Порядок действий в математике, последовательность выполнения умножения, сложения, деления, вычитания, правила очередности арифметических действий

Содержание

1. Основные операции в математике
2. Что такое действия первой и второй ступени
3. Сложение и вычитание
4. Умножение
5. Что сначала — умножение или сложение?
6. Деление
7. Порядок действий без скобок
8. Порядок действий со скобками
9. Примеры на порядок действий 3-4 класс для тренировки

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30. 4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).

2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Сложение и вычитание

Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

Умножение

Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

Что сначала — умножение или сложение?

Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

• 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
• 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

• 500 + 500 + 500 + 500 + 500 — это кучки взрослых работников;
• 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
• 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

И одна кучка 70 помидоров.

5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения.

Совсем простыми словами — сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

2500 + 100 + 70 = 2 670

При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

Деление

Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических действий без скобок:

1. Если выражение содержит только действия на сложение и вычитание, то они выполняются в порядке следования — слева направо:
2. Если выражение содержит только действия на умножение и деление, то действия выполняются в порядке следования — слева направо:
3. Если в выражении присутствуют и умножение с делением, и сложение с вычитанием, то сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо):

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.

В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Примеры на порядок действий 3-4 класс для тренировки

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М. : «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

***

Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

• умножение;
• деление;.
• сложение;
• вычитание;
• сложение.

Найди значение данного выражения.

***

Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

• умножение; 2. сложение; 3. вычитание
• сложение; 2. вычитание; 3. сложение
• умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

• в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
• в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

• сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
• затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 – 9 = 1

Сначала выполняем действия в скобках:
16 – 2 · 7 + 4 = 16 – 14 + 4 = 6
2 + 5 = 7

Теперь выполняем остающиеся действия:
9 + 16 : 4 – 2 · 6 + 6 · 7 =
= 9 + 4 – 12 + 42 =
= 43

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками <>. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
8 – 6 = 2
10 – 2 · 3 = 10 – 6 = 4

действия в квадратных скобках дают:
14 – 3 · 2 = 8

выполняя остающиеся действия скобках находим:
5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29

Порядок действий:
30 – 20 = 10
35 – 10 = 25
100 – 25 = 75
75 · 2 = 150

Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

1. (12 – 0 : 4) : 3 – (7 — 7)*45 + (36 : 6) : (15 : 15)
2. 36 : (12 – 6 : 20 – (0 *5 + 3) – (7 * 8) : 14 : 4
3. (3 + 27 : 3) * 5 – 60 * 3 : 90 + 8 * (7 – 7) : 4
4. (630 : 7 + 4 * 9) : (5 + 5 : 5) + (8 – 8) : (35 * 7 + 49)
5. 5 * (48 : 6 + 2 : 2) – 280 : 20 * 3 + (50 – 32) : 9
6. 8040 : 6 + (109004 – 76048) : 7
7. (64000 : 80 * 3 + 600) : 15 – (3200 * 100) : 2000
8. 240400 – (5796 + 1803200 : 400) * 8
9. 345 * (250 * 125) * (8 * 400)
10. 56432 : 8 * 50 – (223956 + 882630 : 9)
11. (62456715 + 548185) : 700 – 300 * 80450 : 5000
12. 80 – (17 * 4) : (20 – 380 : 20) + 90 * 40 : 120
13. (1000 – 999) * 40 – 0 : 24 + 360 : (16 * 5 + 280 : 7)
14. (600000 – 538704) * 500 : 300
15. 280 : (60 : 15) – (25 + 3 * 8) : 7 + 3 * (720 : 80)
16. (250 * 840 – 145 * 1008) : 60
17. (1000 – 832) * 715 : 30 + (104402 – 58842 : 7)

Источники

• https://skysmart. ru/articles/mathematic/poryadok-dejstvij-v-matematike
• https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/porjadok-vypolnenija-dejstvij/
• https://1Ku.ru/obrazovanie/62562-chto-snachala-slozhenie-ili-umnozhenie-pravila-porjadok-vypolnenija-dejstvija-i-rekomendacii/
• https://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/poryadok_deystviy.html
• https://koncpekt.ru/nachalnye-klassy/rabochie-programmy/matematika-4-klass/5032-primery-na-poryadok-deystviy-so-skobkami-po-matematike-dlya-3-4-klassa.html

Порядок действий в выражениях 2: ilyachalov — LiveJournal

Порядок действий в выражениях 2: ilyachalov — LiveJournal ?

Category:

• Образование
• reacceptAll()»> Cancel

Опять двадцать пять:

https://news.mail.ru/society/40257578/

Цитаты:

Пользователя Twitter под ником Fetusberry озадачило решение примера по математике в одном из детских учебных учреждений.

Он опубликовал фотографию, на которой был показан пример: «20 / 5 (2 * 2)» и указаны сразу два ответа. Там же было указано, что 1 — это ответ при «решении по старинке», а 16 — по образовательному стандарту Common Core. При этом утверждалось, что оба варианта «одинаково верны». По мнению Fetusberry, это не так, и один из этих ответов неправильный, в связи с чем он и выразил негодование. Одни пользователи сети поддержали его мнение, а другие посчитали, что он не прав.

Тот самый твит:
https://twitter.com/Fetusberry/status/1218811265675493376

Фото из твита (кликабельно):

Похожая новость (ссылка) была в августе прошлого года, я писал по ней пост с разбором правил решения арифметических выражений (про порядок действий в них), поэтому повторяться не буду. Правильный ответ в указанном выше примере: 16.

Что такое Common Core? В википедии есть статья на английском об этом:
https://en.wikipedia.org/wiki/Common_Core_State_Standards_Initiative

Если кратко, то это новый образовательный стандарт для детей до 12 класса (средняя школа), вступивший в действие в США (в 41 из 50 штатов) с 2010 года. В нем описано, что дети должны выучить к концу каждого года обучения. Как я понял из статьи, этот стандарт касается только «language arts» (языки, литература и тому подобное) и математики.

Стандарт вызвал много критики из-за того, что приемы решения некоторых простых задач по математике сильно усложнили. В интернетах полно видеороликов, в которых производятся замеры времени решения задач «старым способом» (до введения стандарта) и «новым способом» и эти замеры свидетельствуют не в пользу Common Core. Например:
https://www.youtube.com/watch?v=avFjE1Wil0U

Я не знаю, правда ли то, что решение указанного выше примера «старым способом» в США давало в результате число 1, но наш «старый способ» (из советских учебников), как, впрочем, и современные учебники, дает правильный результат.

Скан стр.46 из учебника 1938 года для 5-го класса «Арифметика» Андрея Петровича Киселёва (кликабельно):
(источник: http://fremus.narod.ru/java/arf538/13.jpg)

Цитата:

80. Замечание о порядке действий в формулах. Сложение и вычитание принято называть действиями первой ступени, а умножение и деление — действиями второй ступени. Для уменьшения числа случаев, когда надо прибегать к скобкам, чтобы выразить порядок действий, условились: если в выражении, не имеющем скобок, указаны действия только одной ступени, то они производятся в том порядке, в каком написаны (слева направо).

В указанном выше выражении есть скобки, но оно легко приводится к выражению без скобок (сначала выполняем вычисление в скобках):

20 / 5 (2 * 2) = 20 / 5 * 4

Теперь применяем процитированное правило (вычисления производятся слева направо):

20 / 5 * 4 = 4 * 4 = 16

А не справа налево, как некоторые считают:

20 / 5 * 4 ≠ 20 / 20

Tags: Математика, Образование, СМИ

Subscribe

• PowerShell и ЖЖ: функция «syncitems» и данные от нее, ч.

  3

  Ранее в этой серии постов: … 24. PowerShell и ЖЖ: функция «syncitems» и данные от нее, ч.1 25. PowerShell и ЖЖ: функция «syncitems» и данные от…

• PowerShell: возврат массива из функции

  Окружение: операционная система «Windows 10», программа-оболочка «PowerShell» версии 7, программа-«эмулятор терминала» «Windows Terminal» версии…

• PowerShell и ЖЖ: функция «syncitems» и данные от нее, ч.2

  Ранее в этой серии постов: … 22. PowerShell и ЖЖ: простейшее кэширование результата HTTP(S)-запроса 23. PowerShell: таблицы для анализа данных…

Photo

Hint http://pics.livejournal.com/igrick/pic/000r1edq

0 comments

• 0 comments

Правило PEMDAS или BODMAS: порядок математических операций

Правило PEMDAS в основном используется в западных странах, таких как США, Великобритания, Канада и т. », умножение «*», деление «/», сложение «+» и вычитание «-».

Выполните следующие шаги, чтобы решить математическое выражение в соответствии с правилом PEMDAS.

1. Прежде всего, решите скобки, присутствующие в данном математическом выражении. Если круглых скобок несколько, то сначала разрешается крайняя левая скобка.

2. Раскрыв скобки, решите члены степени, присутствующие в математическом выражении. Если имеется более одного показателя степени, то сначала решите крайний левый показатель степени.

3. Затем решите произведение и частное математического выражения слева направо.

4. В конце решите операции сложения и вычитания слева направо.

Пример: по правилу PEMDAS

Решите 32 + (12 – 2) + 62 – 20/2 + (3 + 17) – 5 (6 * 4) * 4, используя правило PEMDAS.

Решение 

Шаг I: Запишите заданное математическое выражение.

32 + (12 – 2) + 62 – 20/2 + (3 + 17) – 5 (6 * 4) * 4 

Шаг II: Прежде всего, решите скобки, присутствующие в данном математическом выражении.

32 + (10) + 62 – 20/2 + (3 + 17) – 5 (6 * 4) * 4

32 + 10 + 62 – 20/2 + (20) – 5 (6 * 4) * 4

32 + 10 + 62 – 20/2 + 20 – 5 (24) * 4

32 + 10 + 62 – 20/2 + 20 – 120 * 4

Шаг III. заданное математическое выражение.

(3 x 3) + 10 + 62 – 20/2 + 20 – 120 * 4

9 + 10 + 62 – 20/2 + 20 – 120 * 4

9 + 10 + (6 x 6) – 20/2 + 20 – 120 * 4

9 + 10 + 36 – 20/2 + 20 – 120 * 4

Шаг IV: Теперь решите уравнения умножения и деления слева направо.

9 + 10 + 36 – 20/2 + 20 – 120 * 4

9 + 10 + 36 – 10 + 20 – 120 * 4

9 + 10 + 36 – 10 + 20 – 480 Шаг V

:

Решите условия сложения и вычитания слева направо.

9 + 10 + 36 -10 + 20 -480

19 + 36 -10 + 20 -480

55 -10 + 20 -480

45 + 20 -480

65 -480

-415

Шаг VI: Запишите заданное математическое выражение с результатом. 9»), деление «/», умножение «x», сложение «+» и вычитание «-».

Выполните следующие шаги, чтобы решить математическое выражение в соответствии с правилом BODMAS.

1. Прежде всего, решите скобки, скобки и фигурные скобки, присутствующие в данном математическом выражении. Если имеется более одной круглой или фигурной скобки, то сначала разрешается крайняя левая скобка или фигурная скобка.

2. После решения скобок, скобок или фигурных скобок определите порядок членов, присутствующих в математическом выражении. Если имеется более одного показателя степени, то сначала решите крайний левый показатель степени.

3. Затем решите условия деления и умножения математического выражения слева направо.

4. В конце решите операции сложения и вычитания слева направо.

Пример: по правилу БОДМАС

Решите 62 + (8 – 2) * 2 + 42 – 30/2 + (13 + 17) – 5 (12 * 4) / 6, используя правило БОДМАС.

Решение 

Шаг I: Запишите заданное математическое выражение.

62 + (8 – 2) * 2 + 42 – 30/2 + (13 + 17) – 5 (12 * 4) / 6

Шаг II: Прежде всего, решите скобки, присутствующие в данном математическом выражении.

62 + (8 – 2) * 2 + 42 – 30/2 + (13 + 17) – 5 (12 * 4) / 6

62 + (6) * 2 + 42 – 30/2 + (13 + 17) – 5 (12 * 4) / 6

62 + 6 * 2 + 42 – 30/2 + (30) – 5 (12 * 4) / 6

62 + 6 * 2 + 42 – 30/ 2 + 30 – 5 (48) / 6

62 + 6 * 2 + 42 – 30/2 + 30 – 240 / 6

Шаг III: Теперь решите члены степени, присутствующие в данном математическом выражении.

62 + 6 * 2 + 42 – 30/2 + 30 – 240 / 6

(6 x 6) + 6 * 2 + 42 – 30/2 + 30 – 240 / 6

36 + 6 * 2 + (4 x 4) – 30/2 + 30 – 240 / 6

36 + 6 * 2 + 16 – 30/2 + 30 – 240 / 6

Шаг IV: Теперь решите слева направо условия деления и умножения.

36 + 6 * 2 + 16 – 30/2 + 30 – 240 / 6

36 + 12 + 16 – 30/2 + 30 – 240 / 6

36 + 12 + 16 – 15 + 30 – 240 / 6

36 + 12 + 16 – 15 + 30 – 40

Шаг V: Решите сложение и вычитание слева направо.

36 + 12 + 16 — 15 + 30 — 40

48 + 16 — 15 + 30 — 40

64 — 15 + 30 — 40

49 + 30 — 40

79 — 40

39

Шаг VI: Запишите данное математическое выражение с результатом.

62 + (8 – 2) * 2 + 42 – 30/2 + (13 + 17) – 5 (12 * 4) / 6 = 39

Резюме

все основы порядка операций вместе с его правилами и примерами. Теперь, прочитав вышеприведенный пост, вы сможете легко и точно решать любые математические задачи.

0.4 Упрощение выражений и порядок операций

Порядок операций

Порядок операций — это набор соглашений, используемых для обеспечения порядка, когда требуется использовать несколько математических операций для одного выражения. Возможно, вы помните один из способов запомнить порядок операций: « P аренда E извините M y D ухо A unt S союзник» для P арендованные1 E

192 xponents, M умножение/ D ivision и A дополнение/ S вычитание.

Порядок операций

1. Сначала выполните все операции внутри группирующих символов, включая {}, [] и ().
2. Вычисление показателей степени или квадратных корней.
3. Умножение или деление слева направо.
4. Сложение или вычитание слева направо.

Когда вы применяете порядок операций к выражениям, содержащим дроби, десятичные дроби и отрицательные числа, вам также нужно будет вспомнить, как выполнять эти вычисления. 9{2}[/latex], 7 — основание, 2 — показатель степени; показатель степени определяет, сколько раз основание умножается само на себя.)

Показатель степени представляет собой способ представления многократного умножения; порядок операций помещает его перед , выполняется любое другое умножение, деление, вычитание и сложение. В следующем разделе математического обзора подробно рассматриваются правила экспоненты. Примеры порядка операций с экспонентами появятся на следующей странице под заголовком «Экспоненты»

Символы группировки

Символы группировки, такие как круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ], фигурные скобки [latex] \displaystyle \left\{ {} \right\}[/latex] и дроби, можно использовать для дальнейшего контроля порядка из четырех арифметических операций. Правила порядка операций требуют, чтобы сначала выполнялись вычисления внутри символов группировки, даже если вы выполняете сложение или вычитание внутри символов группировки и у вас есть умножение вне символов группировки. После вычисления внутри группирующих символов разделите или умножьте слева направо, а затем вычтите или прибавьте слева направо. При наличии группирующих символов внутри группирующих символов расчет производится изнутри наружу. То есть сначала начните упрощение внутри самых внутренних группирующих символов. 92]}{2}}[/latex]

Показать решение

Упрощение составных выражений с помощью действительных чисел

В этом разделе мы воспользуемся навыками из предыдущего раздела для упрощения математических выражений, содержащих множество символов группировки и множество операций. Мы используем термин составной для описания выражений, которые имеют много операций и много символов группировки. С этими выражениями нужно быть более осторожным, когда вы применяете порядок операций. Кроме того, вы увидите, как обрабатывать термины с абсолютными значениями при упрощении выражений.

Распределяющее свойство

Скобки используются для группировки или объединения выражений и терминов в математике. Вы можете увидеть, как они используются, когда вы работаете с формулами и когда вы переводите реальную ситуацию в математическую задачу, чтобы найти количественное решение.

Следующее определение описывает, как использовать свойство распределения в общих чертах.

Распределительное свойство умножения

Для всех действительных чисел a, b, и c , [латекс]а(b+c)=ab+ac[/латекс].
Это означает, что когда число умножает выражение в круглых скобках, вы можете распределить умножение на каждый член выражения отдельно.

Для упрощения  [латекс]3\влево(3+у\вправо)-у+9[/латекс] может помочь увидеть выражение, переведенное в слова:

умножить три на (сумму трех и у) , затем вычтите у, затем прибавьте 9

Чтобы умножить три на сумму трех и у, вы используете распределительное свойство –

[латекс]\begin{array}{c}\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\left(3+y\right)-y+9\\\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,=\underbrace{3\cdot{3}}+\underbrace{3\cdot{y}}-y+9\\=9+3y-y+ 9\end{array}[/latex]

Теперь вы можете вычесть y из 3y и прибавить 9 к 9.