Умножение дробей | Математика

Умножение дробей — тема, включающая в себя действия с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями.

Запишем на одной странице все правила, касающиеся умножения обыкновенных дробей, смешанных и натуральных чисел.

1. Умножение обыкновенных дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель.

Произведение числителей записывают в числитель, знаменателей — в знаменатель. Если возможно, дроби следует сократить. Проще сокращать множители, чем результат.

   

Примеры умножения обыкновенных дробей:

   

   

   

2. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо числитель умножить на это число, а знаменатель оставить тем же.

   

Если возможно, дробь следует сократить. Если в результате получили неправильную дробь, нужно выделить из неё целую часть.

Примеры умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

   

   

   

3. Умножение смешанных чисел.

Чтобы умножить смешанные числа, надо перевести их в неправильные дроби и применить правило умножения обыкновенных дробей.

   

Примеры умножения смешанных чисел:

   

   

   

Примеры умножения смешанного числа и обыкновенной дроби:

   

   

4. Умножение смешанного числа на натуральное число.

1) Чтобы смешанное число умножить на натуральное, можно смешанное число перевести в неправильную дробь и применить правило умножения дроби на натуральное число.

Примеры умножения смешанного числа на натуральное число по первому правилу:

   

   

2) Чтобы умножить смешанное число на натуральное, можно отдельно умножить на это число целую часть, отдельно — дробную, и полученные произведения сложить.

Примеры умножения смешанного и натурального чисел по второму правилу:

   

   

В следующий раз рассмотрим все правила, касающиеся умножения десятичных дробей.

Правило умножения дробей

1. Главная
2. Математика
3. Дроби, делимость, пропорции
4. Правило умножения дробей

Каждая дробь состоит из двух чисел – числителя и знаменателя. А две дроби – из четырёх чисел. А когда требуют перемножить две дроби – что же делать с этими четырьмя числами? Как получить правильный результат такого умножения? Оказывается, нужно перемножить числитель с числителем и оставить над дробной чертой и перемножить знаменатель со знаменателем и оставить под дробной чертой.

Как умножить дробь на дробь?

Произведение дробей — это дробь, у которой в числителе произведение числителей, а в знаменателе — произведение знаменателей. Например:

²/₃ × ⁵/₇ = ^{2 × 5}/_{3 × 7}

Доказательство

Перемножим дроби ²/₃ и ⁵/₇. Их произведение, как любое произведение двух множителей  — это площадь прямоугольника со сторонами равными множителям. То есть ²/₃ × ⁵/₇ — это площадь прямоугольника со сторонами ²/₃ и ⁵/₇ некоторой единицы. За единицу возьмём дециметр, и построим прямоугольник ²/₃ дециметра на ⁵/₇ дециметра. Для этого построим квадрат 1 дм × 1 дм. Разделим его на 7 частей вдоль и на 3 части поперёк — получилась 21 одинаковая часть.

Теперь мы можем вписать в наш единичный квадрат 1 дм × 1 дм — нужный нам прямоугольник

2/₃ × ⁵/₇ и измерить его площадь.

Весь единичный квадрат поделен на 21 одинаковую часть, а измеряемый прямоугольник содержит 10 таких частей. Значит, измеряемая площадь равна ¹⁰/₂₁ от единицы. А ¹⁰/₂₁ — это как раз дробь, у которой в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей наших сомножителей. Что и требовалось доказать.

Урок математики в 6 классе «Умножение обыкновенных дробей»

Автор: Борисенко Ирина Валерьевна

Урок математики в 6 классе.

 

Тема: Умножение обыкновенных дробей.

                                   

Цель: создать ситуацию, при которой обучающиеся смогут вывести правило

           умножения дробей;

          сформировать умение умножать обыкновенные дроби.

 

Планируемые результаты:

Личностные: формировать устойчивый познавательный интерес, уважение к личности и её достоинству, доброжелательное отношение к окружающим.

Метапредметные результаты:

коммуникативные УУД: ученик получит возможность вступать в обсуждение, аргументируя свою точку зрения; развивать умение договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности на основе взаимоуважения к партнёру по работе;

регулятивные: ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что ещё неизвестно;

познавательные: записывать выводы в виде правил.

Предметные результаты: формулировать правило умножения обыкновенных дробей; применять правило умножения обыкновенных дробей при решении заданий.

                   

Учебное оборудование: раздаточный материал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ход урока:

 

1.Мотивация учебной деятельности.

Цель: включение учащихся в деятельность.

 

Добрый день, ребята! Проверьте вашу готовность к уроку. У каждого из вас на парте лежит дополнительный материал, по мере необходимости вы будете его использовать на уроке, и оценочная карта.

 

2.Актуализация знаний.

Цель: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

 

Работаем устно:

1)Как называются данные числа? 2/3, 4/9, 11/8, 12/5.

Как называются первые 2 дроби?

Какие дроби называются правильными?

Какими являются 3 и 4 дроби?

Какие дроби называются неправильными?

2)Сократите дроби: 21/49, 10/30, 16/24, 44/110.

3)Вычислите: 1/5 * 5, 6 * 1/6, 1/24 * 12, 4 * 3/8, 14 * 2/21, 15 * 4/25, 3 * 5/18.

Поставьте каждый себе оценку за устный счёт в оценочную карту.

 

3.Постановка проблемы.

Цель: сформулировать тему, цели урока.

 

На доске записаны несколько примеров на различные действия с дробями.

Все ли действия мы на данный момент можем выполнять?

Какой пример мы пока не можем решить?

Почему?

Как мы можем сформулировать тему урока?

Умножение обыкновенных дробей.

Какие цели мы поставим на сегодняшний урок?

Чему мы хотели бы сегодня научиться?

А что нам для этого нужно? Правило.

Т. е. нужно

— вывести правило умножения обыкновенных дробей;

— научиться умножению обыкновенных дробей;

— применять правило умножения обыкновенных дробей при решении задач и примеров.

 

4.Открытие учениками нового знания.

Цель: организовать решение проблемной ситуации.

 

Давайте попробуем вывести правило умножения.

Задача: Длина прямоугольника 4/5 дм., а ширина 2/3дм. Чему равна площадь прямоугольника?

Из рисунка видно, что данный прямоугольник можно получить так: разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм. на 5 одинаковых частей и взять 4 части, а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части.

При таком делении квадрат будет состоять из скольки равных частей? (15)

А прямоугольник будет состоять из скольки таких частей? (8)

S прямоугольника = 8/15 дм.²

С другой стороны как можно записать площадь прямоугольника? (произведение длины на ширину)

4/5 * 2/3 =8/15

Посмотрите, а как из произведения 2 дробей мы получим 8/15? (перемножим числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем).

Давайте сформулируем правило умножения дроби на дробь. (……)

Обычно записывают произведение числителей и знаменателей, производят сокращение, затем выполняют умножение.

Сравните вывод с правилом в учебнике (с. 69)

Поставьте сами себе оценку в графе «Формулировка правила».

 

5.Этап закрепления изученного материала. Первичное закрепление.

Цель: организовать решение и объяснить задание.

А сейчас мы будем закреплять правило, к которому мы пришли.

Номера на доске.

№ 433 (2, 3 строки)

№ 434

№ 437

 

6.Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Решаем самостоятельно № 433 (1 строка).

Поменялись тетрадями с соседом по парте, проверяем ответы.

5 правильных ответов – «5»

4 правильных ответа – «4»

3 правильных ответа – «3»

1-2 правильных ответа –«2»

Ставим в оценочную карту соседа оценку в графе «работа по парам».

 

7.Самостоятельная работа по теме прошлого урока.

В 1 № 431

В 2 № 432

В 3 № 430

 

8.Этап контроля и оценки. Итог урока. (рефлексия деятельности).

Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов своей деятельности и всего класса.

 

Какая задача стояла перед нами в начале урока?

Можно ли считать, что мы сами вывели это правило?

Что нам помогло?

Где можно применить новые знания?

 

9.Домашнее задание.

Выучить правило & 15, № 472 (а-е), 474, 478 (б)

 

 

 

 

comments powered by HyperComments

Умножение дробей — Математика — Уроки

Просмотр содержимого документа
«Умножение дробей»

Умножение и деление обыкновенных дробей

Устная работа

Сформулируйте правило умножения дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Сформулируйте правило деления дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Устный счет

1. Сократите дробь:

.

2. Выделите целую часть:

3. Запишите число в виде неправильной дроби:

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме «Умножение и деление обыкновенных дробей»

1. Установите соответствие:

1)

А)

2) Б)

В)

3)

Г)

4) Д)

5) Е)

1

Б

2

Г

3

Е

4

Д

5

А

2. Работа в парах

1. Найдите произведение:

2. Выполните деление:

3. Найдите корень уравнения:

1

2

А)

3

— 2 балл

А)

— 2 балл

Ответ: x = 5

Б) — 2 балл

5 балл

Б) — 2 балл

В) — 2 балл

В) — 2 балл

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

«ХЛОПУШКА»

 

 

 

 

 

 

 

 

Неправильная дробь

Правильная дробь

3. Работа по группам

1. Переведите в неправильную дробь

2. Выделите целую часть:

3. Выполните деление:

4. Выполните умножение: * 30

5. Выделите целую часть:

О

Р

Б

Ь

Д

Первым европейским учёным, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник Фибоначчи (Леонардо Пизанский). В 1202 г. он ввёл слово «дробь». Название «числитель» и «знаменатель» ввёл в XIII веке Максим Плануд.

Максим Плануд

Леонардо Пизанский

Современная запись Выглядела раньше

Критерии оценивания:

Оценка «5» – 15-17 баллов

Оценка «4» – 12-14 баллов

Оценка «3» — 9-11 баллов

Домашнее задание: №744, 747 стр.121

Спасибо за внимание!

Задачи на нестандартные логические мышления.

• У какого слона нет хобота?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Можеш найти здесь ошибку?

3) Дана последовательность букв:

А,Б,В,Г,Д, _?

Правила умножения неправильных дробей. Умножение и деление дробей

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 7 11 на 9 8 .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

Все решение можно записать так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 2 27 на 5 .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Умножение обыкновенных дробей

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ: $\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}.$

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

• разделить числитель на имеющийся знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное — целое;
• и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение прибавляется к числителю;
• результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

• две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
• нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
• подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
• в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
• если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

• перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
• найти произведение числителей;
• найти произведение знаменателей;
• записать получившийся результат;
• максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
• найти произведение, несмотря на запятую;
• в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Конспект урока по математике «Умножение дробей» 6 класс

Урок математики по теме: «Умножение дробей». 6-й класс

Цели урока:

Обучающие: 1)сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, правило умножения обыкновенных дробей;

2)вырабатывать у учащихся навыки применения правил при выполнении действий.

Развивающие:

1)развитие аналитического мышления учащихся;

2)формирование умения выделять главное и обобщать.

Воспитывающие:

формирование умения организовать свою деятельность.

Тип урока: изучение нового материала.

Задачи урока:

настроить детей на рабочий лад;

повторить правила сложения, вычитания дробей; сложения и вычитания смешанных чисел;

проверить умение детей выполнять сложение и вычитание дробей;

сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число; правило умножения обыкновенных дробей;

отрабатывать навыки умножения дроби на натуральное число, дроби на дробь;

проверить уровень усвоения материала.

По завершении урока учащийся должен:

Знать: правило умножения дроби на натуральное число; дроби на дробь.

Уметь: умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь.

Методы организации учебной деятельности: проблемный, объяснительно-иллюстративный, использование ИКТ.

Оборудование: учебник математики 6-й класс, автор Н. Л. Виленкин; сборник математических диктантов; мультимедийный проектор.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (2 мин.) (Приложение. Слайд 2)

Учитель. Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти

До самой сути.

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности истекших дней

До их причины,

До оснований, до корней,

До сердцевины

Всё время схватывая нить

Судеб, событий,

Жить, думать, чувствовать, любить

Свершать открытья.

– На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

2. Вводный контроль (3 мин.)

Учитель. Начнём урок с повторения. (Приложение. Слайд 3)

1 вариант 2 вариант

1) 2-2/3 =1 1/3 п 1)5-7/12 =4 5/12 л

2) 2 ½-1/3 =2 1/6 л 2) 3 1/5-1/7=3 2/35 о

3) 3 1/4+4 1/5 =7 9/20 а 3) 2 1/8+3 1/3=5 11/24 м

4) 2/5-1/3 =1/15 н 4) 2/3+1/9 =7/9 а

5) 1/6+5/12=7/12 у 5) 5-3 5/6=1 1/6 т

6) 2-1 11/12 =1/12 д 6) 3/5+6/25 =21/25 ь

ПЛАНУД ЛОМАТЬ

Сначала на слайде видны примеры и таблицы ответов, затем ответы и слова.

Рассказывает учащийся, подготовленный дома.

Первое понятие дроби появилось в древнем Египте много веков назад. У многих народов дроби называли ломаными числами. Этим названием пользуется и автор первого русского учебника по математике Л.Ф.Магницкий. В русском языке слово «дробь» появилось лишь в VIII веке.

Происходит слово “дробь” от слова “дробить, разбивать, ломать на части”. Современное обозначение дробей берет своё начало в древней Индии; дробная черта появилась в записи дробей лишь около 300 лет назад. Название “числитель” и “знаменатель” ввёл в употребление греческий монах учёный-математик Максим Плануд. Для запоминания: “Человек стоит на земле”. Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка “попасть в дроби”, что означает попасть в трудное положение.

Учитель: задача сегодняшнего урока – доказать, что дроби не смогут поставить вас в трудное положение.

Какие правила вы применяли?

Как читается правило сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями?

Как выполнить сложение смешанных чисел?

Как выполнить вычитание смешанных чисел?

Повторяем правила сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями. Учащиеся формулируют правила.

3. Сообщение темы урока (4 мин.)

Учитель. Какие действия вы умеете выполнять и знаете правило, как это сделать? Какие действия с обыкновенными дробями нам предстоит научиться выполнять?

Дети. Действия с дробями. Мы умеем сравнивать, складывать, вычитать дроби с разными знаменателями и эти же действия со смешанными числами.

Учитель. Сегодня на уроке будем работать над темой:

«Умножение дробей». Сформулируем правило умножения дробей, научимся его применять.

Подготовительная работа (Приложение. Слайд 4)

Замените сумму произведением:

5 + 5 + 5 = 5 • 3

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 • 7

а + а + а + а + а + а = а•6

Замените произведение суммой (Приложение. Слайд 5):

3 • 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

8 • 2 = 8 + 8

b • 3 = b + b + b

4. Изучение нового материала (10 мин.)

Задача. (Приложение. Слайд 6)

Скорость улитки 2/3 см /мин. Какое расстояние проползёт улитка за 4 минуты?

– Что неизвестно в задаче?

– Как найти расстояние, зная скорость и время? (Скорость умножить на время)

– Мы умножать не умеем, а только складывать и вычитать.

– Как быть?

– Как быстрее получить? (Заменить произведение суммой одинаковых слагаемых).

2/3• 4 =2/3 +2/3+2/3+2/3 =8/3 = 2 2/3 см.

Что значит умножить 2/3 на 4? (Найти сумму четырёх слагаемых каждое из которых равно 2/3).

Сравните 2/3 • 4 и 8/3 , что интересного заметили? (Числитель дроби 8/3 равен произведению числителя дроби 2/3 и числа 4, а знаменатель остался без изменения.)

Попробуем сформулировать правило умножения дроби на натуральное число.

Дети выдвигают версии правила умножения дроби на натуральное число. (Приложение. Слайд 7)

– Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Записывают в буклет правило умножения дроби на число (начало правила уже вписано, нужно только закончить).

5. Закрепление новых знаний (10 мин.)

Задача: отработать навыки умножения дроби на натуральное число и дроби на дробь. (Приложение. Слайд 8)

№ 427 б, в – на доске, г – с комментированием на месте, ж, з – самостоятельно.

б) 5/18*12=5*12/18=10/3=3 1/3

в) 7/15*40=7*40/15=56/3=18 2/3

г) 7/8*24=7*24/8=21

ж) 2/3*1=2/3

з)19/20*0=0 .

Физкультминутка (3 мин.)

Сокращение дробей. Если верно – поднимаем руки вверх, неверно – делаем круговые движения головой. (Приложение. Слайд 9)

6/8 = 1/3; 21/49 = 3/8; 15/20 = 3/4; 16/32 = 1/3.

6. Работа с учебником (5 мин.)

Цель: научиться умножать дробь на дробь.

– Самостоятельно рассмотрите по учебнику задачу 2 на стр 71. Попробуйте сформулировать правило умножения дроби на дробь.

Дети формулируют правило, оно появляется на слайде. (Приложение. Слайд 10)

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

– Выполните умножение дробей (учащиеся проговаривают правило): № 433 (в; е – на доске; з; и – с комментированием с места; к; л – сам-но, 2 человека за доской).

в)4/7*5/6=10/21

е)11/12*8/9=11/27

з)11/15*3/5=11/25

и)15/16*5/9=25/48

к)12/25*9/16=27/100

л)14/17*34/63=4/9

– Нужно ли в данном случае находить отдельно произведение числителей и произведение знаменателей? (Нет, нужно сначала сократить дробь, а затем умножить оставшиеся множители.)

– Прочитайте текст в учебнике на стр71 под рубрикой «Говори правильно».

– Выполните умножение дробей (на доске):

а) 4/7*14/25*5/16=4*14*5 /7*25*16=3/10

б) 24/7*21/15*35/36=24*21*35 /7*15*36=14/9=1 5/9

– Составьте алгоритм умножения трёх и более дробей (Приложение. Слайд 11)

При умножении и трёх и более дробей:

Удобнее сначала в числителе записать произведение всех числителей, в знаменателе – произведение всех знаменателей.

Сократить получившуюся дробь.

Выполнить умножение оставшихся множителей.

Если надо, выделить целую часть.

7. Рефлексия (1 мин.) (Приложение. Слайд 12)

Я хорошо понял, как умножать дроби (приклеить на круг зелёную полоску).

Я не всё понял, у меня были ошибки (приклеить на круг жёлтую полоску).

Я не понял, как умножать дроби (приклеить на круг красную полоску).

Приклеивают полоски на круг и показывают.

8. Домашнее задание (1 мин.) (Приложение. Слайд 13)

п.13 (1, 2), № 472 (а, б, ж, з), № 478 (а, б), дополнительное задание в буклете.

9. Итог урока (2 мин.)

Учитель. Какое открытие вы сделали для себя сегодня на уроке? Как умножить дробь на натуральное число? Как умножить дробь на дробь?

Дети. Научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь. Учащиеся отвечают правило.

Урок разработали

учителя математики

Гарайшина Г.Р.

Закирова Н.И.

Нуриахметов А.Р.

Так как дробь  равна частному 2 : 3, то и частное от деления одного выражения на другое можно записать с помощью черты. Например, выражние (41,3 — 4,4) : (15,3 + 33,9) можно записать так: . Выполнив указанные действия, найдем значение этого выражения: 0,75 или .

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
Например, − дробные выражения.
Выражение, стоящее над чертой, называют числителем, а выражение, стоящее под чертой, — знаменателем дробного выражения. Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения.
С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями.

Пример 1. Найдем значение выражения .
Решение. Умножив числитель и знаменатель этого дробного выражения на 6, получим:

Пример 2. Найдем произведение  и .
Решение. 

Пример 3. Найдем сумму .
Решение. .
При сложении дробных выражений удобнее сначала представить их в виде обыкновенных дробей, а потом уже выполнять сложение:

.

Урок математики по теме: «Умножение дробей», 6-й класс

Цели урока.

Обучающая:

• сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число,
• правило умножения обыкновенных дробей;
• вырабатывать у учащихся навыки применения правил при выполнении действий.

Развивающая:

• развитие аналитического мышления учащихся;
• формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

Воспитывающая: формирование умения организовать свою деятельность.

Тип урока: комбинированный.

Задачи урока:

• настроить детей на рабочий лад;
• повторить правила сложения, вычитания дробей; сложения и вычитания смешанных чисел;
• проверить умение детей выполнять сложение и вычитание дробей;
• сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число; правило умножения обыкновенных дробей;
• отрабатывать навыки умножения дроби на натуральное число, дроби на дробь;
• проверить уровень усвоения материала.

По завершении урока учащийся должен:

• Знать: правило умножения дроби на натуральное число; дроби на дробь.
• Уметь: умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь.

Методы организации учебной деятельности: проблемный, объяснительно-иллюстративный.

Формы организации учебной деятельности:

• опрос по цепочке;
• игра-тренинг;
• деловая игра “Точка зрения”.

Оборудование:

• учебник математики 6-й класс, автор Н. Л. Виленкин;
• сборник математических диктантов;
• кодоскоп;
• тренировочный диск по математике 6-й класс.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин).

Задача: настроить детей на рабочий лад.

Учитель. Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие. По этому поводу Борис Пастернак сказал:

Во всем мне хочется дойти
До самой сути.
В работе, в поисках пути,
В сердечной смуте.
До сущности истекших дней
До их причины,
До оснований, до корней,
До сердцевины
Всё время схватывая нить
Судеб, событий,
Жить, думать, чувствовать, любить
Свершать открытья.

На сегодняшнем уроке мы тоже попытаемся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным.

(Высказывания учащихся).

2. Вводный контроль (3 мин).

Задача: повторить правила.

Учитель. Начнём урок с повторения. 10 человек садятся за компьютеры для выполнения тренировочных упражнений. Остальные работают с заданиями на кодоскопе.

Найти пропущенное число:

Какие правила вы применяли?

Как читается правило сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями?

Как выполнить сложение смешанных чисел?

Как выполнить вычитание смешанных чисел?

10 человек выполняют тренировочные упражнения на компьютере на сложение, вычитание, сокращение дробей.

Остальные учащиеся работают с кодоскопом.

Повторяем правила сложения, сравнения, вычитания дробей с разными знаменателями. Учащиеся отвечают правила.

3. Сообщение темы урока (2 мин).

Задача: подвести детей к формулировке темы и цели урока.

Учитель. Какую тему мы изучаем? Какие действия вы умеете выполнять и знаете правило, как это сделать? Какие действия с обыкновенными дробями нам предстоит научиться выполнять?

Дети. Действия с дробями. Мы умеем сравнивать, складывать, вычитать дроби с разными знаменателями и эти же действия со смешанными числами.

Учитель. Тема нашего урока зашифрована на доске. Расшифруйте её.

4. Подготовительный этап к усвоению нового материала (7 мин).

Задача: подготовить детей к восприятию нового материала, повторив изученное ранее.

На доске карточки с числами, на другой стороне буквы. Задания на кодоскопе. Решив пример, находим получившееся число, поворачиваем карточку, открываем букву.

Учитель. Сформулируйте тему урока. Чему вы должны научится на уроке?

Дети.

Ответы:

Умножение дробей. Сформулировать правило умножения дробей, научиться его применять.

5. Изучение нового материала (10 мин).

Задача: помочь учащимся самим сформулировать правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число и дроби на дробь.

Задача.

В стакан входит литра сока. Сколько сока понадобится для 7 человек?

Учитель. Мы умножать не умеем, а только складывать и вычитать. Как быть? Как быстрее получить ?

Попробуем сформулировать правило умножения дроби на натуральное число. Для того чтобы сформулировать это правило, выполним первое задание на умножение на компьютере. Попробуйте сформулировать правило умножения обыкновенных дробей.

Запись в тетради:

24 ноября.
Классная работа.
Умножение дробей.
Задача.

Дети выдвигают версии правила умножения дроби на натуральное число.

Учащиеся с подсказкой компьютера выполняют задание и пытаются сформулировать правило в ходе игры “Точка зрения”.

6. Закрепление новых знаний (10 мин).

Задача: отработать навыки умножения дроби на натуральное число и дроби на дробь. 10 человек отрабатывают навыки умножения дробей на компьютере. Остальные работают с учебником.

№ 413 б, ж, з, д, е (Работа в группах). После 5 мин. работы группы меняются местами.

7. Математический диктант (5 мин).

Задача: проверить уровень усвоения материала.

1) Выполните умножение дробей

2) Найдите произведение дробей

3) Выполните умножение

140 · ⁵/₇ ; 160 · ³/₈

Ответы:

I вариант	II вариант

8. Домашнее задание (1 мин).

§13 (1,2), № 457 а,б,ж,з, № 463 а,б.

9. Итог урока (2 мин).

Учитель. Какое открытие вы сделали для себя сегодня на уроке? Как умножить дробь на натуральное число? Как умножить дробь на дробь?

Дети. Научились умножать дробь на натуральное число, дробь на дробь.

Учащиеся отвечают правило.

Умножение дробей — Math28

Контенидо

Что такое дробное умножение?

Умножение дробей — одна из основных операций, позволяющая получить третью дробь, которая будет произведением предыдущих, что известно как «Произведение» или «Результат умножения».

Узнать больше о: » Умножение » →

Символ или знак умножения дробей

Умножение дробей представлено символом креста или «х», оно также может быть представлено с помощью средней точки, символ умножения известен как «на».

Узнать больше о: » Операции с дробями » →

---

Как мы умножаем дроби?

Для получения числового значения в виде дробей существует только одна процедура умножения дробей либо с разными знаменателями, либо с одинаковыми знаменателями.

При умножении дробей числители дробей умножаются, а знаменатели расходятся.

В следующем примере дроби 1/3 и 2/6 перемножаются, определяются числители обеих дробей, соответствующие 1 и 2, перемножаются и результат помещается в числитель. Теперь определите знаменатели обеих дробей, соответствующие 3 и 6, умножьте и поместите результат в знаменатель.

1 / 3

х

2 / 6

=

1 х 2 / 3 х 6

=

2 / 18

Результат 2/18 можно упростить, потому что и числитель, и знаменатель можно уменьшить вдвое.Таким образом, половина от 2 равна 1, а половина от 18 равна 9.

Примечание : Дроби 2/18 и 1/9 эквивалентны, поскольку они представляют одну и ту же сумму.

Пример:

2 / 3

х

4 / 3

=

2 х 4 / 3 х 3

=

8 / 9

5 / 2

х

6 / 2

=

5 х 6 / 2 х 2

=

30 / 4

5 / 6

х

4 / 3

=

5 х 4 / 6 х 3

=

20 / 18

8 / 3

х

2 / 4

=

8 х 2 / 3 х 4

=

16 / 12

Из предыдущих примеров можно упростить 30/4 = 15/2, 20/18 = 10/9 и 16/12 = 4/3.

Упражнение:

---

Умножение трех или более дробей

Процедура похожа на две дроби, умножение выполняется в строке, числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

4 / 2

х

5 / 3

х

3 / 2

=

4 х 5 х 3 / 2 х 3 х 2

=

60 / 12

=

10 / 2

= 5

Пример:

3 / 2

х

4 / 2

х

8 / 2

=

3 х 4 х 8 / 2 х 2 х 2

=

96 / 8

3 / 4

х

5 / 4

х

10 / 4

=

3 х 5 х 10 / 4 х 4 х 4

=

150 / 64

2 / 3

х

4 / 2

х

4 / 6

=

2 х 4 х 4 / 3 х 2 х 6

=

32 / 36

5 / 4

х

4 / 8

х

3 / 2

=

5 х 4 х 3 / 4 х 8 х 2

=

60 / 64

Из предыдущих примеров можно упростить 96/8 = 12, 32/36 = 8/9 и 60/64 = 15/18.

Упражнение:

А)

4 / 3

х

7 / 2

х

3 / 2

= ? Б)

4 / 2

х

5 / 2

х

3 / 4

= ? С)

3 / 2

х

7 / 2

х

3 / 2

= ? Д)

6 / 6

х

7 / 6

х

2 / 6

= ? Посмотреть результат

---

Умножение смешанных дробей

При умножении смешанных дробей необходимо, чтобы вся часть выражалась в виде дроби, имеющей тот же знаменатель, что и в сопровождающей ее дробной части.Например, чтобы выполнить следующее смешанное умножение:

1.- Вся часть умножается на знаменатель прилежащей дроби. 4 х 5 = 20 3 х 8 = 24

2.- К результату умножения добавляется числитель соответствующей дроби.

3.- После преобразования смешанных дробей можно выполнить умножение.

22 / 5

х

28 / 8

=

22 х 28 / 5 х 8

=

616 / 40

Узнать больше о: « Смешанные фракции » →

Смысл умножения дробей.Как превратить дробь в процент — Полный курс арифметики

1 2	× 8 означает  половину 8, что равно 4.

1 4	× 20 означает одна четвертая от 20, что равно 5.

3 4	× 20 означает три четверти от 20, что равно 15.

. 15 × 20 означает	Пятнадцать сотых от 20, что равно 3.
	(Одна сотая от 20 равна . 2.)

Ибо, согласно смыслу умножения, мы должны многократно складывать множимое столько раз, сколько единиц в множителе.В множителе ½ есть половина 1. Следовательно, мы должны добавить множимое 8 один раз в два раза. Мы должны взять половину 8.

Кроме того, хотя «½ × 8» выглядит как умножение, умножать нечего. «½ × 8» — это символическое сокращение от «Половина 8». И чтобы вычислить его, мы должны разделить. (Урок 15.) Теперь мы можем начать понимать, почему у нас есть правила отмены.

Это еще одно применение дробей помимо чисел, необходимых для измерения: умножение на дробь означает часть множимого.

Таким образом, символическое утверждение «4 = ½ × 8» выражает отношение 4 к 8: «4 — это половина 8».

Наиболее общее определение умножения см. в Разделе 3.

Пример 1.  Вычислить × 21 «Две трети от 21». (Мы можем прочитать « × 21» как «Две трети от 21», а не «Две трети умножить на 21».)

Одна треть от 21 равна 7 — «3 входит в 21 семь (7) раз.» 2 × 7 = 14,

(Урок 15, Вопрос 6.)

Если бы задача состояла только в том, чтобы оценить две трети от 21, учащемуся не пришлось бы прибегать к письму × 21.

Просто скажите: « Одна треть от 21 равна 7. Итак, две трети равны 14». (Урок 15.) Цель этого урока — объяснить, что значит умножить на как дробь.

Проблема. × 32.  Что это значит?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!

Подсчитайте.

«Одна восьмая от 32 равна 4. Итак, пять восьмых пять раз 4: 20».

Сравните урок 15, пример 5.

Пример 2.   Вычислить × 5.  «Три четверти от 5».

Решение . Хотя 5 не делится точно на 4, мы все же можем взять его четвертую часть — разделив на 4:

.

«4 превращается в 5 один (1) раз, и 1 остается.»

Один четвертый из 5 равен 1; следовательно, три четвертых равны 3 × 1 = 3.

(Урок 26.)

В качестве альтернативы мы можем сначала умножить:

× 5 = = 3,

«4 входит в число 15 три (3 ) раза (12) с оставшимися 3.»

Видим:

Мы можем сначала взять часть или сначала умножить .

См. ниже.Сравните урок 11.

Пример 3.   Вы собираетесь совершить путешествие в четыре мили и прошли две трети пути. Как далеко вы зашли?

Решение . Надо взять две трети от 4.

» Одна треть от 4 равна 1.»

= 1.

«Следовательно, две трети равны  2 × 1 = 2.»

Вы прошли 2 мили.

Пример 4.Сколько стоит пятая часть от 3?

Решение . Хотя мы могли бы написать × 3 = , мы знаем, что для нахождения пятой части числа нужно разделить на 5. А 3 ÷ 5 равно . Урок 11, Пример 17.

Следовательно, мы могли бы знать сразу:

Пятая часть 3 равна .

Пример 5.   Сколько стоит четверть 9 галлонов?

Ответить . = 2 галлона.

«4 входит в число 9 два раза, а 1 остается.»

Пример 6. Задача калькулятора. Тим и его деловой партнер вложили 71 000 долларов в недвижимость. Тим вложил 51 000 долларов, а его партнер — 20 000 долларов.

Им пришлось продать недвижимость с убытком за 48 000 долларов. Если каждый получит ту же долю, что и вложил, сколько получит каждый?

Решение . Во-первых, какую часть из 71 000 долларов вложил Тим? 51 000 составляет какую часть от 71 000? Это из этого.(Урок 20. Обратите внимание, что мы можем опустить последние 0.)

Нам нужно найти ту самую дробь от 48000:

× 48000.

Пресс

См.:

Доля Тима составит 34 479 долларов. (Урок 12.)  Поэтому доля его партнера в компенсации разницы составит

48 000 долларов – 34 479 долларов США = 13 521 долларов США.

Пример 7   Сколько денег составляет 64 квартала?

  Ответ .64 четверти будут равны 64 × 0,25 доллара США. Но по свойству порядка умножения

64 × . 25 = . 25 × 64.

Теперь . 25 — десятичная дробь для ¼. Следовательно, мы можем оценить 64 четверти, взяв 90 257 за одну 90 258 четверть из 64. И мы можем сделать это, взяв половину половины. (Урок 16.)

Половина от 64 равна 32. Половина от 32 равна 16. Следовательно, 64 четверти равны 16 долларам.

Пример 8.Игровой автомат в казино платил 93 четверти. Сколько это денег?

  Ответ . Чтобы найти четверть от 93, разделите 93 на 4. Мы можем легко сделать это в уме, разложив 93 на числа, кратные 4. Например:

.

93 = 80 + 12 + 1.

Разделив каждое слагаемое на 4, мы получим

.

20 + 3 + ¼ = 23¼.

Таким образом,

93 четверти стоят 23,25 доллара.

Пример 9. В рецепте требуется 3 стакана муки и 4 стакана молока.Пропорционально, сколько молока вы должны использовать, если

а)  используете 1½ стакана муки? б) вы используете 2 стакана муки?

c) вы используете 2½ стакана муки?

  Ответы.

а) 1½ стакана муки составляют половину 3 стаканов. Поэтому вы должны использовать половину как
а) много молока. Вы должны использовать 2 чашки.

б) 2 стакана муки составляют две трети от 3 стаканов.Это соотношение 2 чашек к 3. б) Следовательно, вы должны использовать две трети молока.

× 4 = = 2 стакана молока.

 c) Какое отношение имеет 2½ стакана муки к исходным 3 стаканам?

При выражении 2½ неправильной дробью, затем при перекрестном умножении:

равно 3, как 5 равно 6.

2½ чашки пять шестых 3 чашки.

Следовательно, вы должны использовать пять шестых 4 чашек молока.

× 4 = = 3 = 3 стакана молока.

Правила дробей — объяснение, части и часто задаваемые вопросы

Дроби — это математический способ представления части чего-то целого. Они представлены в виде числителя и знаменателя. Мы называем верхнюю часть (или часть, которая представляет, какую часть чего-то целого мы рассматриваем) числителем, а нижнюю часть (которая представляет, сколько равных частей мы сделали из чего-то целого) называем знаменателем.

Дробь = Числитель/Знаменатель

Части дроби

Частями дроби являются:

1. Числитель: Числитель — это число, которое находится сверху. Он показывает, сколько равных частей целого или коллекции считается.

2. Знаменатель: Число под чертой является знаменателем. Он показывает общие равные части, которые мы сделали из целого.

Например, у нас есть арбуз и мы сделали из него 8 равных частей, тогда в знаменателе дробей будет 8.Теперь, если мы хотим представить пять частей из них, тогда дробь будет ⅝. Если мы хотим представить только одну часть из них, то дробь будет ⅛. Как показано на следующем рисунке.

Правила дробей

Мы изучили множество математических операций, таких как сложение, вычитание, деление и умножение, а также получили новый способ представления дробей. Можем ли мы выполнять эти математические операции и с дробями? Ответ положительный.В этом разделе мы будем выполнять различные математические операции с правилами дробей.

1. Правило сложения дробей

Как сложить две дроби? Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при сложении двух дробей.

• Нельзя складывать дроби с разными знаменателями.

• Чтобы сложить дроби, прежде всего, нам нужно приравнять знаменатель, взяв наименьшее общее кратное, которое является НОК чисел, присутствующих в знаменателе.

• После того, как знаменатель станет прежним, соответственно изменятся и числители.

• Теперь добавьте эти новые числители, чтобы получить желаемый результат.

Например: Предположим, мы хотим добавить ¼ к ¼. Затем заметьте, что знаменатель уже тот же, и даже если мы возьмем наименьшее общее кратное знаменателя, то оно тоже будет всего лишь 4. Теперь мы можем сложить числители 1 + 1 = 2. Следовательно, искомый результат будет 2/4. Также обратите внимание, что 4 является общим кратным 2 и 4.Так что можно отменить. Таким образом, после упрощения мы получаем ½.

Мы также можем понять это с помощью следующей схемы:

2. Дробное правило вычитания

Вычитание почти такое же, как сложение. Вместо того, чтобы складывать числители, мы будем их вычитать. Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при вычитании двух дробей.

• Дроби с разными знаменателями нельзя вычитать.

• Чтобы вычесть дроби, прежде всего, нам нужно приравнять знаменатель, взяв наименьшее общее кратное, которое является НОК чисел, присутствующих в знаменателе.

• После того, как знаменатель станет прежним, соответственно изменятся и числители.

• Теперь вычтите эти новые числители, чтобы получить желаемый результат.

Например: Предположим, мы хотим вычесть ¼ из ¾. Затем заметьте, что знаменатель уже тот же, и даже если мы возьмем наименьшее общее кратное знаменателя, то оно тоже будет всего лишь 4.Теперь мы можем вычесть числители, 3-1=2. Следовательно, искомый результат будет 2/4. Кроме того, обратите внимание, что 4 является общим кратным 2 и 4. Поэтому его можно отменить. Таким образом, после упрощения мы получаем ½.

Мы также можем понять это с помощью следующей диаграммы:

3. Правило умножения дробей

Как умножить две дроби? Будет ли это то же самое, что сложение или вычитание, когда мы должны сделать знаменатели одинаковыми? Ответ — нет.При умножении этого делать не нужно. Есть некоторые правила, которые мы должны помнить при умножении двух дробей.

• Дроби с разными знаменателями можно умножать.

• Числитель умножается только на числитель, а знаменатель умножается только на знаменатель.

• Мы не можем умножать числители на знаменатели, однако их можно разделить.

Например: Предположим, мы хотим умножить ⅔ на 3/15.Мы знаем, что числитель будет умножаться только на числитель. Итак, 2 × 3 = 6. Следовательно, 6 будет числителем нашего желаемого результата. Для знаменателей 3 × 15 = 45. Следовательно, 45 будет знаменателем нашей искомой дроби.

Таким образом, умножение ⅔ на 3/15 будет 6/45. Также обратите внимание, что их можно еще больше упростить. После упрощения получаем 2/15.

См.:

⅔ × 3/15

= 2 × 3/3 × 15

= 6/45

= 2/15

4. Дробь Правило деления

90 определенные правила и выполнить несколько шагов.Нам нужно умножить первую дробь на обратную вторую. Деление включает в себя несколько шагов, которые необходимо выполнить:

1. Замените знак деления (÷) на умножение (×).

2. Если мы поменяем знак деления на умножение, то мы должны написать обратную величину второго члена или дроби.

3. В конце концов, мы просто перемножаем их, чтобы получить требуемый ответ.

Вот пример деления дробей:

Предположим, нам нужно разделить 3/2 на 5/4.

3/2 ÷ 5/4

Шаг 1: Изменение знака на умножение от деления и запись обратной величины второго члена [÷5/4 =× 4/5].

 = 3/2 × 4/5

Шаг 2: Умножение первой на обратную вторую дробь.

 = (3 × 4)/(2 × 5)

= (3 × 2)/ (1 × 5)

= 6/5

Шаг 3: Получение упрощенного результата выражения.

Деление дробей — это умножение дробей простым преобразованием второй дроби в обратную.

Знаете ли вы?

Есть еще один способ представления дробей — десятичные. Они взаимозаменяемы друг с другом. Десятичные дроби можно разделить на конечные и неконечные. Если они не заканчиваются, то далее делятся на повторяющиеся и неповторяющиеся десятичные дроби. Только отсюда идет определение рациональных чисел и иррациональных чисел. Если они либо заканчиваются, либо не прекращаются и повторяются, то мы называем их рациональными числами.Если они не прекращаются и не повторяются, то мы называем их иррациональными числами.

Пицца Кто-нибудь? Знакомство с дробями (+ умножение)

Добро пожаловать на 2-ю неделю январского курса «Назад к основам математики» — краткого обзора основных математических знаний, необходимых для выполнения повседневных задач. Ответы на вопросы о целых числах прошлой пятницы находятся в конце этого поста.

Когда дети впервые изучают дроби, учителя часто обращаются к тому, что могут оценить все, кроме людей с непереносимостью лактозы или глютена, — к пицце! (И я могу сопереживать склонным к аллергии.Представьте себе безмолочный овощной пирог с корочкой из поленты — ням!)

По очень веской причине: дроби — это просто части целого. Когда вы разрезаете пиццу на 12 равных частей, вы создаете двенадцатые части. Чтобы подсчитать их, вы должны начать с одного куска и считать вокруг пиццы (или в случайном порядке, без разницы): одна двенадцатая (1/12), две двенадцатых (2/12), три двенадцатых (3). /12)… вплоть до 12 двенадцатых (12/12) или всей пиццы (1). Половина пиццы составляет шесть двенадцатых (6/12) или половину (1/2).Четверть пиццы составляет три двенадцатых (3/12) или одну четвертую (1/4). Возьми?

(Хорошо, так что очень, очень сложно написать сообщение в блоге о дробях. В Word я могу полагаться на что-то, называемое MathType , для написания дробей, которое я создам для примеров ниже. Но в абзацах это не работает. так хорошо. Так что, пожалуйста, потерпите меня!)

Возможно, имеет смысл начать со сложения и вычитания, но в данном случае лучше начать с умножения и деления. (Осторожно, спойлер: вы будете использовать умножение для сложения и вычитания.Действительно.) Но, как и в случае с целыми числами, умножать и делить дроби очень, очень просто.

Итак, вернемся к той пицце. Допустим, у вашего сына день рождения, и он хочет подать пиццу. Если каждый ребенок может съесть 1/4 пиццы, а на вечеринке 12 детей, сколько пицц вам нужно купить? (Серьезно, это не такой глупый вопрос, как может показаться. Мне пришлось разобраться с этим в реале.)

Вы действительно умножаете здесь две дроби? Почему да.Да, вы! На самом деле любое целое число можно записать в виде дроби — просто используйте само число в качестве числителя (верхнее число в дроби) и 1 в качестве знаменателя (нижнее число в дроби). Итак…

А вот и правило умножения. Просто умножьте числители вместе, а затем знаменатели вместе.

Насколько это просто? Но что на самом деле означает 15/4? Это называется неправильной дробью, что означает, что у нее числитель больше знаменателя.Но у него гораздо большее значение — неправильные дроби больше единицы.

Сколько пицц составляет 15/4? Ну это тоже легко.

Дроби означают деление. Итак, чтобы превратить неправильную дробь в делим знаменатель на числитель. Но 4 не делится на 15 поровну. На самом деле, 4 входит в число 15 три раза, и 3 остаются. (Или, как сказал ваш третьеклассник: 3 с остатком 3.)

Целое число равно количеству раз, которое 4 делится на 15. Остаток становится числителем дроби, а 4 остается в знаменателе.Вот так:

Ура! Это означает, что вам нужно 3 и 3/4 пиццы. Я не знаю ни одной пиццерии, которая бы доставляла таким образом, так что округляйте до 4 пицц, и ​​все готово.

Это много информации. Итак, вот краткое резюме:

1. Любое целое число можно записать в виде дроби. Просто используйте число в числителе и поставьте 1 в знаменателе.

2. Чтобы умножить дроби, умножьте числители вместе, а затем умножьте знаменатели вместе.

3. Чтобы заменить неправильную дробь смешанным числом, разделите знаменатель на числитель. Целочисленный ответ — это целое число в смешанном числе. Остаток в числителе, а знаменатель остается прежним.

Покажите мне (а еще лучше — себе), что у вас получилось с этими примерами. У меня будут ответы в посте в среду. Вопросы? Спросите их в разделе комментариев.

Ответы на контрольные вопросы пятницы: -30, -2, 5, 32, -14.Как ты это сделал?

Деление дробей

Умножение и деление являются обратными операциями. Когда мы делим на 2, мы также можем решить ту же задачу, умножив на ½.

Подумайте о 36 ÷ 2, что равно 18. Половина от 36, или 36 x 1/2, также равно 18.

Мы можем использовать это свойство, чтобы помочь нам делить дроби.

Метод 1:

Умножение на обратное, также иногда называемое «Сохранить, изменить, перевернуть».

Вот как это работает.Вы переписываете вопрос на деление как вопрос на умножение, переворачивая вторую дробь.

Пример №1:

Перепишите этот вопрос как

Итак

Пример #2:

Перепишите этот вопрос как

Итак

Пример #3:

Сначала запишите целое число как дробь. 6

Затем измените вопрос на

Затем оставьте первое число, замените деление на умножение, а затем переверните вторую дробь.

Пример #4:

Начните с записи 5 в виде дроби. 5

Теперь мы можем переписать вопрос как задачу на умножение.

Итак

Существуют и другие способы деления дробей, если вы не можете вспомнить эти шаги.

Метод 2:

Найдите общий знаменатель и затем разделите числители.

Пример #5:

Начните с переписывания задачи с общими знаменателями.Лучший знаменатель равен 6.

Теперь, когда у нас есть общие знаменатели, мы можем просто разделить числители.

Давайте еще раз пройдемся по шагам.

Пример #6:

Наименьшим общим знаменателем для этого примера будет 40.

Теперь мы готовы разделить.

Этот метод работает, но для его решения требуются общие знаменатели. Этот первый вариант не требует общих знаменателей, но вы должны не забыть перевернуть вторую дробь и изменить задачу на умножение.

Ссылки по теме:
Math
Fractions
Fraction Division Worksheets
Math Vocabulary — Division and Fractions Quiz
Convert Decimals to Fractions Quiz
Сравните и упорядочите дроби Quiz
Умножьте дроби Quiz


Правило продукта, правило частного и правило степени — подготовка к оценке TSI

Экспоненты используются для отображения многократного умножения.Например, 4 ³ означает 4 · 4 · 4 = 64.

В этом разделе мы рассмотрим основные правила экспонент.

Правило произведения показателей a ^m a ⁿ = a ^{m + n}

При умножении экспоненциальных выражений с одинаковым основанием сложите показатели степени.

Пример :

Умножить: 4x ³ · −6x ²

Решение :

Коэффициенты умножения: 4 · −6 = −24

Используйте правило произведения для умножения переменных: x ³ · x ² = x ^{3 + 2} = x ⁵

4x ³ · −6x ² = −24x ⁵

Частное правило экспонент

При делении экспоненциальных выражений, имеющих одинаковое основание, вычесть показатели степени.

Пример :

Упрощение:

Решение :

Коэффициенты деления: 8 ÷ 2 = 4

Используйте правило частного для деления переменных:

Степенное правило показателей (a ^m ) ⁿ = a ^mn

При возведении экспоненциального выражения в новую степень умножьте показатели степени.

Пример :

Упрощение: (7a ⁴ b ⁶ ) ²

Решение :

Каждый множитель в скобках следует возвести в степень 2 ^-й :

.

(7A ⁴ B ⁶ ) ² ) ² = 7 ² ( ⁴ ) ² (B ⁶ ) ²

Упростите, используя правило степени степени:

(7A ⁴ B ⁶ ) ² ) ² = 7 ² ( ⁴ ) ² (B ⁶ ) ² = 49A ⁸

арифметика — умножение и сложение дробей

Допустим, у вас есть 2 дроби, которые нужно умножить, например, $\frac{2}{7}$ и $\frac{4}{5}$.

Тогда правило умножения, которое вы объяснили выше, означает, что:

$$\frac{2}{7} \times \frac{4}{5}=\frac{2\times4}{7\times5}=\frac{8}{35}$$

В целом:

$$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$

Теперь, чтобы объяснить, почему это работает, вам нужно рассмотреть, что такое дробь или что она означает. $\frac{2}{7}$ на самом деле означает $2\div7$.

Итак, выше, когда я делал $\frac{2}{7} \times \frac{4}{5}$, я фактически делал то же самое, что и $(2\div7)\times(4\div5)$ .

Теперь: визуализируйте пирожные (или пиццу, или пироги). Допустим, у меня есть 3 торта. Если я умножу количество тортов, которые у меня есть, на 5, то я возьму 5 наборов по 3 торта, чтобы сделать 15 тортов. Если я разделю количество тортов, которые у меня есть, на 6, я попытаюсь разделить торты на 6 групп одинакового размера. Так что у меня получится 6 половинок.

Теперь обратите внимание, что произойдет, если я сначала умножу свои 3 пирожных на 5, а затем разделю на 6. Я получаю тот же ответ, что и при делении сначала на 6, а затем умножении на 5.

Таким образом, порядок не имеет значения, когда дело доходит до умножения и деления (обратите внимание, что вы все равно должны обращать внимание на скобки).

Следовательно, мы могли бы переставить то, что у нас было выше:

$$\frac{2}{7} \times \frac{4}{5}=(2\div7)\times(4\div5)=2\div7\times4\div5=2\times4\div7\div5 =(2\times4)\div(7\times5)=\frac{2\times4}{7\times5}$$

Другой полезный способ понять сказанное выше — подумать об аналогии между сложением/вычитанием и умножением/делением.

То, что я сказал выше, останется верным, если я заменю все $+$ и $-$ на $\times$ и $\div$ соответственно (игнорируя все дроби, так как для них нет знака «дробь»). вычитание).То, как связаны эти две пары, очень похоже.

Если бы я задал ваш первоначальный вопрос, но вместо этого со сложением/вычитанием, то это было бы что-то вроде:

Покажите мне, почему это правило работает:

$$(5-3)+(4-9)=(5+4)-(3+9)$$ $$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$$

Это потому, что вы можете изменить порядок вещей, не меняя смысла. В математике это означает, что операция «коммутативна».

Еще один способ понять это — рассмотреть идею «инверсий».Обратная операция отменяет операцию. Так, например, если я добавляю 5 к числу, обратной операцией будет вычитание 5 из нового числа, так как это возвращает меня к исходному числу.

Вычитание — операция, обратная сложению. Деление — это операция, обратная умножению.

С инверсиями вы можете изменить порядок выполнения действий.