правила, примеры, как делить целые числа, деление нуля на число

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием «:» или знаком ÷. Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a:b. Результат записывается после знака равно «=». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a:b=c. Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел a и b с частным, равным с, можно представить обратным действием деления с на b  с частным равным а. Если произведение чисел 5 и -7 равна -35, отсюда имеем, что частное (−35):5 равняется -7, а (−35):(−7) с результатом 5.

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель  и произведение. Равенство 6·(−7)=−42 говорит о том, что результаты  (−42):6 и (−42):(−7) равняются -7 и 6 соответственно. При известном произведении 45, а одного из множителей -5, то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Деление целых положительных чисел

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8.

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80+24,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Ответ: 104:8=13.

Пример 2

Найти частное от деления 308 716:452.

Решение

Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:

Ответ: 308 716:452=683.

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения. Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b, то искомое частное получится равным с. Форма записи: a:b=c. После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b·c=a справедливо. Значит, b·c=a. Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b·c=b·c, значит, и b·c=a. Отсюда получаем, что c=a:b. Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b·c=a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b·c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления: чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a:b=a:b, при а и b равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить -92 на -4.

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что -92:-4=-92:-4=92:4=23

Ответ: (−92):(−4)=23.

Пример 4

Вычислить -512: (-32).

Решение

Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.

Ответ: (−512):(−32)=16.

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с.  Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c=a:b.

Чтобы определить смысл деления равенства b·c=a, необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить «-». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a:b=-a:b.

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на -4.

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56:4=14. Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие «-» перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, -14.

Ответ: 56:(−4)=−14.

Пример 5

Выполнить деление -1625 на 25.

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило 

-1625:25=—1625:25=-1625:25=-65

Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500+125, применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: (−1 625):25=−65.

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0:b=0, где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b·c=0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с=0. Отсюда следует, что  частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0:4 или 0:-908. Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0.

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c·0=a. Правило умножения на нуль говорит о том, что c·0=0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c·0=a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c·0=0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если  в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на -9 равен -7. Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (−7)·(−9)=63. Проверка показала, что 63 отлично от 72, значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

правила, примеры, как делить целые числа, деление нуля на число

Данная статья рассказывает о том, как делить без остатка целые числа, то есть нацело. Будут введены термины и обозначения для дальнейшего описания чисел, деление положительных и отрицательных чисел. В итоге произведем проверку вычислений.

Термины и обозначения

При делении целых чисел используются те же термины, что и при описании натуральных чисел.

Определение 1

Делимое – это число, над которым совершают деление.

Делитель – число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Знак деления обозначают двоеточием «:» или знаком ÷. Его расположение после делимого и перед делителем. Запись с использованием символов выглядит так: a:b. Результат записывается после знака равно «=». Если при делении числа а на b получаем с, тогда запись выглядит в виде равенства a:b=c. Деление иначе называют частным.

Деление целых чисел

Между умножением и делением натуральных чисел существует связь. Это связано с тем, что при делении можно найти частное, которое при обратном действии будет считаться множителем. Иначе можно записать, что деление целых чисел служит нахождением одного из целых множителей.

Отсюда делаем вывод, что произведение целых чисел a и b с частным, равным с, можно представить обратным действием деления с на b  с частным равным а. Если произведение чисел 5 и -7 равна -35, отсюда имеем, что частное (−35):5 равняется -7, а (−35):(−7) с результатом 5.

Частное от деления считается целым тогда, когда получается результат без остатка, то есть целое число a должно делиться на число b с целым частным в результате.

Правила деления целых чисел

Смысл деления необходим для утверждения того, что одним из двух множителей является частным, а другой просто множителем. Таким образом не найти неизвестный множитель, имея известный множитель  и произведение. Равенство 6·(−7)=−42 говорит о том, что результаты  (−42):6 и (−42):(−7) равняются -7 и 6 соответственно. При известном произведении 45, а одного из множителей -5, то смысл деления не даст прямого результата другого множителя.

Можно сделать вывод, что необходимо использовать правила, которые позволяют производить деление целых чисел. Они позволят делить целые и натуральные числа.

Деление целых положительных чисел

Целыми положительными числами называют натуральные числа, поэтому деление целых положительных чисел производится, исходя из правил деления натуральных чисел. Рассмотрим несколько примеров для детального просмотра деления целых положительных чисел.

Пример 1

Произвести деление целого положительного 104 на целое положительное 8.

Решение

Для упрощения процесса деления можно представить число 104 в виде суммы 80+24,теперь необходимо применить правило деления суммы на данное число. Получим 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Ответ: 104:8=13.

Пример 2

Найти частное от деления 308 716:452.

Решение

Когда имеем большое число, деление лучше всего производить в столбик:

Ответ: 308 716:452=683.

Правило деления целых отрицательных чисел, примеры

Для формулировки правила необходимо применить рассуждения.

Если необходимо поделить целые отрицательные числа a на b, то искомое частное получится равным с. Форма записи: a:b=c. После чего можно выяснить, чему равна абсолютная величина с.

Исходя из смысла деления равенство b·c=a справедливо. Значит, b·c=a. Благодаря свойствам модуля, можно записать равенство b·c=b·c, значит, и b·c=a. Отсюда получаем, что c=a:b. Абсолютная величина частного от деления равняется частному от деления модулей делимого и делителя.

Для определения знака числа с необходимо выяснить, какие знаки находятся перед делимым и делителем.

Исходя из смысла деления целых чисел, равенство b·c=a справедливо. Правило умножения целых чисел говорит о том, что частное должно быть положительным. Иначе, b·c будет производиться по правилам целых отрицательных чисел. Частное с от деления целых отрицательных целых чисел является положительным числом.

Объединить в правило деления:

чтобы разделить целое отрицательное число на отрицательное, необходимо разделить делимый на делитель по модулю. Эта запись будет выглядеть так a:b=a:b, при а и b равными отрицательным числам.

Рассмотрим несколько примеров деления отрицательных чисел.

Пример 3

Разделить -92 на -4.

Решение

Используя правила деления целых отрицательных чисел, получим, что следует делить по модулю. Получим, что -92:-4=-92:-4=92:4=23

Ответ: (−92):(−4)=23.

Пример 4

Вычислить -512: (-32).

Решение

Для решения необходимо разделить числа по модулю. Деление производится столбиком.

Ответ: (−512):(−32)=16.

Правило деления целых чисел с разными знаками, примеры

Выделим правило деления целых чисел, содержащих разные знаки.

Если делим целое числа a и b с разными знаками, то получаем число с.  Необходимо определить знак получаемого числа. Следует записать c=a:b.

Чтобы определить смысл деления равенства b·c=a, необходимо рассмотреть два варианта. Предположительно существует вариант, когда а – отрицательное, b – положительное или а – положительное, а b – отрициательное. Любой из случаев в итоге имеет отрицательный результат. Следуя из правил умножения, имеем, что b и с отрицательные, тогда произведение будет являться положительным. Если b положительное, с – отрицательное, тогда произведение является отрицательным числом.

Для формулировки применимо правило деления целых чисел с разными знаками. Отсюда получим: чтобы разделить целые числа с разными знаками, необходимо разделить делимое на делитель по модулю, перед полученным результатом поставить «-». Получаем, что a и b являются целыми числами с разными знаками. Это запишем, как a:b=-a:b.

Детально разберем примеры, где необходимо применить правило деления целых чисел с разными знаками.

Пример 5

Разделить 56 на -4.

Решение

Исходя из правила, имеем, что 56 необходимо разделить на 4 по модулю. Значит, получим, что 56:4=14. Для определения знака результата необходимо посмотреть наличие «-» перед делителем и делимым. Если имеется только один знак минуса, то результат запишем как отрицательное значение. То есть, -14.

Ответ: 56:(−4)=−14.

Пример 5

Выполнить деление -1625 на 25.

Решение

Данный пример показывает правильное деление целых чисел с разными знаками. Для этого необходимо применить правило 

-1625:25=—1625:25=-1625:25=-65

Деление числа 1625 можно производить в столбик или с помощью представления его в виде суммы 1500+125, применив правило деления полученной суммы на число.

Ответ: (−1 625):25=−65.

Деление нуля на целое число

Деление нуля на любое целое число рассматривается как отдельная тема, так как имеет свои нюансы. По правилу частное от деления на любое целое число, отличное от нуля, равно нулю. Иначе можем записать, что 0:b=0, где значение числа b отлично от нуля.

Для углубления в правило рассмотрим некоторые пояснения.

Допустим, что результат деления нуля на целое число равен с, тогда равенство b·c=0 считается верным. Произведение в итоге дает ноль тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Если по условию b не равно нулю, тогда множитель с=0. Отсюда следует, что  частное, полученное делением нуля на целое число, отличное от нуля, равняется нулю.

Например, при делении нуля на целое число, частное получаем равное нулю: 0:4 или 0:-908. Оба результаты будут равны нулю.

Не делить на нуль

Деление целого числа на нуль не определяется, поэтому и запрещено производить деление на 0.

Например, если при делении целого числа а на ноль получим число с, то из смысла деления должно быть справедливо равенство c·0=a. Правило умножения на нуль говорит о том, что c·0=0 при любом значении с. Сравнивая оба равенства, получим, что, если делимое анне равно нулю, тогда равенство c·0=a считается неверным. Поэтому можно делать вывод о том, что деление на нуль производить нельзя.

Возможно ли деление нуля на самого себя? Допустим, что при делении получаем целое число с, тогда равенство c·0=0 должно быть верным. Оно считается действительным при любом значении с. Результат деления 0 на 0 принимается любое значение. Для уменьшения многозадачности данный вариант не рассматривается.

Проверка результата деления целых чисел

Проверку осуществляют умножением. Чтобы произвести проверку деления, нужно полученное частное умножить на делитель, если  в результате получается число, равное делимому, тогда результат считается правильным.

Рассмотрим на примере решение с проверкой результата.

Пример 6

Результат деления 72 на -9 равен -7. Произвести проверку данного выражения.

Решение

Выполняем проверку деления. Необходимо произвести умножение полученного частного и делителя, то есть (−7)·(−9)=63. Проверка показала, что 63 отлично от 72, значит действие выполнено неверно.

Ответ: деление выполнено неверно.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Правила деления в математике

Предоставление учащимся инструментов для решения деления с помощью этих сокращений не только делает деление менее сложным, но и делает его похожим на забавную головоломку. Для многих наличие четкого набора правил и структуры помогает прояснить концепцию и помогает учащимся решать уравнения и манипулировать выражениями. Возможность проверки делимости может помочь во многих математических настройках, таких как возможность проверить решение, уменьшить дроби или проверить правильность вычисления.

Каковы правила разделения?

Приступая к разделу о делении, обязательно поделитесь этими правилами с классом и обсудите их во время выступления по математике:

ДЕЛИМОСТЬ НА 2

Число, которое делится на 2, называется четным. Когда последняя цифра в числе равна 0 или даже четной, то есть 2, 4, 6 или 8, то число делится на 2. Например, 20 оканчивается на 0, поэтому оно делится на 2. Число 936 заканчивается в 6, а 6 четно. Значит, 936 делится на 2,9.0003

ДЕЛИМОСТЬ НА 3

Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3. Чтобы использовать этот прием, учащиеся должны уметь делить, но проверка меньших чисел менее сложна, чем проверка больших. . Например, если вы спросите учащихся, делится ли 168 на 3, они должны ответить следующим образом:

1 + 6 + 8 = 15

15/3 = 5

Следовательно, 168 делится на 3.

ДЕЛИМОСТЬ НА 4

Если последние две цифры числа делятся на 4, то делится и все число. Например, в 1012 12 делится на 4. Однако в 1013 13 не делится. Следовательно, 1012 делится на 4, а 1013 — нет.

ДЕЛИМОСТЬ НА 5

Когда последняя цифра числа 0 или 5, число можно разделить на 5 без остатка. Таким образом, 5, 10, 15, 20, 25 и т. д. можно разделить на 5. Учащиеся могут посмотреть на большие числа и сразу сказать, можно ли их поровну разделить на пять частей.

ДЕЛИМОСТЬ НА 6

Числа, которые делятся на 6, также можно разделить на как на 3, так и на 2. Учащиеся должны проверить число с обоими правилами для 3 и 2. Если число проходит оба теста, оно может быть разделено на 6. Если он провалит хотя бы один тест, он не сможет. Например:

308 оканчивается на четную цифру, поэтому оно делится на 2. Однако 3 + 0 + 8 = 11, что не может делиться на 3 без остатка. Таким образом, 308 не делится на 6.

ДЕЛИМОСТЬ НА 8

Большое число делится на 8, если последние три цифры также делятся на 8 или равны 000. В числе 7120 120 можно разделить на 8 без остатка, поэтому 7120 тоже делится на 8.

ДЕЛИМОСТЬ НА 9

Правило делимости 9 такое же, как и 3. Если сумма цифр числа делится на 9, так же как и весь номер. Например:

В числе 549 5 + 4 + 9 = 18

18/9 = 2

Итак, 549 делится на 9.

ДЕЛИМОСТЬ НА 10

Если последняя цифра может быть 0, то число разделить поровну на 10.

Почему правила помогают и как их использовать

Эти правила позволяют учащимся рассматривать большие числа в менее сложном контексте. Правила делимости также позволяют им многое узнать о числе, просто взглянув на его цифры. Таким образом, вы должны поощрять учащихся использовать все правила при изучении числа. Глядя на что-то вроде 1159,350, учащиеся могут пройтись по списку делимости, отметив, на какие числа можно разделить большее число.

Конечно, на уроках математики вы будете говорить не только о четных делениях. Некоторые числа будут иметь остатки. Вы все еще можете использовать правила, чтобы говорить об этих числах. Предложите учащимся определить, будет ли у определенного числа остаток при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 8 или 10. это вдохновляет учащихся увидеть ценность и цель математики в их повседневной жизни через полезные, реальные действия и уроки.

Правила делимости (тесты)

Легко проверить, можно ли точно разделить одно число на другое

Делится на

«Делится на» означает «при делении одного числа на другое получается целое число»

Примеры:

14 — делится на 7, потому что 14 ÷ 7 = 2 ровно

15 IS Не делится на 7, потому что 15 ÷ 7 = 2 1 7 (результат. не целое число)

0 это кратное 7, потому что 0 ÷ 7 = 0 ровно (0 это целое число)

«Делится на» и «можно точно разделить на» означают одно и то же

Правила делимости

Эти правила позволяют проверить, делится ли одно число на другое, без необходимости выполнять слишком много вычислений!

Пример: 723 делится на 3?

Можно попробовать разделить 723 на 3

Или использовать правило «3»: 7+2+3=12, а 12 ÷ 3 = 4 ровно Да

Примечание. Ноль делится на с любым числом (кроме самого себя), поэтому на все эти тесты отвечает «да».

 

1

Любое целое число (не дробь) делится на 1

2

Последняя цифра четная (0,2,4,6,8)

12 8   Да

12 9   Нет

0

3

Сумма цифр делится на 3

381 (3+8+1=12 и 12÷3 = 4) Да

217 (2+1+7=10 и 10÷3 = 3  ¹ / ₃ ) Нет

При необходимости это правило можно повторить:

99996 (9+9+9+9+6 = 42, тогда 4+2=6) Да

4

Последние 2 цифры делится на 4

13 12 IS (12 ÷ 4 = 3) Да

70 19 — это не (19 ÷ 4 = 4 ³ / ₄ ) №

Быстрая проверка (полезная для небольших чисел) состоит в том, чтобы дважды разделить число пополам, и в результате останется целое число.

12/2 = 6, 6/2 = 3, 3 — целое число. Да

30/2 = 15, 15/2 = 7,5, что не является целым числом. №

5

Последняя цифра 0 или 5.

6

Является четным и делится на 3 (выполняет как правило 2, так и правило 3 выше)

114 (четно, и 1+1+4=6 и 6÷3 = 2) Да

308 (четно, но 3+0+8=11 и 11÷3 = 3  ² / ₃ ) №

7

Удвойте последнюю цифру и вычтите ее из числа, образованного другими цифрами. Результат должен делиться на 7. (Мы можем снова применить это правило к этому ответу)

672 (Двойная 2 равна 4, 67−4=63 и 63÷7=9) Да

105 (Двойная 5 равна 10, 10−10=0, а 0 делится на 7) Да

905 (Двойная 5 равна 10, 90−10=80 и 80÷7=11 ³ / ₇ ) Нет

8

Последние три цифры делятся на 8

109 816 (816÷8=102) Yes

216 302 (302÷8=37  ³ / ₄ ) No

A quick check is to halve three times and результат по-прежнему целое число:

816/2 = 408, 408/2 = 204, 204/2 = 102 Да

302/2 = 151, 151/2 = 75,5 Нет

9

Сумма цифр делится на 9

(Примечание. При необходимости это правило можно повторить)

1629 (1+6+2+9=18 и снова 1+8=9) Да

2013 (2+0+1+3=6) Нет

10

Номер заканчивается на 0

22 0   Да

22 1   Нет

11

Сложение и вычитание цифр в чередующемся порядке (добавление цифры, вычитание следующей цифры, добавление следующей цифры и т. д.). Затем проверьте, делится ли этот ответ на 11.

1 3 6 4 (+1–3+6–4 = 0 ) Да

9 1 3 (+9-1+3 = 11 ) Да.

3 7 2 9 (+3–7+2–9 = −11 ) Да

8 7 (+9-8+7 = 8 ) №

12

Число делится как на 3 , так и на 4 (он проходит как правило 3, так и правило 4 выше)

648
( По 3? 6+4+8=18 и 18÷3=6 Да)
(По 4? 48÷4=12 Да)
Оба проходят, поэтому Да

520002
( По 3? 5+2+4=11, 11÷3= 3  ² / ₃ Нет)
(Не нужно проверять по 4) Нет

И многое другое! Существуют не только тесты на делимость для больших чисел, но и другие тесты для показанных нами чисел.