Переместительный закон сложения – формула

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 93.

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 93.

Переместительный закон сложения иногда ставит учеников в тупик. Ведь все учат свойства сложения, поэтому понятие законов сложения выглядит страшно и пугающе. Чтобы не допускать досадных ошибок разберем отличие переместительного закона сложения от переместительного свойства сложения, а также поговорим о правилах использовании этого закона.

Сложение

Если представить себе пенал, куда складывают карандаши и ручки, то количество карандашей это первое слагаемое, количество ручек второе слагаемое, а их общее количество в пенале – сумма.

Но глупо говорить о ручках, когда речь идет о сложении и вычитании огромных чисел, поэтому в математике принято более общее определение. Считается, что сложение это перемещение числа по числовой прямой вправо, то есть в сторону увеличения чисел.

Иногда ученикам кажется, что большие числа или дроби не получится отметить на числовой прямой. Это грубая ошибка. Запомните, на числовой прямой можно отметить абсолютно любое действительное число. А если у вас что-то не получается, значит дело в единичном отрезке.

Законы сложения

Законов сложения, как и свойств, всего два: переместительный и сочетательный.

Сочетательный закон гласит, что в примерах, где три и более слагаемых, выполнять сложение можно в любом порядке. Значит, можно сложить первое число со вторым, а потом результат сложить с третьим, а можно первое слагаемое сложить с третьим, а к результату прибавить второе и так далее.

Переместительный закон гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Кажется, что законы и свойства это одно и то же, ведь количество законов такое же, формулировка и смысл так же не изменились в сравнении со свойствами сложения. Дело в том, что свойства и законы это действительно одно и то же в этом конкретном случае.

Просто под законами обычно понимают формулы, которые выражают словесные формулировки свойств.

Значит, если мы видим перед собой формулу, то это считается законом, если словесную формулировки – свойством. Вот и все различие.

Запишем формулу переместительного закона сложения:

а+в=в+а

Формула сочетательного закона выглядит так:

а+в+с=(а+с)+в

Стоит запомнить, что любые математические формулы работают в обе стороны. То есть, как справа налево, так и слева направо. Для сложения это так важно, но лучше понять это сразу.

Переместительный закон сложения

Поговорим о том, как можно использовать переместительный закон в математике. Для этого решим небольшую задачу.

Найти значение примера: а+с+р+х, если а+р=3, с+9=12, а х=3

Для начала сгруппируем пример.

а+с+р+х=(а+р)+с+х – нам известно значение одной скобки а+р=3 и х=3. Подставим эти значения в пример.

а+с+р+х=(а+р)+с+х=3+с+3 – теперь сделаем так, чтобы получилась скобка (с+9)

а+с+р+х=(а+р)+с+х=6+с=с+9-3 – мы не нарушили равенства, ведь 9-3=6. Зато теперь получится посчитать пример до конца.

а+с+р+х=(а+р)+с+х=6+с=с+9-3=12-3=9 – пример было бы невозможно решить без переместительного закона сложения.

Но такие задачи встречаются не часто. Гораздо чаще свойства сложения применяются для ускорения вычислений. Правильное использование законов сложения, поможет сэкономить вам много времени для более трудных примеров и задач.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое сложение. Узнали, чем законы сложения отличаются от свойств. Поняли, что отличий практически нет. Выделили переместительный закон сложения и применили его, решив интересную задачу.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Лариса Доля

  10/10

• Татьяна Попкова

  9/10

• Артём Мещеряков

  8/10

• Татьяна Зобкова

  10/10

Оценка статьи

4. 1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 93.

---

А какая ваша оценка?

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Урок 5. Геометрия 9 класс ФГОС

На этом уроке продолжается изучение правил построения вектора суммы двух векторов, и, в частности, рассматривается правило параллелограмма. Также проводятся доказательства переместительного и сочетательного законов сложения векторов, которые находят своё применение при выполнении практических заданий.

Конспект урока «Законы сложения векторов. Правило параллелограмма»

С прошлых уроков вам уже известно, что векторы можно складывать и делать это вы уже умеете с помощью правила треугольника.

Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов  и , от некоторой точки А откладывают вектор . Далее от точки B откладывают вектор . Тогда вектор .

Для дальнейшей работы с векторами нам понадобится знание следующих законов сложения векторов.

Сумма векторов . Этот закон называют переместительным законом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

И ещё один закон. . Этот закон называют сочетательным законом.

По очереди докажем каждый из них.

Рассмотрим переместительный закон для неколлинеарных векторов  и .

Доказательство.

 

Итак, от произвольной точки А отложим вектор , и вектор .

На этих векторах построим параллелограмм ABCD.

А теперь, пользуясь правилом треугольника сложения двух векторов, заметим, что , то есть равен сумме векторов .

,  

С дугой стороны, ,  

Отсюда можем сделать вывод, что сумма векторов  равна сумме векторов .

Что и требовалось доказать.

 

Теперь перейдём к доказательству сочетательного закона для трёх неколлинеарных векторов , , .

От произвольной точки А отложим Вектор , равный вектору . От точки B отложим вектор , равный вектору . А от точки C отложим вектор , равный вектору .

Рассмотрим левую часть равенства, выражающего сочетательный закон. Запишем вектора , ,  как .

В скобках записана сумма векторов . Пользуясь правилом треугольника, можем записать, что эта сумма равна вектору .

А сумма вектора  и , в свою очередь, по правилу треугольника равна вектору .

Теперь аналогично поступим с правой частью равенства, задающего сочетательный закон.

По правилу треугольника .

Отсюда делаем вывод, .

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к рисунку из доказательства переместительного закона.

Обратите внимание, если векторы ,  отложить от одной точки и построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма задаёт вектор суммы векторов  и .

Такое правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.

Изобразим вектор суммы для каждой пары векторов, пользуясь правилом параллелограмма.

Первым изобразим вектор суммы векторов  и .

Отложим от произвольной точки А вектор , равный вектору .

Далее от точки А отложим вектор , равный вектору .

Теперь на этих векторах построим параллелограмм ABCD. Вектор  является вектором суммы векторов  и .

Далее изобразим вектор суммы векторов  и .

Обратите внимание, что каждый раз вектор суммы берёт своё начала из точки начала обоих векторов-слагаемых.

Последним изобразим вектор суммы векторов  и .

Задача. В треугольнике  сторона  равна ,  — , а .

Найти длину векторов   и .

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: , .

Давайте подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с законами сложения векторов. А именно с переместительным и сочетательным законами сложения векторов. А так же освоили правило параллелограмма для сложения двух векторов.

Оно заключается в следующем: чтобы сложить неколлинеарные векторы  и , нужно отложить от произвольной точки А векторы  и  равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор
 равен сумме векторов  и .

 

Предыдущий урок 4 Сумма двух векторов

Следующий урок 6 Сумма нескольких векторов

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Геометрия 9 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Ассоциативные, дистрибутивные и коммутативные свойства

Ассоциативные, дистрибутивные и коммутативные свойства https://schooltutoring.

com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 ШколаРепетиторская Академия ШколаРепетиторская Академия https://secure.gravatar.com/avatar/983a20e95a059722e4981790f518b20b?s=96&d=mm&r=g 3 сентября 2012 г. 2 декабря 2014 г.

Ассоциативное свойство:

Ассоциативный закон гласит, что порядок группировки чисел не имеет значения. Этот закон справедлив для сложения и умножения, но не для вычитания и деления. Это можно проследить из следующих примеров.

Дополнение:

a+ (b+c) = (a+b) + c

Пример:

2+ (3+4) = (2+3) + 4

2+7 = 5+4

9 = 9.

Итак, для сложения действует ассоциативный закон.

Вычитание:

a-(b-c) ≠ (a-b) – c.

Пример:

2- (3-4) = (2-3) – 4

2 + 1 = -1-4

3 = -5, что неверно.

Итак, для вычитания ассоциативный закон не работает.

Умножение:

a x (b x c) = (axb) x c

Решение:

2 x (3×4) = (2×3) x 4

2 x 12 = 6 x 4

24 = 24.

Итак, для умножения выполняется ассоциативный закон.

Раздел:

a ÷ (b ÷ c) ≠ (a ÷ b) ÷ c

Пример:

8 ÷ (4 ÷ 2) = (8÷4) ÷ 2

8 ÷ 2 = 2 ÷ 2

4 =1, что неверно.

Итак, ассоциативный закон не работает для деления.

Свойство распределения:

Это свойство используется для удаления скобок в выражении. Распределительное свойство гласит, что каждый член внутри скобки должен быть умножен на член вне скобки. Это свойство очень полезно при упрощении выражений и решении сложных уравнений.

Распределительное свойство над сложением:

a(b+c) = ab + ac

a(b-c) = ab – ac

Здесь термины, заключенные в скобки ( b и c ), равны

Пример 1:

2(5+3) = 2×5 + 2×3

2 x 8 = 10 + 6

16 = 16

Итак, свойство дистрибутивности над сложением доказано.

Пример 2:

2(5-3) = 2×5 – 2×3

2 x 2 = 10 – 6

4=4.

Итак, свойство дистрибутивности над вычитанием доказано.

Коммутативное свойство:

Коммутативное свойство утверждает, что результат не меняется, хотя числа в выражении меняются местами. Коммутативное свойство имеет место для сложения и умножения, но не для вычитания и деления.

Дополнение:

а+б = б+а.

Пример:

1+2 = 2+1

3=3, что верно.

Вычитание:

a-b ≠ b-a.

Пример:

1-2 = 2-1

-1=1, что неверно.

Умножение:

a x b = b x a

Пример:

2 x 3 = 3 x 2

6 = 6, что верно.

Раздел:

a ÷ b ≠ b ÷ a

Пример:

  4 ÷ 2 = 2 ÷ 4

2 = ½, что неверно.

Все еще нужна помощь по математике? Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими услугами репетиторства по математике.

SchoolTutoring Academy — это ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для учащихся K-12 и колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся в Парксвилле, посетите: Репетиторство в Парксвилле.

Коммутативное право (определение, дополнение и умножение)

В математике коммутативный закон применим только для операций сложения и умножения. Но он не применяется к двум другим арифметическим операциям, таким как вычитание и деление. В соответствии с коммутативным законом или коммутативным свойством, если a и b — любые два целых числа, то сложение и умножение a и b дают один и тот же ответ, даже если мы меняем положение a и b. Символически это может быть представлено как:

а+б=б+а

а×б=б×а

Например, если 2 и 5 — два числа, то;

2 + 5 = 5 + 2 = 7

2 × 5 = 5 × 2 = 10

Определение

Определение коммутативного закона гласит, что когда мы складываем или умножаем два числа, результирующее значение остается тем же самым, даже если мы меняем положение двух чисел. Или мы можем сказать, что порядок, в котором мы складываем или умножаем любые два действительных числа, не меняет результат.

Следовательно, если А и В — два действительных числа, то согласно этому закону;

А+В = В+А А.Б. = Б.А.

Примечание: Коммутативный закон не работает для вычитания и деления

Доказательство

Легко доказать коммутативный закон сложения и умножения. Пусть докажут примерами.

Коммутативный закон сложения

Коммутативный закон сложения гласит, что если сложить два числа, то результат равен сумме их переставленных позиций.

А+В = В+А

Примеров:

• 1+2 = 2+1 = 3
• 4+5 = 5+4 = 9
• -3+6 = 6+(-3) = 6-3 = 3

Этот закон неприменим для вычитания, потому что если первое число отрицательное и если мы изменим положение, то знак первого числа изменится на положительный, так что;

(-А)-В = -А – В ……(1)

После изменения положения первого и второго числа получаем;

В – (-А) = В + А …. (2)

Следовательно, из уравнений 1 и 2 мы можем видеть, что;

(-А)-В ≠ В-(-А)

Например: (-9)-2 = -9-2 = -11

и 2-(-9) = 2+9 = 11

Следовательно, -11 ≠ 11.

Коммутативный закон умножения

Согласно этому закону результат умножения двух чисел не меняется, даже если числа поменять местами.

Следовательно, A.B = B.A

Примеры:

• 1×2 = 2×1 = 2
• 4×5 = 5×4 = 20
• -3×6 = 6×(-3) = -18

Коммутативное право в процентах

Если при нахождении процентов поменять местами или поменять порядок значений, то ответ не изменится. Математически мы можем сказать;

А% от В = В% от А

Пример:

10% от 50 = 50% от 10

С,

10% от 50 = (10/100) x 50 = 5

50% от 10 = (50/100) x 10 = 5

Таким образом, ответ остается прежним.

Ассоциативные и распределительные законы

Помимо коммутативного закона, есть еще два основных закона, которые обычно используются в математике:

• Ассоциативный закон
• Распределительное право

Ассоциативный закон : Согласно этому закону, если A, B и C — три действительных числа, то;

• А+(В+С) = (А+В)+С
• A. (B.C) = (A.B).C

Как и правило перестановки, этот закон также применим к сложению и умножению.

Например: Если 2,3 и 5 три числа, то;

2+(3+5) = (2+3)+5

⇒ 2+8 = 5 + 5

.

⇒ 10 = 10 

.

и

2.(3.5) = (2.3).5

⇒ 2,(15) = (6,5)

.

⇒ 30 = 30 

.

Значит, доказано.

Распределительный закон: Этот закон полностью отличается от коммутативного и ассоциативного закона. Согласно этому закону, если А, В и С — три действительных числа, то;

A.(B+C) = A.B + A.C

Например: Если 2,3 и 5 три числа, то;

2.(3+5) = 2,3+2,5

2.(8) = 6+10

16 = 16

Также читайте:

• Ассоциативное свойство
• Распределительные свойства

Переместительный закон множеств

Наборы — это наборы элементов или объектов. В наборах мы узнали о различных типах операций, выполняемых над ними, таких как пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств и т. д.

Согласно коммутативному закону для объединения множеств и коммутативному закону для пересечения множеств порядок множеств, в котором выполняются операции, не меняет результат.

Итак, если A и B — два разных множества, то согласно закону коммутативности;

A ∪ B = B ∪ A [Объединение множеств]

A ∩ B = B ∩ A   [Пересечение множеств]

Например, если A = {1, 2, 3} и B = {3, 4, 5, 6}, тогда;

A Union B = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  …….. (i)

B Union A = B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}   ……… (ii)

Из (i) и (ii) получаем;

А ∪ В = В ∪ А

Сейчас,

Пересечение B = A ∩ B = {3}   ……..(iii)

B пересечение A = B ∩ A = {3}   ……..(iv)

Из (iii) и (iv) получаем;

А ∩ В = В ∩ А

Следовательно, доказан коммутативный закон объединения и пересечения двух множеств.

Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы

Что такое коммутативное право?

Коммутативный закон гласит, что когда мы складываем или умножаем два значения, то изменение порядка значений не меняет результат.