Как прибавлять дробные числа. Вычитание дробей с разными знаменателями

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби — это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

• Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m — b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби — «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей — «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

• Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

• 2/3 — в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
  2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 или 7/(3 х 3) — в знаменателе не хватает двойки:
  7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
• 5/6 или 5/(2 х 3) — в знаменателе не хватает тройки:
  5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 — 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

• Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
• Число 15 состоит из 5 х 3.
• Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

• 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
• 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения — приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) — (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 — 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали.

Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:
• Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
• Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
• Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
• При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти , а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей.

Сложение происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)

Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\) б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\) б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\) б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\) в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь , которую вы получили.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:

,

,

Вычитание правильной дроби из единицы.

Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной , единицу переводят к виду неправильной дроби , у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример вычитания правильной дроби из единицы:

Знаменатель вычитаемой дроби = 7 , т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа.

Правила вычитания дробей — правильной из целого числа (натурального числа) :

• Переводим заданные дроби, которые содержат целую часть, в неправильные. Получаем нормальные слагаемые (не важно если они с разными знаменателями), которые считаем по правилам, приведенным выше;
• Далее вычисляем разность дробей, которые мы получили. В результате мы почти найдем ответ;
• Выполняем обратное преобразование, то есть избавляемся от неправильной дроби — выделяем в дроби целую часть.

Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.

Пример вычитания дробей:

В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание дробей с разными знаменателями.

Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей .

Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) , и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.

Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители , то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!

Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.

• найти НОК для всех знаменателей;
• поставить для всех дробей дополнительные множители;
• умножить все числители на дополнительный множитель;
• полученные произведения записываем в числитель, подписывая под всеми дробями общий знаменатель;
• произвести вычитание числителей дробей, подписывая под разностью общий знаменатель.

Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Вычитание дробей, примеры:

Вычитание смешанных дробей.

При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Первый вариант вычитания смешанных дробей.

Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).

Например:

Второй вариант вычитания смешанных дробей.

Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Например:

Третий вариант вычитания смешанных дробей.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример:

Т. к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого. 3 Значит, занимаем единицу из целой части и приводим эту единицу к виду неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем = 18.

В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, — вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 — 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b — c b = a — c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 — 17 15 = 24 — 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 — 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 — 15 12 = 37 — 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 — 1 15 = 10 45 — 3 45 = 10 — 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 — 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 — 7 36 = 76 — 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ — 1 11 12 .

Краткая запись всего решения — 19 9 — 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 — 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 — 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 — 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 — 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 — 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 — 13 62 = (1064 + 1) — 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 — 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 — 13 62 = 1 1 — 13 62 = 62 62 — 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 — 13 62 = 1065 1 — 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 — 13 62 = 66030 62 — 13 62 = = 66030 — 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 — 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 — 3 5 = (629 + 1) — 3 5 = 629 + 1 — 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 — 3 2 — 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 — 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 — 3 2 = 24 4 — 6 4 = 19 4 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог — 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 3 2 — 5 6 = 25 4 — 6 4 — 5 6 = = 19 4 — 5 6 = 57 12 — 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 — 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 — 5 + 3 5 = 98 + 17 20 — 5 — 3 5 = 98 — 5 + 17 20 — 3 5

Завершим расчеты: 98 — 5 + 17 20 — 3 5 = 93 + 17 20 — 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Правила сложения дробей с разными знаменателями очень простые.

Рассмотрим правила сложения дробей с разными знаменателями по шагам:

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Полученный НОК будет общим знаменателем дробей;

2. Привести дроби к общему знаменателю;

3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.

На простом примере научимся применять правила сложения дробей с разными знаменателями.

Пример

Пример сложения дробей с разными знаменателями.

Сложить дроби с разными знаменателями:

1	+	5
6		12

Будем решать по шагам.

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей.

Число 12 делится на 6.

Отсюда делаем вывод, что 12 есть наименьшее общее кратное чисел 6 и 12.

Ответ: нок чисел 6 и 12 равен 12:

НОК(6, 12) = 12

Полученный НОК и будет общим знаменателем двух дробей 1/6 и 5/12.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

В нашем примере привести к общему знаменателю 12 нужно только первую дробь, ведь у второй дроби знаменатель уже равен 12.

Разделим общий знаменатель 12 на знаменатель первой дроби:

2 есть дополнительный множитель.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби (1/6) на дополнительный множитель 2.

Вычитание обыкновенных дробей из натуральных чисел | Презентация к уроку по математике (5 класс):

Урок математики в 5 классе

Разработан по новым образовательным стандартам ФГОС ООО учителем математики МБОУ СОШ №5 г. Донской, Тульской области Будниковой Е.Н.

Тема урока:

«Вычитание обыкновенных дробей из натуральных чисел».

Тип урока: открытие нового знания.

Цели урока: Планируемые результаты.

Предметные:

Способствовать построению алгоритма выполнять вычитание обыкновенной дроби из натурального числа, научить выполнять вычитание обыкновенной дроби из натурального числа, применять новое правило при решении задач.

             Метапредметные:
Формирование познавательных УУД:

• 2.Познавательные умения: самостоятельно выделять  и формулировать  цель, структурировать знания, уметь ставить и формулировать проблему и находить способы её устранения, создавать алгоритм действия.
•  Формирование регулятивных УУД

     3.Ставить учебную задачу; осуществлять самоконтроль и самооценку учебных действий; выполнять по образцу алгоритм вычитания обыкновенных дробей из натуральных чисел; самостоятельно создавать алгоритм деятельности при решении проблем творческого и поискового характера; контролировать выполнение каждого действия (шага) алгоритма;  грамотно применять математические понятия и  термины, логично излагать свои мысли, комментировать ответ; аргументировать свою точку зрения; осуществлять взаимоконтроль при работе в парах.
Формирование коммуникативных УУД
     4.Воспитывать культуру поведения при обсуждении любых вопросов, работе в парах, взаимной проверке; проводить контроль, коррекцию, оценка действий партнера.
Формирование личностных УУД

     5. Проявлять интерес к изучению темы; желание решать проблему, используя приобретенные знания; осознание собственных достижений при освоении учебной темы.

Оборудование для урока: учебник для общеобразовательных учреждений « Математика. 5 класс». Авторы Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. издательство  « Просвещение», 2013,  компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

Ресурсы:презентация.

Формы работы с учащимися: фронтальная, парная, индивидуальная.

План урока.

1. Сообщение учащихся «Из истории возникновения дробей».
2. Актуализация знаний учащихся. Повторение.
3. Изучение нового материала.
4. Решение задач.
5. Игра «Кто быстрее?»
6. Проверочная работа «Проверь себя!»

Ход урока.

1.   Сообщение учащихся «Из истории возникновения дробей». ( Слайды 4-7).

            С самых древних времён у людей появилась потребность в измерении длин, площадей, углов и

других величин. Для получения более точных результатов меры стали делить на части, что привело к появлению дробей. Первыми в практике людей появились самые простые дроби ( ,   ,    и т.д.). Лишь значительно позже греки, а затем индусы стали использовать в вычислениях и другие дроби.

           Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель – снизу. В привычном для нас виде дроби впервые стали записываться в Древней Индии около 1500 лет назад, но при этом индусы обходились без черты между числителем и знаменателем. А черта дроби стала употребляться только с 16 века.

            Понятие «дробь» произошло от глаголов «раздроблять», «разбивать», «ломать». А в первых русских учебниках математики дроби так и назывались – «ломаные числа».

             В древности и в Средние века учение о дробях считалось хотя и самым трудным, но и самым важным разделом арифметики.

              Римский оратор Цицерон, живший в I веке до нашей эры, сказал: «Без знания дробей никто не может признаться знающим арифметику!»

        2.Актуализация знаний учащихся ( повторение). ( Слайд 8).

1)Сформулируйте правило вычитания дробей с равными знаменателями.

2)Представьте 1в виде дробей  со знаменателями 2; 3; 10.

         3.Изучение нового материала. ( Слайды 9, 10).

1)Предложить учащимся самостоятельно ( на основе имеющихся у них знаний правила вычитания дробей с равными знаменателями и умения представлять натуральные числа в виде обыкновенных дробей с заданным знаменателем) выполнить действие 1- .

Учащиеся предлагают следующее решение:

     1- =-=.

Затем, формулируется правило: «Чтобы из 1 вычесть дробь, надо 1 записать в виде дроби с данным знаменателем и выполнить вычитание дробей с равными знаменателями».

2) Предложить учащимся самостоятельно (на основе предыдущего примера) выполнить действие 4 —  .

Учитель начинает побуждающий диалог. « Вы можете выполнить это действие? А в чём затруднение? А как можно преодолеть это затруднение ,используя имеющиеся у вас знания о вычитании дробей с одинаковыми знаменателями?»

Учащиеся предлагают следующее решение:

4 —   = 3 —   = 3

4 = 3 + 1 = 3 +   = 3

Затем, формулируется правило: «Чтобы из натурального числа вычесть дробь надо его записать в виде смешанной дроби, дробная часть которого имеет данный знаменатель и выполнить вычитание дробей».

      4. Закрепление нового материала. Решение задач.

№ 1(Слайд 11).

Вычислите.

А) 1 —   = ?                 Б)  1 —   =?

№ 2

Вычислите.

А) 3 —   =?                  Б)  5 —   =?

(Устно). Найдите неизвестное число. (Слайд 12).

Первое слагаемое	Второе слагаемое	Сумма
		1
		1
		1
		1
Первое слагаемое	Второе слагаемое	Сумма
	2
		4
		5
		6

Задача 1. (Слайд 13).

Найдите длину отрезка ВD,

1) если АD =    м, АВ = 1 м.

2)  если AD =    м, АВ = 4 м.  

 

№ 3.  Сравните значения выражений :

1 —     и  1 —  

1 способ:

  и  

Приводим к общему знаменателю

  >

2 способ:

 

1 —    > 1 —

Правило: из двух дробей с одинаковым числителем больше та, знаменатель  которой меньше.

Индивидуально некоторым учащимся предлагается выполнить следующее задание.

( Слайд 15). Задача.  Какая из двух дробей больше

                                                         Как проще сравнить эти дроби?

Решение. ( Слайд 16)

 = 1-    = 1 —  

  >

Задача 2.(Слайд 17).

               Пончик может съесть торт за 20 минут, а Сиропчик съедает его за 30 минут. Какая часть торта останется через 1 минуту, если они будут есть его вместе?

Для решения задачи 1 учащийся приглашается к доске.

«Подумай!» (устно). ( Слайд 18).

Найдите длину отрезка CD, если АD =    дм,   ВC =      дм, АВ = 1 дм.

«Для смекалистых». (Слайд 19).

Вычисли: 1 — ; 2 —  ; 3 —  ; 4 — ;…

Какие числа будут получаться, если продолжить эту цепочку разностей?

Чему равна разность, стоящая на 100-м месте?

               5.(Слайд 20) Игра » Кто быстрее?» Идёт работа по парам, свои ответы учащиеся пишут на листочках и отдают учителю. Учитель складывает листы с ответами в том порядке, как их приносили учащиеся. Первые три пары, давшие правильные ответы, получают отметку «5».

Сумма всех чисел в квадрате равна 10. Какое число надо поставить в пустую клетку?

	5
	?
1
?	2
	?
2	1

Слайд 21. ( ответы)

6.Проверочная работа «Проверь себя!»( Слайд 22).

1 вариант                     2 вариант

Вычисли.

1. 1 —  ;                    1) 1 —  ;

2. 6 —  ;                    2) 8 —  .

                 Слайд 23. (ответы) Учащиеся обмениваются тетрадями, идёт взаимопроверка решений по слайду 23.

Ответы:

1 вариант                       2 вариант

1.                          1)  

2. 5                       2) 7

7.Подведение итогов урока. Рефлексия.

Предлагается учащимся ответить на вопросы:

Что нового узнали на уроке?

Какие правила сформулировали?

Какие знания были использованы при решении задач?

Рефлексия проводится при помощи 3-х смайликов ( недовольство, равнодушие, радость).

Ваше отношение к уроку. Ваше отношение к  вашей работе. Какое задание понравилось больше всего? Почему?

8.Домашнее задание.

П.9. 3, № 814 ,818 (б), 1 (по желанию).

№1.

Сравните значения выражений:

1 —     и  1 —  .

Сложение и вычитание дробей — УРОКИ МАТЕМАТИИ КЕЙТ

Сопутствующие материалы: ​ Учебное пособие, карточки с бумами, веселые групповые занятия, карточки с заданиями Сложение/вычитание дробей с общими знаменателями Если вы новичок в сложении и вычитании дробей или просто хотите освежить свои знания, обязательно сначала ознакомьтесь с уроком о сложении дробей с общим знаменателем. Основная идея заключается в том, что 9Дроби 0007 должны иметь одинаковый знаменатель (нижнее число), чтобы их можно было объединить сложением или вычитанием . Когда знаменатели совпадают, целое разделено на равные части одинакового размера . Если знаменатели не совпадают, кусочки не одного размера, и две дроби не могут быть объединены в том виде, в котором они есть. Если знаменатели одинаковые, можно объединить две дроби вместе сложением или вычитанием. Просто подсчитайте части, используя числители. Размер фигур не меняется, поэтому знаменатель остается прежним. Вот общее правило сложения/вычитания дробей с одинаковым знаменателем:

Добро пожаловать на уроки математики Кейт! Учителя, обязательно ознакомьтесь с учебными пособиями и заданиями.

Вот несколько примеров.

Посмотрите урок о сложении дробей с общим знаменателем, чтобы увидеть больше примеров. Далее давайте посмотрим, что делать, если знаменатели не совпадают.

Сложение/вычитание дробей с разными знаменателями

Когда две дроби имеют разные знаменатели, это означает, что части, на которые разбито целое, имеют разный размер. Мы не можем объединить их сложением или вычитанием, пока не «исправим» их, найдя общий знаменатель.

Есть несколько способов найти общий знаменатель. Обычно мы хотим использовать наименьшее число, чтобы упростить задачу, поэтому мы ищем то, что называется наименьшим общим знаменателем (LCD). Это также называется поиском наименьшего общего кратного (НОК). Один из способов перечислите числа, кратные каждому знаменателю , и найдите наименьшее общее число, которое они имеют.

Кратность 5: 5, 10 , 15, 20 . . . .
Умножает 2: 2, 4, 6, 8, 10 . . . .

Наименьшее кратное, которое имеют два общих знаменателя, равно 10, поэтому мы можем переписать две дроби, используя 10 в качестве общего знаменателя. Для этого нам нужно умножить обе дроби на «причудливую форму 1». Не забудьте умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число.

После того, как ваши дроби переписаны с одинаковым знаменателем, вы можете объединить их вместе сложением или вычитанием.

Итак, вот общее правило сложения дробей с разными знаменателями:

Вот несколько примеров:

​В приведенной выше задаче 18 — это наименьшее возможное число, которое вы могли бы использовать в качестве общего знаменателя. Вы могли бы использовать большее число, которое также кратно 6 и 9., например 36 или 54.  Если вы использовали большее число, вам просто нужно в конце упростить дробь.

В приведенной выше задаче 20 — это наименьшее возможное число, которое вы могли бы использовать в качестве общего знаменателя. Вы могли бы использовать большее число, которое также кратно 10 и 4, например 40. Если вы использовали большее число, просто нужно убедиться, что дробь в конце упростилась.

Видео

Хотите увидеть больше примеров? Посмотрите короткое видео ниже.

Практика

Готовы попробовать складывать и вычитать дроби самостоятельно? Нажмите кнопку СТАРТ ниже, чтобы пройти пробный тест.

Работает на Interact

Хотите научиться умножать или делить дроби на дроби?

Сложение и вычитание дробей – Математика для учителей начальных классов

Дроби

Вот две очень похожие дроби: и . Что может означать их добавление? Может показаться разумным сказать:

   

   

Так что, возможно, представляет 5 пирогов среди 14 детей, что дает ответ . Очень заманчиво сказать, что «добавление дробей» означает «добавление пирогов и прибавление детей».

Беда в том, что дробь не пирог, а дробь не дитя. Таким образом, добавление кругов и добавление детей на самом деле не является добавлением дробей. Дробь это нечто другое. Это связано с пирогами и детьми, но что-то более тонкое. Дробь это сумма пирога на ребенка .

Нельзя добавлять пироги, нельзя добавлять детей. Вместо этого нужно добавить суммы, которые получают отдельные дети.

Пример: 2/7 + 3/7

Давайте потихоньку. Рассмотрим дробь. Вот изображение суммы, которую получает отдельный ребенок, когда семь детей получают два пирога:

Рассмотрим дробь . Вот картина суммы, которую получает отдельный ребенок, когда три пирога дают семерым детям:

Сумма соответствует сумме:

Ответ на картинке .

 

Подумай / Соедини / Поделись

Помните, что это означает «количество пирога, которое получает один ребенок, когда пять пирогов делятся на семь детей». Тщательно объясните , почему совпадает с картинкой, данной суммой выше:

В вашем объяснении должны использоваться как слова, так и изображения!

Большинство людей читают это как «две седьмых плюс три седьмых дает пять седьмых» и думают, что задача так же проста, как сказать «два яблока плюс три яблока дает пять яблок». И, в конце концов, они правы!

Вот как студентов сначала учат складывать дроби: Складывать дроби с одинаковым знаменателем кажется так же просто, как складывать яблоки:

4 десятых + 3 десятых + 8 десятых = 15 десятых.

   

(И, если хотите, .)

82 шестьдесят пятых + 91 шестьдесят пятых = 173 шестьдесят пятых:

   

Мы действительно добавляем суммы на ребенка не суммы, но ответы совпадают.

Мы можем использовать «Модель пирогов на ребенка», чтобы объяснить , почему сложение дробей с одинаковыми знаменателями работает таким образом.

Пример: 2/7 + 3/7

Подумайте о задаче на сложение:

   

 

Поскольку в обоих случаях у нас есть 7 детей, делящих пироги, мы можем представить, что это одни и те же 7 детей в обоих случаях. Сначала они делят 2 пирога. Затем они делят еще 3 пирога. Сумма, которую каждый ребенок получает к тому времени, когда все пироги будут разделены, будет такой же, как если бы 7 детей только что поделили 5 пирогов для начала. То есть:

   

 

   

Теперь давайте подумаем об общем случае. Мы утверждаем, что

   

Переводя на нашу модель, у нас есть дети. Во-первых, они делят пироги между собой и представляют сумму, которую получает каждый ребенок. Затем они делят больше пирогов, поэтому каждый ребенок получает дополнительное количество пирога. Сумма, которую получает каждый ребенок, равна .

Но не так уж важно, что дети сначала делят пироги, а потом делят пироги. Сумма, которую получает каждый ребенок, такая же, как если бы они начали со всех пирогов — со всех — и поделили их поровну. Это количество пирога представлено .

Подумай / Соедини / Поделись

• Как можно вычесть дроби с одинаковым знаменателем? Например, что такое

     

• Используйте модель «Пироги на ребенка», чтобы подробно объяснить, почему

     

• Объясните, почему тот факт, что знаменатели одинаковы, является существенным для этого метода сложения и вычитания. Где этот факт используется в объяснениях?

Этот подход к сложению дробей внезапно становится сложным, если задействованные знаменатели не являются одним и тем же общим значением. Например, что такое?

Сформулируем этот вопрос в терминах пирогов и детей:

Предположим, Пойндекстер входит в команду из пяти детей, которые делят два пирога. Позже он становится частью команды из трех детей, которые делят один пирог. Сколько всего пирога получает Пойндекстер?

 

Подумай / Соедини / Поделись

Обсудите эти вопросы с партнером, прежде чем читать дальше. На самом деле это очень сложная проблема! Что может сказать ученик, если он еще не знает о сложении дробей? Запишите любые свои мысли.

1. Видите ли вы, что это та же проблема, что и вычисление?
2. Каков наилучший подход к решению проблемы?

Один из способов ответить на этот вопрос о сложении — написать ряд альтернативных форм, используя наше правило ключевой дроби (то есть умножить числитель и знаменатель на 2, затем на 3, а затем на 4). , и так далее) и сделать то же самое для :

   

   

   

   

   

   

Мы видим, что проблема на самом деле та же, что и . Таким образом, мы можем найти ответ, используя метод того же знаменателя:

   

Пример: 3/8 + 3/10

Вот еще один пример сложения дробей с разными знаменателями: . В данном случае Валери входит в группу из 8 детей, которые делят 3 пирога. Позже она входит в группу из 10 детей, которые делят 3 разных пирога. Сколько всего пирога получила Валери?

   

   

   

   

   

     

   

Конечно, вам не нужно перечислять все эквивалентные формы каждой дроби, чтобы найти общий знаменатель. Если вы можете сразу увидеть знаменатель (или придумать более быстрый метод, который всегда работает), действуйте!

Подумай / Соедини / Поделись

Кэсси предлагает следующий метод для приведенного выше примера:

Когда знаменатели совпадают, мы просто складываем числители. Итак, когда числители одинаковы, не следует ли просто сложить знаменатели? Вот так:

   

Что вы думаете о предложении Кэсси? Имеет ли это смысл? Что бы вы сказали, если бы были учителем Кэсси?

Самостоятельно

Попробуйте эти упражнения самостоятельно.