Свойства умножения. Законы умножения

ГДЗ 1 класс

ГДЗ 10 класс

  

Категория: Математика

Поговорим о свойствах, или законах умножения.

Переместительный (коммуникативный) закон умножения:

а · b = b · а.

От перемены мест множителей произведение не меняется.

Пример:

569 · 17 = 17 · 569

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:

а · b · c = а · (b · c).

Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих множителей заменить их произведением.

Пример:

39 · 25 · 4 = 39 · (25 · 4) = 39 · 100 = 3900

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:

(а + b + c) · d = аd + bd + cd.

Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число.

Пример:

(150 + 75 + 12) · 4 = 150 · 4 + 75 · 4 + 12 · 4 = 600 + 300 + 48 = 948

Как на практике применяется это свойство умножения? К примеру, у нас есть прямоугольник , разбитый на 2 других прямоугольника. Требуется найти его площадь.

Можно сначала найти длину его стороны, а затем перемножить длину и ширину, получится 
S = (a + b) * c
А можно найти площади маленьких прямоугольников и сложить их
S = (a * c) + (b * c)
А поскольку мы искали площадь одного и того же прямоугольника, то 
(a + b) * c = (a * c) + (b * c)

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания:

(а — b) · c = аc — bc.

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Пример:

(125 – 42) · 8 = 125 · 8 — 42 · 8 = 1000 – 336 = 664

Умножение числа на единицу:

а · 1 = 1 · а = а

При умножении числа на единицу получаем само число.

Пример:

45 · 1 = 1 · 45 = 45

Умножение числа на ноль:

а · 0 = 0 · а = 0.

При умножении числа на нуль получаем нуль.

Пример:

6999 · 0 = 0 · 6999 = 0.

Примечание. Если в произведении нескольких множителей хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

• Назад
• Вперед

 
умножить наподелить на

 

• Уроки
• Математика

Вам может пригодиться:

XYZ — Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы.

Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)

Проект Карла III Ребане и хорошей компании	Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.
Техническая информация тут Поиск на сайте DPVA Полезные ссылки О проекте Обратная связь Оглавление	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике DPVA.xyz:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет) Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный=ассоциативный закон сложения) ab=ba (переместительный=коммутативный закон умножения) (ab)c=a(bc)  (сочетательный=ассоциативный закон умножения) a(b+c)=ab+ac (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно сложения) c(a-b)=ca–cb (распределительный=дистрибутивный закон умножения относительно вычитания) Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.xyz Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.DPVA.xyz не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.

Являются ли сложение и вычитание коммутативными?

Являются ли сложение и вычитание коммутативными? ExampleVideoQuestionsLesson

Опубликовать в Google Classroom

ExampleVideoQuestionsLesson

Опубликовать в Google Classroom

Сложение является перестановочным

• Сложение коммутативно.
• Это означает, что не имеет значения, в каком порядке мы складываем числа вместе.
• Например, 4 + 6 = 10 и 6 + 4 = 10.
• Слово «коммутировать» означает двигаться.
• Мы видим, что перемещение позиций 4 и 6 в сумме не меняет ответ.
• Чтобы научить переместительному свойству сложения, мы можем использовать многозвенные кубы.
• Мы видим, что 4 + 6 = 6 + 4, потому что кубы имеют одинаковую длину.

Коммутативность сложения просто означает, что не имеет значения, в каком порядке мы складываем числа вместе.

Вычитание не коммутативно

• Вычитание некоммутативно.
• Это означает, что порядок чисел при вычитании имеет значение.
• Например, 10 – 2 = 8.
• Мы можем отнять 2 от 10, потому что 2 меньше 10.
• Если мы поменяем порядок чисел, 2 – 10 = -8.
• Не используя отрицательные числа, мы не можем взять 10 из 2.
• Мы не можем вычесть больше, чем мы начали, не переходя к отрицательным числам.
• Мы говорим, что наибольшее число при вычитании идет первым (если только мы не используем отрицательные числа).
• 10 – 2 не равно 2 – 10.

Вычитание не является коммутативным, потому что изменение порядка чисел меняет ответ.

Что такое коммутативное свойство?

Свойство коммутативности просто означает, что изменение порядка чисел в вычислении не влияет на ответ.

Сложение и умножение коммутативны. Вычитание и деление не коммутативны.

Мы помним, что слово «коммутировать» означает двигаться. Если перемещение чисел в вычислении путем перестановки их местами не влияет на ответ, то вычисление является коммутативным.

Сложение коммутативно. Например, 3 + 5 = 8 и 5 + 3 = 8.

Мы видим, что 3 + 5 = 5 + 3.

Коммутативный закон сложения утверждает, что a + b = b + a.

«a» и «b» — просто разные числа, и закон перестановки означает, что если мы поменяем порядок чисел в сложении, ответ останется прежним.

Умножение коммутативно. Например, 3 × 5 = 15 и 5 × 3 = 15.

Мы видим, что 3 × 5 = 5 × 3.

Коммутативный закон умножения утверждает, что a × b = b × a.

«a» и «b» — это просто разные числа, и закон перестановки означает, что если мы поменяем порядок чисел при умножении, ответ останется прежним.

Является ли сложение коммутативным?

Сложение всегда коммутативно. Это означает, что не имеет значения, в каком порядке складываются два или более числа, ответ будет один и тот же.

Изменение порядка любых двух чисел в сложении не влияет на ответ.

Например, 4 + 6 = 10 и 6 + 4 = 10. Оба сложения одинаковы, за исключением того, что два числа в сложении, 4 и 6, поменялись местами. Ответ на обе суммы равен 10.

Мы можем научить коммутативному свойству сложения, используя многозвенные кубы или счетчики.

Чтобы показать сложение 4+6, возьмем 4 кубика одного цвета и 6 кубиков другого. Соединяем их вместе, чтобы показать сложение.

Мы видим, что 4 + 6 = 6 + 4, потому что оба ряда кубиков имеют одинаковую длину. Оба ряда кубиков имеют длину по 10 кубиков. 4 + 6 = 10 и 6 + 4 = 10.

Порядок добавления значения не имеет.

Вот еще один пример обучения коммутативному свойству сложения.

У нас есть 3 + 5 и 5 + 3.

Мы видим, что и 3 + 5 = 8, и 5 + 3 = 8.

При обучении коммутативности с помощью кубов мы видим, что оба ряда кубов имеют одинаковую длину.

Мы видим, что пока числа складываются одни и те же, не имеет значения, в каком порядке они стоят, ответ всегда один и тот же.

Обе суммы имеют 3 и 5 рядом со знаком сложения, поэтому оба ответа равны 8.

Кроме того, при обучении коммутативности лучше всего подходят многозвенные кубы, поскольку они соединяются друг с другом без зазоров.

Мы также можем обучить этому свойству, используя счетчики, как показано в примере 3 + 2 ниже.

Мы видим, что в каждой стопке одинаковое количество жетонов.

Мы можем использовать две стопки счетчиков, чтобы показать каждую сумму. Мы можем использовать это, чтобы показать, что 2 + 3 = 3 + 2.

В обеих стопках по 5 фишек.

Является ли вычитание коммутативным?

Вычитание не является коммутативным. Это означает, что порядок чисел при вычитании имеет значение.

Например, 10 – 2 = 8, а 2 – 10 = -8. Изменение порядка чисел при вычитании изменило ответ.

Мы можем посмотреть на вычитание 10 — 2 с помощью счетчиков.

10 – 2 означает начать с 10 и убрать 2.

Мы видим, что после удаления 2 фишек осталось 8 фишек.

Мы можем поменять порядок 10 и 2 в вычитании.

Мы попробуем отработать от 2 до 10.

Мы не можем вычесть 10 фишек, потому что их недостаточно. У нас только 2.

Мы не будем рассматривать отрицательные числа в этом уроке, поэтому мы не можем отнять большее число от меньшего числа.

Мы видим, что порядок вычитания имеет значение. Нам нужно вычесть меньшее число из большего числа.

При обучении порядку чисел при вычитании мы можем сказать, что наибольшее число должно стоять первым при вычитании.

Мы можем вычесть 2 из 10, потому что 10 больше, чем 2.

Мы не можем вычесть 10 из 2, потому что, если у нас есть только 2 счетчика, они закончатся до того, как мы вычтем все 10.

Убрав 2 фишки, нам все равно нужно будет вычесть еще 8. Можно сказать, что мы были бы должны 8 фишек.

Мы можем записать это как 2 – 10 = -8, что означает, что 2 счетчика вычитают 10 счетчиков, что означает, что мы должны еще 8 счетчиков.

В этом уроке мы не будем вводить отрицательные числа. Вместо этого мы просто скажем, что мы не можем вычесть большее число из меньшего, не будучи в долгу.

Не существует коммутативного закона вычитания, потому что a – b ≠ b – a. .

Порядок вычитания имеет значение.

Вот еще один пример, в котором порядок вычитания имеет значение.

Вот 6-5.

Мы вычитаем меньшее число из большего числа.

Мы можем научить порядку вычитания со счетчиками, начав с 6 счетчиков и вычитая 5, чтобы увидеть, сколько осталось.

После вычитания 5 фишек остается 1 фишка.

6 – 5 = 1

Если мы поменяем порядок чисел при вычитании, ответ будет другим.

5-6 не равно 1.

Мы можем начать с 5 жетонов и попытаться убрать 6 жетонов, но у нас закончатся жетоны, прежде чем мы вычтем все 6.

Опять же, не вдаваясь в долги или отрицательные числа, при вычитании самое большое число идет первым.

6 больше, чем 5, поэтому 6 стоит перед вычитанием.

Возможно 5-6, но ответ -1.

При первом обучении вычитанию может помочь показать детям, что наибольшее число идет первым. Когда отрицательные числа вводятся на более позднем этапе, это правило перестает быть верным.

Коммутативное свойство

В математике есть четыре основных действия, а именно: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти четыре операции являются наиболее фундаментальными составляющими современного мира математики. Эти операции подчиняются пяти фундаментальным свойствам, а именно свойству замыкания, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и тождественности. Все четыре основные операции могут не подчиняться всем свойствам. Однако каждая математическая операция подчиняется нескольким свойствам, основанным на нескольких условиях. Коммутативное свойство также широко известно как коммутативный закон, согласно которому результат математической операции между операндами остается неизменным при изменении порядка выполнения операции.

Коммутативное свойство Определение:

Коммутативный закон гласит, что результат, полученный при выполнении математической операции над любым количеством операндов, остается тем же, даже если порядок операндов меняется на противоположный. Математически определение коммутативности можно объяснить следующим образом. Если «с» и «d» — два числа, то любая операция, выполняемая между «с» и «d», называется коммутативной тогда и только тогда, когда результат, полученный, когда «с» является первым операндом, а «d» равен второй операнд равен результату, полученному, когда «d» — первый операнд, а «c» — второй.

 

Переместительное свойство сложения:

Переместительное свойство сложения утверждает, что сумма любых двух чисел остается неизменной, даже когда числа меняются местами. Например, если «E» и «F» — любые два действительных числа, то в соответствии с коммутативным свойством сложения верно, что

E + F = F + E

. Возьмем в качестве примера любые два числа, скажем, 9 и 23. Верно, что сумма 9 и 23 равна 32 независимо от направления сложения. то есть 9+ 23 = 23 + 9 = 32

Таким образом, операция сложения удовлетворяет коммутативному закону.

Коммутативное свойство вычитания:

Коммутативное свойство не применимо к вычитанию, поскольку значение разницы между числами зависит от направления, в котором числа вычитаются. Например, рассмотрим вычитание 9 из 23. 

Разница между 9 и 23, когда 9 вычитается из 23, составляет 14, а разница между 9 и 23, когда 23 вычитается из 9равно — 14.

Итак, 23 — 9 ≠ 9 — 23

Коммутативное свойство умножения:

Операция умножения подчиняется коммутативному закону. Коммутативное свойство умножения гласит, что произведение любых двух чисел остается неизменным, даже если мы изменим направление, в котором выполняется умножение. Если «G» и «H» — это два числа, то свойство перестановочности умножения утверждает, что:

G x H = H x G

Например, если a = 8 и b = 4 — это два числа, то значение 4 умножить на 8 и 8 умножить на 4 одинаково и равно 32,

 

Коммутативное свойство деления:

Коммутативное право не верно для деления. Полученное частное зависит от значений вместо числителя и знаменателя. Таким образом, ответ не останется прежним, если поменять местами числитель и знаменатель. Следовательно, коммутативного закона деления не существует.

Переместительное свойство Примеры задач:

1. Укажите, верны или нет следующие утверждения. Приведите соответствующие доводы в обоснование своего ответа. (Подсказка: вспомните, что такое коммутативное свойство)

а. 7 + 8 = 8 + 7

б. 8 — 7 = 7 — 8

Решение:

1. 7 + 8 = 8 + 7 верно

. коммутативное свойство сложения .

2. 8 — 7 = 7 — 8 неверно

Потому что свойство коммутативности вычитания не существует. 8 — 7 = 1 и 7 — 8 = — 1.

2. Проверить правильность данных утверждений. Приведите соответствующие доводы в поддержку ваших ответов.

1. 7*5=5*7

2. 7/5= 5/7

(Подсказка: вспомним свойство коммутативности)

90 031 Решения:

1. 7* 5=5*7 верно

Потому что произведение 35 равно в обоих случаях, удовлетворяющих коммутативному свойству умножения.

2. 7/5=5/7 неверно

Поскольку в обоих случаях получается разное произведение. В первом случае мы получаем произведение равное 1,4, тогда как во втором случае полученное произведение равно 0,71. Следовательно, оно не удовлетворяет условиям коммутативности.

Сравнение коммутативного свойства и ассоциативного свойства

Ниже приведены некоторые различия и сходства между коммутативным свойством и ассоциативным свойством:

Различия

• закон , элементы перегруппированы.

• В коммутативном свойстве используются только два элемента, тогда как в ассоциативном свойстве используются три элемента.

• Переместительное свойство: W + V = V + W и W x V = V x W

• Ассоциативное свойство: L + (M + N) = (L + M) + N 

                                      L x (M x N) = (L x M) x N

Сходства

Примеры: Коммутативность

60 + 40 = 40 + 60 = 100

60 x 40 = 40 x 60 = 2400

902 20 Примеры: Ассоциативность

1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 = 6

1 х (2 х 3) = (1 х 2) х 3 = 6

Сравнение коммутативного свойства и распределительного свойства

Ниже приведены сходства и различия между коммутативным свойством и распределительным свойством:

Различия

• , согласно распределительному свойству, если число умножается на скобку, то число умножается на оба элемента в скобках.

• Переместительное свойство: J + K = K + J и J x K = K x J

• Распределительное свойство: D x (E + F) = D x E + D x F

Сходства

Примеры: Коммутативность

70 + 30 = 30 + 70 = 100

70 x 30 = 30 x 70 = 2100

Примеры: Распределение 90 003

8 х (3 + 5) = 8 х 3 + 8 x 5 = 64

Переместительное свойство – общее использование

Переместительное свойство или переместительное свойство связано с бинарными операциями и функциями. Если пара элементов при бинарной операции обладает свойством коммутативности, то говорят, что она коммутирует при этой операции.

Множество S является коммутативным, если оно удовлетворяет заданной бинарной операции

X*Y = Y*X, где X и Y принадлежат множеству S

Бинарная операция, не удовлетворяющая вышеуказанному свойству, называется некоммутативной.