Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа

ГОСТы, СНиПы Карта сайта TehTab.ru Поиск по сайту TehTab.ru	Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Комплексные числа. Мнимая единица. / / Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Формулы. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа. Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица. i 2= — 1 Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой: Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью. Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0). Операции над комплексными числами. На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор. 1.1 Сложение. (Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов) 1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу: . 2. Умножение. (см. векторное произведение векторов) 3. Деление. Определяется просто как обратная операция к умножению. Тригонометрическая форма. Модулем комплексного числа z называется следующая величина: , очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}. Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ. Если представлять каждое комплексное число a+bi как вектор началом в точке (0,0) и концом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие — угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть «правый» угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа). Величина этого ула в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : arg z. Оказывается, что z = ρ(cosφ+isinφ) . Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы: Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа: таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z. Дополнительная информация от TehTab.ru:
Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
TehTab. ru Реклама, сотрудничество: [email protected]	Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Значащие цифры при умножении и делении Учебное пособие

Ravela Da Cruz

HS-PS1-3

При выполнении математических операций над измеряемыми величинами со значащими цифрами (сложение, вычитание, умножение, деление) необходимо соблюдать ряд правил определить значащие цифры результата.

ВВЕДЕНИЕ

Калькуляторы🧮 выполняют именно то, что вы от них хотите, ни больше, ни меньше. Иногда они могут выйти из-под контроля. Предположим, вы умножаете 1,23 на 5,2, вы получаете 6,39. 6, значение, которое игнорирует количество значащих чисел в любом числе 🤔. Использование калькулятора для значащих цифр становится более сложным.

Источник

ОКРУГЛЕНИЕ

Мы должны уметь правильно округлять числа, прежде чем разбираться с техническими особенностями процедур определения значащих цифр в вычисляемом результате. Определите, сколько значащих цифр должно быть в числе, прежде чем округлять его. Получив его, начните округлять до указанного количества цифр слева.

Если число непосредственно справа от последней значащей цифры меньше 5, оно игнорируется, а значение последней значащей цифры остается неизменным. Последняя значащая цифра увеличивается на единицу, если число непосредственно справа от нее больше или равно 5.

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Плотность объекта определяется путем умножения его массы на его объем. Разделите массу 32,46 г на объем 10,7 см3. На калькуляторе результат будет:

D = m/V = 37,46 г / 12,7 см³ = 3,03364486299 г/см³

Значение измерения массы содержит четыре значащих числа, а значение измерения объема — только три. Ответ следует округлить до того же количества значащих цифр, что и измерение с наименьшим количеством значащих цифр в задачах на умножение и деление.

Это правило дает плотность 3,033 г/см³ с тремя значащими числами, как и при измерении объема. То же самое и с умножением значащих цифр.

Источник

ИСПОЛЬЗУЙТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ЗНАЧИМЫЕ ПРАВИЛА ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

• Подсчитайте количество значащих цифр в каждом целом числе ТОЛЬКО в десятичной части задачи.
• Прибавьте или вычтите обычным способом.
• В окончательном решении значащих цифр справа от запятой не должно быть больше, чем НАИМЕНЬШЕе количество значащих цифр в любом числе в задаче.

Источник

ВЫВОД:

• Ответ следует округлить до того же числа значащих цифр, что и измерение с наименьшим числом значащих цифр в задачах на умножение и деление.
• Подсчитайте количество значащих цифр в каждой задаче только в десятичной части. В обычном порядке, добавить или вычесть. Не больше значащих цифр справа от десятичной точки в вашем окончательном решении, чем НАИМЕНЬШЕ количество значащих цифр в любом числе в задаче.

Часто задаваемые вопросы:

1. Каково правило значащих цифр при умножении?

Используйте следующее правило для умножения и деления: Количество значащих цифр в ответе определяется НАИМЕНЬШИМ числом значащих цифр в любом числе в задаче.

2. Добавляете ли вы значащие цифры при умножении?

Нет, мы не добавляем значащие цифры при умножении.

Мы надеемся, что вам понравился этот урок, и вы узнали что-то интересное о Значащие цифры в умножении и делении ! Присоединяйтесь к нашему сообществу Discord, чтобы получить ответы на любые вопросы и пообщаться с другими студентами, такими же, как и вы! Не забудьте загрузить наше приложение, чтобы испытать наши веселые классы виртуальной реальности — мы обещаем, это делает учебу намного веселее! 😎

ИСТОЧНИК:

1. Значимые цифры при умножении и делении.
   https://www.ck12.org/c/chemistry/significant-figures-in-multiplication-and-division/lesson/Uncertainty-in-Multiplication-and-Division-CHEM/. По состоянию на 18 февраля 2022 г.

Калькулятор значащих цифр

Использование калькулятора

Сложение, вычитание, умножение и деление значащих цифр. Введите числа, экспоненциальное представление или электронное обозначение и выберите математический оператор. Калькулятор вычисляет и округляет ответ до правильного количества значащих цифр (сиг-фиг). 93 и 3.5е3.

Подробнее о вычислениях со значащими цифрами читайте ниже.

Что такое значимые цифры?

Значащие цифры — это цифры числа, имеющие значение с точки зрения точности или прецизионности. Эти цифры предоставляют информацию о том, насколько точным может быть расчет или измерение.

Правила значащих цифр

1. Ненулевые цифры всегда значащие
2. Нули между ненулевыми цифрами всегда значимы
3. Ведущие нули никогда не являются значащими
4. Нули в конце имеют значение, только если число содержит десятичную точку

Примеры значимых рисунков

3

2, 6, 2

6

5, 2, 0, 0, 3, 8

4

3, 8, 0, 0

3

70003 , 8, 8

4

7, 8, 8, 0

5

7, 8, 8, 0, 0

Правила сложения и вычитания со значащими цифрами

1. Найти позицию последней значащей цифры в наименее определенном числе
2. Добавьте и/или вычтите числа в вашем расчете, как обычно
3. Округлите ответ до наименее значимой позиции, которую вы нашли на шаге 1

Пример: сложение и вычитание со значащими цифрами

На одном из этапов лабораторного задания по химии «Приготовим латте» необходимо учитывать объем жидкости в латте.

Вы начинаете с 7 унций. молока, а ваша эспрессо-машина использует 2,5 унции. воды, чтобы сделать 2 унции. шот эспрессо — остальные 0,5 унции. остается в шайбе для эспрессо. Наконец, ваш высокотехнологичный парогенератор для молока сообщает вам, сколько воды используется в процессе приготовления на пару, с точностью до 3 знаков после запятой.

Вы готовите эспрессо и видите, что у вас получились идеальные 2 унции. выстрелил. Вы пропариваете и вспениваете молоко, а индикатор пароварки показывает 0,063 унции. воды было использовано в процессе. Вам нужно добавить 2 унции. эспрессо плюс 7 унций. молоко плюс 0,063 унции. пара. Но поскольку это лабораторное задание по химии, вам придется выполнять расчеты со значащими цифрами.

Просмотрев правила сложения и вычитания со значащими цифрами, найдите место последней значащей цифры вашего наименее определенного числа . Ваше молоко и эспрессо имеют объем по одной значащей цифре, занимая 90 153 единицы на 90 154 месте.

Добавление объемов жидкости в вашем латте:

7 унций. молоко + 2 ст. эспрессо + 0,063 унции. вода = 9,063 унции.

9,063 унции. округлить до единиц = 9 унций.

Несмотря на то, что объем жидкости кажется точным до тысячных, его необходимо округлить до единиц, поскольку это наименее значащее разрядное значение. Итак, следуя правилам сложения со значащими цифрами, вы сообщаете, что ваш латте равен 9.унция в объеме.

Правила умножения и деления со значащими цифрами

1. Для каждого числа в вашем расчете найдите количество значащих цифр
2. Умножайте и/или делите числа в своих вычислениях, как обычно
3. Округлите ответ до наименьшего количества значащих цифр, которое вы нашли на шаге 1

Пример: Умножение и деление со значащими цифрами

Словесная задача на тесте по физике звучит так: Морские ученые определили уникального кита, который кричит с частотой 52 герца. Мы знаем, что звук распространяется по воздуху со скоростью около 343 метров в секунду. Учитывая, что звук скорости распространяется в воде в 4,3148688 раз быстрее, чем в воздухе, какова длина волны крика кита на частоте 52 Гц?

Формула для длины волны:

\( \lambda = \dfrac{v}{f} \)

Где
\( \лямбда \) = длина волны в метрах

\( v \) = скорость в метрах в секунду
\( f \) = частота в герцах

Итак, длина волны равна скорости, деленной на частоту. Для этой физической задачи вам нужно умножить скорость звука в воздухе на 4,3148688, чтобы получить скорость звука в воде. Затем разделите это число на 52 Гц, чтобы получить длину волны звуковой волны.

• \( \lambda = \dfrac{v}{f} \)


• \( \lambda = \dfrac{343 \times 4.3148688}{52} \)


• \( \lambda = \dfrac{ 1480}{52}\)


• \(\лямбда = 28,4615384\) метров

Следуя правилам умножения и деления со значащими цифрами, вы должны округлить окончательный ответ до наименьшего количества значащих цифр, учитывая исходные числа. В этом случае 52 имеет наименьшее количество значащих цифр, поэтому вы должны округлить окончательный ответ до 2 цифр.

28,4615384 метра, округленное до 2 знаков = 28 метров. Таким образом, в воде одна длина волны крика кита с частотой 52 Гц составляет 28 метров.

Примечание. Выполнение математических операций со значащими цифрами

Если вы вводите постоянное или точное значение, которое может встречаться в формуле, обязательно укажите правильное количество значащих цифр.

Например, рассмотрим формулу диаметра круга d = 2r, где диаметр в два раза больше длины радиуса. Если вы измерили радиус 2,35, умножьте на 2, чтобы найти диаметр круга: 2 * 2,35 = 4,70

Если вы используете этот калькулятор для расчетов и введете только «2» в качестве константы множителя, калькулятор будет читать 2 как одну значащую цифру. Ваш результирующий расчет будет округлен от 4,70 до 5, что явно не является правильным ответом на расчет диаметра d=2r.

Вы можете думать о константах или точных значениях как о бесконечном количестве значащих цифр или, по крайней мере, столько же значащих цифр, сколько наименее точное число в вашем вычислении.