При умножении дробей: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Умножение дробей

На этом уроке мы разберёмся, как умножают обыкновенные дроби. Выведем правила умножения обыкновенных дробей на натуральные числа, умножения обыкновенных дробей на обыкновенные дроби и умножения смешанных чисел.

Задача

Котёнок Васька съел на завтрак сосиски, на обед ещё сосиски и на ужин — сосиски. Сколько сосисок съел Васька за день?

Решение:

Из этой записи нетрудно заметить, что числитель дроби умножили на натуральное число, а знаменатель оставили таким же.

Запишем правило умножения обыкновенных дробей на натуральное число:

Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Примеры

Задача

Длина прямоугольника , а его ширина . Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

А теперь попробуем вывести правило умножения обыкновенных дробей. Смотрите, как получили числитель и знаменатель. Видно, что числитель первой дроби умножили на числитель второй дроби, аналогично и со знаменателями. Знаменатель одной дроби умножили на знаменатель второй дроби.

Следовательно, отсюда правило умножения обыкновенных дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно отдельно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем, а второй знаменателем.

Или короче можно сказать так: чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель умножить на знаменатель.

В буквенном виде это правило можно записать так:

Примеры

Мы научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Осталось разобраться, как умножают смешанные числа.

Примеры

Следовательно, запишем правило умножения смешанных чисел:

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби, а затем выполнить умножение дробей.

Умножение дробей имеет переместительное и сочетательное свойства, а также распределительное свойство относительно сложения и вычитания.

Справедливы также свойства нуля и единицы при умножении.

Итоги

Чтобы умножить дробь на натуральное число, можно на это число умножить числитель, оставив неизменным знаменатель.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала преобразовать их в неправильные дроби.

Умножение дробей. Деление Дробей.

Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.

Для того чтобы умножить две дроби надо:

перевести дроби в неправильные;
перемножить их числители и записать результат в числитель;
перемножить их знаменатели и записать результат в знаменатель;
если можно сократить;

Пример 1. Умножить \(\frac{7}{8}\) и \(\frac{5}{6}\):

При делении дробей вторую дробь нужно перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель, а затем выполнить умножение:

Две дроби называются взаимно обратными, если их произведение равно \(1\).

Пример: 3/4 и 4/3 являются взаимно обратными, так как в результате дают \(1\):

Также стоит помнить, что на ноль делить нельзя.

Задача 1. Умножить \(2\frac{5}{7} \) и \(2 \frac{8}{9}\).

Решение.

\(\frac{19}{7}*\frac{26}{9}\)=\(\frac{494}{63}\)\(=7\frac{53}{63}\)

Ответ: \(7\frac{53}{63}\).

Задача 2. Разделить \(2\frac{5}{6}\) и \(\frac{3}{4} \).

Решение.

\(\frac{17}{6}:\frac{3}{4}\)\(=\frac{17*4}{6*3}=\frac{17*2}{3*3}=\frac{34}{9}=3\frac{7}{9}\)

Ответ: \(3\frac{7}{9}\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Учитель по физике 7-11 классов, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ. Физика в рамках школьной программы. Буду вашим гидом в онлайн режиме. Помогу с домашним заданием по программе 7-11 классов. Подготовлю по любым темам для сдачи ЕГЭ. Основой успешного обучения считаю доверительный и комфортный контакт между преподавателем и учеником.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по русскому языку 2-9 классов, готовлю к ОГЭ. Магистр филологических наук. Объясняю понятным языком, чтобы ребёнок усвоил правило. Мой ученик набрал за ОГЭ 100 баллов. Если Вашему ребёнку требуется улучшить русский язык, или подготовиться к экзамену, готов Вам помочь.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Могилёвский государственный университет имени А.А.Кулешова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 5-8 классов.Магистр педагогических наук. С удовольствием помогу восполнить недостающие пробелы в знаниях и приложу все усилия, чтобы математика стала Вашим любимым предметом в школе. Дорогу осилит идущий, а математику — любящий ее.

Геометрия с нуля

— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие

сокращение дробей + полезные советы

Перед тем, как начать изучать тему умножения дробей напомним, что дробь — это отношение числителя к его знаменателю. Разберем также особенности деления и умножения сложных и больших дробей и сокращение дробей. В итоге сформулируем несколько правил, которые стоит придерживаться.

Умножение и деление дробей

Для того чтобы перемножить 2 и более дробей, нужно перемножить их все числители и записать в числитель получившийся результат, со знаменателем также просто, перемножаем все знаменатели дробей и записываем результат в знаменатель. Приведем простой пример, где мы рассмотрим перемножение 2-ух дробей:

(3/5) * (8/9) = (3*8)/(5*9) = 15/72.

Деление дробей можно считать операцией обратной перемножению 2 и более дробей, если мы возьмём деление одной дроби на другую, то мы должны “перевернуть” вторую дробь, не трогая при этом первую дробь.

Например:

(3/5) / (5/9) = (3*9) / (5*5) = 27/25 Важно помнить это свойство дроби при делении.

Умножение и деление с целым числом

Что делать если попалось умножение или деление с целым числом. В этом случае мы должны представить целое число как дробь, это можно сделать если взять это число и поделить на единицу, применяя правило деления или умножения как это написано сверху.

Например: 14 / (3/7 ) = (14/1) / (3/7) = (14*7) / (1*3) = 98/3

14 * 3/7 = (14/1) *(3/7) = (14*3) / (1*7)

Как видно в этих примерах всё сводится к обычному умножению или делению дробей.

Умножение и деление больших дробей

В старшей школе и на 1 курсах ВУЗов мы часто имеем дело с трёхэтажными дробями, а то и четырёхэтажными

В этом случае мы используем правило деления через 2 точки, “находя главное деление”, а после этого используем известное нам правило умножение или деления дробей, как видно из примера сделать это несложно.

Покажем это на примере :

—

— = (3/5) / (7/2) = (3*2) / (5*7) = 6/35

—

Здесь главное деление находится посередине, относительно него мы и будем делить, если мы сможем понять где находится главное деление или отношение.

Если у нас имеется 3 и более дроби, в которых мы не найдём скобок, нам нужно будет поступить следующим образом, то мы должны умножать или делить слева направо , как в любом другом примере, не содержащих дробей.

Например :

(1/3) / (3/2) *(3/4) = ((1*2) / (3*3) )*(3/4) = (2/9) * (3/4) = (6/36) = 1/6

Пример довольно всё хорошо объясняет нам.

Ещё существует один способ, который используется во множестве примеров деление единицы на нашу дробь, происходит “переворачивание” т.е. знаменатель попадёт в числитель, а числитель попадёт в знаменатель.

Например:

1 / (3/4) = (1/1) / (3/4) = (1*4) / ( 1*3) = 4/3 Такой приём используется также в доказательствах тождеств

Сокращение дробей при умножении и делении

Очень важно во время умножения и деления мы имеем право сокращать числитель со знаменателем, значительно сокращая нашу дробь

Например:

(3/5) * (2/4) = 6/20 = {Сокращаем на 2} = 3/10

Также результат мы можем представить в виде десятичной дроби, это просто сделать, используя калькулятор

3/10 = 0.3

Несколько полезных советов

Также мы советуюм всегда придерживаться нескольких правил:

1) Всегда сокращаем дробь до упора, таким образом мы значительно облегчим себе задачу.

2) Операцию деления единицы на дробь мы считаем в уме, просто переворачивая дробь.

3) Самое главное это аккуратность и внимательность, НИКОГДА не считайте в уме слишком много, так как огромное количество ошибок происходит именно когда человек, не считая нужным написать лишнюю строчку, совершает массу глупых ошибок.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: 8 класс
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspВозведение дроби в степень: отрицательная, буквенная, со степенью

деление и умножение смешанных дробей

Вы искали деление и умножение смешанных дробей? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как дробь умножить на дробь с разными знаменателями, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «деление и умножение смешанных дробей».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как деление и умножение смешанных дробей,как дробь умножить на дробь с разными знаменателями,как дробь умножить на другую дробь,как перемножать дроби с разными знаменателями,как перемножить дроби с разными знаменателями,как решать дроби с разными знаменателями на умножение и деление,как умножать дроби неправильные,как умножать дроби с разными знаменателями,как умножать дроби с разными знаменателями и целыми числами,как умножать дроби с разными знаменателями и числителями,как умножать дроби с целыми числами и разными знаменателями,как умножать и делить дроби с разными знаменателями и числителями,как умножать смешанные числа с разными знаменателями,как умножаются дроби с разными знаменателями,как умножить две дроби с разными знаменателями,как умножить дроби с разными знаменателями,как умножить дроби с разными знаменателями и целыми числами,как умножить дроби с разными знаменателями и числителями,как умножить дробь на дробь с разными знаменателями,как умножить дробь на дробь с разными знаменателями и числителями,как умножить дробь на неправильную дробь,как умножить неправильную дробь на дробь,перемножение дробей с разными знаменателями,правило умножения дробей с разными знаменателями,при умножении дробей с разными знаменателями,произведение дробей с разными знаменателями,смешанную дробь умножить натуральное число на дробь,сокращение дробей умножение дробей,умножение дробей с неизвестными,умножение дробей с разным знаменателем,умножение дробей с разными,умножение дробей с разными знаменателями,умножение дробей с разными знаменателями примеры с решением,умножение дробей с разными знаменателями с целыми числами,умножение дробей с целыми числами и разными знаменателями,умножение и деление дробей с разными знаменателями умножение и деление,умножение и деление смешанных дробей,умножение неправильных дробей,умножение с дробей,умножение смешанных дробей,умножение смешанных дробей с разными знаменателями,умножения дробей с разными знаменателями,умножить дроби. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и деление и умножение смешанных дробей. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как дробь умножить на другую дробь).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же деление и умножение смешанных дробей Онлайн?

Решить задачу деление и умножение смешанных дробей вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Тест с ответами: “Умножение дробей”

1. Выполните умножение: (3/8)*2:
а) 3/4 +
б) 6
в) 3/16

2. Ни одно число не является обратным самому себе, так ли это:
а) да
б) нет +
в) отчасти

3. Один фильм длится 1/2 ч. Сколько часов длятся 4 фильма:
а) 1/8 ч
б) 8 ч
в) 2 ч +

4. Число, обратное натуральному числу, — это дробь, числитель которой 1, а знаменатель — само натуральное число, так ли это:
а) да +
б) нет
в) отчасти

5. Длина прямоугольника равна 1/7 см, а ширина 14 см. Чему равна площадь прямоугольника:
а) 1/98 см
б) 1/2 см
в) 2 см +

6. Число 1 обратно самому себе, так ли это:
а) нет
б) да +
в) зависит от условия задачи

7. Как можно записать эту запись в виде умножения дробей: 3/4 + 3/4 + 3/4 + 3/4:
а) (3/4)*(4/3)
б) (3/4)*(1/4)
в) (3/4)*4 +

8. Любое число имеет обратное число, так ли это:
а) нет +
б) да
в) отчасти

9. Найдите произведение дробей (35/18)*(9/42):
а) 7/12
б) 315/756
в) 5/12 +

10. Любое число, кроме нуля имеет обратное число, так ли это:
а) нет
б) да +
в) зависит от условия задачи

11. Найти площадь квадрата со стороной 3/4 см:
а) 9/16 +
б) 9/4
в) 3/16

12. Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число:
а) ей не соответствующее
б) ей соответствующее +
в) зависит от условия задачи

13. Чему равно произведение дроби 4/5 на 10:
а) 40/5 +
б) 40/50
в) 4/50

14. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число:
а) на другую дробь
б) зависит от условия задачи
в) на эту дробь +

15. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо:
а) ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения +
б) ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения
в) ее числитель и знаменатель умножить на это число

16. Сокращение дробей при расчётах:
а) усложнит ваши вычисления
б) облегчит ваши вычисления +
в) не играет роли

17. Чтобы умножить дробь на дробь, надо:
а) найти сумму числителей и знаменателей дробей
б) привести дроби к общему знаменателю и сложить их
в) найти произведение числителей и знаменателей этих дробей +

18. Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в … число:
а) натуральное
б) смешанное +
в) оба варианта верны

19. Выполните умножение:
3/11*3:
а) 3/33
б) 6/11
в) 9/11 +

20. Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить:
а) по правилу умножения неправильных дробей
б) по правилу умножения обыкновенных дробей +
в) зависит от условия задачи

21. Выполните умножение:
2/3*4/7:
а) 8/21 +
б) 26/21
в) 6/21

22. Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель:
а) заменить на знаменатель
б) оставить прежним +
в) зависит от условия задачи

23. Найдите периметр квадрата со стороной 4/23 см:
а) 8/23 кв.см
б) 8/23 см
в) 16/23 см +

24. При умножении дробей с разными знаменателями … приводить их к общему знаменателю:
а) нужно
б) не нужно +
в) когда как

25. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 1/3 м и 2/5 м:
а) 3/8 кв.м
б) 2/15 м
в) 2/15 кв. м +

26. Чтобы найти произведение смешанных чисел, необходимо:
а) преобразовывать смешанные дроби в правильные
б) преобразовывать смешанные дроби в неправильные +
в) зависит от условий задачи

27. Выполните умножение:
1/6*3/5:
а) 1/10 +
б) 3/30
в) 3/11

28. Чтобы найти произведение смешанных чисел, необходимо:
а) сложить числители и знаменатели дробей
б) вычесть числители и знаменатели дробей
в) перемножить числители и знаменатели дробей +

29. Произведение двух обыкновенных дробей — это дробь, числитель которой равен произведению …, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей:
а) числителей +
б) знаменателей
в) зависит от условий задачи

30. Чтобы найти произведение смешанных чисел, необходимо:
а) не сокращать дробь
б) сократить дробь +
в) зависит от условия задачи

4 умножение дробей. Умножение дробей

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.

Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.

Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

Табличка на двери

«Умножение дробей» — математика, презентации

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

№327 Какая часть прямоугольника закрашена?1588

Номер слайда 2

№329 Упростите выражение:12∙3𝑎= 0,6𝑎∙7𝑏= 0,8𝑚∙0,5𝑛∙4𝑝= 36𝑎 4,2𝑎𝑏 1,6𝑚𝑛𝑝

Номер слайда 3

№330 Раскройте скобки:2(𝑥+7)= 7(5−𝑎)= 𝑐−0,4∙1,2= 2𝑥+14 35−7𝑎 1,2𝑎−0,48

Номер слайда 4

№331 Упростите выражение:1,6𝑏−0,5𝑏= 3𝑥+17𝑥−5𝑥= 5,6𝑎+0,4𝑎−2= 1,1𝑏 15𝑥 6𝑎−2

Номер слайда 5

Умножение дробей6 класс, по УМК А. Г. Мерзляк

Номер слайда 6

ABCD — квадрат29 дм Чему равен периметр Р этого квадрата?𝑃=29+29+29+29= 89 дм Можно найти Р с помощью произведения𝑃=29∙4=89дм Как умножить дробь на натуральное число?

Номер слайда 7

 Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.𝑎𝑏∙𝑛=𝑎∙𝑛𝑏 𝑎𝑏∙0=0 0∙𝑎𝑏=0 Также верными являются следующие равенства

Номер слайда 8

А как умножить дробь на дробь?47∙23 2121121421∙21=441 12∙14=168 Тогда площадь закрашенной части равна:168441= :356147= :7821= 47∙23 =4∙27∙3=821 А как умножить дробь на дробь?

Номер слайда 9

 Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.𝑎𝑏∙с𝑑=𝑎∙𝑐𝑏∙𝑑 причём, 𝑏≠0, 𝑑≠0

Номер слайда 10

Свойства умножения дробей

Номер слайда 11

Пример 1 Выполните действия:1) 49∙1528= 4∙159∙28= 1753521 2) 1311∙1935= 1411∙4435= 14∙4411∙35= 251485 =135

Номер слайда 12

Пример 2 Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:1) 3−56+79∙18= 3∙18 −56∙18 +79∙18= 54 −5∙186 +7∙189= 3112=54−15 +14= 53

Номер слайда 13

Пример 2 Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:2) 2311∙716+1811∙716= 716∙2311+1811= 716∙31111= 716∙4= =7∙416= 1474= 134

Номер слайда 14

1 Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.2 Сформулируйте правило умножения двух дробей.3 Чему равно произведение дроби и числа 0?4 Какие свойства умножения выполняются при умножении дробей?

Номер слайда 15

№333 Выполните умножение:№334 на дом1) 213∙5= 2) 417∙3= 3) 89∙2= 4) 449∙7= 5) 7∙340= 6) 6∙1518= 7) 712∙24= 8) 45∙815=

Номер слайда 16

№335 Найдите произведение:№336 на дом1) 23∙35= 2) 34∙56= 3) 47∙79= 4) 1516∙4855=

Номер слайда 17

№335 Найдите произведение:№336 на дом5) 2225∙1077= 6) 1324∙1639= 7) 635∙1415= 8) 3685∙3439=

Номер слайда 18

Объяснение урока: Умножение дробей | Nagwa

В этом объяснителе мы научимся находить произведение двух правильных дробей путем умножения числителей и знаменателей и записывать ответ в простейшей форме.

Давайте быстро вспомним, что такое дробь. Дробь сравнивает часть с целым и описывает то, что мы называем пропорцией. Знаменатель дроби — это количество равных долей (или «частей»), на которые делится целое, а числитель — это количество этих акций, составляющих рассматриваемую нами часть.

Теперь мы, конечно, можем выполнять операции над дробями. Мы можем добавить четверть 14 к половина 12, что дает нам три четверти 34, или решить, что одна десятая часть торта — это недостаточно большой кусок, и взять вместо этого два среза (т. Е. 2 × 110 = 15). В последнем примере мы умножили дробь на целое число. Здесь нас интересует умножение дроби на другую дробь. Это можно понимать как долю доли данного целого.

Рассмотрим следующую ситуацию: Каждый из двух человек съедает на обед по одной трети 13 остатков пиццы, приготовленной накануне.Остаток составляет две пятых 25 всей пиццы. Какую часть пиццы они собираются съесть вместе? Эта часть пиццы показана на диаграмме.

Чтобы узнать, какая это часть пиццы, нам нужно разделить остаток (25 штук) на 3 равные доли и взять две из них. Как мы видим на следующей диаграмме, деление 25 на 3 дает 215.

Обратите внимание, что деление дроби (здесь 25) на 3 эквивалентно умножению ее знаменателя на 3. А часть двух 215 — это просто 415.

Подобно тому, как дробь данного числа получается путем умножения дроби на число, дробь дроби эквивалентна умножению дробей. Итак, 23 из 25 от всего дается 23×25=415.

Мы также можем представить произведение дробей как площадь, учитывая, что обе дроби описывают длины (как доли единицы длины). Предыдущий пример 23×25 можно представить как заштрихованную область внутри единичного квадрата. (я.е., стороны 1 и площади 1) на показанной схеме.

Размеры серого прямоугольника равны 23 и 25, поэтому дана его площадь на 23×25. Мы видим, что единичный квадрат разделен на 15 равных частей, каждая из которых имеет площадь 115. Серый прямоугольник состоит из 4-х штук. Следовательно, его площадь равна 415. Мы снова проиллюстрировали тот факт, что 23×25=415.

Обратите внимание, что если бы квадрат был нашей пиццей, которую мы сначала разрезали на 5 равных частей (розовые линии), часть двух третей двух пятых действительно будет представлена заштрихованной областью.

Мы видели, что результат умножения дробей получается простым перемножением числителей вместе и знаменателей вместе: 23×25=2×23×5=415.

Это квадратное изображение ясно показывает, почему: произведение знаменателей дает количество равных долей, на которые был разделен квадрат, а произведение числителей действительно дает количество долей, составляющих заштрихованную площадь.

Зная это, умножать дроби довольно просто.Тем не менее, мы часто хотим выразить дробь в простейшем виде. А чтобы не делать двойную работу, эффективнее при умножении дробей, искать общие множители между числителем и знаменателем, а не умножать числители вместе и знаменатели вместе и только потом уменьшать дробь.

Давайте посмотрим на первый пример, как это работает.

Пример 1. Умножение простых дробей

Вычислите 25×34, дав ответ в простейшей форме.

Ответ

Когда мы перемножаем дроби, получается дробь, числитель которой равен произведению всех числителей исходных дробей, а знаменатель равен произведению всех знаменателей исходных дробей. Итак, здесь у нас есть 25×34=2×35×4.

Теперь нам нужно проверить, есть ли какие-то общие множители между числителем (2×3) и знаменатель (5×4). Мы видим, что 2 является общим делителем 2 в числителе и 4 в знаменателе.Мы можем переписать нашу дробь как 2×35×4=2×35×2×2, и мы видим, что его можно упростить на 2: 2×35×2×2=35×2.

Теперь мы можем провести умножение в знаменателе, что приводит к 25×34=310.

Давайте рассмотрим еще один пример с тремя дробями.

Пример 2. Умножение трех дробей

Вычислить 2144×67×1112, давая ответ в виде дроби в простейшей форме.

Ответ

Когда мы умножаем дроби, получается дробь, в которой числитель равен произведение всех числителей исходных дробей, а знаменатель — произведение всех знаменатели исходных дробей. Итак, здесь у нас есть 2144×37×1112=21×3×1144×7×12.

Теперь нам нужно проверить, есть ли какие-то общие множители между числителем (21×3×11) и знаменатель (44×7×12).

Мы видим, что 21 и 7 имеют общий множитель (21=7×3); 3 и 12 имеют общий делитель (12=3×4); а 11 и 44 имеют общий множитель (44=11×4).Следовательно, мы можем переписать наша фракция как 21×3×1144×7×12=7×3×3×1111×4×7×3×4, который можно упростить на 3, 7 и 11: 7×3×3×1111×4×7×3×4=34×4.

Цифры здесь представлены как сумма факторов, чтобы точно показать, что происходит. если ты знакомы с методом, можно просто зачеркнуть, например, 21 и 7 и написать 3 в числитель как результат упрощения на 7.

Теперь мы можем произвести умножение в знаменателе, что приводит к 2144×37×1112=316.

Рассмотрим пример со смешанными числами.

Пример 3. Умножение смешанных чисел

Вычислить 323×123.

Ответ

Здесь нас просят умножить смешанные числа. Самый простой способ здесь — преобразовать смешанный числа в дроби, умножить дроби и преобразовать результат обратно в смешанное число.

Оба смешанных числа, представленные здесь, имеют дробные части как трети, поэтому мы собираемся преобразовать их на трети.

Мы находим, что 323=3+23=93+23=113 и 123=33+23=53.

Теперь нам нужно перемножить эти две дроби вместе: 113×53=559.

И, наконец, преобразуем эту дробь обратно в смешанное число. 6 умножить на 9 в 55, с остаток от 1, поэтому мы получаем 559=6×9+19=619. Ответ: 619.

В следующем примере используются три смешанных числа.

Пример 4. Умножение трех смешанных чисел

Вычислить 112×334×179.

Ответ

Здесь нас просят умножать смешанные числа. Самый простой способ здесь — преобразовать смешанный числа в дроби, умножить дроби и преобразовать результат обратно в смешанное число.

Мы находим, что 112=22+12=32 334=124+34=154 179=99+79=169.

Теперь нам нужно перемножить эти три дроби вместе: 32×154×169.

Прежде чем перемножать числители вместе и знаменатели вместе, мы проверяем на общие множители между числителями и знаменателями.Мы находим, что 3 и 15 будут упростить с 9, а также 16 с 2 и 4: 3×15×1682×4×93=5×21=10.

Ответ: 10.

Последний пример — задача со словами.

Пример 5. Умножение смешанных чисел в словесной задаче

Найдите объем деревянного ящика размером 235×318×312 футов.

Ответ

Нам даны три измерения деревянного ящика. Мы знаем, что форма коробки кубовидный. Следовательно, чтобы найти его объем, нам нужно умножить его три измерения вместе.Поскольку размеры в футах даны как смешанные числа, мы собираемся, во-первых, преобразовать смешанные числа в неправильные дроби.

Мы находим, что 235=105+35=135 318=248+18=258 312=62+12=72.

Теперь нам нужно перемножить эти три дроби вместе: 135×258×72.

Прежде чем перемножать числители вместе и знаменатели вместе, мы проверяем на общие множители между числителями и знаменателями.Мы находим, что 25 упростит с 5: 13×25×75×8×2=13×5×78×2.

Выполняя умножение, мы находим 45516. Наконец, нам нужно преобразовать его обратно в смешанное номер. 28 умножить на 16 в 455, а в остатке 7; следовательно, 45516=28716.

Ответ: объем деревянного ящика 28716 футов ³ .

Ключевые моменты

Дробь сравнивает часть с целым. Знаменатель дроби — это количество равные доли (или «части»), на которые делится целое, а числитель — это число из этих акций, которые составляют часть, которую мы рассматриваем.
Доля другой дроби данного целого находится путем умножения дроби на другая фракция.
Произведение дробей также можно интерпретировать как площадь, учитывая, что обе дроби описывают длины (как доли единицы длины). Например, 23×25 возможно представлен как заштрихованная площадь внутри единичного квадрата (т. е. стороны 1 и площади 1) в показана схема.

Песня Чимберока об умножении дробей | Видео, занятия и рабочие листы.

Знаете ли вы, что ученые теперь согласны с тем, что существовал динозавр по имени Бронтозавр? Это как-то связано с умножением дробей? Вам придется посмотреть это видео, чтобы узнать. У этой песни запоминающийся припев и довольно умный текст, который привлечет внимание каждого ученика в вашем классе.

Умножение дробей Текст песни:

Трое из нас нашли сокровище во время подводного плавания,
Итак, мы вытащили наше сокровище на корабль.
Так как мы были так благословлены этой редкостью,
Мы решили отдать половину на благотворительность.
Мы взяли остаток и разделили его на три части;
Треть остатка по-прежнему была огромной зарплатой!
Одна треть мне, половина на благотворительность,
Так какая же моя доля? Давайте умножим и посмотрим…

Когда нам нужно умножить две дроби,
Вот наша реакция:
Умножить числители,
Затем умножить знаменатели.

Мы с другом копали кости динозавров.
Решили искать в прямоугольной зоне;
Мы разделились поровну между собой.
В первый же день я нашел кость бронтозавра!
Я нашел еще несколько к концу второго дня,
Когда три восьмых моей половины были обысканы.
Из моей половины я исследовал три восьмых;
какую часть всего пространства я раскопал?

Узнать больше

Эта песня предназначена для стандартов обучения TEKS и Common Core для учащихся с 4 по 6 класс.Ознакомьтесь с соответствующими стандартами здесь или углубитесь в умножение дробей здесь.

Если вам интересно получить идеи о том, как спланировать надежный урок «Умножение дробей», соответствующий стандартам, мы рекомендуем ознакомиться с рекомендациями Instructure по общим базовым стандартам 4.NF.4 и 5.NF.4. Эти страницы помогают разбить стандартный язык, указать соответствующий классу уровень строгости для каждой концепции и предлагают различные предложения для занятий (начальные уроки), которые помогают учащимся достичь своих учебных целей.

Чтобы продолжить просмотр библиотеки математических видеоматериалов Numberock, щелкните здесь. Чтобы получить доступ к растущей библиотеке премиум-контента Numberock, нажмите здесь.

Упрощайте дроби перед их умножением

В этом уроке для 5-го класса я объясняю, как упростить дроби перед их умножением. Это чрезвычайно полезная техника. Это значительно упрощает умножение дробей, потому что умножаемые числа после упрощения становятся меньше.

Новое обозначение

Мы начинаем использование нового способа обозначения упрощающих дробей.Когда числитель или
знаменатель упрощаются, мы вычеркиваем его знаком косую черту и напишите новый
числитель или знаменатель рядом с ним (либо над ним, либо под этим).

Номер вы делите на (4) , а не указывается в любом способ! Вы только
думаете об этом в уме: «Я делю 12 на 4, и получаю 3. Я делим 20 на 4 и получаем 5».

Возможно, вы не видите никакого преимущества над «старым» методом, но этот ярлык скоро
пригодится.

1. Упростите дроби. Писать упрощенный числитель и знаменатель выше и ниже старых.

а.

б.

в.

д.

Прежде чем умножать, можно написать другой эквивалент,
более простая дробь вместо дроби.

В первый пример на правильно, 3/6 упрощается до 1/2
перед умножением. Мы напишите крошечную «1» над «3»

1
3

6
2

2
4

10
5

и крошечная «2» ниже «6».В другом примере 4/10 упрощено до 2/5 перед умножением.

Почему это работает? Очевидно, мы можем написать 1/2 вместо 3/6 или 2/5 вместо 4/10, так как они эквивалентны .

2. Упростить одно или обе дроби перед умножением. Используйте эквивалентные дроби. Посмотрите на пример.

а.

3
6

10
5

1
2

14
7

3 × 1

5 × 7

б.

в.

д.

е.

ф.

Вы также можете упростить «крест-накрест». Посмотрите на этот пример: →

Упростим 3 и 6, записав на их место 1 и 2. Думайте об этом как о дробь
3/6 упрощается до 1/2, но 3 и 6 расположены напротив друг друга.

Почему нам разрешено упростить таким образом?

Сравните приведенную выше задачу с этой:

. (Это почти то же самое, не так ли?) Конечно

вы можете видеть, что в этой задаче мы могли упростите 3/6 до 1/2 перед умножением.

И эти две задачи на умножение по сути та же проблема , потому что они

оба приводят к одному и тому же выражению и одному и тому же ответу: первый становится

7 × 3

6 × 9

и второй становится

7 × 3

9 × 6

(без упрощения).Следовательно, поскольку вы можете

упростить 3/6 в 1/2 в одной задаче, вы можете сделать то же самое и в другом.

3. Упрощайте «крест-накрест» перед умножением.

а.

б.

в.

д.

е.

ф.

Вы можете даже упростить крест-накрест несколько раз перед умножением.

Во-первых, упростите 3 и 6 на 1 и 2.

Тогда упрости 5 и 15 на 1 и 3.

4. Упрощайте, прежде чем умножать.

а.

б.

в.

д.

е.

ф.

100

Упрощение

2 7

× 45 . Вы можете подумать об этом проблема двумя способами:

1) Думайте о дробной строке как о делении. Поэтому проблема то же самое, что 27 ÷ 45 × 45.
Всякий раз, когда вы умножаете и делите на одно и то же число, вы получаете по сути ничего не делал.
Итак, вы можете вычеркнуть обе цифры 45 в исходной задаче, и ответ будет просто 27.

2) Сначала замени целое число 45 на дробь 45/1.Проблема сейчас

Теперь вы можете упростить крест-накрест, и умножить:

= 27,

5. Упрощай и умножай.

а.

× 77 =

б. 13 ×

с.

14 × 16

д.

× 24 =

эл. 54 ×

ф.

16 × 5

6.Игрушечный блок имеет высоту 3/8 дюйма. Какой высоты стопка из 8 штук?

Стопка из 20 штук?

7. Сандра покупает 3/4 кг мяса каждую неделю. Сколько мяса она покупает в год?

8. На следующее утро после его дня рождения есть 12/20 праздничного торта Сэма. левый. Он съедает 2/3 того, что осталось.
Когда вы умножите эти две дроби, во что превратится ваш ответ значит или сказать тебе?

Чтобы умножить три или более дроби, применяются те же принципы.Вы умножаете все числители и все знаменатели, чтобы получить числитель и знаменатель ответа.

Пример. Мы можем многое упростить перед умножением на Эта проблема:

1.Упростите 10 и 25 до
2 и 5 (разделив на 5).

2. Упростите 14 и 6
до 7 и 3.

3. Наконец, упростите 5 и 5,
оставив 1 и 1.

9. Умножьте три дроби. Упрощайте перед умножением.

а.

б.

с.

д.

эл.

ф.

10. а. Нарисуйте модель стержня для этой ситуации. Мэтью платит 1/5 своего зарплата в налогах.
Из того, что осталось, он использует 1/4, чтобы покупать продукты.

б. Предположим, зарплата Мэтью составляет 2450 долларов.
Подсчитайте, сколько он использует для продукты.

Эпилог: Что произойдет, если вы не упростите перед умножением
? Сравните две задачи справа →

Джек сделал все принадлежащий упрощение перед умножение.
Тина упрощается после умножения. Оба они получили
правильный ответ. Упрощение перед умножением делает
НЕ изменить окончательный ответ — это просто упрощает
умножение , потому что цифры меньше !

280

140

Тина умножает первой, чтобы получить 42/280.
Наконец, она упрощает свой ответ за два
шага, сначала до 21/140, а затем до 3/20.

1
7

35
5

3
6

8
4

Джек упрощает
перед умножением.

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Fractions 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторское право © Мария Миллер.

Умножение дробей

Умножение дробей можно выполнить, выполнив несколько относительно простых шагов. В отличие от сложения или вычитания дробей, нам не нужен общий знаменатель. Мы можем сразу умножить любые две или более дроби, следуя этим правилам:

Умножить все числители каждой умножаемой дроби
Умножить все знаменатели каждой умножаемой дроби (порядок шагов 1 и 2 можно поменять местами)
Запишите произведение числителей и знаменателей в числитель и знаменатель новой дроби соответственно
При необходимости упростите результат

Примеры

Решить:

Сначала умножаем числители:

2 × 4 = 8

Далее умножьте знаменатели:

5 × 7 = 35

Итак,

Числа 8 и 35 не имеют общих множителей, поэтому дробь уже упрощена.

В следующем примере нам нужно упростить:

Приведенная выше дробь еще не упрощена, потому что 10 и 54 делят делитель 2. Таким образом, мы делим 10 на 2 и 54 на 2, чтобы получить:

Это эквивалентные дроби.

Умножение дробей и целых чисел

Процесс умножения дробей и целых чисел в основном одинаков. Нам просто нужно записать целое число в виде дроби, чтобы умножить его. Целое число в форме дроби может быть представлено так называемой неправильной дробью.Проще говоря, неправильная дробь — это дробь, значение которой больше 1,

Чтобы представить целое число в форме дроби, мы можем просто рассматривать целое число как числитель дроби, поставив 1 в знаменателе, поскольку 5 ÷ 1 по-прежнему равно 5. Это то же число, но оно позволяет нам увидеть целое число 5 как дробь.

Примеры

Решить:

Сначала перепишем 12 как целое число, затем перемножим дроби:

Как только вы освоитесь с целыми числами и дробями, нет необходимости записывать целое число в форме дроби.1, умноженная на что-либо в знаменателе, сохранит знаменатель таким же, поэтому нам просто нужно умножить целое число на числитель, а затем упростить дробь.

Умножение смешанных дробей

Умножение смешанных дробей в основном просто требует, чтобы мы преобразовали смешанную дробь в неправильную перед умножением.

Пример

Решить:

Сначала мы рассмотрим смешанное число, . Чтобы преобразовать это в неправильную дробь, мы умножаем знаменатель 4 на 2, а затем добавляем числитель.Это дает нам числитель неправильной дроби, а знаменатель неправильной дроби остается прежним. Итак:

2 × 4 + 3 = 11, значит

Чтобы понять почему, мы можем рассмотреть это как задачу сложения дробей. Мы знаем, что нам нужен общий знаменатель, чтобы иметь возможность складывать дроби. Число 2 в эквивалентных долях равно . Мы могли бы взглянуть на это по-другому: 2 = 1 + 1, а 1 с общим знаменателем эквивалентно . Независимо от того, как мы представим число 2 в виде дробей, при сложении его с числом мы получим:

, который мы получили, когда мы конвертировали, используя метод, описанный выше.

Теперь мы можем закончить задачу на умножение:

Это уже упрощено, но если бы мы захотели, мы могли бы также представить его в смешанных дробях, выполнив шаги, показанные выше, в обратном порядке.

77 делит 36 дважды, оставляя в остатке 5, поэтому:

Урок по умножению дробей для 4 и 5 классов

A Passion for Fractions Стенограмма – окончательная редакция программы
Luna Productions
Программа: Passion For Fractions
Учитель: Бекки Питтард

Голосовая идентификация: Учитель в классе/Учитель на собеседовании:
Ученик (для любого/всех говорящих учеников)

Учитель в классе: Меня зовут Бекки Питтард, я преподаю в 4-м и 5-м классах начальной школы Pathways в Ормон-Бич, Флорида.Сегодняшний урок: мы сосредоточимся на страсти к дробям.

Учитель в классе: Я попрошу вас взять свой рабочий лист.

Интервью с учителем: Мы строим урок на основе рассказа о том, что дети собирались пробежать здесь, в школе, нашу дорожку длиной ¾ мили.

Учитель в классе: После того, как вы пробежите 2/3 из этих ¾ мили этой дорожки, мы собираемся опубликовать загадку, и теперь нам интересно, сколько мили составляют эти 2/3 пути по дорожке. ?

Интервью с учителем: Задача учеников состояла в том, чтобы выяснить, какая часть мили составляет отметку в 2/3.

Учитель в классе: сегодня утром ваша задача — просмотреть эти изображения и выяснить, какие из них верны, верны, хороши, полезны, а какие неточны.

Интервью с учителем: Ученикам были даны четыре разных изображения, потому что разные люди видят рисунки по-разному. Таким образом, одно представление может иметь смысл для одного ребенка, но другое представление может иметь смысл для другого ребенка. Так что это была еще одна причина поместить все четыре на одном листе бумаги, предоставив им разные точки входа для понимания этой идеи.

Учитель в классе: Что вы пытаетесь выяснить? Дай мне это просто? В___? Что вы пытаетесь найти?

Ученик: Мы пытаемся выяснить, сколько составляют 2/3 от 3/4. Вот и пытаемся выяснить, где будет загадка на целой миле.

Учитель в классе: А, хорошо. Так вот что мы пытаемся выяснить. Какая информация в нашей истории поможет вам это выяснить? Мисс Кортни?

Студент: Определенно дроби, чтобы вы знали, с какими числами имеете дело.

Учитель в классе: Хорошо, какие дроби… это?

Студент: 2/3 и 3/4

Учитель в классе: Хорошо, очень хорошо. Тогда все в порядке. Это будет ваше время подумать в одиночестве.

Интервью с учителем: После того, как мы проанализировали историю и я чувствую, что дети понимают свою миссию в этой истории, я призываю их использовать индивидуальное время для размышлений. Меня беспокоит, что дети сразу же начинают говорить со своими сверстниками, и один ребенок все думает, а другой ребенок делает очень мало, поэтому это индивидуальное время для размышлений дает каждому ребенку время подумать и рассуждать, прежде чем кто-то заговорит с ними.

Учитель в классе: Что представляют собой 3/4 в нашей истории? Итак, когда вы вернетесь к самой истории, что такое 3/4?

Ученик: Вот сколько составляет путь в миле.

Учитель в классе: Хорошо, а что такое 2/3? Почему это… почему это было окрашено?

Ученик: Потому что это то, к чему ты идешь… это когда бегун завершает дистанцию.

Учитель в классе: хорошо, молодец

Ученик: Я не думаю, что они рассчитали время правильно.

Интервью с учителем: Несколько учеников перешли сразу к цифрам и не сосредоточились на рисунке. Это часто случается со студентами среднего уровня, особенно с теми, кто обучен работе с алгоритмами и числами и не пытается осмыслить, что на самом деле происходит в математике.

Учитель в классе: Я просто хочу точно знать, что здесь не так?

Ученик: Я действительно не знаю, как _____ 6/9

Учитель в классе: Хорошо, тогда вы хотите вернуться к рисованию.Не позволяйте цифрам отвлекать вас. Мы действительно смотрим на сами рисунки. С помощью карандаша покажи мне, что составляет одну четвертую часть этого прямоугольника.

Интервью с учителем: После того, как у детей есть время на индивидуальное обдумывание, я обычно решаю, когда остановиться, потому что я начну видеть много детей, которые застряли.

Ученик: Я не понимаю

Учитель в интервью: Итак, я даю детям выбор.

Учитель в классе: Позвольте мне дать вам возможность.Если вы хотите продолжить работать самостоятельно, вы можете это сделать. Если вы хотите обратиться к людям за вашим столом, вы можете это сделать. Повернитесь и поговорите об этом с кем-нибудь за вашим столом и посмотрите, где вы находитесь.

Ученик: Потому что здесь у него ____ четыре, но он не разделен на три части, как эти три.

Ученик: У меня еще есть один вопрос…..

Интервью учителя: Я думаю, что многих из нас, когда мы росли, учили запоминать шаги и алгоритмы.Этот урок полностью противоречит этому, потому что дети ожидают, что они будут рассуждать, думать, понимать.

Ученик: На этом рисунке 1/3 3/4 равна 1/4 всей мили

Интервью с учителем: Одной из трудностей в рассуждениях по математике, которые мы провели сегодня, было то, что у детей было два отдельных целого, о которых они могли рассуждать, и они также рассуждали в системе счисления, которую мы называем дробями. Это само по себе увеличивает сложность их рассуждений.

Ученик: Итак, 2/3 выстраиваются прямо здесь, и это ….. если взять целую милю, это 2/4 целой мили, а 2/4 равно ½, поэтому я думаю, что это правильно

Студент: Вы понимаете это?

Студент: Вовсе нет.

Студент: Кортни, ты понимаешь последнее, как они это сделали….

Ученик: Да, я понимаю

Студент: Они зашли слишком далеко ____. У них 4, потом 3, но продолжает

Студент: Что вы имеете в виду, что это продолжается?

Учитель в интервью: Когда вы даете им свободу мыслить, когда вы цените то, что они делают, чтобы они могли думать, я думаю, что детям это нравится, и у них развивается страсть к занятиям математикой, потому что они рассматривают это как загадки.

Учитель в классе: Кайли, не могла бы ты подойти и поговорить с нами об этом первом рисунке. Как это представляет историю?

Интервью с учителем: Первая стратегия решения, сам рисунок, была очень простой. Он разделил милю на четверти, а затем просто посчитал три из них третей наших 2/3, и таким образом ответ стал двумя из этих третей.

Ученик: Так вот где они должны увидеть загадку.

Учитель в классе: Где все? Где миля?

Ученик: Как здесь

Учитель в классе: Хорошо, тогда мы сказали, что наш путь составляет 3/4 этой мили.Не могли бы вы указать, где находятся 3/4 этой мили в представлении. В ПОРЯДКЕ. Итак, мы сказали, что загадка будет показана на 2/3 пути вокруг этих 3/4. Так где же 2/3, где будет эта загадка?

Ученик: 2/3 класса

Учитель в классе: Хорошо. У вас есть другие вопросы к Кайли? Она очень хорошо объясняет.

Студент: Эмили?

Ученик: Я запутался, что означают полоски и оранжевые кусочки.

Ученик: И эти двое были окрашены в такой цвет, потому что в конце вы увидите загадку

Интервью с учителем: Когда ученица спросила о цветах на рисунке, и она была сбита с толку цветами в изображении, это был для меня момент ах-ха, что я не понимаю, о чем думают дети, что Я предполагал, что они это знают.

Учитель в классе: Тогда кто-нибудь может сказать нам, что означают коробки, которые не… оранжевые, но не имеют синих полос? Б___?

Ученик: Единственные оранжевые блоки, как блоки, да… Они представляют собой… Они представляют собой часть третьего, в последних третях, потому что загадка только на 2/3 из них и есть последняя треть. Так что вам все еще нужно включить эту треть.

Учитель в классе: Эдвард, как ты думаешь, ты сможешь это объяснить?

Ученик: Причина, по которой я думаю, что это неправильно, заключается в том, что они посчитали три части каждой из 3/4.А 6/9 — это не миля, это трек. На самом деле здесь есть еще три части, и если вы сделаете 3 раза по 4, получится 12. На самом деле это будет 6/12 мили, а у них только 6/9, а 6/12 тоже ½. У них 6/9 мили, что неверно

Учитель в классе: Кто из вас думал, что представление было неправильным? Вау! Тот рисунок неправильный. Эдвард проделал большую работу по объяснению, но я попрошу его повторить это еще раз, и не могли бы вы перефразировать для нас еще раз, почему этот рисунок неправильный?

Студент: Само рисование или математика?

Учитель в классе: Сам рисунок.Чего не хватает самому рисунку?

Студент: Это не показывает, что эта миля разделена на 3 части, это в основном показывает, что ее вообще нет, но когда вы говорите «миля», вы должны учитывать, насколько велика общая миля.

Учитель в классе: Значит, этот человек просто забыл подумать о целом. Что такое целое? Одна миля. Они хоть и трасса была целая, а это не наша вся, наша целая миля. Итак, превосходные рассуждения, дамы и господа, которые сказали, что это было неправильно.Я хочу, чтобы вы на мгновение остановились и посмотрели на все эти изображения. Что общего во всех правильных представлениях? Эшли?

Ученик: У них у всех примерно 3/4 заштрихованы для трека

Учитель в классе: Абсолютно. Так что все они признают длину трека. Аарон?

Студент: Они все показывают одну целую милю

Учитель в классе: _____?

Ученик: Они все разделились на три части и лайкнули в конце, потому что они оставили часть, которая не была частью трека

Учитель в классе: Хорошо, пожалуйста, откройте свой шаблон и давайте определим, какие знания я хочу, чтобы вы вынесли из этого урока.Я бы хотел, чтобы вы забрали часть знания, на которое намекал Иона. Когда вы умножаете дроби меньше 1, вы берете часть части.

Интервью с учителем: Когда я подытожил урок для этого урока, я включил фразу дроби меньше 1, потому что то, что происходило сегодня в математике, было характерно для дробей меньше 1, и мы знаем, что когда-нибудь дети будут умножать дроби больше 1.

Учитель в классе: Ребята, мы будем заниматься математикой весь день?

Ученики: ДА!

Интервью с учителем: Частью моего обучения является помощь детям в развитии страсти к математике, а затем в развитии чувства ответственности за собственное обучение.Эти два чувства идут вместе. Они важны для детей, потому что забота о том, что вы делаете, и решение головоломок делают жизнь более интересной, но также это будет способствовать их жизни. Я считаю, что они могут найти более успешную карьеру, если они понимают математику и проявляют страсть к ней.

(конец)

Умножение дробей – Математика для учителей начальных классов

Одной из наших моделей умножения целых чисел была модель площади.Например, произведение равно площади (количество квадратов 1 × 1) прямоугольника 23 на 37:

Итак, скажем, произведение двух дробей также должно соответствовать задаче на площади.

Подумай / Соедини / Поделись

Используйте эту модель для вычисления каждого из следующих продуктов. Нарисуйте картинку, чтобы ясно увидеть ответ.
Задача о площади дала диаграмму с общим числом из 21 маленького прямоугольника. Объясните, почему 21 появляется как общее количество прямоугольников одинакового размера.
Задача о площади дала диаграмму с 8 маленькими заштрихованными прямоугольниками. Объясните, почему 8 отображается как количество заштрихованных прямоугольников.

Проблема 5

Как можно расширить модель площади для дробей больше 1? Попробуйте нарисовать картинку для каждого из них:

Самостоятельно

Выполните следующие упражнения самостоятельно или с партнером.

Вычислите следующие произведения, максимально упростив каждый из ответов.Вам не нужно рисовать картинки, но вы, безусловно, можете сделать это, если это поможет!
Вычислите следующие продукты. (Не работайте слишком много!)
Попробуйте этот. Можете ли вы использовать правило дробей для помощи в вычислениях? Как?

Подумай / Соедини / Поделись

Чем отличаются эти две проблемы? Нарисуйте изображение каждого.

У Пэм в холодильнике был торт, и она его съела.Сколько всего торта она съела?
В понедельник Пэм съела торт. Во вторник Пэм съела торт. Оба торта были одинакового размера. Сколько всего торта она съела?

Когда задача включает в себя такую фразу, как «из…», учащихся учат рассматривать «из» как умножение и использовать это для решения задачи. Как показывают приведенные выше проблемы, в некоторых случаях это имеет смысл, а в некоторых нет. Важно внимательно читать и понимать, о чем задача, а не запоминать правила «перевода» текстовых задач.

Вы, вероятно, упростили свою работу в приведенных выше упражнениях, используя правило умножения, подобное следующему.

Умножение дробей

Конечно, вы можете затем упростить окончательный ответ, но ответ всегда будет эквивалентным этому. Почему? Модель области может помочь нам объяснить, что происходит.

Во-первых, давайте четко запишем, как модель площади говорит умножать . Мы хотим построить прямоугольник, у которого одна сторона имеет длину, а другая сторона имеет длину.Начинаем с квадрата, по одной единице с каждой стороны.

Если ответ , значит, в квадрате всего одинаковых фигур, и одна из них заштрихована. Мы можем видеть из модели, почему это так:

Подумай / Соедини / Поделись

Придерживайтесь общего правила умножения

Напишите четкое объяснение, почему маленькие прямоугольники будут заштрихованы.

Часто учеников начальной школы учат умножать дроби на целые числа, используя правило дробей.

Пример: умножение дробей

Например, чтобы умножить , мы думаем о «2» как , и вычисляем таким образом

Мы также можем думать в терминах нашей оригинальной модели «Пироги на ребенка», чтобы ответить на подобные вопросы.

Пример: пирожки на ребенка

Мы знаем, что это означает, сколько пирога получит каждый ребенок, если 7 детей поровну поделят 3 пирога .

Если мы подсчитаем, это означает, что мы удвоим количество пирога, которое получит каждый ребенок.Мы можем сделать это, удвоив количество пирогов. Таким образом, ответ будет таким же, как: количество пирога, которое получит каждый ребенок, если 7 детей поровну поделят 6 пирогов.

Наконец, мы можем мыслить с точки зрения единиц и объединения.

Пример: единицы

Дробь означает, что у меня есть 7 равных частей (из что-то ), и я беру 3 из них.

То есть сделать это дважды. Если я возьму 3 штуки, а потом еще 3 штуки, то в сумме получится 6 штук. Всего осталось 7 равных частей, поэтому ответ равен .

Подумай / Соедини / Поделись

Используйте все три метода, чтобы объяснить, как найти каждый продукт:
Сравните эти разные способы умножения дробей. Какие из них более естественны для вас? Один имеет больше смысла, чем другие? Влияют ли конкретные числа в задаче на ваш ответ? Ваш партнер согласен?

Рой говорит, что правило дроби

«очевидно», если вы думаете с точки зрения умножения дробей.Он рассуждает следующим образом:

Мы знаем, что умножение чего-либо на 1 не меняет числа:

Итак, в общем,

Теперь , значит

что означает

По тем же соображениям , значит,

что означает

Подумай / Соедини / Поделись

Что вы думаете о рассуждениях Роя? Имеет ли это смысл? Как бы Рой объяснил общее правило для положительных целых чисел:

?

Умножение дробей | Математика Новой Зеландии
Назначение
Целью этой серии уроков является развитие понимания умножения дробей.
Конкретные результаты обучения
Запись словами, действия и результаты нахождения дроби дроби.
Запишите и ответьте на письменные уравнения умножения.
Используйте массивы для моделирования и решения уравнений умножения, которые требуют деления единицы измерения.
Обратите внимание, объясните и обобщите, что происходит с числами в алгоритме умножения.
Ставить и решать собственные задачи на умножение дробей.
Понимать и использовать числовые свойства при умножении дробей.
Исследуйте и продемонстрируйте взаимосвязь между умножением и делением.
Описание математики
Эта серия уроков основана на понимании и использовании учащимися эквивалентных дробей при решении задач на сложение и вычитание дробей. Как и в предыдущих частях работы, акцент делается на том, чтобы учащиеся моделировали операции с дробями, используя ряд материалов, и записывали, используя слова и символы.Хорошее знание основных фактов умножения и деления имеет основополагающее значение для успеха учащихся в работе и понимании эквивалентных дробей, а в этом разделе — умножении дробей.
В основе умножения дробей лежат три основных понятия. Во-первых, умножение двух дробей требует нахождения дроби другой дроби. Например, 1/2 x 1/4 интерпретируется как 1/2 от 1/4. Во-вторых, при умножении двух дробей, меньших единицы, произведение всегда меньше любого множителя.При умножении целых чисел учащиеся ожидают, что произведение будет больше, чем любой из множителей. Умножение дробей требует концептуального сдвига для учащихся, которые должны четко понимать, что они находят часть части. В-третьих, понимая свойство коммутативности, учащиеся могут упростить задачи, изменив порядок факторов.
При умножении дробей учащиеся приходят к выводу, что слова «время» и «из» взаимозаменяемы. Использование модели массива для визуализации и решения задач, связанных с нахождением доли дроби, путем разбиения области на части по горизонтали и вертикали способствует переходу от понимания целых чисел к дробным.
Начиная с задач, связанных с работой с единицами измерения без деления (например, 1/3 от 3/8), устанавливает концептуальное понимание операции умножения с дробями. Как только это будет четко понято, работа с частями единиц, которые включают в себя подразделение (например, 3/4 от 2/3), сосредотачивает учащихся на записи и вычислениях, поскольку они исследуют отношения между числами.
Важно использовать реалистичные контексты для нахождения дробей дробей. Если учащиеся ответят на них и создадут собственный контекст, это поможет им распознать практическое применение дробного умножения.
Эти идеи представлены на пяти занятиях, однако, поскольку они включают в себя сложные концепции, которые необходимы учащимся для успешной работы с дробями, эти занятия можно растянуть на более длительный период времени.
В то время как игры вводятся и используются на занятиях для закрепления идей, их также можно добавить к классным или групповым самостоятельным занятиям или отправить домой для решения семейных задач и развлечений.

Требуемые ресурсы
Деятельность
Сессия 1
SLO:
Повторить нахождение дроби от целого числа.
Признайте, что дробь дроби дает меньшую часть.
Запишите словами действия и результаты нахождения дроби дроби.
Решите задачи, связанные с нахождением доли дроби, используя региональную модель.
Деятельность 1
Начните этот сеанс с постановки этих трех задач. Предложите учащимся обсудить в парах решения каждого из них:
В классе Нины 33 ребенка.Ее спросили, сколько будет в ее команде, если в нее войдет 1/3 класса. Она сказала 12. Она права?
15 учеников из класса Джо сидели на коврике. Это было 3/5 класса. Сколько учеников в классе Джо?
18 учеников из класса Роли лежат на коврике. 2/5 еще не пришли в класс. Сколько снаружи?
Предложите парам учеников поделиться своими решениями.

В таблице класса напишите:
Нахождение дробей целых чисел.
Класс Нины: 1/3 из 33:
Класс Джо: 3/5 чего-то равно 15, значит 5/5 это:
Класс Роли: 3/5 чего-то равно 18, значит 2/5 равно:
Пригласите отдельных учеников и запишите свои результаты в классную таблицу и объясните свои решения от имени своей группы.
Напомните учащимся, что они находили дроби целых чисел.
Деятельность 2
Спросите: Что делать, если вы найдете дробь дроби. Будет ли результат больше или меньше обеих дробей?
Обсудить. Запишите идеи в классную таблицу.

Раздайте парам учащихся полоски бумаги и цветные ручки.
Поставьте задачу: Можете ли вы использовать материалы, чтобы показать одну половину одной половины.
Предложите учащимся поделиться результатами.
Поставьте другую задачу: Используйте материалы, чтобы показать три четверти половины.
Предложите учащимся рассказать о том, что они сделали, и обсудить результаты.

Раздайте учащимся полоски фракций (Материалы 7-7) в дополнение к бумажным полоскам. Дайте учащимся время, чтобы ознакомиться с полосками дробей, прочитать показанные единицы дробей и рассказать о подразделениях, которые они видят.
Задайте вопрос: Чему равна треть половины?
Предложите учащимся найти одну половину на стенке дробей и найти деление одной половины на трети, определяя, что одна шестая составляет одну треть от одной половины.
Раздайте и обсудите Приложение 1. Объясните, что они могут обратиться к стене фрагмента или использовать бумажные полоски и ножницы, чтобы заполнить его. Подчеркните важность написания реалистичных историй для каждого из них.

Предложите учащимся попарно обменяться результатами и проверить их.
Проанализируйте основные моменты обучения: Мы находили доли целых чисел и находили доли частей площади.
Деятельность 3
Завершите занятие, предложив нескольким учащимся прочитать вслух (в случайном порядке) написанные ими текстовые задачи.Другие учащиеся работают в парах над изображением бумажных полосок или стеной дроби и отвечают.

Задайте вслух словесные задачи, основанные на этих примерах, используя многократное сложение, чтобы получить решения:
Одна треть половины равна одной шестой, так что же такое две трети половины? (2/6 или 1/3)
Одна пятая половины равна одной десятой, так что же такое три пятых половины? (3/10)
Одна треть одной трети равна одной девятой, так что же такое две трети одной трети? (2/9)
Одна четверть половины равна одной восьмой, так что же такое три четверти половины? (3/8).

Сделайте вывод, что часть результата дроби является меньшей частью.
Сессия 2
SLO:
Поймите, что слова «время» и «время» взаимозаменяемы.
Запишите и ответьте на письменные уравнения умножения.
Используйте массивы для моделирования уравнений умножения.
Используйте массивы для моделирования и решения уравнений умножения, которые требуют деления единицы измерения.
Деятельность 1
Обратитесь к проблеме 1 из сеанса 1.
В классе Нины 33 ребенка. Ее спросили, сколько было бы в ее команде, если бы она составляла 1/3 класса. Она сказала 12. Она права?
Нахождение дробей целых чисел.
Класс Нины: 1/3 от 33 это:
Поза: Нина записала уравнение для этой задачи как 33 ÷ 1/3 = 11. Она права? Почему? Почему нет? (33 ÷ 1/3 = 99, потому что в 33 целых числах 99 третей)
Запишите 1/3 от 33 = 11 и 1/3 x 33 = 11.
Обсудите.
Деятельность 2
Напишите в таблице класса
1/4 x 2 = ?
2/3 х 12 = ?
Пусть учащиеся поработают над решением задач в парах и поделятся своими результатами, включая использованные изображения или диаграммы.
Деятельность 3
Исследуйте дроби дробей:
Раздайте доска для размышлений листов (Приложение 2) учащимся. Пусть каждый учащийся заполнит доску для размышлений по каждой из этих двух проблем.
2/3 х 9/10 = ?
1/2 от 4/9 = ?
Предложите учащимся использовать диаграммы, аналогичные приведенным в Приложении 1.
Они должны выглядеть следующим образом:
2/3 x 9/10 = 6/10
1/2 от 4/9 = 2/9 они обсуждают свои мыслительные доски с партнером.
Деятельность 4
Предложите учащимся найти свою копию Приложения 1 (Занятие 1, Занятие 2, Шаг 3). Попросите учащихся записать письменные уравнения для каждого из примеров.
Предложите им обсудить все, что они заметили в числах в этих уравнениях (в которых они умножают единичные дроби).
Спросите, это то, что вы заметили верные уравнения 2/3 х 9/10 и 1/2 х 4/9? (При умножении целых чисел произведение больше множителей. При умножении дробей произведение меньше обоих множителей).
Деятельность 5
Раздайте комплект накладок «Дробь» каждой паре учащихся.
Дайте им время изучить оборудование, а затем попросите пары учащихся продемонстрировать все, что они обнаружили с помощью оборудования.

Попросите их вместе смоделировать несколько примеров, используя оборудование, и записать схему и уравнения в классную/групповую таблицу. Например:

NB: учащиеся узнают в этих примерах, что фиолетовая дробь является результатом умножения двух множителей.

Поставьте эти задачи перед учащимися, чтобы они решили с использованием наложения дробей , записывая каждое уравнение с факторами и произведениями по мере их выполнения.
3/5 х 3/4 = ?
2/3 х 2/5 = ?
1/5 х 1/4 = ?
5/6 х 1/2 = ?

Завершите занятие, подведя итоги обучения на этом занятии в таблице класса/группы. Например:
Когда мы умножаем целые числа, произведение больше, чем оба множителя.
Когда мы умножаем дроби, произведение меньше обоих множителей, потому что мы находим дробь дроби.
Сессия 3
SLO:
Обратите внимание, объясните и обобщите, что происходит с числами в алгоритме умножения.
Ставить и решать собственные задачи на умножение дробей.
Поработайте и продемонстрируйте понимание умножения, включающего смешанные числа, то есть дроби больше единицы, например, 1/2 от 2 2/3.
Знайте, что задачи на умножение смешанных числовых дробей можно решить, заменив их на неправильные дроби или применив распределительное свойство.
Деятельность 1
Начните это занятие, обратившись к примерам, использованным в Занятии 2, и к резюме Занятия 2, Упражнение 5, Шаг 4.
Если это еще не стало ясно, подчеркните, что они замечают, что происходит с числами в уравнениях.
Когда мы умножаем дроби, произведение меньше, чем оба множителя.
Произведение является результатом перемножения числителей и перемножения знаменателей.

Предоставьте учащимся доступ к наложениям дробей.
Каждая пара должна заполнить (как минимум один) плакат A3 Think Board с одной задачей на умножение дробей, который включает в себя схему наложения дробей в разделе оборудования. Они будут использоваться для отображения класса.
Деятельность 2
Учащиеся играют в игру Умножение (Приложение 3)
Как играть
Играйте с партнером.
Победителем становится тот, кто соберет наибольшее количество наборов из 3 карт.
Всего 15 наборов.
Дилер перемешивает карты и раздает по 7 карт каждому игроку. Остальные кладутся лицом вниз стопкой перед двумя игроками.

Игроки проверяют свои руки на наличие любых полных наборов из трех: карта-картинка, выражение и произведение (одна дробь). Полные комплекты кладутся лицевой стороной вверх перед игроком.

Крупье начинает с того, что спрашивает у своего партнера карту, которую он хочет составить для комплекта, для которого у него есть хотя бы одна карта участника в руке.В запросе должно быть указано, как будет выглядеть карточка с изображением, или — уравнение, или — продукт.
Если у партнера нет этой карты, говорят: « Умножение » и дилер берет карту из стопки.

Затем другой игрок делает запрос.

Игра продолжается до тех пор, пока не будут использованы все карты.
Деятельность 3
Поставьте задачу: «У Ману осталось 2 1/2 банки краски после покраски дома.Он использует 3/4 этого, чтобы покрасить свой сарай. Сколько это банок?»
Предложите учащимся изучить проблему в парах, а затем представить свои решения для обсуждения в группе/классе.

Попросите выбранных учащихся продемонстрировать свои решения на схеме класса.
Пусть учащиеся узнают два способа решения задачи:
3/4 x 2 + 3/4 x 1/2 = 1 1/2 + 3/8 = 1 7/8 (распределительное свойство) или
3/ 4 x 5/2 = 15/8 = 1 7/8 (заменив смешанное числительное на неправильную дробь)
В таблице классов нарисуйте, как это будет выглядеть:

Предложите учащимся работать в парах, чтобы изучить каждую из этих проблем и показать оба способа достижения решения.
«Марианна 3 1/3 метра ткани. Она использует 2/3 этого, чтобы сделать свое платье для школьного торжества. Сколько метров она использовала?
«Площадь спальни Оуэна составляет 8 1/4 квадратных метра. 3/4 из них занимает мебель. Сколько квадратных метров свободной площади у него есть?»

Предложите учащимся в парах поделиться обоими решениями для каждой из этих задач:
2/3 x 3 1/3
3/4 x 8 1/4
Деятельность 4
Вместе обсудите несколько контекстов дробей, затем попросите каждого учащегося написать задачу на слово , в которой оба множителя представляют собой смешанные числа.(Например: 2 1/2 х 3 1/6). Помогите им использовать целые числа меньше 10.
Когда каждый из них решит свою задачу со словами, пусть они поработают над своим решением.

Исследуйте хотя бы одну текстовую задачу, созданную учащимся.
Еще раз подчеркните два способа решения проблемы:
превращая смешанное числительное в неправильную дробь.
нахождение суммы четырех частичных произведений
Например: 2 1/2 x 3 1/6
преобразование смешанного числительного в неправильную дробь: 5/2 x 19/6 = 95/12 = 7 11/12 или
нахождение суммы четырех частичных произведений
2 x 3 = 6
2 x 1/6 = 2/6
1/2 x 3 = 1 1/2
1/2 x 1/6 = 1/12
Показать с такая диаграмма:

Нахождение суммы частичных произведений: 6 + 2/6 + 1 1/2 + 1/12 = 6 + 4/12 + 1
6/12 + 1/12 = 7 11/ 12

Возьмем двух других учащихся, которые создали задачи.Запишите их в таблицу класса.
Предложите учащимся поработать в парах, чтобы решить одно из них по своему выбору.

Предложите учащимся в парах поделиться своими решениями.

Предложите учащимся решить другую задачу самостоятельно, а затем запишите в своих математических дневниках, что они узнали на этом занятии.
Сессия 4
SLO:
Понимать и использовать свойство перестановочности при умножении дробей.
Понимать и объяснять распределительное свойство при умножении дробей.
Деятельность 1
Попросите класс/группу сесть парами на коврик. Начните с того, что скажите одному учащемуся так, чтобы его услышали все учащиеся: «Пожалуйста, , раздайте бумажки каждой паре учащихся». Напишите слово раздайте в таблице класса:
Попросите учащихся дать определения слова раздать и запишите их предложения.
(Если вы регулярно пополняете математический словарь класса, вы можете записывать их идеи здесь.Например: «распространять», «делить», «раздавать».)
Покажите эту диаграмму из Сессии 3 , Задания 4, Шага 2 и напишите под ней «распределяемое свойство».
Объясните, что это математический термин для процесса расширения и решения проблемы таким образом.

Спросите, почему это можно назвать «распределяемой собственностью», и запишите предложения учащихся.

Предложите учащимся подумать и предложить другую задачу на дроби, которую можно решить, используя свойство распределения.Запишите предложения.
Деятельность 2
В таблице классов запишите это уравнение и вопросы:
1/4 x 1/2 = 1/2 x 1/4 Верно? Ложь?
Предложите учащимся поработать в парах, чтобы выбрать свой ответ (верный или неверный) и, используя бумагу, полученную в Упражнении 1, Шаг 1, доказать, откуда они знают, двумя разными способами (например, используя модель местности и алгоритм).

Укажите, что одна сторона класса является «истинной», а другая — «ложной».Предложите учащимся обозначить свое мышление, перейдя к этой стороне комнаты.

Попросите выбранных учащихся обосновать свою позицию и показать свое «доказательство».

Закрепите это понимание, попросив 8 учащихся встать группой в центре комнаты.
Попросите другого учащегося показать, «используя» группу из 8 учащихся, чему равна 1/4 от 1/2. (1/8 или один ученик).
Соберите группу из 8 учеников. Попросите другого учащегося «использовать» группу, чтобы продемонстрировать 1/2 из 1/4 (1/8 или один учащийся).
Деятельность 3
Запросить, работает ли это, когда задействованы целые числа.
Поставьте и напишите задачу 5 х 2/3 = 2/3 х 5 Верно? Ложь?
Повторите действие 2, шаги 1–3 выше.

Пусть 5 групп по 3 ученика встанут в группу в центре комнаты.
Попросите другого учащегося показать, «используя» пять групп из трех учащихся модели 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3 + 2/3:
Попросите 1/3 учащихся в каждой группе показать сесть, осталось 2 ученика + 2 ученика + 2 ученика + 2 ученика = 2 ученика = 10.Затем этих студентов снова делят на группы по три человека, что составляет 3 1/3 группы. Соберите 5 групп по 3 ученика и объедините их в одну группу из 15 человек. Попросите другого ученика «использовать» группу, чтобы продемонстрировать, что 2/3 из 5 групп (15 учеников) составляют 10 учеников. Попросите их перегруппироваться, чтобы получилось 3 1/3 группы.
Деятельность 4
Напишите в таблице классов: Коммутативное свойство . Объясните, что это общий математический термин для того, что происходило в пунктах 2 и 3 выше.Попросите учащихся предположить, что может означать коммутатив, и запишите их предложения. («переехать», «путешествовать») и подтвердить, что это означает, что порядок чисел может быть изменен без изменения результата).

Напишите в таблице классов: Изменение порядка не меняет результат, когда мы :
добавить дроби. Истинный? Ложь? (правда)
вычесть дроби. Истинный? Ложь? (ложь)
умножить дроби.Истинный? Ложь? (правда)
разделить дроби. Истинный? Ложь? (ложь) (поощрять предсказания)
Предложите учащимся обсудить их в парах, а затем всем классом прийти к соглашению.
Деятельность 5
Завершите занятие, попросив учащихся предложить краткие утверждения для сегодняшнего урока и записать их в карточке класса.
Сессия 5
SLO:
Сообщить другим о своем понимании умножения дробей.
Исследуйте и продемонстрируйте взаимосвязь между умножением и делением.
Деятельность 1
Начните это занятие с рассмотрения выводов, сделанных на занятии 4.
Попросите одного учащегося: «Пожалуйста, , раздайте плакатный лист формата A3 каждой паре учащихся». Установите ограничение по времени и предложите учащимся работать в парах, чтобы создать плакат, который включает в себя контекст рассказа и объясняет свойство дистрибутивного или коммутативного применительно к умножению дробей.
(В качестве альтернативы учащиеся могут подготовить электронную презентацию, чтобы объяснить родителям одно из этих свойств).

Быстрые финишеры играют в Умножение или дробные игры из сеанса 3.
Деятельность 2
Попросите учащихся образовать пары. Раздайте карточки из Приложения 4 каждой паре. Пусть пары рассортируют карточки по стопкам «Верно» и «Неверно». Затем пары должны поделиться, по очереди прочитать карточку и обсудить и обосновать свое решение, используя примеры .
Деятельность 3
Завершите это занятие просмотром заметок по каждому занятию.

Поставьте задачу: 1/2 x 1/4 > 1/2 ÷ 1/4. Истинный? Ложь?
Предложите учащимся самостоятельно принять решение.
Выберите нескольких учеников, чтобы объяснить их мысли.
Завершите сеанс, указав, что они будут изучать это дальше в другом сеансе.
Домашняя ссылка
Уважаемые родители и Ванау,
Мы изучаем умножение дробей и будем признательны, если вы поиграете с ребенком в игру Умножение .Карты входят в комплект. Ваш ребенок с удовольствием объяснит инструкции к игре, поскольку в нее играли в классе. Мы надеемся, что вы тоже научитесь и получите удовольствие.
.

Умножение дробей

Умножение дробей. Деление Дробей.

Геометрия с нуля

сокращение дробей + полезные советы

Умножение и деление дробей

Умножение и деление с целым числом

Умножение и деление больших дробей

Сокращение дробей при умножении и делении

Несколько полезных советов

Нужна помощь в учебе?

деление и умножение смешанных дробей

Где можно решить любую задачу по математике, а так же деление и умножение смешанных дробей Онлайн?

Тест с ответами: “Умножение дробей”

4 умножение дробей. Умножение дробей

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Сокращение дробей «на лету»

Умножение и деление дробей.

среда, 4 июля 2018 г.

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Как умножить целое число на дробь

Сокращение

Неправильные дроби

«Умножение дробей» — математика, презентации

Объяснение урока: Умножение дробей | Nagwa

Пример 1. Умножение простых дробей

Ответ

Пример 2. Умножение трех дробей

Ответ

Пример 3. Умножение смешанных чисел

Ответ

Пример 4. Умножение трех смешанных чисел

Ответ

Пример 5. Умножение смешанных чисел в словесной задаче

Ответ

Ключевые моменты

Песня Чимберока об умножении дробей | Видео, занятия и рабочие листы.

Упрощайте дроби перед их умножением

Умножение дробей

Умножение дробей и целых чисел

Умножение смешанных дробей

Урок по умножению дробей для 4 и 5 классов

Умножение дробей – Математика для учителей начальных классов

Подумай / Соедини / Поделись

Проблема 5

Самостоятельно

Подумай / Соедини / Поделись

Умножение дробей

Подумай / Соедини / Поделись

Пример: умножение дробей

Пример: пирожки на ребенка

Пример: единицы

Подумай / Соедини / Поделись

Подумай / Соедини / Поделись

Умножение дробей | Математика Новой Зеландии

Добавить комментарий Отменить ответ