Правила вычитания и сложения: Вычитание целых чисел, правила, примеры, сложение и вычитание целых чисел

Содержание

Вычитание целых чисел, правила, примеры, сложение и вычитание целых чисел

Для полноценного разбора темы статьи введем термины и определения, обозначим смысл действия вычитания и выведем правило, согласно которому действие вычитания возможно привести к выполнению действия сложения. Разберем практические примеры. А также рассмотрим действие вычитания в геометрическом толковании – на координатной прямой.

В общем, основные термины, используемые для описания действия вычитания, едины для любого типа чисел.

Определение 1

Уменьшаемое – целое число, из которого будет производиться вычитание.

Вычитаемое – целое число, которое будем вычитать.

Разность – результат выполненного действия вычитания.

Для обозначения самого действия используется знак минус, размещённый между уменьшаемым и вычитаемым. Все составные части действия, указанные выше, записываются в виде равенства. Т.е., если заданы целые числа a и b, и при вычитании из первого второго получается число c, действие вычитания запишется следующим образом: a – b = c.

Выражение вида a – b также будем обозначать как разность, как и само конечное значение этого выражения.

Смысл вычитания целых чисел

В теме вычитания натуральных чисел была установлена взаимосвязь между действиями сложения и вычитания, которая дала возможность определить вычитание как поиск одного из слагаемых по известной сумме и второму слагаемому. Примем, что вычитание целых чисел имеет такой же смысл: по заданной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое.

Указанный смысл действия вычитания целых чисел дает возможность утверждать, что c-b = a и c-a = b, если a+b = c, где a, b, c – целые числа.

Рассмотрим простые примеры для закрепления теории:

— пусть мы знаем, что -5+11 = 6, тогда разность 6-11 = -5;

— допустим, известно, что -13 + (-5) = -18, тогда -18 – (-5) = -13, а -18 – (-13) = -5.

Правило вычитания целых чисел

Указанный выше смысл действия вычитания не обозначает для нас конкретного способа вычислить разность. Т.е. мы можем утверждать, что одно из известных слагаемых – результат вычитания из суммы другого известного слагаемого. Но, если одно из слагаемых окажется неизвестным, то мы не можем знать, какова будет разность между суммой и известным слагаемым. Следовательно, для выполнения действия вычитания нам потребуется правило вычитания целых чисел:

Определение 1

Для того, чтобы определить разность двух чисел, необходимо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, т.е. a – b = a+ (-b), где a и b – целые числа; b и –b – противоположные числа.

Докажем указанное правило вычитания, т.е. докажем справедливость указанного в правиле равенства. Для этого, согласно смыслу вычитания целых чисел, прибавим к a+(-b) вычитаемое b и убедимся, что получим в результате уменьшаемое a, т.е. проверим действительность равенства (a+(-b))+b = a. На основании свойств сложения целых чисел мы можем записать цепочку равенств: (a+(-b))+b = a+((-b)+b) = a+0 = a, она и будет являться доказательством правила вычитания целых чисел.

Рассмотрим применение правила вычитания целых чисел на конкретных примерах.

Вычитание целого положительного числа, примеры

Пример 1

Необходимо выполнить вычитание из целого числа 15 целого положительного числа 45.

Решение

Согласно правилу, чтобы из заданного числа 15 вычесть целое положительное число 45, нужно к уменьшаемому 15 прибавить число -45, т.е. противоположное заданному 45. Таким образом, искомая разность будет равна сумме целых чисел 15 и -45. Вычислив нужную сумму чисел с противоположными знаками, получим число -30. Т.е. итогом вычитания числа 45 из числа 15 будет число -30. Запишем все решение в одну строку: 15-45 = 15+(-45) = -30.

Ответ: 15-45 = -30.

Пример 2

Необходимо вычесть из целого отрицательного числа -150 целое положительное число 25.

Решение

Согласно правилу, прибавим к уменьшаемому числу -150 число -25 (т.е. противоположное заданному вычитаемому 25). Найдем сумму целых отрицательных чисел: -150+(-25) = -175. Таким образом, искомая разность равна . Все решение запишем так: -150-25 = -150+(-25) = -175.

Ответ: -150-25 = -175.

Вычитание нуля, примеры

Правило вычитания целых чисел дает возможность вывести принцип вычитания нуля из целого числа – вычитание нуля из любого целого числа не изменяет это число, т.е. a-0 = a, где a – произвольное целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания, вычитание нуля – это прибавление к уменьшаемому числа, противоположного нулю. Нуль – число, противоположное самому себе, т.е. вычесть нуль это то же самое, что прибавить нуль. На основе соответствующего свойства сложения прибавление нуля к любому целому числу не изменяет это число. Таким образом,

a-0 = a+(-0) = a+0 = a.

Рассмотрим простые примеры вычитания нуля из различных целых чисел. Например, разность 61-0 равна 61. Если же из целого отрицательного числа -874 вычесть нуль, то получится -874. Если от нуля отнять нуль, получим нуль.

Вычитание целого отрицательного числа, примеры

Пример 3

Необходимо вычесть из целого числа 0 целое отрицательное число -324.

Решение

Согласно правилу вычитания определение разности 0-(-324) необходимо произвести прибавлением к уменьшаемому числу 0 числа, противоположного вычитаемому -324. Тогда: 0-(-324) = 0+324 = 324

Ответ: 0-(-324) = 324

Пример 4

Определить разность -6-(-13).

Решение

Произведем вычитание из целого отрицательного числа -6 целого отрицательного числа -13. Для этого вычислим сумму двух чисел: уменьшаемого -6 и числа 13 (т.е. противоположного заданному вычитаемому -13). Получим: -6-(-13) = -6+13 = 7.

Ответ: -6-(-13) = 7.

Вычитание равных целых чисел

Если заданные уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность будет равна нулю, т.е. a-a = 0, где a – любое целое число.

Поясним. Согласно правилу вычитания целых чисел a-a = a+ (-a) = 0, что означает: чтобы из целого числа вычесть равное ему, нужно прибавить к этому числу число, ему противоположное, что даст в результате нуль.

Например, разность равных целых чисел -54 и -54 равна нулю; совершая действие вычитания из числа 513 числа 513, получаем нуль; отнимая от нуля нуль, получаем также нуль.

Проверка результата вычитания целых чисел

Необходимая проверка производится с помощью действия сложения. Для этого к полученной разности прибавляем вычитаемое: в итоге должно получится число, равное уменьшаемому.

Пример 5

Было произведено вычитание целого числа -112 из целого числа -300, при этом получена разность -186. Верно ли было произведено вычитание?

Решение

Выполним проверку согласно указанному выше принципу. Прибавим к заданной разности вычитаемое: -186+(-112) = -298. Мы получили число, отличное от заданного уменьшаемого, следовательно, была допущена ошибка при вычислении разности.

Ответ: нет, вычитание было произведено неверно.

Вычитание целых чисел на координатной прямой

В заключение рассмотрим геометрическое толкование действия вычитания целых чисел. Начертим горизонтальную координатную прямую, направленную вправо:

Выше мы вывели правило совершения действия вычитания, согласно ему: a-b = a+(-b), тогда геометрическое толкование вычитания чисел a и b будет совпадать с геометрическим смыслом сложения целых чисел a и –b. Из этого следует, что для вычитания из целого числа a целого числа b, необходимо:

— сдвинуться из точки с координатой a на b единичных отрезков влево, если b – положительное число;

— сдвинуться из точки с координатой a на |b| (модуль числа b) единичных отрезков вправо, если b – отрицательное число;

— остаться в точке с координатой a, если b = 0.

Рассмотрим на примере с применением графического изображения:

Пусть необходимо вычесть из целого числа -2 целое положительное число 2. Для этого, согласно вышеуказанной схеме, переместимся влево на 2 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой -4, т.е. -2-2 = -4.

Еще один пример: вычитаем из целого числа 2 целое отрицательное число -3. Тогда, согласно схеме, переместимся вправо на |-3| = 3 единичных отрезка, попадая, таким образом, в точку с координатой 5. Получаем равенство: 2-(-3) = 5 и иллюстрацию к нему:

основные правила, законы и примеры выполнения вычислений

Математика

12. 11.21

12 мин.

Учащиеся средних образовательных школ изучают в 5 классе свойства вычитания и сложения. Они применяются для решения примеров, ускорения вычислений в устной форме и т. д. В высших учебных заведениях правила используются для упрощения выражений, нахождения корней дифференциальных уравнений и пределов, а также для выполнения других операций.

Общая информация

Вычитание — операция уменьшения числа на определенное значение. Для примера следует записать следующее выражение: p — t = v. Первая величина называется уменьшаемым, вторая — вычитаемым, а результат вычитания — разность. Очень часто в литературе с физико-математическим уклоном можно встретить связку «разность двух чисел», которая является синонимом вычитания.

Сложение — математическая операция, применяемая для увеличения числа на некоторое значение. Коэффициенты имеют такие названия (p + t = v):

p — первое слагаемое.
t — второе слагаемое.
v — сумма.

В интернете можно найти множество видеоуроков, где рассказывается о различных методиках оптимизации вычислений. Однако они не всегда оказываются верными. Следует отметить, что вычитаемых и слагаемых может быть несколько.

Основные законы

Для оптимизации вычислений математики рекомендуют использовать основные свойства сложения и вычитания для 5 класса. Правила распространяются не только на натуральные числа, но дробные, иррациональные и т. д. Грамотное применение законов не только экономит время и тренирует мозг, но и помогает подготовиться к решению более сложных задач, связанных с арифметическими вычислениями.

Правила сложения

У сложения существует несколько законов, основанных на перестановке слагаемых или раскрытии скобок для оптимизации вычислений. Они бывают:

Переместительный.
Сочетательный.
Операция сложения двух одинаковых чисел эквивалентна умножению искомого значения на 2.
Прибавления или вычитание нуля не влияет на число.

Переместительный закон сложения можно сформулировать следующим образом: результат суммы не зависит от перемены мест слагаемых. Для подтверждения правила необходимо провести такой тест: 7 + 2 = 2 + 7. Если вычислить сумму левой и правой частей, то получается такое тождество: 9 = 9. Оно является истинным, поскольку величины равны.

Формулировка сочетательного закона сложения следующая: чтобы прибавить к сумме двух чисел, сгруппированных в скобках, третью величину, необходимо осуществить операцию сложения первого и третьего, а затем к результату прибавить второе слагаемое. В буквенном виде он записывается в таком виде: (t + v) + s = (t + s) + v. Справедлива будет и такая запись: (t + v) + s = (v + s) + t. Переместительный и сочетательный законы позволяют группировать слагаемые в любой последовательности.

Методы вычитания

Для выполнения операции разности чисел нужно придерживаться определенных свойств вычитания. В 5 классе изучаются все необходимые формулы и утверждения, к которым можно отнести следующие:

При вычитании 0 из числа получается искомое число: t — 0 = t.
Если из нулевого значения вычесть число, результат будет эквивалентен величине, взятой со знаком «- «: т. е. 0 — t = -t.
Разность двух чисел, эквивалентных между собой, соответствует нулевой величине: t — t = 0.
Для вычитания суммы двух слагаемых из числа нужно из последнего вычесть первое слагаемое, а затем второе: t — (s + v) = t — s — v.
Чтобы вычислить разность суммы двух слагаемых и вычитаемого, нужно отнять из первого слагаемого вычитаемое, а затем к результату прибавить II слагаемое: (t + s) — v = t — v + s.
Если одним из слагаемых является разность двух чисел (составное), необходимо к первому значению прибавить уменьшаемое, а затем из результата вычесть вычитаемое: t + (s — v) = t + s — v.

В шестом законе вычитания для 5 класса требуется просто раскрыть скобки без изменения знаков величин. Специалисты рекомендуют записать все правила в специальные таблицы-тренажеры, которые должны всегда быть под рукой.

Таким образом, для выполнения арифметических операций сложения и вычитания нужно знать все основные свойства и формулы, позволяющие оптимизировать вычисления.