20. Методика ознакомления с переместительным и сочетательным свойствами умножения.

В курсе математики начальных классов нашли отражение все свойства умножения: переместительное, сочетательное и распределительное.

Коммутативность умножения представлена в учебниках как пе­реместительное свойство: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. При знакомстве с этим свойством умножения учащиеся выполняют задания на соотнесение рисунка с математической записью и на сравнение числовых выражений, в которых переставлены множители. Многие учащиеся путают, что означают пер­вый и второй множители в записи произведения. Чтобы предупре­дить эту ошибку, полезно предлагать им упражнения на выполне­ние рисунков, соответствующих той или иной конкретной ситуации.

Например:

«На каждую тарелку положили по 2 яблока. Покажи, только яблок на шести тарелках».

Большинство детей выложат такой рисунок: ОО ОО ОО ОО ОО ОО и выполнят запись 2•6=12.

Стоит сразу же выяснить, можно ли к данному рисунку выполнить такую запись: 6•2=12?

При обсужде­нии предлагается заменить произведение суммой и найти резуль­тат. Выясняется, что означают в данном случае числа 6, 2 и 12. Делается вывод, что 6•2 к данной ситуации не подходит. Учитель предлагает иначе разложить яблоки на тарелки, в соответствии с записью 6•2=12. Отсюда делается вывод, что переместительное свойство умножения справедливо только для числовых выражений (3•4=4•3, 5•8=8•5). Если же речь идет о предметной ситуации, то необходимо учитывать, что обозначает каждое число в записи произведения.

Сочетательное св-во: в учебнике Моро изучение сочетательного свойства умножения, которое представлено как умножение числа на произ­ведение, предшествует изучению темы «Умножение на числа, оканчивающиеся нулями». Это позволяет познакомить учащихся с новым способом действия при выполнении устных вычислений для данного случая умножения и обосновать ту форму записи «в стол­бик», которая используется при умножении чисел, оканчивающих­ся нулями.

При знакомстве со свойством умножения числа на произведе­ние в учебнике Моро учащимся предлагаются образцы различных способов вычислений. Анализируя данные образцы, они приходят к выводу, что умножать число на произведение можно тремя раз­личными способами.

Приведем задания, которые предложены в учебнике Моро при изучении сочетательного свойства умножения:

1) Рассмотри разные способы умножения числа 7 на произведение чисел 4 и 2. Сравни результаты.

а)7•(4•2)=7•8=56;

б)7•(4•2)=(7•4)•2=28•2=56;

в)7•(4•2)=(7•2) •4=14•4=56

В учебнике Истоминой(2) при знакомстве учащихся с сочетательным св-ом использ. соотнесение рисунка с математической записью.

Пример: можно ли утверждать, что значения выражений одинаковы: 8•(4•6), 8•24, (8•4) •6, 32•6, 6•32.

Распределительное св-во:

Возможен вариант, когда сам термин «распределительное свойство умножения» не вводится, а рассматриваются два прави­ла:

а) умножение суммы на число;

б) умножение числа на сумму.

Изучение этих правил разведено во времени, т.к. первое пра­вило лежит в основе вычислительного приема умножения двузнач­ного числа на однозначное (в пределах 100), а второе правило вводится для разъяснения способа действия при умножении дву­значного числа на двузначное «в столбик».

Этот вариант нашел отражение в учебниках Моро.

Для усвоения правила умножения суммы на число в учебнике Моро предложены задания: — Три группы детей сделали к празднику каждая по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети? Рассмотри два спо­соба решения этой задачи и объясни каждый из них.

Первый способ: (6+4) •3=10•3=30 Ответ: 30 масок.

Второй способ: 6•3+4•3=18+12=30 Ответ: 30 масок.

Возможен вариант, когда учащиеся знакомятся с названием свойства («распределительное свойство Умножения») и усваиваютего содержание в процессе выполнения различных заданий. Этот вариант нашел отражение в учебниках Истоминой. При умножении суммы на число можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

Умножение рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

Умножение рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

План урока

• Умножение рациональных чисел
• Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел
• Коэффициент

Цели урока

• Знать правила умножения рациональных чисел, свойства умножения рациональных чисел, понятие «коэффициент»
• Уметь умножать рациональные числа, использовать свойства умножения для упрощения вычислений, находить коэффициент в буквенном выражении

Разминка

• Как сложить два отрицательных числа?
• Как найти сумму чисел с разными знаками?
• Сформулируйте правило вычитания рациональных чисел

Умножение рациональных чисел

Умножение натуральных чисел можно представить в виде сложения:

 

4·3=4+4+4=12

 

Представим произведение  в виде суммы слагаемых:

 

-4·3=-4+(-4)+(-4)=-12

 

Для положительных чисел выполняется переместительное свойство умножения, оно же верно и для любых рациональных чисел:

 

-4·3=3·(-4)=-12.

 

Так как 12 и -12 — противоположные числа, то произведение чисел 4·3 будет противоположным произведению -4·3, оно же будет противоположным и для 3·(-4).

 

-4·3=-(4·3)=-12

3·(-4)=-(3·4)

 

Значит в каждом случае мы получим отрицательное значение произведения.

 

Обратим внимание на запись 3·(-4). Так как нельзя подряд записать два знака действий, число –4 заключают в скобки.

---

Правило умножения чисел с разными знаками

 

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «–».

---

Видим, что произведения 4·3, -4·3 и 4·(-3) отличаются только знаками. Значит изменение знака у одного множителя меняет знак у всего произведения.

 

А что будет, если поменять знаки у обоих множителей? Тогда знак произведения изменяется дважды, т.е., по сути, остается тем же. Получается, что, умножая отрицательные числа, фактически мы перемножаем их модули, не обращая внимания на знаки:

 

-3·(-4)=|-3|·|-4|=3·4=12.

---

Правило умножения отрицательных чисел

 

Чтобы умножить два отрицательных числа, нужно умножить их модули.

---

-1,3·(-5)=|-1,3|·|-5|=1,3·5=6,5.

 

-23·(-45)=|-23|·|-45|=23·45=815.

 

Вы знаете, что при умножении числа на 1 оно не меняется. А если мы умножим на -1, то по правилу мы должны поменять знак, т.е. получить противоположное число. 

---

b·1=1·b=b

b·(-1)=(-1)·b=-b

b·0=0·b=0

---

Правила, которые мы сегодня разобрали имеют ряд выводов:

---

1. Если два числа имеют одинаковые знаки, то их  произведение положительно. И наоборот, если произведение двух чисел положительно, то эти числа имеют одинаковые знаки.

 

2. Если два числа имеют разные знаки, то их произведение отрицательно. И наоборот, если произведение двух чисел отрицательно, значит они имеют разные знаки.

 

3. Если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение будет равно нулю. И наоборот, если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю.

Это правило распространяется на любое количество множителей.

---

Пример 1 

Решите уравнение (4+x)(x-3,4)=0

---

Решение

 

Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

 

4+x=0 или x-3,4=0

x=-4 или x=3,4

 

Ответ: -4; 3,4.

---

Пример 2

Докажите, что значение выражения x2 неотрицательно.

---

Решение

 

1. Если x — положительное число, то x2=x·x — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).

2. Если x — отрицательное число, то x2=x·x — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).

3. Если x=0, то произведение по свойству равно нулю.

 

Видим, что отрицательных значений произведение не принимает. Таким образом, значение выражения x2 всегда неотрицательно.

---

При любых значениях x выражение x2 принимает только неотрицательные значения.

 

x2≥0

---

Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел

Мы уже говорили выше, что для рациональных чисел справедливо переместительное свойство умножения.

 

Это касается также и сочетательного свойства.

---

Для любых рациональных чисел a и b выполняются равенства:

 

ab=ba переместительное свойство умножения;

(ab)c=a(bc) сочетательное свойство умножения.

---

Используя эти свойства, в произведении нескольких рациональных чисел мы можем переставлять множители местами, расставлять скобки, тем самым определяя наиболее удобный порядок выполнений действий.

 

(-25·7)·(-4)=(-25·(-4))·7=700

Коэффициент

Рассмотрим выражение 0,2x·7,1y·(-5). Упростим выражение, используя свойства умножения:

 

0,2x·7,1y·(-5)=0,2·x·7,1·y·(-5)=(0,2·7,1·(-5))·x·y=-7,1xy.

 

В полученном выражении –7,1 — числовой множитель, который по-другому еще называют коэффициентом .

 

Заметим, что в выражении 0,2x·7,1y·(-5) ни один из числовых множителей 0,2; 7,1 или –5 не является коэффициентом.

 

Чтобы найти коэффициент в буквенном выражении, нужно найти произведение всех его числовых множителей.

 

Коэффициент 1 и -1 обычно не записывают перед числом.

 

У выражения a коэффициент равен 1, а у выражения -a коэффициент равен -1.

---

Упражнения

1.  1) 36·(-4);        2) -7,8·(-7);        3) -449·(-118);        4) -556·157.

 

2. Выполните действия:

 

1) -13,4·0,6+(-2,3)·3,8;          2) (2,8-5)·(-9,38+9,36).

 

3. Решить уравнение: (x+9)(x-8)=0.

 

4. Упростите выражение и назовите его коэффициент:

 

1) -3,2·6x;        2) -0,8y·(-0,7);        3) 5a·(-1,4b)·0,6c

---

Контрольные вопросы

 

1. Как умножить числа с разными знаками?

2. Как умножить два отрицательных числа?

3. Какие знаки должны иметь множители, чтобы произведение двух чисел было отрицательным? Положительным?

4. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства умножения.

5. Что такое коэффициент?

---

Ответы

1. 1) – 144;    2) 54,6;    3) 5;    4) – 10.

2. 1) – 16,78;    2) 0,044.

3.  – 9; 8.

4. 1) – 19,2x;    2) 0,56y;    3) – 4,2abc.

---

Ассоциативное и коммутативное свойство сложения и умножения (с примерами)

Обновлено 21 июня 2023 г.

Автор: Mary Lougee

В математике ассоциативные и коммутативные свойства — это всегда существующие законы, применяемые к сложению и умножению. Ассоциативное свойство утверждает, что вы можете перегруппировать числа, и вы получите тот же ответ, а коммутативное свойство утверждает, что вы можете перемещать числа и по-прежнему получать тот же ответ.

Эти свойства полезны при работе с порядком операций, поскольку они помогают нам дорабатывать и переставлять задачи, не теряя при этом правильного ответа.

TL;DR (слишком длинный; не читал)

Ассоциативные и коммутативные свойства по-прежнему применимы к вычитанию и делению, но важно оформить их в терминах сложения и умножения, чтобы избежать арифметических ошибок (например, при делении на 3 равносильно умножению на 1/3).

Что такое ассоциативное свойство?

Ассоциативное свойство происходит от слов «ассоциировать» или «группа». Это относится к группировке чисел или переменных в алгебре. Вы можете перегруппировать числа или переменные, и вы всегда будете получать один и тот же ответ. Обычно в математике мы группируем числа и переменные с помощью круглых скобок, а свойство ассоциативности позволяет нам перегруппировать числа без изменения значения выражения.

Ассоциативное свойство сложения:

(a+b) + c = a + (b + c)

\textit{Пример:} \ \ (4+3)+6 = 4+(3+6) = 13

Ассоциативность умножения:

(a \times b)\times c = a \times (b \times c)

\textit{Ex:} \ \ (7 \times 2) \times 2 = 7 х (2 х 2) = 28

В некоторых случаях вы можете упростить вычисления, умножая или добавляя числа в другом порядке, чтобы найти более простые закономерности или комбинации переменных.

‌ Пример ассоциативного свойства: ‌ Что такое 19 + 36 + 4?

19+36+4 = 19 + (36+4) = 19 + 40 = 59

Что такое коммутативное свойство?

Свойство коммутативности в математике происходит от слов «коммутировать» или «передвигаться». Это правило гласит, что вы можете перемещать числа или переменные в алгебре и получать тот же ответ.

Это уравнение определяет коммутативность сложения:

a + b = b + a

\textit{Ex:} \ \ 4 + 3 = 3 + 4 = 7

Это уравнение определяет коммутативность умножения:

a \times b = b \times a

\textit{Ex:} \ \ 7 \times 3 = 3 \times 7 = 21

Иногда изменение порядка упрощает сложение или умножение, особенно с большими числами.

‌ Пример коммутативного свойства: ‌ Что такое 2 × 16 × 5?

2 х 16 х 5 = 2 х 5 х 16 = (2 х 5) х 16 = 10 х 16 = 160

Другие соображения

Во всех приведенных выше примерах использовались положительные целые числа (также называемые натуральными числами или положительными целыми числами), но эти свойства работают для операций с любыми дробями, десятичными знаками и отрицательными числами. Это включает в себя рациональные числа, такие как 1/2 или 5/8, а также работает для всех действительных чисел (включая иррациональные числа, такие как пи и е).

Не менее важным становится выявление алгебраических выражений и ситуаций, когда эти свойства неприменимы. Ассоциативные и коммутативные свойства работают только с операторами одного типа, поэтому вы можете менять местами только те значения, которые складываются или перемножаются вместе.

Некоторые другие свойства сложения и умножения, не охваченные этими сценариями, включают:

‌ Распределительное свойство умножения ‌

a(b + c) = ab + ac

‌ Тождество свойства умножения 9 0036 ‌

a \times 1 = a

‌ Свойство идентичности сложения ‌

a + 0 = a

Существуют дополнительные свойства и соглашения для показателей степени, смешанных чисел, логарифмов, операций в тригонометрии и многого другого.

Дополнительные практические задачи для учащихся

В этом упражнении используется комбинация ассоциативных и коммутативных свойств:

Чему равно это уравнение:

Найдите неизвестное значение для ‌ x ‌:

2 + ( х +8) = (4+2) + 8 \\ х = \ ?

Найдите неизвестное значение для ‌ x ‌:

(2 x 3) x x = (4 x 2) x 3 \\

Каковы свойства умножения? Определение, примеры, факты

Каковы свойства умножения?

Свойства умножения — это определенные правила или формулы, помогающие упростить выражения, связанные с умножением.

Мы знаем, что умножение определяется как многократное сложение.

Например, $12 \times 6$ — это 12, добавленное к самому себе 6 раз.

$12 \times 6= 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12$

             $= 72$

Пять основных свойств умножения: 

• Совместное имущество
• Ассоциативное свойство
• Распределительное имущество
• Идентификационное свойство
• Нулевое свойство

Родственные игры

Свойства умножения

9 0189

Свойства умножения
Переместительное свойство	$a \times b = b \times a$
Ассоциативное свойство	$a \times (b \times c) = a \times (b \times c)$
Распределительная собственность	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ $a \times (b\;-\;c) = (a \ раз б) \;-\; (a \times c)$
Свойство идентичности	$a \times 1 = 1$
Нулевое свойство	$a \times 0 = 0$

Связанные рабочие листы

Коммутативное свойство of Multiplication

Коммутативное свойство умножения гласит, что умножение двух чисел остается неизменным, даже если порядок чисел изменяется. Изменение порядка умножения не меняет произведение.

Пример 1: Умножим 3 на 5.

$3 \times 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15$ \ раз 3 = 5 + 5 + 5 = 15$ 

Ответ тот же, даже после изменения порядка чисел. Таким образом, умножение коммутативно.

Посмотрите на тот же пример с использованием массива умножения.

Ассоциативное свойство умножения

Ассоциативное свойство умножения гласит, что если мы хотим умножить любые три числа, ответ всегда будет одним и тем же, независимо от порядка, в котором мы умножаем числа.

$a \times (b \times c)=(a \times b) \times c$

Пример:  

$2 \times (5 \times 4)=2 \times 20 = 40$

$(2 \times 5) \times 4=10 \times 4 = 40$

Как и в обоих случаях, ответ получается один и тот же, независимо от того, как сгруппированы числа. Следовательно, умножение ассоциативно.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство умножения утверждает, что умножение может быть распределено на сложение а также вычитание . Это свойство помогает нам решать выражения со скобками. Это также ускоряет расчет за счет уменьшения шагов.

Распределительное свойство умножения над сложением:

$a (b + c) = ab + ac$

Распределительное свойство умножения над вычитанием: 

$a(b\;-\;c) = ab\;- \;ac$

Пример 1:  $2 \times (3 + 1)$

$2 \times (3 + 1) = 2 \times 4 = 8$ 

$2 \times (3 + 1) = (2 \times 3) + (2 \times 1) = 6 + 2 = 8$

В обоих случаях мы получаем одинаковый ответ. Следовательно, умножение дистрибутивно над сложением.

Пример 2:  $5 \times (4\;-\;2)$

$5 \times (4\;-\;2) = 5 \times 2 = 10$ 

$5 \times (4\ ;-\;2) = (5 \times 4)\;-\;(5 \times 2) = 20\;-\;10 = 10$

Умножение является дистрибутивным над вычитанием.

Идентификационное свойство умножения

Свойство идентичности умножения гласит, что если умножить любое число на 1, ответом будет само число. Представляется как $a \times 1 = a$ .

Примеры:

$3 \times 1 = 3$

$7 \times 1 = 7$

Нулевое свойство умножения

Согласно нулевому свойству умножения , когда число умножается на 0, произведение всегда равно 0.  

Оно представлено как $a \times 0 = 0$.

Примеры:   

$42 \times 0 = 0$

$0 \times 23 = 0$.

Другие важные свойства умножения

Давайте обсудим несколько других важных свойств умножения.

Свойство замыкания умножения

Свойство замыкания умножения утверждает, что когда множество чисел замыкается при умножении, произведение любых двух чисел из множества принадлежит самому множеству.

Пример 1: Умножение двух целых чисел также является целым числом. Если a и b — целые числа, то $c = a \times b$ также будет целым числом. Итак, целые числа замкнуты относительно умножения. Например, $(\;-\;2) \times 8 = (\;-\;16)$.

Пример 2: Произведение любых двух рациональных чисел также является рациональным числом.

Свойство равенства умножения

Если мы умножаем обе части уравнения на одно и то же число, равенство выполняется.

Если $a = b$, то $a \times c = b \times c$

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{2}x = 50$

Умножим обе части на 2, получим

$\frac{1}{2}x \times 2 = 50 \times 2$

$x = 100$

Обратное свойство умножения с его обратным (мультипликативным обратным) произведение всегда равно 1.

Обратное число определяется как мультипликативное обратное число, а обратное число равно 1, деленному на это число.

Представляется $a \times 1a = 1$.

Операция	Знак
$(+) \times (+)$ Положительный $\times$ Положительный	$(+)$ Положительный
$( \;-\;) \times (\;-\;)$ Отрицательный $\times$ Отрицательный	$(+)$ Положительный
$(+) \times (\;-\;)$ Положительный × Отрицательный	$(-)$ Отрицательный
$(\;-\;) \times (+)$ Отрицательное $\times$ Положительное	$(-)$ Отрицательное

Факты о свойствах умножения

• Мультипликативное значение, обратное 0, не определено.
• 1 называется тождественным элементом умножения, так как любое число, умноженное на него, дает само число.
• Любое число, умноженное на 0, дает 0.

Заключение

В этой статье мы узнали о свойствах умножения: ассоциативность, коммутативность умножения, дистрибутивность умножения, тождественность умножения, нулевое свойство умножения. Давайте решим несколько примеров и попрактикуемся в решении задач, чтобы лучше понять концепцию.

Решенные примеры свойств умножения

1. Определите свойства умножения, используемые в каждом уравнении.

(i)  $7 \times 5 = 5 \times 7 = 12$

(ii)  $4 \times (3 \times 8) = (4 \times 3) \times 8$

(iii) $1 \ умножить на 46 = 46$

(iv) $34 \times \frac{1}{34} = 1$

Решение:  

(i)   $7 \times 5 = 5 \times 7 = 12$ 90 003

Переместительное свойство умножения

(ii) $4 \times (3 \times 8) = (4 \times 3) \times 8$

Ассоциативное свойство умножения

(iii) $1 \times 46 = 46$

Тождественное свойство умножения

(iv) $34 \times \frac{1}{34} = 1$

Обратное свойство умножения.

2. Найдите недостающие числа.

$12 \times (4 + 3)= \underline{} + \underline{}$

Решение:  

Распределительное свойство умножения над сложением определяется как

 $a(b + c) = ab + ac$

Таким образом, мы можем написать

$(4 + 3) \times 12 = (4 \times 12 ) +(3 \times 12)$

$(4 + 3) \times 12 = 48 + 36$

3. Заполните пропуски: $17 \times (90 \times 11) = (17 \times \underline{}) \times 11$

Решение: 

По ассоциативному свойству умножения имеем

$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$

Таким образом,

$17 \times (90 \times 11) = (17 \times 90) \times 11$

4. Найдите произведение $75 \times \;-\;31 \times \frac{ 1}{75}$ с использованием подходящей недвижимости.

Решение: 

$75 \times (\;-\;31) \times \frac{1}{75} = (75 \times \frac{1}{75}) \times (\;- \;31)$ . .Коммутативное и ассоциативное свойство 

$= 1 \times(\;-\;31)$ ..Обратное свойство

  $=\;-\;31$  ..Тождество

Практические задачи на свойства умножения

1

Какое из следующих выражений использует обратное свойство умножения?

$0 \times 5 = 0$

$4 \times 3 = 3 \times 4 = 12$

$1 \times 46 = 46$

$4 \times 14 = 1$

Правильный ответ: $4 \ раз 14 = 1$
Обратное свойство умножения утверждает, что произведение числа на его обратное число равно 1. Оно может быть представлено как $a \times \frac{1}{a} = 1$
Полагая $a = 4$, получаем $4 \times \frac{1}{4} = 1$

2

Определите ассоциативное свойство умножения.

Если $a = b$, то $a \times c = b \times c$

$a (b + c) = ab + ac$

$a \times b = b \times a$

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

Правильный ответ: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
ассоциативное свойство умножения может быть представлено как
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

3

Заполните пропуски в следующем выражении:

45

75

125

3

Правильный ответ: 3
По as социативное свойство умножения, имеем
$(a \times b ) \times c = a \times (b \times c)$
Таким образом, $45 \times (79 \times 3) = (45 \times 79) \times 3$

4

$(\;-9\ 😉 \times \frac{1}{9}=$

1

$-1$

81

Правильный ответ: $-1$
Произведение числа и его обратного числа равно 1,
Таким образом, $9 \times\frac{1}{9} = 1$
Кроме того, умножение положительного числа на отрицательное дает отрицательное число. Таким образом, $(\;-\;9) \times \frac{1}{9} = \;-1$

5

По какому свойству умножения можно записать $999 \times 0 = 0$?

Обратное свойство

Ассоциативное свойство

Свойство нуля

Свойство тождества

Правильный ответ: свойство нуля
Согласно нулевому свойству умножения, когда число умножается на 0, произведение всегда равно 0.
Представляется как $a \times 0 = 0$.

Часто задаваемые вопросы о свойствах умножения

Что такое мультипликативное тождество?

Мультипликативное тождество — это число, которое при умножении на любое число «а» дает произведение «а». Мультипликативное тождество — действительное число равно 1, потому что $a \times 1 = a$. Это другое название тождественного свойства умножения.

Что такое множимое и множитель?

Множимое $\times$ Множитель $=$ Произведение

Множимое: первое умножаемое число.