Правила умножения дробей: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Умножение и деление дробей – правила с примерами (5 класс. математика) » ГДЗ онлайн

Автор Беликова Ирина На чтение 3 мин Просмотров 7

Умножение и деление дробей достаточно больная тема для учеников 5 класса. Чтобы не допускать ошибок в простых операциях, разберемся в теме раз и навсегда

Что такое дробь?

Дробь это незавершенная операция деления. Проблема этого определения в том, что начинающим ученикам сложно понять, что такое незавершенная операция. Но разобраться в этом вопросе не так сложно.

Любой ученик встречался с делением, которое не может быть завершено до конца. Калькулятор в качестве результата такого деления выдает бесконечную десятичную дробь. Чтобы записать бесконечную дробь в реальных расчетах приходится округлять число. Это ведет к падению точности вычислений.

Чтобы сохранить точность расчетов были придуманы дроби. Определение дроби, как незавершенной операции деления позволяет выполнять с дробями все математические операции.

В дроби знак деления заменен на дробную черту.

Виды дробей

Рассмотрим существующие виды дробей:

  • Обыкновенные
  • Неправильные
  • Смешанные
  • Десятичные

Каждый из видов дробей имеет свои, немного отличные правила деления и умножения.

Умножение и деление разных видов дробей

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби это дроби, у которых числитель меньше знаменателя. Навык умножения и деления обыкновенных дробей является основой деления и умножения любой дроби вообще.

Для умножения двух дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Результат такого умножения и будет являться конечным результатом умножения дробей.

Делить дроби сложнее, но ненамного. Для деления переворачивают делитель. То есть числитель дроби меняется на знаменатель, а знаменатель на числитель. Делимое умножается на перевернутый делитель. Результат такого умножения и будет являться частным.

Смешанные дроби

Смешанные дроби имеют две части: целую и дробную. Для того, чтобы умножить или разделить смешанные дроби их преобразуют в неправильные. Для этого целую часть умножают на знаменатель, а получившееся число прибавляют к числителю.

С получившимися числами действуют так же, как с обыкновенными дробями.

Неправильные дроби

Неправильные дроби отличаются от обыкновенных только тем, что числитель больше знаменателя. Умножают и делят неправильные дроби по тем же правилам, что обыкновенные.

Неправильные дроби могут быть в примере, но в результате желательно преобразовать в смешанное число или десятичную дробь. Непреобразованную дробь в ответе могут счесть ошибкой.

Десятичные дроби

Десятичные дроби умножаются и делятся по другим правилам. Десятичной дробью называют дробь, записанную в одну строку с помощью разделяющей запятой. До запятой идет целая часть, после запятой – дробная.

Для деления десятичных чисел их преобразуют в целые числа. Пользуются следующим алгоритмом:

  • Нужно умножить делимое и делитель на степень числа 10 так, чтобы делимое и делитель стали целыми числами. Число, на которое домножают дроби запоминают.
  • Выполняется операция деления или умножения. Порядок действий для обоих знаменателей одинаковый.
  • Результат делится на число, которое мы запомнили в самом начале.

Что мы узнали?

Мы повторили понятие дроби. Выделили все виды дробей. Привели правила умножения и деления дробей. Отдельно обговорили желательную форму записи результата.

Умножение обыкновенных дробей. Модульный урок. 6 класс

1. Модульный урок

Умножение обыкновенных дробей
6 класс
Учитель математики
ГБОУ СОШ №297
Г.Санкт-Петербурга
Халупо И. А.
Мой дорогой друг!
Сегодня тебе предстоит самому изучить новый материал,
а также применить
полученные знания при решении различных упражнений и задач.
Желаю удачи!

3. Содержание урока

• Интегрирующая дидактическая цель
• Правило умножения обыкновенных
дробей
• Умножение дроби на натуральное число
• Умножение смешанных чисел
• Закрепление новых знаний при решении
различных упражнений и задач
• Обобщение
Конец урока

4. Интегрирующая дидактическая цель

В процессе работы учащиеся должны овладеть
следующими знаниями:
1. Умножение обыкновенных дробей.
2. Умножение дроби на натуральное число.
3. Умножение смешанных чисел.
Умение и навыки:
1. Уметь умножать обыкновенные дроби
2. Уметь умножать обыкновенную дробь на
натуральное число
3. Уметь умножать смешанные числа
К содержанию
далее

5. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 1.
а) Найти площадь прямоугольника длиной
a=5 см и шириной b=3 см.
б) Вырази полученную площадь в
квадратных дециметрах. Результат
запиши в виде обыкновенной дроби.
Используй полученный результат в
следующем задании.
К содержанию
далее
S=?

6. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 2.
Вырази длины сторон прямоугольника
из задания 1 в дециметрах (дм).
Результаты запиши в виде обыкновенных
дробей. Запиши выражения для
нахождения площади с полученными
данными. Запиши ответ получившегося
выражения. Проверь свою запись с
помощью рисунка.
К содержанию
далее

7. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 3.
Запиши выражение из задания 2 без
наименований .
1. Каким действием можно получить числитель 3
произведения?
2. Каким действием можно получить знаменатель
20 произведения? Сделай соответствующую
запись.
1 3
П
3
Попробуй сформулировать 2 10 П 20
правило умножения обыкновенных дробей.
К содержанию
далее

8. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 4.
Внимательно прочитай и запомни: чт обы
умножит ь дробь на дробь, надо:
1) найти произведение числителей и
произведение знаменателей этих
дробей;
2) первое произведение записать
числителем, а второе — знаменателем
результата.
К содержанию
далее

9. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 5
Рассмотри пример
3 1 25
5 3 7
По правилу умножения дробей имеем:
3 1 25 3 1 25 5
5 3 7
5 3 7 7
Как следует выполнять умножение
обыкновенных дробей?
К содержанию
далее

10. Правило умножения обыкновенных дробей

Задание 6
Внимательно прочитай и запомни:
обычно вначале обозначают произведение числит елей
и произведение знаменат елей, зат ем, если возможно,
производят сокращение и т олько пот ом умножение. В
от вет е, если эт о возможно, из дроби исключают
целую част ь.
Контроль.
Выполни умножение:
а)
б)
3 4
4 14
7 15
;
8 15
К содержанию
.

11. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Задание 1.
а) Представь 15 в виде обыкновенной
дроби со знаменателем 1.
б) Попробуй догадаться, как можно
умножить обыкновенную дробь на
натуральное число.
в) Попробуй сформулировать правило
умножения дроби на натуральное число.
К содержанию
далее

12. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Задание 2.
Внимательно прочитай и запомни:
так как любое нат уральное число
можно предст авит ь в виде дроби со
знаменат елем 1, т о умножение дроби
на нат уральное число выполняет ся по
правилу умножения дроби на дробь.
К содержанию
далее

13. Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Задание 3.
Покажи на примерах, как
выполняется этоправило.
а) 5 4;
б) 10 3 .
12
20
Контроль.Выполни умножение:
а) 21 9 ;
б) 5 12.
70
48
К содержанию

14. Умножение смешанных чисел

Задание 1.
а) Запиши смешанное число в виде
2
неправильной дроби 3
7
б) Попробуй догадаться, как можно
выполнить умножение смешанных
чисел . 4 1 2 4
7
5
К содержанию
далее

15. Умножение смешанных чисел

Задание 2.
Внимательно прочитай и запомни:
для т ого чт обы выполнит ь умножение
смешанных чисел, надо записат ь их в
виде неправильных дробей, а зат ем
воспользоват ься правилом умножения
дробей.
К содержанию
далее

16. Умножение смешанных чисел

Задание 3.
Покажи на примере, как
выполняется это правило
4 7
3
22
а) 1 ;
б) 2 1 .
9 11
11 21
Контроль.
Выполни умножение:
3 5
.
а) 1 4 1 7 ;
б) 7 113 2 19
40
К содержанию

17. Закрепление новых знаний

Задание 1.
Выполни действие. Изучи образец.
3 3 3 3 9
4 4 4 4 16
Принята более короткая запись:
2
9
3
.
16
4
К содержанию
далее

18. Закрепление новых знаний

Задание 2.
Выполни действия, используя
образец задания 1:
1
4
а) ;
б) .
3
2
6
5
К содержанию
далее

19. Закрепление новых знаний

Задание 3.
Реши задачу. Сколько километров
проедет велосипедист за 4 12 ч., если
1
9
будет двигаться со скоростью 2
км/ч.
К содержанию
далее

20. Закрепление новых знаний

Задание 4.
Найти значение выражения:
1 3 1 5
5 3 12
а) 12 8 19 ;
б) 312 2 4 1 6 12 .
в) 2 9 5 2 1 ;
3 16
24 5
6
К содержанию
далее

21. Закрепление новых знаний

Контроль.
1) Возведи в степень:
а) 72 ;
б) 5 .
9
2) Представь второй множитель в
виде обыкновенной дроби и
выполни умножение: 1
3
2
5
К содержанию
0, 4

22. Обобщение

1. Сформулируй правило умножения обыкновенных дробей.
2. Запиши данное правило с помощью букв a, b, c, d натуральные числа.
3. Сформулируй правило умножения обыкновенной дроби на
натуральное число.
4. Запиши данное правило с помощью букв a, b, c, d натуральные числа.
5. Сформулируй правило умножения смешанных чисел.
6. Запиши данное правило с помощью букв a, b, c, d натуральные числа.
7. Достиг ли ты поставленной цели?
К содержанию

Конспект урока 5 класс «Умножение дробей»

Конспект урока №1 в 5 классе по теме «Умножение дробей» по учебнику Дорофеев Г. В. Математика 5; учебник / Г. В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение, 2013г.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока Умножение дробей 5 класс Щербакова_урок1»

Урок математики по теме » Умножение дробей».

Класс: 5.

Тип урока: урок по типу открытие новых знаний.

Цель урока: создать условия для формирования новой учебной информации.

Понятия:

умножение обыкновенных дробей.

Планируемые результаты:

  • формулировать и записывать с помощью букв правило умножения обыкновенных дробей;

  • вычислять произведение обыкновенных дробей.

Оборудование:

  • компьютер, проектор;

  • презентация (Умножение дробей_урок1.pptx).

Ход урока.

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята!

II. Тема и цели урока.

III. Повторение и закрепление пройденного материала.

  1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нере­шенных задач).

  2. Математическая разминка.

IV. Работа по теме урока.

Найдём площадь прямоугольника, длины сторон которого равны м и

м. Вы знаете правило: площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон. Значит, в данном случае площадь должна быть равна произведению м2. Но как вычислить произведение ? Чтобы получить ответ на этот вопрос, найдём площадь рассматриваемого прямоугольника, опираясь на геометрические соображения.

На рисунке изображён квадрат со стороной 1 м. Стороны этого квадрата разделены на 5 равных частей и точки деления соединены отрезками. Таким образом, квадрат разбит на 25 равных квадратов. Площадь большого квадрата равна 1 м2, значит, площадь каждого маленького квадрата составляет м2.

На рисунке цветом выделен прямоугольник со сторонами м и м. Он состоит из 12 маленьких квадратов. Значит, площадь прямоугольника равна м2.

Итак, площадь прямоугольника (в м

2), с одной стороны, равна произведению , а с другой – дроби .Значит,

= .

А как же дробь получается из дробей и . Так как 12 = 3 • 4, а 25 = 5 • 5, то

= .

Проведённое рассуждение подсказывает нам правило умножения дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:

Обратите внимание: чтобы вычисления были проще, числители и знаменатели дробей нужна перемножать не сразу, а лишь после сокращения на общие множители (если, конечна, это возможно). Например:

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

V. Задание на уроке.

Учебник стр. 208-210 задание № 823(а,б,в), № 824(а,б,в), № 836(а,в).

Дидактические материалы стр. 87-88 № 1, № 2, № 8.

VI. Итоги урока. Рефлексия.

  • Что нового я сегодня узнал?

  • Что мне понравилось на уроке?

  • О чём я ещё хочу узнать?

  • Что у меня получилось хорошо?

  • Над чем мне ещё нужно поработать?

VII. Подведение итогов урока: оцените, пожалуйста, себя, как вы занимались на уроке (звёздочка – «5», квадрат – «4», треугольник – «3», круг – «плохо»).

VIII. Задание на дом.

Учебник стр. 208-210 задание № 823(г,д), № 824(г,д), № 836(б,г).

Информационные материалы:

  1. Дорофеев Г. В. Математика 5; учебник / Г. В. Дорофеев и др. — М.: Просвещение, 2013г.;

  2. Математика. Дидактические материалы. 5 класс: пособие для общеобразоват. организаций / [Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова, С. Б. Суворова]. М.: Просвещение, 2014г.;

  3. Математика 5 кл. Поурочн. разр. к Дорофееву Г.В.

  4. Математика. Контрольные работы. 5 класс: пособие для общеобразоват. организаций / [Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова, С. Б. Суворова]. М.: Просвещение, 2014г.;

  5. Математика. Устные упражнения. 5 класс: учеб. пособие для общеобразоват. организаций/ [С. С. Минаева]. М.: Просвещение, 2018г.;

4

Просмотр содержимого презентации
«Умножение дробей_урок1»

Как перемножить дроби с целыми числами. Правила умножения и деления дробей на целое число

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

  • разделить числитель на имеющийся знаменатель;
  • в конкретном примере неполное частное — целое;
  • и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

  • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
  • полученное произведение прибавляется к числителю;
  • результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

  • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
  • нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
  • подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
  • в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
  • если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

  • перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
  • найти произведение числителей;
  • найти произведение знаменателей;
  • записать получившийся результат;
  • максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

  • записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
  • найти произведение, несмотря на запятую;
  • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

  • числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
  • знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;
  • Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

    Умножение дроби на натуральное число

    Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

    Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

    Умножение смешанных чисел

    Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

    Другой способ умножения дроби на натуральное число

    Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

    Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

    Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

    Действия с дробями

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Сложение дробей бывает двух видов:

  • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
  • Сложение дробей с разными знаменателями
  • Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

    Пример 2. Сложить дроби и .

    Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

    В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

    Пример 3 . Сложить дроби и .

    Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

    Пример 4. Найти значение выражения

    Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

    Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
  3. Сложение дробей с разными знаменателями

    Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

    Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

    А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

    Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

    Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1 . Сложим дроби и

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

    НОК (2 и 3) = 6

    Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

    Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

    Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

    Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

    Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

    Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

    Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

    Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

    Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

    Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  4. Найти НОК знаменателей дробей;
  5. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  6. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  7. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
  8. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
  9. Пример 2. Найти значение выражения .

    Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

    Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

    Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

    Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

    Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

    Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

    Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

    Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

    Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

    Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

    Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

    У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

    Получили ответ

    Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

    Вычитание дробей бывает двух видов:

  10. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  11. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  • Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;
  • Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.
  • Вычитание дробей с разными знаменателями

    Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

    Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

    Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

    Пример 1. Найти значение выражения:

    Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

    НОК (3 и 4) = 12

    Теперь возвращаемся к дробям и

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

    Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

    Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

    Получили ответ

    Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

    Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

    Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

    Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

    Пример 2. Найти значение выражения

    У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

    Найдём НОК знаменателей этих дробей.

    Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

    НОК (10, 3, 5) = 30

    Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

    Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

    Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

    Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

    Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

    Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

    В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

    Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД — это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

    А НОК — это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

    Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

    Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

    НОД (20 и 30) = 10

    Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

    Получили красивый ответ

    Умножение дроби на число

    Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

    Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

    Умножим числитель дроби на число 1

    Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

    Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

    Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножим числитель дроби на 4

    Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

    А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

    Умножение дробей

    Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

    Пример 1. Найти значение выражения .

    Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

    Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

    Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

    И взять от этих трех кусочков два:

    У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

    Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

    Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

    Пример 2 . Найти значение выражения

    Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

    В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

    Пример 3. Найти значение выражения

    В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

    НОД для (105 и 150) равен 15

    Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

    Представление целого числа в виде дроби

    Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

    Обратные числа

    Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

    Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

    Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

    Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

    Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

    Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

    Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

    Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

    Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

    • обратным числа 3 является дробь
    • обратным числа 4 является дробь
    • Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

    В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

    Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

    Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

    Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

    Обозначение:

    Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

    В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

    По определению имеем:

    Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

    Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

    Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

    1. Плюс на минус дает минус;
    2. Минус на минус дает плюс.

    До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

    1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
    2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

    Задача. Найдите значение выражения:

    Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

    Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

    Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

    Сокращение дробей «на лету»

    Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

    Задача. Найдите значение выражения:

    По определению имеем:

    Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

    Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

    Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

    Так делать нельзя!

    Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

    Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

    Правильное решение:

    Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

    Умножение обыкновенных дробей

    Рассмотрим пример.

    Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

    Умножение двух обыкновенных дробей

    Правило умножения обыкновенных дробей:

    Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

    Пример 1

    Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

    Решение.

    Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

    Ответ: $\frac{15}{77}$

    Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

    Пример 2

    Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

    Решение.

    Используем правило умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

    В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

    \[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

    Краткое решение:

    \[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

    Ответ: $\frac{1}{24}.$

    При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

    Пример 3

    Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

    Решение.

    Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

    \[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

    Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

    \[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

    Ответ: $\frac{1}{20}.$

    При умножении дробей можно применять переместительный закон:

    Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

    Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

    Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

    где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

    Пример 4

    Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

    Решение.

    Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

    \[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

    Ответ: $\frac{12}{17}.$

    Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

    Пример 5

    Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

    Решение.

    Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

    По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

    \[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

    В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

    \[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Краткое решение:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

    \[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

    Ответ: $1\frac{2}{5}.$

    При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

    Деление обыкновенных дробей

    Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

    Деление двух обыкновенных дробей

    Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

    \[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

    В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

    \[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

    Ответ: $1\frac{5}{9}.$

    Табличка на двери

    Конспект открытого урока по математике в 5 классе. Тема: Умножение обыкновенных дробей. | План-конспект урока по математике (5 класс):

    Конспект открытого урока по математике в 5 классе.

    Учитель Малиева В.В.

    Тема урока: Умножение обыкновенных дробей.

    Тип урока: Урок открытия нового знания. 

    Цели:

    Деятельностная цель: формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия на основе метода рефлексивной самоорганизации.

    Образовательная цель: расширение понятийной базы по теме «Действия с обыкновенными дробями»:

     вывести правило умножения дробей, сформировать умение умножать обыкновенные дроби. 

     В ходе урока учащиеся смогут:
    -применить правило при решении упражнений.

    Планируемые результаты:

    Личностные результаты: формировать устойчивый познавательный интерес, умение работать в парах.

    Метапредметные результаты.

    Коммуникативные УУД: ученик получит возможность вступать в обсуждение, аргументируя свою точку зрения, используя адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей, мотивов и потребностей; развивать умение договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности на основе взаимоуважения к партнёру по работе.

    Регулятивные: ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что еще неизвестно.

    Познавательные: записывать выводы в виде правил «если…, то…».

    Предметные результаты:

    • Формулировать правило умножения обыкновенных дробей.
    • Применять правило умножения обыкновенных дробей при решении заданий.

    Учебное оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, раздаточный материал. 

    Ресурсы:

    1. Алгоритм умножения обыкновенных дробей.
    2. Задание на карточках.

    3.Презентация «Умножение обыкновенных робей».

    Этап (учебная ситуация)

    Деятельность учителя

    Деятельность учащихся

    1.Этап мотивации.

     Цель этапа: включение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне

    — Здравствуйте! Садитесь.

    Проверьте все ли у вас готово к уроку. Запишите число.  Сегодня у нас не совсем обычный урок. Пожелайте удачи друг другу. Хочу начать урок со слов: «Дорогу осилит — идущий, математику – мыслящий!». А это значит, что мы на уроке будем думать и продолжим путь изучения математики.

    Демонстрируют готовность к уроку

    2. Актуализация знаний

    Цель этапа: повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания», и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося

    Устная работа.

    -Как называется число, записанное на доске? Что вы о нем знаете?

     -Какая часть фигуры закрашена?

    -Как называются данные числа?

    2/3, 4/9, 11/8, 12/5.

    -Как называются первые две дроби? Какие дроби называются правильными?

     Другие две дроби. Какие две дроби называются неправильными?

    -Сократить дроби: (Что означает «Сократить дробь»? А каким свойством мы пользуемся при сокращении дробей?)

    14/21, 10/30, 18/36, 5/10.

    -Сравнить дроби:

    (Повторяем правила сравнения дробей – комментарии)

    ½ и ¼, 5/7 и 5/9, 7/8 и 5/8, 11/15 и 4/15. (рассмотреть другие случаи)

    -Вычислить (решаем с комментариями)

    1/6+ 2/6, 2/5 +5/6, 3/11-5/22, 6/18 — 4/18

    1/3*5/6

    — Сможем ли мы найти значение этого выражения?

    Дают ответы:

    -Обыкновенные дроби.

    -Правильные дроби. Это дроби, у которых числитель меньше знаменателя.

    -Неправильные дроби. Это дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю.

    -Если числители одинаковые, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.

    -Если знаменатели одинаковые, то больше та дробь, знаменатель которой больше.

    -Выполняют сложение, вычитание

    Умножение 1/3*5/6.

    — Не умеем умножать дроби. Возможен ответ « да », гипотезу записать на доске, проверить решение в конце урока

    3. Постановка проблемы.

     Цель этапа: сформулировать проблему, тему и цели урока.

    -Почему не смогли решить задачу?

    -Почему не смогли выполнить умножение дробей?

    -Как вы думаете, какая тема урока сегодня будет?

    -Запишите тему урока.

    -Какие цели поставим на сегодняшний урок? Чему вы хотели бы сегодня научиться?

    — Не умеем умножать обыкновенные дроби.

    Умножение обыкновенных дробей.

    вывести правило умножения обыкновенных дробей

    -применять это правило при выполнении примеров и решении задач

    Записывают тему урока в тетради.

    4. Открытие учениками нового знания.

    Цель этапа: организовать решение проблемной ситуации.

    Физминутка

    Цель этапа: снять напряжение у учащихся путем переключения на другой вид деятельности.

     -Чтобы вывести правило умножения дробей, вспомним, как найти площадь прямоугольника. S= 4см*5см =20 см2.

    -Рассмотрим квадрат. Разделим его на равные квадраты.

    Сколько всего квадратов получилось?  Какая часть квадрата закрашена? Какая фигура получилась? (прямоугольник). Значит, площадь этого прямоугольника равна 12/25.

     

    Длина этого квадрата равна 1, ее разделили на 5 частей и закрасили 4 части. Значит, длина прямоугольника составляет 4/5 от длины квадрата. А какую часть от ширины квадрата составляет ширина прямоугольника? (3/5)

    А как найти площадь этого прямоугольника? S=3/5*4/5, но мы получили, что площадь равна12/25. Значит, 3/5*4/5=12/25. (Мы умножаем две дроби. Как в числителе получить 12? Как в знаменателе получить 25?

    Давайте попробуем сформулировать правило умножения дробей: чтобы умножить две дроби, надо_____________________.

    Прочитать правило в учебнике вслух.

    Ещё раз расскажите правило своему соседу.

    —    Физминутка

    А теперь представим, детки,

    Будто руки наши – ветки.

    Покачаем ими дружно,

     Словно ветер дует южный.

    Ветер стих. Вздохнули дружно.

    Нам урок продолжить нужно.

    Подравнялись, тихо сели

    И на доску посмотрели.

    Выполняют задания.

    Озвучивают выводы.

    Читают правило в учебнике.

    Записывают формулу в тетради.

    5. Этап закрепления изученного материала. Первичное закрепление

    Цель этапа: организовать решение и объяснение задания.

     

    А сейчас мы будем работать по правилу. Решим №889.

    (Решение с комментариями детей.)

    Учащиеся решают задания у доски с комментарием.

    Дети проговаривают правило (несколько человек).

    6. Найдите ошибку в решении.

    Цель этапа: создать условия для закрепления правила умножения дробей

    Самостоятельная работа с самопроверкой

    Цель этапа: создать условия для самостоятельного решения и нахождения ошибок в работе.

    1. Найдите ошибку в решении

     *  =  

     *  =  =

    Самостоятельная работа с самопроверкой

    2. Используя правило, выполните умножение обыкновенных дробей.

    3/4 *5/7        1/2 *5/9

    2/5*7/11         4/7 *5/11

    1/8*3/4          2/5 *3/5

    Выставите себе оценку за самостоятельную работу.

    Выполняют самостоятельную работу с самопроверкой.

    7.Этап контроля и оценки. Итог урока (рефлексия деятельности)

    Цель этапа: осознание уч-ся своей учебной деятельности, самооценка результатов деятельности своей и всего класса

    -Какая задача стояла перед нами в начале урока?

    (Научиться умножать дроби.) Научились умножать дроби?

     

    Тогда, оцените свою работу на уроке, зажгите светофор.

    Зажгите светофор

            

    Зелёный цвет: Я хорошо потрудился на уроке.  Мне было интересно. Я доволен своей работой.

      Желтый цвет: У меня возникали трудности на уроке, но я c ними справился. Я понял свои ошибки, и больше постараюсь не допускать их.

    Красный цвет: На уроке мне было

     неинтересно. У меня было   много    ошибок.

    Я считаю, что мне еще нужно поработать над

    этой темой.

    Выставление оценок.

    Дают ответы на вопросы.

    Анализируют работу на уроке через самооценку

    Домашнее задание

    1.Выучить правило умножения обыкновенных дробей.

    2. Прочитать § 4.9 стр. 196  

    • Придумать задачу с практическим

    содержанием на тему: «Умножение

    обыкновенных дробей».

    Запасное задание.

    Математический диктант с устной проверкой

    1.Запишите алгоритм умножения обыкновенных дробей.

    Чтобы умножить обыкновенные дроби надо:

    1. Числитель первой дроби умножить на ____________________ ,

    2. _____________________ умножить на знаменатель второй,

    3. ¾*1/5

    Записывают домашнее задание

    Карточка «математический диктант».

    Запишите алгоритм умножения обыкновенных дробей.

    Чтобы умножить обыкновенные дроби надо:

    1. Числитель первой дроби умножить на __________________________________________________,

    2. ____________________________________умножить на знаменатель второй дроби.

    3.     *  =

    Карточка «самостоятельная работа».

         а)  *                              г )   * 

         б)  *                            д)    *

         в)  *                             е)    *

    Карточка «самостоятельная работа».

         а)  *                              г )   * 

         б)  *                            д)    *

         в)  *                             е)    *

    Карточка «самостоятельная работа».

         а)  *                              г )   * 

         б)  *                            д)    *

         в)  *                             е)    *

    Дроби. Формулы сокращенного умножения

    Факт 1.
    \(\bullet\) Множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\) – это числа \(1, \ 2, \ 3, \ 4 \ \) и т.д.
    \(\bullet\) Множество целых чисел \(\mathbb{Z}\) состоит из натуральных чисел, противоположных им (\(-1, \ -2, \ -3 \) и т.д.) и нуля \(0\).
    \(\bullet\) Рациональные числа \(\mathbb{Q}\) – числа вида \(\dfrac ab\), где \(a\in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}\).   Таким образом, существует включение: \(\mathbb{N}\) содержится в \(\mathbb{Z}\), а \(\mathbb{Z}\) содержится в \(\mathbb{Q}\).  

    Факт 2.
    \(\bullet\) Правила сложения дробей: \[\begin{aligned} &\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}b\\[2ex] &\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}\end{aligned}\] Пример: \(\dfrac {31}6+\dfrac {67}6=\dfrac{31+67}6=\dfrac{98}6\)   \(\bullet\) Правила умножения дробей: \[\dfrac ab\cdot \dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\] Пример: \(\dfrac 47\cdot \dfrac{14}5=\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}\)   \(\bullet\) Правила деления дробей: \[\dfrac ab: \dfrac cd=\dfrac ab\cdot \dfrac dc\] Пример: \(\dfrac 45 :\dfrac 67=\dfrac 45\cdot \dfrac 76\)  

    Факт 2.2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\\[2ex] &{\small{\text{и т.д.}}}\end{aligned}\]

    Дробь. Умножение дробей обыкновенных, десятичных, смешанных

    В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

    Что такое дробь?

    Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного параллелепипеда, площади прямоугольника.

    Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

    Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5/8, 4/5, 2/4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

    Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель – сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

    Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1/4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2/8 от данного отрезка.

    Разновидности дробей

    Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

    Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь – число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

    Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное – больше либо равно 1.

    Что касается десятичных дробей, то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

    Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

    Пример. Представить дробь 721/1000 в десятичной записи.

    Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

    Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

    • разделить числитель на имеющийся знаменатель;
    • в конкретном примере неполное частное – целое;
    • и остаток – числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

    Пример. Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47/5.

    Решение. 47 : 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47/5 = 92/5.

    Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

    • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
    • полученное произведение прибавляется к числителю;
    • результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

    Пример. Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 98/10.

    Решение. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 – числитель.

    Ответ: 98/10.

    Умножение дробей обыкновенных

    Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателями не отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

    Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе – это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

    Пример. Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20/18.

    Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5/9.

    Умножение дробей десятичных

    Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

    • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
    • нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
    • подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
    • в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
    • если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

    Пример. Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

    Решение.

    Умножение смешанных дробей

    Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

    • перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
    • найти произведение числителей;
    • найти произведение знаменателей;
    • записать получившийся результат;
    • максимально упростить выражение.

    Пример. Найти произведение 4½ и 62/5.

    Умножение числа на дробь (дроби на число)

    Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить натуральное число на дробь.

    Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

    • записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
    • найти произведение, несмотря на запятую;
    • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

    Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

    Пример. Вычислить произведение 5/8 и 12.

    Решение. 5/8 * 12 = ( 12)/8 = 60/8 = 30/4 = 15/2 = 71/2.

    Ответ: 71/2.

    Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

    Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

    Пример. Найти произведение 95/6 и 9.

    Решение. 95/6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9)/6 = 81 + 45/6 = 81 + 73/6 = 881/2.

    Ответ: 881/2.

    Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

    Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

    Пример 1. Найти произведение 0,065 и 1000.

    Решение. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

    Ответ: 65.

    Пример 2. Найти произведение 3,9 и 1000.

    Решение. 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

    Ответ: 3900.

    Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

    Пример 1. Найти произведение 56 и 0,01.

    Решение. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

    Ответ: 0,56.

    Пример 2. Найти произведение 4 и 0,001.

    Решение. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

    Ответ: 0,004.

    Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

    Умножение дробей: определение, виды, примеры

    Умножение дробей: Дробь обозначает часть целого. Когда мы делим целое на равные части, то каждая часть называется дробью. Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя. В повседневной жизни мы используем основные операции с дробями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.

    Мы знаем, что умножение известно как повторяющееся сложение.Мы можем умножить дробь на на дробь или на целое число. Есть несколько правил умножения дробей. В этой статье мы подробно изучим их один за другим.

    Что такое дробь?

    Дробь — это число, представляющее часть целого. Целое может быть одним объектом или несколькими объектами. Дробь записывается как \(\frac{x}{y},\), где \(x\) и \(y\) — целые числа, а \(y≠0.\) Числа, такие как \(\frac{ 1}{4},\frac{2}{5},\frac{4}{9},\frac{{11}}{7}\) известны как дроби.

    Например: Нарисуйте круг любого подходящего радиуса. Затем разделите круг на четыре равные части (сектора). Каждая равная часть считается как \(\frac{1}{4}.\)

    Теперь число под чертой дроби называется знаменателем. Он говорит нам, на сколько равных частей делится целое. Число над чертой называется числителем. Он говорит нам, сколько равных частей взято или учтено. Взгляните на рисунок.

    Если четыре части из семи равных частей круга заштрихованы, мы говорим, что четыре седьмых \(\frac{4}{7}\) круга заштрихованы, три седьмых части круга не закрашены.

    Изучите концепции 11-го экзамена CBSE

    Точно так же, если пять частей из семи равных частей круга заштрихованы, мы говорим, что пять седьмых \(\frac{5}{7}\) круга заштрихованы, две седьмые части круга не закрашены.

    Изучение концепций экзамена на Embibe

    Типы дробей

    Существуют разные виды дробей . Давайте разберемся с каждым типом.

    Правильные дроби

    Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью.   Например, \(\frac{3}{4},\frac{7}{{10}},\frac{1}{4},\frac{3}{7},\) и т. д. все правильные дроби.  

    Значение правильной дроби всегда меньше \(1.\)

    Неправильные дроби

    Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью. Например, \(\frac{7}{4},\frac{{13}}{5},\frac{{11}}{6},\frac{{23}}{7}\) д., все неправильные дроби.

    Смешанные фракции

    Сочетание целого числа и правильной дроби называется смешанной дробью. Например, \(2\frac{2}{4},6\frac{5}{{10}},5\frac{1}{5},6\frac{2}{{13}} \) и т. д., все смешанные дроби.

    Практика 11-го экзамена CBSE Вопросы

    Умножение дробей

    Умножение известно как повторяющееся сложение. Давайте посмотрим на его графическое изображение.

    Дробь \(\frac{2}{3}\) повторяется четыре раза, это сложение можно записать проще как \(4 \times \frac{2}{3}.\)
    Дробь может умножить на целое число или дробь.

    Умножение дроби на целое число

    Умножение дроби на целое число означает   умножение целого числа на числитель дроби с сохранением знаменателя . После умножения упростите дробь, если требуется, чтобы получить произведение в простейшей форме.

    Например: \(\frac{3}{7} \times 5 = \frac{{15}}{7}\)
    Здесь дробь \(\frac{{15}}{7}\) равна в своей простейшей форме как HCF числителя, а знаменатель равен \(1.\)

    Например: \(\frac{2}{5} \times 10 = \frac{{20}}{5}\)
    Здесь \(\frac{{20}}{5}\) отсутствует его простейшая форма как HCF числителя и знаменателя не \(1.\)
    HCF\((20, 5)=5\)

    Теперь мы можем уменьшить дробь, разделив числитель и знаменатель на этот HCF.
    Итак, \(\frac{{20 \div 5}}{{5 \div 5}} = \frac{4}{1} = 4\)
    \(\следовательно \frac{2}{5} \ умножить на 10 = 4\)

    Попытка 11-го экзамена CBSE Пробные тесты

    Умножение дроби на дробь

    При умножении двух дробей числитель и знаменатель умножаются отдельно.Числитель первого умножается на числитель второго, а знаменатель первого умножается на знаменатель второго. Наконец, мы сократим дробь до ее наименьшего члена. Дробь находится в наименьшей форме, если \(1\) является единственным общим множителем между ее числителем и знаменателем.

    Умножение правильной дроби на правильную дробь

    Давайте научимся умножать правильную дробь на правильную дробь.
    Например, \(\frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{{2 \times 6}}{{3 \times 7}} = \frac{{12} {{21}}\)

    Здесь \(\frac{{12}}{{21}}\) не является простейшей формой, поскольку HCF числителя и знаменателя не равен 1.
    HCF\((12, 21)=3\)
    Теперь мы можем уменьшить дробь, разделив числитель и знаменатель на этот HCF.
    Таким образом, \(\frac{{12 \div 3}}{{21 \div 3}} = \frac{4}{7}\)
    \(\frac{2}{3} \times \frac{ 6}{7} = \фракция{4}{7}\)

    Умножение правильной дроби на неправильную дробь

    Научимся умножать правильную дробь на неправильную.
    Например, \(\frac{4}{5} \times \frac{{15}}{8}\)
    Здесь \(\frac{4}{5}\) — правильная дробь и \( \frac{{15}}{8}\) — неправильная дробь.
    \( = \frac{{4 \times 15}}{{5 \times 8}} = \frac{{60}}{{40}}\)

    Здесь \(\frac{{60}}{{40}}\) не является простейшей формой, так как HCF числителя и знаменателя не является \(1.\)
    HCF\((60, 40 )=20\)
    Теперь мы можем уменьшить дробь, разделив числитель и знаменатель на этот HCF.
    Таким образом, \(\frac{{60 \div 20}}{{40 \div 20}} = \frac{3}{2}\)
    Таким образом, \(\frac{4}{5} \times \ frac{{15}}{8} = \frac{3}{2}\)

    Практические экзаменационные вопросы

    Умножение неправильной дроби на неправильную дробь

    Например, \(\frac{5}{3} \times \frac{{12}}{7}\)
    Теперь, умножив имеющиеся числители и знаменатели,
    \(\frac{{5 \times 12}}{{3 \times 7}} = \frac{{60}}{{21}}\) Здесь \(\frac{{60}}{{21}}\) не в простейшей форме поскольку HCF числителя и знаменателя не равен 1.
    HCF\((60, 21)=3\)
    Таким образом, \(\frac{{60 \div 3}}{{21 \div 3}} = \frac{{20}}{7}\)
    Итак, \(\frac{5}{3} \times \frac{{12}}{7} = \frac{{20}}{7}\)

    Умножение смешанной дроби на неправильную дробь

    Если смешанная дробь и неправильная дробь умножаются друг на друга, нам нужно преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь.
    Например, \(2\frac{3}{7} \times \frac{{14}}{3}\)
    Преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь.
    \(2\frac{3}{7} = \frac{{2 \times 7 + 3}}{7} = \frac{{14 + 3}}{7} = \frac{{17}}{ 7}\)

    Теперь, перемножив числители и знаменатели обеих дробей, мы имеем
    \(\frac{{17}}{7} \times \frac{{14}}{3} = \frac{{17 \times 14 }}{{7 \times 3}} = \frac{{238}}{{21}}\)

    Здесь \(\frac{{238}}{{21}}\) не является простейшей формой.

    HCF\((238, 21)=7\)
    Таким образом, \(\frac{{238 \div 7}}{{21 \div 7}} = \frac{{34}}{3}\)
    \(2\frac{3}{7} \times \frac{{14}}{3} = \frac{{34}}{3}\)

    Умножение смешанной дроби на правильную дробь

    Давайте возьмем пример и посмотрим, как мы умножаем смешанную дробь и правильную дробь.
    \(3\frac{2}{5} \times \frac{5}{8}\)
    Преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь.
    \(3\frac{2}{5} = \frac{{17}}{5}\)
    Теперь, умножив числители и знаменатели обеих дробей, мы получим
    \(\frac{{17 \ раз 5}}{{5 \times 8}} = \frac{{85}}{{40}}\)
    Здесь \(\frac{{85}}{{40}}\) не в своем самая простая форма.
    HCF\((85, 40)=5\)
    Таким образом, \(\frac{{85 \div 5}}{{40 \div 5}} = \frac{{17}}{8}\)
    Итак, \(3\frac{2}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{{17}}{8}\)

    Умножение смешанной дроби на смешанную дробь

    Перед умножением двух смешанных дробей нам нужно преобразовать их в неправильную дробь.
    Пример: \(1\frac{2}{5} \times 2\frac{2}{3}\)
    Преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь.
    \(1\frac{2}{5} = \frac{{1 \times 5 + 2}}{5} = \frac{7}{5}\)
    \(2\frac{2}{3) } = \frac{{2 \times 3 + 2}}{3} = \frac{8}{3}\) Теперь, умножив числители и знаменатели обеих дробей, мы получим
    \(\frac{{ 7 \times 8}}{{5 \times 3}} = \frac{{56}}{{15}}\)
    Здесь дробь \(\frac{{56}}{{15}}\) в своей простейшей форме как HCF числителя, а знаменатель равен \(1.\)

    Умножение дроби с использованием оператора of

    Слово «из» означает умножение   .

    Например, \(\frac{2}{6}\) из \(12\) тортов означает \(4\) тортов, т.е. \(\frac{2}{6} \times 12 = 4.\)

    Свойства умножения дробей

    1. Если ненулевую дробь умножить на \(1\), результатом будет само дробное число.

    Пример: \(\frac{3}{8} \times 1 = \frac{3}{8}\)

    2. Если ноль умножить на ненулевую дробь, то результат равен нулю.

    Пример: \(\frac{3}{8} \times 1 = \frac{3}{8}\)

    3. Произведение дроби на обратную всегда равно \(1.\)

    Пример: \(\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{{2 \times 5}}{{5 \times 2}} = \frac{{10}} {{10}} = 1\) (обратная величина \(\frac{2}{5}\) равна \(\frac{5}{2}\))

    Решенные примеры – умножение дробей

    В.1. Решите \(\frac{2}{3} \times \frac{9}{{10}}.\)
    Ответ: Учитывая \(\frac{2}{3} \times \frac {9}{{10}}\)
    \( = \frac{{2 \times 9}}{{3 \times 10}} = \frac{{18}}{{30}}\)
    HCF\ ((18, 30)=6\)
    Итак, \(\frac{{18 \div 6}}{{30 \div 6}} = \frac{3}{5}\)
    \(\следовательно \ frac{2}{3} \times \frac{9}{{10}} = \frac{3}{5}\)

    В.2. Упростить \(5\left( {\frac{8}{{11}} \times \frac{{22}}{5}} \right).\)
    Ответ: Дано, \(5\left( {\frac{8}{{11}} \times \frac{{22}}{5}} \right)\)
    \( = 5 \times \left( {\frac{8 }{{11}} \times \frac{{22}}{5}} \right)\)
    \( = 5 \times \left( {\frac{8}{1} \times \frac{2} {5}} \right)\)
    \( = 5 \times \frac{{16}}{5}\)
    \( = 16\)
    \(\следовательно 5\left( {\frac{8} {{11}} \times \frac{{22}}{5}} \right) = 16\)

    В.3. Чтобы испечь пирог, необходимо \(1\frac{1}{2}\) стаканов муки. Сколько стаканов муки нужно для выпечки \(6\) лепешек?
    Ответ: Учитывая, что для выпечки торта требуется \(1\frac{1}{2}\) чашек муки.
    Количество стаканов муки, необходимое для выпечки \(1\) пирога\( = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)
    Итак, количество стаканов муки, необходимое для выпечки испечь \(6\) пирожных\( = \frac{3}{2} \times 6 = 9\) чашек

    В.2}\)

    Q.5. В классе \(20\) учеников, из них \(\frac{1}{4}\) мальчиков. Узнать количество мальчиков в классе?
    Ответ: Учитывая, что в классе \(20\) учеников, и \(\frac{1}{4}\) из них мальчики.
    Здесь нам нужно найти \(\frac{1}{4}\) из \(20\), что означает \(\frac{1}{4} \times 20 = 5\)
    Следовательно, количество мальчиков в классе 5.

    Попытка пробных тестов

    Резюме

    В этой статье мы рассмотрели определение и виды дробей, умножение дроби на целое число, умножение разных видов дробей и т.д.

    Часто задаваемые вопросы об умножении дробей

    В.1. Как умножить смешанные дроби?
    Ответ: Перед умножением двух смешанных дробей нам нужно преобразовать их в неправильную дробь.
    Пример: \(1\frac{1}{5} \times 5\frac{2}{3}\)
    Преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь.
    \(1\frac{1}{5} = \frac{6}{5},5\frac{2}{3} = \frac{{17}}{3}\) Теперь, умножая числители и знаменатели обеих дробей у нас есть,
    \(\frac{{6 \times 17}}{{5 \times 3}} = \frac{{102}}{{15}}\)
    Здесь дробь \(\frac{{102}}{{15}}\) не является простейшей формой HCF числителя, а знаменатель равен \(3.\)
    Теперь мы можем уменьшить дробь, разделив числитель и знаменатель на этот HCF.
    Итак, \(\frac{{102 \div 3}}{{15 \div 3}} = \frac{{34}}{5}\).
    \(\следовательно 1\frac{1}{5} \times 5\frac{2}{3} = \frac{{34}}{5}\)

    Q.2. Как умножить дробь на целое число?
    Ответ: Умножение дроби на целое число означает умножение целого числа на числитель дроби с сохранением знаменателя.После умножения упростите дробь, если требуется, чтобы получить произведение в простейшей форме.
    Например: \(\frac{3}{7} \times 6 = \frac{{18}}{7}\)
    Здесь дробь \(\frac{{18}}{7}\) равна в простейшей форме как HCF числителя, а знаменатель равен \(1.\)

    В.3. Как умножить дробь на дробь?
    Ответ: При умножении двух дробей числитель и знаменатель умножаются отдельно.Числитель первого умножается на числитель второго. Затем знаменатель первого умножается на знаменатель второго. Наконец, мы сократим дробь в ее наименьшем члене.
    Например, \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{7} = \frac{{2 \times 1}}{{3 \times 7}} = \frac{2}{ {21}}\)

    Q.4. Что мы получим в результате умножения дроби на обратную ей?
    Ответ: Если мы умножим дробь на обратную, в результате получится \(1\).
    Возьмем дробь \(\frac{3}{4}.\)
    Обратное число \(\frac{3}{4}\) равно \(\frac{4}{3}.\)
    Теперь произведение \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{4}{3} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1\)

    В.5 Что мы получим в результате, если умножим дробь на \(1\) ?
    Ответ: Если ненулевую дробь умножить на \(1\), результатом будет само дробное число.
    Пример: \(\frac{5}{8} \times 1 = \frac{5}{8}\)

    Некоторые другие полезные статьи Embibe приведены ниже:

    Мы надеемся, что эта статья об умножении дробей принесла большую пользу вашим знаниям.Если у вас есть какие-либо вопросы или предложения, не стесняйтесь записывать их в разделе комментариев ниже. Мы будем рады услышать от вас. Embibe желает вам удачи!

    394 Просмотров

    Каковы правила умножения и деления дробей?

    ART###Чтобы умножить дроби на , все, что вам нужно сделать, это умножить на числители и знаменатели и упростить результат. Чтобы разделить дроби , вам просто нужно поменять местами числитель и знаменатель одной из дробей , умножить на другую дробь и упростить.

    Перейдите по этой ссылке, чтобы получить полный ответ

    Каковы вообще 3 шага умножения дробей?

    Три Простые Шаги Требуются Умножным Две Фракции :

    :

    0 Шаг 1: Умножьте Числители от каждой фракции друг от друга (числа сверху). Результат является числителем ответа.
  • Шаг 2: Умножьте знаменатели каждой дроби друг на друга (числа внизу)….
  • Шаг 3 : Упростите или сократите ответ.
  • Ну а по какому правилу умножать дробь на целое число? Чтобы умножить целое число на дробь, найдите общее количество «кусочков» (путем умножения). Это означает, что вы умножаете целое число и верхнее число (числитель) дроби. оказывается целым числом 6. Пример 2.

    Тогда в чем разница между умножением и делением дробей?

    Основное различие между умножением и делением заключается в том, что вы заменяете его на обратное.Обратное число — это то, на что вы умножаете число, чтобы получить 1. Например, 5/3 , разделенное на 2/3, будет таким же, как 5/3 * 3/2.

    Как скрестить дроби с разными знаменателями?

    Что ж, чтобы перекрестить, умножить их, умножить числитель первой дроби на знаменатель второй дроби , затем записать это число. Затем вы умножаете числитель второй дроби на знаменатель первой дроби .

    Ответы на 10 связанных вопросов

    Как упрощать и умножать дроби?

    Первый шаг при умножении дробей на состоит в том, чтобы умножить на два числителя. Второй шаг — умножить на два знаменателя. Наконец, упрощают новые дроби . Дроби также можно упростить перед умножением на путем вынесения общих множителей в числителе и знаменателе.

    Как упростить дроби?

    Вы можете упростить дробь , если числитель (верхнее число) и знаменатель (нижнее число) можно разделить на одно и то же число.Шесть двенадцатых можно упростить до половины, или 1 вместо 2, потому что оба числа делятся на 6. 6 входит в число 6 один раз, а 6 входит в число 12 дважды.

    Как складывать дроби?

    Как умножать числа?

    Шаги к умножить , используя Long Умножение

  • Запишите два числа одно под другим в соответствии с местами их цифр. …
  • Умножьте разряда единиц старшего числа на разряд единиц нижнего числа ….
  • Умножьте разряд десятков старшего числа на разряд единиц нижнего числа . …
  • Напишите 0 под цифрой единиц, как показано на рисунке.
  • Почему мы умножаем дроби?

    Что означает Умножить на дробь ? Когда вы умножаете число на дробь , вы находите часть этого числа. Например, если вы умножите 6 на 1/2, вы найдете 1/2 от 6.Это становится немного сложнее, если оба числа представляют собой дроби , но идея остается той же.

    Как решать дроби с целыми числами?

    Как вы объясните деление дробей?

    Дробь является частью целого числа. Он состоит из двух частей – числителя и знаменателя. Деление на дробь на другую дробь равносильно умножению дроби на обратную (обратную) другую.Мы получим обратную дробь , поменяв местами ее числитель и знаменатель.

    В чем сходство и различие умножения и деления дробей?

    1 Ответ эксперта Когда вы делите на дроби , вы используете следующее правило: деление на число равносильно умножению на его обратное число. После применения этого правила у вас есть умножение дробей задача.В приведенном выше примере разделите 4 и 16 на 4, а разделите 9 и 15 на 3.

    Как умножить два уравнения крест-накрест?

    Как скрещивать умноженные отрицательные дроби?

    Умножение дробей

    УМНОЖЕНИЕ

    Тот факт, что умножение на дробь не увеличение стоимости продукта может сбить с толку тех, кто помнит определение умножения, представленного ранее для целых чисел.Это было заявлено, что 4(5) означает, что 5 принимается за дополнение 4 раза. Как же тогда получается, что .1/2(4) равно 2, числу

    ? меньше 4? Очевидно, наша идея умножения должны быть расширены.

    Рассмотрим следующие продукты:

    Обратите внимание, что по мере уменьшения множителя произведение

    уменьшается до тех пор, пока множитель не станет дробь, произведение меньше 4 и продолжается уменьшаться по мере уменьшения дроби. дробь представляет идею «части»: 1/2 (4) означает 1/2 из 4; 1/4(4) означает 1/4 от 4.

    Определение умножения, установленное для целые числа могут быть расширены, чтобы включать дроби. Поскольку 4(5) означает, что 5 нужно использовать 4 раза в качестве сложения можно сказать, что с дробями числитель множителя показывает, во сколько раз числитель множимое должно использоваться как слагаемое. По те же рассуждения, знаменатель множителя говорит, как много раз знаменатель множимого должен использоваться как слагаемое. следующие примеры иллюстрируют использование этой идеи:

    1. Дробь 1/12 умножается на целое число 4 следующим образом:

    Этот пример показывает, что 4 (1/12) совпадает с 4(1)/12.

    Другой способ умножения 1/12 на 4 выглядит следующим образом:

    2. Дробь 2/3 умножается на 1/2 следующим образом:

    , что мы можем упростить деление, показав делимое и делитель как указанный

    Из этих примеров общий сформулировано правило: найти произведение двух или несколько дробей умножают их числители вместе и записать результат как числитель произведения; умножить их знаменатели и записать результат в виде знаменатель продукта; уменьшить ответ на самые низкие условия.

    При использовании этого правила с целыми числами напишите

    каждое целое число в виде дроби с 1 в знаменателе. Например, умножьте 1/12 в 4 раза, как следует:

    При использовании этого правила со смешанными числами переписать все смешанные числа как неправильные. дроби перед применением правила, следующим образом:

    Второй способ умножения смешанных чисел

    использует распределительный закон.Этот закон гласит, что множитель применяется к двухсоставной выражение распределяется по обеим частям. За например, чтобы умножить 6 1/3 на 4, мы можем переписать 6 1/3 как 6 + 1/3. Тогда можно написать задачу как 4(6 + 1/3), а умножение происходит как следует:

    4(6 + 1/3) = 24 + 4/3
    = 25 + 1/3
    = 25 1/3

    Аннулирование

    Вычисления могут быть значительно сокращены путем деления

    вне (ОТМЕНА) факторов, общих для обоих числитель и знаменатель.Мы признаем дробь как указанное деление. мышление 6/9 в качестве указанного деления, мы помним, что мы можем упростить деление на показывая как делимое, так и делитель как указанные продукты их множителей, а затем разделив подобные множители, или отмена. Таким образом,

    Деление множителя 3 в числителе на 3 в

    знаменатель дает следующий упрощенный результат:

    Этот метод наиболее эффективен, если он выполняется

    до любые другие вычисления.Рассмотрим пример,

    Продукт в факторизованной форме равен

    Вместо того, чтобы умножать, а затем

    уменьшать результат 6/30 проще отменить вроде сначала факторы, а именно:

    Аналогично,

    Здесь мы мысленно размножаем 6 в виде 3 x 2,

    и 4 в виде 2 х 2. Отмена является ценным инструмент для сокращения операций с дробями.

    Общее правило может применяться к смешанным номерам

    . просто заменив их неправильными дробями.

    Таким образом,

    Практические задачи. Определите следующие

    продуктов, используя общее правило и отменяя, где возможно:

    Ответы:

    Следующая задача иллюстрирует умножение дробей в практическая ситуация.

    ПРИМЕР: Найдите расстояние между центральными линиями первой и пятой заклепки, соединяющие

    две показанные металлические пластины на рисунке 4-7 (А). РЕШЕНИЕ: Расстояние между двумя соседними заклепками, от центральной линии до центральной, в 4 1/2 раза больше, чем диаметр одного из них.

    Таким образом,

    4 таких пробела между первым и

    пятым заклепки. Таким образом, общее расстояние D равно нашел следующим образом:

    Рис. 4-7.-Применение умножения дробей

    в определение расстояния между заклепками.

    Расстояние 11 дюймов. Практическая задача. Найдите расстояние между центры двух заклепок, показанных на рис. 4-7 (B).

    Ответ:   

    Умножение дробей

    151. По определению умножения умножение на дробь — это взятие части множимого столько раз, сколько одинаковых частей единицы в множителе.(Статья 88.) Теперь знаменатель дроби показывает, на какие части предполагается разделить целостную единицу; а числитель показывает, сколько из этих частей принадлежит данной дроби. Следовательно, при умножении на дробь множимое должно быть разделено на такие части, которые обозначены знаменателем; и затем одна из этих частей должна быть повторена столько раз, сколько требует числитель.

    Предположим, что $a$ нужно умножить на $\frac{3}{4}$.

    Четвертая часть $a$ равна $\frac{a}{4}$.

    Это $3$, умноженное на $\frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}$. (Статья 145 )

    Опять же, предположим, что $\frac{a}{b}$ нужно умножить на $\frac{3}{4}$.

    Одна четвертая часть $\frac{a}{b}$ равна $\frac{a}{4b}$. (Статья 135.)

    Это $3$, умноженное на $\frac{a}{4b}+\frac{a}{4b}+\frac{a}{4b}=\frac{3a}{4b}$, искомое произведение.

    Подобным образом любое дробное множимое можно разделить на части, умножив знаменатель; и одна из частей может повторяться, умножая числитель.Тогда имеем следующее правило:

    152. ЧТОБЫ УМНОЖИТЬ Дроби, ПЕРЕМНОЖИТЕ ЧИСЛИТЕЛИ ВМЕСТЕ, ПОЛУЧИТЕ НОВЫЙ ЧИСЛИТЕЛЬ, И ЗНАМЕНАТЕЛИ ВМЕСТЕ, ПОЛУЧИТЕ НОВЫЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.

    Бывший. 1. Умножьте $\frac{3b}{c}$ на $\frac{d}{2m}$. Произведение $\frac{3bd}{2cm}$.

    2. Умножить $\frac{a + d}{y}$ на $\frac{4h}{m — 2}$. Произведение $\frac{(4ah+4dh)}{(my — 2y)}$.

    153. Метод умножения тот же, когда нужно умножить более двух дробей.

    Перемножьте вместе $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ и $\frac{m}{y}$. Произведение $\frac{acm}{bdy}$.

    Для ix $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$ равно последнему артикулу $\frac{ac}{bd}$, а это в $\frac{m}{y }$ равно $\frac{acm}{bdy}$.

    2. Мульт. $\frac{3 + b}{n}, \frac{1}{h}$ и $\frac{d}{r + 2}$.

    154. Умножение иногда можно сократить, отбрасывая равные множители из числителей и знаменателей.

    1. Умножьте $\frac{a}{r}$ на $\frac{h}{a}$ и $\frac{d}{y}$.Произведение $\frac{dh}{ry}$.

    Здесь а, находящееся в одном из числителей и в одном из знаменателей, может быть опущено. Если его сохранить, произведение будет $\frac{adh}{ary}$. Но это снижено до более низких сроков, согласно ст. 142, станет как раньше $\frac{dh}{ry}$.

    Необходимо, чтобы множители, отбрасываемые из числителей, были в точности равны тем, которые отбрасывались из знаменателей. В последнем примере существо в двух числителях и только в одном знаменателе должно быть сохранено в одном из числителей.

    2. Умножьте $\frac{a + d}{y}$ на $\frac{my}{ah}$. Произведение $\frac{am + dm}{ah}$.

    Здесь, хотя одна и та же буква а стоит и в одном из числителей, и в одном из знаменателей, но поскольку ее нет в каждом члене числителя, ее нельзя сокращать.

    3. Умножьте $\frac{am + d}{h}$ на $\frac{h}{m}$ и $\frac{3r}{5a}$.

    Если при выполнении этих сокращений обнаружится какая-либо трудность, то лучше произвести умножение, не опуская ни одного из множителей; и впоследствии сократить произведение до более низких условий.

    155. При перемножении дроби и целого числа числитель дроби умножается на целое число. Знаменатель не меняется; кроме случаев, когда деление знаменателя заменено умножением числителя, согласно ст. 136.

    Таким образом, $a\cdot\frac{m}{y} = \frac{am}{y}$. Для $a = \frac{a}{1}$; и $\frac{a}{1}\cdot\frac{m}{y} = \frac{am}{y}$.

    Итак, $r\cdot\frac{x}{d}\cdot\frac{h + 1}{3} = \frac{hrx + rx}{3d}$.И $a\cdot\frac{1}{b} = \frac{a}{b}$. Следовательно,

    156. ДРОБЬ УМНОЖАЕТСЯ НА ВЕЛИЧИНУ, РАВНУЮ ЕЕ ЗНАМЕНАТЕЛЮ, BT ОТНОСЯ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ.

    Таким образом, $\frac{a}{b}\cdot b = a$. Для $\frac{a}{b}\cdot b = \frac{ab}{b}$. Но буква $b$, стоящая и в числителе, и в знаменателе, может быть опущена (статья 142).

    Итак, $\frac{3m}{a — y}\cdot(a — y) = 3m$.

    По такому же принципу дробь умножается на любой множитель в знаменателе, путем вычитания этого множителя.

    Таким образом, $\frac{a}{by}\cdot y = \frac{ay}{by}= \frac{a}{b}$. И $\frac{h}{24}\cdot 6 = \frac{h}{4}$.

    157. Из определения умножения на дробь следует, что то, что обычно называют составной дробью , есть произведение двух или более дробей. Таким образом, $\frac{3}{4}$ из $\frac{a}{b}$ равно $\frac{3}{4}\cdot\frac{a}{b}$. Ибо $\frac{3}{4}$ из $\frac{a}{b}$ есть $\frac{1}{4}$ из $\frac{a}{b}$, взятое трижды, т.е. , $\frac{a}{4b}+\frac{a}{4b}+\frac{a}{4b}$.Но это то же самое, что $\frac{a}{b}$, умноженное на $\frac{3}{4}$. (Статья 151.)

    Следовательно, приводить сложную дробь к простой, это то же самое, что умножать дроби друг на друга.

    Бывший. 1. Уменьшите $\frac{2}{7}$ из $\frac{a}{b+2}$. Ответ $\frac{2a}{7b+14}$.

    2. Сократите $\frac{2}{3}$ из $\frac{4}{5}$ из $\frac{b + h}{2a — m}$. Ответ $\frac{8b + 8h}{30a — 15m}$.

    3. Сократите $\frac{1}{7}$ из $\frac{1}{3}$ из $\frac{1}{8 — d}$.Ответ $\frac{1}{168 — 21d}$.

    158. Выражение $\frac{2}{3}a, \frac{1}{5}b, \frac{4}{7}y, \& c$. эквивалентны $\frac{2a}{3}, \frac{b}{5}, \frac{4y}{7}$. Для $\frac{2}{3}a$ это $\frac{2}{3}$ числа a, что равно $\frac{2}{3}\cdot a=\frac{2a}{3 }$.(Статья 155.)

    Умножение и деление рациональных выражений — Высшее — Алгебраические дроби — OCR — GCSE Maths Revision — OCR

    Метод умножения дробей состоит в том, чтобы умножить числители вместе, умножить знаменатели вместе, а затем при необходимости сократить.

    Метод деления дробей состоит в том, чтобы оставить первую дробь такой же, превратить знак деления в умножение и перевернуть вторую дробь вверх ногами. Это известно как умножение на обратное. Затем сумма становится умножением двух дробей, что делается с использованием метода, описанного выше.

    Умножение и деление рациональных выражений работает с использованием тех же методов.

    Умножение рациональных выражений

    Чтобы умножить два рациональных выражения, умножьте числители и знаменатели вместе.2}\]

    Обратите внимание, что ответ один и тот же независимо от того, делятся ли общие множители первыми или последними.2}{2}\]

    Нет общих множителей, поэтому это окончательный ответ.

    Сосредоточьтесь на дробях: наглядная модель для обучения умножению и делению дробей

    Есть несколько утверждений из начальной школы по математике, которые, кажется, навсегда запечатлелись в умах взрослых. Два из них относятся к умножению и делению дробей. Для умножения взрослые обычно вспоминают правило: «Умножь верхние числа и умножь нижние числа». Для деления часто вспоминают рифму: «Не надо гадать, почему, просто инвертируй и умножай.В этом блоге объясняются причины правил умножения и деления дробей и почему понимание важно.

    Стремление использовать визуальные модели для обеспечения понимания математических идей и навыков, похоже, предлагает множество предложений, которые можно применять во всех возможных ситуациях, связанных с умножением и делением дробей. И все же этот автор часто видит неудачу в использовании этих наглядных моделей из-за отсутствия острой необходимости учить умножению и делению дробей.Обычный комментарий звучит примерно так: «Почему важно знать, как умножать или делить дроби?» Очевидные реальные приложения умножения и деления дробей включают проценты (скидки, комиссионные и процентные ставки), но есть множество неизвестных случаев, когда цифровые алгоритмы работают с операциями, связанными с дробями. Важность знания того, как выполнять операции, возможно, уменьшилась, но существует большая потребность в развитии понимания, лежащего в основе навыков.

    Вычислительное мышление

    Вычислительное мышление — это одно из выражений, используемых для описания обучения, которое помогает учащимся думать и решать проблемы так, как их обрабатывает и решает компьютер. Это обучение позволяет учащимся быть компетентными в написании компьютерного кода, и эти коды становятся цифровыми алгоритмами. В вычислительном мышлении слишком много компонентов, чтобы обсуждать их в этом блоге, но анализ статей, относящихся к теме 1 , показывает, что хороший код должен применяться во всех случаях ситуации.Например, подход, используемый для единичной дроби, должен быть таким же, как для кратной дроби и для смешанного целого числа или дроби. Приведенные ниже примеры иллюстрируют единый подход к обучению как умножению, так и делению, а также ситуации внутри каждой операции.

    Умножение дробей

    Можно использовать модели множества, длины или числовой линии для некоторых ситуаций, связанных с умножением или делением дробей. Однако наиболее универсальным визуальным представлением является массив.В частности, лучше всего использовать форму площади массива, как показано справа, для целого числа пример 4 на 6.

    При умножении дробей с использованием модели массива есть две основные формы: одна множитель является дробью или оба множителя являются дробями.

    Умножение, когда один множитель представляет собой дробь

    В приведенном ниже примере показана площадь 1 / 4 на 5.

    В этом примере заштрихована четвертая часть каждого целого.Ответ можно найти, подсчитав количество четвертей или переставив четверти так, чтобы они покрывали одно целое плюс дополнительную четверть, как показано ниже. Ответ (продукт) 5 / 4 .

    Ниже приведен аналогичный пример с использованием неединичной дроби 3 / 4 . Подсчет количества заштрихованных четвертей предполагает, что окончательный ответ находится путем умножения числителя (3) на целое число (5).

    Ответ здесь 15 / 4 при выражении в виде неправильной дроби или 3 3 / 4 при выражении в виде смешанного числа.

    Умножение, когда оба множителя являются дробями

    Последовательность изображений ниже показывает шаги, чтобы найти ответ на 2 / 3 на 2 / 5 .

    Первый шаг показывает одно целое. На втором этапе это целое делится на трети, и две из этих третей закрашиваются желтым цветом, чтобы показать 2 / 3 . На третьем шаге все делится на пятые, чтобы сформировать массив три на пять. Две из этих пятых заштрихованы зеленым, чтобы показать 2 / 5 .Светло-зеленая перекрывающаяся область — это продукт (ответ).

    Шаг 1: Шаг 2: Шаг 3:

    В финальном изображении массива исходное целое разделено на пятнадцатые (15 равные части размера). Продукт состоит из четырех частей или 4 / 15 .

    Повторение этих шагов с другими примерами показывает причину правила: «Произведение двух дробей находится путем умножения знаменателей дробей, а затем числителей дробей. Примечание: В учебной программе, которая делает упор на мышление, помогающее учащимся писать цифровые алгоритмы (код), необходимо иметь одну последовательность шагов, которую можно применять ко всем ситуациям. Подход, описанный в предыдущих примерах умножения, и следующие примеры деления помогают достичь этой цели.

    Деление дробей

    Массив является хорошей визуальной моделью для интерпретации деления и демонстрации шагов деления. Как показано в предыдущих примерах, при использовании площадной модели для умножения необходимо знать два фактора (или измерения).Для деления известна площадь (суммарная) и один множитель, а один множитель неизвестен.

    В приведенном ниже примере для иллюстрации деления используются целые числа в контексте области.

    Подрядчики говорят, что у них достаточно газона, чтобы покрыть 860 м 2 . Если газон уложен полосой шириной 5 м,
    , какова длина полосы? Используйте схему, чтобы показать свое мышление.

    Ответ можно найти несколькими способами.Цифровой алгоритм может разбить общую площадь на кратные 5, а затем разделить каждую, чтобы определить цифры в частном (ответ).

    Для дробей полезно рассмотреть дополнительный шаг, который иногда можно использовать для упрощения процесса деления. Для приведенного выше примера диаграмму можно немного изменить, добавив второй прямоугольник (удвоив размеры и площадь). Это может облегчить деление, поскольку известное измерение теперь равно 10 м, как показано ниже. Независимо от того, проще ли это, именно такой подход используется при делении дробей.

    В основе этого подхода лежит алгебраическое мышление, использующее принцип уравновешивающих уравнений. В частности, равные, умноженные на одно и то же число, остаются равными.

    Деление, когда один множитель представляет собой дробь

    Для описания приведенного ниже примера можно использовать 2 уравнения:

    Используя описанную выше процедуру, можно добавить больше копий прямоугольника, чтобы упростить вычисления. . На приведенной ниже диаграмме видно, что 3 копии исходного прямоугольника дают известный размер 1 м.

    Деление на дробную часть можно понять, задав такие вопросы, как «Сколько третей в числе 8?» Это приемлемая альтернатива, но она не работает, когда делитель не является дробью. Мы должны помнить, что вычислительное мышление, которое приводит к хорошему компьютерному коду, должно работать во всех возможных примерах. Следующее показывает, как вышеприведенное мышление применимо, когда делитель представляет собой неединичную дробь 2 / 3 .

    2 уравнения для следующей ситуации:

    Для этого примера 3 копии исходного прямоугольника дают:

    В этом примере необходимо разделить на два.Следовательно, неизвестное измерение равно 12 м. Таким образом, чтобы найти частное, необходимо умножить на три (знаменатель), а затем разделить на два (числитель). Повторение этих шагов с другими примерами для ситуаций, когда одно или оба измерения являются дробями, усиливает шаблон: «Когда мы делим на дробь, мы всегда умножаем на знаменатель, а затем делим на числитель». Внимательно изучая содержание, обсуждаемое в этом блоге, легко увидеть ценные рассуждения за механическим, бессмысленным лепетом, который большинство из нас вспоминает при умножении и делении дробей.

    Пространство не позволяет полностью обсудить каждый тип задач на умножение или деление. Но мы все должны понимать, что из-за развития технологий действительно больше нет необходимости понимать все отдельные процедуры, которые когда-то требовались. Вместо этого цель состоит в том, чтобы понять и обсудить хорошие общие математические процедуры, чтобы в будущем учащиеся могли писать свои собственные алгоритмы, используя простой компьютерный код.

     

    1 Крыло, Жаннетт (2014).«Вычислительное мышление приносит пользу обществу». Блог социальных проблем вычислительной техники, посвященный 40-летию .

     

    Умножение дробей — Дениз Гаскинс, «Поиграем в математику»

    Нажмите, чтобы прочитать предыдущие сообщения в этой серии: Понимание математики, часть 1: культурная проблема ; Понимание математики, часть 2: каково ваше мировоззрение? ; Понимание математики, часть 3: есть ли разница? ; и Понимание математики, часть 4: площадь прямоугольника .

    В этом посте мы рассмотрим второе из трех математических правил, которые большинство из нас выучило в средней школе.

    • Чтобы умножить дроби, умножьте верхние части ( числители ), чтобы получить верхнюю часть ответа, и умножьте нижние части ( знаменатели ), чтобы получить нижнюю часть ответа.

    Инструментальное понимание: математика как инструмент

    Дроби сбивают с толку почти всех. На самом деле дроби, вероятно, вызывают у детей (и взрослых) больше математической фобии, чем любая другая тема до алгебры.

    Дети начинают изучать дроби, раскрашивая или вырезая бумажные фигуры, а их интуиция формируется на основе опыта употребления таких продуктов, как бутерброды или пицца. Но вскоре абстракция письменных вычислений вырисовывается, чтобы поглотить интуитивное понимание.

    Классы старших классов начальной и средней школы посвящают много часов работе с дробями, и все равно учащиеся путаются. В отчаянии родители и учителя прибегают к бессмысленным мнемоническим рифмам, которые могут застрять в памяти ребенка на достаточно долгое время, чтобы пройти тест.

    Семейство CrissCross Applesauce — это лишь один из многих мнемонических трюков с дробями, которые вы можете найти в Интернете. Для получения дополнительной информации посетите сайт NixTheTricks.com.

    Реляционное понимание: математика как связанная система

    Помните, как мы исследовали область прямоугольной столешницы ?

    Теперь давайте увеличим наш прямоугольник. Представьте, что вы увеличиваете нашу виртуальную сетку, чтобы показать крупным планом одну квадратную единицу, например сковороду с пирожными на нашем столе. И мы можем представить себе деление этого квадрата на более мелкие дробные части.Таким образом, мы можем видеть, что пять восьмых квадратной единицы выглядят как сковорода с пирожными, разрезанная на полоски, но с несколькими отсутствующими полосками:

    . Одна партия пирожных — это одна квадратная единица, но часть партии уже съедена. Теперь у нас дробные брауни: пять восьмых сковороды.

    Но что, если у нас нет даже этих пяти восьмых кастрюли? Что, если дети пройдут через кухню и схватят несколько кусочков, и теперь все, что у нас есть, это три четверти пяти восьмых?

    3/4 от 5/8: мы можем сделать часть дроби, разрезав другую сторону.Мы разрезали полоски на четыре части, и дети съели по одной части каждой полоски.

    Сколько у нас осталось оригинального пирожного? Есть три ряда по пять штук в каждом ряду, всего осталось 3 × 5 = 15 штук — это числитель нашего ответа. А с кусочками такого размера потребуется четыре ряда по восемь в каждом ряду (4 × 8 = 32), чтобы заполнить всю сковороду — это наш знаменатель, количество кусочков во всей партии пирожных. Итак, три четверти от пяти восьмых — это небольшой прямоугольник из порционных кусочков.

    Сравните кусочки, которые у нас остались, с исходной партией. Каждое из чисел в расчете дроби имеет значение. Сможете ли вы найти их всех на картинке?

    Обратите внимание, что в дробях 3/4 и 5/8 не было ничего особенного, за исключением того, что числа были достаточно малы для удобства иллюстрации. Мы могли бы представить себе аналогичный подход к любой задаче на умножение дробей, хотя конечные кусочки могут оказаться крохами.

    Конечно, дети не будут всю оставшуюся жизнь рисовать кастрюльки для каждой задачи на умножение дробей.

    admin

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.