С раннего школьного возраста мы используем такие числа, как 1, 2, 3, 4….. для счета и вычислений. Это естественный способ подсчета предметов. Следовательно, 1, 2, 3, 4,…….. называются натуральными числами. Однако такие дроби, как 37, 118 и т. д., не являются натуральными числами. Так как мы начинаем считать с 1, следовательно, это первое натуральное число. Кроме того, не существует последнего или наибольшего натурального числа.

Теперь, когда мы познакомились с тем, что мы понимаем под натуральными числами, давайте проверим, выполняется ли свойство коммутативности для операции сложения натуральных чисел.

Для того чтобы свойство коммутативности было верным для сложения натуральных чисел, это означает, что если одно число прибавляется к другому, то не имеет значения, какое число прибавляется к кому. Проверим это утверждение.

Предположим, у нас есть два числа 45 и 17.

Мы хотим сложить 45 и 17. Сумма будет 45 + 17 = 62

Теперь, если мы поменяем порядок чисел местами и получим задачу как 17 + 45

Какой будет ответ?

Сумма будет равна 17 + 45 = 62, что равно нашему предыдущему результату.

Это означает, что если у нас есть два натуральных числа, a и b, то

a + b = b + a

Следовательно, сложение является коммутативным для натуральных чисел. Другими словами, свойство коммутативности выполняется в случае сложения натуральных чисел.

Чтобы ассоциативное свойство было истинным для сложения натуральных чисел, должно быть верно следующее утверждение – 

Если мы хотим сложить 3 натуральных числа, два из них могут быть избранным первым. Результат этого сложения будет служить первым числом, исходное третье число будет служить вторым числом для получения окончательного ответа. Проверим это утверждение.

Возьмем 3 числа, 7, 6 и 9

Возьмем сначала 7 и 6.

Получаем, 7 + 6 = 13

Теперь складываем 13 и 9, получаем 13 + 9 = 22 

Теперь давайте обратимся в обратном порядке и сначала выберем 6 и 9.

Получаем, 6 + 9 = 15

Теперь прибавляем этот результат к 7, получаем 7 + 15 = 22

Оба процесса дают нам одинаковый ответ.

Таким образом, мы можем сказать, что сложение натуральных чисел удовлетворяет свойству ассоциативности. Получаем

(a + b) + c =  a + (b + c)

Следовательно, сложение натуральных чисел ассоциативно. Другими словами, свойство ассоциативности выполняется в случае сложения натуральных чисел.

Мы уже знакомы со счетом чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Эти числа называются натуральными числами. Но здесь следует отметить, что хотя цифра 0 появляется в счетном ряду в форме 10, 20, 30 и т. д., она не присутствует в списке счетных чисел как отдельное число. Итак, к какой категории мы относим число 0, так как это определенно не натуральное число?

Целые числа – это набор натуральных чисел вместе с числом 0. Это означает, что все натуральные числа вместе с 0 образуют целые числа.

Ясно, что каждое натуральное число является целым числом, в то время как каждое целое число не является натуральным числом.

Итак, набор целых чисел можно определить как { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….. }

Этот набор целых чисел обозначается символом «W».

Следовательно,

W =   { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….. }

Для того чтобы свойство коммутативности было верным для сложения целых чисел, это означает, что если одно число прибавляется к другому, то не имеет значения, какое число прибавляется к кому. Проверим это утверждение.

Предположим, у нас есть два числа 32 и 15.

Мы хотим сложить 15 и 32. Сумма будет 15 +32 = 47

Какой ответ?

Сумма будет 32 + 15 = 47, что равно нашему предыдущему результату.

Это означает, что если у нас есть два целых числа, a и b, то

a + b = b + a

Следовательно, сложение является коммутативным для целых чисел. Другими словами, свойство коммутативности выполняется в случае сложения целых чисел.

Чтобы ассоциативное свойство было истинным для сложения целых чисел, должно быть верно следующее утверждение – 

Если мы хотим добавить 3 числа, то сначала можно выбрать два из них. Результат этого сложения будет служить первым числом, исходное третье число будет служить вторым числом для получения окончательного ответа. Проверим это утверждение.

Возьмем 3 числа, 8, 5 и 2.

Возьмем сначала 8 и 5.

Получаем, 8 + 5 = 13

Теперь складываем 13 и 2, получаем 13 + 2 = 15

Теперь обратим порядок и выберем сначала 5 и 2.

Получаем, 5+2=7

Теперь прибавляем этот результат к 8, получаем 7 + 8 = 15

Оба процесса дают нам одинаковый ответ.

Следовательно, мы можем сказать, что сложение удовлетворяет свойству ассоциативности. Получаем

(a + b) + c =  a + (b + c)

Следовательно, сложение целых чисел ассоциативно. Другими словами, свойство ассоциативности выполняется в случае сложения целых чисел.

В соответствии с натуральными числами 1, 2, 3, 4, …….. и т. д. мы создаем новые числа, -1, – 2, – 3, – 4, ….. и т. д., называемые минус один, минус два, минус три, минус четыре и т. д. соответственно, так что

1 + (– 1) = 0

2 + (– 2) = 0 и т. д.

Комбинируя эти числа, мы получаем новый набор чисел, который записывается как

 …….. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ………

Эти числа называются целыми числами.

Теперь посмотрим, выполняются ли коммутативность и ассоциативность в операции сложения целых чисел.

Для того чтобы свойство коммутативности было верным для сложения целых чисел, это означает, что если одно число прибавляется к другому, то не имеет значения, какое число прибавляется к кому. Проверим это утверждение.

Предположим, у нас есть два целых числа 32 и – 15.

Мы хотим сложить – 15 и 32. Сумма будет – 15 +32 = 17 

Теперь, если мы поменяем порядок чисел местами, и мы получим задачу как 32 + (- 15 )

Какой ответ?

Сумма будет равна 32 + (- 15 ) = 17, что равно нашему предыдущему результату.

Это означает, что если у нас есть два целых числа, a и b, то

a + b = b + a

Следовательно, сложение коммутативно для целых чисел. Другими словами, свойство коммутативности выполняется в случае сложения целых чисел.

Чтобы ассоциативное свойство было истинным для сложения целых чисел, должно быть верно следующее утверждение – 

Если мы хотим сложить 3 целых числа, сначала можно выбрать два из них. Результат этого сложения будет служить первым числом, исходное третье число будет служить вторым числом для получения окончательного ответа. Проверим это утверждение.

Возьмем 3 числа, – 8, 5 и -2

Возьмем – 8 и 5 сначала.

Получаем, – 8 + 5 = – 3

Теперь складываем – 3 и – 2, получаем – 3 + ( – 2 ) = – 5

Теперь обратим порядок и выберем 5 и – 2 первый.

Получаем, 5 + ( — 2 ) = 3

Теперь прибавляем этот результат к — 8, получаем, — 8 + 3 = — 5

Оба процесса дают нам одинаковый ответ.

Следовательно, мы можем сказать, что сложение целых чисел удовлетворяет свойству ассоциативности. Получаем

(a + b) + c =  a + (b + c)

Следовательно, сложение целых чисел ассоциативно. Другими словами, свойство ассоциативности выполняется в случае сложения целых чисел.

Пример 1 Сложите целые числа – 523 и 937 и проверьте, удовлетворяет ли сложение свойству коммутативности.

Решение Нам даны числа – 523 и 937.

Сначала найдем значение – 523 + 937

Следовательно, – 523 + 937 = 414 ……………………… ( 1 )

Теперь обратим порядок и сложим 937 и – 523

Получим,

937 + ( – 523 ) = 414 ……………………. ( 2 )

Из ( 1 ) и ( 2 ) получаем, что сложение целых чисел – 523 и 937 дает нам один и тот же результат независимо от того, куда мы их поместим. Следовательно, доказано, что это сложение удовлетворяет свойству коммутативности.

Пример 2 Найдите недостающее число в этом уравнении:

3 + (_____ + 5) = (3 + 7) + 5 ) = ( 3 + 7 ) + 5

Числа, данные в уравнении, 3, 5 и 7, все из которых являются натуральными числами. Мы также знаем, что сложение натуральных чисел удовлетворяет свойству ассоциативности. Следовательно, если мы посмотрим на приведенное выше уравнение, мы увидим, что это случай демонстрации ассоциативного свойства трех чисел. В левой части пропущено число 7. 9.0004

Следовательно, в уравнении пропущено число 7.

Давайте теперь подведем итоги сравнения коммутативности и ассоциативности, которые мы узнали для сложения разных чисел.

Commutative Property	Associative Property
The commutative property comes from the term “commute” which means ‘move around’ and it refers to being возможность переключать числа, которые вы добавляете или умножаете, независимо от порядка чисел.	Ассоциативное свойство происходит от слова «ассоциировать» или «группа» и относится к группировке трех или более чисел с помощью круглых скобок, независимо от того, как вы их группируете. Результат будет одинаковым, независимо от того, как вы перегруппируете числа или переменные.
Коммутативное правило сложения утверждает, что a + b = b + a, что означает, что сложение a и b дает тот же результат, что и сложение b и a. Заказы могут быть изменены без изменения результата. Это правило сложения называется коммутативным свойством сложения.	Ассоциативное свойство, с другой стороны, является правилом, относящимся к группировке чисел. Ассоциативное правило сложения состояний a + (b + c) такое же, как (a + b) + c.
Пример переместительного свойства сложения = 2 + 3 = 3 + 2 = 5	Пример ассоциативного свойства сложения  = 2 + ( 3 + 5 ) = ( 2 + 3 ) + 5 = 10

1. Коммутативное свойство утверждает, что при выполнении операции над двумя числами порядок, в котором расположены числа, не имеет значения. В случае сложения это означает, что когда мы складываем два числа, a и b, порядок чисел не имеет значения, то есть a + b = b + a
2. Ассоциативное свойство указывает, что когда операция выполняется более чем с двумя числами, порядок их размещения не имеет значения. В случае сложения это означает, что когда мы складываем три числа, a, b и c, порядок чисел не имеет значения, то есть a + ( b  + c )= ( a  + b ) + c
3. Коммутативный свойство происходит от термина «commute», что означает «перемещаться», и относится к возможности переключать числа, которые вы складываете или умножаете, независимо от порядка чисел.
4. Ассоциативное свойство происходит от слова «ассоциировать» или «группа» и относится к группировке трех или более чисел с помощью круглых скобок, независимо от того, как вы их группируете. Результат будет один и тот же, как бы вы ни перегруппировали числа или переменные
5. Счетные числа называются натуральными числами. 1 — первое натуральное число, последнего натурального числа не существует.
6. Свойство коммутативности выполняется в случае сложения натуральных чисел.
7. Свойство ассоциативности выполняется в случае сложения натуральных чисел.
8. Свойство коммутативности выполняется в случае сложения целых чисел.
9. Свойство ассоциативности выполняется в случае сложения целых чисел.
10. Свойство коммутативности выполняется в случае сложения целых чисел
11. Свойство ассоциативности выполняется в случае сложения целых чисел.

Понимание коммутативных и ассоциативных свойств сложения Рабочие листы по математике для 1-го класса
Понимание свойств основных чисел сложения Рабочие листы по математике для 1-го класса
Понимание свойств основных чисел сложения Рабочие листы по математике для 1-го класса

Просмотреть все рабочие листы

Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!

1.6.8: Ассоциативное и коммутативное свойство с дробями

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Лиза готовит хлеб и взвешивает ингредиенты. Она начинает с 16 (3/4) унций муки. Затем она добавляет воду. Наконец, она добавляет 1/4 унции дрожжей. Все вместе ее тесто весит 27 унций. Она забыла посмотреть на вес воды после того, как добавила ее. Как Лизе узнать, сколько воды она добавила в тесто?

В этой концепции вы научитесь использовать коммутативные и ассоциативные свойства сложения с дробями.

Использование коммутативных и ассоциативных свойств сложения с дробями

Напомним, что коммутативное свойство сложения гласит, что при нахождении суммы изменение порядка слагаемых не изменит их сумму. В символах коммутативное свойство сложения говорит, что для чисел a и b:

a+b=b+a

Ассоциативное свойство дополнения гласит, что при нахождении суммы изменение способа группировки слагаемых не изменит их сумму. В символах ассоциативное свойство сложения говорит, что для чисел a, b и c:

(a+b)+c=a+(b+c)

Как коммутативное свойство сложения, так и ассоциативное свойство сложения могут быть полезно для упрощения выражений, включающих дроби и смешанные числа. Коммутативное свойство сложения позволяет переупорядочивать термины, а ассоциативное свойство сложения позволяет перегруппировывать термины.

Вот пример.

Упростите следующее выражение.

3(2/3)+x+1/3

Сначала воспользуемся коммутативным свойством сложения, чтобы изменить порядок членов.

3(2/3)+x+1/3 эквивалентно 3(2/3)+1/3+x.

Далее упростите, объединив 3(2/3) и 1/3. Используйте то, что вы узнали о сложении дробей и смешанных чисел.

3(2/3)+1/3=4

3(2/3)+1/3+x упрощает до 4+x.

Ответ 3(2/3)+x+1/3 упрощает до 4+x.

Вот еще один пример.

Упростите следующее выражение.

3/10+(1/4+x)

Во-первых, обратите внимание, что это выражение имеет круглые скобки. Это ключ к тому, что вы можете использовать ассоциативное свойство, чтобы переписать его. Используйте ассоциативное свойство, чтобы перегруппировать термины.

3/10+(1/4+x) эквивалентно (3/10+1/4)+x.

Далее упростите, объединив 3/10 и 1/4. Используйте то, что вы узнали о сложении дробей. Вам нужно будет найти общий знаменатель и переписать каждые дробь . Затем сложите эквивалентные дроби.

3/10=(3×2)/(10×2)=6/20

1/4=(1×5)/(4×5)=5/20

6/20+5/ 20=11/20

(3/10+1/4)+x упрощает до 11/20+x.

Ответ: 3/10+(1/4+x) упрощается до 11/20+x.

Примеры

Пример \(\PageIndex{1}\)

Ранее вам дали задачу о Лизе и ее хлебе.

Она начала с 16 (3/4) унций муки, затем добавила воду, затем добавила 1/4 унции дрожжей. Все вместе ее тесто весило 27 унций. Лиза забыла взвесить воду, которую добавляла отдельно. Она хочет выяснить, сколько воды она добавила в тесто.

Решение

Сначала Лиза должна написать уравнение, представляющее эту ситуацию. Она не знает веса воды, поэтому пусть переменная x равна весу воды. Она знает, что сумма муки, воды и дрожжей равна 27.

16(3/4)+x+1/4=27

Далее Лиза может упростить левую часть своего уравнения. Она может использовать свойство коммутативности, чтобы изменить порядок терминов.

16(3/4)+x+1/4 эквивалентно 16(3/4)+1/4+x.

Теперь Лиза может упростить, добавив смешанное число и дробь.

16(3/4)+1/4+x упрощает до 17+x.

Далее Лиза может переписать уравнение.

16(3/4)+x+1/4=27 эквивалентно 17+x=27.

Наконец, Лиза может решить уравнение, вычитая 17 из обеих частей.

17+x−17=27−17

x=10

Ответ: Лиза добавила 10 унций воды в тесто для хлеба.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Упростите следующее выражение.

3/7+y+2/7

Решение

Во-первых, используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок членов.

3/7+y+2/7 эквивалентно 3/7+2/7+y.

Затем упростите, объединив 37 и 27. Используйте то, что вы узнали о сложении дробей.

3/7+2/7=5/7

3/7+2/7+y упрощается до 5/7+y.

Ответ 3/7+y+2/7 упрощает до 5/7+y.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Упростите следующее выражение.

2/3+y+1/5

Решение

Во-первых, используйте свойство коммутативности сложения, чтобы изменить порядок членов.

23+y+15 эквивалентно 23+15+y.

Затем упростите, объединив 23 и 15. Используйте то, что вы узнали о сложении дробей. Вам нужно будет найти общий знаменатель и переписать каждую дробь. Затем сложите эквивалентные дроби.

2/3=(2×5)/(3×5)=10/15

1/5=(1×3)/(5×3)=3/15

(10/15)+ (3/15)=13/15

2/3+1/5+y упрощается до 13/15+y.

Ответ 2/3+y+1/5 упрощается до 13/15+y.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Упростите следующее выражение.

1/2+(1/2+x)

Решение

Сначала используйте свойство ассоциативности, чтобы перегруппировать термины.

1/2+(1/2+x) эквивалентно (1/2+1/2)+x.

Далее упростите, объединив 1/2 и 1/2. Используйте то, что вы узнали о сложении дробей.

1/2+1/2=1

(1/2+1/2)+x упрощает до 1+x.

Ответ: 1/2+(1/2+x) упрощается до 1+x.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Упростите следующее выражение.

(x+4/9)+2/9

Решение

Сначала используйте свойство ассоциативности, чтобы перегруппировать термины.

(x+4/9)+2/9 эквивалентно x+(4/9+2/9).

Далее упростите, объединив 4/9 и 2/9. Используйте то, что вы узнали о сложении дробей. Перепишите результат в простейшей форме.

4/9+2/9=6/9=2/3

x+(4/9+2/9) упрощается до x+2/3.

Ответ: (x+4/9)+2/9 упрощается до x+2/3.

Обзор

Упростите каждое выражение, используя коммутативные и ассоциативные свойства сложения.

1. 1/6+у+2/6
2. 1/4+х+4(3/4)
3. 2/9+г+5/9
4. 2(7/8)+х+1(1/8)
5. (х+3(2/3))+5(1/6)
6. 1/4+х+5/8
7. (1/9+х)+2/9
8. 2(1/14)+(х+3(5/7))
9. 3(1/4)+(х+1(2/3))
10. 2(1/10)+(х+3(1/3))
11. 4(1/2)+(х+2(1/6))
12. 3(1/9)+(х+2(2/18))
13. Треть компакт-дисков в коллекции Джозефа — это компакт-диски с классической музыкой. Две седьмых компакт-дисков — это хип-хоп. Какая часть коллекции Джозефа состоит из классики и хип-хопа?
14. Наира готовит похлёбку из сосновых шишек. Сначала она смешивает 3 (1/5) стакана нарезанных сосновых шишек с 1 (1/2) стакана грязи. Для соуса из улиток сверху она использует еще 1 (3/8) чашки нарезанных сосновых шишек. Сколько нарезанных сосновых шишек использует Наира для своего рецепта?
15. Дженнифер пытается определить, хватит ли ленты у группы поддержки для митинга в пятницу. Курт вносит 9 (1/6) футов золотой ленты. Эстель вносит 3/4 фута красной ленты. Аарон приносит 5 (2/7) футов золотой ленты в последнюю минуту. Сколько лент у группы поддержки?

Обзор (ответы)

Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 3.6.

Словарь

Срок	Определение
Ассоциативная собственность	Ассоциативное свойство указывает, что вы можете изменить группировку складываемых или умножаемых чисел без изменения суммы. Например: (2+3) + 4 = 2 + (3+4) и (2 х 3) х 4 = 2 х (3 х 4).
Коммутативная собственность	Свойство коммутативности утверждает, что порядок сложения или умножения двух чисел не влияет на сумму или произведение. Например, a+b=b+a и \,(a)(b)=(b)(a).
дробь	Дробь является частью целого. Дробь математически записывается как одно значение поверх другого, разделенное чертой дроби. Его также называют рациональным числом .

Дополнительные ресурсы

Видео:

Практика: Ассоциативное и переместительное свойство с дробями

Эта страница под названием 1.6.8: Ассоциативное и коммутативное свойство с дробями распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC и была создана, изменена и/или курирована Фондом CK-12 через исходный контент, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами.