Умножение числа на 0: что такое умножение, свойства 0, можно ли делить на 0

Ещё в школе учителя нам всем старались вбить в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!», но всё равно вокруг него постоянно возникает куча споров. Кто-то просто запомнил правило и не забивает себе голову вопросом «почему?». «Нельзя и всё тут, потому что в школе так сказали, правило есть правило!» Кто-то может исписать полтетради формулами, доказывая это правило или, наоборот, его нелогичность.

Оглавление:

• Кто в итоге прав
• Что такое умножение
• Что такое ноль
• Можно ли умножать на пустоту
• Деление

Содержание

Кто в итоге прав

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на барана, и доказывают всеми силами свою правоту. Хотя, если посмотреть на них со стороны, то можно увидеть не одного, а двух баранов, упирающихся друг в друга рогами. Различие между ними лишь в том, что один чуть менее образован, чем второй.

Это интересно: разрядные слагаемые что это?

Чаще всего, те, кто считают это правило неверным, стараются призвать к логике вот таким способом:

У меня на столе лежит два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то от этого мои два яблока не исчезнут! Правило нелогично!

Действительно, яблоки никуда не исчезнут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому что здесь использовано немного другое уравнение: 2+0 = 2. Так что такое умозаключение отбросим сразу — оно нелогично, хоть и имеет обратную цель — призвать к логике.

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Что такое умножение

Изначально правило умножения было определено только для натуральных чисел: умножение — это число, прибавленное к самому себе определённое количество раз, что подразумевает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно свести вот к такому уравнению:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Из этого уравнения следует вывод, что умножение — это упрощённое сложение.

Это интересно: что такое хорда окружности в геометрии, определение и свойства.

Что такое ноль

Любой человек с самого детства знает: ноль — это пустота, Несмотря на то, что эта пустота имеет обозначение, она не несёт за собой вообще ничего. Древние восточные учёные считали иначе — они подходили к вопросу философски и проводили некие параллели между пустотой и бесконечностью и видели глубокий смысл в этом числе. Ведь ноль, имеющий значение пустоты, встав рядом с любым натуральным числом, умножает его в десять раз. Отсюда и все споры по поводу умножения — это число несёт в себе столько противоречивости, что становится сложно не запутаться. Кроме того, ноль постоянно используется для определения пустых разрядов в десятичных дробях, это делается и до, и после запятой.

Это интересно: какой четырёхугольник называется квадратом?

Можно ли умножать на пустоту

Умножать на ноль можно, но бесполезно, потому что, как ни крути, но даже при умножении отрицательных чисел всё равно будет получаться ноль. Достаточно просто запомнить это простейшее правило и никогда больше не задаваться этим вопросом. На самом деле всё проще, чем кажется на первый взгляд. Нет никаких скрытых смыслов и тайн, как считали древние учёные. Ниже будет приведено самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, ведь при умножении числа на него всё равно будет получаться одно и то же — ноль.

Это интересно: что такое модуль числа?

Возвращаясь в самое начало, к доводу по поводу двух яблок, 2 умножить на 0 выглядит вот так:

• Если съесть по два яблока пять раз, то съедено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблок
• Если их съесть по два трижды, то съедено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблок
• Если съесть по два яблока ноль раз, то не будет съедено ничего — 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Ведь съесть яблоко 0 раз — это означает не съесть ни одного. Это будет понятно даже самому маленькому ребёнку. Как ни крути — выйдет 0, двойку или тройку можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если проще говоря, то ноль — это ничего, а когда у вас ничего нет, то сколько ни умножай — всё равно будет ноль. Волшебства не бывает, и из ничего не получится яблоко, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение правила умножения на ноль. Человеку, далёкому от всех формул и математики будет достаточно такого объяснения, для того чтобы диссонанс в голове рассосался, и всё встало на свои места.

Это интересно: формулировка и доказательство признаков параллелограмма.

Деление

Из всего вышеперечисленного вытекает и другое важное правило:

На ноль делить нельзя!

Это правило нам тоже с самого детства упорно вбивают в голову. Мы просто знаем, что нельзя и всё, не забивая себе голову лишней информацией. Если вам неожиданно зададут вопрос, по какой причине запрещено делить на ноль, то большинство растеряется и не сможет внятно ответить на простейший вопрос из школьной программы, потому что вокруг этого правила не ходит столько споров и противоречий.

Все просто зазубрили правило и не делят на ноль, не подозревая, что ответ кроется на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание — неравноправны, полноценны из перечисленного только умножение и сложение, а все остальные манипуляции с числами строятся из них. То есть запись 10: 2 является сокращением уравнения 2 * х = 10. Значит, запись 10: 0 такое же сокращение от 0 * х = 10. Получается, что деление на ноль это задание найти число, умножая которое на 0, получится 10. А мы уже разобрались, что такого числа не существует, значит, у этого уравнения нет решения, и оно будет априори неверным.

Расскажу тебе позволь,

Чтобы не делил на 0!

Режь 1 как хочешь, вдоль,

Только не дели на 0!

можно ли умножать на 0 и что при этом получается

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

Оглавление

• По две стороны спора
• Суть действия
• Целесообразность попыток
• Полезное видео
• Подведем итоги

По две стороны спора

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

Это интересно! Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Полезное видео

Подведем итоги

Правило умножения на нулевое значение порождает множество споров. Для понимания его сути достаточно рассмотреть пару примеров. Только запоминание формулировки позволит уяснить, можно умножать на 0 или нет.

Нулевое свойство умножения — определение, примеры

LearnPracticeDownload

Согласно нулевому свойству умножения, произведение любого числа на ноль всегда равно нулю. Это свойство применимо ко всем типам чисел, и его не следует путать со свойством тождества умножения, которое включает 1 в качестве элемента тождества и в котором произведение является самим числом. Давайте узнаем больше о нулевом свойстве умножения.

1.	Что такое нулевое свойство умножения?
2.	Разница между свойством идентичности и нулевым свойством умножения
3.	Часто задаваемые вопросы о нулевом свойстве умножения

Что такое нулевое свойство умножения?

Нулевое свойство умножения гласит, что когда мы умножаем число на ноль, произведение всегда равно нулю. Следует отметить, что этот ноль может стоять до или после числа. Другими словами, положение нуля не влияет на свойство. Это свойство применяется ко всем типам чисел, будь то целые числа, дроби, десятичные дроби или даже алгебраические термины. Например, 5 × 0 = 0, 8,4 × 0 = 0, 0 × 1/2 = 0, y × 0 = 0

Еще один важный момент, который следует иметь в виду, заключается в том, что операция деления не имеет свойства нуля, хотя деление является операцией, обратной умножению. Если мы разделим число на ноль, оно не даст нуля.

Разница между свойством идентичности и нулевым свойством умножения

Нулевое свойство умножения не следует путать со свойством идентичности умножения. Свойство Identity умножения гласит, что когда мы умножаем 1 на любое число, произведением является само число. Например, 7 × 1 = 7. Здесь «1» — это мультипликативная единица числа, а свойство представлено как: a × 1 = a = 1 × a. С другой стороны, нулевое свойство умножения гласит, что когда мы умножаем число на ноль, произведение всегда равно нулю. Например, 7 × 0 = 0,

Ссылки по теме

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными нулевому свойству умножения.

• Умножение
• Ассоциативное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения
• Аддитивная идентичность против мультипликативной идентичности

 

Нулевое свойство умножения Примеры

1. Пример 1. Что из следующего является примером нулевого свойства умножения?

   а.) 5 + 0 = 5

   б.) 5 × 1 = 5

   в.) 5 × 0 = 0

   Решение:

   а. ) В В первом случае, 5 + 0 = 5, числа складываются, а не умножаются, следовательно, это не означает нулевого свойства умножения.

   б.) Во втором случае 5 × 1 = 5 число не умножается на 0, следовательно, оно не обозначает нулевого свойства умножения.

   в.) В третьем случае 5 × 0 = 0 число умножается на 0, а произведение равно нулю, следовательно, оно показывает нулевое свойство умножения.

2. Пример 2. Используйте нулевое свойство умножения, чтобы найти пропущенные числа.

   а.) 32 × 0 = __

   б.) 65 × __ = 0

   в.) __ × 78 = 0 9000 3

   Решение:

   а) 32 × 0 = 0

   б.) 65 × 0 = 0

   в.) 0 × 78 = 0

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о нулевом свойстве умножения

Что такое нулевое свойство умножения?

Нулевое свойство умножения гласит, что при умножении числа на ноль произведение всегда равно нулю. Независимо от того, стоит ли этот ноль перед числом или после него, результатом всегда будет ноль. Это свойство применяется ко всем типам чисел, таким как целые числа, дроби, десятичные дроби и даже алгебраические термины. Например, 67 × 0 = 0, 98.4 × 0 = 0, 0 × 31/72 = 0, b × 0 = 0

Чем тождественное свойство умножения отличается от нулевого свойства умножения?

Свойство умножения Identity отличается от свойства нуля умножения. Согласно тождественному свойству умножения, если мы умножим 1 на любое число, произведение будет самим числом. Например, 42 × 1 = 42. Здесь «1» — мультипликативная единица числа, а свойство представлено как a × 1 = a = 1 × a. С другой стороны, нулевое свойство умножения говорит о том, что когда мы умножаем число на 0, произведение всегда равно 0. Например, 98 × 0 = 0.

В чем разница между ассоциативным свойством умножения и нулевым свойством умножения?

Ассоциативное свойство умножения отличается от нулевого свойства умножения. Согласно ассоциативному свойству умножения произведение трех и более чисел остается одним и тем же независимо от того, как они сгруппированы, а это означает, что изменение группировки множителей не меняет произведения. Например, (2 × 5) × 3 = 2 × (5 × 3) = 30. С другой стороны, нулевое свойство умножения говорит о том, что всякий раз, когда число умножается на ноль, результат равен нулю. Например, 23 × 0 = 0,

В чем разница между переместительным свойством умножения и нулевым свойством умножения?

Согласно коммутативному свойству умножения изменение порядка операндов или множителей не меняет произведение. Например, 5 × 4 = 4 × 5 = 20. Хотя мы знаем, что нулевое свойство умножения говорит о том, что всякий раз, когда число умножается на ноль, произведение равно нулю. Например, 6 × 0 = 0.

Каковы 3 свойства умножения?

Есть три основных свойства умножения:

• Переместительное свойство: Согласно переместительному свойству умножения, если мы изменим порядок множимых, это изменит произведение. Например, 3 × 2 = 6 и 2 × 3 = 6.
• Ассоциативное свойство: Согласно ассоциативному свойству умножения способ группировки множимых не меняет произведения этих чисел. Например, (4 × 2) × 3 = 24 и 4 × (2 × 3) = 24
• Распределительное свойство: В соответствии с распределительным свойством умножения, когда число умножается на сумму двух или более слагаемых, результат равен результату, полученному при умножении каждого слагаемого на число по отдельности. Например, если нам нужно решить 5(10 + 3), мы можем решить его обычным способом, сначала раскрыв скобки, то есть 5(10 + 3) = 5(13) = 65. Теперь, если мы применяем распределительное свойство умножения, чтобы решить этот вопрос, 5 (10 + 3), нам придется умножать число с обоими слагаемыми по отдельности, и мы получим тот же результат. Это означает, что 5(10 + 3) = (5 × 10) + (5 × 3) = 50 + 15 = 65,9.0050

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Объяснение «правила нулевой мощности». Показатели кажутся довольно простыми… | Бретт Берри | Math Hacks

Показатели кажутся довольно простыми, не так ли? Возведение числа в степень 1 означает, что у вас есть одно из этого числа, возведение в степень 2 означает, что у вас есть два числа, умноженные вместе, степень 3 означает, что число равно трем, и так далее.

А как же нулевая мощность? Почему любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1? А что произойдет, если мы возведем ноль в нулевую степень? Это все еще 1?

Посмотрите видео или прочитайте ниже, чтобы узнать!

Нажмите здесь, чтобы подписаться на Math Hacks

Давайте начнем с изучения деления значений с показателями степени.

Вызов показателей степени представляют собой повторное умножение . Таким образом, мы можем переписать приведенное выше выражение как:

Поскольку 2/2 = 1, сокращаем три набора 2/2. Это оставляет 2 • 2, или 2 в квадрате.

Конечно, мы можем пойти по более короткому пути и вычесть количество двоек внизу из числа двоек сверху. Поскольку эти величины представлены их соответствующими показателями степени, все, что нам нужно сделать, это записать общее основание с разницей в значениях степени в качестве степени.

Если мы обобщим это правило, то получим следующее, где n представляет собой ненулевое действительное число, а x и y также являются действительными числами.

Правило деления чисел с общим основанием

Отсюда легко вывести объяснение, почему любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1. Опять же, давайте рассмотрим конкретный пример.

Мы знаем, что любое ненулевое число, деленное само на себя, равно 1 . Таким образом, я могу написать следующее:

Это то же самое, что написать:

Теперь я воспользуюсь приведенным выше правилом экспоненты, чтобы переписать левую часть этого уравнения.

Конечно, это эквивалентно:

Мы можем использовать тот же процесс, что и в этом примере, вместе с приведенным выше обобщенным правилом, чтобы показать, что любое ненулевое действительное число, возведенное в нулевую степень, должно давать 1.

Здесь все становится сложнее. Приведенный выше метод не работает, потому что, конечно, делить на ноль нельзя. Давайте рассмотрим, почему.

Начнем с обычного деления на ноль ОШИБКА .

Как насчет 2÷0? Давайте посмотрим, почему мы не можем сделать это.

Деление на самом деле просто форма умножения, так что же произойдет, если я перепишу приведенное выше уравнение как:

Какое значение могло бы удовлетворять этому уравнению для x?

Нет значения! Любое число, умноженное на ноль, дает ноль, оно никогда не может равняться 2. Поэтому мы говорим, что деление на ноль не определено . Возможного решения нет.

Теперь давайте посмотрим на 0÷0.

Опять же, перепишите это как задачу на умножение.

Здесь мы сталкиваемся с совершенно другой ситуацией. Решением для x может быть ЛЮБОЕ действительное число! Невозможно определить, что такое x. Следовательно, 0/0 считается неопределенным*, а не неопределенным.

Если мы попытаемся использовать описанный выше метод с нулем в качестве основы, чтобы определить, какой будет ноль в нулевой степени, мы немедленно остановимся и не сможем продолжить, потому что знаем, что 0÷0 ≠ 1, но это неопределенно.

Так чему же равен ноль в нулевой степени?

Это очень обсуждается. Некоторые считают, что это должно быть определено как 1, в то время как другие считают, что это 0, а некоторые считают, что это не определено. Для каждого есть хорошие математические аргументы, и, пожалуй, наиболее правильно считать неопределенный .

Несмотря на это, математическое сообщество выступает за то, чтобы определял ноль в нулевой степени как 1, по крайней мере, для большинства целей.

Возможно, полезное определение показателей для математика-любителя выглядит следующим образом:

Включив в определение «1», мы можем заключить, что любое число (включая ноль), повторенное ноль умноженное на , дает 1.

* Исчисление Примечание:

Понятие неопределенных форм является обычным явлением в исчислении. Простой пример того, почему 0/0 является неопределенным, можно найти, изучив некоторые основные ограничения.

Подпишитесь на Math Hacks в Instagram

Эти ограничения нельзя оценить напрямую, поскольку они являются неопределенными формами. Вместо этого мы должны использовать правило Лопиталя , взяв производную от числителя и знаменателя отдельно, чтобы найти решения равные 2 и 3 соответственно.

При работе с уравнением, которое приводит к неопределенной форме нуля в степени нуль, во время практики исчисления обязательно применяйте методы для неопределенных величин, такие как правило Лопиталя, чтобы правильно оценить предел.