Правило сложение обыкновенных дробей: Сложение и вычитание дробей

Содержание

Как сложить обыкновенные дроби: с одинаковыми/разными знаменателями

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно сложить обыкновенные (простые) дроби с одинаковыми/разными знаменателями и смешанные дроби. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.

Сложение дробей

С одинаковыми знаменателями

В данном случае все предельно просто. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями суммируются числители, а знаменатель остается неизменным.

 
Примечание: полученную путем сложения новую дробь в некоторых случаях можно сократить.

С разными знаменателями

Для того, чтобы сложить дроби с разными знаменателями, выполняем следующие действия:

1. Приводим заданные дроби к наименьшему общему знаменателю.
2. Складываем полученные результаты как дроби с одинаковыми знаменателями.

Сумма смешанных дробей

Чтобы сложить смешанные дроби, необходимо отдельно просуммировать целые части, и отдельно дробные.

X

a/b

+ Y

c/d

= (X + Y) + (

a/b

+

c/d

)

 
Примечание: Если дробные части имеют разные знаменатели, значит их сперва нужно привести к наименьшему общему знаменателю, и только после этого складывать.

Примеры задач

Задание 1

Найдите сумму дробей 

4/11

 и 

7/11

.

 
Решение

Т.к. у нас дроби с одинаковыми знаменателями, то:

4/11

+

7/11

=

4+7/11

=

11/11

=1

 
Задание 2

Найдите сумму дробей 

5/12

 и 

4/7

.

 
Решение

В данном случае нам сначала нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное обоих знаменателей равняется 84, следовательно, дополнительный множитель для первой дроби – число 7, для второй – 12.

5/12

=

5⋅7/12⋅7

=

35/84

4/7

=

4⋅12/7⋅12

=

48/84

 
Таким образом, мы получили дроби с одинаковыми знаменателями, и теперь их можно сложить:

35/84

+

48/84

=

35+48/84

=

83/84

 
Задание 3

Найдите сумму дробей 2

6/13

 и 5

3/13

.

 
Решение

Дробные части имеют один и тот же знаменатель, значит мы сразу же можем выполнить сложение:

2

6/13

 + 5

3/13

 = 2 + 5 + (

6/13

 + 

3/13

) = 7 + 

6+3/13

 = 7

9/13

Сложение дробей | Онлайн калькулятор

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Определение: Суммой дробей с одинаковыми знаменателями называют дробь,числитель которой равен сумме числителей исходных дробей,и со знаменателем равным знаменателю обеих дробей.

Формула
Сложим две дроби с одинаковым с одинаковыми знаменателями
По формуле складываем числители, а знаменатель оставляем исходный

Важно: Если есть возможность сократить дробь, то в конечный ответ мы записываем сокращенную дробь.

Пример: При сокращении дроби у нас получится число 1/2

Сложение дробей с разными знаменателями:

Определение: Для того, чтобы найти сумму дробей с разными знаменателями сначала нужно дроби привести к общему знаменателю, а затем сложить их как дроби с одинаковыми знаменателями.
Задача:

Ход решения:
1) Приводим дроби к общему знаменателю.
Для этого ищем НОК — наименьшее общее кратное, для знаменателей 7 и 6 это число 42.
Делим число 42 на знаменатели дробей 3/7 и 2/6
Так мы нашли дополнительные множители.
Дальше домножаем дроби на дополнительные множители и получаем выражение:

2) Складываем дроби.
В нашем случае дробь можно сократить на 2 , и в конечный ответ записываем число 16/21

Сложение дроби и целого числа:

Определение: Для того, чтобы сложить дробь с целым числом, нужно сначала представить целое число как дробь со знаменателем равным 1.

Алгоритм расчета:
1) Приводим дроби к общему знаменателю.
2) Складываем дроби
3) Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь.
4) Если же получилась неправильная дробь, то вычисляем из нее целую часть.
Пример:
Решение:
Вычисляем целую часть, и получаем ответ

Сложение смешанных дробей:

Определение: Для того, чтобы сложить смешанные дроби нужно отдельно сложить целые части, и отдельно сложить дробные части.
Формула
Пример:
Подставляем цифры в формулу:
Получаем:

Из дроби вычисляем целую часть т.к она неправильная,и получаем выражение 7+2=9.

Сложение дробей с помощью онлайн калькулятора:

Смотрите также

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Обыкновенные дроби
  5. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Ранее мы выполняли сложение и вычитание натуральных чисел. С дробными числами, или дробями, также можно выполнять данные действия.

Рассмотрим брусок:

Разделим его на 6 равных частей — долей:

Закрасим две доли синим цветом и три — зеленым:

То есть получим, что две шестых закрашены синим, три шестых — зеленым, а всего закрашено пять шестых:

То есть мы можем сделать вывод, что:

+ =  .

Опираясь на данный пример, можно сформулировать следующее правило:

Чтобы найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Мы знаем, что вычитание натуральных чисел определяется на основе сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое. Аналогично вычитание дробей дается на основе их сложения.

Например, рассмотрим наш брусок:

Нам известно, что на нем закрашено пять шестых частей, из которых две части синие, а остальные зеленые, нам надо найти какая часть бруска закрашена зеленым цветом:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, нам надо найти разность дробей и . Вычесть из дроби дробь , значит найти такое число, которое в сумме с числом дает число . Как было выше сказано + =  , поэтому — = . Итак, имеем:

Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

 

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби



Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс


Задание 1006,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1012,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1040,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1279,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1370,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1731,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Номер 6,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 1087,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 1124,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 1187,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс


Номер 272,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 277,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 281,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 283,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Задание 500,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 658,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1134,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1202,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1238,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 1432,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







Сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про сложение обыкновенных дробей общий знаменатель, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое
сложение обыкновенных дробей общий знаменатель , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

Пример.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

  1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК (15, 18).

НОК (15, 18) = 3 • 2 • 3 • 5 = 90

  1. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этогонаименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху. 

    90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби 3/15.

    90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби 4/18.

  2. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь основным свойством дроби.После умножения в знаменателях обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель. Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
  3. Проверяем полученную дробь.
    • Eсли в результате получилась неправильная дробь, результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.
    • Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
  4. Еще раз весь пример целиком.

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместитительное свойства сложения  позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

  1. Отдельно сложить их целые части.

    Пример.

    Складываем целые части.


    3 + 4 = 7

  2. Отдельно сложить дробные части.

    Если у дробных частей знаменатели разные, то сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.

  3. Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
  4. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной в пункте 1 целой части.

Еще один пример на сложение дробей.

 

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про сложение обыкновенных дробей общий знаменатель Надеюсь, что теперь ты понял что такое сложение обыкновенных дробей общий знаменатель
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Арифметика

Сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

























1.

Сумма дробей с равными знаменателями


Сложность:
лёгкое



2.

Разность дробей, равные знаменатели


Сложность:
лёгкое



3.

Сумма целого числа и обыкновенной дроби


Сложность:
лёгкое



4.

Разность (смешанное число и единица)


Сложность:
лёгкое



5.

Вычитание из 1 правильной дроби


Сложность:
среднее



6.

Вычитание из целого числа правильной дроби


Сложность:
среднее



7.

Вычитание дроби из смешанного числа


Сложность:
среднее



8.

Сумма смешанных чисел, одинаковые знаменатели


Сложность:
среднее



9.

Вычитание смешанных чисел


Сложность:
среднее



10.

Сумма смешанного числа и обыкновенной дроби (одинаковые знаменатели)


Сложность:
среднее



11.

Уравнение (неизвестная дробь)


Сложность:
среднее



12.

Уравнение (неизвестный числитель дроби)


Сложность:
среднее



13.

Сумма дробей, разные знаменатели


Сложность:
среднее



14.

Разность дробей, знаменатели — взаимно простые числа


Сложность:
среднее



15.

Разность дробей, один знаменатель содержит второй как множитель


Сложность:
среднее



16.

Вычитание дробей, знаменатели — большие разные числа


Сложность:
среднее



17.

Сумма смешанных чисел, разные знаменатели


Сложность:
среднее



18.

Разность смешанного числа и дроби, разные знаменатели


Сложность:
среднее



19.

Разность смешанных чисел, разные знаменатели


Сложность:
среднее



20.

Уравнение


Сложность:
среднее



21.

Неизвестное слагаемое. Смешанные числа, разные знаменатели


Сложность:
среднее



22.

Разность смешанных чисел (усложнённый)


Сложность:
сложное



23.

Неизвестное вычитаемое. Смешанные числа, разные знаменатели


Сложность:
сложное


Сложение дробей, вычитание дробей

Сложение обыкновенных дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{3}{8}$ доли яблока, к ним положили еще $\frac{2}{8}$ доли того же яблока. Это можно записать следующим образом: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$. В результате на тарелке оказалось $3+2=5$ восьмых долей яблока, то есть $\frac{5}{8}$ долей. То есть результатом сложения обыкновенных дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{8}$ является обыкновенная дробь $\frac{5}{8}$.

Пример дает возможность сделать вывод, что в результате сложения дробей с одинаковыми знаменателями получается дробь с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей, и знаменателем, равным знаменателю исходных дробей.

Таким образом, можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним:

Пример 2

Сложить обыкновенные дроби $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$.

Решение.

Т.к. знаменатели у складываемых дробей равны, в результате сложения знаменатель дроби будет $18$, а числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть $7+4=11$. Таким образом, сложение дробей $\frac{7}{18}$ и $\frac{4}{18}$ дает дробь $\frac{11}{18}$.

Краткое решение: $\frac{7}{18}+\frac{4}{18}=\frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{11}{18}$.

После выполнения действий над дробями нужно проверить результат и, при необходимости, преобразовать его следующим образом:

  • В результате сложения дробей получили сократимую дробь — необходимо выполнить сокращение дроби.
  • В результате получили неправильную дробь — необходимо выделить целую часть.

Пример 3

Вычислить сумму обыкновенных дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$.

Решение.

Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}\]

Получили сократимую дробь, т.к. числитель и знаменатель делятся на $5$ (по признаку делимости на $5$). Сократим полученную дробь:

\[\frac{5}{10}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{1}{5}\]

Итак, в результате сложения дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{10}$ получили $\frac{1}{5}$.

Краткое решение: $\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3+2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

Пример 4

Выполнить сложение обыкновенных дробей $\frac{52}{69}$ и $\frac{77}{69}$.

Решение.

Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}\]

Проверим дробь на сократимость. Т.к. и числитель, и знаменатель соответствуют признаку делимости на $3$, полученная дробь может быть сокращена на число $3$. Получим:

\[\frac{129}{69}=\frac{129:3}{69:3}=\frac{43}{23}\]

Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{43}{23}$, получим $1\frac{20}{23}$.

Краткое решение:

\[\frac{52}{69}+\frac{77}{69}=\frac{52+77}{69}=\frac{129}{69}=\frac{43}{23}=1\frac{20}{23}\]

Ответ: $1\frac{20}{23}$.

Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями, для чего их приводят к общему знаменателю.

Правило сложения дробей с разными знаменателями:

  1. Складываемые дроби привести к общему знаменателю (чаще всего, к наименьшему общему знаменателю).

  2. Выполнить сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример 5

Сложить обыкновенные дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{21}$.

Решение.

Складываемые дроби имеют разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное НОК чисел $7$ и $21$ равно $21$: $НОК\left(7,\ \ 21\right)=21$.

Найдем соответствующие дополнительные множители: $21:7=3.$ Получим

\[\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{18}{21}\]

Сложим дроби:

\[\frac{18}{21}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Краткое решение:

\[\frac{6}{7}+\frac{4}{21}=\frac{18+4}{21}=\frac{22}{21}=1\frac{1}{21}\]

Ответ: $1\frac{1}{21}$.

Вычитание обыкновенных дробей

Действие вычитания дробей является обратным сложению.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим пример:

Пусть на тарелке лежало $\frac{6}{8}$ долей яблока. $\frac{3}{8}$ доли съели. Это можно записать как $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}$. В результате на тарелке осталось $6-3=3$ восьмых доли яблока, т.е. $\frac{6}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$.

Таким образом, можно сформулировать правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями числители вычитаются, а знаменатель остается прежним:

Пример 6

Выполнитm вычитание обыкновенных дробей $\frac{13}{18}$ и $\frac{5}{18}$ .

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели одинаковые. Числитель уменьшаемой дроби равен $13$, а числитель вычитаемой дроби равен $5$. Разность числителей равна $13-5=8$. Пользуясь правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, запишем:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}\]

В результате вычитания получилась сокращаемая дробь (по признаку деления на $2$. Сократим получившуюся дробь на $2$:

\[\frac{8}{18}=\frac{8:2}{18:2}=\frac{4}{9}\]

Краткое решение:

\[\frac{13}{18}-\frac{5}{18}=\frac{13-5}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\]

Ответ: $\frac{4}{9}$

Вычитание дробей с разными знаменателями

При вычитании дробей с разными знаменателями их сводят к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, для чего дроби приводят к общему знаменателю.

Правило вычитания дробей с разными знаменателями:

  1. Привести дроби к общему знаменателю (чаще всего к наименьшему общему знаменателю).

  2. Вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 7

Вычесть из обыкновенной дроби $\frac{4}{9}$ обыкновенную дробь $\frac{5}{12}$.

Решение.

У вычитаемых дробей знаменатели разные, поэтому воспользуемся правилом вычитания дробей с разными знаменателями:

  1. Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: $НОК\left(9,12\right)=36$.

    Дополнительный множитель для дроби $\frac{4}{9}$ будет число $36:9=4$, а дополнительный множитель дроби $\frac{5}{12}$ будет число $36:12=3$. Получим:

    \[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}-\frac{5\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}\]

  2. Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями:

    \[\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]

Краткое решение:

\[\frac{4}{9}-\frac{5}{12}=\frac{16}{36}-\frac{15}{36}=\frac{16-15}{36}=\frac{1}{36}\]

1.2.1. Обыкновенные дроби






Глава 1. Арифметика

1.2.



1.2.1.

Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби.

Если n = 1, то дробь имеет вид
и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Например,
так как
Из этого определения следует, что дробь
равна любой дроби вида
где m – натуральное число. В самом деле, так как
то   Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной.

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например,
(здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например,
– несократимая дробь.



Модель 1.5.
Сокращение обыкновенных дробей

 

Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

 

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например,
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например,
Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.



Модель 1.6.
Сравнение обыкновенных дробей



Пусть, например, даны две дроби  и 
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим
Итак, две дроби
и
приведены к общему знаменателю:


Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит,
Следовательно,
Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби  и 
можно привести к знаменателю 56. В самом деле:




Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей.
Пример 1

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:  и 

В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.

 

Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.

Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть



Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше.

Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то




Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.



Модель 1.7.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть





Например,

Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом:




Например,

В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям.



Модель 1.8.
Умножение и деление обыкновенных дробей


Пример 2

Сложить две дроби
и
Ответ представить в виде неправильной дроби.


Имеем:

Ответ. 


Пример 3

Сложить две дроби
и
Ответ представить в виде неправильной дроби.


Имеем:

Ответ. 

Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь
такова, что число m кратно n, например, ).


Пример 4

Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: 1)
2)

Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Например,


Пример 5

Выполнить действия.





Сложение дробей

Дробь типа 3 4 говорит, что у нас есть 3 из 4 частей, на которые делится целое.

Чтобы сложить дроби, выполните три простых шага:

  • Шаг 1. Убедитесь, что нижние числа (знаменатели) совпадают.
  • Шаг 2: сложите верхние числа (числители), поместите полученный ответ над знаменателем
  • Шаг 3: Упростите дробь (при необходимости)

Пример:

Шаг 1 .Нижние цифры (знаменатели) уже совпадают. Переходите сразу к шагу 2.

Шаг 2 . Сложите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:

.

1
4
+
1
4
знак равно
1 + 1
4
знак равно
2
4

Шаг 3 . Упростим дробь:

2
4
знак равно
1
2

На картинке это выглядит так:

1
4
+ 1
4
= 2
4
= 1
2

… и ты видишь как
2
4
проще как
1
2
? (см. Эквивалентные дроби.)

Пример:

Шаг 1 : Нижние числа разные. Видите, как ломтики разного размера?

1
3
+ 1
6
= ?

Нам нужно сделать их такими же, прежде чем мы сможем продолжить, потому что не может, добавить их вот так.

Число «6» вдвое больше, чем «3», поэтому, чтобы сделать нижние числа одинаковыми, мы можем умножить верхнюю и нижнюю часть первой дроби на 2 , например:

× 2
× 2

Важно: вы умножаете как верхний, так и нижний на одинаковую величину,
, чтобы сохранить значение дроби одинаковым

Теперь дроби имеют одинаковое нижнее число («6»), и наш вопрос выглядит так:

2
6
+ 1
6

Нижние числа теперь те же, поэтому мы можем перейти к шагу 2.

Шаг 2 : сложите верхние числа и поместите их над тем же знаменателем:

2
6
+
1
6
знак равно
2 + 1
6
знак равно
3
6

На картинке это выглядит так:

2
6
+ 1
6
= 3
6

Шаг 3 : Упростите дробь:

3
6
знак равно
1
2

На картинке весь ответ выглядит так:

2
6
+ 1
6
= 3
6
= 1
2

С ручкой и бумагой

А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):

Рифма, которая поможет вам вспомнить

♫ «Если ваша цель — сложение или вычитание,
Нижние числа должны быть одинаковыми!

♫» Измените нижнее значение с помощью умножения или деления,
Но то же самое и к верхнему,

♫ » И не забудьте упростить,
Пока не пришло время прощаться «

Пример:

1
3
+
1
5

Опять же, нижние цифры разные (срезы разного размера)!

1
3
+ 1
5
= ?

Но давайте попробуем разделить их на меньшие размеры, чтобы каждый был одинаковым :

5
15
+ 3
15

Первая дробь: умножив верхнюю и нижнюю части на 5, мы получили
5
15
:

× 5
× 5

Вторая дробь: умножив верхнюю и нижнюю части на 3, мы получили
3
15
:

× 3
× 3

Нижние числа теперь те же, поэтому мы можем продолжить и сложить верхние числа:

5
15
+ 3
15
= 8
15

Результат предельно прост, так что вот ответ:
8
15

1
3
+
1
5
знак равно
8
15

Делаем знаменатели одинаковыми

В предыдущем примере, как мы узнали, что нужно разрезать их на 1 / 15 тысяч, чтобы знаменатели совпадали? Мы просто умножили два знаменателя вместе (3 × 5 = 15).

Прочтите о двух основных способах сделать знаменатели одинаковыми здесь:

Они оба работают, используйте тот, который вам больше нравится!

Пример: кексы

Вы хотите приготовить и продать кексы:

  • Друг может предоставить ингредиенты, если вы ему дадите 1 / 3 продаж
  • А рыночный прилавок стоит 1 / 4 продаж

Сколько это всего?

Нам нужно добавить 1 / 3 и 1 / 4

Первые делают нижние числа (знаменатели) одинаковыми.

Умножить верхнюю и нижнюю часть 1 / 3 на 4 :

1 × 4 + 1 = ?
3 × 4 4 ?

И умножьте верхнюю и нижнюю часть 1 / 4 на 3 :

1 × 4 + 1 × 3 = ?
3 × 4 4 × 3 ?

Сейчас делаю расчеты:

4 + 3 = 4 + 3 = 7
12 12 12 12

Ответ:
7
12
продаж идет на ингредиенты и рыночные затраты.

Добавление смешанных фракций

У меня есть специальная (более продвинутая) страница о добавлении смешанных дробей.

Что такое правила дроби? — Определение, факты и примеры

Что такое правила дроби?

Дробь : Дробь — это часть целого или совокупности, состоящая из числителя и знаменателя.

Пример : Если мы обслуживаем 1 часть торта с 8 равными частями, мы обслуживаем 1 8 торта.

Давайте посмотрим, как решать операции с дробями.

Сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем

При сложении или вычитании двух дробей; нам нужно убедиться, что знаменатели совпадают.

Шагов :

  • Сложите или вычтите числители.

  • Знаменатель оставим прежним.

  • По возможности сократите ответ.

Пример : Решить 1 4 + 1 4

Пример : Вычесть 1 4 из 3 4

Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями:

Если знаменатели не совпадают:

  • Во-первых, сделайте их такими же

  • Затем сложите или вычтите одинаковые дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример : Чтобы решить 1 4 + 1 2 , мы сначала сделаем знаменатели одинаковыми.

Мы меняем знаменатель 2 и делаем его равным 4, умножая его на 2. Однако нам нужно умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы сохранить значение дроби неизменным.

Умножение 1 2 2 2 = 2 4

Поскольку знаменатели совпадают, теперь мы можем сложить обе дроби.

Точно так же мы используем эти правила для вычитания.

Умножение дробей

Чтобы умножить две дроби, просто умножаем числители и знаменатели.

Пример :

2 3 3 15 =?

Сначала упростим дробь 3 15 до наименьшего члена.

На дробь

При делении на две дроби:

  • Обратить вторую дробь, то есть поменять местами ее числитель и знаменатель, чтобы получить обратную величину.

  • Умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби.

Пример :

Решение неправильных дробей:

Дроби, числитель которых больше знаменателя, называются неправильными дробями. Когда мы решаем неправильные дроби, результатом может быть смешанное число (целая дробь и правильная дробь).

Пример :

38 7 =?

  • Разделите числитель на знаменатель.

38 ÷ 7 = 5 частных и 3 остатка

  • Запишите ответ целиком.

5

  • Затем запишите остаток над знаменателем.

5 3 7

Следовательно, 38 7 = 5 3 7

Таким образом, решая неправильную дробь 38 7 , мы получаем смешанное число 5 3 7

Интересные факты

Сложение и вычитание дробей с одинаковым или близким знаменателем

Когда вы складываете или вычитаете дроби, считайте, что задача проста, когда знаменатели равны или одинаковы.Правила можно кратко изложить ниже.

Шаги по сложению и вычитанию дробей с одинаковым знаменателем

  • К ДОБАВИТЬ дробей с одинаковым или одинаковым знаменателем, просто сложите числители и скопируйте общий знаменатель. Всегда сокращайте окончательный ответ до самого низкого члена.
  • Чтобы ВЫЧИТАТЬ дробей с одинаковым или одинаковым знаменателем, просто вычтите числители и скопируйте общий знаменатель. Всегда сокращайте окончательный ответ до самого низкого уровня.

Примеры сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем

Пример 1 : Сложите дроби.

Знаменатели двух дробей равны 7. Имея одинаковые знаменатели, мы можем легко сложить эти дроби, сложив их числители и скопировав общий знаменатель, равный 7.

Мы также можем показать процесс сложения с помощью кружков.

  • Первую дробь \ Large {3 \ over 7} можно представить в виде круга, разделенного поровну на семь частей с тремя частями, заштрихованными красным.

Наблюдайте : Числитель сообщает нам, сколько областей заштриховано, а знаменатель говорит нам, на сколько равных частей разделен круг.

  • Таким же образом вторая дробь \ Large {2 \ over 7} выглядит так:
  • Поскольку оба круга разделены на семь (7) равных частей, мы должны иметь возможность перекрывать их. Новый круг после добавления имеет пять (5) заштрихованных областей, которые представляют собой , накопленные как красных, так и синих фигур.

Пример 2 : Сложить дроби.

Давайте сложим эти дроби, используя правило сложения. Снова сложите числители и скопируйте общий знаменатель.

После добавления дробей всегда находите возможность упростить добавленные дроби, уменьшив их до наименьшего члена. Мы можем сделать это, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

  • Общий делитель — это ненулевое целое число, которое может делить два или более чисел без остатка.
  • Наибольший общий делитель (НОД) — это наибольшее число среди общих делителей двух или более чисел.

Очевидно, что числитель и знаменатель имеют общий делитель 2. Однако существует ли число больше 2, которое также может делить их на равные доли?

Да, есть! Число 4 является наибольшим общим делителем 12 и 16. Поэтому мы будем использовать это число, чтобы уменьшить дробь до наименьшего члена.

Разделите верхнюю и нижнюю часть на GCD = 4 , чтобы получить окончательный ответ.


Пример 3: Сложите дроби.

Решение :

Поскольку знаменатели двух дробей равны, сложите числители и скопируйте общий знаменатель.

Верхнее и нижнее числа дроби делятся на 2 и 6. Однако мы всегда хотим, чтобы наибольший общий делитель уменьшал дробь до наименьшего члена. Таким образом, НОД = 6 .

  • Разделите верхнее и нижнее числа на 6.

Пример 4: Сложите дроби.

Решение :

Знаменатели всех трех дробей совпадают. Правило сложения дробей с равными знаменателями сохраняется!

  • Получите сумму трех числителей и скопируйте общий знаменатель.

Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 5.

  • Разделить верх и низ на 5.

Пример 5: Вычтите дроби.

На этот раз мы собираемся вычесть числители вместо того, чтобы складывать их.

Глядя на результат после вычитания, можно увидеть, что всего , общий делитель между числителем и знаменателем равен 1 . Таким образом, окончательный ответ остается \ Large {{3 \ over 5}}. Подумайте об этом, разделив верхнюю и нижнюю часть на 1, значение дроби не изменится.

Как это выглядит графически?

Допустим, у вас есть зеленый торт. И разрезаешь его на 5 равных частей. Это можно представить в виде дроби, равной \ Large {{5 \ over 5}}.

Если вы съели два куска торта (\ Large {- {2 \ over 5}}), у вас должно остаться три оставшихся куска (\ Large {{3 \ over 5}}).

Табличка должна выглядеть примерно так.


Пример 6: Вычтите дроби.

У этих двух дробей одинаковые знаменатели, что означает, что мы должны иметь возможность легко вычесть их числители.

Ответ можно еще больше упростить, используя общий делитель 3. Итак, разделите числитель и знаменатель на 3, чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения.


Пример 7: Вычтите дроби.

Решение :

Поскольку знаменатели двух дробей равны, из вычтите их числителей и скопируйте общий знаменатель.

Числитель и делитель делятся на 3 и 9. Однако мы всегда хотим, чтобы наибольший общий делитель уменьшал дробь до наименьшего члена. Таким образом, НОД = 9 .

  • Разделите верхнее и нижнее числа на 9.

Пример 8: Вычтите дроби.

Решение :

Вычтите числители и уменьшите полученную дробь до наименьшего члена, используя GCD = 11 .


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Умножение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Эквивалентные дроби
Обратное значение дроби

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Сложение и вычитание дробей и обозначение смешанных чисел

Решите и сравните следующие две проблемы.

Ким выполнил один из трех штрафных бросков в игре и один из четырех штрафных бросков в следующей игре. Какую долю штрафных бросков выполнила Ким?

Пэт прошел треть мили утром и четверть мили вечером. Какую дробную часть мили Пэт прошла?

Мы начнем с этих двух примеров, чтобы проиллюстрировать одну из причин, по которой у многих людей возникают проблемы со сложением и вычитанием дробей.

Пример сверху: Ким выполнил один из трех штрафных бросков в игре и один из четырех штрафных бросков в следующей игре. Какую долю штрафных бросков выполнила Ким?

Ким выполнил две седьмых штрафных бросков или Ким сделал два из семи штрафных бросков.

Важное примечание. Здесь мы произвели объединение двух непересекающихся множеств, как при сложении целых чисел. Но мы делаем , а не , считаем это сложением двух дробей, поскольку размер целого для каждой дроби разный.Каждая фракция относится к целому объекту разного размера. Мы использовали символ, чтобы указать, что это другой тип сложения, а , а не , — сложение дробей. Это также показывает распространенную ошибку при сложении дробей, которую делают многие люди, которая складывает как числители, так и знаменатели.

Пример сверху: Пэт прошла треть мили утром и четверть мили вечером. Какую дробную часть мили Пэт прошла?

Пэт прошел семь двенадцатых мили.

Примечание. Каждая из вышеперечисленных проблем — это своего рода дополнение. Первая проблема — это , а не сложение фракций, потому что размер целого различается для каждой фракции. Но вторая проблема — это пример того, как мы будем определять сложение дробей, когда размер целого одинаков для каждой дроби.

Мы начинаем с сложения, используя прямоугольник для представления целого, разделенного на десять частей равного размера.

Сначала мы заштриховываем весь прямоугольник.

Далее, чтобы показать сложение, заштрихуем еще раз.

Теперь весь прямоугольник заштрихован. Итак, делаем вывод.

Обратите внимание, что мы добавили десятые к десятым, и наш ответ был в десятых. Похоже, что правило сложения дробей с одинаковым знаменателем состоит в сложении числителей и сохранении общего знаменателя.

Мы все еще можем упростить ответ, как и на предыдущих занятиях, используя фундаментальный закон дробей или деление на наибольший общий множитель.Итак, у нас есть.

Точно так же мы вычитаем, используя прямоугольник для представления целого с 7 заштрихованными частями.

Это представляет собой целое, из которого мы удалим весь прямоугольник. Затем мы вычитаем весь прямоугольник, вычеркивая или растушевывая 3 части.

Мы делаем вывод о том, что можно упростить до.

Вот еще два примера с моделями.

Пример: используйте дробные полоски для.

Пример: используйте модель площади для.

Теперь, как мы можем добавить? Как и в случае с задачами с общими знаменателями, мы можем нарисовать диаграмму. У нас проблема, так как все детали не одинакового размера. Однако после того, как мы разрежем каждый кусок на кусочки одинакового размера, мы сможем решить эту проблему. Другими словами, мы меняем задачу так, чтобы дроби были эквивалентными дробями с общими знаменателями, как показано ниже.

Обратите внимание, что мы разрезаем каждую треть на четверти и каждую четвертую на трети так, чтобы каждый маленький кусок представлял одну двенадцатую часть целого квадрата. Кроме того, отметим, что НОК (3, 4) = 12, поэтому мы выбрали 12 в качестве наименьшего общего знаменателя .

Таким образом, чтобы сложить или вычесть дроби, достаточно изменить дроби так, чтобы они имели общие знаменатели. Затем складываем или вычитаем числители и сохраняем общий знаменатель.Наконец, мы упрощаем этот ответ, если он еще не в простейшей форме.

Вот пример добавления более двух дробей за раз. Найдите сумму.

Сначала найдите наименьшее общее кратное знаменателей. Это даст нам наименьший общий знаменатель. НОК (5, 10, 2, 25) находим методом факторизации на простые множители.

5 = 5, 10 = 2 ∙ 5, 2 = 2 и 25 = 5 2

Таким образом, НОК (5, 10, 2, 25) = 2 ∙ 5 2 = 2 ∙ 25 = 50

Теперь заменим каждое слагаемое на дроби с общим знаменателем.

Обратите внимание, что мы упростили, а затем изменили его на смешанное число. Далее следует более подробная иллюстрация, где мы показываем каждый шаг: сначала упростите дробь, затем, поскольку дробь является неправильной дробью, разделите неправильную дробь на целую и дробную часть, а затем запишите как смешанное число.

Этот ответ представляет собой смешанное число . Любая неправильная дробь также может быть выражена как смешанное число, потому что неправильная дробь содержит более одного целого.

Рассмотрим следующую иллюстрацию, где каждый прямоугольник представляет одно целое, а каждый прямоугольник разрезан на восемь частей одинакового размера.

На иллюстрации видно, что неправильная дробь. Кроме того, на иллюстрации есть два целых прямоугольника и три восьмых другого прямоугольника, то есть показано смешанное число. Итак, мы это проиллюстрировали. Модель также мотивирует метод перехода от неправильной дроби к смешанному числу.Поскольку каждая группа из 8 частей представляет собой целую часть, мы можем перейти к смешанному числу, разделив 19 на 8, чтобы получить две целые части и три оставшихся.

Задача показывает, что мы можем думать о дроби как о другом способе представления деления или как о. Например, мы можем изменить неправильную дробь, например смешанное число, путем деления, где мы интерпретируем дробь как деление. Остаток запишем в виде дроби.

Берем остаток от 3 и записываем как другое целое, дающее нам.Так .

Предположим, нам нужно преобразовать дробь в неправильную. (Нам нужно будет сделать это, когда мы начнем умножать и делить дроби.) Мы проиллюстрируем, где каждый прямоугольник представляет собой одно целое.

Теперь разделите каждый прямоугольник на пять равных частей для иллюстрации.

Мы показали, что

.

Обратите внимание, что процесс определения количества пятых состоит в том, чтобы разрезать каждую из четырех целых на пять пятых и добавить три пятых, получив в сумме двадцать три пятых, т.е.е.,.

Сложение и вычитание смешанных чисел может выполняться таким же образом, как мы складывали и вычитали целые числа. Другими словами, мы складываем значения по соответствующему разряду со смешанными числами, что означает, что мы складываем или вычитаем части целого числа и дробные части отдельно, производя обмены, когда это необходимо. Мы демонстрируем процесс с моделями на следующих примерах.

Пример: Найти.

Пример: Найти.

Пример: Найти.

Здесь нам нужно произвести обмен, чтобы вычесть дробные части. Итак, нам нужно разрезать один из четырех целых прямоугольников на пятые части, например,.

Пример: Найти.

Примечание. Часто намного проще складывать и вычитать смешанные числа без преобразования в неправильные дроби. Переход на неправильные дроби увеличивает количество вычислений и усложняет упрощение многих задач.

Пример. Вычислить двумя способами: как смешанных чисел и как неправильные дроби

Как смешанные числа

Найдите общий знаменатель.

Изменить на смешанный номер.

Как неправильные дроби

Заменить дробь на неправильную.

Найдите общий знаменатель.

Изменить на смешанный номер.

Умножение и деление больших значений значительно увеличивает вероятность ошибки.Кроме того, если дроби необходимо упростить, упрощение с большими значениями будет намного сложнее при использовании метода неправильных дробей.

Шутка или цитата

Почему обратились к психиатру? Щелкните здесь, чтобы увидеть ответ.

Подсказка: одна пятая эквивалентна ____________, что звучит как ________________.

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

Прежде чем вы сможете перейти к более сложным понятиям алгебры и геометрии, вам необходимо сначала освоить все математические функции, относящиеся к дробям.В этой статье мы рассмотрим, как складывать, вычитать, умножать и делить две дроби, а также дробь и целое число. Мы также познакомим вас со сложными дробями и методами их упрощения. Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы полностью понимаете четыре основных математических операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Ключевые термины

o Общий знаменатель

o Взаимный

o Сложная фракция

Цели

o Узнайте, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби

o Уметь интерпретировать дроби, содержащие отрицательные числа

o Распознавать и упрощать сложные дроби

Теперь, когда мы разработали прочную основу относительно того, что такое дроби, а также некоторых различных типов дробей, мы можем перейти к применению основных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение и деление) к дробям.

Сложение и вычитание

В случаях, когда используются простые числа, сложение и вычитание дробей достаточно просто. Например, сложение одной трети и одной трети, очевидно, дает нам две трети. Точно так же три пятых минус две пятых — одна пятая. Первый случай проиллюстрирован ниже.

А как насчет таких случаев, как половина плюс треть?

Обратите внимание, что сложение (вычитание) дробей с одинаковым знаменателем очень просто — мы просто складываем (вычитаем) числители и делим на тот же знаменатель.Мы уже должны знать, что можем писать эквивалентные дроби с разными числителями и знаменателями. Таким образом, если мы просто преобразуем одну или обе дроби, которые мы складываем или вычитаем, в эквивалентные дроби с тем же знаменателем, то мы можем сложить дроби простым способом, описанным выше. Тогда при необходимости мы можем свести результат к минимуму.

Задача сложения и вычитания дробей — найти общий знаменатель . Самый простой способ найти общий знаменатель — просто перемножить два существующих знаменателя, а затем преобразовать числители соответствующим образом, чтобы получить эквивалентные дроби. Хотя этот подход концептуально прост, он может быть математически сложным при больших знаменателях. Тем не менее, давайте попробуем этот подход в целях иллюстрации. Рассмотрим дополнение, упомянутое выше.

Общий знаменатель — 6 (или 23), потому что мы можем умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы получить, и мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить.В этом случае простое добавление.

Практическая задача: Рассчитайте результат в каждом случае.

а. б. c.

Решение: В каждом случае найдите общий знаменатель и преобразуйте члены в эквивалентные дроби с этим знаменателем. Для каждого случая приводится один возможный общий знаменатель. Сумма (разность) дробей — это сумма (разность) числителей над общим знаменателем.Если возможно, сократите результат до самых низких значений.

а. Общий знаменатель: 21

г. Общий знаменатель: 8

г. Общий знаменатель: 45

Умножение и деление

Умножение и деление дробей в некоторых отношениях проще, чем их сложение и вычитание.Допустим, мы хотим умножить на. Интуитивно ответ довольно очевиден: половина половины — это четверть (или одна четверть). Например, если у вас есть 50 центов (половина доллара), и вы хотите умножить их на половину, то в итоге вы получите 25 центов (четверть доллара).

Чтобы умножить две дроби, просто умножьте числители и умножьте знаменатели, чтобы получить произведение. В некоторых случаях товар уже будет по самым низким ценам; в других случаях вам, возможно, придется сократить его до самых низких значений.Например, произведение и выглядит следующим образом:

При умножении дроби на целое число обратите внимание, что любое целое число — это просто дробь с целым числом в числителе и 1 в знаменателе. Например,

Практическая задача : Рассчитайте следующие произведения.

Решение : В каждом случае произведение является произведением числителей на произведение знаменателей.Если один из множителей является целым числом, рассматривайте его как дробь, имеющую целое число в качестве числителя и 1 в качестве знаменателя. Если возможно, уменьшите количество продуктов до минимальных условий.

а.

б.

г.

Теперь рассмотрим случай деления. Допустим, мы хотим разделить на. Интуитивно ответ — 2 — например, 25 центов (четверть доллара) могут дважды превратиться в 50 центов (полдоллара).

Обратите внимание, что если бы мы перевернули второй множитель так, чтобы числитель стал знаменателем, а знаменатель стал числителем, а также изменили бы операцию с деления на умножение, мы бы получили тот же результат.

Это, по сути, удобный способ деления дробей. Деление на дробь аналогично умножению на , обратное этой дроби. Обратное — это просто «перевернутая» дробь. Так, например, обратное значение равно (или).

Как и в случае с умножением дробей, помните, что целое число также можно записать в виде дроби. Таким образом, например, 6 является обратной величиной. Поэтому мы можем делить дроби как на целые, так и на другие дроби.Кроме того, обратите внимание, что произведение дроби на обратную величину всегда равно 1. Рассмотрим пример ниже.

В свете того, как мы определили деление и умножение, мы можем предоставить более строгое обоснование нашего метода вычисления эквивалентных дробей. Обратите внимание, что число 1 можно записать как любое другое число, разделенное на себя. Например,

Таким образом, процесс поиска эквивалентных дробей — это не что иное, как умножение заданной дроби на 1! Рассмотрим пример ниже.

Практическая задача : Рассчитайте следующие частные.

а. б. c.

Решение : В каждом случае умножьте дивиденд на обратную величину делителя. Если возможно, уменьшите количество продуктов до минимальных условий.

а.

б.

c.

Дроби и отрицательные числа

Поскольку дроби — это не что иное, как представление деления, у нас уже есть инструменты, необходимые для понимания роли отрицательных чисел в дробях.Напомним, что произведение (или частное) двух отрицательных или двух положительных чисел является положительным, а произведение (или частное) одного отрицательного числа и одного положительного числа отрицательно. Итак, рассмотрим пример дроби; рассмотрим каждый возможный случай.

В первом случае (числитель и знаменатель имеют один и тот же знак) результатом является положительное число. Во втором случае (числитель и знаменатель имеют противоположные знаки) результат — отрицательное число.Таким образом, иногда мы можем просто поставить отрицательный знак во втором случае рядом с целой дробью, а не рядом с числителем или знаменателем. Тем не менее, обратите внимание, что все три представления равны, и в некоторых ситуациях одно может быть более полезным, чем другое.

Сложные фракции

Напомним, что дробь — это просто способ выражения деления двух чисел (где числитель — это делимое, а знаменатель — это делитель).Поскольку мы можем делить дроби, мы также можем выразить это деление как «дробь дробей» или комплексную дробь . Пример сложной дроби приведен ниже. Обратите внимание, что для наглядности дроби в числителе и знаменателе комплексной дроби показаны «наклонно» — это изменение, однако, не подразумевает какой-либо математической разницы.

Такие дроби можно и часто нужно упрощать. Для этого мы можем воспользоваться одним из нескольких подходов.Напомним, что мы можем найти эквивалентную дробь, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Таким образом, один из подходов состоит в умножении числителя и знаменателя комплексной дроби на произведение знаменателей простых дробей, как показано ниже.

В качестве альтернативы мы можем умножить числитель и знаменатель комплексной дроби на обратную величину ее знаменателя. Поскольку знаменатель становится равным 1, результатом является просто значение числителя.

Другой способ взглянуть на этот последний подход состоит в том, что мы просто выполняем деление:

В зависимости от конкретной ситуации один подход может быть проще другого; однако все они одинаково приемлемы.

Практическая задача : Упростите следующие сложные дроби.

а. б.c.

Решение : Одним из возможных подходов к упрощению этих сложных дробей является умножение дроби в числителе на обратную дробь в знаменателе. Если возможно, сократите результат до самых низких значений. В случае части c обратите внимание, что 5 является обратной величиной и что частное (или произведение) положительного числа, деленного (умноженного) на отрицательное число, является отрицательным числом.

а.

б.

c.

Сложение алгебраических дробей — Полный курс алгебры

23

Различные знаменатели — LCM

2-й уровень

ЕСТЬ ОДНО ПРАВИЛО для сложения и вычитания дробей: знаменатели должны быть такими же, как и в арифметике.

a
c
+ b
c
= a + b
c

Сложите числители и поместите их сумму
над общим знаменателем.

Пример 1. 6 x + 3
5
+ 4 x — 1
5
= 10 x + 2
5

Знаменатели те же. Сложите числители как одинаковые термины.

Пример 2. 6 x + 3
5
4 x — 1
5

Чтобы вычесть, измените знаки вычитаемого и сложите.

6 x + 3
5
4 x — 1
5
= 6 x + 3-4 x + 1
5
= 2 x + 4
5

Проблема 1.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) x
3
+ y
3
= x + y
3
б) 5
x
2
x
= 3
x
в) x
x — 1
+ x + 1
x — 1
= 2 x + 1
x — 1
г) 3 x — 4
x — 4
+ x — 5
x — 4
= 4 x — 9
x — 4
д) 6 x + 1
x — 3
4 x + 5
x — 3
= 6 x + 1-4 x -5
x -3
= 2 x — 4
x — 3
е) 2 x — 3
x — 2
x — 4
x — 2
= 2 x — 3 — x + 4
x — 2
= x + 1
x -2

Различные знаменатели — LCM

Чтобы складывать дроби с разными знаменателями, мы должны научиться строить наименьшее общее кратное ряда членов.

Наименьшее общее кратное (НОК) ряда терминов
— это наименьшее произведение, которое содержит все множители каждого члена.

Например, рассмотрим эту серию из трех терминов:

шт. пр. пс

Теперь мы построим их LCM — фактор за фактором.

Для начала у него будут коэффициенты первого члена:

НОК = шт.

Переходя ко второму члену, LCM должен иметь множители pr .Но у него уже есть множитель p — поэтому нам нужно добавить только множитель r :

LCM = pqr

Наконец, переходя к последнему члену, НОК должен содержать множители пс . Но опять же у него есть коэффициент p , поэтому нам нужно добавить только фактор s :

LCM = pqrs .

Этот продукт является наименьшим общим кратным для pq , pr , ps .Это наименьший продукт , который содержит каждый из них в качестве факторов.

Пример 3. Постройте LCM из этих трех терминов: x , x 2 , x 3 .

Решение . НОК должен иметь коэффициент x .

НОК = x

Но он также должен иметь множители x 2 , которые равны x · x .Следовательно, мы должны добавить еще один множитель x :

НОК = x 2

Наконец, LCM должен иметь множители x 3 , которые равны x · x · x . Следовательно,

НОК = x 3 .

x 3 — наименьшее произведение, содержащее x , x 2 и x 3 в качестве факторов.

Мы видим, что когда члены степени переменной — x , x 2 , x 3 — тогда их НОК является наивысшей степенью.

Задача 2. Постройте НОК каждой серии терминов.

а) ab , bc , cd . abcd б) pqr , qrs , первый . pqrst
в) a , a 2 , a 3 , a 4 . а 4 г) a 2 b , a b 2 . a 2 b 2

e) ab , cd .
abcd

Теперь посмотрим, какое отношение это имеет к сложению дробей.

Пример 4. Добавляем: 3
ab
+ 4
до н.э.
+ 5
CD

Решение .Чтобы сложить дроби, знаменатели должны быть одинаковыми. Поэтому в качестве общего знаменателя выберите НОК исходных знаменателей. Выберите abcd . Затем преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь со знаминателем abcd .

Необходимо написать общий знаменатель только один раз:

3
ab
+ 4
до н.э.
+ 5
CD
= 3 cd + 4 ad + 5 ab
abcd

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , просто умножьте ab на недостающие множители, а именно cd .Следовательно, мы также должны умножить 3 на кд . Это составляет первый член в числителе.

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , умножьте bc на недостающие множители, а именно ad . Следовательно, мы также должны умножить 4 на и . Это составляет второй член в числителе.

Чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем abcd , умножьте cd на недостающие множители, а именно ab .Следовательно, мы также должны умножить 5 на ab . Это составляет последний член в числителе.

Вот как складываются дроби с разными знаменателями.

Каждый множитель исходных знаменателей должен быть делителем
общего знаменателя.

Задача 3. Доп.

а) 5
ab
+ 6
ac
= 5 c + 6 b
abc
б) 2
шт.
+ 3
qr
+ 4
RS
= 2 rs + 3 ps + 4 pq
pqrs
в) 7 ​​
ab
+ 8
до н.э.
+ 9
abc
= 7 ​​ c + 8 a + 9
abc
г) 1
а
+ 2
a 2
+ 3
a 3
= a 2 + 2 a + 3
a 3
д) 3
a 2 b
+ 4
a b 2
= 3 b + 4 a
a 2 b 2
е) 5
ab
+ 6
CD
= 5 cd + 6 ab
abcd
г) _2_
x ( x + 2)
+ __3__
( x + 2) ( x — 3)
= 2 ( x — 3) + 3 x
x ( x + 2) ( x — 3)
= _ 2 x — 6 + 3 x _
x ( x + 2) ( x — 3)
= _5 x — 6_
x ( x + 2) ( x — 3)

На 2-м уровне мы увидим аналогичную проблему, но знаменатели не будут разложены на множители.

Задача 4. Складываем: 1 — 1
а
+ c + 1
ab
. Но напишите ответ как

1 — дробь.

1 — 1
а
+ c + 1
ab
= 1 — ( 1
а
c + 1
ab
)
= 1– b — ( c + 1)
ab
= 1– b c -1
ab

Пример 5.Знаменатели без общих факторов.

Когда знаменатели не имеют общих множителей, их НОК — это просто их произведение, mn .

а
м
+ b
n
= и + bm
mn

Числитель появляется как результат «перекрестного умножения»:

и + bm

Однако этот метод будет работать только при сложении двух дробей, а знаменатели не имеют общих множителей.

Пример 6. 2
x — 1
1
x

Решение . Эти знаменатели не имеют общих множителей — x не является множителем x — 1. Это термин. Следовательно, НОК знаменателей — это их произведение.

2
x — 1
1
x
= 2 x — ( x — 1)
( x — 1) x
= 2 x x + 1
( x — 1) x
= _ x + 1_
( x — 1) x

Примечание: Вычитается весь x — 1.Поэтому записываем его в круглые скобки — и его знаков меняются на .

Задача 5.

а) x
a
+ y
b
= xb + ya
ab
б) x
5
+ 3 x
2
= 2 x + 15 x
10
= 17 x
10
в) 6
x — 1
+ 3
x + 1
= 6 ( x + 1) + 3 ( x — 1)
( x + 1) ( x — 1)
= 6 x + 6 + 3 x — 3
( x + 1) ( x — 1)
= _9 x + 3_
( x + 1) ( x — 1)
г) 6
x — 1
3
x + 1
= 6 ( x + 1) — 3 ( x — 1)
( x + 1) ( x — 1)
= 6 x + 6 — 3 x + 3
( x + 1) ( x — 1)
= _3 x + 9_
( x + 1) ( x — 1)
д) 3
x — 3
2
x
= 3 x — 2 ( x — 3)
( x — 3) x
= 3 x — 2 x + 6
( x — 3) x
= x + 6
( x — 3) x
е) 3
x — 3
1
x
= 3 x — ( x — 3)
( x — 3) x
= 3 x x + 3
( x — 3) x
= 2 x + 3
( x — 3) x
г) 1
x
+ 2
y
+ 3
z
= yz + 2 xz + 3 xy
xyz
Пример 7.Адрес: a + b
c
.

Решение. Мы должны выразить a со знаменателем c.

Следовательно,

+ b
c
= ac + b
c
.

Проблема 6.

а) p
q
+ р = p + qr
q
б) 1
x
— 1 = 1-90 407 x
x
в) x 1
x
= x 2 — 1
x
г) 1 — 1
x 2
= x 2 — 1
x 2
д) 1 — 1
x + 1
= x + 1 — 1
x + 1
= x
x + 1
е) 3 + 2
x + 1
= 3 x + 3 + 2
x + 1
= 3 x + 5
x + 1

.

Проблема 7.Напишите обратную величину 1
2
+ 1
3
.
[ Подсказка : Только одна дробь a
b
имеет обратную; это b
a
.]
1
2
+ 1
3
= 3 + 2
6
= 5
6
Следовательно, обратная величина — 6
5
.

2-й уровень

Следующий урок: Уравнения с дробями

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

ДОПОЛНЕНИЕ

ДОПОЛНЕНИЕ


Чтобы сложить дроби, знаменатели должны быть равны.Выполните следующие шаги, чтобы сложить две дроби.

1.
Постройте каждую дробь так, чтобы оба знаменателя были равны.

2.
Сложите числители дробей.

3.
Знаменателем будет знаменатель построенных дробей.

4.
Уменьшите ответ.

Пример:
Рассчитать.
Ответ:
Ответ есть.

Решение:
Знаменатели те же, поэтому шаг 1. Знаменатель ответа будет 5.
Сложите числители для числителя в ответе. 3 + 1 =
4. Ответ есть. Этот ответ уже сокращен, поэтому шаг 4 можно пропустить.
Чек:
Вы можете проверить ответ на калькуляторе.
Вычислите 3, разделенные на 5, вычислите 1, разделенные на 5, и сложите результаты.Теперь разделите 4 на 5. Оба ответа должны быть одинаковыми. Если вы правы, ответы будут одинаковыми (эквивалентными), и вы успешно добавили две дроби.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите на слово «Пример».

Решите следующие задачи и нажмите «Ответить», чтобы проверить результаты.

Задача 1:
Сложите дроби
и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 2:
Сложите дроби
и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 3:
Сложите дроби
и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 4:
Сложите дроби
и сократите свой ответ.
Ответ

Задача 5:
Сложите дроби
и сократите свой ответ.
Ответ

Меню Назад к простому
Фракции

[Идентификация]
[Факторинг целых чисел]
[Уменьшение дробей]
[Умножение]
[Разделение]
[Строительные фракции]
[Добавление]
[Вычитание]
[Порядок работы]

С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *