правила, примеры, как делить целые числа, деление нуля на число

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием «:» или знаком ÷. Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a:b. Результат записывается после знака равно «=». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a:b=c. Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел a и b с частным, равным с, можно представить обратным действием деления с на b  с частным равным а. Если произведение чисел 5 и -7 равна -35, отсюда имеем, что частное (−35):5 равняется -7, а (−35):(−7) с результатом 5.

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель  и произведение. Равенство 6·(−7)=−42 говорит о том, что результаты  (−42):6 и (−42):(−7) равняются -7 и 6 соответственно. При известном произведении 45, а одного из множителей -5, то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Деление целых положительных чисел

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8.

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80+24,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Ответ: 104:8=13.

Пример 2

Найти частное от деления 308 716:452.

Решение

Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:

Ответ: 308 716:452=683.

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b, то искомое частное получится равным с. Форма записи: a:b=c. После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b·c=a справедливо. Значит, b·c=a. Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b·c=b·c, значит, и b·c=a. Отсюда получаем, что c=a:b. Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b·c=a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b·c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления: чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a:b=a:b, при а и b равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить -92 на -4.

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что -92:-4=-92:-4=92:4=23

Ответ: (−92):(−4)=23.

Пример 4

Вычислить -512: (-32).

Решение

Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.

Ответ: (−512):(−32)=16.

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с.  Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c=a:b.

Чтобы определить смысл деления равенства b·c=a, необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить «-». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a:b=-a:b.

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на -4.

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56:4=14. Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие «-» перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, -14.

Ответ: 56:(−4)=−14.

Пример 5

Выполнить деление -1625 на 25.

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило 

-1625:25=—1625:25=-1625:25=-65

Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500+125, применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: (−1 625):25=−65.

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0:b=0, где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b·c=0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с=0. Отсюда следует, что  частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0:4 или 0:-908. Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0.

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c·0=a. Правило умножения на нуль говорит о том, что c·0=0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c·0=a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c·0=0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если  в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на -9 равен -7. Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (−7)·(−9)=63. Проверка показала, что 63 отлично от 72, значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

правила, примеры, как делить целые числа, деление нуля на число

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием «:» или знаком ÷. Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a:b. Результат записывается после знака равно «=». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a:b=c. Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел a и b с частным, равным с, можно представить обратным действием деления с на b  с частным равным а. Если произведение чисел 5 и -7 равна -35, отсюда имеем, что частное (−35):5 равняется -7, а (−35):(−7) с результатом 5.

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель  и произведение. Равенство 6·(−7)=−42 говорит о том, что результаты  (−42):6 и (−42):(−7) равняются -7 и 6 соответственно. При известном произведении 45, а одного из множителей -5, то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Деление целых положительных чисел

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8.

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80+24,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Ответ: 104:8=13.

Пример 2

Найти частное от деления 308 716:452.

Решение

Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:

Ответ: 308 716:452=683.

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b, то искомое частное получится равным с. Форма записи: a:b=c. После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b·c=a справедливо. Значит, b·c=a. Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b·c=b·c, значит, и b·c=a. Отсюда получаем, что c=a:b. Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b·c=a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b·c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления: чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю.

Эта запись будет выглядеть так a:b=a:b, при а и b равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить -92 на -4.

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что -92:-4=-92:-4=92:4=23

Ответ: (−92):(−4)=23.

Пример 4

Вычислить -512: (-32).

Решение

Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.

Ответ: (−512):(−32)=16.

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с.  Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c=a:b.

Чтобы определить смысл деления равенства b·c=a, необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное.

Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить «-». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a:b=-a:b.

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на -4.

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56:4=14. Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие «-» перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение.

То есть, -14.

Ответ: 56:(−4)=−14.

Пример 5

Выполнить деление -1625 на 25.

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило 

-1625:25=—1625:25=-1625:25=-65

Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500+125, применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: (−1 625):25=−65.

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0:b=0, где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b·c=0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с=0. Отсюда следует, что  частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0:4 или 0:-908. Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0.

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c·0=a. Правило умножения на нуль говорит о том, что c·0=0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c·0=a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c·0=0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если  в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на -9 равен -7. Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (−7)·(−9)=63. Проверка показала, что 63 отлично от 72, значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Формула деления

— Что такое формула деления? Примеры

Формула деления используется для деления числа на равные части. Символы, которые мы используем для обозначения деления,  (÷) и (/). Таким образом, «p, деленное на q», может быть записано как: (p÷q) или (p/q). Давайте посмотрим формулу деления вместе с решенными примерами в следующем разделе.

Что такое формула деления?

Формула деления — это формула деления, которая является одной из четырех основных арифметических операций. Формула деления используется для того, чтобы поровну разделить число на множество частей. Формула деления данного значения может быть выражена как

Где,

• Делимое – это число, которое нужно разделить
• Делитель — это число, которое нужно разделить на
.
• Результат — частное.

Формула деления для проверки

Давайте выясним, как мы можем проверить наш ответ деления, используя формулу деления. Например, 8 ÷ 2 = 4, остаток = 0. Другими словами, 8 = 2 × 4 + 0. Этот метод проверки может быть выражен следующим образом:

Дивиденд = (Делитель × Частное) + Остаток.

Рассмотрим еще один пример, где

• делимое = 9
• делитель = 3
• частное = 3
• остаток = 0

Подставляя значение в формулу, получаем 9 = (3×3)+0=9. Поэтому наш ответ правильный.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Примеры формулы деления

Пример 1:  Разделите, используя формулу деления, значение 500 на 50. Какое получится частное?

Решение:

Чтобы найти: частное

Делимое = 500.
Делитель = 50,
Используя формулу деления,
Дивиденд/делитель = частное
(500/50) = 10
= 10

Ответ: после деления частное будет 10.

Пример 2: 200 шоколадок были распределены поровну между 40 детьми. Сколько шоколадок дали каждому ребенку? Рассчитайте это по формуле деления.

Решение: 

Найти: Сколько шоколадок дали каждому ребенку.
Данная информация:
Всего конфет = 200 
. Всего детей = 40 
. Используя формулу деления,
Шоколадки, выданные каждому ребенку = (Всего шоколадок / Всего детей)
= (200/40)
=  5

Ответ: Каждому ребенку дали по 5 шоколадок.

Пример 3: У Лизы 4 щенка. Он купил 36 жевательных костей, чтобы накормить их поровну. Сколько костей достанется каждому щенку?

Решение:

Количество щенков у Лизы = 4.
Количество костей = 36.
Количество костей у каждого щенка = 36/4 = 9.

Ответ: Каждый щенок получит 9 костей.

Часто задаваемые вопросы о формуле дивизиона

Из каких частей состоит формула дивизиона?

Здесь представлены термины, относящиеся к делению, которые также считаются частями формулы деления.

• Дивиденд
• Делитель
• Частное
• Остаток

Что такое формула деления для проверки?

Для перепроверки нашего ответа по разделу мы склонны следовать методу проверки по разделу. Этот метод проверки может быть выражен как дивиденд = (делитель × частное) + остаток.

Как использовать формулу деления?

Обычно формула деления используется для деления числа на равные части. Рассмотрим пример.
Пример: у Суши есть 28 печений, и она хочет поровну распределить их между двумя своими детьми. Как она будет делить печенье поровну?
Решение: количество файлов cookie = 28 
. Количество детей = 2
Количество печенья, которое будет у каждого ребенка = 28/2 = 14

Частное правило, показатели степени и логарифмы – BetterExplained

В прошлый раз мы рассматривали производные с помощью метафоры «машина». Функции представляют собой машину с входным (x) и выходным (y) рычагом. Производная, dy/dx, показывает, насколько «покачивается выход» при изменении входных данных:

Теперь мы можем сделать большую машину из меньших (h = f + g, h = f * g, и т. д.). Производные правила (правило сложения, правило произведения) дают нам «общее колебание» с точки зрения частей. Цепное правило особенное: мы можем «приблизиться» к одной производной и переписать ее в терминах другого ввода (например, преобразовать «миль в час» в «миль в минуту» — мы преобразуем ввод «время»).

На основе этого резюме давайте построим нашу интуицию для продвинутых производных правил. Вперед!

Деление (Частное Правило)

Ах, частное правило, которое никто не помнит. О, может быть, вы запомнили это с такой песней, как «Лоу-ди-хай, хай-ди-лоу…», но это непонимание!

Пришло время визуализировать правило деления (кто говорит «частное» в реальной жизни?). Ключ в том, чтобы рассматривать деление как тип умножения:

У нас есть прямоугольник, у нас есть площадь, но стороны равны «f» и «1/g». Вход x изменяется сбоку (на dx), поэтому f и g изменяются (на df и dg)… но как ведет себя 1/g?

Цепное правило на помощь! Мы можем обернуть 1/g в красивую, чистую переменную, а затем «увеличить масштаб», чтобы увидеть, что да, внутри есть деление.

Итак, давайте представим, что 1/g — это отдельная функция, m. Внутри функции m есть деление, но на минутку не обращайте на это внимания. Мы просто хотим объединить две точки зрения:

• f изменяется на df, площадь вклада df * m = df * (1 / g)
• м изменяется на дм, площадь вклада дм * f = ?

Мы легко превратили m в 1/g. Отлично. Но что такое dm (насколько изменилось 1/g) по отношению к dg (насколько изменилось g)?

Нам нужна разница между соседними значениями 1/g: 1/g и 1/(g + dg). Например:

• Какая разница между 1/4 и 1/3? 1/12
• Как насчет 1/5 и 1/4? 1/20
• Как насчет 1/6 и 1/5? 1/30

Как это работает? Получаем общий знаменатель: для 1/3 и 1/4 это 1/12. А разница между «соседями» (вроде 1/3 и 1/4) будет 1/общий знаменатель, она же 1/(x*(x+1)). Посмотрим, сможешь ли ты понять, почему!

Если мы сделаем нашу производную модель совершенной и предположим, что между соседями нет разницы, +1 исчезнет, ​​и мы получим:

101 = одна десятитысячная)

Разница отрицательна, так как новое значение (1/4) меньше исходного (1/3). 2 [как мы видели ранее] 92 * дг. Этот трюк с заменой используется во всем исчислении, чтобы помочь разделить корявые вычисления. «О, похоже, мы делаем прямое умножение. Упс, мы увеличили масштаб и увидели, что одна переменная на самом деле является делением — измените перспективу на внутреннюю переменную и умножьте на коэффициент преобразования».

Фух. Чтобы преобразовать наше покачивание «dg» в покачивание «dm», мы делаем:

И получаем:

Ура! Теперь ваш чрезмерно нетерпеливый учебник может упростить это до:

и он горит! Оно горит! Это «упрощение» скрывает то, что правило деления является всего лишь разновидностью правила произведения. Помните, что есть еще две части площади, которые нужно объединить:

• Часть «f» (числитель) растет, как и ожидалось
• Полоса «g» (знаменатель) отрицательная (по мере увеличения g площадь уменьшается)

Используя свою интуицию, вы знаете, что именно знаменатель способствует негативным изменениям. x) 9фу. Больше не надо.

Но если foo контролируется чем-то другим, тогда нам нужно умножить скорость изменения на коэффициент преобразования (d(foo)/dx), когда мы прыгнем в эту внутреннюю точку зрения.

Натуральный логарифм

Производная ln(x) равна 1/x. Обычно это дается по факту.

Моя интуиция подсказывает, что ln(x) — это время, необходимое для роста до x:

• ln(10) — это время, чтобы вырасти от 1 до 10, предполагая 100% непрерывный рост

Хорошо, хорошо. Сколько времени требуется, чтобы вырасти до «следующего» значения, например 11? (x + dx, где dx = 1) 92 + 3: где бы мы умножили на du/dx?

Давайте задумаемся: du/dx играет роль только с точки зрения u (когда v изменяется, u является статическим значением, и не имеет значения, что u может быть далее разбито на x). Вклад u равен

. Если бы нам нужна была точка зрения «dx», мы бы включили сюда du/dx:

Мы умножаем на коэффициент преобразования «du/dx», чтобы получить данные из точки x. зрения. Точно так же, если бы v было более сложным, у нас был бы термин dv/dx при вычислении точки зрения v.

Посмотрите, что произошло — мы выяснили общий d/du и при необходимости преобразовали его в более конкретный d/dx.

С бесконечно малыми проще

Отделение dy от dx в dy/dx «противоречит правилам» ограничений, но отлично работает с бесконечно малыми. Вы можете вычислить производные правила очень быстро:

Правило произведения:

Мы устанавливаем «df * dg» равным нулю, когда выпрыгиваем из бесконечно малого мира и возвращаемся к нашей обычной системе счисления.

Думайте с точки зрения «Насколько изменилось g? Насколько изменилось f?» и производные встают на место намного легче. «Разделить» на dx в конце.

Резюме: See the Machine

Наша цель — понять интуицию исчисления, а не заучивание. Мне нужно несколько аналогий, чтобы заставить меня задуматься:

• Функции — это машины, производные — это «покачивание»
• Производные правила находят «общее колебание» с точки зрения шевеления каждой части
9x для достижения следующего значения (x единиц/сек означает 1/x до следующего значения)

С практикой идеи начинают получаться. Не беспокойтесь о том, что вас могут сбить с толку — я все еще пытался злоупотреблять цепным правилом при работе с экспонентами. Обучение – это процесс!

Счастливая математика.

Приложение: Частные производные

Предположим, что наша функция зависит от двух входных данных:

Производную f можно рассматривать с точки зрения x (как f меняется с x?) или с точки зрения y (как меняется f меняется на y?). Это та же самая идея: у нас есть две «независимые» точки зрения, которые мы объединяем для общего поведения (это похоже на объединение точек зрения двух солипсистов, которые думают, что они единственные «настоящие» люди во вселенной).

Если x и y зависят от одной и той же переменной (например, t, время), мы можем написать следующее: погрузиться в его первопричину (время).

Если x и y в остальном независимы, мы представляем производную вдоль каждой оси в виде вектора:

Это градиент, способ представить «От этой точки, если вы движетесь в направлении x или y, вот как ты изменишься».