Раскрытие скобок при умножении и делении. Правило раскрытия скобок при произведении

сформировать способность к раскрытию скобок с учетом знака, стоящего перед скобками;

развивающие:

развивать логическое мышление, внимание, математическую речь, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

воспитывающие:

формирование ответственности, познавательного интереса к предмету

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверь-ка дружок
Ты готов на урок?
Всё ли на месте? Всё в порядке?
Ручка, книжка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?

Начать урок я хочу с вопроса к вам:

Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (Ответы детей.)

Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный ученый Аль-Бируни: “Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит”.

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

II. Актуализация прежних знаний, умений, навыков:

Устный счет:

1.1. Какое сегодня число?

2. Расскажите, что вы знаете о числе 20?

3. А где расположено это число на координатной прямой?

4. Назовите число ему обратное.

5. Назовите число ему противоположное.

6. Как называется число – 20?

7. Какие числа называются противоположными?

8. Какие числа называются отрицательными?

9. Чем равен модуль числа 20? – 20?

10. Чему равна сумма противоположных чисел?

2. Объясните следующие записи:

а) Гениальный математик древности Архимед родился в 0 287 г.

б) Гениальный русский математик Н.И.Лобаческий родился в 1792 г.

в) Первые олимпийские игры состоялись в Греции в – 776 г.

г) Первые Международные олимпийские игры состоялись в 1896 г.

д) XXII Олимпийские зимние игры состоялись в 2014 году.

3. Узнайте, какие числа крутятся на “математической карусели” (все действия выполняются устно).

II.

Формирование новых знаний, умений, навыков.

Вы научились выполнять разные действия с целыми числами. Чем же будем заниматься дальше? Как будем решать примеры и уравнения?

Давайте найдем значение данных выражений

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Какой порядок действий в 1 примере? Сколько получилось в скобках? Порядок действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об этих выражениях?

Конечно результаты первого и второго выражений одинаковы, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Что же мы сделали со скобками? (Опустили.)

Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Дети формулируют тему урока.) В нашем примере, какой знак стоит перед скобками. (Плюс.)

И так мы подошли к следующему правилу:

Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +, сохраняя знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком +.

А как быть, если перед скобками стоит знак минус?

В этом случае нужно рассуждать так же как при вычитании: необходимо прибавить число противоположное вычитаемому:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

– Итак, мы раскрыли скобки, когда перед ними стоял знак минус.

Правило раскрытия скобок, когда перед скобками стоит знак “-“.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Давайте послушаем правила раскрытия скобок в стихах:

Перед скобкой плюс стоит.
Он о том и говорит
Что ты скобки опускай
Да все знаки выпускай!

Перед скобкой минус строгий
Загородит нам дорогу
Чтобы скобки убирать
Надо знаки поменять!

Да ребята знак минус очень коварный, это “ сторож” у ворот(скобки), он выпускает числа и переменные только тогда, когда они поменяют “ паспорта”, то есть свои знаки.

Зачем вообще нужно раскрывать скобки? (Когда есть скобки, есть момент какой-то элемент незавершенности, какой-то тайны. Это – как закрытая дверь, за которой находится что-то интересное.) Вот сегодня мы изведали эту тайну.

Небольшой экскурс в историю:

Фигурные скобки появляются в сочинениях Виета (1593). Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века, благодаря Лейбницу и ещё больше Эйлеру.

Физкультминутка.

III. Закрепление новых знаний, умений, навыков.

Работа по учебнику:

№ 1234 (раскройте скобки) – устно.

№ 1236(раскройте скобки) – устно.

№ 1235 (найдите значение выражения) – письменно.

№ 1238 (упростите выражения) – работа в парах.

IV. Подведение итогов урока.

1. Объявляются оценки.

2. Дом. задание. п.39 №1254 (а, б, в),1255 (а, б, в),1259.

3. Чему мы сегодня научились?

Что нового узнали?

И завершить урок я хочу пожеланиями каждому из вас:

“К математике способность проявляй,
Не ленись, а ежедневно развивай.
Умножай, дели, трудись, соображай,
С математикой дружить не забывай”.

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · (3 + 4) на выражение вида

2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + (− 3) − (− 7) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a + b) · (c + d) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin (b) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin (b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − (5 − 7) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (− 4) и 3 + (− 4) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, + (а) на + а, — (а) на – а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5 , выражение 3 + (5) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + (5) заменяется на + 5 , а выражение 3 + (− 5) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + (− 5)

заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + (− a) мы заменяем на − a , − (− a) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа (− a) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (− a) остается − a .

Приведем примеры: (− 5) можно записать как − 5 , (− 3) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) превращается в 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − (− 4) и − (− 3) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · (− 5) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + (− b) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + (− b) — это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − (− ((− (5)))) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении:

− (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − (− 2 · x) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − (x 2) = − x 2 , + (− 1 x) = − 1 x и − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида (− a) · (− b) мы можем заменить на (a · b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (− a) · b и a · (− b) заменить на (− a · b) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида (- 2) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (− 4) : (− 2) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4: 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение (− 3) · 2 можно преобразовать в выражение (− 3 · 2) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = — 2 3 4: 3 , 5 = — 2 3 4: 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = — sin (x) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5 · (− 3) · (− 2) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5 · 3 · 2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1 .

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на (− 1) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3: (- 2) · 4: — 6 7 выглядела бы следующим образом:

2 3: (- 2) · 4: — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x — 3: 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x: 1 x · x — 3: 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12 − 3 , 5) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + (- 1 + x — x 2) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — (- x 2) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

X + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) или b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3 − 7) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b 1 + b 2) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на (b 1 + b 2) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении (1 + x) · (x 2 + x + 6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) . Теперь мы можем применить правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

В выражении содержится сразу три множителя (2 + 4) , 3 и (5 + 7 · 8) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) .

Умножаем скобку на скобку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения (a + b + c) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок (a + b + c) · (a + b + c) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

Пример 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x 2 — x) : 4 = x 2: 4 — x: 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножим скобку на число (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Намнем преобразование с выражений 3 · (− 2) : (− 4) и 6 · (− 7) , которые должны принять вид (3 · 2: 4) и (− 6 · 7) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Письменное умножение и деление.

Многое из того, что сказано о методике письменного сложения и вычитания, относится и к методике ознакомления учащихся с письменным умножением и делением. И эти действия можно изучать как совместно, так и раздельно. В обоих случаях следует использовать прием сопоставления.

Различные случаи этих действий располагаются в порядке постепенно возрастающей трудности (такой порядок обстоятельно разработан в существующих методических руководствах и получил свое отражение в учебниках).

При объяснении письменного приема выполнения каждого из этих действий нужно опираться на прием устного умножения и устного деления, подчеркивая то общее, что имеется в устных и письменных приемах выполнения действий, и их различие.

Нужно также объяснить детям случаи умножения нуля на число и числа на нуль (0 x 4 = 0; 9 x 0 = 0), а также деление нуля на число (0 : 6 = 0).

Результаты деления следует чаще проверять умножением, что способствует более глубокому пониманию взаимообратности этих действий.

Объяснение письменного умножения на однозначное число, как и сложения, не нуждается в опоре на предметные наглядные пособия; здесь достаточно только подчеркнуть строгую поразрядность выполнения этого действия, отразив это в первой записи умножения следующим образом. Допустим, что нужно 324 умножить на 2. После разбора состава числа 324 учитель записывает этот пример

так:

Из этой записи видно, что умножение трехзначного числа сводится к умножению каждого разряда этого числа начиная с единиц.

Но в объяснение способа письменного деления нужно привнести возможно больше наглядности, используя в” этих целях и предметные наглядные пособия (палочки и пучки палочек), и подробные развернутые записи действия.

Уже при объяснении такого случая деления, как 324 : 2, когда приходится делимое разбивать на 3 числа (200, 120 и 4), из которых каждое без остатка делится на 2, нужно показать процесс деления на наглядном пособии, взяв 3 сотни палочек (в пучках), 2 пучка-десятка и 4 палочки. Деля 3 сотни на 2, получим по одной сотне, и одна сотня будет в остатке. Развязываем ее, она распадается на 10 пучков-десятков, да у нас еще есть 2 десятка, всего получаем 12 десятков. Делим их пополам, получаем по 6 десятков. Остается разделить пополам 4 палочки; получится 2 палочки. А всего получится 1 сотня, 6 дес. и 2 ед., или 162.

Письменное деление — сложное действие. Оно состоит из ряда вычислительных операций, и каждую из них надо объяснить тщательно.

Допустим, что решается пример:

Решение его сопровождается следующим объяснением: 4 сотни делим на 6; сотен в частном не получится. Раздробим 4 сотни в десятки, получим 40 десятков. 40 десятков да еще 5 десятков составляют 45 десятков. Разделим их на 6, получим 7 десятков. Узнаем, сколько всего десятков мы разделили; для этого умножим 6 на 7, получим 42 десятка.

Узнаем, сколько десятков осталось разделить; для этого от 45 десятков отнимем 42 десятка, получим 3 десятка. 3 меньше 6 (остаток меньше делителя), значит, цифра в частном взята правильно. Раздробим 3 десятка в единицы, получим 30, да еще 6, всего 36 единиц. Делим их на 6, получится 6 единиц. Итак, всего получилось 7 дес. и 6 ед., или 76. Проверим: 76 X 6 = 456. По мере усвоения навыка деления объяснения становятся более краткими.

В процессе упражнений в умножении и делении, как при сложении и вычитании, дети решают не только обычные примеры, но и простейшие уравнения типа 8 х X = 432; X : 3 = 128; 96 : X = 16; выполняют задания: проверить данное равенство или неравенство; сравнить данные арифметические выражения; решить пример с проверкой результата.

В процессе формирования навыков письменных вычислений все время проводятся тренировочные упражнения в устных вычислениях с круглыми числами в пределах 1000.

Надо отметить, что в школьной практике ученики часто пользуются вместо устных письменными приемами. Чтобы предупредить этот недочет, полезно чаще сравнивать устные и письменные приемы. Например, ученику предлагается решить два примера: 460 + 320 и 347 + 486. Эти примеры записываются на доске в строчку. Ученик должен сам выбрать способ решения каждого примера, устный или письменный, подчеркивая их сходство и различие.

MathOnWeb — Электронная книга по алгебре — Графики

В этой главе мы рассмотрим дроби в четвертый и последний раз. Давайте просмотрите наши предыдущие три встречи:

• Обыкновенные дроби. В разделе 1.2 мы представили обозначение дроби, a / b , где a и b были целыми числами для описать часть или часть целого объекта. Например, ¾ означало, что мы разбили объект на 4 равные части. части и у нас было 3 из тех частей. Обратите внимание, что a / b было числом; обозначения а / б не имели ничего общего с делением. В разделе 1.2 мы также узнали, как преобразовать дробь в самые низкие условия, как складывать и вычитать дроби, умножить дроби, разделить дроби и как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь с помощью длинного деления.
• Разделение номеров. В разделе 2.4 мы определили деление двух чисел в терминах умножения. Мы сказали, что разделив a с помощью b произвел число c такое, что c умножить на b вернули a . Мы использовали то же обозначение дроби, a / b , для обозначения деления a на b , потому что, когда a и b оба были целыми числами, тогда деление на / b дало обыкновенную дробь a / b . Однако в любом другом случае деление давало действительное число. В разделе 2.4 мы также узнали, что деление a на b может быть заменяется умножением на на обратное b . Наконец, мы узнали правила деления с участием знаки минус.
• Раздел выражений. В разделе 3.5 мы видели, что существует три различных способа разделения выражений в зависимости от были ли числитель a и знаменатель b мономами, полиномами или полиномами.
  • Если бы они были мономами, затем деление a на b просто равносильно записи алгебраическая дробь, a / b , и уменьшив его до наименьших значений, как обыкновенную дробь.
  • Если бы это были многочлены, то a можно разделить на b с использованием длинного деления, точно так же, как неправильная обыкновенная дробь может быть преобразована в смешанную дробь с помощью длинного деления.
  • Если a было многочленом и b был одночленом, то мы разместили в каждом члене а над б так, чтобы результатом деления была сумма алгебраические дроби.

Осталось обсудить алгебраических дробей , то есть дробей, числитель и знаменатель являются алгебраическими выражениями. В этой главе обсуждаются алгебраические дроби и дробные уравнения. Он содержит следующие разделы:

• раздел 11.1 — В этом разделе мы говорим о упрощение алгебраических дробей. Главный новый результат состоит в том, что поскольку теперь мы знаем, как разложить выражение на множители, мы можем разложить числитель или знаменатель, и это открывает новый способ уменьшить алгебраическая дробь до младших членов.
• раздел 11.2 — В этом разделе мы Расскажите об умножении и делении алгебраических дробей.
• раздел 11.3 — В этом разделе мы Расскажите о сложении и вычитании алгебраических дробей.
• раздел 11.4 — В этом разделе мы покажем, как решать уравнения, содержащие алгебраические дроби.

---

11.1 — Упрощение алгебраических дробей

Некоторые определения

• Обыкновенная дробь форма или а / б , где a , числитель , и b , знаменатель , оба являются целыми числами. Обыкновенная дробь используется для описания части или доли целого объекта. Обозначение означает, что мы разбиваем объект на b равные части, и у нас есть этих частей. Часть или часть объекта, который у нас есть это а / б .
• Раздел определяется с точки зрения умножения. Деление числа a на число b дает число c такое, что c умножить на b дает обратно a . Мы используем то же обозначение дроби, a / b , для обозначения деления a на b , потому что, когда a и b оба были целыми числами, тогда подразделение а / b дает обыкновенную дробь a / b .
• Алгебраическая дробь — это дробь, у которой числитель или знаменатель являются алгебраическими выражения. Два примера алгебраических дробей:

   и .

• рациональная алгебраическая дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель являются полиномами. Первый пример выше — это рациональная алгебраическая дробь; второй нет.
• A правильная обыкновенная дробь обыкновенная дробь, числитель которой меньше ее знаменатель и неправильная обыкновенная дробь это тот, числитель которого больше или равен его знаменателю. Смешанная дробь — это сумма целого числа и правильной дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования неправильную дробь в смешанную дробь.
• A правильная алгебраическая дробь — рациональная алгебраическая дробь чей числитель младше степени чем его знаменатель, а неправильная алгебраическая дробь равна единице. числитель которого больше или равен знаменателю. Смешанное выражение представляет собой сумму многочлена и правильной алгебраической дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования неправильную алгебраическую дробь к смешанному выражению.

---

Деление на ноль

Эта операция не допускается в математике. Нажмите здесь, чтобы узнать, почему. Это означает, что в алгебраической дроби

,

x не может равняться 1 или −3, потому что эти значения x вызовут дробь, чтобы знаменатель был равен нулю.

---

Приведение алгебраической дроби к наименьшим членам

Посмотрите на алгебру, которую мы делаем здесь:

• Начнем с дроби a / b .
• Умножаем на 1. Это не изменит его значение.
• Запишем «1» как дробь d / d .
• Перемножаем две дроби. Числитель новой дроби равен ad и знаменатель bd .
• Последняя дробь равна эквивалентно в первой дроби.

Если мы пойдем в обратном направлении, то мы скажем, что сводим дробь к ее простейшая эквивалентная дробь или низшая дробь . Для этого находим любой множитель, который содержится и в числителе, и в знаменателе. и зачеркнуть или зачеркнуть , например:

---

Пример: Сократите обыкновенные дроби 10/6 и 10/5 до меньших значений.

	Разложите числитель и знаменатель на множители. Отмените общий делитель 2.
	Разложите числитель и знаменатель на множители. Отмените общий делитель 5. Результат деления — целое число. Мы говорим, что знаменатель делит без остатка . в числитель.

---

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби равны мономов , то выполните все следующие шагов, чтобы сократить дробь до наименьшего члена :

• Получите знак, используя правила для знаков.
• Уменьшить коэффициент до минимума.
• Отмена идентичных множителей, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе.
• Объедините экспоненты с одинаковым основанием, используя свойство деления экспонент.

---

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Перед результатом ставится знак − или перед числителем; никогда не стоит перед знаменателем. Уменьшить коэффициент 6/9к самые низкие условия.

---

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Два знака — заменены знаком +, который нам не нужно отображать. Коэффициент снижается до ¼. Числитель содержит другие множители, поэтому 1 в числителе можно опустить. Объедините экспоненты с основанием x с использованием свойств экспоненты.

---

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Знак − ставится впереди. Коэффициент снижается до 1/3. одинаковых множителей из x 3 в числителе и знаменателе сокращаются. Числитель не содержит других множителей, поэтому на этот раз должна отображаться 1.

---

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

После проведения всех упрощений знаменатель равен 1, поэтому нам не нужно его отображать. Таким образом, результатом является обычное выражение, не алгебраическая дробь.

---

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби равны многочленов , тогда в дополнение к шагам, перечисленным выше, попробуйте выполнить следующие шагов, чтобы сократить дробь до минимального значения :

• Разложите на множители числитель, знаменатель или оба. Иногда это вызывает новые появляются аннулирующие факторы.
• Множитель a − знак вне числителя или знаменателя. Иногда это приводит к появлению нового фактора отмены.

В следующих примерах мы будем предполагать, что вы уже знаете как сделать факторинг поэтому мы просто покажем, как использовать множители для сведения алгебраических дробей к самые низкие условия.

---

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Разложите числитель и знаменатель на множители. Отменить общий делитель x .

---

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:

Разложить числитель на множители. Отменить общий делитель x − 2.

---

Пример:  Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.

Решение: Это та же алгебраическая дробь, что и в предыдущем примере, за исключением что знаменатель отличается знаком -.

Разложить на множители числитель и фактор a − выйти знаменателя. Отменить общий делитель x − 2. Подставить знак − к числителю и распространять его.

---

11.2 — Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение алгебраических дробей

Порядок умножения алгебраических дробей такой же, как и порядок умножения алгебраических дробей. умножение обыкновенных дробей.

Умножение двух алгебраических дробей дает новую алгебраическую дробь. Умножьте два числителя, чтобы получить новый числитель, и умножьте два знаменателя, чтобы получить новый новый знаменатель: Затем упростите, сократив новую дробь до наименьших членов.

---

Примеры:

---

Деление алгебраических дробей

Порядок деления алгебраических дробей такой же, как и порядок деления алгебраических дробей. деления обыкновенных дробей.

Замените деление на дробь на умножение на обратную дробь , например: Затем выполните умножение двух дробей как описано выше.

Обратите внимание, что вы берете обратную дробь внизу!

Вот почему эта процедура работает: Суть в том, что вместо того, чтобы видеть дробь, деленную на дробь, ищите одну дробь, числитель и знаменатель которой являются дробями. На первом шаге мы умножили эту дробь на UFOO числитель и знаменатель которого являются дробями. НЛО был выбран так, чтобы дроби в знаменателе сокращались и давали 1. После другого упрощение, оставившее только окончательное умножение дробей.

Примеры: Найдите следующие три шага: (1) инвертируйте нижнюю дробь, (2) умножить дроби, (3) упростить.

---

11.3 — Сложение и вычитание алгебраических дробей

Процедура сложения или вычитания алгебраических дробей такая же, как и процедура сложение или вычитание обыкновенных дробей.

---

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Фракции, имеющие равные знаменатели, также называются , как и дроби .

Чтобы сложить или вычесть две одинаковые дроби, просто сложите или вычтите числители и поднесите результат к общему знаменателю, как это:

Пример:  

---

Сложение дробей с неравными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби, у которых знаменатели не равны, их нужно сначала преобразовать к эквивалентным дробям, которые делают имеют общий знаменатель. Вот шаги: Найдите наименьшее общее кратное знаменатели. Применительно к дробям это число называется наименьшим общим числом. знаменатель (ЖК) дробей. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь, имеющую LCD как его знаменатель. Для этого умножьте числитель на знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель, благодаря которому это происходит. Сложите числители и поместите над общим знаменателем. Упростите результат, сократив его до минимума.

Пример: . Чтобы вычесть эти дроби, выполните следующие действия:

1. Найдите ЖК, это 10.
2. Так как в знаменателе первой дроби уже есть LCD, нам нужно только умножьте вторую дробь на 5/5, чтобы преобразовать ее в эквивалентную дробь с знаменатель 10.
3. Вычтите числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
4. Упростите, сократив дробь до меньших членов.

---

Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:

1. Найдите ЖК-дисплей, который имеет размер (4 x  − 1)( x  + 3).
2. Умножить числитель и знаменатель первой дроби на ( x + 3) и числитель и знаменатель второй дроби на (4 x  − 1):

3. Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.

4. Упростите, распределив числитель.

---

Сложение дробей с факторизуемыми знаменателями

Вы должны всегда факторизовать знаменатели. Это единственный способ определить, является ли фактор появляется более чем в одном знаменателе.

Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:

1. Разложите знаменатель первой дроби на множители. Тогда мы видим, что факторы x — 2 и x — 3 появляются более чем в одном знаменателе:

2. Найдите ЖК-дисплей, который равен ( x − 2)( x − 3).
3. Умножьте числитель и знаменатель второй дроби на ( x − 3) и числитель и знаменатель третьей дроби на ( x — 2):

4. Теперь обе дроби имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.

5. Упростите, распределив и добавив одинаковые члены в числителе.

---

Сложение дробей и не дробей (смешанные выражения)

Чтобы сложить или вычесть дроби и не дроби, преобразуйте не дроби в дроби со знаменателем 1.

Пример: . Чтобы добавить эту дробь и не дробь, выполните следующие действия:

1. Запишите не дробь в виде дроби со знаменателем 1:

2. Найдите ЖК-дисплей, который, конечно же, ( x − 2).
3. Умножить числитель и знаменатель первой дроби на ( х — 2):

4. Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.

5. Упростите, распределив и добавив одинаковые члены в числителе.

---

11.4 — Дробные уравнения

Прежде чем читать этот раздел, вы можете рассмотреть следующие темы:

• Основы решения уравнений.
• Техника очистки фракций для решение линейных уравнений.
• Как найти наименьший общий знаменатель (ЖК) алгебраических дробей.

Дробное уравнение — это уравнение, содержащее дробные члены. В разделе 4.2 мы видели как решить линейное уравнение , содержащее дроби. Шаги для решения любого дробного уравнения точно такие же:

• Посмотрите на знаменателей всех дробей и найдите их наименьшее общее кратное (НОК) (это также называется наименьшим общим знаменателем (LCD) дробей).
• Умножьте обе части уравнения на LCM.
• Распределите LCM по обеим частям уравнения.
• Уравнение больше не содержит дробей, и вы можете продолжить его решение с помощью основных процедур решения уравнений.
• Проверьте решение. Это особенно важно для дробных уравнений. Там две возможные проблемы:
  • Если знаменатель любого члена дроби содержит x , то LCM будет также содержит x , и умножение обеих частей уравнения на LCM даст увеличьте степень x в уравнении. Это часто приводит к посторонним решениям.
  • При подстановке решений обратно в исходное уравнение для их проверки, любое решение, в результате которого любой член дроби имеет нулевой знаменатель, должно быть отброшено. потому что деление на ноль запрещено в математике.

---

Пример 1: Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Члены дробей имеют знаменатели 3, 2 и 6. НОК этих чисел равен 6. Умножьте обе части уравнения на 6. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)

Распределите по обеим частям уравнения:

4 х — 3 = 6 x + 7.

Фракции теперь очищены, так что это больше не дробное уравнение. Завершите решение уравнения, собрав линейные члены в левой части и постоянные члены в правой части. Это дает:

−2 x = 10.

Разделите обе части на −2. Это дает решение:

х = −5.

Проверьте его, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -23/6 = -23/6, так что решение проверено.

---

Пример 2: Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Члены дробей имеют знаменатели x  ² + x − 2,   x + 2,   и   x  – 1. Может показаться, что LCM является продуктом всех трех, но поскольку x  ² + x − 2 можно разложить на множители как ( x + 2)( x — 1), LCM на самом деле просто ( x + 2)( x — 1). Умножьте на него обе части уравнения. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)

Распределите по обеим частям уравнения:

9 = 3 ( х — 1) + 7 ( х + 2).

Теперь дроби очищены, так что это больше не дробное уравнение; это линейное уравнение. Решите ее, используя обычные методы. Распределите еще раз на правой стороне:

9 = 10 x + 11.

Соберите постоянные члены в левой части:

−2 = 10 х .

Разделите обе части на 10. Это дает решение:

х = −1/5.

Проверьте его, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -25/6 = -25/6, так что решение проверено.

---

Пример 3: Цель этого примера — проиллюстрировать решение, которое должно быть отклонено, потому что оно вызывает деление на ноль . Уравнение идентично один в предыдущем примере, за исключением того, что он отличается знаком одного термина. Решите это дробное уравнение для x :

Решение: Сравните каждый шаг здесь с соответствующим шагом в приведенном выше примере. Умножьте обе части уравнения на LCM, что снова равно ( х + 2)( х — 1):

Распределите по обеим частям уравнения:

9 = −3 ( x  – 1) + 7 ( x + 2).

Распределите еще раз на правой стороне:

9 = 4 x + 17.

На этот раз решение x = -2. Если мы попытаемся подставить его обратно в исходное уравнение, мы получим деление на ноль в двух дробях. Поэтому мы должны отказаться от этого решения и заявить, что уравнение не имеет решения .

---

Умножение и деление дробей и смешанных чисел

Форма поиска

Поиск

На этой странице перечислены  Цели обучения  для всех уроков модуля 17.

---

Умножение дробей

Учащийся сможет:

• Определить наименьший общий знаменатель и упростить.
• Знайте, что слово OF означает умножение.
• Опишите порядок умножения дробей.
• Определите произведение двух или более дробей, применяя описанную выше процедуру.
• Определите произведение целого числа на дробь, применяя описанную выше процедуру.
• Признайте, что результат можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их GCF или исключив общие множители.
• При необходимости упростите результат каждой задачи, используя метод GCF.
• Примените описанную выше процедуру для решения текстовых задач и упростите результат.
• Примените процедуры умножения, чтобы выполнить пять интерактивных упражнений.

---

Умножение дробей путем исключения общих множителей

Ученик сможет:

• Определять общие множители, сокращать.
• Опишите процедуру умножения двух или более дробей путем деления общих множителей.
• Определите произведение двух или более дробей, применяя описанную выше процедуру.
• Определите произведение целого числа на дробь, применяя описанную выше процедуру.
• Знайте, что делимый множитель может стоять в любом числителе и любом знаменателе.
• Признайте, что деление на общие множители избавляет от необходимости упрощать результат (если только этот результат не является неправильной дробью).
• Признайте, что разделение общих множителей более эффективно при работе с большими числами в числителе и знаменателе.
• Применить процедуры для выполнения пяти интерактивных упражнений.

---

Умножение смешанных чисел

Учащийся сможет:

• Описать процедуру умножения смешанных чисел.
• Знать, что каждое смешанное число должно быть преобразовано в неправильную дробь перед умножением
• Определите произведение двух или более смешанных чисел, применяя описанную выше процедуру.
• При необходимости упростите результат.
• Соедините нахождение площади объектов реального мира с умножением смешанных чисел.
• Признайте, что в некоторых случаях нет общих факторов, которые можно было бы разделить.
• Примените процедуры для выполнения пяти интерактивных упражнений.

---

Обратные отношения

Ученик сможет:

• Давать определение обратным, инвертирующим.
• Опишите связь между дробью и ее обратной величиной.
• Знайте, что обратные связи бывают парными.
• Определить обратную дробь.
• Знайте, что для нахождения обратной величины смешанного числа вы должны сначала преобразовать его в неправильную дробь.
• Определите обратную величину смешанного числа, сначала превратив его в неправильную дробь.
• Примените процедуры для выполнения пяти интерактивных упражнений.

---

Деление дробей

Ученик сможет:

• Определять делитель и инвертировать.
• Знайте, что деление показывает, сколько раз одна величина содержится в другой величине.
• Знайте, что деление первой дроби на вторую ненулевую дробь равносильно умножению первой дроби на обратную вторую дробь.
• Опишите порядок деления одной дроби на другую.
• Признать, что вторая дробь должна быть ненулевым числом.
• Опишите процесс инвертирования и умножения.
• Примените взаимосвязи, чтобы преобразовать деление дробей в задачу на умножение.
• Применение процедур деления дробей и упрощение результата при необходимости.
• Применить процедуры для сокращения общих делителей.
• Соедините реальные задачи с делением дробей.
• Примените процедуры для выполнения пяти интерактивных упражнений.

---

Деление смешанных чисел

Ученик сможет:

• Описать процедуру деления смешанных чисел.
• Знайте, что каждое смешанное число должно быть преобразовано в неправильную дробь перед делением.
• Применить процедуру деления смешанных чисел, сокращая при необходимости общие делители.
• При необходимости упростите результат.
• Признать, что некоторые задачи не имеют общих делителей.
• Соедините реальные задачи с делением смешанных чисел.
• Примените процедуры для выполнения пяти интерактивных упражнений.

---

Решение текстовых задач

Ученик сможет:

• Изучать реальные задачи на умножение и деление дробей и смешанных чисел.
• Определите стратегии для решения каждой проблемы.
• Применять стратегии для решения каждой проблемы.
• Соедините сложение и вычитание дробей и смешанных чисел с действительным словом.
• Примените все концепции и процедуры, чтобы выполнить пять интерактивных упражнений с реальными задачами.

---

Практические упражнения

Учащийся сможет:

• Изучить десять интерактивных упражнений по всем темам данного раздела.
• Определите концепции и процедуры, необходимые для выполнения каждого практического упражнения.
• Вычислите все ответы и решите все задачи, применяя соответствующие концепции и процедуры.
• Самооценка знаний и навыков, полученных в ходе данного раздела обучения.

---

Пробные упражнения

Учащийся сможет:

• Оценивать десять сложных упражнений по всем темам данного раздела.
• Проанализируйте каждую проблему, чтобы определить предоставленную информацию.
• Сформулируйте стратегию решения каждой проблемы.