Сложение дробей — как складывать дроби 🤔

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.

Основные свойства дробей 1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю. 2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. 3. Равными называются такие a/b и c/d, если: 4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

• От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
• Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
• Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
• При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей. 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить результат суммы двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

• 90 : 15 = 6,
• 90 : 18 = 5.

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
  

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.

 

Сложение и вычитание дробей — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Как сложить обыкновенные дроби: с одинаковыми/разными знаменателями

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно сложить обыкновенные (простые) дроби с одинаковыми/разными знаменателями и смешанные дроби. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.

Сложение дробей

С одинаковыми знаменателями

В данном случае все предельно просто. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями суммируются числители, а знаменатель остается неизменным.

 
Примечание: полученную путем сложения новую дробь в некоторых случаях можно сократить.

С разными знаменателями

Для того, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, выполняем следующие действия:

1. Приводим заданные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Складываем полученные результаты как дроби с одинаковыми знаменателями.

Сумма смешанных дробей

Чтобы сложить смешанные дроби, необходимо отдельно просуммировать целые части, и отдельно дробные.

X

a/b

+ Y

c/d

= (X + Y) + (

a/b

+

c/d

)

 
Примечание: Если дробные части имеют разные знаменатели, значит их сперва нужно привести к наименьшему общему знаменателю, и только после этого складывать.

Примеры задач

Задание 1

Найдите сумму дробей 

4/11

 и 

7/11

.

 
Решение

Т.к. у нас дроби с одинаковыми знаменателями, то:

4/11

+

7/11

=

4+7/11

=

11/11

=1

 
Задание 2

Найдите сумму дробей 

5/12

 и 

4/7

.

 
Решение

В данном случае нам сначала нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 84, следовательно, дополнительный множитель для первой дроби – число 7, для второй – 12.

5/12

=

5⋅7/12⋅7

=

35/84

4/7

=

4⋅12/7⋅12

=

48/84

 
Таким образом, мы получили дроби с одинаковыми знаменателями, и теперь их можно сложить:

35/84

+

48/84

=

35+48/84

=

83/84

 
Задание 3

Найдите сумму дробей 2

6/13

 и 5

3/13

.

 
Решение

Дробные части имеют один и тот же знаменатель, значит мы сразу же можем выполнить сложение:

2

6/13

 + 5

3/13

 = 2 + 5 + (

6/13

 + 

3/13

) = 7 + 

6+3/13

 = 7

9/13

Сложение дробей | Онлайн калькулятор

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Определение: Суммой дробей с одинаковыми знаменателями называют дробь,числитель которой равен сумме числителей исходных дробей,и со знаменателем равным знаменателю обеих дробей.

Формула
Сложим две дроби с одинаковым с одинаковыми знаменателями
По формуле складываем числители, а знаменатель оставляем исходный

Важно: Если есть возможность сократить дробь, то в конечный ответ мы записываем сокращенную дробь.

Пример: При сокращении дроби у нас получится число 1/2

Сложение дробей с разными знаменателями:

Определение: Для того, чтобы найти сумму дробей с разными знаменателями сначала нужно дроби привести к общему знаменателю, а затем сложить их как дроби с одинаковыми знаменателями.
Задача:

Ход решения:
1) Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого ищем НОК — наименьшее общее кратное, для знаменателей 7 и 6 это число 42.
Делим число 42 на знаменатели дробей 3/7 и 2/6
Так мы нашли дополнительные множители.
Дальше домножаем дроби на дополнительные множители и получаем выражение:

2) Складываем дроби.
В нашем случае дробь можно сократить на 2 , и в конечный ответ записываем число 16/21

Сложение дроби и целого числа:

Определение: Для того, чтобы сложить дробь с целым числом, нужно сначала представить целое число как дробь со знаменателем равным 1.

Алгоритм расчета:
1) Приводим дроби к общему знаменателю.
2) Складываем дроби
3) Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь.
4) Если же получилась неправильная дробь, то вычисляем из нее целую часть.

Пример:
Решение:
Вычисляем целую часть, и получаем ответ

Сложение смешанных дробей:

Определение: Для того, чтобы сложить смешанные дроби нужно отдельно сложить целые части, и отдельно сложить дробные части.
Формула
Пример:
Подставляем цифры в формулу:
Получаем:

Из дроби вычисляем целую часть т.к она неправильная,и получаем выражение 7+2=9.

Сложение дробей с помощью онлайн калькулятора:

Смотрите также

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Обыкновенные дроби
5. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Ранее мы выполняли сложение и вычитание натуральных чисел. С дробными числами, или дробями, также можно выполнять данные действия.

Рассмотрим брусок:

Разделим его на 6 равных частей — долей:

Закрасим две доли синим цветом и три — зеленым:

То есть получим, что две шестых закрашены синим, три шестых — зеленым, а всего закрашено пять шестых:

То есть мы можем сделать вывод, что:

+ =  .

Опираясь на данный пример, можно сформулировать следующее правило:

Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Мы знаем, что вычитание натуральных чисел определяется на основе сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое. Аналогично вычитание дробей дается на основе их сложения.

Например, рассмотрим наш брусок:

Нам известно, что на нем закрашено пять шестых частей, из которых две части синие, а остальные зеленые, нам надо найти какая часть бруска закрашена зеленым цветом:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, нам надо найти разность дробей и . Вычесть из дроби дробь , значит найти такое число, которое в сумме с числом дает число . Как было выше сказано + =  , поэтому — = . Итак, имеем:

Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

 

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 1006, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1012, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1040, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1279, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1370, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1731, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 6, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1087, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1124, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1187, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 272, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 277, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 281, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 283, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 500, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 658, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1134, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1202, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1238, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1432, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

---

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про сложение обыкновенных дробей общий знаменатель, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое сложение обыкновенных дробей общий знаменатель , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

Пример.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК (15, 18).

НОК (15, 18) = 3 • 2 • 3 • 5 = 90

2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этогонаименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху. 

   90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби 3/15.

   90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби 4/18.

3. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь основным свойством дроби.После умножения в знаменателях обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель. Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
4. Проверяем полученную дробь.
   • Eсли в результате получилась неправильная дробь, результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.
   • Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
5. Еще раз весь пример целиком.

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместитительное свойства сложения  позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

1. Отдельно сложить их целые части.

   Пример.

   Складываем целые части.

   3 + 4 = 7
2. Отдельно сложить дробные части.

   Если у дробных частей знаменатели разные, то сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.

3. Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
4. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной в пункте 1 целой части.

Еще один пример на сложение дробей.

 

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про сложение обыкновенных дробей общий знаменатель Надеюсь, что теперь ты понял что такое сложение обыкновенных дробей общий знаменатель и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика

Сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Сумма дробей с равными знаменателями Сложность: лёгкое
2.	Разность дробей, равные знаменатели Сложность: лёгкое
3.	Сумма целого числа и обыкновенной дроби Сложность: лёгкое
4.	Разность (смешанное число и единица) Сложность: лёгкое
5.	Вычитание из 1 правильной дроби Сложность: среднее
6.	Вычитание из целого числа правильной дроби Сложность: среднее
7.	Вычитание дроби из смешанного числа Сложность: среднее
8.	Сумма смешанных чисел, одинаковые знаменатели Сложность: среднее
9.	Вычитание смешанных чисел Сложность: среднее
10.	Сумма смешанного числа и обыкновенной дроби (одинаковые знаменатели) Сложность: среднее
11.	Уравнение (неизвестная дробь) Сложность: среднее
12.	Уравнение (неизвестный числитель дроби) Сложность: среднее
13.	Сумма дробей, разные знаменатели Сложность: среднее
14.	Разность дробей, знаменатели — взаимно простые числа Сложность: среднее
15.	Разность дробей, один знаменатель содержит второй как множитель Сложность: среднее
16.	Вычитание дробей, знаменатели — большие разные числа Сложность: среднее
17.	Сумма смешанных чисел, разные знаменатели Сложность: среднее
18.	Разность смешанного числа и дроби, разные знаменатели Сложность: среднее
19.	Разность смешанных чисел, разные знаменатели Сложность: среднее
20.	Уравнение Сложность: среднее
21.	Неизвестное слагаемое. Смешанные числа, разные знаменатели Сложность: среднее
22.	Разность смешанных чисел (усложнённый) Сложность: сложное
23.	Неизвестное вычитаемое. Смешанные числа, разные знаменатели Сложность: сложное

Сложение дробей, вычитание дробей

Сложение обыкновенных дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{3}{8}$ доли яблока, к ним положили еще $\frac{2}{8}$ доли того же яблока. Это можно записать следующим образом: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$. В результате на тарелке оказалось $3+2=5$ восьмых долей яблока, то есть $\frac{5}{8}$ долей. То есть результатом сложения обыкновенных дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$ является обыкновенная дробь $\frac{5}{8}$.

Пример дает возможность сделать вывод, что в результате сложения дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей, и знаменателем, равным знаменателю исходных дробей.

Таким образом, можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним:

Пример 2

Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$.

Решение.

Т.к. знаменатели у складываемых дробей равны, в результате сложения знаменатель дроби будет $18$, а числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть $7+4=11$. Таким образом, сложение дробей $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$ дает дробь $\frac{11}{18}$.

Краткое решение: $\frac{7}{18}+\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{11}{18}$.

После выполнения действий над дробями нужно проверить результат и, при необходимости, преобразовать его следующим образом:

• В результате сложения дробей получили сократимую дробь — необходимо выполнить сокращение дроби.
• В результате получили неправильную дробь — необходимо выделить целую часть.

Пример 3

Вычислить сумму обыкновенных дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$.

Решение.

Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}\]

Получили сократимую дробь, т.к. числитель и знаменатель делятся на $5$ (по признаку делимости на $5$). Сократим полученную дробь:

\[\frac{5}{10}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{1}{5}\]

Итак, в результате сложения дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$ получили $\frac{1}{5}$.

Краткое решение: $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

Пример 4

Выполнить сложение обыкновенных дробей $\frac{52}{69}$ и $\frac{77}{69}$.

Решение.

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}\]

Проверим дробь на сократимость. Т.к. и числитель, и знаменатель соответствуют признаку делимости на $3$, полученная дробь может быть сокращена на число $3$. Получим:

\[\frac{129}{69}=\frac{129:3}{69:3}=\frac{43}{23}\]

Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{43}{23}$, получим $1\frac{20}{23}$.

Краткое решение:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23}\]

Ответ: $1\frac{20}{23}$.

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, для чего их приводят к общему знаменателю.

Правило сложения дробей с разными знаменателями:

1. Складываемые дроби привести к общему знаменателю (чаще всего, к наименьшему общему знаменателю).

2. Выполнить сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 5

Сложить обыкновенные дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{21}$.

Решение.

Складываемые дроби имеют разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное НОК чисел $7$ и $21$ равно $21$: $НОК\left(7,\ \ 21\right)=21$.

Найдем соответствующие дополнительные множители: $21:7=3.$ Получим

\[\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{18}{21}\]

Сложим дроби:

\[\frac{18}{21}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Краткое решение:

\[\frac{6}{7}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Ответ: $1\frac{1}{21}$.

Вычитание обыкновенных дробей

Действие вычитания дробей является обратным сложению.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{6}{8}$ долей яблока. $\frac{3}{8}$ доли съели. Это можно записать как $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}$. В результате на тарелке осталось $6-3=3$ восьмых доли яблока, т.е. $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$.

Таким образом, можно сформулировать правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители вычитаются, а знаменатель остается прежним:

Пример 6

Выполнитm вычитание обыкновенных дробей $\frac{13}{18}$ и $\frac{5}{18}$ .

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели одинаковые. Числитель уменьшаемой дроби равен $13$, а числитель вычитаемой дроби равен $5$. Разность числителей равна $13-5=8$. Пользуясь правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, запишем:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}\]

В результате вычитания получилась сокращаемая дробь (по признаку деления на $2$. Сократим получившуюся дробь на $2$:

\[\frac{8}{18}=\frac{8:2}{18:2}=\frac{4}{9}\]

Краткое решение:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\]

Ответ: $\frac{4}{9}$

Вычитание дробей с разными знаменателями

При вычитании дробей с разными знаменателями их сводят к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, для чего дроби приводят к общему знаменателю.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями:

1. Привести дроби к общему знаменателю (чаще всего к наименьшему общему знаменателю).

2. Вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 7

Вычесть из обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$ обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$.

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели разные, поэтому воспользуемся правилом вычитания дробей с разными знаменателями:

1. Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: $НОК\left(9,12\right)=36$.

   Дополнительный множитель для дроби $\frac{4}{9}$ будет число $36:9=4$, а дополнительный множитель дроби $\frac{5}{12}$ будет число $36:12=3$. Получим:

   \[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}-\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}\]

2. Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:

   \[\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]

Краткое решение:

\[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]

1.2.1. Обыкновенные дроби

Глава 1. Арифметика

1.2.

1.2.1.

Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби.

Если n = 1, то дробь имеет вид и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Например, так как Из этого определения следует, что дробь равна любой дроби вида где m – натуральное число. В самом деле, так как то   Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.

Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной.

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, – несократимая дробь.

Модель 1.5. Сокращение обыкновенных дробей

 

Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

 

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Модель 1.6. Сравнение обыкновенных дробей

Пусть, например, даны две дроби  и  Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим Итак, две дроби и приведены к общему знаменателю:

Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит, Следовательно, Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби  и  можно привести к знаменателю 56. В самом деле:

Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей. Пример 1

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:  и 

В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.

 

Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.

Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть

Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше.

Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то

Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.

Модель 1.7. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть

Например,

Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом:

Например,

В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям.

Модель 1.8. Умножение и деление обыкновенных дробей

Пример 2

Сложить две дроби и Ответ представить в виде неправильной дроби.

Пример 3

Сложить две дроби и Ответ представить в виде неправильной дроби.

Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь такова, что число m кратно n, например, ).

Пример 4

Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: 1) 2)

Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Например,

Пример 5

Выполнить действия.



Сложение дробей

Дробь типа 3 4 говорит, что у нас есть 3 из 4 частей, на которые делится целое.

Чтобы сложить дроби, выполните три простых шага:

• Шаг 1. Убедитесь, что нижние числа (знаменатели) совпадают.
• Шаг 2: сложите верхние числа (числители), поместите полученный ответ над знаменателем
• Шаг 3: Упростите дробь (при необходимости)

Пример:

Шаг 1 .Нижние цифры (знаменатели) уже совпадают. Переходите сразу к шагу 2.

Шаг 2 . Сложите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:

.

1 4 + 1 4 знак равно 1 + 1 4 знак равно 2 4

Шаг 3 . Упростим дробь:

2 4 знак равно 1 2

На картинке это выглядит так:

… и ты видишь как 2 4 проще как 1 2 ? (см. Эквивалентные дроби.)

Пример:

Шаг 1 : Нижние числа разные. Видите, как ломтики разного размера?

Нам нужно сделать их такими же, прежде чем мы сможем продолжить, потому что не может, добавить их вот так.

Число «6» вдвое больше, чем «3», поэтому, чтобы сделать нижние числа одинаковыми, мы можем умножить верхнюю и нижнюю часть первой дроби на 2 , например:

Важно: вы умножаете как верхний, так и нижний на одинаковую величину,
, чтобы сохранить значение дроби одинаковым

Теперь дроби имеют одинаковое нижнее число («6»), и наш вопрос выглядит так:

Нижние числа теперь те же, поэтому мы можем перейти к шагу 2.

Шаг 2 : сложите верхние числа и поместите их над тем же знаменателем:

2 6 + 1 6 знак равно 2 + 1 6 знак равно 3 6

На картинке это выглядит так:

Шаг 3 : Упростите дробь:

3 6 знак равно 1 2

На картинке весь ответ выглядит так:

С ручкой и бумагой

А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):

Рифма, которая поможет вам вспомнить

♫ «Если ваша цель — сложение или вычитание,
Нижние числа должны быть одинаковыми!
♫» Измените нижнее значение с помощью умножения или деления,
Но то же самое и к верхнему,
♫ » И не забудьте упростить,
Пока не пришло время прощаться «

Пример:

1 3 + 1 5

Опять же, нижние цифры разные (срезы разного размера)!

Но давайте попробуем разделить их на меньшие размеры, чтобы каждый был одинаковым :

Первая дробь: умножив верхнюю и нижнюю части на 5, мы получили 5 15 :

Вторая дробь: умножив верхнюю и нижнюю части на 3, мы получили 3 15 :

Нижние числа теперь те же, поэтому мы можем продолжить и сложить верхние числа:

Результат предельно прост, так что вот ответ: 8 15

1 3 + 1 5 знак равно 8 15

Делаем знаменатели одинаковыми

В предыдущем примере, как мы узнали, что нужно разрезать их на ¹ / ₁₅ тысяч, чтобы знаменатели совпадали? Мы просто умножили два знаменателя вместе (3 × 5 = 15).

Прочтите о двух основных способах сделать знаменатели одинаковыми здесь:

Они оба работают, используйте тот, который вам больше нравится!

Пример: кексы

Вы хотите приготовить и продать кексы:

• Друг может предоставить ингредиенты, если вы ему дадите ¹ / ₃ продаж
• А рыночный прилавок стоит ¹ / ₄ продаж

Сколько это всего?

Нам нужно добавить ¹ / ₃ и ¹ / ₄

Первые делают нижние числа (знаменатели) одинаковыми.

Умножить верхнюю и нижнюю часть ¹ / ₃ на 4 :

И умножьте верхнюю и нижнюю часть ¹ / ₄ на 3 :

1 × 4	+	1 × 3	=	?
3 × 4		4 × 3		?

Сейчас делаю расчеты:

4	+	3	=	4 + 3	=	7
12		12		12		12

Ответ: 7 12 продаж идет на ингредиенты и рыночные затраты.

Добавление смешанных фракций

У меня есть специальная (более продвинутая) страница о добавлении смешанных дробей.

Что такое правила дроби? — Определение, факты и примеры

Что такое правила дроби?

Дробь : Дробь — это часть целого или совокупности, состоящая из числителя и знаменателя.

Пример : Если мы обслуживаем 1 часть торта с 8 равными частями, мы обслуживаем ¹ ⁄ ₈ торта.

Давайте посмотрим, как решать операции с дробями.

Сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем

При сложении или вычитании двух дробей; нам нужно убедиться, что знаменатели совпадают.

Шагов :

• Сложите или вычтите числители.

• Знаменатель оставим прежним.

• По возможности сократите ответ.

Пример : Решить ¹ ⁄ ₄ + ¹ ⁄ ₄

Пример : Вычесть ¹ ⁄ ₄ из ³ ⁄ ₄

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями:

Если знаменатели не совпадают:

• Во-первых, сделайте их такими же

• Затем сложите или вычтите одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример : Чтобы решить ¹ ⁄ ₄ + ¹ ⁄ ₂ , мы сначала сделаем знаменатели одинаковыми.

Мы меняем знаменатель 2 и делаем его равным 4, умножая его на 2. Однако нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы сохранить значение дроби неизменным.

Умножение ¹ ⁄ ₂ ✕ ² ⁄ ₂ = ² ⁄ ₄

Поскольку знаменатели совпадают, теперь мы можем сложить обе дроби.

Точно так же мы используем эти правила для вычитания.

Умножение дробей

Чтобы умножить две дроби, просто умножаем числители и знаменатели.

Пример :

² ⁄ ₃ ✕ ³ ⁄ ₁₅ =?

Сначала упростим дробь ³ ⁄ ₁₅ до наименьшего члена.

На дробь

При делении на две дроби:

• Обратить вторую дробь, то есть поменять местами ее числитель и знаменатель, чтобы получить обратную величину.

• Умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби.

Пример :

Решение неправильных дробей:

Дроби, числитель которых больше знаменателя, называются неправильными дробями. Когда мы решаем неправильные дроби, результатом может быть смешанное число (целая дробь и правильная дробь).

Пример :

³⁸ ⁄ ₇ =?

• Разделите числитель на знаменатель.

38 ÷ 7 = 5 частных и 3 остатка

• Запишите ответ целиком.

5

• Затем запишите остаток над знаменателем.

5 ³ ⁄ ₇

Следовательно, ³⁸ ⁄ ₇ = 5 ³ ⁄ ₇

Таким образом, решая неправильную дробь ³⁸ ⁄ ₇ , мы получаем смешанное число 5 ³ ⁄ ₇

Интересные факты

Сложение и вычитание дробей с одинаковым или близким знаменателем

Когда вы складываете или вычитаете дроби, считайте, что задача проста, когда знаменатели равны или одинаковы.Правила можно кратко изложить ниже.

Шаги по сложению и вычитанию дробей с одинаковым знаменателем

• К ДОБАВИТЬ дробей с одинаковым или одинаковым знаменателем, просто сложите числители и скопируйте общий знаменатель. Всегда сокращайте окончательный ответ до самого низкого члена.

• Чтобы ВЫЧИТАТЬ дробей с одинаковым или одинаковым знаменателем, просто вычтите числители и скопируйте общий знаменатель. Всегда сокращайте окончательный ответ до самого низкого уровня.

---

Примеры сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем

Пример 1 : Сложите дроби.

Знаменатели двух дробей равны 7. Имея одинаковые знаменатели, мы можем легко сложить эти дроби, сложив их числители и скопировав общий знаменатель, равный 7.

Мы также можем показать процесс сложения с помощью кружков.

• Первую дробь \ Large {3 \ over 7} можно представить в виде круга, разделенного поровну на семь частей с тремя частями, заштрихованными красным.

Наблюдайте : Числитель сообщает нам, сколько областей заштриховано, а знаменатель говорит нам, на сколько равных частей разделен круг.

• Таким же образом вторая дробь \ Large {2 \ over 7} выглядит так:

• Поскольку оба круга разделены на семь (7) равных частей, мы должны иметь возможность перекрывать их. Новый круг после добавления имеет пять (5) заштрихованных областей, которые представляют собой , накопленные как красных, так и синих фигур.

---

Пример 2 : Сложить дроби.

Давайте сложим эти дроби, используя правило сложения. Снова сложите числители и скопируйте общий знаменатель.

После добавления дробей всегда находите возможность упростить добавленные дроби, уменьшив их до наименьшего члена. Мы можем сделать это, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

• Общий делитель — это ненулевое целое число, которое может делить два или более чисел без остатка.
• Наибольший общий делитель (НОД) — это наибольшее число среди общих делителей двух или более чисел.

Очевидно, что числитель и знаменатель имеют общий делитель 2. Однако существует ли число больше 2, которое также может делить их на равные доли?

Да, есть! Число 4 является наибольшим общим делителем 12 и 16. Поэтому мы будем использовать это число, чтобы уменьшить дробь до наименьшего члена.

Разделите верхнюю и нижнюю часть на GCD = 4 , чтобы получить окончательный ответ.

---

Пример 3: Сложите дроби.

Решение :

Поскольку знаменатели двух дробей равны, сложите числители и скопируйте общий знаменатель.

Верхнее и нижнее числа дроби делятся на 2 и 6. Однако мы всегда хотим, чтобы наибольший общий делитель уменьшал дробь до наименьшего члена. Таким образом, НОД = 6 .

• Разделите верхнее и нижнее числа на 6.

---

Пример 4: Сложите дроби.

Решение :

Знаменатели всех трех дробей совпадают. Правило сложения дробей с равными знаменателями сохраняется!

• Получите сумму трех числителей и скопируйте общий знаменатель.

Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 5.

• Разделить верх и низ на 5.

---

Пример 5: Вычтите дроби.

На этот раз мы собираемся вычесть числители вместо того, чтобы складывать их.

Глядя на результат после вычитания, можно увидеть, что всего , общий делитель между числителем и знаменателем равен 1 . Таким образом, окончательный ответ остается \ Large {{3 \ over 5}}. Подумайте об этом, разделив верхнюю и нижнюю часть на 1, значение дроби не изменится.

Как это выглядит графически?

Допустим, у вас есть зеленый торт. И разрезаешь его на 5 равных частей. Это можно представить в виде дроби, равной \ Large {{5 \ over 5}}.

Если вы съели два куска торта (\ Large {- {2 \ over 5}}), у вас должно остаться три оставшихся куска (\ Large {{3 \ over 5}}).

Табличка должна выглядеть примерно так.

---

Пример 6: Вычтите дроби.

У этих двух дробей одинаковые знаменатели, что означает, что мы должны иметь возможность легко вычесть их числители.

Ответ можно еще больше упростить, используя общий делитель 3. Итак, разделите числитель и знаменатель на 3, чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения.

---

Пример 7: Вычтите дроби.

Решение :

Поскольку знаменатели двух дробей равны, из вычтите их числителей и скопируйте общий знаменатель.

Числитель и делитель делятся на 3 и 9. Однако мы всегда хотим, чтобы наибольший общий делитель уменьшал дробь до наименьшего члена. Таким образом, НОД = 9 .

• Разделите верхнее и нижнее числа на 9.

---

Пример 8: Вычтите дроби.

Решение :

Вычтите числители и уменьшите полученную дробь до наименьшего члена, используя GCD = 11 .

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Эквивалентные дроби
Обратное значение дроби

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Решите и сравните следующие две проблемы.

Ким выполнил один из трех штрафных бросков в игре и один из четырех штрафных бросков в следующей игре. Какую долю штрафных бросков выполнила Ким?

Пэт прошел треть мили утром и четверть мили вечером. Какую дробную часть мили Пэт прошла?

Мы начнем с этих двух примеров, чтобы проиллюстрировать одну из причин, по которой у многих людей возникают проблемы со сложением и вычитанием дробей.

Пример сверху: Ким выполнил один из трех штрафных бросков в игре и один из четырех штрафных бросков в следующей игре. Какую долю штрафных бросков выполнила Ким?

Ким выполнил две седьмых штрафных бросков или Ким сделал два из семи штрафных бросков.

Важное примечание. Здесь мы произвели объединение двух непересекающихся множеств, как при сложении целых чисел. Но мы делаем , а не , считаем это сложением двух дробей, поскольку размер целого для каждой дроби разный.Каждая фракция относится к целому объекту разного размера. Мы использовали символ, чтобы указать, что это другой тип сложения, а , а не , — сложение дробей. Это также показывает распространенную ошибку при сложении дробей, которую делают многие люди, которая складывает как числители, так и знаменатели.

Пример сверху: Пэт прошла треть мили утром и четверть мили вечером. Какую дробную часть мили Пэт прошла?

Пэт прошел семь двенадцатых мили.

Примечание. Каждая из вышеперечисленных проблем — это своего рода дополнение. Первая проблема — это , а не сложение фракций, потому что размер целого различается для каждой фракции. Но вторая проблема — это пример того, как мы будем определять сложение дробей, когда размер целого одинаков для каждой дроби.

Мы начинаем с сложения, используя прямоугольник для представления целого, разделенного на десять частей равного размера.

Сначала мы заштриховываем весь прямоугольник.

Далее, чтобы показать сложение, заштрихуем еще раз.

Теперь весь прямоугольник заштрихован. Итак, делаем вывод.

Обратите внимание, что мы добавили десятые к десятым, и наш ответ был в десятых. Похоже, что правило сложения дробей с одинаковым знаменателем состоит в сложении числителей и сохранении общего знаменателя.

Мы все еще можем упростить ответ, как и на предыдущих занятиях, используя фундаментальный закон дробей или деление на наибольший общий множитель.Итак, у нас есть.

Точно так же мы вычитаем, используя прямоугольник для представления целого с 7 заштрихованными частями.

Это представляет собой целое, из которого мы удалим весь прямоугольник. Затем мы вычитаем весь прямоугольник, вычеркивая или растушевывая 3 части.

Мы делаем вывод о том, что можно упростить до.

Вот еще два примера с моделями.

Пример: используйте дробные полоски для.

Пример: используйте модель площади для.

Теперь, как мы можем добавить? Как и в случае с задачами с общими знаменателями, мы можем нарисовать диаграмму. У нас проблема, так как все детали не одинакового размера. Однако после того, как мы разрежем каждый кусок на кусочки одинакового размера, мы сможем решить эту проблему. Другими словами, мы меняем задачу так, чтобы дроби были эквивалентными дробями с общими знаменателями, как показано ниже.

Обратите внимание, что мы разрезаем каждую треть на четверти и каждую четвертую на трети так, чтобы каждый маленький кусок представлял одну двенадцатую часть целого квадрата. Кроме того, отметим, что НОК (3, 4) = 12, поэтому мы выбрали 12 в качестве наименьшего общего знаменателя .

Таким образом, чтобы сложить или вычесть дроби, достаточно изменить дроби так, чтобы они имели общие знаменатели. Затем складываем или вычитаем числители и сохраняем общий знаменатель.Наконец, мы упрощаем этот ответ, если он еще не в простейшей форме.

Вот пример добавления более двух дробей за раз. Найдите сумму.

Сначала найдите наименьшее общее кратное знаменателей. Это даст нам наименьший общий знаменатель. НОК (5, 10, 2, 25) находим методом факторизации на простые множители.

5 = 5, 10 = 2 ∙ 5, 2 = 2 и 25 = 5 ²

Таким образом, НОК (5, 10, 2, 25) = 2 ∙ 5 ² = 2 ∙ 25 = 50

Теперь заменим каждое слагаемое на дроби с общим знаменателем.

Обратите внимание, что мы упростили, а затем изменили его на смешанное число. Далее следует более подробная иллюстрация, где мы показываем каждый шаг: сначала упростите дробь, затем, поскольку дробь является неправильной дробью, разделите неправильную дробь на целую и дробную часть, а затем запишите как смешанное число.

Этот ответ представляет собой смешанное число . Любая неправильная дробь также может быть выражена как смешанное число, потому что неправильная дробь содержит более одного целого.

Рассмотрим следующую иллюстрацию, где каждый прямоугольник представляет одно целое, а каждый прямоугольник разрезан на восемь частей одинакового размера.

На иллюстрации видно, что неправильная дробь. Кроме того, на иллюстрации есть два целых прямоугольника и три восьмых другого прямоугольника, то есть показано смешанное число. Итак, мы это проиллюстрировали. Модель также мотивирует метод перехода от неправильной дроби к смешанному числу.Поскольку каждая группа из 8 частей представляет собой целую часть, мы можем перейти к смешанному числу, разделив 19 на 8, чтобы получить две целые части и три оставшихся.

Задача показывает, что мы можем думать о дроби как о другом способе представления деления или как о. Например, мы можем изменить неправильную дробь, например смешанное число, путем деления, где мы интерпретируем дробь как деление. Остаток запишем в виде дроби.

Берем остаток от 3 и записываем как другое целое, дающее нам.Так .

Предположим, нам нужно преобразовать дробь в неправильную. (Нам нужно будет сделать это, когда мы начнем умножать и делить дроби.) Мы проиллюстрируем, где каждый прямоугольник представляет собой одно целое.

Теперь разделите каждый прямоугольник на пять равных частей для иллюстрации.

Мы показали, что

.

Обратите внимание, что процесс определения количества пятых состоит в том, чтобы разрезать каждую из четырех целых на пять пятых и добавить три пятых, получив в сумме двадцать три пятых, т.е.е.,.

Сложение и вычитание смешанных чисел может выполняться таким же образом, как мы складывали и вычитали целые числа. Другими словами, мы складываем значения по соответствующему разряду со смешанными числами, что означает, что мы складываем или вычитаем части целого числа и дробные части отдельно, производя обмены, когда это необходимо. Мы демонстрируем процесс с моделями на следующих примерах.

Пример: Найти.

Пример: Найти.

Пример: Найти.

Здесь нам нужно произвести обмен, чтобы вычесть дробные части. Итак, нам нужно разрезать один из четырех целых прямоугольников на пятые части, например,.

Пример: Найти.

Примечание. Часто намного проще складывать и вычитать смешанные числа без преобразования в неправильные дроби. Переход на неправильные дроби увеличивает количество вычислений и усложняет упрощение многих задач.

Пример. Вычислить двумя способами: как смешанных чисел и как неправильные дроби

Как смешанные числа

Найдите общий знаменатель.

Изменить на смешанный номер.

Как неправильные дроби

Заменить дробь на неправильную.

Найдите общий знаменатель.

Изменить на смешанный номер.

Умножение и деление больших значений значительно увеличивает вероятность ошибки.Кроме того, если дроби необходимо упростить, упрощение с большими значениями будет намного сложнее при использовании метода неправильных дробей.

Шутка или цитата

Почему обратились к психиатру? Щелкните здесь, чтобы увидеть ответ.

Подсказка: одна пятая эквивалентна ____________, что звучит как ________________.

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Прежде чем вы сможете перейти к более сложным понятиям алгебры и геометрии, вам необходимо сначала освоить все математические функции, относящиеся к дробям.В этой статье мы рассмотрим, как складывать, вычитать, умножать и делить две дроби, а также дробь и целое число. Мы также познакомим вас со сложными дробями и методами их упрощения. Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы полностью понимаете четыре основных математических операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Ключевые термины

o Общий знаменатель

o Взаимный

o Сложная фракция

Цели

o Узнайте, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

o Уметь интерпретировать дроби, содержащие отрицательные числа

o Распознавать и упрощать сложные дроби

Теперь, когда мы разработали прочную основу относительно того, что такое дроби, а также некоторых различных типов дробей, мы можем перейти к применению основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление) к дробям.

Сложение и вычитание

В случаях, когда используются простые числа, сложение и вычитание дробей достаточно просто. Например, сложение одной трети и одной трети, очевидно, дает нам две трети. Точно так же три пятых минус две пятых — одна пятая. Первый случай проиллюстрирован ниже.

А как насчет таких случаев, как половина плюс треть?

Обратите внимание, что сложение (вычитание) дробей с одинаковым знаменателем очень просто — мы просто складываем (вычитаем) числители и делим на тот же знаменатель.Мы уже должны знать, что можем писать эквивалентные дроби с разными числителями и знаменателями. Таким образом, если мы просто преобразуем одну или обе дроби, которые мы складываем или вычитаем, в эквивалентные дроби с тем же знаменателем, то мы можем сложить дроби простым способом, описанным выше. Тогда при необходимости мы можем свести результат к минимуму.

Задача сложения и вычитания дробей — найти общий знаменатель . Самый простой способ найти общий знаменатель — просто перемножить два существующих знаменателя, а затем преобразовать числители соответствующим образом, чтобы получить эквивалентные дроби. Хотя этот подход концептуально прост, он может быть математически сложным при больших знаменателях. Тем не менее, давайте попробуем этот подход в целях иллюстрации. Рассмотрим дополнение, упомянутое выше.

Общий знаменатель — 6 (или 23), потому что мы можем умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы получить, и мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить.В этом случае простое добавление.

Практическая задача: Рассчитайте результат в каждом случае.

а. б. c.

Решение: В каждом случае найдите общий знаменатель и преобразуйте члены в эквивалентные дроби с этим знаменателем. Для каждого случая приводится один возможный общий знаменатель. Сумма (разность) дробей — это сумма (разность) числителей над общим знаменателем.Если возможно, сократите результат до самых низких значений.

а. Общий знаменатель: 21

г. Общий знаменатель: 8

г. Общий знаменатель: 45

Умножение и деление

Умножение и деление дробей в некоторых отношениях проще, чем их сложение и вычитание.Допустим, мы хотим умножить на. Интуитивно ответ довольно очевиден: половина половины — это четверть (или одна четверть). Например, если у вас есть 50 центов (половина доллара), и вы хотите умножить их на половину, то в итоге вы получите 25 центов (четверть доллара).

Чтобы умножить две дроби, просто умножьте числители и умножьте знаменатели, чтобы получить произведение. В некоторых случаях товар уже будет по самым низким ценам; в других случаях вам, возможно, придется сократить его до самых низких значений.Например, произведение и выглядит следующим образом:

При умножении дроби на целое число обратите внимание, что любое целое число — это просто дробь с целым числом в числителе и 1 в знаменателе. Например,

Практическая задача : Рассчитайте следующие произведения.

Решение : В каждом случае произведение является произведением числителей на произведение знаменателей.Если один из множителей является целым числом, рассматривайте его как дробь, имеющую целое число в качестве числителя и 1 в качестве знаменателя. Если возможно, уменьшите количество продуктов до минимальных условий.

а. б.

г.

Теперь рассмотрим случай деления. Допустим, мы хотим разделить на. Интуитивно ответ — 2 — например, 25 центов (четверть доллара) могут дважды превратиться в 50 центов (полдоллара).

Обратите внимание, что если бы мы перевернули второй множитель так, чтобы числитель стал знаменателем, а знаменатель стал числителем, а также изменили бы операцию с деления на умножение, мы бы получили тот же результат.

Это, по сути, удобный способ деления дробей. Деление на дробь аналогично умножению на , обратное этой дроби. Обратное — это просто «перевернутая» дробь. Так, например, обратное значение равно (или).

Как и в случае с умножением дробей, помните, что целое число также можно записать в виде дроби. Таким образом, например, 6 является обратной величиной. Поэтому мы можем делить дроби как на целые, так и на другие дроби.Кроме того, обратите внимание, что произведение дроби на обратную величину всегда равно 1. Рассмотрим пример ниже.

В свете того, как мы определили деление и умножение, мы можем предоставить более строгое обоснование нашего метода вычисления эквивалентных дробей. Обратите внимание, что число 1 можно записать как любое другое число, разделенное на себя. Например,

Таким образом, процесс поиска эквивалентных дробей — это не что иное, как умножение заданной дроби на 1! Рассмотрим пример ниже.

Практическая задача : Рассчитайте следующие частные.

а. б. c.

Решение : В каждом случае умножьте дивиденд на обратную величину делителя. Если возможно, уменьшите количество продуктов до минимальных условий.

а. б. c.

Дроби и отрицательные числа

Поскольку дроби — это не что иное, как представление деления, у нас уже есть инструменты, необходимые для понимания роли отрицательных чисел в дробях.Напомним, что произведение (или частное) двух отрицательных или двух положительных чисел является положительным, а произведение (или частное) одного отрицательного числа и одного положительного числа отрицательно. Итак, рассмотрим пример дроби; рассмотрим каждый возможный случай.

В первом случае (числитель и знаменатель имеют один и тот же знак) результатом является положительное число. Во втором случае (числитель и знаменатель имеют противоположные знаки) результат — отрицательное число.Таким образом, иногда мы можем просто поставить отрицательный знак во втором случае рядом с целой дробью, а не рядом с числителем или знаменателем. Тем не менее, обратите внимание, что все три представления равны, и в некоторых ситуациях одно может быть более полезным, чем другое.

Сложные фракции

Напомним, что дробь — это просто способ выражения деления двух чисел (где числитель — это делимое, а знаменатель — это делитель).Поскольку мы можем делить дроби, мы также можем выразить это деление как «дробь дробей» или комплексную дробь . Пример сложной дроби приведен ниже. Обратите внимание, что для наглядности дроби в числителе и знаменателе комплексной дроби показаны «наклонно» — это изменение, однако, не подразумевает какой-либо математической разницы.

Такие дроби можно и часто нужно упрощать. Для этого мы можем воспользоваться одним из нескольких подходов.Напомним, что мы можем найти эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Таким образом, один из подходов состоит в умножении числителя и знаменателя комплексной дроби на произведение знаменателей простых дробей, как показано ниже.

В качестве альтернативы мы можем умножить числитель и знаменатель комплексной дроби на обратную величину ее знаменателя. Поскольку знаменатель становится равным 1, результатом является просто значение числителя.

Другой способ взглянуть на этот последний подход состоит в том, что мы просто выполняем деление:

В зависимости от конкретной ситуации один подход может быть проще другого; однако все они одинаково приемлемы.

Практическая задача : Упростите следующие сложные дроби.

а. б.c.

Решение : Одним из возможных подходов к упрощению этих сложных дробей является умножение дроби в числителе на обратную дробь в знаменателе. Если возможно, сократите результат до самых низких значений. В случае части c обратите внимание, что 5 является обратной величиной и что частное (или произведение) положительного числа, деленного (умноженного) на отрицательное число, является отрицательным числом.

а. б. c.

Сложение алгебраических дробей — Полный курс алгебры

23

Различные знаменатели — LCM

2-й уровень

ЕСТЬ ОДНО ПРАВИЛО для сложения и вычитания дробей: знаменатели должны быть такими же, как и в арифметике.

Сложите числители и поместите их сумму
над общим знаменателем.

Пример 1.

6 x + 3 5

+

4 x — 1 5

=

10 x + 2 5

Знаменатели те же. Сложите числители как одинаковые термины.

Пример 2.

6 x + 3 5

–

4 x — 1 5

Чтобы вычесть, измените знаки вычитаемого и сложите.

6 x + 3 5

–

4 x — 1 5

=

6 x + 3-4 x + 1 5

=

2 x + 4 5

Проблема 1.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а)

x 3

+

y 3

=

x + y 3

б)

5 x

–

2 x

=

3 x

в)

x x — 1

+

x + 1 x — 1

=

2 x + 1 x — 1

г)

3 x — 4 x — 4

+

x — 5 x — 4

=

4 x — 9 x — 4

д)

6 x + 1 x — 3

–

4 x + 5 x — 3

=

6 x + 1-4 x -5 x -3

=

2 x — 4 x — 3

е)

2 x — 3 x — 2

–

x — 4 x — 2

=

2 x — 3 — x + 4 x — 2

=

x + 1 x -2

Различные знаменатели — LCM

Чтобы складывать дроби с разными знаменателями, мы должны научиться строить наименьшее общее кратное ряда членов.

Наименьшее общее кратное (НОК) ряда терминов
— это наименьшее произведение, которое содержит все множители каждого члена.

Например, рассмотрим эту серию из трех терминов:

шт. пр. пс

Теперь мы построим их LCM — фактор за фактором.

Для начала у него будут коэффициенты первого члена:

НОК = шт.

Переходя ко второму члену, LCM должен иметь множители pr .Но у него уже есть множитель p — поэтому нам нужно добавить только множитель r :

LCM = pqr

Наконец, переходя к последнему члену, НОК должен содержать множители пс . Но опять же у него есть коэффициент p , поэтому нам нужно добавить только фактор s :

LCM = pqrs .

Этот продукт является наименьшим общим кратным для pq , pr , ps .Это наименьший продукт , который содержит каждый из них в качестве факторов.

Пример 3. Постройте LCM из этих трех терминов: x , x ² , x ³ .

Решение . НОК должен иметь коэффициент x .

НОК = x

Но он также должен иметь множители x ² , которые равны x · x .Следовательно, мы должны добавить еще один множитель x :

НОК = x ²

Наконец, LCM должен иметь множители x ³ , которые равны x · x · x . Следовательно,

НОК = x ³ .

x ³ — наименьшее произведение, содержащее x , x ² и x ³ в качестве факторов.

Мы видим, что когда члены степени переменной — x , x ² , x ³ — тогда их НОК является наивысшей степенью.

Задача 2. Постройте НОК каждой серии терминов.

а)	ab , bc , cd . abcd		б)	pqr , qrs , первый . pqrst
в)	a , a 2 , a 3 , a 4 . а 4		г)	a 2 b , a b 2 . a 2 b 2

e) ab , cd . abcd

Теперь посмотрим, какое отношение это имеет к сложению дробей.

Пример 4. Добавляем:	3 ab	+	4 до н.э.	+	5 CD

Решение .Чтобы сложить дроби, знаменатели должны быть одинаковыми. Поэтому в качестве общего знаменателя выберите НОК исходных знаменателей. Выберите abcd . Затем преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь со знаминателем abcd .

Необходимо написать общий знаменатель только один раз:

3 ab

+

4 до н.э.

+

5 CD

=

3 cd + 4 ad + 5 ab abcd

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , просто умножьте ab на недостающие множители, а именно cd .Следовательно, мы также должны умножить 3 на кд . Это составляет первый член в числителе.

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , умножьте bc на недостающие множители, а именно ad . Следовательно, мы также должны умножить 4 на и . Это составляет второй член в числителе.

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , умножьте cd на недостающие множители, а именно ab .Следовательно, мы также должны умножить 5 на ab . Это составляет последний член в числителе.

Вот как складываются дроби с разными знаменателями.

Каждый множитель исходных знаменателей должен быть делителем
общего знаменателя.

Задача 3. Доп.

а)

5 ab

+

6 ac

=

5 c + 6 b abc

б)

2 шт.

+

3 qr

+

4 RS

=

2 rs + 3 ps + 4 pq pqrs

в)

7 ​​ ab

+

8 до н.э.

+

9 abc

=

7 ​​ c + 8 a + 9 abc

г)

1 а

+

2 a 2

+

3 a 3

=

a 2 + 2 a + 3 a 3

д)

3 a 2 b

+

4 a b 2

=

3 b + 4 a a 2 b 2

е)

5 ab

+

6 CD

=

5 cd + 6 ab abcd

г)	_2_ x ( x + 2)	+	__3__ ( x + 2) ( x — 3)	=	2 ( x — 3) + 3 x x ( x + 2) ( x — 3)
				=	_ 2 x — 6 + 3 x _ x ( x + 2) ( x — 3)
				=	_5 x — 6_ x ( x + 2) ( x — 3)

На 2-м уровне мы увидим аналогичную проблему, но знаменатели не будут разложены на множители.

Задача 4. Складываем: 1 —

1 а

+

c + 1 ab

. Но напишите ответ как

1 — дробь.

1 —

1 а

+

c + 1 ab

=

1 — (

1 а

–

c + 1 ab

)

Пример 5.Знаменатели без общих факторов.

Когда знаменатели не имеют общих множителей, их НОК — это просто их произведение, mn .

Числитель появляется как результат «перекрестного умножения»:

и + bm

Однако этот метод будет работать только при сложении двух дробей, а знаменатели не имеют общих множителей.

Пример 6.

2 x — 1

–

1 x

Решение . Эти знаменатели не имеют общих множителей — x не является множителем x — 1. Это термин. Следовательно, НОК знаменателей — это их произведение.

2 x — 1

–

1 x

=

2 x — ( x — 1) ( x — 1) x

=

2 x — x + 1 ( x — 1) x

=

_ x + 1_ ( x — 1) x

Примечание: Вычитается весь x — 1.Поэтому записываем его в круглые скобки — и его знаков меняются на .

Задача 5.

а)

x a

+

y b

=

xb + ya ab

б)

x 5

+

3 x 2

=

2 x + 15 x 10

=

17 x 10

в)	6 x — 1	+	3 x + 1	=	6 ( x + 1) + 3 ( x — 1) ( x + 1) ( x — 1)
				=	6 x + 6 + 3 x — 3 ( x + 1) ( x — 1)
				=	_9 x + 3_ ( x + 1) ( x — 1)

г)	6 x — 1	–	3 x + 1	=	6 ( x + 1) — 3 ( x — 1) ( x + 1) ( x — 1)
				=	6 x + 6 — 3 x + 3 ( x + 1) ( x — 1)
				=	_3 x + 9_ ( x + 1) ( x — 1)

д)	3 x — 3	–	2 x	=	3 x — 2 ( x — 3) ( x — 3) x
				=	3 x — 2 x + 6 ( x — 3) x
				=	x + 6 ( x — 3) x

е)	3 x — 3	–	1 x	=	3 x — ( x — 3) ( x — 3) x
				=	3 x — x + 3 ( x — 3) x
				=	2 x + 3 ( x — 3) x

г)

1 x

+

2 y

+

3 z

=

yz + 2 xz + 3 xy xyz

Пример 7.Адрес: a +

b c

.

Решение. Мы должны выразить a со знаменателем c.

Следовательно,

Проблема 6.

а)

p q

+ р

=

p + qr q

б)

1 x

— 1

=

1-90 407 x x

в) x —

1 x

=

x 2 — 1 x

г) 1 —

1 x 2

=

x 2 — 1 x 2

д) 1 —

1 x + 1

=

x + 1 — 1 x + 1

=

x x + 1

е) 3 +

2 x + 1

=

3 x + 3 + 2 x + 1

=

3 x + 5 x + 1

.

Проблема 7.Напишите обратную величину

1 2

+

1 3

.

[ Подсказка : Только одна дробь

a b

имеет обратную; это

b a

.]

1 2

+

1 3

=

3 + 2 6

=

5 6

Следовательно, обратная величина —

6 5

.

2-й уровень

Следующий урок: Уравнения с дробями

Содержание | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

---

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

ДОПОЛНЕНИЕ

ДОПОЛНЕНИЕ

Чтобы сложить дроби, знаменатели должны быть равны.Выполните следующие шаги, чтобы сложить две дроби.

1.

Постройте каждую дробь так, чтобы оба знаменателя были равны.

2.

Сложите числители дробей.

3.

Знаменателем будет знаменатель построенных дробей.

4.

Уменьшите ответ.

Пример:

Рассчитать.

Ответ:

Ответ есть.

Решение:

Знаменатели те же, поэтому шаг 1. Знаменатель ответа будет 5. Сложите числители для числителя в ответе. 3 + 1 = 4. Ответ есть. Этот ответ уже сокращен, поэтому шаг 4 можно пропустить.

Чек:

Вы можете проверить ответ на калькуляторе. Вычислите 3, разделенные на 5, вычислите 1, разделенные на 5, и сложите результаты.Теперь разделите 4 на 5. Оба ответа должны быть одинаковыми. Если вы правы, ответы будут одинаковыми (эквивалентными), и вы успешно добавили две дроби.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите на слово «Пример».

Решите следующие задачи и нажмите «Ответить», чтобы проверить результаты.

Задача 1:

Сложите дроби и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 2:

Сложите дроби и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 3:

Сложите дроби и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 4:

Сложите дроби и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 5:

Сложите дроби и сократите свой ответ.
Ответ

Меню Назад к простому Фракции [Идентификация] [Факторинг целых чисел] [Уменьшение дробей] [Умножение] [Разделение] [Строительные фракции] [Добавление] [Вычитание] [Порядок работы] С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час .

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Давайте разберемся, как складывать и вычитать обыкновенные дроби. Данный навык необходим для решения множества задач как и в школьном курсе, так и при сдаче ОГЭ или ЕГЭ по математике. Итак, перейдем к рассмотрению различных примеров.

---

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

---

Начнем с рассмотрения самого простого примера — сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями — сложить их или вычесть.

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!

Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:

У Вас есть половина яблока — это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂 ). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину:  ½ — ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай — при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.

Приведем напоследок пример:

---

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

---

Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.

Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило — при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется.

Существует два способа. Первый — самый простой — так называемый «крест-накрест». Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями — теперь они действительно одинаковые!

Пример:

Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное — число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу «крест-накрест». Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.

Пример:

Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!

Сложение дробей, вычитание дробей

Сложение обыкновенных дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{3}{8}$ доли яблока, к ним положили еще $\frac{2}{8}$ доли того же яблока. Это можно записать следующим образом: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$. В результате на тарелке оказалось $3+2=5$ восьмых долей яблока, то есть $\frac{5}{8}$ долей. То есть результатом сложения обыкновенных дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$ является обыкновенная дробь $\frac{5}{8}$.

Пример дает возможность сделать вывод, что в результате сложения дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей, и знаменателем, равным знаменателю исходных дробей.

Помощь со студенческой работой на тему

Сложение дробей, вычитание дробей

Таким образом, можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним:

Пример 2

Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$.

Решение.

Т.к. знаменатели у складываемых дробей равны, в результате сложения знаменатель дроби будет $18$, а числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть $7+4=11$. Таким образом, сложение дробей $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$ дает дробь $\frac{11}{18}$.

Краткое решение: $\frac{7}{18}+\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{11}{18}$.

После выполнения действий над дробями нужно проверить результат и, при необходимости, преобразовать его следующим образом:

• В результате сложения дробей получили сократимую дробь — необходимо выполнить сокращение дроби.
• В результате получили неправильную дробь — необходимо выделить целую часть.

Пример 3

Вычислить сумму обыкновенных дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$.

Решение.

Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}\]

Получили сократимую дробь, т.к. числитель и знаменатель делятся на $5$ (по признаку делимости на $5$). Сократим полученную дробь:

\[\frac{5}{10}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{1}{5}\]

Итак, в результате сложения дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$ получили $\frac{1}{5}$.

Краткое решение: $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

Пример 4

Выполнить сложение обыкновенных дробей $\frac{52}{69}$ и $\frac{77}{69}$.

Решение.

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}\]

Проверим дробь на сократимость. Т.к. и числитель, и знаменатель соответствуют признаку делимости на $3$, полученная дробь может быть сокращена на число $3$. Получим:

\[\frac{129}{69}=\frac{129:3}{69:3}=\frac{43}{23}\]

Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{43}{23}$, получим $1\frac{20}{23}$.

Краткое решение:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23}\]

Ответ: $1\frac{20}{23}$.

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, для чего их приводят к общему знаменателю.

Правило сложения дробей с разными знаменателями:

1. Складываемые дроби привести к общему знаменателю (чаще всего, к наименьшему общему знаменателю).

2. Выполнить сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 5

Сложить обыкновенные дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{21}$.

Решение.

Складываемые дроби имеют разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное НОК чисел $7$ и $21$ равно $21$: $НОК\left(7,\ \ 21\right)=21$.

Найдем соответствующие дополнительные множители: $21:7=3.$ Получим

\[\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{18}{21}\]

Сложим дроби:

\[\frac{18}{21}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Краткое решение:

\[\frac{6}{7}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Ответ: $1\frac{1}{21}$.

Вычитание обыкновенных дробей

Действие вычитания дробей является обратным сложению.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{6}{8}$ долей яблока. $\frac{3}{8}$ доли съели. Это можно записать как $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}$. В результате на тарелке осталось $6-3=3$ восьмых доли яблока, т.е. $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$.

Таким образом, можно сформулировать правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители вычитаются, а знаменатель остается прежним:

Пример 6

Выполнитm вычитание обыкновенных дробей $\frac{13}{18}$ и $\frac{5}{18}$ .

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели одинаковые. Числитель уменьшаемой дроби равен $13$, а числитель вычитаемой дроби равен $5$. Разность числителей равна $13-5=8$. Пользуясь правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, запишем:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}\]

В результате вычитания получилась сокращаемая дробь (по признаку деления на $2$. Сократим получившуюся дробь на $2$:

\[\frac{8}{18}=\frac{8:2}{18:2}=\frac{4}{9}\]

Краткое решение:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\]

Ответ: $\frac{4}{9}$

Вычитание дробей с разными знаменателями

При вычитании дробей с разными знаменателями их сводят к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, для чего дроби приводят к общему знаменателю.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями:

1. Привести дроби к общему знаменателю (чаще всего к наименьшему общему знаменателю).

2. Вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 7

Вычесть из обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$ обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$.

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели разные, поэтому воспользуемся правилом вычитания дробей с разными знаменателями:

1. Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: $НОК\left(9,12\right)=36$.

   Дополнительный множитель для дроби $\frac{4}{9}$ будет число $36:9=4$, а дополнительный множитель дроби $\frac{5}{12}$ будет число $36:12=3$. Получим:

   \[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}-\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}\]

2. Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:

   \[\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]

Краткое решение:

\[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Ещё в 5 классе вы научились складывать, вычитать и сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

Напомним,

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо вычесть их числители, а знаменатель оставить тот же.

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель больше. Меньше та дробь, у которой числитель меньше.

Все эти правила простые и понятные.

Теперь попробуем сложить дроби .

Правило

Таким образом, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действие сложения как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Теперь попробуем вычесть из дроби  дробь .

Как сравнить дроби  и ? Возможно, вы уже сами догадались.

Сформулируем правило сравнения дробей с разными знаменателями:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю и сравнить полученные дроби, то есть сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель больше. Меньше та дробь, у которой числитель меньше.

Задача

Итоги

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

То есть, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Не забывайте сокращать дроби в ответе, пока не получите несократимую дробь.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо привести дроби к общему знаменателю и сравнить полученные дроби, то есть сравниваем их числители. Больше та дробь, у которой числитель больше. Меньше та дробь, у которой числитель меньше.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей – методическая разработка для учителей, Никанбекова Алтыншаш Жанаталаповна

Организационный момент. Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, пожелание успеха. Для создания психологической атмосферы проводит разминку «Технологии, сберегающие здоровье»

«БЫЛ АПЕЛЬСИН ВСЕГО ОДИН?
НО РАЗЛОМИЛИ АПЕЛЬСИН на 24 долек

(допустим если в классе 24 ученика)

И КАЖДОМУ ДОСТАЛОСЬ В КЛАССЕ?
ОДНА?????? ДОЛЬКА» ответ ({1 over 24})

Ешьте, дети, витамины – будете здоровы!!!

И обратите внимание, только вместе мы – единое целое и только все вместе мы – одно целое!

 

Отвечают на вопросы учителя:

метод «Мозговой штурм» (устно)

повторение темы: Сокращение дробей

1. Какую часть апельсина съест половина класса?

 ( {1over 2} = {6over 12})  Значит, половина и есть ({12 over 24})

 

Актуализация знаний. Организует устную работу учащихся. На доске проецируются 5 примеров на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Игра «Лото»

Дескриптор: Обучающийся

— находит сумму обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями;

— находит разность обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями;

— сокращает дроби;

— переводит неправильную дробь в смешанное число.

Обратная связь

Самопроверка: игра « Светофор» (ответы проецируются на экране, учащиеся ставят в тетради + и –). Поднимите руки у кого 5 плюсиков, у кого 4 и т. д. Молодцы!!!

Игра « Лото»

переворачивают ответы, и выходит новая тема

Выход на тему: 

Отвечают на вопросы:

1. Почему дробь ({1 over 2}) заменили на ({2over 4})?

2. Какие дроби мы получили? На основании какого свойства получили данные дроби?

Дескриптор:

— рассматривает рисунки;

— использует основное свойство дроби;

— выполняет сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Обратная связь «Метод большого пальца»

— Кто сможет сформулировать алгоритм сложения дробей с разными знаменателями? Выйти на правило, ответ сравнить с учебником.

— Значит цель нашего урока???

Задание 1

Какая Международная специализированная выставка прошла в столице нашей родины? Ответ: выставка «Астана ЭКСПО-2017». С нашей школы поехали учащиеся на эту выставку. С вашего 5 (г) класса поехали 6 учащихся из 28-ми, а с 5 (в) класса поехали 7 учащихся из 20–ти. Вопрос: какая часть учащихся из двух классов поехала на выставку ЭКСПО?

(Учащиеся работают в паре)

Дескриптор:

— читает и записывает обыкновенные дроби;

— составляет числовое выражение по условию задачи;

— выполняет сложение дробей с одинаковыми знаменателями;

— выполняет сложение дробей с разными знаменателями.

Обратная связь:

— на доске варианты ответов, учащиеся выбирают правильный вариант ответа и прикрепляют стикеры на правильном варианте ответа.

Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Возведение дроби в степень 8 класс онлайн-подготовка на

113. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Возведение дроби в степень.

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

27+37=2+37=57.

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

ac+bc=a+bc,

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

ac-bc=a-bc.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби:

3a-7b15ab+2a+2b15ab=3a-7b+2a+2b15ab=5a-5b15ab=5(a-b)15ab=a-b3ab.

Пример 2. Вычтем дроби:

a2+95a-15-6a5a-15=a2+9-6a5a-15=a-325a-3=a-35.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 3. Сложим дроби x4a3b+56ab4.

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а³b⁴. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b³и 2a².

Имеем

x4a3b+56ab4=x∙3b3+5∙2a212a3b4=3b3x+10a212a3b4.

Пример 4. Преобразуем разность a+3a2+ab-b-3ab+b2.

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

a+3a2+ab-b-3ab+b2=a+3a(a+b)-b-3b(a+b).

Простейшим общим знаменателем служит выражение ab(a+b). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем:

a+3a(a+b)-b-3ba+b=a+3b-b-3aaba+b=ab+3b-ab+3aaba+b=3a+baba+b=3ab.

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 5. Упростим выражение a-1-a2-3a+1

Представим выражение a-1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

a-1-a2-3a+1=a-11-a2-3a+1=a-1a+1-a2-3a+1=a2-1-a2+3a+1=2a+1.

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень.

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например: 23∙45=2∙43∙5=815.

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

ab∙cd=acbd,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 6. Умножим дроби a34b2∙6ba2.

Воспользуемся правилом умножения дробей:

a34b2∙6ba2=a3∙6b4b2∙a2=6a3b4a2b2=3a2b.

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

ab∙cd∙mn=acbd∙mn=acmbdn.

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение abn, являющейся n-й степенью рациональной дроби ab и докажем, что

abn=anbn.

По определению степени имеем

abn=ab·ab∙…∙ab (n раз).

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

ab·ab∙…∙ab=a∙a∙…∙ab∙b∙…∙b=anbn.

Следовательно, abn=anbn.

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 7. Возведем дробь 2a2b4 в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

2a2b43=(2a2)3(b4)3=8a6b12.

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например: 38:25=38∙52=1516.

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

ab:cd=ab∙dc=adbc,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных дробей:

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 8. Разделим дроби 7a2b3:14ab.

Воспользуемся правилом деления дробей:

7a2b3:14ab=7a2b3·b14a=7a2b14ab3=a2b2.

Сложение дробей

PGSG8gJWt1g

Дробь вроде 3 4 говорит, что у нас есть 3 из 4 частей, на которые делится целое.

Чтобы сложить дроби, выполните три простых шага:

• Шаг 1. Убедитесь, что нижние числа (знаменатель ) совпадают.
• Шаг 2: сложите верхние числа (числитель , ), поместите полученный ответ над знаменателем
.
• Шаг 3: Упростите дробь (при необходимости)

Пример:

Шаг 1 .Нижние цифры (знаменатели) уже совпадают. Переходите сразу к шагу 2.

Шаг 2 . Сложите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:

.

1 4 + 1 4 знак равно 1 + 1 4 знак равно 2 4

Шаг 3 . Упростим дробь:

2 4 знак равно 1 2

На картинке это выглядит так:

1 4	+	1 4	=	2 4	=	1 2

… и ты видишь как 2 4 проще как 1 2 ? (см. Эквивалентные дроби.)

Пример:

Шаг 1 : Нижние цифры разные. Видите, как ломтики бывают разных размеров?

1 3	+	1 6	=	?

Нам нужно сделать их такими же, прежде чем мы сможем продолжить, потому что мы не можем, добавить их вот так.

Число «6» вдвое больше, чем «3», поэтому, чтобы сделать нижние числа одинаковыми, мы можем умножить верхнюю и нижнюю часть первой дроби на 2 , например:

× 2

× 2

Важно: вы умножаете как верхний, так и нижний на одинаковую величину,
, чтобы сохранить значение дроби одинаковым

Теперь дроби имеют одинаковое нижнее число («6»), и наш вопрос выглядит так:

2 6	+	1 6

Нижние числа теперь те же, поэтому мы можем перейти к шагу 2.

Шаг 2 : сложите верхние числа и поместите их над тем же знаменателем:

2 6 + 1 6 знак равно 2 + 1 6 знак равно 3 6

На картинке это выглядит так:

2 6	+	1 6	=	3 6

Шаг 3 : Упростите дробь:

3 6 знак равно 1 2

На картинке весь ответ выглядит так:

2 6	+	1 6	=	3 6	=	1 2

С ручкой и бумагой

А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):

Рифма, которая поможет вам вспомнить

♫ «Если ваша цель — сложение или вычитание,
Нижние числа должны быть одинаковыми!
♫» Измените нижнее значение с помощью умножения или деления,
Но то же самое и к верхнему,
♫ » И не забудьте упростить,
Пока не пришло время прощаться «

Пример:

1 3 + 1 5

Опять же, нижние цифры разные (срезы разного размера)!

1 3	+	1 5	=	?

Но давайте попробуем разделить их на меньшие размеры, чтобы каждый был одинаковым :

5 15	+	3 15

Первая дробь: умножив верхнюю и нижнюю части на 5, мы получили 5 15 :

× 5

× 5

Вторая дробь: умножив верхнюю и нижнюю части на 3, мы получили 3 15 :

× 3

× 3

Нижние числа теперь те же, поэтому мы можем продолжить и сложить верхние числа:

5 15	+	3 15	=	8 15

Результат настолько прост, насколько это возможно, вот и ответ:

1 3 + 1 5 знак равно 8 15

Делаем знаменатели одинаковыми

В предыдущем примере, как мы узнали, что нужно разрезать их на ¹ / ₁₅ тысяч, чтобы знаменатели совпадали? Мы просто умножили два знаменателя вместе (3 × 5 = 15).

Прочтите о двух основных способах сделать знаменатели одинаковыми здесь:

Они оба работают, используйте тот, который вам больше нравится!

Пример: кексы

Вы хотите приготовить и продать кексы:

• Друг может предоставить ингредиенты, если вы ему дадите ¹ / ₃ продаж
• А рыночный прилавок стоит ¹ / ₄ продаж

Сколько это всего?

Нам нужно добавить ¹ / ₃ и ¹ / ₄

1 3 + 1 4 = ? ?

Первые делают нижние числа (знаменатели) одинаковыми.

Умножить верхнюю и нижнюю часть ¹ / ₃ на 4 :

1 × 4 3 × 4 + 1 4 = ? ?

И умножьте верхнюю и нижнюю часть ¹ / ₄ на 3 :

1 × 4 3 × 4 + 1 × 3 4 × 3 = ? ?

Сейчас делаем расчеты:

4 12 + 3 12 = 4 + 3 12 = 7 12

Ответ: 7 12 продаж идет на ингредиенты и рыночные затраты.

Добавление смешанных фракций

У нас есть специальная (более продвинутая) страница по сложению смешанных дробей.

930 931, 1399 932, 1400 933, 1401, 1402, 3564, 3565

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нам нужно проделать несколько дополнительных шагов. Общий подход обсуждается ниже. В этом уроке мы рассмотрим несколько примеров, чтобы убедиться, что вы освоили эту процедуру.

---

шагов, как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями

Шаг 1: Даны две разные дроби, знаменатели которых НЕ совпадают.

Шаг 2: Уравняйте знаменатели, найдя наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Этот шаг точно такой же, как поиск наименьшего общего знаменателя (LCD).

Шаг 3: Перепишите каждую дробь в ее эквивалентную дробь со знаменателем, равным наименьшему общему кратному, найденному на шаге №2..

Шаг 4: Теперь добавьте или вычтите «новые» дроби из шага №3. Всегда сокращайте ответ до минимума.

---

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Пример 1: Сложите дроби с разными знаменателями.

Знаменатели двух дробей не равны . Нам нужно сделать их равными, найдя их наименьшее общее кратное, которое будет служить их наименьшим общим знаменателем (LCD).

Начните с перечисления кратных каждого знаменателя и определите наименьшее общее для них обоих число.

У первой дроби уже есть знаменатель, равный НОК = 15, поэтому мы оставим его в покое.

Вторая дробь требует некоторой корректировки, чтобы знаменатель стал равным 15. Для этого нужно умножить числитель и знаменатель на число 3.

• Когда их знаменатели сравняются, сложите дроби, сложив их числители и затем скопировав общий знаменатель.

Дробь {{11} \ over {15}} — наш окончательный ответ, потому что она уже находится в наименьшем члене.

---

Пример 2: Сложите дроби с разными знаменателями.

Мы пока не можем сложить две дроби, потому что у них разные знаменатели, а именно 5 и 9. Начните с перечисления их кратных и выберите наименьшее общее число. Это станет их общим знаменателем.

Теперь преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с НОК в качестве знаменателя, затем продолжите обычное сложение.

Ищите возможность сократить ответ до самого низкого члена. Числитель и знаменатель числа {{33} \ over {45}} делятся на 3 .

---

Пример 3: Сложите дроби с разными знаменателями.

Иногда нет необходимости находить наименьший общий знаменатель методом списка. Мы можем сразу найти его, если оба числа являются простыми числами.

• Простое число — это число, которое делится только на 1 и само себя.

Обратите внимание, что знаменатели 3 и 5 — простые числа. ЖК-дисплей будет просто их продуктом, то есть 3 x 5 = 15.

---

Пример 4: Сложите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьшее общее кратное знаменателей.

Внесите необходимые изменения в знаменатель и действуйте как обычно. Сократите свой окончательный ответ до самого низкого члена.

---

Пример 5: Сложите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Поскольку знаменатели 11 и 13 являются простыми числами, наименьшим общим знаменателем будет их произведение.

Преобразуйте текущие знаменатели двух дробей в ЖК-дисплей и продолжайте регулярное сложение.

---

Пример 6: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Вычитание дробей с неравными знаменателями очень похоже на сложение.

Уравнять их знаменатели, используя принцип наименьшего общего кратного.Затем соответственно вычтите их числители.

Перепишите каждую дробь в ее эквивалентную дробь со знаменателем, равным НОК = 30 , затем вычтите их числители. Обязательно сократите свой ответ до самого низкого члена.

---

Пример 7: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Поскольку оба знаменателя являются простыми числами, их НОК — это просто их произведение, поэтому 7 x 5 = 35.

---

Пример 8: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьший общий знаменатель, определив НОК знаменателей.

Записываем две дроби с общим знаменателем, равным НОК = 42 . Вычтите их числители и, если возможно, сократите ответ до наименьшего члена.

---

Пример 9: Вычтите дроби с разными знаменателями.

Решение :

Найдите наименьший общий знаменатель, решив найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Мы вносим поправки в существующие дроби, чтобы их знаменатель был равен LCD = 40 . После этого вычтите их числители и скопируйте общий знаменатель.

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Умножение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Эквивалентные дроби
Обратное значение дроби

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — Предалгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Найдите наименьший общий знаменатель (LCD)
• Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея
• Сложить и вычесть дроби с разными знаменателями
• Определение и использование операций дроби
• Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей
• Вычислить выражения переменных с дробями

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Найдите две дроби, эквивалентные
   . Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).
2. Simplify:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Найдите наименьший общий знаменатель

В предыдущем разделе мы объяснили, как складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Но как мы можем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Давайте снова подумаем о монетах. Можете ли вы добавить четверть и одну копейку? Можно сказать, что есть две монеты, но это не очень полезно.Чтобы найти общую стоимость одной четверти плюс одна копейка, вы меняете их на одну и ту же единицу — центы. Одна четверть равна центам, а одна десять центов равна центам, поэтому сумма равна центам. См. (Рисунок).

Вместе четверть и десять центов стоят цента или доллара.

Точно так же, когда мы складываем дроби с разными знаменателями, мы должны преобразовывать их в эквивалентные дроби с общим знаменателем. Что касается монет, когда мы конвертируем их в центы, знаменатель будет таков. Поскольку в одном долларе есть центы, центы равны, а центы равны.

Вы попрактиковались в сложении и вычитании дробей с общим знаменателем. Теперь давайте посмотрим, что вам нужно делать с дробями с разными знаменателями.

Во-первых, мы будем использовать плитки с дробями для моделирования нахождения общего знаменателя и

.

Начнем с одной плитки и плитки. Мы хотим найти плитку общей дроби, которую мы можем использовать, чтобы сопоставить как , так и точно.

Если мы попробуем кусочки, они точно соответствуют куску, но не совсем соответствуют куску.

Если мы попробуем кусочки, они не будут полностью покрывать кусок или кусок.

Если мы попробуем кусочки, то увидим, что именно они покрывают кусок, и именно они покрывают кусок.

Если бы мы попробовали кусочки, они тоже подействовали бы.

Плитки даже меньшего размера, такие как и, также точно покрывают кусок и кусок.

Знаменатель наибольшего куска, покрывающего обе дроби, является наименьшим общим знаменателем (ЖКД) этих двух дробей.Итак, наименьший общий знаменатель и равен

.

Обратите внимание, что все плитки, которые покрывают и имеют что-то общее: их знаменатели являются общими кратными, а знаменатели и наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей равно, и поэтому мы говорим, что это наименьший общий знаменатель (LCD) фракций и

Выполнение задания по манипуляции математикой «Поиск наименьшего общего знаменателя» поможет вам лучше понять ЖК-дисплей.

Наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

Чтобы найти ЖКД двух дробей, мы найдем НОК их знаменателей. Мы следуем процедуре, которую использовали ранее, чтобы найти НОК двух чисел. При нахождении ЖК-дисплея мы используем только знаменатели дробей, а не числители.

Найдите ЖК-дисплей для дробей и

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: и

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: и

Чтобы найти ЖКД двух дробей, найдите НОК их знаменателей.Обратите внимание на то, что шаги, показанные ниже, аналогичны шагам, которые мы предприняли для поиска LCM.

Найдите наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей.

1. Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
2. Перечислите простые числа, по возможности сопоставив простые числа в столбцах.
3. Обрушьте колонны.
4. Умножьте множители. Произведение — это НОК знаменателей.
5. НОК знаменателей — это ЖКД дробей.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей и

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: и

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: и

Использование порядка операций для упрощения сложных дробей

В работе «Умножение и деление смешанных чисел и комплексных дробей» мы видели, что комплексная дробь — это дробь, в числителе или знаменателе которой содержится дробь.Мы упростили сложные дроби, переписав их как задачи деления. Например,

Теперь мы рассмотрим сложные дроби, в которых числитель или знаменатель можно упростить. Чтобы следовать порядку операций, сначала отдельно упростим числитель и знаменатель. Затем делим числитель на знаменатель.

Упростите сложные дроби.

1. Упростим числитель.
2. Упростим знаменатель.
3. Разделите числитель на знаменатель.
4. Упростите, если возможно.

Упростить:

Упростить:.

Упростить:.

Упростить:

Упростить:.

Упростить:.

Ключевые понятия

• Найдите наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей.
  1. Разложите каждый знаменатель на его простые числа.
  2. Перечислите простые числа, по возможности сопоставив простые числа в столбцах.
  3. Обрушьте колонны.
  4. Умножьте множители. Произведение — это НОК знаменателей.
  5. НОК знаменателей — это ЖКД дробей.
• Эквивалентные дроби Свойство
• Преобразуйте две дроби в эквивалентные дроби, используя их ЖКД в качестве общего знаменателя.
  1. Найдите ЖК-дисплей.
  2. Для каждой дроби определите число, необходимое для умножения знаменателя, чтобы получить ЖК-дисплей.
  3. Используйте свойство Equivalent Fractions Property, чтобы умножить числитель и знаменатель на число из шага 2.
  4. Упростим числитель и знаменатель.
• Сложите или вычтите дроби с разными знаменателями.
  1. Найдите ЖК-дисплей.
  2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
  3. Сложить или вычесть дроби.
  4. Запишите результат в упрощенном виде.
• Краткое описание операций с фракциями
  • Умножение на дробь: Умножьте числители и умножьте знаменатели.
  • Деление на дробь: Умножьте первую дробь на обратную величину второй.
  • Сложение дробей: Сложите числители и поставьте сумму над общим знаменателем. Если дроби имеют разные знаменатели, сначала преобразуйте их в эквивалентную форму с помощью ЖК-дисплея.
  • Вычитание дроби: Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем. Если дроби имеют разные знаменатели, сначала преобразуйте их в эквивалентную форму с помощью ЖК-дисплея.
• Упростите сложные дроби.
  1. Упростим числитель.
  2. Упростим знаменатель.
  3. Разделите числитель на знаменатель.
  4. Упростите, если возможно.

Письменные упражнения

Объясните, почему необходимо иметь общий знаменатель для сложения или вычитания дробей.

Объясните, как найти ЖКИ двух дробей.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Как вы думаете, после просмотра контрольного списка, вы хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

Глоссарий

наименьший общий знаменатель (ЖКД)

Наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

[PDF] Правила дроби — Скачать бесплатно PDF

Скачать Правила для дробей …

Student Learningentre C

Правила для дробей

ДОБАВЛЕНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ Для сложения или вычитания дробей они должны иметь одинаковый знаменатель (нижнее значение).Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели уже совпадают, то нужно просто прибавить или вычесть числители (верхнее значение). 𝐴𝐴 𝐵𝐵

Сложение

𝐴𝐴 𝐵𝐵

Вычитание

+ —

𝐶𝐶 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐵𝐵

=

=

𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 𝐵𝐵

9000 9000 2 3 4

9000

3 4

3 4

Пример

Сложение и вычитание с разными знаменателями

2

3 + 2 4

2

3−2 4

+ 4 = −4 =

5

= 4

= 4

Если знаменатели разные, необходимо найти общий знаменатель.Это проще всего сделать, создав общий знаменатель, который является произведением двух разных знаменателей. Для этого умножьте знаменатель и числитель каждой дроби на противоположный знаменатель. На самом деле это то же самое, что и умножение единицы, поэтому мы ничего не меняем. Сложение

𝐴𝐴 𝐵𝐵

Вычитание

УМНОЖЕНИЕ

+ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷

—

=

𝐶𝐶 𝐷𝐷

𝐴𝐴𝐴𝐴

=

=

=

=

—

=

𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵

=

Пример

𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵

Пример

Чтобы умножить дроби, просто умножьте знаменатели и умножьте знаменатели

: 9000 33 ×

𝐶𝐶 𝐷𝐷

=

𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷

𝐴𝐴 𝐵𝐵

÷

𝐶𝐶 𝐷𝐷

=

𝐴𝐴 𝐵𝐵

РАЗДЕЛЕНИЕ. первый:

×

3 5

2 3

+ =

2 3 — 3 5

=

3 (3) 5 (3)

2 5 3 5

+ —

2 (5) 3 (5)

3 3 5 3

Пример:

𝐷𝐷 𝐶𝐶

=

𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐶𝐶

Пример:

= =

9 + 10 15

=

=

=

10−9 15

=

2

8

19 15

1 15

4 7

× 6 = 42 = 21

2 3

÷ 7 = 3 × 4 = 12 = 6

4

2

4

7

14

7

ПРАКТИКА

1)

3)

2 7

4 3

+ =

12000

7 2 дробей

=

2)

4)

5/2013 @ SLC

3 4

5 6

× =

7 3-12 8

=

Проверьте свои ответы на обороте .1 из 2

Student Learningentre C

Правила для дробей

#

Объяснение

Работа

1.

Прежде чем вы сможете складывать или вычитать, дроби должны иметь одинаковое нижнее число — общий знаменатель.

2 7

2.

Умножьте нижние числа и умножьте верхние числа. Затем упростите дробь, сократив ее на 3

3.

Переверните вторую дробь вверх дном и умножьте.21 и 24 имеют общий множитель 3, поэтому разделите верхнее и нижнее значение на 3.

4.

Перед тем, как вы сможете сложить или вычесть, дроби должны иметь одинаковое нижнее число — общий знаменатель.

4

2 3 7 (3)

+ 3 = 5 6

Ответ

+

4 7 3 (7)

3 × 5

=

3 4

×

15

7 12

÷

2 3

=

7 12

×

3 2

7 12

—

3 8

=

14 24

= 4 × 6 = 24

=

=

7 × 3 12 × 2

21 24

=

5 24

ТЕЛ: 61-8-8201 2518 Электронная почта: [электронная почта защищена ] ИНТЕРНЕТ: http: // www.flinders.edu.au/SLC ПОЧТА: PO BOX 2100, ADELAIDE, SA 5001 5/2013 @ SLC

5 8

=

СТУДЕНЧЕСКИЙ ЦЕНТР РЕГИСТРАЦИЯ ЗДАНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ

Правила дробей

342 2

Сложение алгебраических дробей — Полный курс алгебры

23

Различные знаменатели — LCM

2-й уровень

ЕСТЬ ОДНО ПРАВИЛО для сложения и вычитания дробей: знаменатели должны быть такими же, как и в арифметике.

a c

+

б в

=

a + b c

Сложите числители и поместите их сумму
над общим знаменателем.

Пример 1.

6 x + 3 5

+

4 x — 1 5

=

10 x + 2 5

Знаменатели те же. Сложите числители как одинаковые термины.

Пример 2.

6 x + 3 5

–

4 x — 1 5

Чтобы вычесть, измените знаки вычитаемого и сложите.

6 x + 3 5

–

4 x — 1 5

=

6 x + 3-4 x + 1 5

=

2 x + 4 5

Проблема 1.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а)

x 3

+

y 3

=

x + y 3

б)

5 x

–

2 x

=

3 x

в)

x x — 1

+

x + 1 x — 1

=

2 x + 1 x — 1

г)

3 x — 4 x — 4

+

x — 5 x — 4

=

4 x — 9 x — 4

д)

6 x + 1 x -3

–

4 x + 5 x -3

=

6 x + 1-4 x -5 x -3

=

2 x — 4 x — 3

е)

2 x — 3 x — 2

–

x — 4 x — 2

=

2 x — 3 — x + 4 x — 2

=

x + 1 x -2

Различные знаменатели — LCM

Чтобы складывать дроби с разными знаменателями, мы должны научиться строить наименьшее общее кратное ряда членов.

Наименьшее общее кратное (НОК) ряда терминов
— это наименьшее произведение, которое содержит все множители каждого члена.

Например, рассмотрим эту серию из трех терминов:

шт. пр. пс

Теперь мы построим их LCM — фактор за фактором.

Для начала у него будут коэффициенты первого члена:

НОК = шт.

Переходя ко второму члену, НОК должен иметь множители пр .Но у него уже есть множитель p — поэтому нам нужно добавить только множитель r :

НОК = pqr

Наконец, переходя к последнему члену, НОК должен содержать множители пс . Но опять же у него есть коэффициент p , поэтому нам нужно добавить только фактор s :

LCM = pqrs .

Этот продукт является наименьшим общим кратным для pq , pr , ps .Это наименьшего продукта , который содержит каждый из них в качестве факторов.

Пример 3. Постройте НОК из этих трех терминов: x , x ² , x ³ .

Решение . НОК должен иметь коэффициент x .

НОК = x

Но он также должен иметь множители x ² — которые равны x · x .Следовательно, мы должны добавить еще один множитель x :

НОК = x ²

Наконец, LCM должен иметь множители x ³ , которые равны x · x · x . Следовательно,

НОК = x ³ .

x ³ — наименьшее произведение, содержащее x , x ² и x ³ в качестве факторов.

Мы видим, что когда члены составляют степени переменной — x , x ² , x ³ — тогда их НОК является наивысшей степенью.

Задача 2. Постройте НОК каждой серии терминов.

а)	ab , bc , cd . abcd		б)	pqr , qrs , первый . pqrst
в)	a , a 2 , a 3 , a 4 . а 4		г)	a 2 b , a b 2 . а 2 б 2

e) ab , cd . abcd

Теперь посмотрим, какое отношение это имеет к сложению дробей.

Пример 4. Добавляем:	3 ab	+	4 до н.э.	+	5 CD

Решение .Чтобы сложить дроби, знаменатели должны быть одинаковыми. Поэтому в качестве общего знаменателя выберите НОК исходных знаменателей. Выберите abcd . Затем преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь со знаминателем abcd .

Необходимо написать общий знаменатель только один раз:

3 ab

+

4 до н.э.

+

5 CD

=

3 cd + 4 ad + 5 ab abcd

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , просто умножьте ab на недостающие множители, а именно cd .Следовательно, мы также должны умножить 3 на кд . Это составляет первый член в числителе.

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , умножьте bc на недостающие множители, а именно ad . Следовательно, мы также должны умножить 4 на и . Это составляет второй член в числителе.

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , умножьте cd на недостающие множители, а именно ab .Следовательно, мы также должны умножить 5 на ab . Это составляет последний член в числителе.

Вот как складываются дроби с разными знаменателями.

Каждый множитель исходных знаменателей должен быть множителем
общего знаменателя.

Задача 3. Доп.

а)

5 ab

+

6 ac

=

5 c + 6 b abc

б)

2 шт.

+

3 qr

+

4 RS

=

2 RS + 3 PS + 4 шт. шт.

в)

7 ab

+

8 до н.э.

+

9 abc

=

7 c + 8 a + 9 abc

г)

1 а

+

2 а 2

+

3 a 3

=

a 2 + 2 a + 3 a 3

д)

3 a 2 b

+

4 a b 2

=

3 b + 4 a a 2 b 2

е)

5 ab

+

6 CD

=

5 cd + 6 ab abcd

г)	_2_ x ( x + 2)	+	__3__ ( x + 2) ( x — 3)	=	2 ( x — 3) + 3 x x ( x + 2) ( x — 3)
				=	_ 2 x — 6 + 3 x _ x ( x + 2) ( x — 3)
				=	_5 x — 6_ x ( x + 2) ( x — 3)

На 2-м уровне мы увидим аналогичную проблему, но знаменатели не будут разложены на множители.

Задача 4. Складываем: 1 —

1 а

+

c + 1 ab

. Но напишите ответ как

1 — дробь.

1 —

1 а

+

c + 1 ab

=

1 — (

1 а

–

c + 1 ab

)

=

1–

b — ( c + 1) ab

=

1–

b — c -1 ab

Пример 5.Знаменатели без общих факторов.

Когда знаменатели не имеют общих множителей, их НОК — это просто их произведение, mn .

a м

+

b n

=

и + bm mn

Числитель тогда появляется как результат «перекрестного умножения»:

и + BM

Однако этот метод будет работать только при сложении двух дробей, а знаменатели не имеют общих множителей.

Пример 6.

2 x — 1

–

1 x

Решение . Эти знаменатели не имеют общих множителей — x не является множителем x — 1. Это термин. Следовательно, НОК знаменателей — это их произведение.

2 x — 1

–

1 x

=

2 x — ( x — 1) ( x — 1) x

=

2 x — x + 1 ( x — 1) x

=

_ x + 1_ ( x — 1) x

Примечание: Вычитается весь x — 1.Поэтому записываем его в круглые скобки — и его знака меняются на .

Задача 5.

а)

x a

+

y b

=

xb + ya ab

б)

x 5

+

3 x 2

=

2 x + 15 x 10

=

17 x 10

в)	6 x — 1	+	3 x + 1	=	6 ( x + 1) + 3 ( x — 1) ( x + 1) ( x — 1)
				=	6 x + 6 + 3 x — 3 ( x + 1) ( x — 1)
				=	_9 x + 3_ ( x + 1) ( x -1)

г)	6 x — 1	–	3 x + 1	=	6 ( x + 1) — 3 ( x -1) ( x + 1) ( x -1)
				=	6 x + 6-3 x + 3 ( x + 1) ( x -1)
				=	_3 x + 9_ ( x + 1) ( x -1)

д)	3 x — 3	–	2 x	=	3 x — 2 ( x -3) ( x — 3) x
				=	3 x — 2 x + 6 ( x — 3) x
				=	x + 6 ( x -3) x

е)	3 x — 3	–	1 x	=	3 x — ( x -3) ( x -3) x
				=	3 x — x + 3 ( x — 3) x
				=	2 x + 3 ( x -3) x

г)

1 x

+

2 y

+

3 z

=

yz + 2 xz + 3 xy xyz

Пример 7.Адрес: a +

б в

.

Решение. Мы должны выразить a со знаминателем c.

Следовательно,

+

б в

=

ac + b c

.

Проблема 6.

а)

p q

+ р

=

p + qr q

б)

1 x

— 1

=

1-90 424 x x

в) x —

1 x

=

x 2 — 1 x

г) 1 —

1 x 2

=

x 2 — 1 x 2

д) 1 —

1 x + 1

=

x + 1 — 1 x + 1

=

x x + 1

е) 3 +

2 x + 1

=

3 x + 3 + 2 x + 1

=

3 x + 5 x + 1

.

Проблема 7.Напишите обратную величину:

1 2

+

1 3

.

[ Подсказка : Только одна дробь

a b

имеет обратную; это

b a

.]

1 2

+

1 3

=

3 + 2 6

=

5 6

Следовательно, обратная величина —

6 5

.

2-й уровень

Следующий урок: Уравнения с дробями

Содержание | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался в сети.
Даже 1 доллар поможет.

---

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Сложение дробей с разными знаменателями

Подробная справка по сложению дробей с разными знаменателями

Вы уже видели, каким может быть easy , складывающее дроби с или похожими знаменателями .Вы просто складываете числители и сохраняете тот же знаменатель, а затем при необходимости упрощаете. Теперь поговорим о сложении дробей с разными знаменателями .

Когда вы закончите этот урок, вы удивитесь, почему вы вообще вообще беспокоились о сложении этих дробей.

Прежде всего, при сложении дробей с разными знаменателями, первый шаг говорит, что мы должны изменить эти дроби так, чтобы они имели «одинаковый знаменатель» .

Вот шаги для сложения дробей с разными знаменателями

Постройте каждую дробь так, чтобы оба знаменателя были равны. Запомните , при сложении дробей с разными знаменателями знаменатели должны быть равны . Итак, мы должны сначала завершить этот шаг.

1. 1. Перепишите каждую эквивалентную дробь, используя новый знаменатель
   2. Теперь вы можете складывать числители и сохранять знаменатель эквивалентных дробей.
   3. При необходимости перепишите ответ в виде упрощенной или сокращенной дроби.

Мы знаем, что это звучит как большая работа, и это так, но как только вы полностью поймете , как найти общий знаменатель или ЖК-дисплей и построить эквивалентные дроби, все остальное начнет становиться на свои места. Итак, давайте не торопимся, сделаем это правильно!

Но имейте в виду , если вы делаете домашнее задание, обязательно ответьте на задачи в форме , запрошенной в задании.

Вы хотите проверить свою работу? Попробуйте наш новый калькулятор суммирования дробей для сложения до 5 дробей, целых чисел, смешанных чисел или неправильных дробей с одинаковыми или разными знаменателями.

Ознакомьтесь с этим наглядным руководством по сложению дробей с разными знаменателями

Добавить 1/2 + 1/3

+

Обратите внимание, что общий размер нашей точки отсчета
(весь) ТОЧНО такой же.

Шаг № 1 в нашем правиле говорит нам, что знаменатели должны быть равны . И самый простой способ найти общий знаменатель — это просто умножить на знаменатели.

Итак, давайте сделаем это сейчас …

2 х 3 = 6

Общий знаменатель 1/2 и 1/3 равен 6

Шаг № 2 — Перепишите каждую эквивалентную дробь, используя этот новый знаменатель.

С…

1/2 эквивалентно 3/6

А…

1/3 эквивалентно 2/6

Мы переписываем наше уравнение так, чтобы оно читалось…

Добавить: 3/6 + 2/6

Теперь мы готовы выполнить Step # 3 — ДОБАВИТЬ числителей и сохранить знаменатель эквивалентных дробей (который равен 6).

Итак, получаем…

3/6 + 2/6 = (3 + 2) / 6 = 5/6

+

=

Наконец, Шаг №4 — При необходимости перепишите свой ответ в виде упрощенной или сокращенной дроби.

В нашем примере ответ (5/6) уже находится в своей простейшей форме . Итак, никаких дополнительных действий не требуется!

Вот и все!

быстрый и простой способ складывать дроби с разными знаменателями.

Дополнительная справка

В поисках ЖК-дисплея

Таблица первичной факторизации

Упрощение дробей

Рабочие листы сложения дробей

Сложение и вычитание дробей с помощью пошагового решения математических задач

С самого начала изучения математики вы много раз сталкивались с дробями. Они встречаются в формулах и во многих повседневных практических задачах. Однако дроби в арифметике состоят строго из чисел.Теперь мы изучим операции над дробями, компоненты которых являются алгебраическими выражениями.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЗАПИСАННЫМИ ЧИСЛАМИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Разделите числитель и знаменатель дроби на множители.
2. Упростите алгебраические дроби.

Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.

При изучении арифметики вас проинструктировали, что дробные ответы всегда следует оставлять в сокращенной или упрощенной форме.Для дроби, которую вы «уменьшили» до деления числителя и знаменателя на 4. Дробь не может быть уменьшена, потому что никакое число (кроме 1) не разделит числитель и знаменатель. Таким образом, упрощая дроби, вы использовали следующее определение.

Дробь представлена ​​в упрощенной (или сокращенной) форме , если числитель и знаменатель не содержат общего множителя (кроме 1).

Дробь, например, представлена ​​в упрощенной форме, поскольку числитель 2 и знаменатель 3 не имеют общего множителя, кроме единицы.

Для получения дроби в упрощенной форме примените следующее правило.

Для упрощения дроби полностью разложите числитель и знаменатель на множители, а затем разделите числитель и знаменатель на все общие множители.

Дробь, однако, представлена ​​не в упрощенной форме, поскольку числитель и знаменатель имеют общий множитель 2.

Затем разделите на общие множители, получив

.

Помните, деленный сам на себя множитель равен 1.

Теперь разделите на общий множитель (x + 2) в числителе и знаменателе, чтобы получить

.

Мы можем делить только общие множители, а не общие термины.

В таком выражении, как некоторые ученики хотят разделить на три. Обратите внимание, что это неправильный , так как это терминов , а не множители.

Обратите внимание, что даже несмотря на то, что мы смогли разложить числитель и знаменатель на множители, мы по-прежнему не можем разделить, поскольку нет общих факторов для обоих.Данная дробь уже представлена ​​в упрощенном виде.

Тот факт, что для данной дроби может потребоваться любой из изученных вами методов факторинга, еще раз подчеркивает важность умения в факторинге.

Решение Здесь вы можете использовать «метод проб и ошибок» для числителя и «группировку» для знаменателя.

Здесь (x + 2) — общий множитель, поэтому числитель и знаменатель можно разделить.

Обратите внимание, что числитель 2x + 5 можно записать как (2x 4-5) * 1. Таким образом, когда множитель (2x + 5) делится, множитель 1 остается.

Решение Проблемы этого типа требуют особого внимания, поскольку они являются частой причиной ошибок. На первый взгляд факторы могут быть ошибочно приняты за общие, а дробь — как уже упрощенная. Обратите внимание, что факторы нельзя разделить, так как знаки не позволяют им быть идентичными.Если, однако, отрицательная единица вычитается из одного из факторов, то есть подобные факторы, и деление может быть выполнено.

Любые множители в форме a — b и b — a отрицательны друг для друга, таким образом, 2x — 3 и 3 — 2x отрицательны друг для друга.

Все это эквивалентные формы одного и того же выражения. Предпочтительной формой будет та, в которой используется наименьшее количество письменных знаков. Всегда проверяйте свой ответ, чтобы убедиться, что он эквивалентен форме, приведенной в разделе ответов.

УМНОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФРАКЦИЙ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Факторы-числители и знаменатели всех умножаемых дробей.
2. Определите и разделите по всем общим факторам.
3. Напишите продукт в простейшей форме.

Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.

— это определение произведения двух дробей.На словах это говорит: «Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель». Вы много раз использовали это правило в арифметике при умножении дробей.

Однако помните, что все дробные ответы должны быть в упрощенной форме. Мы могли бы следовать приведенному выше определению, а затем упростить ответ, как в предыдущем разделе. Но с алгебраическими дробями это может привести к очень сложным выражениям. Следующее правило позволяет нам упрощать умножение, поэтому ответ будет в упрощенной форме.

При умножении алгебраических дробей полностью разложите на множители все числители и знаменатели, затем разделите на все множители, общие для числителя и знаменателя, перед умножением.

Произведение оставшихся множителей числителя будет числителем ответа, а произведение оставшихся множителей знаменателя будет знаменателем ответа.

Опять же, помните, что общие факторы должны быть абсолютно одинаковыми.

Мы будем использовать точку * для обозначения умножения, поскольку использование X можно спутать с переменной x.

Обратите внимание, что (x + 2) и (2 + x) одинаковы, но (x — 4) и (4 — x) являются отрицательными по отношению друг к другу. Опять же, есть много возможных форм окончательных ответов. Приведенная здесь форма является предпочтительной, поскольку она содержит наименьшее количество знаков.

В этой проблеме много факторов. Будь осторожен!

РАЗДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФРАКЦИЙ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Измените задачу деления на связанную задачу умножения.
2. Делим алгебраические дроби.

Деление дробей определяется умножением.

Чтобы разделить умножить на обратную величину делителя.

Чтобы разделить одно алгебраическое выражение на другое, инвертируйте делитель и измените операцию на умножение.

Делитель следует за знаком. Не переворачивайте неправильную дробь.

Если знаменатель не указан, предполагается, что он равен 1.

После того, как задача изменилась с задачи деления на задачу умножения, она будет завершена, как и в предыдущем разделе.

Опять же, обратите внимание, что инвертируется только дробь, следующая за знаком.

ПОИСК НАИМЕНЕЕ ОБЩЕГО ЗНАЧИТЕЛЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Полностью множите знаменатель дроби.
2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.

Правило сложения и вычитания дробей требует, чтобы объединяемые дроби имели один и тот же знаменатель. В качестве подготовки к выполнению этих операций мы теперь исследуем метод нахождения наименьшего общего знаменателя для любой группы дробей.

Общий знаменатель Лот из двух или более дробей — это выражение, которое содержит все множители знаменателя каждой дроби.Наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество факторов, которые должны быть общим знаменателем.

Наименьший общий знаменатель набора дробей иногда называют наименьшим общим кратным знаменателей.

Мысленная арифметика позволит вам найти наименьший общий знаменатель для малых чисел. Если попросить сложить, легко прийти к наименьшему общему знаменателю 12. Если спросить, как мы пришли к 12, мы просто знаем, что 12 — наименьшее число, делимое как на 4, так и на 6.Однако более сложный метод необходим, если числа больше или если дроби являются алгебраическими дробями.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель для

Решение Эта проблема потребовала бы значительного количества догадок или возможностей тестирования, если бы у нас не было общего метода.

Мы могли бы получить общий знаменатель этих дробей, найдя произведение 12 X 14 X 15 X 18 = 45 360. Хотя это число является общим знаменателем, это не последний общий знаменатель.

Рассмотрим определение. Из него мы знаем, что общий знаменатель этих чисел должен содержать все множители каждого из них. Другими словами, мы ищем наименьшее число, делящееся на 12, 14, 15 и 18.
Сначала полностью разложите каждое число на множители.

Число, которое мы ищем, должно содержать (2) (2) (3), чтобы делиться на 12. Оно должно содержать (2) (7), чтобы делиться на 14, и так далее. Выполните следующие действия:
Напишите множители первого числа, 12.
(2) (2) (3)
Теперь посмотрим на множители следующего числа, 14, и увидим, что нам нужно (2) (7). Но поскольку у нас уже есть 2, нам нужен только множитель (7). Это дает
(2) (2) (3) (7).
Это число теперь делится на 12 и на 14. Делителями следующего числа, 15, являются (3) и (5). Поскольку у нас уже есть 3, нам нужен только множитель 5, что дает
(2) (2) (3) (7) (5).
Это число теперь делится на 12, 14 и 15. Делители следующего числа, 18, равны (2) (3) (3). У нас уже есть 2 и один 3.Следовательно, нам нужны еще 3.
(2) (2) (3) (7) (5) (3) = 1,260
Это число, 1,260, является общим знаменателем 12, 14, 15 и 18, поскольку оно содержит все факторы каждого и поэтому делится на каждый. Это наименьший общий знаменатель, поскольку он содержит только те множители, которые необходимы для деления его на 12, 14, 15 и 18.

Обратите внимание, что 1260 значительно меньше, чем число, полученное простым нахождением произведения всех знаменателей.

Предыдущее обсуждение дает начало правилу получения наименьшего общего знаменателя для любого количества дробей, будь то числа или алгебраические выражения.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель для двух или более дробей:
1. Полностью разложите каждый знаменатель на множители.
2. Запишите знаменатель первой дроби в факторизованной форме в качестве предлагаемого общего знаменателя.
3. Путем проверки определите, какие факторы второго знаменателя еще нет в предложенном общем знаменателе, и включите их.
4. Повторите шаг три для каждой дроби.

После освоения эта пошаговая процедура значительно упростит вашу работу.

Обратите внимание, что при нахождении наименьшего общего знаменателя мы не обращаем внимания на числитель. Это знаменатель первой дроби.

При проверке второго знаменателя нам понадобится дополнительный множитель (x — 2). Наименьший общий знаменатель равен (3x — 4) (2x + l) (x — 2).

И снова числители не влияют на то, каким будет наименьший общий знаменатель. Иногда наименьший общий знаменатель сокращается до LCD.

Обратите внимание, что x 2 является множителем в знаменателе первой дроби, но не во второй дроби.

Здесь три знаменателя.

Решение
Первый знаменатель: 3 (x + 2)
Второй знаменатель: 2 (2) (3)
Третий знаменатель: 2 (x + 3) (x + 2)
Предлагаемый общий знаменатель: 3 ( x + 2)
Изучив второй знаменатель, мы видим, что нам нужно включить множители (2) и (2).Теперь у нас есть 2 (2) (3) (x + 2). Посмотрев на третий знаменатель, мы видим, что нам нужен множитель (x + 3). Наименьший общий знаменатель равен 2 (2) (3) (x + 2) (x + 3) или 12 (x + 2) (x + 3).

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФРАКЦИИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Поймите основной принцип дробей.
2. Заменить дробь на эквивалентную дробь.

При дальнейшей подготовке к сложению и вычитанию дробей мы должны иметь возможность изменить данную дробь на единицу с новым знаменателем без изменения значения исходной дроби.

называется основополагающим принципом дробей .

Когда мы анализируем это утверждение, мы видим две эквивалентные дроби и замечаем, что числитель и знаменатель умножены на одно и то же ненулевое число a.

Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь , умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.

Почему выражение должно быть ненулевым?

Вы можете представить себе этот процесс как процесс, обратный уменьшению дробей.

Решение Поскольку новый знаменатель представляет собой факторизованную форму, при осмотре мы видим, что исходный знаменатель (2x + 3) был умножен на множитель (x — 4). Следовательно, исходный числитель (x + 1) также нужно умножить на множитель (x — 4), получив

.

Обратите внимание, что в окончательной форме дроби мы умножили множители в числителе, но оставили знаменатель в факторизованной форме. Это предпочтительный способ написания ответа.

Решение Поскольку исходный знаменатель (x — 3) был умножен на (2) и (x + 1), исходный числитель (2x + 1) также должен быть умножен на (2) и (x + 1).

Снова обратите внимание на форму ответа.

ДОБАВЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ Дробей

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Сложить дроби с одинаковым знаменателем.
2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.
3. Применить правило сложения дробей.

Теперь мы готовы сложить алгебраические дроби, используя методы, описанные в предыдущих двух разделах. Вы должны вспомнить следующее правило из арифметики.

Сумма двух или более дробей с одинаковым знаменателем — это сумма числителей над их общим знаменателем.

Обратите внимание, что это правило допускает только сумму дробей с одинаковым знаменателем.Другими словами, две или более дроби могут быть добавлены только в том случае, если у них есть общий знаменатель. Правило сложения любых двух или более дробей потребует навыков, полученных в последних двух разделах, в дополнение к знаниям комбинирования одинаковых терминов.

Чтобы сложить две или более дробей, выполните следующие действия:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель (ЖКД) для всех участвующих дробей, используя метод, разработанный в разделе 9-4.
Шаг 2 Замените каждую дробь на эквивалентную дробь с наименьшим общим знаменателем (раздел 9-5).
Шаг 3 Найдите сумму числителей и поместите эту сумму над наименьшим общим знаменателем.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

Эти четыре шага следует использовать всякий раз, когда вы складываете дроби.

Не забудьте умножить числитель и знаменатель на одно и то же выражение.

Этот ответ дан в сокращенной форме.

Опять же, не забудьте умножить числитель на то же выражение, на которое вы умножили знаменатель.

Если знаменатели не имеют общих множителей, ЖК-дисплей является произведением знаменателей.

Здесь должна быть изменена только первая дробь.

Сумма

Обратите внимание, что числитель 3x — 15 может быть разложен на множители как 3 (x — 5), а множитель (x — 5) совпадает с множителем в знаменателе.

Мы можем использовать меньше письменных шагов, если заметим, что «общий знаменатель» означает, что все дроби имеют один и тот же знаменатель, а если все имеют одинаковый знаменатель, то знаменатель необходимо записать только один раз. Чтобы проиллюстрировать это, мы переработаем предыдущий пример.

Этот ярлык подходит, если вы не забываете умножать числители на необходимые множители.

Опять же, знаменатели не имеют общих множителей, поэтому ЖК-дисплей является произведением всех трех знаменателей.

Вычитание алгебраических дробей

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Вычтите дроби с одинаковым знаменателем.
2. Примените правило вычитания дробей с разными знаменателями.

Вычитание определяется в терминах сложения, поэтому метод вычитания алгебраических дробей будет таким же, как и сложение алгебраических дробей, описанных в предыдущем разделе.Скоро вы поймете, почему мы представили их отдельно.

Разница любых двух дробей с одинаковым знаменателем — это разница их числителей над общим знаменателем.

Обратите внимание, что это правило аналогично правилу сложения двух дробей с одинаковым знаменателем.

Таким образом, шаги вычитания дробей такие же, как и при сложении дробей.

Чтобы вычесть дроби:
Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель двух дробей.
Шаг 2 Замените каждую дробь на эквивалентную дробь с наименьшим общим знаменателем.
Шаг 3 Найдите разность числителей и поместите результат над наименьшим общим знаменателем.
Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

Возникает очевидный вопрос: «Если эти две операции одинаковы, зачем изучать их по отдельности?» Ответ заключается в том, что вычитание приводит к очень распространенной ошибке, которую ученик должен быть готов избежать.

Обратите внимание, мы вычитаем весь числитель второй дроби. Поэтому рекомендуется заключить весь числитель в круглые скобки со знаком вычитания перед ним.

Упомянутая ошибка часто возникает из-за того, что знак минус не влияет на весь числитель второй дроби, а НЕ только на первый член.

Это произойдет, если вы не используете круглые скобки.

Стрелка указывает на ошибку, наиболее часто допускаемую при вычитании дробей. Лучший способ избежать этого — всегда использовать круглые скобки

.

, и вы вряд ли не сможете правильно поменять знак.

Обратите внимание, мы заключили в круглые скобки числитель второй дроби. Обратите внимание, что мы сначала умножили (x — 4) (2x — 1), а затем умножили (2×2 — 9x + 4) на -l. Умножение и одновременное изменение знаков означает ошибку.

КОМПЛЕКСНЫЕ ФРАКЦИИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Распознавать сложную дробь.
2. Упростите сложную дробь.

Дроби определяются как указанное частное двух выражений. В этом разделе мы представим метод упрощения дробей, в котором числитель или знаменатель или и то, и другое сами состоят из дробей. Такие фракции называются комплексными дробями .

Таким образом, если числитель и знаменатель сложной дроби состоят из отдельных дробей, это можно упростить, разделив числитель на знаменатель.

Как правило, более эффективный метод упрощения сложной дроби включает использование фундаментального принципа дроби. Мы умножаем числитель и знаменатель на общий знаменатель всех отдельных дробей комплексной дроби.

Напомним, что основной принцип дробей утверждает

Мы будем использовать основной принцип, чтобы снова упростить

На ЖК-дисплее 3 и 4 отображается 12.Таким образом

Отдельные дроби:

Этот ответ можно записать как смешанное число

Убедитесь, что каждый член в числителе и знаменателе умножается на ЖК-дисплей.

Нам нужен ЖКИ отдельных дробей, y не дробь.

УРАВНЕНИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ДОЛЯМИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Примените метод решения дробных уравнений.
2. Определите, когда дробное уравнение не имеет решения.

В главе 2 мы встретили уравнения с дробями. Однако все эти дроби имели числовые знаменатели. Теперь мы обсудим уравнения, в которых дроби содержат переменные в знаменателях.

Метод решения этих уравнений будет следовать той же схеме, что и в главе 2, но есть некоторые дополнительные предостережения, к которым вы должны быть готовы.

Вы можете вернуться к некоторым примерам в главе 3, чтобы освежить свою память.

Чтобы освежить память, шаги для решения таких уравнений повторяются здесь.
Первое: исключите дроби, умножив каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Вторая: упростите, комбинируя одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
Третий: сложите или вычтите необходимые количества, чтобы получить неизвестное количество с одной стороны и арифметические числа с другой.
Четвертое: разделить на коэффициент неизвестной величины.
Пятое: Проверьте свой ответ.

Основное различие в решении уравнений с арифметическими дробями и уравнениями с алгебраическими дробями заключается в проверке. Процесс проверки будет заключаться не только в поиске возможной ошибки, но и в определении того, есть ли у уравнения ответ.

Эта последняя возможность возникает из-за того, что с алгебраическими дробями мы умножаем на неизвестную величину. Эта неизвестная величина на самом деле может быть равна нулю, что сделает всю работу недействительной.

Помните, мы можем умножать каждую часть уравнения только на ненулевую величину.

Это означает, что ни (x — 1), ни (x + 1) не могут быть равны нулю. Если x = 1, то множитель (x — 1) равен нулю, и мы в беде!

Поскольку деление на ноль невозможно, мы должны сделать вывод, что x = 1 не является решением. И поскольку мы не допустили ошибок в вычислениях, мы должны сделать вывод, что это уравнение не имеет решения.
Правильный ответ — «нет решения».

Проверка необходима в алгебраических уравнениях.В противном случае вы могли бы проделать большую работу — не ошибиться — и все равно упустить проблемы. Другими словами, x = 1 не является решением, поскольку дает утверждение, не имеющее смысла.

Помните, проверка — чрезвычайно важный шаг, поскольку она определяет, есть ли решение или нет.

Обратите внимание, что в этих примерах, когда у нас есть x 2 членов, они сокращаются, и мы остаемся с линейным уравнением.Если бы они не сокращались, в уравнении был бы член x 2 . Этот тип уравнения (квадратного) будет рассмотрен в главе 11.

Таким образом, x = -5 — решение.

Следовательно, 11 — это величина, на которую был увеличен числитель.

СВОДКА

Ключевые слова

• Алгебраическая дробь — это указанное соотношение двух алгебраических выражений.
• Дробь представлена ​​в упрощенной форме , если числитель и знаменатель не имеют общего множителя, кроме 1.
• Общий знаменатель для двух или более дробей — это выражение, которое содержит все множители знаменателей каждой дроби.
• Наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество факторов, которые должны быть общим знаменателем.
• Основной принцип дробей —
  
• Сложные дроби — это дроби, у которых числитель или знаменатель (или оба) содержат дробь.

Процедуры

• Чтобы упростить или сократить дроби до наименьшего числа, множите числитель и знаменатель и разделите на все одинаковые множители.
• Для умножения дробей множите все числители и знаменатели и делите на все одинаковые множители перед умножением.
• Чтобы разделить на дробь, инвертируйте делитель, а затем умножьте.
• Чтобы найти наименьший общий знаменатель (LCD), сначала разложите на множители все знаменатели, затем найдите знаменатель, который содержит все множители каждого знаменателя, но не содержит никаких ненужных множителей.
• Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь, умножьте числитель и знаменатель на то же ненулевое выражение.
• Чтобы сложить дроби, выполните следующие действия:
  1. Найдите наименьший общий знаменатель.