«Свойства сложения и умножения. Переместительное и сочетательное свойства» (5 класс)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ДЕЙСТВИЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ И СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВА

Математическая разминка

1) Дано равенство. Какой компонент неизвестен? Найдите его.

а) 17 ∙ b = 51;

б) а : 18 = 5;

в) 70 : а = 5;

г) 270 + а = 500;

д) b – 150 = 360;

е) 250 – с = 170;

второй множитель, 3

?

делимое, 90

?

делитель, 14

?

второе слагаемое, 230

?

уменьшаемое, 510

?

вычитаемое, 80

?

Вы узнаете

Как можно упрощать вычисления, используя свойства сложения и умножения

Правила, устанавливающие порядок действий в вычислениях, используют вычислительные машины для вычисления числовых значений. Человек считает хуже машины, но зато умеет думать и облегчать свою работу.

Такую возможность при вычислениях дают свойства сложения и умножения.

Попробуй определить свою цель на уроке

Переместительное и сочетательное свойства

Вы, конечно, знаете, что сложение чисел обладает переместительным свойством: при перестановке слагаемых сумма не меняется. С помощью букв это свойство записывается так:

для любых чисел а и b

a + b = b + a

Вам известно также, что сложение чисел обладает сочетательным свойством. Оно состоит в том, что в сумме трех чисел можно объединять в группу как первые два слагаемые, так и последние два – результат будет одним и тем же. С помощью букв это свойство записывается так:

для любых чисел а, b и с

(a + b) + c = a + (b + c)

Запишите примеры, применяя переместительное свойство сложения:

9 + 71

71 + 9 = . ..

48 + 24

24 + 48 = …

4 + 113

113 + 4 =

Как иначе можно записать сочетательное свойство сложения?

(a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) + c = b + (a + c)

(a + b) + c = c + (a + b)

Запишите примеры, применяя сочетательное свойство сложения:

16 + (71 + 9)

(71 + 16) + 9 = …

48 + (24 + 6)

24 + (48 + 6) = …

4 + (113 + 37)

113 + 4 + 37 = …

Переместительное и сочетательное свойства

Действие умножения также обладает переместительным и сочетательным свойствами. С помощью букв эти свойства записываются так:

для любых чисел а, b и с

a ∙ b = b ∙ a

a ∙ (b ∙ с) = (a ∙ b) ∙ с

Вычислим удобным способом:

50 2 2453 =

50

2

2453

(

)

=

=

100 2453 =

=

245300

Переместительное и сочетательное свойства

Переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения позволяют сформулировать следующие правила преобразования сумм и произведений:

!

Удобные вычисления

Рассмотренные правила сложения и умножения чисел полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в выражения, удобные для вычислений.

Пример №1.

Вычислим сумму В этом выражении есть числа, при сложении которых получается «круглые» числа – это 44 и 56 , а также 189 и 11 .

44 + 189 + 56 + 92 + 11

Заметив это, легко сложить числа устно.

Очевидно, что сумма равна 392 .

100

200

Удобные вычисления

Пример №2.

Вычислим произведение

4 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 25 .

Произведение 4 и 25 равно 100 , а на 100 умножать легко, и ответ можно получить устно:

4 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 25 = (4 ∙ 25) ∙ (7 ∙ 11) = 100 ∙ 77 = 7700.

100

77

Вычисли,используя переместительное и сочетательное свойства умножения. 2×6×8×5 3×2×9×5 12×40 6×45 5×(20×8) 2×(9×50) 6×10×6 4×2×10 5×10×4 10×7×7 6×3×10 6×10×5 8×10×9 3×7×10 4×10×4 нужно решение ответы знаю — Школьные Знания.net

• Все предметы

• Математика

• Литература

• Алгебра

• Русский язык

• Геометрия

• Английский язык

• Физика

• Биология

• Другие предметы

• История

• Обществознание

• Окружающий мир

• География

• Українська мова

• Информатика

• Українська література

• Қазақ тiлi

• Экономика

• Музыка

• Беларуская мова

• Французский язык

• Немецкий язык

• Психология

• Оʻzbek tili

• Кыргыз тили

• Астрономия

• Физкультура и спорт

Ответ дан

Kierra

2×6×8×5= (6×8)×(2×5)= 48×10=480.

3×2×9×5= (3×9)×(2×5)= 27×10=270.

12×40= 2×6×4×10=(6×4)×(2×10)=24×10=240.

6×45= 2×3×5×9=(2×5)×(3×9)=10×27=270.

5×(20×8)= 8×(5×20)=8×100=800.

2×(9×50)= 9×(2×50)=9×100=900.

6×10×6= 36×10=360.

4×2×10= 8×10=80.

5×10×4= 20×10=200.

10×7×7= 49×10=490.

6×3×10= 18×10=180.

6×10×5= 30×10=300.

8×10×9= 72×10=720.

3×7×10= 21×10=210.

4×10×4= 16×10=160.

Переместительное свойство умножения:

a×b=b×a.

Сочетательное свойство умножения:

a×(b×c)= c×(a×b).

Как отличить коммутативность от ассоциативности

Вы их много путаете, и это не ваша вина. Они похожи в что они оба о порядке. Ассоциативность относится к порядку операции, а коммутативность касается порядка аргументов. Мы идем через несколько примеров, чтобы помочь прояснить различие.

Эрик Норманд: [смеется] Ребята, это самое важное. Как ты различать коммутативность и ассоциативность? Как вы расскажете разница?

Меня зовут Эрик Норманд, и я помогаю людям добиваться успеха с помощью функциональных программирование.

Меня это расстраивает, потому что я все время путаю этих двоих. время, хотя я знаю разницу. Я знаю, что.

Я мог бы написать разницу в математике, но все же, когда я говорю и когда я просто случайно решаю проблему, я делаю ошибки, и это отстой. Я думаю, что одна из проблем в том, что они очень тесно связаны, особенно то, как их учат.

Приведенные примеры, которые обычно являются сложением и умножение, не различайте ассоциативность и коммутативность очень хорошо. И сложение, и умножение оба ассоциативный и коммутативный. Если вы используете их в качестве примеров, вы не можете определите по примерам, какой из них какой.

На самом деле трудно найти коммутативную функцию. Это на самом деле немного сложно найти коммутативную функцию, которая не ассоциативный. Вы можете найти их. Вы можете построить их. Они не это тяжело. Кажется, что большинство простых, хорошо известных математических функции, которые коммутативны, также ассоциативны.

Мы собираемся найти. О них мы и поговорим в этом эпизод. Давайте начнем.

Я предполагаю, что если вы слушаете это, вы понимаете некоторые из основы выполнения математических операций со скобками. Когда вам нужны скобки, порядок действий, особенно при умножении и сложении, и идея аргументов вашим операторам.

Если у нас есть только основные идеи, мы можем все это прояснить.

Одна из проблем заключается в том, что и ассоциативность, и коммутативность о заказах. Я люблю говорить, что коммутативность связана с порядком и ассоциативность связана с группировкой. Может быть, это еще больше сбивает с толку, потому что если вы читаете в Википедии, они говорят, что ассоциативность — это примерно порядок операции. Они снова говорят о порядке.

По крайней мере, для этого эпизода я скажу, что они оба о заказ. Они оба о разных приказах, типах приказов. Потому что когда мы пишем математическую формулу x + y * z * w, то мы там разные заказы.

Во-первых, это лексический порядок всего написанного. Нам нужно было иметь какой-то линейный порядок, потому что так работает наша газета.

Кроме того, здесь есть структурный порядок. Есть вложение структура. Эта вложенность неявна, когда мы пишем это так потому что у нас есть представление о порядке операций. ты собираешься сделать умножение перед сложением. Мы учимся этому в школа.

Если вы собираетесь нарушить это правило — вам нужно сначала сделать сложение перед умножением — вы заключаете его в круглые скобки. Вы положили пара скобок. Это означает: «Сделайте это раньше…» правило для этого случая. Вы будете использовать эти скобки.

Есть два заказа. Есть лексический порядок написания. Тогда есть структурный порядок, в котором вы должны выполнять вычисления в. Вот разница между двумя заказами. Ассоциативность говорит порядок операций значения не имеет.

Если вы посмотрите на a + b + c + d, порядок операций не имеет значения. Они все плюс. Вы могли бы по существу нарисовать круглые скобки любым способом ты хочешь. Вы можете начать слева, работать a + b, затем добавить c и затем добавить д. Вы начинаете справа. Вы можете начать с d, тогда добавьте c, а затем добавьте b. Вы могли бы это сделать. Вы получаете то же самое отвечать.

Вот что означает ассоциативность — что вы можете сгруппировать это как угодно хочу. Вы можете поставить скобки здесь, вы можете скобки здесь у вас будет тот же ответ.

Это работает, потому что они все плюсовые. Это все одна и та же операция. Как только вы добавите туда время, оно больше не будет работать. Вы придется соблюдать порядок действий. Когда вы только что получили плюсы, вы можете сделать это.

Мы могли бы также назвать эту группировку, потому что это то, что делают круглые скобки. Они группируют операции со своим операндом. Они группируют эти выражения вместе. Они говорят вам, что этот должен оставаться вместе. Это идет первым. Этот идет раньше всех остальных. Они с указанием порядка операций, порядка выполнения выражение в.

Коммутативность — это порядок аргументов. Это лексический порядок.

Если у меня есть a + b + c + d, это другое выражение, чтобы сказать d + c + b + а, но я получу тот же ответ. Я пишу по-другому, но я получить тот же ответ. Это коммутативность. В более простом выражении, если У меня а+б, это то же самое, что б+а. Я изменил порядок аргументы. Вот и вся коммутативность.

Это говорит о том, что вы можете изменить порядок аргументов без изменения смысл этого выражения.

Рассмотрим операцию, которая является коммутативной, но не ассоциативной. я не хочу попасть в ту же ловушку, в которую мы попадаем с помощью плюса как для ассоциативных, так и для коммутативных. С коммутативом это означает, что вы может изменить порядок аргументов. Любой заказ даст вам тот же результат.

Вот пример — средний. Если я хочу дать среднее значение двух числа, неважно, в каком порядке они стоят. Я собираюсь добавить два вверх, и я собираюсь разделить на два. Это даст мне среднее из двух чисел.

Я знаю, что это неассоциативно, потому что я не могу сказать, что хочу среднее значение a и b и c. Допустим, у меня был средний оператор. я не могу делать среднее b среднее c. Почему бы и нет? Если бы я взял a и b и я усреднив их, я бы получил (а + b) / 2, и теперь я не мог принять это среднее, добавить c и разделить все на 2.

Я получу другой ответ, чем если бы я сделал (b + c) / 2, а затем добавьте а, а затем разделите все это на 2. Это не то, как вы рассчитать среднее. Вы должны сложить все из них, а затем разделить на счет. Мы сделали эту усредненную функцию, которая работает на двоих. аргументы, но теперь это не ассоциативно из-за того, как мы реализовал это.

Другой пример — равенство. Если у меня есть что-то вроде a = b = c. Это что-то, что мы небрежно пишем в математике, что говорит, что a и b и c все равны; а = б = с. Если я смотрю на это как на операцию, которая возвращает логическое значение, допустим, a, b и c являются числами. Я делаю a = b, это происходит чтобы вернуть либо истину, либо ложь. Допустим, это правда.

Затем я сравниваю это «истина» с числом с, оно будет ЛОЖЬ. Это больше не имеет смысла. я не могу так назвать ассоциативный. Вы заметили, что происходит, мы возвращаем другой тип. Мы начали с цифр. Возьмите два числа, сравните их равно, и мы возвращаем логическое значение.

Одним из требований ассоциативности является возврат одного и того же введите в качестве аргументов. Это то, что позволяет группировке происходить структурно. Если вы добавите два числа, вы получите еще одно число, и так что позволяет вам вложить их. Вы не можете вложить равенство проверить и выполнить проверку на равенство с другим числом. Вы не можете этого сделать.

Существуют способы проверки среднего значения и равенства, которые являются ассоциативными, но это не типичные способы их написания. Возможно, однажды, мы рассмотрим их в другом выпуске, но не будем те сейчас. На самом деле это очень крутое упражнение. Тебе стоит попробовать это вне.

Теперь давайте рассмотрим операцию, которая является ассоциативной, но не коммутативный. Поскольку он диссоциативен, порядок операций не важно. Это двойное отрицание, извините.

Поскольку это не коммутативный порядок аргументов, он имеет значение. Помните, ассоциативность — это порядок группировки, значения не имеет. порядок операций не имеет значения, и тогда коммутативность — это порядок аргументов не имеет значения. Этот найти немного проще потому что есть много ассоциативных структур данных — назовем они, что — это зависят от порядка аргументов.

Конкатенация строк является ассоциативной. Совершенно ясно, что он встречается наши требования. Если я возьму две строки, соединив их, я получу вытянуть. Очень просто. Если я возьму три строки и соединю их, неважно, как я их группирую. Если у меня есть строка A, строка B и строку C. Если я сначала сгруппирую A и B, у меня будет строка AB. Затем я могу добавить C в конец, так что это ABC.

Если я сначала поставлю B и C, так что у меня будет BC в качестве строки, то я поставлю буква А спереди, тогда у меня есть буква АВС. Я получаю ту же самую строку. Уведомление, Я не могу изменить порядок аргументов. A, объединенный с B, отличается от B, объединенного с A. Во-первых, я получаю строку AB. другой, я получаю строку BA. Довольно ясно. Я просто должен сказать это вслух для записи.

Это пример чего-то ассоциативного, но не коммутативный. Гораздо проще найти.

Другой пример — слияние карт. Слияние карт означает, что при наличии двух карт я создаю новая карта, которая имеет все ключи первой карты, первый аргумент и все ключи ко второму. Он возвращает новую карту и принимает две карты.

Причина, по которой порядок имеет значение, заключается в том, что вы не можете изменить порядок двух карт, если есть ключевое столкновение, если карта A и карта B обе имеют один и тот же ключ с другим значением, один из них будет перезаписать другой. Обычно мы делаем так, чтобы второй аргумент перезаписывался. первый аргумент.

Это дает ему приказ, так что вы не можете просто поменять местами A и B, но это еще ассоциативный. Если у меня три карты, то я могу их сгруппировать либо путь. Вы можете попробовать это сами. Будет трудно говорить об этом как запись.

Позвольте мне резюмировать. И ассоциативность, и коммутативность связаны с порядком. Они оба говорят, что порядок не имеет значения, но это два разных порядка.

На самом деле идут разные заказы. Есть лексический порядок что вы должны записать вещь. У вас есть a + b + c. А, б, в находятся в определенном порядке.

Далее идет структурный порядок, который вы можете наложить на этот линейный порядок, который говорит, как вы собираетесь вычислить это. Вы можете рассчитать слева или справа, даже с середины, если хотите. Вы можете разбить его на две части. Есть много способов сделать это.

Ассоциативность и коммутативность пытаются различать те заказы и сказать, когда и когда это не имеет значения. Ассоциативность говорит порядок операций значения не имеет. Как вы разбиваете это большое расчет и начать разбивать его на более мелкие операции, то есть Порядок операций. Ассоциативность говорит, что это не имеет значения.

Коммутативность говорит, что порядок аргументов не имеет значения. Обычно это означает изменение лексического порядка того, как это написано. Вы идете a + b + c. Вы идете b + a + c. Вы меняете порядок написания. Иногда это имеет значение. Иногда это не так. Когда это не имеет значения, называется коммутативным.

Мы рассмотрели две операции, которые были коммутативными, но не ассоциативными. У вас средний. Среднее из двух чисел берет два числа и добавляет их. Это ассоциативно и коммутативно, сложение. Как только вы делим на два, это уже не ассоциативно, но все равно коммутативный. Вы получите один и тот же ответ независимо от того, в каком порядке аргументы включены, но теперь вы не можете сгруппировать их таким же образом.

Аналогично, равенство. Имеет изменение типа. Что ты делаешь — я снова о среднем — вы берете два значения, и вы возвращая среднее значение, которое в основном другого типа. Это не имеет тех же свойств измеренного значения, как я измерил все эти высоты людей. Теперь я собираюсь усреднить их. Это разные вещи.

Равенство принимает, скажем, два числа и возвращает логическое значение. Это не ассоциативно, но все же коммутативно. а = б то же самое как б = а. Вы получите тот же ответ.

Наконец, у нас есть два примера вещей, которые ассоциативны, но не коммутативный. Конкатенация строк ассоциативна, но не коммутативна. Вы не можете сделать строку A + строку B и получить то же самое, что и строка B + строка A. Слияние карт, тоже ассоциативное, а не коммутативное.

Круто. Слушать. Если вы хотите посмотреть другие выпуски этого подкаста или подписаться на этот подкаст можно на lispcast.com/podcast. Там, вы найдете все старые эпизоды, все будущие эпизоды. в будущее, вы найдете их. Есть расшифровки текстов, аудиозаписи, и видео всех подкастов.

Вы также найдете ссылки для подписки и социальные сети, такие как электронная почта, Твиттер, Линкедин. Найди меня на тех. Связаться. Давай поговорим, если ты есть комментарий, вопрос. Я люблю вступать в дискуссии. Если ты найдешь это слишком сложно, если вы все еще хотите вопросов, если это слишком просто, позвольте я знаю. Мы поговорим.

Думаю, это конец. Раскачать.

haskell — Разница между ассоциативным и коммутативным

спросил 5 лет, 5 месяцев назад

Изменено 5 лет, 5 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

Пытаюсь понять ассоциативность в моноиде.

Из книги написано:

Ассоциативность просто говорит о том, что вы можете ассоциировать аргументы вашего действовать по-разному, а результат будет тот же.

Например:

 Прелюдия > (1 + 9001) + 9001
18003
Прелюдия > 1 + (9001 + 9001)
18003
 

И про коммутатив:

Это не такое сильное свойство, как операция, которая коммутирует или коммутативный. Коммутативность означает, что вы можете переупорядочивать аргументы и при этом получить тот же результат. Сложение и умножение коммутативны, но (++) для типа списка является только ассоциативным.

Приведенный выше пример является ассоциативным и коммутативным, но в чем разница? Я не вижу разницы.

• haskell
• функциональное программирование
• моноиды

2

В качестве примера возьмем конкатенацию строк. Предположим, вы используете язык, который использует + для конкатенации строк. Это естественно ассоциативно, так как группировка не имеет значения:

 ("a" + "b") + "c" == "abc"
"а" + ("б" + "в") == "абв"
 

Но порядок операндов имеет значение:

 "a" + "b" = "ab"
"б" + "а" = "ба"
 

2

Ассоциативный, но не коммутативный:

Умножение матриц является ассоциативным, но не коммутативным.

 (АВ)С = А(ВС)
 

Но:

 АВ != БА
 

Коммутативный, но не ассоциативный:

Абсолютное значение разницы между двумя числами является коммутативным, но не ассоциативным.

 |а - б| = |б - а|
 

Но:

 ||а - б| - с | != |а - |б - с||
 

Если бы моноидная операция была коммутативной, мы бы имели "a"<>"b" ≡ "b"<>"a" . Но ясно, что "ab" и "ba" не являются одной и той же строкой.

Ассоциативность — довольно слабое свойство, на самом деле люди часто считают его «очевидным/тривиальным» примерно для любой операции. Итак, давайте посмотрим на операцию, которая является ассоциативной , а не — на самом деле ее достаточно просто найти, например. вычитание :

 5 - (3 - 1) = 3
(5 - 3) - 1 = 1
 

Большинство операций не являются ни ассоциативными, ни коммутативными. Многие операции ассоциативны, но не коммутативны.