 = (2b)^{5 − 3} = (2b)²
• Вычислить.

  113 · 4 2

  112 · 4

  = 11^{3 − 2} · 4 ^{2 − 1} = 11 · 4 = 44
• Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
  3⁸ : t = 3⁴

  t = 3⁸ : 3⁴

  t = 3^{8 − 4}

  t = 3⁴

  Ответ: t = 3⁴ = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

• Пример. Упростить выражение.
  4^{5m + 6} · 4^{m + 2} : 4^{4m + 3} = 4^{5m + 6 + m + 2} : 4^{4m + 3} = 4^{6m + 8 − 4m − 3} = 4^{2m + 5}
• Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
  

  512 · 4

  32

  =

  512 · 4

  32

  =

  29 · 22

  25

  =

  29 + 2

  25

  = = 2^{11 − 5} = 2 ⁶ = 64

Важно!

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4³ −4²) на 4¹. Это понятно, если посчитать (4³ −4²) = (64 − 16) = 48, а 4¹ = 4

Будьте внимательны!

Свойство № 3

Возведение степени в степень

Запомните!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(aⁿ)^m = a^{n · m}, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Свойства 4

Степень произведения

Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

• Пример 1.
  (6 · a² · b³ · c )² = 6² · a^{2 · 2} · b^{3 · 2} · с ^{1 · 2} = 36 a⁴ · b⁶ · с ²
  
• Пример 2.
  (−x² · y)⁶ = ( (−1) ⁶ · x^{2 · 6} · y^{1 · 6}) = x¹² · y⁶

Важно!

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(aⁿ · bⁿ)= (a · b) ⁿ

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

• Пример. Вычислить.
  2⁴ · 5⁴ = (2 · 5)⁴ = 10⁴ = 10 000
• Пример. Вычислить.
  0,5¹⁶ · 2¹⁶ = (0,5 · 2)¹⁶ = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4⁵ · 3² = 4³ · 4² · 3² = 4³ · (4 · 3)² = 64 · 12² = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4²¹ · (−0,25)²⁰ = 4 · 4 ²⁰ · (−0,25) ²⁰ = 4 · (4 · (−0,25))²⁰ = 4 · (−1)²⁰ = 4 · 1 = 4

Свойства 5

Степень частного (дроби)

Запомните!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

• Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
  (5 : 3)¹² = 5¹² : 3¹²
  

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Умножение и деление

Перейти к содержимому Перейти к навигации

Войти Завести аккаунт

Отследить заказ Обслуживание клиентов Наша компания Способы делать покупки Wishing Well

Связаться со службой поддержки

1-877-867-1920 С понедельника по пятницу с 9:00 до 17:00 по восточному поясному времени.

Свяжитесь с нами по электронной почте

Доступность

1. Дом
2. Магазин по темам
3. Математика
4. Умножение и деление

Новый

Добавлено в Колодец желаний

Распродажа

Распродажа

(5.0)

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Нет в наличии

Нет в наличии

Добавлено в список желаний

Нет в наличии

Нет в наличии

Добавлено в список желаний

Распродажа

Распродажа

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Зазор

Распродажа

(5. 0)

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Новый

Добавлено в Колодец Желаний

Доступ

Распродажа

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Распродажа

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец желаний

Добавлено в Колодец Желаний

Доступ

Распродажа

Добавлено в Колодец желаний

Распродажа

Добавлено в Колодец желаний

Распродажа

Добавлено в Колодец желаний

Используйте инструменты от Really Good Stuff, чтобы помочь учащимся освоить умножение и деление.

Четыре основные операции арифметики тесно связаны друг с другом. В то время как сложение и вычитание считаются первым шагом, умножение и деление требуют немного больше работы. Понятия преподаются с использованием основы сложения и вычитания, но также используется множество методов запоминания, чтобы запомнить основные вычисления.

Команда разработчиков продуктов Really Good Stuff состоит из преподавателей, которые помогали учащимся овладеть этими важными навыками, которые служат основой практически для всего, что они будут делать по математике на протяжении всей своей образовательной карьеры и за ее пределами.

Наши обучающие материалы по умножению и делению охватывают всю гамму. Разработанные учителями, они помогают напомнить учащимся о важных понятиях и эффективно учить, не говоря ни слова.

Множество вариантов

Наша коллекция учебных пособий выходит далеко за рамки таблицы умножения и деления. Наша продукция с привлекательным оформлением и стилем включает в себя:

• Игры и головоломки. Эти увлекательные занятия укрепляют стандарты учебной программы в увлекательной игровой форме, уменьшая рутинную работу с рабочими листами.
• Таблицы умножения. Эти важные инструменты помогают учащимся запоминать значения и понимать отношения между числами, а также сложные понятия, такие как квадраты и квадратные корни.
• Многократные плакаты: важные для понимания дробей и множителей в будущем, эти плакаты ярко окрашены и легко читаются.
• Наборы для успешного обучения, которые разбивают уроки на веселые и целенаправленные занятия.
• Флэш-карты, которые позволяют учащимся тренировать друг друга.
• Математические лайфхаки, которые показывают отличные советы и приемы для определения определенных значений.

Все они были разработаны с учетом текущих стандартов учебной программы, поэтому ваши ученики будут готовы к тестированию в конце года и другим целям. Эти математические инструменты, изготовленные из прочных материалов, год за годом будут помогать учащимся, не снимая большие суммы денег с вашего банковского счета.

Рекомендуется для вас

Предложение о бесплатной доставке действительно онлайн только при оплате 39 долларов США. минимальный заказ. Максимальная экономия $500. Используйте промокод SHIP39 при оформлении заказа. Бесплатная доставка распространяется только на стандартную наземную доставку в пределах 48 континентальных штатов США. Товары со значком грузовика на странице товара не допускаются. Не действует на предыдущие заказы. Можно комбинировать с другими избранными купонами или акциями. Действительно только при минимальном заказе на сумму 39 долларов США, после применения других скидок и рекламных акций, а также без учета налогов и стоимости доставки. Предложение заканчивается 31.05.20.

Действует онлайн до 31.05.20, 11:59вечера, восточноевропейское время. Введите код купона FLAT5 во время оформления заказа, чтобы воспользоваться предложением. Заказы должны быть отправлены на один адрес в пределах Соединенных Штатов. Только стандартная доставка. Исключает товары с ограничениями по доставке. Не использовать в сочетании с любыми другими предложениями или скидками. Не может быть использован для предыдущих покупок или товаров, изготовленных по индивидуальному заказу. Не подлежит перепродаже или использованию в коммерческих целях. Акция не суммируется с другими кодами купонов. Действует только на товары в наличии. Нет денежной стоимости. Недействительно там, где это запрещено. Возможны ограничения и изменения без предварительного уведомления.

Этот значок грузовика означает, что этот предмет требует особого обращения и/или доставки. Этот продукт не подлежит бесплатной или ускоренной доставке. В некоторых случаях товар может быть отправлен напрямую от производителя. Пожалуйста, нажмите здесь, чтобы увидеть наш раздел доставки для получения дополнительной информации.

Закрыть

Умножение и деление — Мастерство

Это заключительный пост в нашей серии постов в блоге о преподавании умножения и деления со 2-го по 5-й класс. В этом посте мы обсудим последние ингредиенты, необходимые для освоения умножения и деления.

В пятом классе мы расширяем наше понимание умножения и деления целых чисел на общие числа (до 4 цифр) и осваиваем 4 основных действия. В частности, мы хотим, чтобы учащиеся могли:

• Умножать на десятки, сотни и тысячи,
• Умножать четырехзначное число на двузначное,
• Делить на десятки, сотни и тысячи,
• Разделять 4-значный номер на 2-значный номер,
• Объедините операции, включающие 4 основные операции, поймите и примените порядок операций и
• Решите текстовые задачи на 4 действия.

У студентов не должно возникнуть проблем с этим, если они хорошо понимают свои значения мест, например.

Возможно, будет проще начать с умножения двузначных чисел на двузначные числа и повторить методы, которые мы изучили в предыдущих классах, например. Местные значения и распределительное свойство:

Как только мы освоимся с двузначными числами, распространим те же методы на четырехзначные числа, например. 2312×53.

Вместо того, чтобы сразу начинать с «правил» (например, удалять нули), мы можем начать с концептуального понимания, например. если у нас есть 1800 и мы хотим разделить на 10 равных частей, сколько должно быть в каждой части? 180. Что если мы хотим разделить на 100 равных частей? 18. Затем мы можем ввести «правила», такие как добавление/удаление нулей.

Это иногда сложно для студентов. Они должны сначала хорошо понимать деление на десятки, сотни и тысячи и четко понимать, почему, например. 360÷60 дает тот же ответ, что и 36÷6. Мы также можем использовать примеры с остатками, т.е.

Когда мы будем готовы, мы начнем с деления двузначных чисел на двузначные числа, обычно с остатком, например.

Наконец, мы расширим те же концепции до 4-значных чисел.

Чтобы в полной мере освоить умножение и деление, мы хотим ознакомиться с порядком выполнения 4 операций:

Здесь мы хотим подчеркнуть три момента:

Во-первых, основной порядок — от Слева направо :

Далее в круглых скобках:

Наконец, порядок действий:

Некоторые из этих правил учащиеся выучили неформально в младших классах, напр. при использовании распределительного свойства для умножения во втором классе в приведенном выше примере.

Теперь мы готовы решать общие задачи со словами, включающие все 4 операции, используя линейчатое моделирование, и по-настоящему освоить умножение и деление, например.

У Ханны и Франсин есть 120 долларов. У Ханны и Питера 230 долларов. У Питера в 6 раз больше денег, чем у Франсин. Сколько денег у Ханны?

Видео объяснение и план урока (ресурс участника)

• https://teachablemath.com/lesson-plans/grade-5-lesson-plans/grade-5-semester-1-week-3-6 /

Общие базовые стандарты

• A1 Используйте круглые и фигурные скобки в числовых выражениях и оценивайте выражения с этими символами.
• A2 Напишите простые выражения, которые записывают вычисления с числами, и интерпретируйте числовые выражения без их вычисления. Например, выразите вычисление «сложите 8 и 7, затем умножьте на 2» как 2 x (8 + 7).