Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.  § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений.  § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ.  КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.§ 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Арифметические действия — Формулы, теоремы, определения
Типы материалов
- формулы
- теоремы
- определения
- статьи
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Определение Сложение, сумма
Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально.
\[слагаемое + слагаемое = сумма\]
Например
\[4 + 3 = 7\]
4 — слагаемое
3 — слагаемое
7 — сумма
Часто даются “определения” вроде таких: “сложение есть действие, посредством которого несколько чисел соединяются в одно”. или “действие посредством которого сколько единиц содержится в нескольких числах вместе”.
Но тот, кто не знал бы что значит “сложить”, не знал бы и что такое “соединить числа”, так что все похожие определения сводятся лишь к замене одних слов другими.
изменить / сообщить об ошибке
Определение Вычитание
Вычитание — есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое — вычитаемого, искомое слагаемое — разности.
\[Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность\]
Например
\[9 −5 = 4\]
9 — Уменьшаемое
5 — Вычитаемое
4 — Разность
изменить / сообщить об ошибке
Определение Умножение, произведение
Умножить некоторое число (множимое) на целое число (множитель) — значит повторить множимое слагаемое столько раз, сколько указывает множитель. Результат называется произведением.
\[Множимое × Множитель = Произведение\]
Например
\[3 × 4 = 12\]
Или еще записывают так
\[3 · 4 = 12\]
3 — Множимое
4 — Множитель
12 — Произведение
а вычисляется так
\[3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12\]
Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остается тем же.
\[4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12\]
изменить / сообщить об ошибке
Определение Деление с остатком
Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающееделимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком. Он всегда меньше делителя.
Например:
19 не делится нацело на 5.
Числа 1, 2, 3 в произведение с 5 дают 5, 10, 15,
не превосходящие делимое 19,
но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19.
Поэтому неполное частное есть 3.
Разность между 19 и произведением 3 · 5 = 15 есть 19 — 15 = 4;
поэтому остаток есть 4.
изменить / сообщить об ошибке
Определение Возведение в степень
Возвести число в целую степень (вторую, третью, четвертую и т.д.) — значит повторить это число собственным сомножителем два, три, четыре и т.
4 = 81\) (проверка извлечения корня).
Корень второй степени называется иначе квадратным, корень третьей степени — кубическим. При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать.
Например:
\(\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4\)
изменить / сообщить об ошибке
Статья Порядок арифметических действий, скобки
Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.
Например,
\[4−2+ 1= 3\]
Если производить действия в порядке их записи.
Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.
Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:
\[(4−2)+ 1= 3\]
\[4−(2+ 1)= 1\]
Пример 1:
\[(2+ 4) · 5= 6 · 5= 30\]
\[2+(4 · 5)= 2+ 20= 22\]
Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:
- в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
- в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.
При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:
- сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
- затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.
Пример 2:
\[2 · 5−3 · 3\]
Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 — 9 = 1
Пример 3:
\[9+ 16 : 4−2 ·(16−2 · 7+ 4)+ 6 ·(2+ 5)\]
Сначала выполняем действия в скобках:
\[16 — 2 · 7 + 4 = 16 — 14 + 4 = 6\]
\[2 + 5 = 7\]
Теперь выполняем остающиеся действия:
\[9 + 16 : 4 — 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 — 12 + 42 = 43\]
Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки.
Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.
\[5+ 2 ·[14−3 ·(8−6)]+ 32 :(10−2 · 3)\]
Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
\[8 — 6 = 2\]
\[10 — 2 · 3 = 10 — 6 = 4\]
действия в квадратных скобках дают:
\[14 — 3 · 2 = 8\]
выполняя остающиеся действия скобках находим:
\[5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29\]Пример 5:
\[[100−[35−(30−20)]]· 2\]
Порядок действий:
\[30 — 20 = 10\]
\[35 — 10 = 25\]
\[100 — 25 = 75\]
\[75 · 2 = 150\]
изменить / сообщить об ошибке
Обозначение— в чем причина нынешнего порядка операций? (ПЕМДАС)
спросил
Изменено 2 года, 6 месяцев назад
Просмотрено 19 тысяч раз
$\begingroup$Прочитав несколько других вопросов, я только что задал себе: Как был определен порядок операций и почему именно этот порядок, а не какой-то другой?
Большинство из нас знает такие вещи, как умножение/деление перед сложением/вычитанием, сначала круглые скобки и т.
д., но в чем истинная причина этого? Я, вероятно, предубежден, следуя этим правилам с детства, поэтому я не могу придумать другого пути.
2 + 2 x 2 = 6, а не 8
Но если изменить порядок, скажем, на «сложение/вычитание перед умножением/делением», будет ли этот порядок по-прежнему работать, если мы предположим, что математика будет основываться на Это? Или есть какая-то странная математическая проблема, если бы мы использовали другой порядок?
Конечно, круглые скобки выполняют функцию группировки, поэтому они всегда должны стоять первыми — в основном я говорю о возведении в степень, умножении/делении, сложении/вычитании (и, возможно, о других операциях).
- обозначение
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Как заметил Зак Стоун, порядок операций — это всего лишь соглашение, и если вы решите изменить порядок, все, что произойдет, это то, что вам нужно будет использовать круглые скобки в разных местах.
Все будет хорошо, если вы сделаете правильные настройки. Это, как говорится, есть причина для конвенции. В некотором смысле умножение — это просто многократное сложение. Кроме того, возведение в степень — это просто повторное умножение (пока мы ограничиваемся целыми числами), поэтому имеет смысл сначала превратить все показатели степени в умножение, затем превратить все умножения в сложение, а затем решить задачу сложения. Таким образом, по крайней мере, что касается целых чисел, существует естественный порядок операций, основанный на их определении. Это становится более сложным, когда вы начинаете иметь дело со всеми действительными числами, но порядок наследуется от целочисленной арифметики.
$\endgroup$
10
$\begingroup$
Предположим, что умножение произошло после сложения. Попробуйте написать это без скобок:
$$(а\раз б)+с$$
Вам будет очень тяжело.
c$), поэтому показатель степени ставится перед умножением. Умножение распределяется над сложением (т. е. $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$), поэтому умножение идет первым. С PEMDAS мы можем избавиться от круглых скобок, используя дистрибутивность. С другим заказом («PEASMD»?) мы не можем.
$\endgroup$
$\begingroup$
В сознании людей и демонов умножение является более важной операцией, чем сложение. Кроме того, люди разработали алгебраическую систему счисления из своего основного языка, который был латинским, когда я родился, но теперь стал английским.
Я до сих пор помню, как Линкольн назвал Геттисбергский адрес. «Четыре и семь лет назад…» Это 4 доллара умножить на 20 + 7 долларов лет. По-немецки он мог бы сказать: «Sieben und achtzig Jahre ſind verfloſſn, šeit unsere Väter auf dieſem Continent einer neue Nation…» Это 7 долларов + 8 умножить на 10 долларов лет. Десятки, десятки, сотни, брутто — вот как вы обращаетесь со многими целыми числами, а затем корректируете их небольшими добавлениями или вычитаниями.
9{2n}}\right).$$
Посмотрите практически любую книгу о языке программирования или даже о языке сценариев, таком как Javascript, и одной из самых первых вещей, которые вы увидите, будет таблица приоритета операций. . Компьютеру, в его славной тупости, нужно указывать, в каком порядке выполнять операции.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Многочлены важны сами по себе, независимо от обозначения. Мы остановились на обозначениях, которые облегчают их запись. Мы могли бы просто использовать круглые скобки между каждой операцией, но это было бы ужасно. Это просто соглашение для упрощения чтения и письма. Изменение соглашения ничего не сломает, нам просто нужно много скобок, чтобы выразить то, что мы хотим.
Одним из мест, где полиномы органично встречаются, являются расширения полей. На самом деле можно было бы немного поработать над теорией Галуа, даже не записывая полином в явном виде.
Точно так же полиномы органично встречаются в линейной алгебре (можно использовать тензорные произведения, чтобы абстрагироваться от таких вещей, как характеристические полиномы). Это было бы сложнее, но не менее мощно. Но это помогает объяснить, почему мы заботимся о многочленах и почему мы можем захотеть их записать.
$\endgroup$
9
$\begingroup$
Это действительно лингвистический вопрос, поэтому ответ является типичным лингвистическим ответом: порядок операций такой, какой он есть, потому что это сделало общение более эффективным.
Мы меняем формат нашего обозначения в соответствии с нашими потребностями. В случае порядков операторов обычно было обнаружено, что формулы были более читабельными с порядком операций (вероятно, из-за уменьшения количества группирующих символов). 92)) + (vt) + x_0$ Можно ли так написать? Конечно, но это сложнее.
За прошедшие годы математики сочли текущий порядок операций чрезвычайно удобным и придерживаются его.
Этот нечеткий процесс также является объяснением известной головоломки $6/2(3) = ?$. Некоторые считают, что это должно равняться 9, потому что это то же самое, что $6 / 2 \cdot 3$. Другие считают, что оно должно равняться 1, потому что умножение на круглые скобки связывает «плотнее», чем обычное деление: $\frac{6}{2\cdot3}$. У них есть на что опереться, потому что большинство из нас согласны с тем, что $6/xy == \frac{6}{xy}$, так что неясно, по какому пути идти. Настоящим ответом является то, что это лингвистическая двусмысленность, которая существует потому, что она не была достаточно важной, чтобы большая часть математиков согласилась с ней. Если бы это когда-нибудь действительно стало важным, мы бы так или иначе решили.
$\endgroup$
$\begingroup$
Хотя многие говорят, что (PEMDAS) — это всего лишь условность, мне нравится думать следующее: (Умножение и деление) — это краткие формы представления (сложения и вычитания), поэтому выполнение (MD) перед (AS) помещает все в одном и том же виде операции: т.
е. (AS). Точно так же возведение в степень — это формы представления (умножения и деления), по крайней мере, для целых чисел в степени … и, следовательно, (E) может быть преобразовано в (MD), которое, в свою очередь, может быть преобразовано в (AS). Скобки, с другой стороны, являются способом явного определения приоритета операции, поэтому она должна быть хорошо… расставлена по приоритетам.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
PEMDAS устарел, и мы никогда не должны на него полагаться. Всегда используйте () для устранения всей двусмысленности, если вы пишете уравнение или выражение.
Несмотря на то, что для нынешнего соглашения есть достаточно веская причина, больше нет никаких оснований полагаться на то, что читатель запомнит его и правильно интерпретирует уравнение или выражение, использующее его. Единственная причина писать x = y + z * w вместо x = y + (z * w) состоит в том, чтобы сэкономить 2 символа ширины пробела или 2 байта памяти на компьютере.
Когда все было на бумаге, это был разумный способ сэкономить место в текстах и, следовательно, деньги за счет сокращения расходов на бумагу и печать. Позже, когда у компьютеров был крошечный объем памяти, это тоже имело смысл. Я бы сказал, что любые время , сэкономленное при вводе или написании дополнительных символов, было бы более чем компенсировано ошибками и дополнительным временем, затраченным на его расшифровку без (). В настоящее время большинство вещей находятся в Интернете, и у нас достаточно памяти компьютера, поэтому больше нет оправдания вносить какую-либо двусмысленность, опуская ().
Тот факт, что в Интернете есть много страниц, посвященных конвенции PEMDAS, свидетельствует о том, что многие люди считают ее запутанной и часто приводят к ненужным ошибкам. Ошибки, которых можно было бы избежать, просто набрав несколько (), чтобы избежать двусмысленности и путаницы.
По возможности всегда следует избегать двусмысленности, особенно в математике и компьютерном коде.
При написании компьютерного кода очень важно включать (). Компилятор/интерпретатор, выполняющий код, всегда будет правильно определять порядок операций, но человек, пишущий код, или следующий за ним человек, редактирующий его , иногда будут делать ошибки. Многих чрезвычайно трудно найти и исправить ошибки можно было бы избежать, набрав несколько ().
$\endgroup$
$\begingroup$
Рассмотрим, например, счет за покупки: $2 \times10 + 3 \times 20 + 1 \times30$. Математика начала решать подобные задачи. Поэтому было естественно попытаться написать расчет счета как можно короче. Чтобы избежать массы скобок, торговцы решили отдать приоритет умножению, а не сложению.
$\endgroup$
Каков порядок операций?
Моя очень образованная мать только что подала нам начос .
Каждый хороший мальчик заслуживает помадки.
Рой Г. Бив
Мнемоника. Будь то планеты в нашей Солнечной системе, линии скрипичного ключа или порядок цветов в радуге, большинство из нас в какой-то момент полагались на мнемонику, чтобы запомнить информацию. Мы используем их, потому что они очень эффективны. Мнемонический прием, используемый в Math-U-See, звучит так: «Эксперт по парашютам, моя дорогая тетя Салли» (или «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли», как это часто встречается в других учебных программах). Это часто называют аббревиатурой PEMDAS. Что означает PEMDAS и какое отношение тетя Салли имеет к математике?
Акроним PEMDAS часто используется для запоминания порядка операций в математике. Порядок операций — это условность, которая начала формироваться в шестнадцатом веке по мере развития алгебраической нотации и с тех пор продолжает развиваться. Он обеспечивает единый метод вычисления математических выражений без чрезмерного использования круглых скобок (или квадратных скобок).
Использование аббревиатуры PEMDAS является более поздней разработкой. Каждая буква аббревиатуры представляет операцию:
P — Карентей
E — Экспоненты
M — Умножение
D — Дивизион
A — Добавление —
—
401414014 гг. вы можете работать только с двумя одновременно. Без применения порядка операций один человек может работать с выражением слева направо, а другой может работать со случайными группами, которые он создает. Это приведет к разным ответам. Рассмотрим этот пример:
42 + 3 X 5 =
Раскладывая это выражение слева направо, я получу 42 + 3 = 45, а затем, умножив 45 X 5, получится 225.
42 + 3 X 5 =
Применение порядка операций (PEMDAS), я бы выполнил умножение 3 X 5 = 15. Прибавление 15 к 42 дало бы 57.
Если бы мы разговаривали об этих числах, намерения были бы ясны. Именно работа с математическими идеями в письменной форме делает порядок операций таким ценным.
Поэтому очень важно иметь четкое представление об этом понятии.
Однако достаточно ли помнить о PEMDAS? К сожалению нет. Многие студенты добросовестно работали над выражением, применяя каждую операцию в порядке, установленном PEMDAS, только для того, чтобы найти свой ответ неверным. Программа Math-U-See ясно учит учащегося, что умножение и деление выполняются одновременно слева направо, поскольку это взаимосвязанные операции. То же самое верно для сложения и вычитания. Чтобы расширить предыдущий пример:
42 + 3 X 5 – 20 ÷ 10 X 2 + 3 =
Работая с этим примером в порядке каждой буквы PEMDAS, вы получите следующее:
42 + 15 – 20 ÷ 20 + 3 = Завершение умножения первым, так как нет скобок или показателей степени
42 + 15 – 1 + 3 = Завершение деления
57 – 4 = Завершение сложения
53 Завершение вычитания
На этот раз, применяя понимание того, что умножение и деление выполняются одновременно, как сложение и вычитание, я бы получил следующее:
42 + 3 X 5 – 20 ÷ 10 X 2 + 3 =
42 + 15 – 20 ÷ 10 X 2 + 3 = Завершение первого умножения
42 + 15 – 2 X 2 + 3 = Продолжаем вправо к делению
42 + 15 – 4 + 3 = Продолжаем справа до последнего умножения
57 – 4 + 3 = Завершаем первое сложение
53 + 3 = Продолжаем справа до вычитания
56 Продолжаем справа до последнего сложения
(Примечание: Шаги могут быть
Хотя эта важная концепция порядка операций кажется простой, на самом деле ее применение может оказаться довольно сложным.