Исторические предостережения – Доктора-математики

Чтобы закончить эту длинную серию о порядке операций, я хочу посмотреть, откуда взялись «правила», что также продемонстрирует, почему некоторые аспекты не полностью согласованы, заканчивая обсуждение с прошлого раза.

«Правила» носят только описательный характер

Во-первых, вот пара абзацев из ответа 2017 года, который я обсуждал в прошлый раз (Еще больше о порядке операций), о переходе к этой последней теме:

Говоря о дополнительном « Я указал, что правило сопоставления, которое преподается в некоторых учебниках,

 Чего многие люди не понимают, так это того, что «правила», которым мы обучаем, являются лишь попыткой  ОПИСАНИЯ того, что математики делали в течение долгого времени без явного указания, каким правилам они следовали  . Они не ПРЕДПИСЫВАЮТ того, что по своей сути должно быть сделано, априори. Точно так же английская грамматика появилась намного позже самого английского, и иногда ее преподавали способом, несовместимым с реальной практикой, в попытке сделать язык совершенно рациональным.  

В этот момент я сослался на пост, который я буду обсуждать ниже, об истории порядка операций. Затем я пришел к выводу:

 По моему мнению,  правила в том виде, в каком их обычно преподают, не являются наилучшим описанием того, как выражения оцениваются на практике  . (Это подтверждается недавним корреспондентом, который нашел статьи начала двадцатого века, в которых утверждается, что  новые правила, преподаваемые в школах, искажают то, что на самом деле делали математики в то время  ). буквально, так что нужно делать все умножения и деления слева направо, даже если это совершенно неестественно. Лучшие учебники избегают таких хитрых выражений; но другие на самом деле тренируют студентов в этих неловких случаях, как если бы это было важно. 

Я изучу эту статью 1917 года позже.

Так кто установил правила? Никто.

Нас часто спрашивают, откуда взялись правила. Самый полный ответ, который мы дали на этот вопрос, был в этой версии 2000 года:

 История порядка операций. 
Я вел компьютерный класс, и тут всплыла история порядка операций. Где, когда и у кого впервые возник порядок действий? Были ли это греки или римляне?
Спасибо! Целый класс ждет ответа. 

Проблема в том, что об этой истории написано немного; Мне пришлось вытащить несколько идей (некоторые из них просто предположения) из разных областей. Мой ответ фактически дан в качестве ссылки в статье Википедии по этому вопросу. Я начал:

 Правила порядка операций, какими мы их знаем, не могли существовать до того, как существовала  алгебраическая нотация ; но я сильно подозреваю, что они существовали в какой-то форме с самого начала — в грамматике того, как люди говорили об арифметике, когда у них были только слова, а не символы для описания операций. Было бы интересно изучить эту грамматику в греческих и латинских текстах и ​​посмотреть, насколько ясно ее можно обнаружить. 

По мере того, как математики в 17 веке постепенно переходили от формулирования уравнений исключительно словами к современным символическим обозначениям, грамматика символов была частью этого развития и, вероятно, переняла часть грамматики их языков. Чтобы быстро взглянуть на то, как выглядели некоторые из ранних обозначений, см. здесь. Каждый писатель использовал немного разные обозначения, которые он объяснял в начале книги или главы.

Впоследствии математики просто неформально и молчаливо договорились о том, как читать их различные обозначения; а авторы учебников формализовали «правила» в основном в 1800-х годах.

 С другой стороны, я думаю, что компьютеры повлияли на этот предмет, так что теперь он преподается более жестко, чем раньше, поскольку  языков программирования  должны были определять, как интерпретировать каждое выражение. До этого было более приемлемым просто признать некоторые формы, такие как x/yz, неоднозначными и игнорировать их - я думаю, сегодня мы должны делать это чаще, учитывая некоторые вопросы, которые мы получаем по таким вопросам. 

Многие люди писали нам, убежденные, что правила изменились с тех пор, как они учились в школе. Это, на самом деле, возможно в некоторых областях! Компьютеры нуждаются в четко определенных правилах больше, чем люди, поэтому некоторые детали, с которыми люди без труда разобрались, были формализованы в компьютерных языках, а некоторые из них просочились обратно в обычную математическую письменность и преподавание.

 Я потратил некоторое время на изучение этого вопроса, потому что его часто задают, но пока не нашел однозначного ответа.  Мы не можем сказать, что правила  изобрел какой-то один человек, и в некоторых отношениях они выросли постепенно на протяжении нескольких столетий и до сих пор развиваются. 

В конце мы увидим часть этой эволюции.

Иерархия и группировка

Кажется, самой простой и ранней частью была центральная иерархия операций:

 1. Основное правило (что  умножение имеет приоритет над сложением  ), кажется, возникло естественным образом и без особых разногласий, поскольку алгебраическая запись разрабатывалась в 1600-х годах и возникла потребность в таких соглашениях. Несмотря на то, что существовало множество конкурирующих систем символов, вынуждавших каждого автора излагать свои условности в начале книги, им, похоже, не нужно было много говорить в этой области. Вероятно, это связано с тем, что  свойство дистрибутивности подразумевает естественную иерархию , в которой умножение более эффективно, чем сложение, и делает желательной возможность записи .  2 + BD). 

Пример также можно найти в «Истории математических обозначений» Каджори, том 1, с. 182 и снова (при обсуждении агрегации или группировки символов) на с. 386.

На этом этапе развития нотации произошло смешение слов и символов; умножение обозначалось словом «в» (не знаю, почему!), а не какими-либо из наших нынешних символов (тем более — сопоставлением). Но для того, чтобы два слагаемых были добавлены перед умножением на В, их необходимо сгруппировать; тогда как под винкулумом у нас явно есть два термина, каждый из которых образован умножением до выполнения сложения.

Не всегда соответствует

 2. В начале этого развития были некоторые исключения; в частности, историк математики Флориан Каджори цитирует многих авторов, для которых в частном случае факториального выражения, такого как
     п (п-1) (п-2)
знак умножения, кажется, имел некоторый эффект символа агрегации; они бы написали
     п * п - 1 * п - 2
(используя точку или крестик там, где у меня есть звездочки), чтобы выразить это.  2 - 1, 

Это использование запятых явно упоминается на странице 390. Кажется полезным иметь символ, который сочетает умножение и группировку для случаев, когда это уместно. Тем не менее, все это частный случай, отличный от уже известного порядка умножения.

Умножение и деление

Если «правила» развивались постепенно в процессе употребления, неудивительно, что некоторые из них до сих пор не установлены полностью:

 3. Некоторые конкретные правила еще не были установлены во времена Каджори (1920с). Он указывает, что существовало  разногласий относительно того, должно ли умножение иметь приоритет над делением  или же к ним следует относиться одинаково. Общее правило заключалось в том, что круглые скобки должны использоваться для пояснения смысла, что по-прежнему является очень хорошим правилом. Я еще не нашел каких-либо деклараций двадцатого века, которые разрешали бы эти вопросы, поэтому я не знаю, как они были решены. Вы можете увидеть это в «Самых ранних случаях использования символов операций» по адресу:
   http://jeff560.  tripod.com/operation.html 

Каджори делает это заявление на странице 274.

Начало обучения правилам

 4. Я подозреваю, что концепция, и особенно термин «порядок операций» и мнемоника «PEMDAS/BEDMAS», были формализованы только в этом столетии. или, по крайней мере, в конце 1800-х годов, с ростом индустрии учебников. Я думаю, что это было важнее для авторов учебников, чем для математиков, которые  просто неформально договорились, не заявляя ничего официально  . 

Под «этим веком» я с некоторым опозданием подразумевал ХХ век. У меня нет конкретной информации о самом раннем использовании этих терминов, но ниже я приведу одно свидетельство этого.

Споры о неявном умножении

Правила никогда не устанавливались «официально», и даже сейчас они нестабильны, так как некоторые части не преподаются последовательно (тема последнего поста):

 5. В этом еще есть некоторое развитие области, как мы часто слышим от студентов и учителей, сбитых с толку текстами, которые либо учат, либо подразумевают, что  неявное умножение  (2x) имеет приоритет над явным умножением и делением (2*x, 2/x) в таких выражениях, как a/2b, которые они приняли бы как a/(2b), вопреки общепринятым правилам.  Идея добавления новых правил, подобных этому, подразумевает, что соглашения еще не полностью стабильны; ситуация мало чем отличается от 1600-х годов. 

Как и в ранних работах по символической алгебре, по-прежнему необходимо для формулировки используемых правил!

Естественные правила против искусственных

Я пришел к выводу, что некоторые правила присущи тому, как работают операции, и вполне уместны, в то время как другие более спорны:

 Подводя итог, я бы сказал, что правила на самом деле делятся на две категории: естественные правила   (например, приоритет экспоненциальной над мультипликативной над аддитивной операцией и значение скобок) и искусственные правила   (вычисление слева направо, равный приоритет для умножения и деления и т. д.). Первые присутствовали с самого начала обозначения и, вероятно, уже существовали, хотя и в несколько иной форме, в геометрических и словесных способах выражения, которые предшествовали алгебраическому символизму.  Последние, не имея абсолютной причины для их принятия, должны были постепенно согласовываться посредством использования и продолжать развиваться. 

Вот где я оставил это в 2000 году.

Правила никогда не были совершенно правильными

В 2017 году у нас была долгая дискуссия (никогда не архивируемая) с читательницей по имени Карен, в ходе которой была ссылка на интересную статью Н. Дж. Леннеса в American Mathematical Monthly за февраль 1917 г .: Обсуждения: Относительно порядка операций в алгебре. Вот мои комментарии к ней:

 Согласен с некоторыми моментами статьи, а ведь говорил что-то подобное и в своей "Истории порядка операций" и в своем комментарии к Вам про  какими были бы мои идеальные правила  . Когда я отвечаю на вопросы по проблеме, я воспринимаю обычное учение и текущие противоречивые правила как должное и обычно не вникаю в смысл этих правил. Но статья как раз о том, что я обычно умалчиваю. 

Обычно я говорю о том, что мы должны делать учитывая то, как в настоящее время преподается порядок действий

, а не о том, что было бы, если бы я высказал свое мнение. Здесь я скажу свое слово, потому что это то, что делает Леннес в то время в истории, когда это было проще.

Процитировав кое-что из того, что я сказал выше об истории, особенно о разногласиях по поводу порядка умножения и деления, я продолжил:

 Одна интересная вещь в комментарии Каджори заключается в том, что он говорит только о  порядке обела (÷ ) и явный знак умножения  (греческий крест, ×), и не упоминает  выражений, сочетающих обелюс и неявное умножение  (сопоставление). То же самое относится ко всем ссылкам на странице «Самое раннее использование», кроме современного примера.
Статья, которую вы нашли (которую я раньше не видел), написана незадолго до Каджори, и в первом разделе также не упоминается сопоставление. У меня сложилось впечатление, что «правила» для порядка действий (которые, как я упоминал в другом месте, являются, подобно многим предписывающим «правилам» грамматики, на самом деле описаниями, а не реальными базовыми правилами) были 

  

  
 разработан в таком контексте, используя только явное умножение  , где это кажется разумным, поскольку все знаки имеют одинаковый размер! Когда вы начинаете использовать сопоставление (как во втором разделе вашей статьи), все меняется.  

Например, в \(2\div 3\times x\) символы выглядят похожими и разделяют числа на одинаковые расстояния, тогда как в \(2\div 3x\) умножение выглядит более «точным» и естественно рассматривается как единое целое. И именно на последнем Леннес, а не Каджори, сосредотачивает свое внимание:

 Как указывает Леннес, «правила», которым учили (и преподают сейчас) как если бы они были законами природы,  на самом деле не отражают того, что было обнаружено при реальном использовании 
  , *в тех случаях, когда сопоставление используется для умножения* . Вся идея на самом деле  является ложной экстраполяцией того, что делается в простых случаях, к общему правилу  , делающему все более аккуратным, чем оно должно быть на самом деле. (Педагоги совершали такую ​​же ошибку и в других областях.) Это привело к тому, что целые поколения студентов обучались упрощенному набору правил, которые на самом деле не работают в собственных трудах математиков.  Это, в конечном счете, и приводит к двусмысленности, которую мы обсуждали, поскольку  люди были вынуждены заполнять пробел между правилами и реальностью всеми возможными способами  . 

Когда правила не соответствуют природе, люди им не следуют.

Это мало чем отличается от псевдоправил грамматики вроде «никогда не заканчивайте предложение предлогом», которые основаны на ложных предположениях о том, как работают вещи, а не на том, как говорят реальные люди.

 Леннес говорит, что Кристалу (кем бы он ни был — я не смог найти такого учебника, который мог бы быть ранним источником «порядка операций») 9 лет.0011 будьте осторожны, никогда не используйте обелус, за которым следует произведение  (что верно и для многих современных текстов), но другие делают это и интерпретируют, скажем, 10bc -:- 12a как (10bc)/(12a), так что они  несовместимы с их собственными установленными правилами  . (Мое первое знакомство с этой проблемой произошло, когда студенты спрашивали о столь же непоследовательных современных текстах. ) 

Как я уже говорил о современных учебниках, лучшие из них избегали примеров, подобных этому \(10bc\div 12a\), но те, которые включают слишком часто им не удавалось либо следовать собственным правилам, либо заявлять, что они делают исключение, и просто оценивают, как если бы это было \(\frac{10bc}{12a}\). Почему? Потому что они думают, что правила есть правила, но они слишком человечны, чтобы действительно

следует за им.

 Однако я не согласен с выводом Леннеса. Он говорит, что правило должно заключаться в том, что все умножения должны быть сделаны в первую очередь. Как я уже сказал вам,  если бы я мог декретировать правило, я бы сделал только неявное умножение перед делением, и то, возможно, только тогда, когда деление выражается с помощью обела  . Леннес не приводит примеров следования своему правилу с явным умножением в сочетании с оббелусом, что, я думаю, было бы менее убедительным. Так что, возможно, он совершает ту же ошибку, что и Кристал.  

Когда вы используете только один тип примера, вы можете не показать реальность, в каком бы направлении она ни была.

 В конце концов он приходит к такому же сравнению, как я делаю между математикой и грамматикой, говоря, что  трактовка 12а как делителя является «идиомой», которую следует признать  . Как он говорит, это вопрос не логики, а истории — это не то, что можно доказать или сделать, последовательно следуя аксиомам, а точно описав фактическое использование. Я согласен:  правила неверны  . Я поддерживаю их только потому, что именно этому учатся студенты, и с сильными оговорками, что скобки должны использоваться для пояснения, и что обела лучше избегать. 

Я придерживаюсь этой позиции (например, «альтернативное правило не является необоснованным») с момента моего первого ответа на вопрос, а также предостерег от написания деления, за которым следует умножение (любого рода), без уточнения значение в скобках. Было приятно узнать, что этот вид вернулся на сто лет назад!

Вот что говорит Леннес:

Идиома здесь не совсем подходящее слово, но важна идея: порядок операций «правила» не являются обязательными, они должны только описывать фактическое использование.

Кстати, Карен также ссылалась на эту страницу Джорджа Бергмана,

Порядок арифметических операций; в частности, вопрос 48/2(9+3)

, который, как я уже сказал, мог быть написан мной, хотя его автор явно был новичком в этом вопросе. Как он говорит о PEMDAS (которую он явно не знает как средство обучения),

Но, насколько мне известно, это творение какого-то педагога, который использовал условности в реальной жизни и расширил их на случаи, когда общепринятых условностей нет. … Должен ли быть стандартный порядок относительного порядка умножения и деления в выражениях, где деление выражается с наклоном? Мне кажется, что вместо того, чтобы отягощать нашу память массой условностей и подготавливать вещи к неправильному толкованию людьми, которые их не усвоили, мы должны научиться быть недвусмысленными, т. е. использовать скобки за исключением тех случаев, когда существуют твердо установленные условности . Если в будущем выражения, включающие длинные последовательности умножений и делений, станут обычным явлением, то может возникнуть движение за введение стандартного соглашения по этому вопросу.