Порядок выполнения действий: правила, примеры.

Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.

В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. Сперва мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение (нужно прибавлять). Теперь понятен ответ на вопрос, что первое деление или умножение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности этого двойного правила несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро получить проверочные результаты.

Пример с прибавлением и вычитанием 1

Условие:

вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении или высказывании, которое обычно решают средние классы, скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Вначале делаем минус три из семи, затем делаем плюс к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример на умножение и деление 2

Условие: в каком порядке будут выполняться вычисления в выражении 6:2·8:3?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, что делается первым деление или умножение, перечитаем правило для выражений без кавычек (скобок), сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок того, что нужно вычесть, и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·6:3−2+4:2.

Решение

Сначала определим верный порядок действий (приоритетность), поскольку у нас здесь есть все основные компоненты арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо делить и перемножать. Что сначала деление или умножение? Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке слева направо. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·6:3−2+4:2=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно расставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся действия, где нужно вычитать и слагать, а ко второй – умножать и делить.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Решение примеров по действиям в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример или образец задачи 4

Условие: вычислите, сколько будет равно 

5+(7−2·3)·(6−4):2.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2·3=7−6=1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5+1·2:2=5+2:2=5+1=6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам:  4+1=5. Мы пришли к выражению

(4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом  или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+62:3−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+36:3−7.

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).

(3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1)·2+62:3−7=13.

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Комментарии к материалу Как делить со скобками, что вперед: деление или умножение, как решить 36:3(8–6) дробь 6, правильный ответ на пример | НГС

Все новости

«Выбросил мусор — сел в тюрьму»: сибиряка осудили за хранение взрывчатки — пакет с самодельной бомбой нашли в урне

В сидре был метанол? Всё, что известно о напитке, из-за которого массово погибли люди

Минобороны переписывает правила воинского учета: что изменится

В метро сегодня будут пускать бесплатно в Новосибирске — что нужно сделать на входе

Платный вход и запрет для велосипедистов: власти взялись за дендропарк в Новосибирске — что с ним сделают

В каких регионах нашли опасный сидр, которым массово отравились люди? Погибло минимум 18 человек — подробности

Привет от Баскова, шпагат Варнавы и сюрприз от Давы: как в Новосибирске прошла пятая «Народная премия НГС»

В Киеве подтвердили, что ВСУ ведут контрнаступление: новости СВО за 5 июня

Квартиры с видом на лес: в 20 минутах от метро строят дома рядом со школами и садами

Редакция НГС выбрала «Малый бизнес года» на «Народной премии НГС»

Под Новосибирском ищут 39-летнюю женщину — волонтеры объявили срочный сбор

Новосибирцы выбрали 10 лучших компаний города на «Народной премии НГС»

В Новосибирске прошел концерт группы «Моя Мишель»

«Я бы хотела, чтобы она разрасталась»: Андрей Малахов и Екатерина Варнава — о «Народной премии НГС»

Екатерина Варнава и Давид Манукян показали па во время «Народной премии НГС» — видео

Сибирские красавицы в кокошниках появились на «Народной премии НГС»

Скончался сценарист «Незнайки на Луне», новосибирец Владимир Голованов

Основатель группы «Калинов Мост» Дмитрий Ревякин приехал в Новосибирск — он выступил на «Народной премии НГС»

Легендарные лабрадоры из Первомайского сквера появились на сцене «Народной премии НГС»

Дмитрий Губерниев передал привет новосибирской спортсменке со сцены «Народной премии НГС» — видео

«Сердце в Сибири»: прапорщик Шматко вручил награду победившему в голосовании театру — кто получил премию НГС

«Новосибирск, обнимаю»: Николай Басков обратился к 9-летнему школьнику из Новосибирска — что сказал артист

Новосибирское такси подорожало из-за жары — цены выросли в 1,5 раза

«Подождем твою маму»: певец Игорек выступил на «Народной премии НГС» — зажигательное видео из зала

Актриса из фильма «Чебурашка» вручила награду лучшему стоматологическому центру года — кто им стал?

На месте работала Росгвардия — чем закончилась массовая драка на Юго-Западном

Сибирский характер: актер «Пищеблока» и «Майора Грома» появился на «Народной премии НГС» — кого он наградил

Пожар вспыхнул вдоль дороги в Новосибирской области — видео огня

Началась Народная премия НГС: «Моя Мишель» открыла церемонию песней «Зима в сердце»

Трансляция началась! Где смотреть церемонию награждения «Народной премии НГС» в онлайне

На ПМЭФ-2023 обсудят ключевые вопросы и точки роста российского малого бизнеса

В белом платье с темнокожим мужчиной: Сибирская Круэлла приехала на «Народную премию НГС» — как это было

Тело мужчины с огнестрельным ранением найдено на улице Широкой

В нескольких регионах России прозвучало «экстренное обращение» Путина. В Кремле назвали его взломом

Варнава, Малахов, Басков и собаки из сквера: в Новосибирске проходит «Народная премия НГС» — онлайн-трансляция

Наложили отпечаток: 7 женских имен с трудной судьбой — среди них есть популярные

В квартирах на левом берегу остыла вода — когда пойдет горячая

Жители двух регионов отравились сидром: 10 человек скончались, производителя задержали

«Мечтал взять ее в жены»: сварщик женился на девушке из Замбии — сейчас они живут в российской деревне

Все новости

Перейти к публикации

Стратегии вычитания Прогресс | Департамент образования

Добро пожаловать в асинхронный модуль, Стратегии вычитания Прогресс . В своем собственном темпе читайте материалы, смотрите короткие видеоклипы и разбирайтесь в картинках. Этот модуль длится примерно 1 час и может быть завершен за один присест или небольшими частями. Когда вы пройдете модуль, щелкните ссылку на анкету в поле справа. После успешной отправки анкеты ваш сертификат часа контакта будет автоматически отправлен по электронной почте на адрес, указанный в анкете. Если у вас есть какие-либо вопросы об этом процессе или содержании этого модуля, свяжитесь с Джен Робитайл по адресу [email protected].

Стратегии вычитания

Стратегии перечислены от самых ранних до стандартного алгоритма. Многие из них используются параллельно, но важно понимать, что различные стратегии используются для более глубокого концептуального понимания и перехода к более процедурной модели, основанной на концептуальном понимании вычитания. Имейте в виду, что освоение стандартного алгоритма вычитания не ожидается до 4-го класса в соответствии с результатами обучения штата Мэн и общими базовыми стандартами штата, однако учащиеся начнут практиковать стандартный алгоритм наряду с другими стратегиями намного раньше 4-го класса.

 

Модели  

Учащиеся впервые осваивают вычитание с помощью моделей. Они могут использовать различные манипулятивные средства, такие как кубики, счетные медведи, пуговицы, пять и десять рамок, пальцы или счетчики. Учащиеся могут также рисовать представления или картинки для моделирования математики или даже физически разыгрывать вычитание. Эти модели помогают учащимся понять действие, происходящее в самых ранних задачах на вычитание. Модели по-прежнему могут быть полезны, когда учащиеся работают над задачами «часть-часть-сумма», «изменение» и «сравнительное вычитание». Студентам также необходимо попрактиковаться в поиске пропущенных значений во всех местах задачи на вычитание — уменьшаемое, вычитаемое и разность. Дополнительные примеры ситуаций с задачами на вычитание см. в Глоссарии, таблица 1 из Общего стандарта штата по математике.

Подсчет назад (или UP)

При использовании стратегии подсчета или даже подсчета важно помнить, что вычитание означает разницу или расстояние между значениями МОНУАНДА и подраздел. Когда ваши ученики понимают взаимосвязь значений и то, что они могут либо считать в обратном порядке от уменьшаемого, либо считать от вычитаемого, они углубляют свое понимание смысла чисел и того, как числа работают вместе. Стратегия обратного отсчета или подсчета вверх часто может сочетаться с числовой линией или открытой числовой линией, поскольку значения работают с увеличением.

Число Сетки

Число сетки — отличный способ для учащихся искать закономерности в вычитании. Это начинает формировать понимание разрядности, когда учащиеся начинают смотреть на то, что они замечают в разрядах десятков и единиц. Числовые сетки уникально настроены в рядах по десять, чтобы смоделировать нашу систему счисления с основанием десять. Когда учащиеся перемещаются по строке, они должны заметить, что цифра в разряде десятков остается неизменной до конца ряда, а разряд единиц увеличивается на единицу. Двигаясь вверх или вниз по строке, они должны заметить, что разряд единиц остается прежним, а разряд десятков либо увеличивается, либо уменьшается на единицу.

Обратите внимание на разницу в этих двух сетках чисел. Одна сетка идет от 0 до 110 сверху вниз, а другая идет от 1 до 100 снизу вверх. Тот, что слева, чаще используется в классе, однако тот, что справа, более точно соответствует действиям ученика по сложению или вычитанию. По мере того, как учащиеся продолжают считать, числа увеличиваются в таблице. По мере того, как учащийся ведет обратный отсчет при вычитании, числа идут вниз по таблице.

 

Базовые десять блоков

Блоки с основанием 10 — это инструмент, используемый многими способами в математике. В этом случае мы будем использовать десятичные блоки, представляющие сотни, десятки и единицы, чтобы показать действие вычитания или удаления из одной группы. Учащиеся должны начать с построения представления уменьшаемого (число, от которого отнимается), затем взять от уменьшаемого значение вычитаемого (вычитаемое число), оставив разницу. По мере того как учащиеся изучают эту стратегию, начните с чисел, где не нужно разбивать группы. По мере того, как учащиеся знакомятся с действием вычитания, начните обсуждение отдельных цифр в разрядном значении, узнайте, что, по мнению учащихся, вы могли бы сделать, если не хватает одного конкретного разрядного значения. Затем учащиеся могут смоделировать справедливую торговлю. Когда учащиеся освоятся с физическими манипуляциями, переходите к визуальному представлению или эскизу десяти базовых блоков. Объясните учащимся, что им не нужно рисовать отдельные единицы, а использовать «стенографические» наброски основных десяти блоков (квадрат для сотен, линия для десятков и точка для единиц). Затем учащиеся могут связать свои модели с более абстрактным стандартным алгоритмом вычитания. Эта последовательность обучения смоделирована в видео.

 

Открытая числовая строка

Мы все знакомы с числовой строкой, которую используют маленькие дети. Обычно он начинается с нуля и увеличивается до единицы. Открытая числовая строка — это пустая числовая строка, которую можно использовать для любых значений вдоль числовой строки, которые могут быть полезны при решении задач. Обычно галочки не включаются в открытую числовую строку, и по мере добавления числа в числовую строку они могут не соответствовать масштабу. Открытая числовая линия полезна для создания представления для записи шагов умственных вычислений. Посмотрите видео, чтобы увидеть пример использования незамкнутых числовых рядов с вычитанием.

 

Компенсация/отдача и получение (постоянные различия)

Компенсация — это стратегия, часто применяемая в ментальной арифметике, когда одно или несколько чисел корректируются, чтобы сделать их более удобными для ментальной арифметики. Например, некоторое значение может быть взято из уменьшаемого или вычитаемого или добавлено к нему, а затем разница корректируется, чтобы упростить решение проблемы. В задаче 59 — 32 59 всего на единицу меньше 60, и 60 будет легче вычесть, чем 59., а разбиение 32 на 30 и 2 также облегчит мысленное вычитание, что даст нам задачу 60 — 30 — 2. 60 — 30 = 30, 30 — 2 = 28.  Теперь нам нужно скорректировать задачу для дополнительной, которую мы начали с, поэтому 28 — 1 = 27. Другой способ решить ту же проблему, используя постоянные разности, состоит в том, чтобы сделать то же самое для каждого уменьшаемого и вычитаемого, виртуально перемещая их положение на числовой прямой. Подумайте о расстоянии между 32 и 59 на числовой прямой, добавляя единицу к каждому значению, делая такое же расстояние, теперь это расстояние между 33 и 60; проблемы эквивалентны только в другом месте на числовой прямой. Построение смысла чисел и использование отношений разрядных значений и цифр позволяет нам углубить наше понимание операций.

Компенсация разлагает (разбирает) или перекомпоновывает (собирает обратно) числа, чтобы облегчить вычитание в уме. Учащиеся должны понять, как числа можно разбить на части и собрать вместе, чтобы укрепить свои навыки восприятия чисел.

 

Расширенная нотация (перегруппировка)

Расширенная нотация использует разрядное значение для вычитания внутри каждого разрядного значения, а затем объединяет расширенное обозначение, чтобы получить окончательное различие. В расширенной нотации одно разрядное значение может быть перегруппировано, когда это необходимо для вычитания разрядного значения.

 

Стандартный алгоритм США

Стандартный алгоритм США для вычитания — это стратегия, о которой большинство взрослых думают, когда их просят вычесть числа: сложите и вычтите. Исторически сложилось так, что это набор процедур, которым нас учили в школе. Это эффективная стратегия, но строго процедурная. Когда учащиеся смогут использовать более концептуальные стратегии для построения своего понимания вычитания, они смогут связать процедуры с этим концептуальным пониманием. Освоение стандартного алгоритма ожидается к концу 4-го класса, однако учащиеся познакомятся с этой стратегией намного раньше, поскольку они соединяют стратегии для углубления знаний.

 

Видео Грэхема Флетчера. Прогресс сложения и вычитания или стратегии деления, или чтобы найти другие учебные модули по математике, нажмите здесь.

Математические игры для 1 класса | Математические навыки для первоклассников

Как это работает

Узнайте, как ST Math может помочь вашим учащимся.

Результаты по всей стране

ST Math дает воспроизводимые результаты в масштабе.

 

Играйте в избранные игры из программы ST Math для первого класса. Концепции включают разрядное значение, сложение, вычитание, числовую строку, фигуры и многое другое.

Десятки и единицы с космическими кораблями

Считать и представлять числа до 20, используя разрядность.

• Разложите числа на группы десятков и единиц с помощью визуальных моделей.
• Уровни начинаются с представления наборов космических кораблей ≤10 на десятичной рамке, а затем переходят к представлению космических кораблей ≤20 путем создания набора из 10 и 1.

• Уровень 1
• Уровень 2
• Уровень 3
• Уровень 4
• Уровень 5
• Уровень 6

Push Box Сложение и вычитание

Разработка стратегий решения задач на сложение и вычитание.

• Используйте стратегии решения проблем, чтобы найти пропущенные значения в ситуациях визуального сложения и вычитания, когда блоки добавляются или вычитаются.
• Определите, требует ли ситуация сложения, вычитания или их сочетания.
• Уровни начинаются с нахождения сумм или разностей с учетом визуальной модели, а затем переходят к определению необходимого значения (отсутствующее слагаемое или вычитаемое).

• Уровень 1
• Уровень 2
• Уровень 3
• Уровень 4
• Уровень 5
• Уровень 6
• Уровень 7
• Уровень 8

Числа в числовой строке

Оценить и представить числа на числовых линиях до 20.

• Построить представление о числах как равноудаленных точках на прямой, нанеся и оценив числа до 20.
• Уровни начинаются с использования числовых линий до 10, отмеченных галочкой и помеченных всеми числами, а затем переходят к отображению только контрольных чисел.
• Применять концепции чисел на числовой прямой для оценки чисел до 20.

• Уровень 1
• Уровень 2
• Уровень 3
• Уровень 4
• Уровень 5
• Уровень 6
• Уровень 7

Составные фигуры

Создайте составную фигуру, расположив заданные фигуры.

• Составьте заданную двухмерную фигуру, используя фигуры меньшего размера.
• Уровни начинаются с простого сопоставления фигур, затем переходят к более сложным задачам, требующим пристального внимания к конкретным атрибутам заданных фигур.
• Разработайте пространственные стратегии для рассуждений об углах и сторонах, чтобы составить большую форму.

• Уровень 1
• Уровень 2
• Уровень 3
• Уровень 4

Создание десятков и единиц с помощью десяти рамок

Разложите числа меньше 20 на десятки и единицу, используя визуальные модели и уравнения.

• Представление чисел 11-19 в виде набора 10 и 1 с использованием десяти моделей рамок
• Решите отсутствующие уравнения слагаемых.
• Уровни начинаются с поиска пропущенного слагаемого для чисел меньше 10 с десятью кадрами, а затем переходят к представлению чисел 11-19.используя уравнения в форме 10+ _ (единицы).

• Уровень 1
• Уровень 2
• Уровень 3
• Уровень 4
• Уровень 5
• Уровень 6
• Уровень 7
• Уровень 8

Равные группы буксиров

Создайте равные группы буксиров, используя стратегии сложения и вычитания.