правила, примеры, решения, как умножить натуральное число на смешанную дробь

Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.

Умножение смешанных чисел

Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Используем правила умножения смешанных чисел:

Определение 1

• Умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
• Использование правила умножения дроби на дробь.

Рассмотрим решения на примерах.

Пример 1

Сделать умножение 357 и 1211.

Решение

Для начала умножаем смешанные числа в виде неправильных дробей: 357=3·7+57=267 и 1211=1·11+211=1311.

Умножение смешенных дробей заменяем умножением обыкновенных: 357·1211=267·1311.

После чего получим 267·1311=26·137·11=33877.

Дробь несократимая, поэтому выделяем целую часть:33877=43077.

В итоге получим 357·1211=267·1311=26·137·11=33877=43077.

Ответ: 357·1211=43077.

Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.

Пример 2

Произвести умножение 715·119.

Решение

Смешанные числа 715 и 119 можно представить в виде неправильных дробей: 135 и 109.

Получим, что 715·119=365·109=36·105·9.

Этот этап характеризуется применением правила сокращения дроби, тогда получим 36·105·9.

Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:

36·105·9=2·2·3·3·2·55·3·3=2·2·21=8

Ответ: 715·119=8.

Умножение смешенного и натурального числа

После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби  и натурального числа.

Пример 3

Произвести умножение 2518 и 45.

Решение

Представляем смешанное число 2518 в виде неправильной дроби 4118, получим 2518·45=4118·45=41·4518. Необходимо заменить на простые множители и выделить целую часть:

41·4518=41·3·3·52·3·3=41·52=2052=10212

Ответ: 2518·45=10212.

Умножение смешенного и натурального числа рассматривается, как решение с распределительным свойством умножения относительно сложения. Получаем, что произведение смешанного  и натурального числа равно сумме произведений целой части на натурально число и дробной части на данное натуральное число, тогда получаем, что abc·n=a+bc·n=a·n+bc·n.

Пример 4

Вычислить 1038·8.

Решение

Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:

1038·8=10+38·8=10·8+38·8=80+3=83

Ответ: 1038·8=83.

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.

Пример 5

Умножить 323 на 415.

Решение

Заменим данное смешанное число 323 при помощи дроби 113, тогда получим, что 323·415=113·415=4·113·15=4445.

Ответ: 323·415=4445.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Умножение смешанных дробей – правило как умножать

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 312.

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 312.

Смешанные дроби пугают учеников своей громоздкостью. В таких числах две части, их не всегда получается удачно записать, что уж говорить о расчетах. Разберемся подробнее в умножении смешанных дробей, чтобы допускать ошибки при вычислении.

Что такое смешанная дробь?

Смешанной дробью называют дробь, у которой выделили, целую часть. Часто преобразование неправильной дроби в смешанную выполняют после решения примера. Это считается правилом хорошего тона: не оставлять неправильную дробь в результатах.

Однако встречаются примеры, где приходится складывать, вычитать и даже умножать смешанные дроби. В результатах таких примеров может оказаться, что угодно, поэтому не нужно бояться собственных вычислений. После вычитания или умножения смешанных дробей могут получится как целые числа, так и дроби или смешанные числа.

Сложение и вычитание смешанных дробей

Складывать и вычитать смешанные дроби достаточно просто:

• Выполняется действие над целой частью.
• Выполняется действие над дробной частью.
• Если при вычитании дробной части числа оказалось недостаточно, разрешается взять единицу у целой части.
• Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, следует выделить целую часть и прибавить ее к сумме целых частей начальных дробей.

Cледует строго следить за числами при переводе из смешанных чисел в дробные и обратно. Помните, потеря части числа может существенно сказаться на результате.

Умножение смешанных дробей

Умножение смешанных дробей процесс более сложный. Начнем с того, что умножать отдельно целые и дробные части нельзя. Так же нельзя умножать числитель на целую часть другого числа. Не забывайте, что целая и дробная часть представляют собой единое число, которое нельзя использовать в вычислениях по частям.

Поэтому перед тем как умножать смешанные дроби, прибегают к хитрости: смешанные числа превращают в неправильные дроби и перемножают. Потом, если результатом является неправильная дробь, то у числа выделяют целую часть.

Чтобы выделить целую часть неправильной дроби, нужно целую часть умножить на числитель, к получившемуся числу прибавляют знаменатель

Поэтому правило умножения смешанных чисел можно сформулировать так: Чтобы перемножить два смешанных числа, требуется перевести числа в неправильные дроби. После этого числитель первого множителя умножается на числитель второго множителя, а знаменатель первого множителя умножается на знаменатель второго множителя.

Что мы узнали?

Мы вспомнили, что такое смешанные числа. Поговорили о том, как складывать и вычитать смешанные числа. Отдельно выделили правило умножения смешанных чисел. Сказали, что смешанные числа без преобразований умножать нельзя.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 312.

---

А какая ваша оценка?

Экспертное репетиторство по математике в Великобритании

30-ДНЕВНОЕ ОБЕЩАНИЕ | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЕГ*

*T&C Apply

LearnPracticeDownload

Умножение дробей со смешанными числами включает в себя умножение дроби и смешанного числа. Мы будем изучать шаги умножения дробей со смешанными числами вместе с примерами в этой статье.

1.	Как умножать дроби со смешанными числами?
2.	Шаги умножения дробей со смешанными числами
3.	Часто задаваемые вопросы об умножении дробей на смешанные числа

Как умножать дроби со смешанными числами?

Чтобы умножить дроби со смешанными числами, мы сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем обычное умножение дробей, при котором числители умножаются отдельно, а знаменатели умножаются отдельно и упрощаются для получения результата. Например, (1/3) × \(1\dfrac{1}{2}\) = (1/3) × (3/2) = 3/6 = 1/2. Мы подробно изучим шаги по умножению дробей со смешанными числами в следующем разделе.

Обратите внимание на следующие пункты, которые помогут вам при умножении дробей со смешанными числами.

• Смешанные числа представляют собой комбинацию целого числа с правильной дробью, такой как \(1\dfrac{4}{7}\). Здесь 1 — целое число, а 4/7 — правильная дробь.
• Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить результат к числителю правильной дроби, сохранив знаменатель. Например, чтобы преобразовать \(1\dfrac{2}{9}\) в неправильную дробь, мы умножаем 1 и 9, т. е. 1 × 9 = 9, и результат прибавляем к 2, т. е. 9 + 2 = 11. Таким образом, неправильная дробь равна 11/9.
• Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель неправильной дроби на ее знаменатель. Частное становится целой частью числа, остаток становится числителем правильной дроби, а знаменатель остается прежним. Например, чтобы преобразовать 11/7 в смешанное число, мы сначала разделим 11 на 7 и получим частное как 1, а остаток как 4. Таким образом, смешанное число равно \(1\dfrac{4}{7}\) .

Этапы умножения дробей со смешанными числами

Давайте рассмотрим пример, чтобы понять шаги умножения дробей со смешанными числами.

Пример: Умножьте дробь 2/5 на \(3\dfrac{1}{3}\).

Мы должны выполнить (2/5) × \(3\dfrac{1}{3}\).

• Шаг 1: Преобразуем заданное смешанное число в неправильную дробь, т. е. \(3\dfrac{1}{3}\) = 10/3.
• Шаг 2: Теперь мы умножим данную дробь 2/5 на дробь, полученную на предыдущем шаге. т. е. (2/5) × (10/3).
• Шаг 3: Чтобы умножить (2/5) × (10/3), мы будем умножать числители и знаменатели дробей отдельно, то есть (2 × 10) / (5 × 3).
• Шаг 4: Чтобы упростить это, мы уменьшим общие множители в числителе и знаменателе, что даст нам (2 × 2) / 3.
• Шаг 5: После выполнения расчета получаем в результате 4/3.
• Шаг 6: Если произведение представляет собой неправильную дробь, мы преобразуем его в смешанное число. т. е. 4/3 = \(1\dfrac{1}{3}\).

Следовательно, результат (2/5) × \(3\dfrac{1}{3}\) равен \(1\dfrac{1}{3}\).

Статьи по теме

Ознакомьтесь с этими статьями, посвященными концепции умножения дробей со смешанными числами

• Смешанные числа
• Неправильные дроби
• Правильная дробь
• Дроби

 

Умножение дробей со смешанными числами Примеры

1. Пример 1. Умножьте дробь 2/9 на смешанную дробь \(2\dfrac{1}{3}\).

   Решение: Для решения задачи мы будем использовать этапы умножения дробей на смешанные числа. Преобразуем смешанную дробь \(2\dfrac{1}{3}\) в неправильную дробь. т. е. \(2\dfrac{1}{3}\) = 7/3. Теперь умножим 2/9и 7/3.

   ⇒ (2/9) × (7/3)

   = (2 × 7) / (9 × 3)

   = 14/27

   Таким образом, произведение 2/9 и \(2\dfrac {1}{3}\) равно 14/27.

2. Пример 2. Что получится, если дробь 4/15 умножить на смешанную дробь \(17\dfrac{1}{2}\)?

   Решение: Давайте используем шаги умножения дробей со смешанными числами для решения задачи. Преобразовав смешанную дробь \(17\dfrac{1}{2}\) в неправильную дробь, мы получим 35/2. Теперь мы умножим 4/15 и 35/2.

   ⇒ (4/15) × (35/2)

   = (4 × 35) / (15 × 2)

   = (2 × 7) / 3 [Путем упрощения и устранения общих множителей]

   = 14/3

   = \(4\dfrac{2}{3}\)

   Таким образом, мы получаем результат как \(4\dfrac{2}{3}\), когда дробь 4/15 умножается на смешанная дробь \(17\dfrac{1}{2}\) .

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по умножению дробей на смешанные числа

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об умножении дробей на смешанные числа

Как умножать дроби со смешанными числами?

Чтобы умножить дроби со смешанными числами, мы сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а затем умножаем две дроби и упрощаем их.
Например, давайте умножим 7/8 и \(1\dfrac{4}{7}\)
= (7/8) × \(1\dfrac{4}{7}\)
= (7/8) × (11/7)
= (7 × 11) / (8 × 7)
= 11/8

Как умножать дроби со смешанными числами и целыми числами?

Дроби умножаются на смешанные числа, сначала заменяя смешанное число неправильной дробью, а затем умножая их. Например, (1/2) × \(1\dfrac{1}{2}\) = (1/2) × (3/2) = 3/4. Чтобы умножить дроби на целые числа, мы запишем целое число в дробной форме, написав знаменатель как 1, а затем умножив две дроби. Например, (2/5) × (7/1) = 14/5.

Каковы шаги умножения дробей со смешанными числами?

Шаги для умножения дробей со смешанными числами приведены ниже:

• Шаг 1: Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
• Шаг 2: Умножьте числители и знаменатели двух дробей по отдельности.
• Шаг 3: Упростите, исключив общие факторы, чтобы получить наименьшую форму результата.
• Шаг 4: Если получена неправильная дробь, преобразуйте ее обратно в смешанное число.

Пример: (1/6) × \(2\dfrac{2}{3}\)
= (1/6) × (8/3)
= (1 × 8) / (6 × 3)
= (1 × 4) / (3 × 3)
= 4/9

Каково правило умножения дробей со смешанными числами?

Правило умножения дробей со смешанными числами заключается в том, что смешанное число необходимо сначала преобразовать в неправильную дробь, а затем умножить соответствующие числители и знаменатели двух дробей, чтобы получить результат в наименьшей форме.

Как умножать дроби со смешанными числами с разными знаменателями?

Умножение дробей со смешанными числами, имеющими разные знаменатели, можно легко умножить так же, как обычное умножение дробей. Для этого смешанное число придется изначально преобразовать в неправильную дробь. Далее числитель этой неправильной дроби будет умножен на числитель данной дроби. Знаменатели также будут умножены. Результат будет дополнительно упрощен для получения результата.
Например, (8/9) × \(3\dfrac{1}{3}\) 90 175 = (8/9) × (10/3)
= (8 × 10) / (9 × 3)
= 80/27
= \(2\dfrac{26}{27}\)

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочие листы по умножению дробей со смешанными числами

Рабочие листы по математике и
визуальный учебный план

Умножение дробей

При умножении дробей чтобы найти произведение двух или более дробей, вам просто нужно выполнить эти три простых шага.

Шаг 1:  Перемножьте числители. Числители также называются верхними числами.

Шаг 2:  Перемножьте знаменатели. Знаменатели также называются нижними числами.

Шаг 3:  Наконец, попробуйте упростить продукт , если необходимо , чтобы получить окончательный ответ.

Например, обратите внимание, что мы делаем, когда умножаем следующие дроби: 3/4 × 4/6.

Шаг 1: Умножьте 3 и 4, чтобы получить 12, и 12 будет числителем произведения

Шаг 2: Умножьте 4 и 6, чтобы получить 24, и 24 будет знаменателем произведения

3/4 × 4/6 = (3 × 4)/(4 × 6) = 12/24

Шаг 3: Разделите числитель и знаменатель на 12, чтобы упростить дробь. 12 — это наибольший общий делитель (НОД) чисел 12 и 24.

3/4 × 4/6 = 1/2

Приведенный выше пример прост. Однако при умножении дробей вы можете задаться вопросом о следующих случаях.

• Умножение дробей с разными знаменателями
• Умножение дробей с одинаковым знаменателем
• Умножение дробей с целыми числами
• Умножение дробей со смешанными числами
• Умножение неправильных дробей с различные виды дробей.

  Правила умножения дробей

  Правило 1:  Самое важное правило – умножать прямо. Другими словами, умножьте числители, чтобы получить новый числитель или числитель произведения. Умножьте знаменатели, чтобы получить новый знаменатель или знаменатель произведения.

  Правило 2:  Другое важное правило заключается в том, чтобы перед умножением всегда преобразовывать смешанные дроби, также называемые смешанными числами, в неправильные дроби.

  Правило 3: Перед умножением преобразовывайте целые числа в дроби.

  Правило 4: Умножение дробей — это не то же самое, что сложение дробей. Поэтому не надо искать наименьший общий знаменатель!

  Правило 5: Упростите произведение или запишите дробь, на которую заканчивается после выполнения умножения, если это необходимо.
  

  Умножение дробей с разными знаменателями

  Когда вы умножаете дроби с разными знаменателями, просто имейте в виду правило 4  , изложенное выше. Не ищите общего знаменателя! Правила сложения дробей и умножения дробей не совпадают.

  Например, обратите внимание, что мы не ищем общий знаменатель при умножении следующих дробей: 1/5 × 2/3.

  Шаг 1:  Умножьте 1 и 2, чтобы получить 2

  Шаг 2:  Умножьте 5 и 3, чтобы получить 15

  1/5 × 2/3 = (1 × 2)/(5 × 3) = 2/15

  Шаг 3:  2/15 уже

  1/5 × 2/3 = 1/2

  Умножение дробей с одинаковым знаменателем

  Когда вы умножаете дроби с одинаковым знаменателем, просто выполните то же самое вы делаете, когда дроби имеют разные знаменатели.

  Пример: Умножение 3/4 и 1/4

  3/4 × 1/4 = (3 × 1)/(4 × 4) = 3/16. , указанный выше. Перед умножением преобразуйте целое число в дробь.

  Обратите внимание, что любое целое число x  можно записать в виде дроби x /1, поскольку любое число, деленное на 1, вернет то же число.

  Например, если вы умножаете целое число 5 на другую дробь, перед умножением запишите 5 как 5/1.
  

  Пример:  Умножить 5 и 2/3

  5 × 2/3 = 5/1 × 2/3

  5 × 2/3 = (5 × 2)/(1 × 3) = 10/ 3

  Умножение дробей со смешанными числами

  
  

  При умножении дробей со смешанными числами важно помнить правило 2 . Вы должны сначала преобразовать любое смешанное число в дробь, прежде чем умножать.

  Предположим, вы умножаете дробь на 2 1/3. Поскольку 2 1/3 — смешанное число, его необходимо преобразовать в дробь.

  2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = (6 + 1) / 3 = 7/3

  Пример:  Умножьте 1/6 и 2 1/3

  1/6 × 2 1/3 = 1/6 × 7/3

  1/6 × 7/3 = (1 × 7)/(6 × 3) = 7/18

  Умножение неправильных дробей

  
  

  Умножение неправильных дробей выполняется в соответствии с правилом 1 . Просто умножьте прямо. Одной вещью, которую вы точно не захотите делать здесь, является преобразование неправильных дробей в смешанные числа.

  Это будет очень контрпродуктивно, так как вам придется конвертировать их обратно в неправильные дроби.

  Пример:  Умножить 9/2 и 3/5

  9/2 × 3/5 = (9 × 3)/(2 × 5) = 27/10 умножение дробей

  1. Рекомендую ознакомиться с таблицей умножения. Вы сможете выполнять умножение дробей намного быстрее.
  

  2. Иногда полезно упростить дроби перед умножением, чтобы упростить расчеты.

  Взгляните на следующий пример:

  10 / 20

  ×

  3 / 15

  10 / 20

  можно упростить как 1 / 2

  Разделить числитель и знаменатель на 10

  3 / 15

  можно упростить как 1 / 5

  Разделить числитель и знаменатель на 3

  Таким образом, проще выполнить умножение, чтобы получить

  1 / 10

  
  2. Иногда полезно упростить дроби перед умножением.

  Взгляните на следующий пример:

  10 / 20

  ×

  3 / 15

  
  

  10 / 20

  можно упростить как 1 / 2

  После деления числителя и знаменателя на 10

  3 / 15

  можно упростить как 1 / 5

  После деления числителя и знаменателя на 3

  Таким образом, проще выполнить умножение, чтобы получить

  1 / 10

  
  

  3. Если у вас есть три или более дробей, просто умножьте на все числители и на все знаменатели

  Идем немного глубже! Почему мы умножаем дроби прямо?

  Я хотел бы начать тему с интересного примера о пицце.

  Предположим, вы купили пиццу среднего размера, и в ней 8 кусков.

  Если кто-то съест половину вашей пиццы или 4 куска, у вас останется

  4 / 8

  На приведенной ниже иллюстрации также видно, что остаток такой же, как и

  1 / 2

  Если вы решили, что съедите только 1 ломтик из оставшихся 4 ломтиков, вы съедите

  1 / 4

  из остатков.
  
  Помните, что остатки

  1 / 2

  Вы также можете утверждать, что съели только 1 ломтик из 8 ломтиков или

  1 / 8

  
  Таким образом, мы видим, что съесть 1/4 часть 1/2 — это то же самое, что съесть 1/8.
  Другой способ получить

  1 / 8

  заключается в выполнении следующего умножения:
  
  

  ×

  «=»

  Мы получаем этот ответ, умножая числа сверху (числители): 1 × 1 = 1

  и умножая числа внизу (знаменатели): 4 × 2 = 8

  Это интересный результат, но все, что вам нужно помните следующее:

  Когда вы умножаете дроби, вы должны умножать прямо.