Какое действие в математике делается первым: Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Как решить выражение по действиям. Порядок выполнения действий

Числовые и буквенные выражения могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, так как существует строгий порядок выполнения математических действий

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Порядок выполения действий в выражениях без скобок:

— действия выполняются по порядку слева направо,

— причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание .

1. Рассмотрим пример: выполните действия 17−3+6

Исходное выражение не содержит умножения и деления и не содержит скобок. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо , то есть, сначала мы от 17 отнимаем 3, получаем 14, после чего к полученной разности 14 прибавляем 6, получаем 20.

Кратко решение можно записать так: 17 − 3 + 6 = 14 + 6 = 20

Вычислите значение выражения 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление .

4: 2 теперь 4 делим на 2, получаем 2.

Подставляем в исходное выражение вместо 5 · 6: 3 найденное значение 10, а вместо 4: 2 — значение 2, получаем следующее выражение 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2+ 2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7.

Действия первой и второй ступени

Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:

первая ступень — сложение и вычитание,

вторая ступень — умножение и деление.

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание)

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Рассмотрим пример: 99: (45 – 39 + 5) – 25: 5

Порядок вычисления такой. Сначала выполним действия в скобках:

45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,

затем действия второй ступени

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 — 1 — 1, 6 — 2 — 1, 6 — 2 — 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме «Сложение и вычитание в пределах 10». Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 — 2 + 4, 9 — 3 — 1 , 4 +3 — 2; во 2 классе, например: 70 — 36 +10, 80 — 10 — 15, 32+18 — 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы «Порядок действий» учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе — опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.

е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а — (в+с) и а — (в — с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство.

Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 — 36 +10=24, 60:10 — 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 — (26 — 14), 50:(30 — 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику.

Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

36:6+3-2
36:(6+3-2)
36:(6+3)-2
(36:6+3)-2

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72-24:6+2=66
72-24:6+2=6
72-24:6+2=10
72-24:6+2=69

Также интересными являются упражнения следующего вида:

1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:
25-17:4=2 3*6-4=6
24:8-2=4
2. Поставьте вместо звездочек знаки «+» или «-» так, чтобы получились верные равенства:
38*3*7=34
38*3*7=28
38*3*7=42
38*3*7=48
3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:
12*6*2=4
12*6*2=70
12*6*2=24
12*6*2=9
12*6*2=0

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

90*8- (240+170)+190,
469148-148*9+(30 100 — 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:

Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века.

Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда «дуракам закон не писан». Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.

Что же такое «бесконечная гостиница»? Бесконечная гостиница — это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре «для посетителей» заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами «для гостей». Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у «бесконечной гостиницы» бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда — всегда только один, гостиница — она одна, коридор — только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно «впихнуть невпихуемое».

Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует — одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.

Вариант первый. «Пусть нам дано» одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:

Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.

Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю — РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:

Нижние индексы «один» и «два» указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.

Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.

Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения — это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).

воскресенье, 4 августа 2019 г.

Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

Читаем: «… богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы.»

Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду — имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

суббота, 3 августа 2019 г.

Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.

Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку «люди» Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения «половой признак» и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество «люди» превратилось в множество «люди с половыми признаками». После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой — мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет — умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.

После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат — «множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин». Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.

Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.

Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как «правильно» применять их «знания». Этим «знаниям» они обучают нас.

В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .

понедельник, 7 января 2019 г.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Я вам уже рассказывал, что , при помощи которой шаманы пытаются сортировать » » реальности. Как же они это делают? Как фактически происходит формирование множества?

Давайте внимательно разберемся с определением множества: «совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». А теперь почувствуйте разницу между двумя фразами: «мыслимое как единое целое» и «мыслимое как целое». Первая фраза — это конечный результат, множество. Вторая фраза — это предварительная подготовка к формированию множества. На этом этапе реальность разбивается на отдельные элементы («целое») из которых потом будет сформировано множество («единое целое»). При этом фактор, позволяющий объединить «целое» в «единое целое», внимательно отслеживается, иначе у шаманов ничего не получится. Ведь шаманы заранее знают, какое именно множество они хотят нам продемонстрировать.

Покажу процесс на примере. Отбираем «красное твердое в пупырышку» — это наше «целое». При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть «целого» и формируем множество «с бантиком». Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.

А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем «твердое в пупырышку с бантиком» и объединим эти «целые» по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество «красное». Теперь вопрос на засыпку: полученные множества «с бантиком» и «красное» — это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.

Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество «красное твердое в пупырышку с бантиком». Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.

Буква «а» с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется «целое» на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат — элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут «интуитивно» придти к такому же результату, аргументируя его «очевидностью», ведь единицы измерения не входят в их «научный» арсенал.

При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.

суббота, 30 июня 2018 г.

Если математики не могут свести понятие к другим понятиям, значит они ничего не понимают в математике. Отвечаю на : чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Ответ очень простой: числами и единицами измерения.

Это сегодня всё, что мы не возьмем, принадлежит какому-либо множеству (как нас уверяют математики). Кстати, вы в зеркале видели у себя на лбу список тех множеств, к которым принадлежите именно вы? И я такого списка не видел. Скажу больше — ни одна вещь в реальности не имеет бирочки со списком множеств, к которым эта вещь принадлежит. Множества — это всё выдумки шаманов. Как они это делают? Давайте заглянем немного в глубь истории и посмотрим, как выглядели элементы множества до того, как математики-шаманы растащили их по своим множествам.

Давним-давно, когда о математике ещё никто и не слышал, а кольца были только у деревьев и у Сатурна, огромные стада диких элементов множеств бродили по физическим полям (ведь математических полей шаманы ещё не придумали). Выглядели они приблизительно так.

Да, не удивляйтесь, с точки зрения математики все элементы множеств больше всего похожи на морских ежей — из одной точки, как иголки, во все стороны торчат единицы измерений. Для тех, кто , напоминаю, что любую единицу измерения геометрически можно представить как отрезок произвольной длины, а число — как точку. Геометрически любую величину можно представить как пучок отрезков, торчащих в разные стороны из одной точки.

Эта точка — точка ноль. Рисовать это произведение геометрического искусства я не буду (нет вдохновения), но вы легко это можете представить.

Какие же единицы измерения образуют элемент множества? Всякие, описывающие данный элемент с разных точек зрения. Это и древние единицы измерения, которыми пользовались наши предки и о которых все давно забыли. Это и современные единицы измерения, которыми мы пользуемся сейчас. Это и неизвестные нам единицы измерения, которые придумают наши потомки и которыми будут пользоваться они для описания реальности.

С геометрией мы разобрались — предлагаемая модель элементов множества имеет четкое геометрическое представление. А как с физикой? Единицы измерения — это и есть прямая связь математики с физикой. Если шаманы не признают единицы измерения как полноправный элемент математических теорий — это их проблемы. Настоящую науку математику без единиц измерения лично я уже не представляю. Вот почему в самом начале рассказа о теории множеств я говорил о ней как о каменном веке.

Но перейдем к самому интересному — к алгебре элементов множеств. Алгебраически любой элемент множества представляет из себя произведение (результат умножения) разных величин.Выглядит это так.

Я умышленно не применял условные обозначения, принятые в теории множеств, поскольку мы рассматриваем элемент множества в естественной среде обитания до возникновения теории множеств. Каждая пара буковок в скобках обозначает отдельную величину, состоящую из числа, обозначенного буквой «n » и единицы измерения, обозначенной буквой «a «. Индексы возле буковок указывают на то, что числа и единицы измерения — разные. Один элемент множества может состоять из бесконечного числа величин (на сколько у нас и наших потомков хватит фантазии). Каждая скобка геометрически изображается отдельным отрезком. В примере с морским ежом одна скобка — это одна иголка.

Как шаманы формируют множества из разных элементов? Фактически, по единицам измерения или по числам. Ничего не понимая в математике, они берут разных морских ежей и внимательно их рассматривают в поисках той единственной иголки, по которой они формируют множество. Если такая иголка есть, значит этот элемент принадлежит множеству, если такой иголки нет — это элемент не из этого множества. Нам же шаманы рассказывают басни о мыслительных процессах и едином целом.

Как вы уже догадались, один и тот же элемент может принадлежать к самым разным множествам. Дальше я вам покажу, как формируются множества, подмножества и прочая шаманская галиматья. Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить.

Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
Начать следует с умножения, далее – сложение.
После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
Завершающим этапом станет .

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

действия выполняются по порядку слева направо,
причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий первой и второй ступени по фгос Перспективная начальная школа

Прежде чем приступить к изучению новой темы, я предлагаю провести математический диктант. Откройте тетради, запишите число, месяц, классная работа.

На 3 слайде выражения, на которые вам необходимо в тетради записать только ответы.

1. Какое число надо умножить на 7, чтобы получить 42? (6)

2. Запишите число, которое меньше 24 на 6. (18)

3. Из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 3? (21)

4. Запишите значение произведения 9 и 3. (27)

5. Увеличьте 7 в 6 раз. (42)

6. Найдите сумму чисел 25 и 33. (58)

7. Какое число больше 28 на 4? (32 )

8.Чему равна разность чисел 25 и 8? (17).

— А сейчас обменяйтесь тетрадями, проверти ответы которые вы видите на 4 слайде. Оцените работу соседа:

Правильные ответы:

7-8 ответов – 5 баллов

5-6 ответа – 4 балла

4 ответа – 3 балла

— На парте у каждого лежит лист самооценки. В первой колонке, где написано «Математический диктант», выставите себе тот балл, который вам поставил сосед по парте.

Молодцы все справились. А теперь игра «Сортировщик». Обратите на 5 слайде даны примеры, вам нужно их разделить на два столбика. Что мы будем сортировать?.

Игра «Сортировщик»

3+8-5= 6 4*3:6= 2 5+7*2=19
2+2+2+2= 8 18:3:3=2

19-9-10=0

7-4=3

Выбери выражения, состоящие только из сложения и вычитания ( в 1столбик)

Только из умножения и деления (во 2 столбик) Сложение и вычитание – действия первой ступени
Умножение и деление – действие 2 ступени.

Знаем как решать такие примеры.(Да) В каком порядке выполняли вычисления( по порядку слева направо) 6 слайд

Оцените свою работу в игре «Сортировщик». Если все примеры разделили на 3 столбика без ошибок ставите себе 5 баллов, если есть одна ошибка 4 балла, 2 ошибки – 3 балла

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Действия
первой ступени

Действия
второй ступени

Назовите выражение, в котором есть действия первой и второй ступени

Найдите значение выражения.(запишите ответы в тетрадь)

Выполняют задания математического диктанта.

Меняются тетрадями и производят взаимопроверку.

Выставляют баллы в лист самооценки.

Делят выражения на 2 столбика

1 столбик – сложение, вычитание

2 столбик – умножение, деление

Оценивают свою работу игры «Сортировщик» в листах самооценки

Конспект урока ««Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».

Тема урока: «Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».

Цель урока: создать условия для закрепления умений применять знания о порядке выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками в различных ситуациях, умений решать задачи выражением.

Задачи урока.

Образовательные:

— закрепить знания учащихся о правилах выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками; формировать у них умение пользоваться этими правилами при вычислении конкретных выражений; совершенствовать вычислительные навыки; повторить табличные случаи умножения и деления;

Развивающие:

— развивать вычислительные навыки, логическое мышление, внимание, память, познавательные способности учащихся,

коммуникативные навыки;

Воспитательные:

— воспитывать толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество,

культуру поведения на уроке, аккуратность, самостоятельность, воспитывать интерес к занятиям математикой.

Формируемые УУД:

Регулятивные УУД:

работать по предложенному плану, инструкции;

выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала;

осуществлять самоконтроль.

Познавательные УУД:

знать правила порядка выполнения действий:

уметь разъяснить их содержание;

понимать правило порядка выполнения действий;

находить значения выражений согласно правилам порядка выполнения;

действий, используя для этого текстовые задачи;

записывать решение задачи выражением;

применять правила порядка выполнения действий;

уметь применять полученные знания при выполнении контрольной работы.

Коммуникативные УУД:

слушать и понимать речь других;

выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью;

допускать возможность различных точек зрения, стремиться понимать позицию собеседника;

работать в команде разного наполнения (паре, малой группе, целым классом), участвовать в обсуждениях, работая в паре;

Личностные УУД:

устанавливать связь между целью деятельности и её результатом;

определять общие для всех правила поведения;

уметь осознанно и внимательно читать задания;

выражать способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Планируемый результат:

Предметные:

Знать правила порядка выполнения действий.

Уметь разъяснить их содержание.

Уметь решать задачи с помощью выражений.

Личностные:
Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение(Регулятивные УУД).

Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД).

Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).

Ход урока

1. Организационный момент.

Чтоб урок наш стал светлее,

Мы поделимся добром.

Вы ладони протяните,

В них любовь свою вложите,

Ей с друзьями поделитесь

И друг другу улыбнитесь.

— Займите свои рабочие места.

Открыли тетради, записали число и классная работа.

2. Актуализация знаний.

— На уроке нам с вами предстоит подробно рассмотреть порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками.

Устный счёт.

Игра «Найди правильный ответ».

( У каждого ученика лист с числами)

55	56	57	58	59	60	61
62	63	64	65	66	67	68
69	70	71	72	73	74	75
76	77	78	79	80	81	82
83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96
97	98	99	100	101	102	103

— Я читаю задания, а вы, выполнив в уме действия, должны полученный результат, т. е. ответ, зачеркнуть крестиком.

Я задумала число, из него вычла 80, получила 18. Какое число я задумала? (98)
Я задумала число, к нему прибавила 12, получила 70. Какое число я задумала? (58)
Первое слагаемое 90, второе слагаемое 12. Найдите сумму. (102)

— Соедините полученные результаты.

— Какую геометрическую фигуру вы получили? ( Треугольник)

— Расскажите, что вы знаете о данной геометрической фигуре. (Имеет 3 стороны, 3 вершины, 3 угла)

— Продолжаем работать по карточке.

Найдите разность чисел 100 и 22. (78)
Уменьшаемое 99, вычитаемое 19. Найдите разность. (80).
Возьмите число 25 4 раза. (100)

— Начертите внутри треугольника еще 1 треугольник, соединяя полученные результаты.

— Сколько треугольников получилось? (5)

3. Работа над темой урока. Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Запишем.

8-3+4=5+4=9

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

8-3+4=8-7=1

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

38-10+6

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

24:3*2

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

18:2-2*3+12:3

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

1 4 2 5 3

18:2-2*3+12:3

Вычислим значение выражения.

1 4 2 5 3

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

3 2 1

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

3 2 1

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

4. Закрепление Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

2 * 9 — 18:3

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

4 3 1 2

37 + 9 — 6 : 2 * 3 =

3 1 2

18 : (11 — 5) + 47=

1 3 2

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

3 4 1 2

37 + 9 — 6 : 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

3 4 1 2

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

3 1 2

18:(11-5)+47=

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

2 1 3

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Рассуждаем далее.

1 3 2

7*3-(16+4)=

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

2 3 1

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

5. Подведение итогов.

— Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. В ходе выполнения заданий определяли, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнали, отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренировались в применении изученного правила, искали и исправляли ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Числовые выражения

Числовые выражения.

Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».

Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5 : + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 — уже настоящее числовое выражение.

Значение числового выражения.

Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения.

Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение числового выражения 5 + 8 ∙ 9.

Числовое равенство.

Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством. При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство, так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.

Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение числового выражения (5 + 8 ) ∙ 9.

Как прочитать числовое выражение?

Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма — «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».

Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».

Примеры числовых выражений.

Приведем пример более сложного числового выражения:

\[\left( \frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]

В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.

В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$. Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.

$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$

Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$

Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$

Получаем $\left( \frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$

Когда числовые выражения не имеют смысла?

Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».

Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже алгебраическое выражение.

Дата публикации: 30.08.2014 10:58 UTC

Теги: числовые выражения :: 7 класс

Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:

Следующие учебники и книги:

Предыдущие статьи:

Уроки математики, Пособие для учителей, 2 класс, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., 2009
Математика, 6 класс, Методические рекомендации, Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., 2013
Математика, 6 класс, Методические рекомендации, Потапов М.К., Шевкин А.В., 2013
Математика, 5 класс, Методические рекомендации, Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л. О., 2013

абстрактной алгебры — Порядок операций — почему они в том порядке, в котором они находятся?

При просмотре сообщений о математике на r / askscience, я натолкнулся на тот же вопрос!

u / KyleG подтверждает этот комментарий:

Это произвольно, потому что вся письменная математика является произвольной символической обозначение изобретено людьми. Есть много языков программирования и другие типы систем обозначений, которые не соответствуют PEMDAS. Для Например, обратная польская нотация (которую предпочитали ранние компьютерные ученых) пишется «операнд-операнд-оператор».»Так, например, 3 4 + 7 / оценивается как 1, потому что слева направо 3 4 + оценивается как 3 + 4 = 7. Тогда у вас есть 7 /, поэтому 7, полученное из 3 4 +, вы делите на 7.
http://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_polish_notation
Как бы то ни было, экспоненты и скобки относительно недавние дополнения к математической нотации, поэтому имеет смысл, что наши произвольно определенная система письма адаптировалась к новым символам с помощью говоря «все работает точно так же, как и раньше, но прежде чем что мы должны делать что-то новое и убирать его с дороги. «

Тем не менее, u / paolog отваживается на причину для PEDMAS:

По сути, мы используем PEDMAS, потому что мы нашли его полезным в арифметике и алгебре (хотя есть области математики, где это не обязательно так). Нет ничего, что могло бы помешать нам использовать, скажем, ~~ SAMDEP ~~ PSAMDE, если бы мы захотели, но, если бы мы это сделали, все стало бы очень запутанно. 2 + 5b + 1 $

, и мы знаем, что это означает, что нам нужно вычислить $ a \ times a \ times 4 $ и $ 5 \ times b $, сложить их вместе и добавить 1.2 + 5b + 1 $

 = 4 х (3 х 3) + b + b + b + b + b + 1
  = 3 х 3 + 3 х 3 + 3 х 3 + 3 х 3 + b + b + b + b + b + 1
  = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + b + b + b + b + b + 1

Теперь у нас есть только одна операция, поэтому мы можем выполнять сложение в любом порядке, но вы можете видеть, что если мы вернемся к исходному выражению, каждый раз, когда мы собираем слагаемые для умножения, мы получаем один продукт, который необходимо добавил еще один результат. Таким образом, мы складываем вместе продукты, то есть умножение должно предшествовать сложению.Возведение в степень объединяет множимые, готовые к умножению на другие члены, поэтому возведение в степень необходимо выполнить до умножения.

Если мы рассматриваем только целые числа, деление можно рассматривать как просто повторное вычитание, а вычитание — это просто сложение отрицательных членов, следовательно, деление происходит на том же уровне, что и умножение, и вычитание на том же уровне, что и сложение.

Круглые скобки дают нам возможность переопределить существующий порядок, поэтому P должен стоять перед всем остальным, чтобы мы могли легче решать задачи со словами, например, следующие: «Сколько унций овощей в трех пакетах овощной смеси, каждый из которых содержит четыре унции моркови и шести унций гороха? » (Ответ: $ 3 \ times (4 + 6) $ oz = 3 x 10 oz = 30 oz.) Без скобок нам пришлось бы написать $ 3 \ times 4 + 3 \ times 6 $, существенно расширив скобки. Представьте, что круглые скобки содержат какое-то гораздо более сложное выражение — нам нужно было бы написать его полностью несколько раз, если бы круглые скобки были недоступны.

TL; DR: для целых чисел возведение в степень — это повторное умножение и собирает множимые, готовые для умножения или сложения с другими членами, в то время как умножение — это повторное сложение и собирает слагаемые для сложения других членов.2 $ и 3 по x. Затем вы складываете все вместе.

На самом деле это не что иное, как правило набора, вроде «всегда ставьте точку перед кавычкой». В какой-то момент это был самый удобный способ делать что-то, а в какой-то момент его формализовали.

Простая математическая задача разделила Интернет | Статья

Математика: это огонь на этой неделе

Математика может быть интересной, но может быть и сложной.

Сложение, вычитание, умножение и деление — числа иногда действительно поражают воображение.

И действительно, это верно для любого возраста, и на этой неделе в Интернете появилось множество мнений об ответе на эту математическую задачу:

Пользователь Twitter с именем @pjmdoll опубликовал уравнение 8 ÷ 2 (2 + 2) =?

Ответ… не сразу понятно, учитывая разнообразие ответов.

Многие в Твиттере были абсолютно уверены, что ответ один.

И многие были уверены, что ответ — 16.

Другие были уверены, что и то, и другое.

Но в целом многим напомнили, почему они не любят математику.

Но каков истинный ответ, особенно если два разных калькулятора дают два разных результата?

На самом деле все сводится к вашему подходу к математике, когда вам требуется выполнить порядок операций.

В Канаде преподают BEDMAS, что означает, что сначала обрабатывается все, что указано в скобках, затем следуют экспоненты, деление или умножение (слева направо) и, наконец, сложение или вычитание (опять же, слева направо).

Это означало бы, что вы должны сначала добавить в скобки (2 + 2), чтобы получить результат четыре.

Остается 8 ÷ 2 (4) =?

Работая слева направо, вы должны сначала позаботиться о делении, поскольку 2 (4) — это операция умножения, а не какая-то случайная работа со скобками.

Разделив восемь на два, вы получите четыре, а это значит, что ваше уравнение теперь будет выглядеть так: 4 (4) =?

Теперь все, что вам нужно сделать, это умножить два числа, получив в итоге 16.

Так почему люди получают результат? Что ж, похоже, это как-то связано с порядком операций, называемым PEMDAS.

Этот метод просит людей сначала сделать круглые скобки (скобки), затем показатели, умножение или деление, а затем сложение или вычитание.

Но здесь все идет немного в сторону: PEMDAS по-прежнему требует от вас деления / умножения и сложения / вычитания слева направо.

Так что результат должен быть таким же: 16.

Но если вы сначала умножите, как это делают некоторые, ответ будет единым.

Math — это хитрый!

What’s Fire This Week — это ваш еженедельный дайджест того, о чем все говорят.

Порядок операций | NZ Maths

Назначение

Цель этого раздела — развить понимание учащимися того, как ведут себя числовые операции, осознать необходимость правил, которые будут направлять нас в том порядке, в котором мы выполняем эти операции, а также интерпретировать и применять эти правила в решения проблемных ситуаций.

Конкретные результаты обучения

Признайте, что порядок операций имеет значение в практических жизненных ситуациях.
Поймите и объясните взаимосвязь между сложением и вычитанием, а также между умножением и делением.
Распознавайте неоднозначность выражений и уравнений, которые включают более одной операции.
Распознавайте порядок операций в задачах с голосовыми числами.
Поймите и объясните правила порядка операций, включая объяснение аббревиатуры BEDMAS.
Применяйте порядок операций для решения проблем.

Описание математики

Когда учащиеся научатся понимать и правильно использовать общие символы для отношений (=, ≠, ) и для числовых операций (+ — x ÷), они могут выражать простые математические идеи и проблемные ситуации, используя эти символы, и могут и интерпретировать (и решать) знакомые математические уравнения и выражения. Однако когда они сталкиваются с проблемами, связанными с более чем одной операцией, они могут быть озадачены неоднозначностью некоторых выражений и уравнений. Это может привести к разным толкованиям и результатам. Например, 4 + 2 x 5 = ☐. Это равно 30 или 14?

В устной и письменной речи мы принимаем как должное очень важную пунктуацию, которую мы используем. Спорное утверждение: «Женщина без мужчины — ничто», например, имеет совсем другое значение, когда знаки препинания вставляются так: «Женщина: без нее мужчина — ничто». То же самое и с простой математической задачей, такой как, «Четыре плюс два, умноженные на пять, равно чему?» Или «Четыре плюс два, умноженные на пять, равно чему?»

При отсутствии этой пунктуации были установлены правила, в которых скобки (скобки) и установленный порядок выполнения числовых операций устраняют любую двусмысленность.Хотя научные калькуляторы дают правильные ответы на многоступенчатые уравнения, учащиеся должны понимать необходимость согласованного порядка, знать правильные условные обозначения и уметь применять их для решения задач.

Действия, предлагаемые в этой серии уроков, могут лечь в основу самостоятельных практических заданий.

Ссылки на числовую систему
Мультипликатив
Расширенный мультипликативный

Необходимые ресурсные материалы

Диаграммная бумага
Ручки цветные (фломастеры)
Калькуляторы
Научные калькуляторы
Один и два копировщика

Деятельность

Сессия 1

SLO:

Признайте, что порядок операций имеет значение в практических жизненных ситуациях.
Поймите и объясните взаимосвязь между сложением и вычитанием, а также между умножением и делением.
Изучите гипотезы и доказательства.
Распознавайте неоднозначность выражений и уравнений, которые включают более одной операции.
Распознавайте порядок операций в задачах с голосовыми числами.

Деятельность 1

Распечатайте на карточке наборы утверждений о действиях в Copymaster 1.
Начните с раздачи по одному каждому ученику в классе.Попросите учащихся всей группой прочитать свои утверждения вслух и внимательно выслушать утверждения друг друга. Затем студенты формируют группы связанных утверждений и согласовывают логический порядок своих утверждений действий.
Попросите группы представить свои действия для всего класса. Например:
1. Встаньте с постели. 2. Примите душ. 3. Одевайся. 4. Выйти из дома. 5. Приехать в школу.
Пусть некоторые группы затем прочтут их вне очереди , чтобы подчеркнуть факт, что это абсурд, и что существует разумный порядок их действий и что одни действия должны быть выполнены раньше других .

Деятельность 2

Попросите учащегося записать в таблице класса числовые операции (используйте этот термин). Попросите учащихся объяснить каждый из символов операций: + — x ÷ .
Попросите учащихся попарно обсудить связь между операциями сложения и вычитания, а также между умножением и делением.
Выделите обратную связь в каждой паре операций. Попросите учащихся объяснить это уравнениями и примерами слов, например:
30 + 4 = 34 и 34 — 4 = 30
‘Пип держит в бумажнике тридцать долларов банкнотами и четыре доллара монетами. Итого тридцать четыре доллара. Она платит четыре доллара за кофе, и у нее остается тридцать долларов ».
Вычитание отменено сложение. Это обратная операция.
16 x 4 = 64 и 64 ÷ 4 = 16
Четыре друга заработали по шестнадцать долларов каждый. Всего работодатель выплатил шестьдесят четыре доллара. Каждый получил свою долю в шестнадцать долларов, так что получилось шестьдесят четыре, разделенные на четыре.
Деление невыполненного умножения. Это обратная операция.

Деятельность 3

См. Задачу упорядочивания действий в действии 1, шаг 1 (выше). Порядок был важен.
Поза: « В математике порядок, в котором мы выполняем числовые операции, не меняет результат / результат».
Попросите учащихся обсудить это и указать свое согласие / несогласие и причины своей позиции .
Запишите и обсудите свои идеи. Основываясь на этом:
Напишите это уравнение в таблице классов.
12 + 4 x 5 — 4 = ☐
Попросите пары учащихся решить уравнение и объяснить свое решение (я).
Попросите трех студентов прочитать уравнение вслух тремя разными способами .
Напишите это, используя слова, подчеркивая различные знаки препинания .
Двенадцать плюс четыре, умноженное на пять минус четыре, равно семидесяти шести.
Двенадцать, плюс четыре, умноженные на пять, минус четыре, равно двадцати восьми.
Двенадцать плюс четыре, умноженное на пять минус четыре, равно шестнадцати.
Предложите учащимся поработать в парах, чтобы записать каждую из этих трех интерпретаций в виде уравнений, придумав свою собственную «математическую пунктуацию» . Попросите их поделиться ими и записать их в таблице класса, чтобы другие могли их увидеть. Примите и изучите все предложения.
Согласитесь, что скобки полезны, и запишите их. Объясните, что скобки также известны как скобки , скобки .
(12 + 4) x 5-4 = 76
12 + (4 x 5) — 4 = 28
(12 + 4) x (5-4) = 16
Предложите учащимся обсудить и предложить возможные практических сценариев для каждого представления проблемы.Например:
(12 + 4) x 5-4 = 76
Льюис зарабатывает двенадцать долларов в час за упаковку коробок, но получает бонус в четыре доллара каждый час, если он превышает общее количество коробок, установленное как часовое целевое значение. Он работает пять часов, получая бонус каждый час. Как только он потратит четыре доллара на кофе, у него останется семьдесят шесть долларов.

Деятельность 4

Раздайте учащимся бумагу для диаграмм и цветные ручки.
Попросите пары учащихся вместе написать на диаграммах по крайней мере три своих собственных многоступенчатых уравнений, каждое из которых состоит из слов с пунктуацией и символов .
Попросите их написать сценарии из реальной жизни хотя бы для одной «версии» каждой из их проблем.
Попросите учеников поделиться ими.
NB. Графики будут добавлены в Сессию 2, когда будет представлена BEDMAS.

Деятельность 5

Завершите занятие, рассмотрев гипотезу, сформулированную в Задании 3, Шаге 1 (выше).
«Порядок, в котором мы выполняем числовые операции, не влияет на результат».
Не согласен с утверждением. Согласитесь, , что порядок, в котором выполняются операции с числами , влияет на результат и что использование скобок помогает нам понять порядок операций.

Сессия 2

SLO:

Поймите и объясните правила порядка операций, включая объяснение аббревиатуры BEDMAS.
Применяйте порядок операций для решения проблем.

Деятельность 1

Просмотрите порядок действий, предпринятых в начале занятия 1, и выводы из этого занятия.
Объясните студентам, что математики согласовали порядок операций или математических действий. Напишите BEDMAS, объяснив, что это аббревиатура от согласованного соглашения.
Спросите: «Что такое аббревиатура ?»
Кто может предложить еще одну хорошо известную аббревиатуру?
Что такое соглашение ?
Что может означать BEDMAS ?
Попросите учащихся обсудить каждый из этих вопросов, а затем записать свои идеи рядом с акронимами в таблице класса.(E для экспонент может быть неизвестен).
B: скобки. E: показатели, D: деление, M: умножение, A: сложение, S: вычитание.
Объясните, что порядок операций иногда известен как , приоритет операций . Это правило, которое мы используем, чтобы уточнить, какую операцию мы выполняем в первую очередь. (до предшествовать означает прийти (или уйти) раньше или первым.)
Если не совсем понятно, объясните возведение в степень , демонстрируя, что оно повторяется умножение : т. е. 4 ² = 4 x 4 = 16 , или 10 ³ = 10 x 10 x 10 = 1000

Деятельность 2

Раздать Copymaster 2.Объясните, что ученики должны исследовать, как работает BEDMAS, применяя его к уравнениям. Напомните им, что может быть полезно сначала прочитать вслух каждую задачу, чтобы понять уравнение, «услышав» его.
Попросите учащихся решить задачи в парах. Они должны записать, какую операцию они выполняют в первую очередь, и словами объяснить почему. Им также следует обсудить и записать любые вопросы, которые у них возникают.
Попросите учащихся поделиться своими решениями каждого уравнения, объясняя порядок операций, которые они применяли в каждом примере. Сделайте следующие учебных пунктов , как они это делают:
- Деление и умножение выполняются в том порядке, в котором они появляются, слева направо.
- Сложение и вычитание выполняются в том порядке, в котором они появляются, слева направо.
- Обратите внимание на примеры 3, 4, 5, 6, 13 и 15, на эффект использования обратных операций.
- При решении того, что указано в скобках, применяется порядок операций.

Деятельность 3

Соберитесь классом.Попросите учащихся прочитать вслух несколько уравнений, разделяя их запятыми (паузами) там, где выражения находятся в скобках, например:
9. (25-5) ÷ 5 = ☐
Двадцать пять минус пять, разделенные на пять, — это равно четырем.
и расставив показания запятыми (паузами), чтобы распознать порядок операций, например:
13. 25 + 5 x 5 ÷ 5 ² = ☐
Двадцать пять плюс, пять раз пять, разделенное на пять в квадрате равно двадцати шести.
Сделайте вывод, что порядок, в котором мы выполняем числовые операции, безусловно, действительно меняет результат / результат .

Деятельность 4

Попросите пары учащихся добавить к таблицам, начатым на занятии 1. Объяснить порядок операций своими словами , показать значение аббревиатуры BEDMAS и выделить «эффект пунктуации» скобок.

Сессия 3

SLO:

Применяйте порядок действий для решения проблем.

Деятельность 1

Поза: Принятие соглашения BEDMAS означает, что мы все согласны с величиной неизвестной суммы в уравнении.
Попросите учащихся обсудить это в парах, а затем поделится с классом, объяснив, почему они согласны или не согласны с утверждением.
В ходе обсуждения уточните, что является неизвестным в уравнении, например (25 — 5) ÷ 5 = ☐. Также поясните, что иногда неизвестный (сумма) отображается с буквенным символом , например ‘n’ .

Деятельность 2

Раздайте каждому ученику бумагу и карандаши.
Задайте эту проблему. «Я думаю о числе. Мы назовем этот номер «н». Я добавляю к нему шесть. Я удваиваю это. Это равно двадцати восьми ».
Спросите: Можете ли вы записать эту задачу в виде уравнения? [Уравнение: (n + 5) x 2 = 28]
Попросите некоторых студентов записать свое уравнение в таблице класса. Обсудите идеи студентов, подчеркнув важность использования скобок для обозначения порядка действий.Основное внимание уделяется тому, чтобы правильно записал уравнение в этот момент, не находя значение n.
Задайте еще две задачи, например:
«Я думаю о числе. Я вычитаю из него 10. Я делю это на девять. Это равно десяти ». [Уравнение: (n — 10) ÷ 9 = 10]
«Я думаю о числе. Я вычитаю два. Я возьму в квадрат и получаю двадцать пять ». [Уравнение: (n — 2) ² = 25]
и попросите учащихся записать каждое уравнение, поделиться и обсудить то, что они написали .
Теперь посмотрим на каждое из уравнений по очереди.
(n + 5) x 2 = 28
(n — 10) ÷ 9 = 10
(n — 2) ² = 25
Спросите студентов, как они могли бы вычислить, какое число вы думали в каждом примере (n).
Выделите замечания, сделанные в Занятии 1, Задание 2, о том, что существует обратная связь между сложением и вычитанием, а также между умножением и делением. Обратная операция «отменяет» другую операцию.
Просмотрите первый пример в обратном направлении, применив обратную операцию: 28 ÷ 2 = 14, 14 — 5 = 9 и проверьте, что n = 9, заменив его на n в исходном уравнении.(9 + 5) х 2 = 28
Попросите учащихся парами обсудить два других примера и поделиться своими решениями.

Деятельность 3

Сделайте 2 небольших листа бумаги и карандаши для каждого ученика. Попросите каждого ученика написать пять собственных вопросов: «О каком числе я думаю?» проблемы. Им следует написать слова каждой проблемы на одном листе бумаги, а на втором листе — свои собственные решения проблем, с числом, которое они думают, вместо «н».
Предложите учащимся обменяться проблемами с партнером. Попросите учащихся записать свои решения проблем своего партнера отдельно от страницы проблемы. Затем эти проблемы можно обменять с другой парой студентов и обсудить.

Деятельность 4

Предложите учащимся сравнить способ, которым простые калькуляторы и научные калькуляторы дают различных результатов для их задач.
Им следует ввести решения своих уравнений, но опустить сумму.Например, для исходной задачи (n + 5) x 2 = 28 введите вместо этого: 9 + 5 x 2 = ☐
Научные калькуляторы запрограммированы так, чтобы следовать соглашениям, а простые классные калькуляторы — нет.
Попросите учащихся исследовать свои проблемы и обсудить результаты обоих видов калькуляторов.

Деятельность 5

Завершите занятие, предложив учащимся записать одну из своих задач со словами «Я думаю о числе» с уравнением в нижней части плаката к занятиям 1 и 2.Покажите плакаты и подумайте об обучении.
Поразмышляйте над символами, выражениями и уравнениями, которые мы используем, чтобы выразить математические задачи и помочь нам обдумать их. Подчеркните, насколько важно , как правильно читать и понимать используемые символы и выражения.

Домашняя ссылка

Уважаемые родители и Ванау,

На этой неделе по алгебре студенты изучали числовые операции и порядок, в котором мы выполняем их в многошаговых задачах.BEDMAS — это соглашение, которое мы используем для решения такой задачи, как 3 + 4 x 5 = ☐. Результат 23 или 35?

Попросите ребенка объяснить вам решение, а затем вместе составить несколько задач-головоломок: «О каком числе я думаю?» Ваш ребенок хотел бы показать вам, как создавать эти проблемы.

Приятных обсуждений.

Спасибо.

Приоритет | Математика | RSC Education

Опытному математику не составит труда взглянуть на такое выражение, как:

3 + 4 x 2 — 1

и присвоив ему значение 10.Это получается путем умножения 4 и 2, добавления 3 и вычитания 1. Однако менее опытные могут разумно прибавить 3 к 4, чтобы получить 7, и умножить это на 1 (полученное из 2 — 1), чтобы получить 7.

Чтобы получить правильное значение, необходимо знать правила приоритета, которые определяют порядок, в котором мы применяем операторы, с помощью которых числа объединяются в выражении.

BIDMAS

Такие правила часто запоминаются с помощью мнемонических BIDMAS, которые обозначают B rackets, I ndices, D ivision, M ultiplication, A ddition и S ubtraction.Применяя это к приведенному выше выражению, мы сначала выполняем умножение, чтобы получить:

3 + 8–1

, затем добавляем:

11–1

и, наконец, вычитание, чтобы получить окончательное значение 10. Обратите внимание, что для изменения этого порядка можно использовать скобки. Если бы они были включены в исходное выражение:

(3 + 4) х (2–1)

Сначала мы выполняем операции в скобках, чтобы получить:

7 х 1

, который, как мы видели выше, имеет значение 7.

Более сложный пример

Более сложное выражение покажет, как правила также относятся к индексам и делению. Рассмотрим

Сначала мы оценим количество в скобках. Поскольку это состоит из нескольких шагов, мы также должны применить правила к выражению в скобках. В этом примере есть еще одна сложность, заключающаяся в том, что дробная величина также содержит то, что мы можем рассматривать как подразумеваемые скобки. Часто бывает полезно явно включать такие подразумеваемые скобки, чтобы это можно было записать как:

Итак, нам нужно вычислить числитель и знаменатель дроби отдельно.

Посмотрев сначала на числитель, мы идентифицируем любые индексы и видим, что:

2 ³ = 8

Теперь мы можем выполнить вычитание:

24–8 = 16

Знаменатель состоит из простого суммирования:

3 + 1 = 4

Возвращаясь к полному исходному выражению, мы теперь имеем:

Оценка скобки дает:

, поэтому общее выражение сокращается до:

2 х 4 = 8

Преподавание

Высокий и Разали ¹ предположили, что менее способные ученики видят символы в выражении как процесс, который должен выполняться в письменном порядке, в то время как более способные ученики могут разбивать символы вместе в соответствии с заданными соглашениями. Они также отмечают, что первый подход — это способ, которым вычисления выполняются на некоторых калькуляторах.

Рэдклифф обозначил ряд недоразумений, которые могут возникнуть при применении правила, изложенного выше.

После определения скобок правило необходимо применить к операторам в каждой скобке. Упрощение внутри скобки — это не то же самое, что ее исключение.
Дроби часто означают, что члены числителя и знаменателя должны быть сгруппированы вместе, как в приведенном выше примере.Я склонен думать об этом как о подразумеваемых скобках, которые часто бывает полезно показать явно.
Несмотря на использование мнемоники BIDMAS, умножение и деление имеют одинаковый приоритет, как и сложение и вычитание. Это может обеспечить эффективность вычислений, когда правило не нужно применять на шести (или более) отдельных этапах.

Примеры

Следующие три примера иллюстрируют правильное применение операторов, которые встречаются в математических выражениях в химии.

1. Расчет относительной атомной массы хлора

Это выражение основано на атомных массах и относительном содержании отдельных изотопов хлора.

Применение правил старшинства показывает, что сначала нам нужно выполнить умножение, чтобы получить:

Что оценивается как 35,45 с использованием правил цитирования соответствующего количества значащих цифр и обработки 100 как точного целого числа.

2. Мольная доля растворенного вещества в растворе

³ может быть выражена как

, где w — масса растворенного вещества, m — молекулярная масса растворенного вещества, W — масса растворителя и M — молекулярная масса растворителя.

Рассмотрим раствор хлорида натрия, образованный растворением 10,0 г растворенного вещества в 100 г воды. Подстановка величин в уравнение дает:

Я бы посоветовал полезным первым этапом включить подразумеваемые скобки, чтобы он читался так:

Это побуждает нас сначала оценить скобки, и обе могут оцениваться параллельно. Наши правила предписывают нам выполнять деления перед сложением, поэтому у нас есть:

Теперь оценка скобки знаменателя дает:

0,1709 моль г ^-1 + 5,5556 моль г ^-1 = 5,7265 моль г ^-1

Итак, общее выражение:

, а мольная доля оценивается как 0,0298.

3. Для реакции

PCl _{5 (г)} = PCl _{3 (г)} + Cl _{2 (г)}

константа равновесия K _p может быть определена ⁴ как:

, где a — степень диссоциации, а P — полное давление в системе.Если мы хотим оценить K _p, когда P = 4,38 x 10 ⁵ Па и a = 0,250, снова может быть полезно начать с включения подразумеваемых скобок, чтобы дать:

Как и раньше, по эффективности мы можем оценивать каждую скобку параллельно. Наши правила приоритета предписывают нам сначала оценить индексы.

Теперь мы можем выполнить умножение в верхней скобке и вычитание в нижней скобке, чтобы получить:

Теперь мы можем выполнить последнее умножение и деление, чтобы получить:

Kp = 29200 Па

История деятельности

Это было исследовано Петерсоном, который, однако, отмечает, что получить какие-либо окончательные ответы не удалось. Возрастающий характер правил подчеркивается тем, что в этой области все еще ведутся разработки, например, при обсуждении того, должно ли неявное умножение (например, 2a) иметь приоритет над явным умножением (2 xx) или делением (2 / x). .

Пол Йейтс — ведущий специалист по физическим наукам в Академии высшего образования и автор книги «Химические расчеты».

Эта математическая задача стала вирусной, потому что PEMDAS сбивает людей с толку

by TeachThought Staff

Кажется, каждые несколько недель передают математическую задачу, которая вызывает спор и становится вирусной, потому что никто не может прийти к единому мнению.И это почти всегда связано с PEMDAS.

Почему PEMDAS так сбивает с толку? Это связано с математикой как языком. Википедия объясняет PEMDAS:

«В математике и компьютерном программировании порядок операций , (или приоритет оператора , ) — это набор правил, отражающих соглашения о том, какие процедуры выполнять в первую очередь, чтобы вычислить данное математическое выражение.

Например, в математике и большинстве компьютерных языков умножение имеет более высокий приоритет, чем сложение, и так было с момента появления современных алгебраических обозначений.Таким образом, выражение 2 + 3 × 4 интерпретируется как имеющее значение 2 + (3 × 4) = 14, а не (2 + 3) × 4 = 20. С введением экспонент в XVI и XVII веках они имели приоритет как над сложением, так и над умножением и могли быть помещены только как верхний индекс справа от их основания. Таким образом, 3 + 5 ² = 28 и 3 × 5 ² = 75.

Эти соглашения существуют для устранения двусмысленности обозначений, позволяя при этом быть как можно более краткими. Там, где желательно переопределить соглашения о приоритете или даже просто подчеркнуть их, можно использовать круглые скобки (), чтобы указать альтернативный порядок операций (или просто усилить порядок операций по умолчанию).Например, (2 + 3) × 4 = 20 заставляет сложение предшествовать умножению, а (3 + 5) ² = 64 заставляет сложение предшествовать возведению в степень. Если в математическом выражении требуется несколько пар круглых скобок (например, в случае вложенных круглых скобок), скобки можно заменить скобками или фигурными скобками, чтобы избежать путаницы, как в [2 × (3 + 4)] — 5 = 9 . »

Эта математическая задача стала вирусной, потому что PEMDAS сбивает людей с толку

Так в чем проблема? Например, твиттер, природа дезинформации и разногласий, а также тип контента, которым с большей вероятностью будут делиться.Вот последний распространенный пример.

Социальные сети были созданы для обмена мнениями и несогласия, так что вот и мы. Как мы уже упоминали, они часто становятся вирусными, и в 2019 году доктор философии по математике Университета Кентукки. Джаред Антробус объяснил, почему все делают все неправильно, в книге «Провал PEMDAS».

В своем посте он объясняет, что проблема не может быть решена, как указано, потому что она неоднозначна.

«Проблема с этой проблемой в том, что деление не ассоциативно . Если бы нас попросили оценить 12 ÷ 6 ÷ 3, у нас возникла бы очень похожая проблема. Какой знак деления делать в первую очередь? Независимо от того, что нам сказал учитель начальной школы, мы не можем предположить, что автор задачи намеревался работать слева направо. Фактически, разные калькуляторы дадут разные ответы, в зависимости от того, как они запрограммированы!

Как мы работаем с неассоциативными операциями?

Единственная причина, по которой мы можем отказаться от написания круглых скобок с длинными строками сложения и умножения, — это их ассоциативность.Для деления мы должны указать , какую операцию выполнить в первую очередь. Мы должны написать (12 ÷ 6) ÷ 3 или 12 ÷ (6 ÷ 3), чтобы читатель точно знал, что мы имеем в виду.

Выражение 12 ÷ 6 ÷ 3 неоднозначно. Это могло означать две разные вещи. Единственный способ узнать, что задумал автор, — это попросить разъяснений. То же самое и с 6 ÷ 2 × 3 ».

Из-за неоднозначности ответы на вопросы невозможны!

Неоднозначные утверждения относятся не только к математике.Не меньшее беспокойство вызывает и следующий вопрос:

Если женщина играет в шахматы со своей сестрой, и она гроссмейстер, может ли она выиграть?

И снова намерения автора неясны. К какой женщине относится каждое слово «она»? Единственный способ узнать это — попросить разъяснений ».

Заключение

Мы просто подумали, что учителя математики могут найти здесь хороший перерыв от почти непрерывного цикла плохих новостей, который был в 2020 году.

Курс лекций по теории и технологии обучения математике в начальных классах: учебное пособие

%PDF-1.5 % 1 0 obj > /Metadata 2 0 R /Pages 3 0 R /StructTreeRoot 4 0 R /Type /Catalog >> endobj 5 0 obj /CreationDate (D:20190523102012+05’00’) /ModDate (D:20190523102012+05’00’) /Producer /Title >> endobj 2 0 obj > stream

Курс лекций по теории и технологии обучения математике в начальных классах: учебное пособие

Ручкина В.

П.1.5Microsoft® Office Word 20072019-05-23T10:20:12+05:002019-05-23T10:20:12+05:00 endstream endobj 3 0 obj > endobj 4 0 obj > endobj 6 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 0 /Tabs /S /Type /Page /Annots [176 0 R] >> endobj 7 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 1 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 8 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 2 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 9 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 3 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 10 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 4 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 11 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 5 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 12 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 6 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 13 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 7 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 14 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 8 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 15 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 9 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 16 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 10 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 17 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 11 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 18 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 12 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 19 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 13 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 20 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 14 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 21 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 15 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 22 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 16 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 23 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 17 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 24 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 18 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 25 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 19 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 26 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 20 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 27 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 21 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 28 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 22 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 29 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 23 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 30 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 24 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 31 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 25 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 32 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 26 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 33 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 27 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 34 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 28 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 35 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 29 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 36 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 30 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 37 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 31 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 38 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 32 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 39 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 33 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 40 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 34 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 41 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 35 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 42 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 36 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 43 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 37 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 44 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 38 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 45 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 39 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 46 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 40 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 47 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 41 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 48 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 42 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 49 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 43 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 50 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 44 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 51 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 45 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 52 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 46 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 53 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 47 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 54 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 48 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 55 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 49 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 56 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 50 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 57 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 51 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 58 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 52 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 59 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 53 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 60 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 54 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 61 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 55 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 62 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 56 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 63 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 57 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 64 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 58 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 65 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 59 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 66 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 60 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 67 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 61 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 68 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 62 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 69 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 63 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 70 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 64 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 71 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 65 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 72 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 66 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 73 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 67 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 74 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 68 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 75 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 69 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 76 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 70 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 77 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 71 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 78 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 72 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 79 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 73 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 80 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 74 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 81 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 75 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 82 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 76 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 83 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 77 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 84 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 78 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 85 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 79 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 86 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 80 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 87 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 81 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 88 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 82 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 89 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 83 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 90 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 84 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 91 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 85 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 92 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 86 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 93 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 87 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 94 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 88 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 95 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 89 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 96 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 90 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 97 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 91 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 98 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 92 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 99 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 93 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 100 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 94 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 101 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 95 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 102 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 96 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 103 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 97 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 104 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 98 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 105 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 99 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 106 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 100 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 107 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 101 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 108 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 102 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 109 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 103 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 110 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 104 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 111 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 105 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 112 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 106 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 113 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 107 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 114 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 108 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 115 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 109 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 116 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 110 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 117 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 111 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 118 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 112 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 119 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 113 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 120 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 114 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 121 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 115 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 122 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 116 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 123 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 117 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 124 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 118 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 125 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 119 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 126 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 120 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 127 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 121 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 128 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 122 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 129 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 123 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 130 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 124 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 131 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 125 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 132 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 126 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 133 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 127 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 134 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 128 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 135 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 129 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 136 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 130 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 137 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 131 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 138 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 132 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 139 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 133 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 140 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 134 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 141 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 135 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 142 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 136 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 143 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 137 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 144 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 138 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 145 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 139 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 146 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 140 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 147 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 141 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 148 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /StructParents 142 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 149 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 143 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 150 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 144 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 151 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 145 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 152 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 146 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 153 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 147 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 154 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 148 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 155 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 149 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 156 0 obj > /MediaBox [0 0 419.

64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 150 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 157 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 152 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 158 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 153 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 159 0 obj > /MediaBox [0 0 419.64 595.32] /Parent 3 0 R /Resources > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /StructParents 154 /Tabs /S /Type /Page >> endobj 160 0 obj > endobj 161 0 obj > endobj 162 0 obj > endobj 163 0 obj > stream xX=&O@1÷wDz׽JTmccz)|_,0q

Урок математики на тему «Увеличение и уменьшение в несколько раз». 2-й класс

Цель:

Раскрыть смысл слов “больше в 2 (3, 4…) раза, “меньше” в 2 (3, 4…) раза;
Познакомить с решением простых задач на увеличение числа в несколько раз;
Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2, 3, 4.
Пополнять активный запас детей; учить работать в паре;
Развивать математическую речь, мыслительные операции;
Формировать познавательный интерес;
Способствовать здоровьесбережению детей;
Соблюдать гигиенические требования у уроку;

Класс: 2.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

I. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Просмотр видеоролика. 2 слайд.

— Ребята, а вы как думаете, нужно ли учит математику?

— Давайте сегодня на уроке Вовке это докажем, что без математики в жизни будет очень тяжело.

— Урок, как всегда начнём с разминки.

— На сколько 35 меньше 37? (На 2)

— На сколько 60 больше 54? (На 6)

— 1-й множитель 2, 2-ой -2. Чему равно произведение чисел? (4)

— Назовите частное чисел 32 и 4. (8)

— Делимое 18, делитель 3. Чему равно частное этих чисел. (6)

— Посмотрите на получивший ряд.(2 6 4 8 6)

— Найдите закономерность? (Число сначала увеличивается на 4, а потом уменьшается на 2)

— Продолжите этот ряд ещё на 4 числа. (10, 8, 12, 10)

— Вы сказали, что число увеличивается на 4, что это значит? (Столько же и ещё 4)

— А что значит уменьшается на 2? (Столько же, но без двух.)

II. Создание проблемной ситуации.3 слайд

— Увеличьте 15 на 8. (23) (запись на доске)

— Уменьшить 42 на 6. (36) (запись на доске) 4 слайд

— Уменьшить 6 в 3 раза. 5 слайд

— Увеличить 5 в 4 раза. 6 слайд

— Почему возникло затруднение? (Не знаем, что значит уменьшить в 3 раза и увеличить в 4 раза.)

— Попробуйте сформулировать тему нашего урока. (“Увеличение и уменьшение числа в несколько раз”) 7 слайд

— Какова цель нашего урока? (научиться увеличивать число в несколько раз)

На доске: Как увеличить или уменьшить число в несколько раз?

III. “Открытие” нового знания.

(Один ученик работает у доски, а остальные за партой.)

— Нарисуйте 2 красных круга, а под ними жёлтых в 3 раза больше.

— Сколько жёлтых кругов вы нарисовали?(Результаты разные, кто то нарисовал 5 кругов. Кто то 6.)

— Почему ты нарисовал 6 жёлтых кругов?Можешь доказать что ты прав? ( в задании было сказано не на 3 больше, а в 3 раза и поэтому я взял 3 раза по 2 круга)

— Можно ли сказать, что кругов стало больше на 3? (Нет, мы добавили не 3 круга.)

— А как в этом случае надо сказать? (Их стало в 3 раза больше.)

— Давайте с помощью схемы изобразим наши круги.

— Как мы на схеме можем изобразить величину равную 2 красным кругам? (начертить отрезок равный 2 см красного цвета) 8 слайд

— Начертите отрезок красного цвета равный 2 см. А под ним отрезок, который покажет нам величину равную жёлтым кругам. Чему будет равна длина второго отрезка? (мы 3 раза возьмём длину красного отрезка, т.е. мы по 2 см возьмём 3 раза.)

— Объясните, что значит – увеличить в 3 раза? (Взять3 раза по столько же, умножить на 3.)

— Как сказать о количестве жёлтых кругов, по отношению к красным кругам? (Жёлтых кругов в 3 раза больше, чем красных кругов.)

— Почему? (По 2 взяли 3 раза.)

— Как мы узнаем сколько жёлтых кругов? (2*3.)

Вывод: — Какое надо выполнить действие, чтобы число увеличилось в несколько раз?

На доске: 9 слайд.

Увеличить в несколько раз Х

— А что можно сказать о количестве красных кругов по отношению к жёлтым кругам? (их в 3 раза меньше, чем жёлтых кругов.)10 слайд

— Как мы узнаем сколько красных кругов? (6:3. )

— Что значит – уменьшить в 3 раза? (Разделить на 3.)

Вывод: Какое надо выполнить действие, чтобы уменьшить число в несколько раз?

На доске: 11 слайд

Уменьшить в несколько раз:

— А теперь послушайте задачу. Слайд12

Мальчик нарисовал 2 красных круга, жёлтых кругов в 3 раза больше.Сколько жёлтых кругов нарисовал мальчик?

На доске схемы: 13 слайд

— Какая схема подходит к этой задаче? Почему?

(Работа по учебнику на странице 14 №1.)

— А теперь сравните увеличь в 2 раза и увеличь на 2. (При увеличении в 2 раза число умножается на 2, а при увеличении на 2 к числу прибавляем 2.)

— Дорисуйте треугольники, используя обозначения, показанные в первой строке и решите примеры.

— Итак, когда увеличиваем число на несколько единиц, результат будет больше или меньше данного числа? (Результат получится больше.)

— А когда мы получаем больший результат при сложении или умножении? (Когда число складываем или умножаем.

-А как нам узнать что мы будем делать складывать или умножать? (Если увеличить в несколько раз- будем умножать, а если на несколько единиц- складывать)

(Работа по учебнику на странице 14 №2.)

— Сравните уменьшить в 4 раза и уменьшить на 4. (При уменьшении в 4 раза число делим на 4, а при уменьшении на 4 из числа вычитаем 4.)

— Закончите рисунок и решите примеры.

— Итак, когда мы слышим слово уменьшить, результат будет больше или меньше данного числа? (Результат получится меньше.)

— А когда мы получаем меньший результат? (Когда число вычитаем или делим.)

— А как нам понять, что число надо разделить или умножить?(Если уменьшить в несколько раз будем делить, а если уменьшить на несколько единиц – вычитать)

Вывод:

— Что надо сделать, чтобы увеличить число в несколько раз? (Это число надо умножить. )

— А чтобы уменьшить в несколько раз? (Разделить на данное число.)

— Мы с вами оветили на наш вопрос? Как увеличить или уменьшить число в несколько раз? (Да)

— Какое выполняем действие при увеличении числа в несколько раз? (умножение)

— Какое выполняем действие при уменьшении числа в несколько раз? (деление)

IV. Физкультминутка.14 слайд

— Вовка очень любил сладости.

V. Первичное закрепление.

(Работа по учебнику на странице 15 № 3.)

— Прочитайте задание 1. (Увеличь число 3.)

— Может ли результат получиться меньше 3? (Нет, потому что число надо увеличить.)

— Как мы можем увеличить число? (Сложить или умножить.)

— Как узнать, что число надо умножить? (использовать предлог в и слово “раз”.)

— А как узнать, что число надо сложить? (использовать предлог на.)

(Выполняется задание с комментированием у доски, а остальные ученики записывают примеры в тетрадях. )

— Прочитайте задание 2. (Уменьши число 24.)

— Какими могут быть ответы – больше или меньше 24? (Меньше, потому что число надо уменьшить.)

— Как мы можем уменьшить число? (Вычесть или разделить.)

— Как узнать, что число надо разделить? (Использовать предлог в и слово “раз”.)

— А как узнать, что число надо вычесть? (Использовать предлог на.)

(Выполняется задание с комментированием у доски, а остальные ученики записывают примеры в тетрадях.) Проверка по слайду.слайд 15-16

(Работа по учебнику на странице 15 № 4 — работа в парах.)

(Провести линии от буквенного выражения к понятиям “больше на 2”, “больше в 2 раза”, “меньше на 2”, “меньше в 2 раза”, и от этих понятий к буквенным выражениям.)

— Посмотрите, что надо сделать в этом задании?

— Почему выражение с+2 соединили с понятием “больше на 2”? (Число увеличили на 2.)

— С каким выражением нужно соединить в правом столбике? (п + 2)

— Продолжите работу.

— Поменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте задание.

Самостоятельная работа.

(Работа по учебнику на странице 15 №5 – самостоятельная работа: записать выражения, используя изученные понятия.)

— Следующий номер вы выполните самостоятельно.

VI. Закрепление изученного материала.

— А теперь нам надо научиться решать задачи, используя новые понятия “увеличить в несколько раз” и “уменьшить в несколько раз”.

(Работа по учебнику на странице 15 № 6.)

— Прочитайте задачи про себя.

— А теперь прочитаем вслух, чтобы выяснить, чем они похожи и чем различаются.

— Что нам известно в первой задаче? Что надо узнать?

(Дети анализируют задачу и заполняют схему.)

(Аналогичная работа со второй задачей.)

— Чем похожи задачи? (Вопросами.)

— Чем они различаются? (Условиями.)

— Решение запишите самостоятельно:

I-вариант запишет решение задачи а).
II-вариант запишет решение задачи б).

(Проверка у доски.)

VII. Итог урока. Слайд 17

— С какими новыми понятиями познакомились на уроке?

— Что значит увеличить в 2 раза?

— Что значит уменьшить в 2 раза?

— А как в жизни мы сможем использовать понятие больше в несколько раз, меньше в несколько раз?

— Можем ли мы сказать Вовке, что без математики не возможно? Почему?

— А сейчас, ребята, пришло время оценить себя. Выберите мордашку:

весёлая – доволен собой, всё понял;
грустная – допускал неточность, не уверен в знаниях;

— Молодцы, у вас всё получилось!

Урок математики в 3 классе на тему «Порядок выполнения действий» с использованием игровых технологий | Начальная школа

Автор: Новикова Галина Сергеевна

Организация: МОУ Михалевская СОШ

Населенный пункт: Московская область, г.о. Егорьевск, д. Михали

Класс: 3.

Планируемые результаты: учащиеся научатся выполнять действия в выражениях со скобками в правильном порядке, решать задачи по формуле произведения, выстраивать логическую цепь рассуждений, устанавливать аналогии.

Цели

Образовательные:

познакомить с правилом порядка действий;
совершенствовать вычислительный навык, используя алгоритм порядка выполнения действий;
закреплять знание таблицы умножения и деления;
отрабатывать решение задач;

Развивающие:

развивать познавательную активность, внимание, память учащихся;

Воспитывающие:

воспитывать интерес к математике;
воспитывать толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество.

Задачи:

— закрепить знания учащихся о правилах выполнения действий в выражениях со скобками и без них; совершенствовать вычислительные навыки; повторить табличные случаи умножения и деления;
— развивать речь, мышление, память, воображение; коммуникативные навыки;
— воспитывать любовь к природе, толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество.

Планируемые результаты

Предметные.

Учащиеся научатся выполнять действия в выражениях в правильном порядке, выстраивать логическую цепочку рассуждений.

Метапредметные результаты:

Способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности.
Овладение логическими действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения.
Готовность слушать собеседника и вести диалог.

Личностные результаты

Уважительное отношение к иному мнению.
Развитие мотивов учебной деятельности и формирование личностного смысла учения.
Развитие навыков в парах, умения не создавать конфликтов и находить выходы из спорных ситуаций.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Учебник: Математика. 3 класс. Часть 1. Авторы: М.И. Моро, М. А. Бантова и др. Издательство «Просвещение», 2018 г.

Техническое оборудование: презентация «Порядок выполнения действий», экран, проектор.

Дополнительное оборудование: карточки с индивидуальными заданиями, карточки с иллюстрацией Красной Шапочки и уравнениями, мяч.

Ход урока

I. Организационный момент

— Здравствуйте, дети! Проверьте, все ли у вас на партах готово к уроку математики. Если да, то присаживайтесь.

-Возьмитесь за руки и улыбнитесь

«Всем известно точно, без ошибки

Солнышко живёт в твоей улыбке!

Даришь ты тепло не понарошку,

Солнышко живёт в твоих ладошках.

Ты — чудесный, светлый человечек!

Солнышко живёт в твоём сердечке!»

II. Актуализация знаний

1.Индивидуальные задания

— Ребята, вы будете космонавтами. Я раздам карточки с ракетами. Но ракета полетит только в том случае, если вы правильно решите все примеры и подберете слово.

Карточки даются 2-3 ученикам.

3 ^. 2 = И 2 ^. 6 = Н

3 ^. 3 = Г 10 : 2 = Р

2 ^. 4 = Ю 15 : 3 = Р

21 : 3 = А 14 : 2 = А

27 : 3 = Г 2 ^. 3 = И

2 ^. 2 = Й

Ключ:

8	5	6	4	9	7	9	7	5	6	12

2. «Весёлый мяч»

— Пока ребята запускают свои ракеты в космос, мы с вами сыграем в игру «Веселый мяч».

Правила: учитель кидает мяч ученику, называя пример, тот должен правильно назвать ответ и бросить мяч обратно учителю.

3. Проверка индивидуальных заданий

— Ребята, какое слово у вас получилось? (Юрий Гагарин.)

— Что вы знаете об этом человеке? (Это первый российский космонавт. И первый кто облетел орбиту Земли.)

— Совершенно верно!

III. Самоопределение к деятельности

— К нам сегодня на урок пришёл сказочный персонаж. Чтобы узнать, какой, вам нужно решить верно все уравнения.

На доске висят листы с уравнениями. Ученик, решив верно уравнение, переворачивает карточку.

Х – 23 = 16

2 ^. Х = 18

27 : Х = 9

Х + 34 = 99

84 – Х = 4

Ответы: х = 39, 9, 3, 65, 80.

— Какой же сказочный персонаж пришел к нам сегодня в гости? (Красная шапочка. )

— Правильно! И чтобы узнать, о чем мы будем сегодня говорить на уроке, вам нужно выполнить ее задания.

Включается презентация. На ней задания.

— Выполните действия по схеме. (Слайд 1)

3 ^. 5 – 4 3 ^. 5 – 4

3 ^. 5 5 – 4

— 4 ^. 3

— Чем похожи выражения? (Одинаковые числа и действия).

— В каком порядке выполняли действия в первом выражении? (Сначала умножение, потом вычитание.)

— Какой ответ получили? (11.)

— В каком порядке выполняли действия во втором выражении? (Сначала вычитание, потом умножение.)

— Какой получился ответ? (3.)

— Кто сможет объяснить, почему примеры одинаковые, а ответы получились разные? (Потому что выполняли действия в разном порядке.)

— Как вы думаете, о чем мы будем говорить на уроке? (О порядке выполнения действий.)

— Что мы уже знаем? (Первым выполняется действие в скобках. )

IV. Постановка целей и задач урока (Слайд 2)

— Красная Шапочка просит вас сформулировать тему и задачи урока.

Тема: Порядок выполнения действий.

Задачи: научиться выполнять действия в выражениях со скобками в правильном порядке.

V. Работа по теме урока (Слайд 3)

— Откройте учебник на стр. 24 и прочитайте информацию.

Дети самостоятельно читают.

— Что узнали из учебника?

Учащиеся читают пункты 1, 2, 3 на доске появляется правило.

Стр. 24 № 1.

— Сравните выражения каждой пары. Что между ними общего и чем отличаются? (Одинаковые действия, но разные ответы.)

— Почему ответы получились разные? (В примерах второй строчки есть скобки).

— Сейчас мы с вами потренируемся решать такие примеры. (Слайд 4).

— Выполните номер 3 на стр. 25.

Учащиеся самостоятельно выполняют задание. Трое учеников выполняют примеры на доске.

Проверка. Взаимопроверка.

76 – 27 + 9 – 10 = 48 80 : 8 : 2 = 5 75 – (35 – 30) ^. 2 = 65

43 – (20 – 7) + 15 = 45 21 : 7 ^. 9 = 27 60 : (4 + 6) ^. 3 = 18

VI. Физкультминутка (Слайд 5)

Кот Антипка жил у нас,

Он вставал с лежанки в час,

В 2 на кухне крал сосиски,

В 3 сметану ел из миски,

Он в 4 умывался,

В 5 по коврику катался,

В 6 тащил сельдей из кадки,

В 7 играл с мышами в прятки,

В 8 хитро щурил глазки,

В 9 ел и слушал сказки,

В 10 шёл к лежанке спать,

Потому что в час вставать.

VII. Закрепление изученного материала

— Красная Шапочка предлагает вам решить задачу. (Слайд 6)

В книге 48 страниц. Даша читала книгу в течение трёх дней, по 9 страниц ежедневно. Сколько станиц ей осталось прочитать?

— Прочитайте ее.

— О чем говорится в задаче? (О страницах.)

— Какие слова возьмем для краткой записи? (Было, прочитала, осталось.)

— Составьте краткую запись.

Было – 48 страниц

Прочитала – 3 дня по 9 страниц

Осталось — ? страниц

— Что нам известно из условия задачи? (Что в книге 48 страниц. Даша читала три дня по 9 страниц в каждый.)

— Что надо узнать? (Сколько страниц ей осталось прочитать.)

— Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи? (Нет.)

— Почему? (Нам неизвестно, сколько страниц Даша уже прочитала.)

— Каким действием мы это узнаем? (Умножением.)

— Запишите первое действие самостоятельно. (9 ^. 3 = 27 (стр.) – прочитала Даша за 3 дня.)

— Сколько страниц прочитала Даша за 3 дня? (27 страниц.)

— Теперь мы можем узнать сколько ей осталось прочитать страниц? (Да.)

— Запишите решение самостоятельно. (48 – 27 = 21 (стр.))

— Сколько получили? (21 страницу осталось прочитать Даше).

— Скажите, а можем ли мы записать решение этой задачи выражением? (Да.)

Один ученик выходит к доске и записывает решение.

48 – 9 ^. 3 = 21 (стр.)

— Верно! Какое действие будем выполнять первым? (Умножение, а потом вычитание).

— Нужны ли здесь скобки? Почему? (Не нужны. Умножение всегда делается первым, а потом только вычитание).

Стр. 25 № 6, 7.

— Красная Шапочка предлагает выполнить вам самостоятельную работу.

Взаимопроверка.

— Поменяйтесь тетрадями в паре, выполним проверку.

№ 6

Длина отрезка АВ равна 5 см, а отрезка СD – 4, 5 см.

АВ = 5 см = 50 мм

СD = 4.5 см = 45 мм

Решение: АВ – СD = 50 – 45 = 5 (мм)

Ответ: отрезок АВ больше отрезка СD на 5 мм.

№ 7

х – 18 = 29 х – 23 = 57

х = 29 + 18 х = 57 + 23

х = 48 х = 80

Проверка: Проверка:

48 – 18 = 29 80 – 23 = 57

29 = 29 57 = 57

VIII. Рефлексия

(«Проверь себя» (учебник, с. 25). Самостоятельное выполнение. Проверка по записанным ответам на доске.)

32 + 9 ^. (19 – 16) = 59 27 : 3 ^. 4 = 36 2 ^. 9 – 18 : 3 = 12

— Поднимите руку, кто справился со всеми примерами? Есть одна ошибка? (Вы молодцы, разобрались с новой темой).

— Все примеры решены неверно? (Подойдите, пожалуйста, на перемене, и мы разберем ваши ошибки).

IX. Подведение итогов урока

— Ну, что ж, наш урок подходит к концу, и Красной Шапочке пора уходить.

— Но перед тем как уйти, она просит ответить на вопросы.

— Что нового вы узнали на уроке?

— В каком порядке выполняются действия в выражениях?

Домашнее задание

С. 25 № 5, № 8.

Список используемой литературы:

Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. – 8 – е изд. – М. : Просвещение, 2018. – 112 с.
Ситникова Т.Н., Яценко И.Ф. Поурочные разработки по математике. 3 класс. – 4 – е изд. – М. : ВАКО, 2018. – 448 с.
В. Викторов (публикация «Весёлые картинки» 1968 г.) https://www.liveinternet.ru/users/dichka1980/post190590618 29 октября, 2011 г.
Информатика. Учебник для 5 класса. Босова Л.Л. 3-е изд. — М.: 2015. — 184 с.

Полный текст статьи см. в приложении.

Приложения:

file0.docx.. 94,7 КБ
file1.pptx.zip.. 797,6 КБ

Опубликовано: 29.09.2020

Как научить себя математике

Немногие предметы вызывают столько воспоминания о боли и беспокойстве, как уроки математики. Сбивающие с толку символы, сложные процедуры и страшные графики и диаграммы.

Кое-кто теперь даже предполагает, что изучение математики может быть травмирующим опытом, чем-то выжившим, а не выученным.

Болезненная история многих людей с математикой — это позор, потому что математика невероятно полезна. Многие из лучших профессий выходят из областей STEM и полагаются на понимание математики. Понимание новостей и событий в мире все больше становится уроком статистики. Наконец, правильно понятая математика позволяет вам решать многие из ваших собственных проблем.

В этой статье я хотел бы объяснить, как вы можете самостоятельно изучить любую математику, будь то статистика, алгебра или алгоритмы.

Шаг первый: начните с объяснения

Первым шагом к изучению любой математики является получение предварительного объяснения темы.

Эту информацию можно получить во многих местах. Вот несколько хороших ресурсов, охватывающих широкий спектр тем:

KhanAcademy — огромный бесплатный ресурс видео практически по всем темам математики
MIT OCW — они начинаются на университетском уровне, но они решают много сложной математики
Coursera — множество полных уроков по математике

Кроме того, существуют и специализированные ресурсы. Они, как правило, не охватывают все мыслимые темы, но часто более интересны, интуитивны и полезны для тех, кто ими занимается:

BetterExplained — отличные статьи, дающие интуитивное представление об исчислении, алгебре, экспонентах и многом другом
3Blue1Brown — отличные видеоролики на YouTube, подробно изучающие математические концепции
Numberphile – Беседы с математиками на интересные математические темы

Где бы вы ни получили свое объяснение, ваш первый шаг — посмотреть его один раз, чтобы почувствовать, что вы понимаете основы того, как оно работает.

Что делать, если я не понимаю объяснение?

Если вы посмотрели объяснение, но не поняли его, возможны две проблемы:

Вам не хватает некоторых предпосылок для понимания этой части математики . Это означает, что вам нужно сделать резервную копию и пройти ее снова. Если вам кажется, что все «пошло слишком быстро» или вы не понимаете, что делает учитель, возможно, вам придется вернуться на несколько уроков назад и лучше выучить их, прежде чем продолжить.
Вы пытаетесь охватить слишком много без практики . Хороший способ — посмотреть кусок объяснения, а затем попробовать самому. Если вы только смотрите, но никогда не тренируетесь, это немного похоже на просмотр видео о катании на лыжах и никогда не катание по склонам. В конце концов объяснения перестанут иметь смысл, потому что у вас не будет личного опыта.

Попробуйте следующее: просмотрите объяснение один раз полностью в качестве отправной точки.

Шаг второй: Решайте задачи

Математика — это не то, что вы смотрите и запоминаете, а то, что вы делаете.

Если вы тратите все свое время на просмотр видео, а затем получаете набор задач, вам может быть очень трудно применить свои математические знания. Это может привести к ощущению, что вы «плохо разбираетесь в математике», хотя проблема лишь в том, что вы используете паршивый метод ее изучения.

Вы можете исправить это, приступив к решению проблем как можно скорее. Хорошая задача должна казаться сложной, но не невозможной. Если вы видите решение и даже не понимаете, как они его получили, скорее всего, вы слишком торопитесь — вернитесь и изучите некоторые основы, прежде чем двигаться дальше.

Что делать, если у меня нет проблем, которые нужно решать?

Если у вас нет предложенных задач, вы можете сделать несколько вещей:

Решить задачи, указанные в объяснении, но не глядя на ответ.
Создайте свои собственные проблемы и попытайтесь их решить.
Попробуйте доказать понятия в классе. Это продвинутая техника, но она необходима для того, чтобы по-настоящему понять более сложную математику.

Попробуйте следующее: после просмотра объяснения выполните достаточное количество задач, чтобы чувствовать себя комфортно и понимать процедуру.

Шаг третий: поймите, почему математика работает

Интуитивное понимание очень важно для математики, в отличие от других предметов. Хотя интуиция для словарного запаса слов на иностранном языке может помочь, их все равно нужно запоминать. Однако заучивание математики может быть опасным, если оно заставляет вас учить ее без понимания.

Следующий шаг — убедить себя, что вы знаете, почему математика работает. Моя любимая техника для этого — Техника Фейнмана, которую я демонстрирую здесь:

Техника Фейнмана требует некоторого времени, поэтому вам не нужно полностью применять ее к каждому аспекту каждой математической задачи, с которой вы сталкиваетесь. Скорее применяйте его выборочно к наиболее важным понятиям и тем, которые кажутся вам запутанными, несмотря на достаточную практику.

Попробуйте следующее: определите основные понятия математики, которые вы изучаете, и используйте метод Фейнмана, чтобы убедить себя, что вы их понимаете.

Шаг четвертый: играйте с математикой

Практика — это хорошо, лучше понимать, но лучше всего играть с математикой.

После того, как вы решили некоторые заданные вам вопросы и убедились, что понимаете их, естественным продолжением этого будет попытка поиграть с математикой, которую вам дали. Как все меняется, когда вы пытаетесь изменить числа или применить их к другим задачам?

Допустим, вы только недавно научились рассчитывать сложные проценты. Вы можете выполнять простые расчеты процентов самостоятельно, и вы понимаете, почему они работают. Как вы могли играть с этой математикой?

Вы могли видеть, что происходит по мере увеличения скорости начисления процентов.
Что произойдет, если проценты будут отрицательными?
Вы можете попытаться подсчитать собственные сбережения, если инвестируете их по разным ставкам.
Попробуйте представить, сколько процентов по ипотеке вы платите по сравнению с основной суммой.

Excel — это хороший способ поэкспериментировать с математикой, так как вы можете вводить формулы напрямую, без необходимости выполнять алгебраические операции или повторять вычисления.

Попробуйте следующее: возьмите тему математики, которую вы недавно изучали, и посмотрите, как вы можете изменить переменные, применить ее к разным вещам и изменить формулы.

Шаг пятый: применение математики вне класса

В конечном счете, целью изучения математики должно быть ее использование, а не просто сдача теста. Однако для этого вам нужно освободить свое понимание от примеров из учебника и применить его к реальным ситуациям.

Это сложнее, чем просто решить проблему. Когда вы решите проблему, вы начнете запоминать схему решения. Это часто позволяет вам решать проблемы без реального понимания принципов их работы.

Применение математики в реальной жизни, напротив, требует осознания ситуации, перевода ее в математику и решения созданной вами проблемы. Это сложнее, чем решать проблемы, поэтому, если вы хотите действительно использовать то, чему научились, вам нужно практиковаться.

Попробуйте следующее: возьмите тему, которую вы недавно изучали по математике, и попытайтесь найти реальную ситуацию, в которой вы могли бы вычислить ее, используя свои собственные числа или оценки, если они недоступны.

Похоже, это слишком много работы!

Выполнение всех этих пяти шагов по каждой теме, которую вы изучаете по математике, займет много времени. Это нормально, вам не нужно делать это для каждой мелочи, которую вам нужно выучить.

Вместо этого думайте об этом как о индикаторе выполнения. Каждое математическое понятие, которое вы изучаете, может проходить с первого по пятый этапы, углубляя ваши знания и увеличивая полезность математики каждый раз. Некоторые концепции будут достаточно важными, чтобы вы захотели их тщательно применить. Другие будут достаточно редкими, чтобы просто смотреть объяснения — это все время, которое вы можете сэкономить.

В частности, постарайтесь сосредоточиться на наиболее важных концепциях каждой идеи. Математика имеет тенденцию быть глубокой, поэтому часто в классе полного семестра может быть только несколько действительно больших идей, а все остальные идеи являются просто различными проявлениями этой базовой концепции.

Большинство курсов математического анализа для первого года обучения, например, сосредоточены на понятии производной, а все, что преподается, представляет собой просто различные расширения и приложения этой основной идеи. Если вы действительно понимаете, что такое дериватив и как он работает, вам будет намного легче выучить другие части.

3.2.10 написание вопросов первого шага, математика

Астьона

27 октября 2014 г.

16336 просмотров

3-й класс

Хорошо, третьеклассники, у нас сегодня урок или блок на два меньше десяти, напишите вопросы первого шага для двухэтапных задач. Но прежде чем мы начнем со словесными задачами, мне нужно, чтобы вы достали свои математические журналы и обратились к разделу стратегий. Сегодня в нашем разделе стратегии нам нужно написать о порядке действий. Мы немного говорили об этом в классе на прошлой неделе или двух. Особенно со скобками. Ваш первый шаг всегда, если в математическом уравнении есть круглые скобки, круглые скобки означают, что сделайте это первым. Поэтому сначала убедитесь, что вы делаете что-то в скобках. Итак, в своем математическом журнале вам нужно записать в разделе стратегии порядок действий. Номер один, скобки, сделать шпоры. Число два умножается или делится, а затем число три добавляется или вычитается. И я собираюсь показать вам, почему так важно выполнять операции по порядку. Потому что если вы этого не сделаете, вы можете получить неправильный ответ. Если вы еще не закончили это записывать, самое время сделать паузу, потому что я собираюсь продолжить. Итак, у меня есть это уравнение. Десять минус три равно двум. Теперь я написал это дважды, потому что я собираюсь сделать это двумя разными способами. Во-первых, я просто собираюсь сделать это слева направо, как мы обычно делаем наше математическое уравнение. Итак, у меня есть десять на вынос три, что равно 7. А затем я собираюсь умножить на два, что равно 14. Здесь я буду следовать моему порядку операций. Так что я пока оставлю эту десятку в покое. И я собираюсь сделать этот кусок. Трижды два. И трижды два будет 6. Теперь я собираюсь сделать десять блюд навынос 6, то есть четыре. Посмотрите, насколько радикально отличаются мои ответы. Поэтому, чтобы у всех был одинаковый ответ на такие задачи, как эта, люди решили, что умножение и деление будут выполняться перед сложением и вычитанием. Ответ, который мы нашли зеленым цветом здесь, является правильным ответом. Вот почему я сделал его зеленым, красный означает «стоп». Это неверно. Но я все равно очень люблю использовать красный цвет. Это просто примечание. Если вы хотите, чтобы люди сначала прибавляли или вычитали, тогда вы должны использовать круглые скобки, чтобы сказать им, что вы хотите, чтобы они сначала прибавляли или вычитали, потому что круглые скобки означают, сделайте это в первую очередь. Например, если вы хотите, чтобы люди вычитали здесь первыми, вы должны заключить в скобки десятку и тройку. Если бы вы хотели, чтобы люди решили проблему таким образом. Хорошо? Итак, быстрый обзор, порядок операций, скобки, сделайте это в первую очередь. Умножьте или разделите, а число три прибавьте или вычтите. Итак, давайте попробуем решить некоторые словесные задачи. Теперь все это будет двухступенчатая словесная задача. Я собираюсь прокрутить здесь, чтобы вы могли увидеть это на секунду. Советы по решению двухшаговых задач. Подумайте, какой вопрос для первого шага? Теперь сегодня и в нашем домашнем задании мы на самом деле напишем вопрос первого шага, просто чтобы мы привыкли думать об этом. И затем помните, не останавливайтесь посреди проблемы. Сделав первый шаг, вы не нашли ответа. Хорошо, когда вы закончите со своим ответом, перечитайте вопрос, чтобы убедиться, что вы справились с этой проблемой. Итак, давайте взглянем на нашу первую двухэтапную задачу. На американских горках 7 машин. В каждом вагоне по четыре места. Если были свободные места, сколько людей было на американских горках? Сколько человек было на американских горках? Ну, есть три свободных места. О, я не думаю, что я готов к этой части еще. Мне нужно найти, сколько всего мест. Итак, мой первый вопрос: сколько мест на американских горках? Затем мне нужно выяснить, что первый шаг часть. Итак, если у меня есть 7 автомобилей на американских горках, в каждой машине по четыре места, это равные группы, поэтому я должен сделать 7 раз четыре равно 28. Итак, я знаю, что на американских горках 28 мест. Я не закончил со своей проблемой. Помните, не останавливайтесь посреди проблемы. Продолжать идти. Если бы было три свободных места, ну, я знаю, что мест 28 и три из них свободны. Я собираюсь вычесть эти три из 28. И 28 на вынос три равно 25. Итак, я знаю, что на этих американских горках катается 25 человек. Так что, если бы я написал всю эту проблему в одну. Уравнение, я сделал 7 умножить на четыре, а затем отнял три, что равно 25. Итак, я сделал 7 умножить на четыре, это сначала умножение, а затем я вычел три, что равно 25. Лично я думаю, что проще просто решить две задачи. 7 умножить на четыре будет 28, а затем взять эти 28 и убрать три. Вот как я люблю делать вещи. Вы можете отличаться от меня. Хорошо, Марта зарабатывает 10 долларов за присмотр за детьми. Она всегда тратит 3 доллара, а остальное откладывает. Сколько денег она сэкономит за 8 недель? Я должен подумать над своим вопросом. Мой вопрос о первом шаге, я знаю, что это двухэтапная проблема. Какой первый шаг? Марта зарабатывает 10 долларов, присматривая за детьми, и всегда тратит из них 3 доллара. Значит, у нее не осталось всех десяти. Итак, мой вопрос: сколько Марта экономит каждую неделю? Так что будет десять, упс. Подожди. В этой задаче я покажу вам, как написать полное уравнение, а затем решить его. Итак, моя первая часть уравнения — десять выводов три. Это первое, что мне нужно сделать. А потом написано, сколько она сэкономит за 8 недель? Ну, она откладывала десять еды на вынос каждые 8 недель, так что это несколько раз. Но я не хочу сначала делать умножение. Моим первым шагом было вычислить десять выводов номер три. Вот тут-то и появляются круглые скобки. Итак, десять на вынос три будет 7, 7 умножить на 8 равно 56. Ой, это не 6. Итак, она экономит 56 долларов за 8 недель. Вот как бы я решил эту проблему. Десять, отнять три равно 7. А потом я бы переместился вниз или вверх или куда-то еще и сделал бы 7 раз 8 равно 56. Я бы сделал это в двух отдельных уравнениях, но вы можете сделать это, если понимаете, как сделать это в одном уравнении. Это нормально. Я показываю вам, что любой способ работает. Итак, наша последняя задача на сегодня, а затем я дам вам пару заданий для домашнего задания. Абу около 6 упаковок наклеек. В каждой пачке было по 8 наклеек, потом друг-алкоголик дал ему еще десять наклеек. Сколько наклеек сейчас у бу? Помните, что наш первый шаг в двухшаговой задаче — выяснить, каким будет этот первый вопрос. Так Абу Бат 6 упаковок наклеек. В каждой упаковке было по 8 наклеек. Пока мне интересно сколько наклеек Абу Бат. Это был бы мой вопрос. Сколько наклеек купил бу? Это подводит нас к нашему вопросу. Так что, если я могу сделать еще одно текстовое поле здесь, переместите его вверх. Эта часть проблемы — 6 умножить на 8. Теперь нам нужно продолжать, потому что это не полная наша проблема. Потом друг-алкоголик дал ему еще десять наклеек. Затем он добавил еще десять наклеек. Сколько наклеек сейчас у бу? Так что я мог бы поставить S для наклеек. Итак, вот как уравнение ситуации будет выглядеть из нашей задачи здесь, нашей задачи со словами. Мне не нужно добавлять круглые скобки, потому что у меня сначала идет умножение, а затем сложение. Теперь для меня, я думаю, что проще сделать 6 умножить на 8 равно. 46, да? 8 умножить на 5 — это 40, а затем еще 6 или 8 умножить на 48. Умножить на 5 — это 40, я разбил 6, а затем еще одну группу из 8 — это 48. Хорошо, 6 умножить на 8 — это 48. И тогда я бы взял это. 48 и добавить десять. Упс, это был дополнительный знак. Что равно 58. Итак, S. равно 58 наклейкам. Запомните свой ярлык. Хорошо? Итак, в следующих двух задачах, которые я собираюсь дать вам на бумаге, я хочу, чтобы вы написали задачу первого шага, а затем решили ее. Вы можете либо решить его как одно уравнение, либо разбить его на два шага. Разбейте его на два уравнения, в зависимости от того, какой способ имеет для вас смысл, какой из способов вам проще всего. Мы знаем, что математику можно решить разными способами. И это два способа решения такой проблемы. Таким образом, вы можете выбрать то, что имеет смысл для вас. Вот две проблемы на сегодня. Не забудьте написать мне этот вопрос первого шага. Тогда решите проблему. На обоих из них, оба из них являются двухэтапными проблемами, напишите мне, каким будет вопрос первого шага, а затем решите проблему. Как только вы закончите с этими двумя проблемами, вы закончите на ночь. Такая хорошая работа. Если вам нужно нажать на паузу, сейчас самое подходящее время для этого. Я оставлю его включенным на пару секунд, чтобы эта надоедливая красная игрушка, если вам нужно увидеть слово, вы можете нажать кнопку воспроизведения, и она не сработает сразу. Хорошо? Так что отличной ночи сегодня. Хорошая работа. Увидимся завтра.

Удалить рекламу

Решение двухшаговых уравнений — ChiliMath

Поиск

Нет никаких сомнений в том, что решить двухшаговое уравнение чрезвычайно просто. Как следует из названия, двухшаговые уравнения можно решить всего за два шага. Если вы впервые сталкиваетесь с двухшаговыми уравнениями, не волнуйтесь, потому что мы рассмотрим достаточно примеров, чтобы вы познакомились с процессом.

Решая уравнение в целом, мы всегда помним о том, что все, что мы делаем с одной частью уравнения, должно быть сделано и с другой, чтобы уравнение оставалось сбалансированным.

Мы знаем, что полностью решили двухшаговое уравнение, если переменная, обычно представленная буквой в алфавите, изолирована на одной стороне уравнения (слева или справа), а число расположено на противоположной стороне .

ОБЫЧНЫЙ способ решения двухшагового уравнения:

Примечание : Это «обычный» метод, потому что таким образом решается большинство двухшаговых уравнений. Обратите внимание, что шаг 2 можно заменить на шаг 3, который по сути такой же.

1) Сначала добавьте или вычтите обе части линейного уравнения на одно и то же число.

2) Во-вторых, умножьте или разделите обе части линейного уравнения на одно и то же число.

3)* Вместо шага №2 всегда умножайте обе части уравнения на обратную величину коэффициента переменной.

Пример 1: Решите приведенное ниже двухэтапное уравнение.

Как следует из названия этого линейного уравнения, для решения неизвестной переменной требуется два шага. Как правило, первый шаг заключается в избавлении от числа, «самого дальнего» от члена с решаемой переменной. Затем мы исключаем число, «ближайшее» к переменной. Число либо умножает, либо делит переменную. Его также называют коэффициентом срока.

Переменная здесь x. Наша цель состоит в том, чтобы решить x, изолируя его на одной стороне уравнения. Сохранение переменной слева или справа не имеет никакого значения. Это тебе решать! В этой задаче давайте оставим его слева, так как он уже там.

С той стороны (левая часть линейного уравнения), где находится переменная, обратите внимание, что 2 «ближайшая» к переменной x, а 5 «самая дальняя».

Это простое наблюдение позволяет нам решить, какое число исключить первым. Это, очевидно, +5, потому что это дальше между ними. Противоположность +5 равна -5, это означает, что мы вычтем обе части уравнения на 5.

После исключения 5 в левой части уравнения путем вычитания обеих частей на 5, пришло время избавиться от ближайшего числа или непосредственно присоединен к x, который равен 2 в 2x. Поскольку 2 — это умножение переменной x, противоположная ей операция — деление на 2.

Разделив обе части на 2, мы получим окончательный ответ или решение данного двухшагового линейного уравнения.

Напомню, задача считается решенной, потому что коэффициент переменной просто положительный, +1.

Пример 2: Решите приведенное ниже двухэтапное уравнение.

Наша цель — сохранить переменную x в одной части уравнения. Неважно, с какой стороны, однако «стандартной» практикой является сохранение решаемой переменной слева. Некоторые учителя алгебры могут потребовать, чтобы переменная оставалась слева, и в этом нет ничего страшного. Лично я не возражаю, где вы держите переменную, слева или справа, если изолированная переменная в одной части уравнения имеет коэффициент +1.

На первом этапе из переменной x удаляется «самое дальнее» число. Обратите внимание, что -3 «ближе всего» к x, а -8 «дальше». Таким образом, мы можем исключить -8, прибавив к его противоположности +8.

На втором этапе нужно избавиться от числа, ближайшего к переменной x, которая равна -3. Поскольку -3 умножает переменную x, противоположная ей операция — деление на -3. Разделив обе части на -3, мы решили линейное уравнение.

Быстрое напоминание: -3 разделить на -3 равно +1.

Пример 3: Решите приведенное ниже двухэтапное уравнение.

Вот ситуация, когда мы можем изолировать переменную x в правой части уравнения, поскольку она уже там.

Глядя на правую часть уравнения, где расположена переменная, число 3 ближе всего к x, потому что 3 делится на переменную x. С другой стороны, число 26 находится «дальше». Это означает, что нам придется иметь дело с +26, вычитая обе части уравнения на 26. Причина, по которой мы вычитаем, заключается в том, что аддитивное значение, обратное +26, равно -26.

Второй шаг — избавиться от знаменателя 3. Поскольку 3 — это деление x, его противоположная операция — умножение на 3.

Умножив обе части на 3, мы получили окончательный ответ. Вы можете переписать свой окончательный ответ как x = -9.

Пример 4: Решите приведенное ниже уравнение из двух.

Может показаться, что уравнение состоит из нескольких шагов, но это не так. Ее можно решить в два этапа. Не беспокойтесь о дробях, потому что с ними очень легко иметь дело. В этом случае вы будете применять правило сложения дробей. Правило гласит, что если вы складываете две дроби с одинаковым знаменателем, просто добавьте числители, а затем скопируйте общий знаменатель.

Вернемся к решению двухшагового уравнения выше, чтобы удалить дробь в левой части, которая равна \Large{ — {3 \over {10}}}, мы добавим \Large{{3 \over {10}} } к обеим частям уравнения.

Причина, по которой мы складываем вместо вычитания, заключается в том, что аддитивная обратная величина \Large{ — {3 \over {10}}} равна \Large{+ {3 \over {10}}} .

После добавления \Large{{3 \over {10}}} к обеим сторонам слева останется только {\Large{{2 \over 5}}}x.

Для правой части уравнения имеем \Large{{9\более {10}} + {3 \более {10}} = {{12} \более {10}}}.

Все, что я сказал выше, это только первый шаг. Теперь переходим ко второму шагу. Посмотрите на коэффициент переменной х. Это \Large{{2 \over 5}}, что означает, что его обратная величина равна \Large{{5 \over 2}}.

Чтобы окончательно решить данное уравнение, мы умножим обе части уравнения на обратную величину коэффициента рассматриваемой переменной. Вот полное пошаговое решение:

Вам также может быть интересно:

Упражнения с двухшаговыми уравнениями с ответами

Упражнения с многошаговыми уравнениями с ответами

Как преподавать математические задачи — CUBES Math Strategy

«Использование математической стратегии CUBES для решения текстовых задач изменило правила игры!» — сказал мне учитель из Миссури. Очень важно иметь стратегию решения математических задач для сюжетных задач. Студентам нужна отправная точка в работе со всеми этими словами!

Булавка для крепости!

Математические задачи

Проблемы со словами никуда не денутся. Они появляются почти на каждом уроке математики и часто в других предметных областях. Почему? Потому что это «настоящие» жизненные проблемы.

Я согласен, что некоторые «реальные» задачи со словами выглядят немного нелепо (вы знаете, кто-то покупает 60 арбузов — здесь закатываются глаза). Тем не менее, некоторые задачи более реалистичны, что делает способность учащихся решать их гораздо более ценной и значимой.

Словесные задачи бывают самых разных форм и на самых разных уровнях. Например, мы сталкиваемся с задачами на 3 и 4 шага в старших классах начальной школы. С трудом учащиеся увязают в голове даже с испытанными и проверенными стратегиями.

Я преподаю в больших и малых группах. Кроме того, я использую доски для сухого стирания со своими учениками — МНОГО! Так легко увидеть, какие ученики понимают, а какие все еще борются.

После того, как я проведу урок, я сразу же собираю своих самых трудных учеников в небольшие группы, прежде чем они будут перегружены заданием. Чем сильнее борьба, тем меньше группа — по крайней мере, это правило, которому я стараюсь следовать.

КУБИКИ Стратегия математических задач

Я начинаю малую группу, раздавая каждому учащемуся карточку CUBES со стратегией математической словесной задачи CUBES, указанной на карточке. Учащимся нравится справочная карта, которая напоминает им о шагах, которые мы предпринимаем для решения проблем. Карточка из моего набора CUBES Math Word Problem Strategy Kit для обучения словесным задачам.

Нажмите на изображение, чтобы посетить мой магазин учителей, оплачиваемых учителями!

Мне нравятся эти плакаты CUBES по математическим стратегиям, чтобы научить моих учеников конкретным шагам и стратегиям, особенно учащимся, испытывающим затруднения. Без конкретных шагов я обнаружил, что борцы понятия не имеют, как решать сюжетные проблемы, поэтому они сдаются — и это именно то, что мы НЕ хотеть, чтобы они это делали! Все эти слова пугают и подавляют. Эта пошаговая стратегия учит студентов, как обращаться со всей этой информацией.

Шаг 1: Прочитайте задачу вслух.

Тогда перечитай.

Ученики должны прочитать или услышать задачу по крайней мере дважды, прежде чем они даже возьмут карандаш для начала. Настало время использовать те навыки чтения, которые студенты изучили на уроках ELA! Далее им нужно визуализировать — что происходит в задаче?

Вот решающий аргумент — не позволяйте им сорваться с крючка! Даже когда они корчатся и чувствуют себя некомфортно.

Попросите учеников рассказать вам, что происходит в задаче. Обычно они этого не хотят. Однако иногда они не могут, потому что искренне не понимают, что происходит.

Мои слабые читатели часто не переваривают информацию во время чтения. Словесные задачи требуют очень многих навыков: понимания, сортировки нужной и ненужной информации, принятия решения об операции и т. д.

В этот момент ученикам трудно организовать свои мысли, но это именно то, что нам нужно от них ! И именно поэтому они должны читать и перечитывать проблему, пока не поймут, что происходит.

Я постоянно говорю своим ученикам, что лично мне приходится несколько раз читать текстовые задачи, прежде чем я их пойму. Мои борцы часто даже не хотят читать задачу один раз. Вот где процесс усложняется. Студентам может потребоваться сосредоточиться только на одном предложении за раз. Им нужно время , чтобы разбить каждое предложение и подумать, что оно означает.

И это проблема для нас, учителей. Все чтение и обсуждение занимают времени — очень ценного времени. Это также требует практики и настойчивости, на которых мы, учителя, должны сосредоточиться. Я часто корректирую или дифференцирую задания, давая моей борющейся команде меньше проблем для выполнения.

Я предпочел бы 5 правильно выполненных задач, чем 15 неправильных задач, с которыми учащиеся в спешке справились.

Шаг 2: Обведите числа И ЭТИКЕТКИ!

На мой взгляд, ярлыки имеют решающее значение для уровня понимания учащихся. Поэтому я поручаю своим ученикам обвести числа И метки вместе. Это экономит время в конце, когда им нужно пометить свой ответ. Кроме того, это способствует пониманию.

Шаг 3: Подчеркните вопрос

Я надеюсь, что они не только подчеркнут его, но и поймут его. Учащиеся должны попытаться повторить вопрос своими словами . Спросите их: «Какую проблему просят вас найти?» Студенты должны быть в состоянии ответить. Часто они смотрят на меня и говорят страшное: «Я не знаю». Именно тогда мы возвращаемся назад и снова перечитываем задачу, подчеркивая вопрос. Вот где у нас есть часть против всего обсуждения. Какую информацию нам дают? У нас есть часть чего-то, или это сумма всего/всего ?

Если учащийся действительно не знает, что ищет, у него нет естественного способа выбрать правильную операцию и приступить к решению задачи. Обсуждение должно продолжаться для понимания.

Шаг 4: Отметьте ключевые слова

Ключевые слова даны во многих текстовых задачах, и учащиеся должны их распознать. Но ОСТЕРЕГАЙТЕСЬ ! Мы все знаем, что ключевые слова могут быть сложными.

Некоторые ключевые слова могут использоваться более чем для одной операции, например, «все вместе». Всего представляет общую сумму, но вместе с может также представлять собой сложение или умножение (Сколько ракушек у Боба всего ?), и учащимся необходимо более глубоко понять задачу, чтобы знать, какую операцию использовать.

По мере того, как ученики пытаются определить необходимые операции, они пытаются использовать свои чары, чтобы побудить вас давать множество подсказок и подсказок и (иногда) слишком много подталкиваний. Пусть они немного потрудятся, чтобы они научились настойчивости и развили навыки критического мышления.

Шаг 5: Удалите информацию, которая не нужна для решения задачи

Я прошу учащихся провести одну линию через информацию. Некоторые учащиеся записывают необходимую информацию. Это когда они стирают так сильно, что прорывают бумагу.

Некоторые студенты исключают слишком много, в то время как другие считают, что все необходимо. Этот шаг требует времени и проверяет навыки понимания и критического мышления, поэтому сделать этот шаг непросто.

Шаг 6: Нарисуйте рисунок

Пришло время учащимся нарисовать рисунок или представить задачу с помощью таблицы, массива или счетных меток. Конечно, на этом этапе полезны конкретные манипуляции, и они должны быть доступны учащимся, которым нужно держать предметы или манипулировать ими.

И пока мы обсуждаем рисунки, важно отметить, что изображения могут быть быстрыми набросками, массивами, полосами, линиями и т. д. Иногда у меня есть ученики, которые пытаются нарисовать шедевр и настолько погружаются в свой рисунок, что потерять фокус.

Шаг 7. Определите, является ли задача многоэтапной

Первые несколько раз, когда учащийся сталкивается с многоэтапной задачей, он сбит с толку. Я успешно написал «1» на (или выше) первом шаге задачи или первом ответе, который должны найти учащиеся. Далее они должны написать «2» напротив второго шага и т. д. Часто учащиеся выполняют только один шаг и останавливаются.

Я постоянно говорю ученикам, что теперь они большие дети, их задачи посложнее, и у них больше не будет одного шага.

Шаг 8: Решите

Наконец, учащиеся должны выполнить расчеты, чтобы решить задачу.

Ого, это действительно много!

Хотите узнать больше о CUBES Math Word Problem Strategy?

Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы прочитать еще одну запись в блоге о плакатах и ресурсах CUBES и CUBED. Чем больше вы читаете о них, тем больше вы находите их полезными!

Вот некоторые ресурсы CUBES Math Word Problem Strategy, доступные в моем магазине для учителей.

Нажмите, чтобы просмотреть этот ресурс. Нажмите, чтобы узнать об этом ресурсе.

Возможно, большая часть этого материала является для вас простым обзором, но я надеюсь, что, возможно, была хотя бы одна небольшая идея, которая заставила вас немного глубже задуматься о задачах со словами в вашем собственном классе. Учителя по природе своей сотрудничают: мы делаем друг друга лучшими учителями, делясь идеями и обсуждая их.

Закрепите это на потом!

**Есть и другие стратегии и наборы, похожие на эти плакаты. Все-таки я ЛЮБЛЮ КУБ (с буквой «D») Стратегия является лучшей из-за акцента в Common Core на том, чтобы учащиеся представляли математические задачи с помощью изображений или рисунков (Рисунки = D в стратегии КУБ).

Пожалуйста, заходите еще! Заботиться!

Ключевые слова для математических операций

Первым шагом в решении текстовой задачи всегда является чтение задачи. Вам нужно уметь переводить 90 427 слов в математические символы, ориентируясь на 90 426 ключевых слов , которые указывают математические процедуры, необходимые для решения задачи, — как операцию, так и порядок выражения. Точно так же, как вы можете перевести испанский язык на английский, вы можете перевести английские слова в символы, язык математики. Многие (если не все) ключевые слова, обозначающие математические операции, являются знакомыми словами.

Для начала вы переводите английские фразы в алгебраические выражения. Алгебраическое выражение представляет собой набор чисел, переменных , операций и группирующих символов. Вы переведете неизвестное число как переменную x или n . Символы группировки обычно представляют собой набор круглых скобок, но они также могут быть наборами скобок или фигурных скобок.

При переводе выражений необходимо хорошо знать основные ключевые слова, которые преобразуются в математические операции: ключевые слова сложения, ключевые слова вычитания, ключевые слова умножения и ключевые слова деления, которые рассматриваются в следующих четырех разделах.

Добавление ключевых слов

Вот некоторые распространенные примеры дополнительных ключевых слов:

СУММА _____ И _____

ВСЕГО _____ И _____

_____ ПЛЮС _____

_____ УВЕЛИЧЕН НА _____

УСИЛЕНИЕ

ПОДЪЕМ

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

УВЕЛИЧЕНИЕ НА

Первые два ключевых слова (СУММА и ИТОГО) называются ведущие ключевые слова потому что они ведут выражение. Вторые два ключевых слова (ПЛЮС и УВЕЛИЧЕНИЕ НА) — это ключевые слова, которые указывают точное размещение знака плюс. Последние четыре ключевых слова встречаются в текстовых задачах и могут указывать на сложение.

Если выражение начинается с ведущих ключевых слов СУММА или ИТОГО, ведущее ключевое слово определяет соответствующее И. Затем знак плюс физически заменяет И в выражении.

Пример 1: Переведите следующее: сумма пяти и числа

Следующие шаги помогут вам перевести эту проблему:

1. Подчеркните слова до и после И, если они соответствуют ведущему ключевому слову СУММА ИЗ.

сумма пяти и числа

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените AND знаком плюс.

Выражение переводится как 5 + x .

Пример 2: Переведите следующее: сумма числа и минус три

Используйте следующие шаги для перевода этой проблемы:

1. Ключевое слово ИТОГО ИЗ является ведущим ключевым словом, определяющим И, поэтому подчеркните слова до и после И: «число» и «минус три».

сумма числа и отрицательной тройки

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените AND знаком плюс.

Выражение переводится как x + −3.

Пример 3: Переведите следующее: сумма семи и отрицательных четырех

Переведите этот пример следующим образом:

1. Слово СУММА является ведущим ключевым словом, определяющим И, поэтому подчеркните слова до и после И: «семь» и «минус четыре».

сумма семи и отрицательных четырех

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените AND знаком плюс.

Выражение переводится как 7 + −4.

Напоминание: Ключевое слово AND переводится как «плюс», потому что ведущее ключевое слово SUM OF. С другими ведущими ключевыми словами (обсуждаемыми в следующих разделах) И может означать другие вещи. Также обратите внимание, что вы не упрощаете выражение и получаете «3» за ответ, потому что вы просто переводите слова в символы, а не выполняете математические операции.

Два других ключевых слова в списке дополнительных ключевых слов, PLUS и INCREASED BY, могут быть правильно переведены с помощью стратегии прямого перевода . В стратегии прямого перевода вы переводите каждое слово в соответствующий ему алгебраический символ, по одному, в том же порядке, в котором они написаны, как показано в примере 4.

Пример 4: Переведите следующее: число, увеличенное на двадцать четыре

Выражение переводится как x + 24,

Некоторые дополнительные ключевые слова, такие как ПРИБЫЛЬ, БОЛЬШЕ, УВЕЛИЧЕНИЕ и ПОВЫШЕНИЕ, обычно встречаются в задачах-рассказах, как в примере 5.

Пример 5: Переведите следующую сюжетную задачу в математическое выражение о весе полузащитника: Защитный полузащитник весил двести двадцать два фунта в начале весенней тренировки. Он набрал семнадцать фунтов после четырех недель тренировок с командой.

Выражение переводится как 222 + 17.

Примечание: Не все числа, упомянутые в словесной задаче, должны быть включены в математическое выражение. Число «четыре» — это просто интересный факт, а не информация, необходимая для написания выражения о весе полузащитника.

Вам также может быть интересно, почему ответ не 239 фунтов. Это потому, что вопрос просит вас перевести проблему истории в математическое выражение, а не оценивать выражение.

Пример 6: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение о текущей почасовой оплате кассира: Кассир в бакалейной лавке зарабатывал 6,25 доллара в час. Он получил прибавку в размере 25 центов в час.

Выражение переводится как 6,25 + 0,25.

Примечание: Почасовая оплата указана в долларах, а надбавка — в центах. Каждый раз, когда вы добавляете два числа, которые имеют единиц , убедитесь, что оба числа измеряются в одних и тех же единицах; если это не так, преобразуйте одно из чисел в те же единицы, что и другое. Измерение обоих чисел в одних и тех же единицах называется 9.0042 однородные единицы. В этом примере вы конвертируете его надбавку, 25 центов, в 0,25 доллара, поскольку его почасовая оплата измеряется в долларах, а не в центах, поэтому надбавка также должна быть в долларах.

Вычитание ключевых слов

Ключевые слова на вычитание также включают ведущие ключевые слова, ключевые слова, которые можно переводить по одному слову за раз, и ключевые слова, встречающиеся в задачах-рассказах. Посмотрите на следующий список ключевых слов вычитания:

РАЗНИЦА МЕЖДУ _____ И _____

_____ МИНУС _____

_____ УМЕНЬШИЛСЯ НА _____

ПОТЕРЯ

МЕНЬШЕ

МЕНЬШЕ

ЗАБЕРИТЕ

Одно ключевое слово вычитания (РАЗНИЦА МЕЖДУ) представляет собой выражение, состоящее из двух частей, которое начинается с ведущего ключевого слова, определяющего соответствующее И. Вы можете использовать те же методы подчеркивания и обведения ключевых слов, которые показаны в предыдущем разделе, для перевода этих выражений.

Пример 7: Переведите следующее: разница между четырьмя и шестью

Вот как вы переводите Пример 7:

1. Поскольку ключевое слово РАЗНИЦА МЕЖДУ является ведущим ключевым словом, определяющим соответствующее И, подчеркните слова до и после И: «четыре» и «шесть».

разница между четырьмя и шестью

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените И знаком минус.

Выражение переводится как 4 – 6.

Примечание: И не всегда переводится как сложение. Здесь РАЗНИЦА МЕЖДУ — это ведущее ключевое слово, которое определяет, что И означает вычитание.

Другие ключевые слова вычитания, такие как MINUS и DECREASED BY, используют стратегию прямого перевода. Пример 8 представляет собой задачу на вычитание слов, которая переводится по одному ключевому слову за раз в точном порядке выражения.

Пример 8: Переведите следующее: двадцать четыре уменьшилось на число

Выражение переводится как 24 – x .

В задаче на вычитание вы можете найти ключевые слова на вычитание LOSS, LESS, FEWER и TAKE AWAY, как показано в примере 9.

Пример 9: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение о текущей стоимости материалов на стройплощадке: Строительная компания хранила на строительной площадке материалы на сумму 1253 доллара. Компания понесла убытки в размере 300 долларов из-за ущерба, нанесенного ураганом.

Выражение переводится как 1 253 – 300.

Умножение ключевых слов

Вот некоторые распространенные примеры ключевых слов умножения:

УМНОЖИТЬ _____ НА _____

ПРОДУКЦИЯ _____ И _____

_____ РАЗ _____

ДВОЙНОЙ _____

ДВАЖДЫ _____

ТРОЙНОЙ _____

ПРОЦЕНТ _____

ДОЛЯ _____

Для двух ключевых слов умножения, MULTIPLY и PRODUCT OF, ведущее ключевое слово определяет соответствующее BY или AND, как показано в примере 10.

Пример 10: Переведите следующее: произведение семи и числа

Переведите этот пример следующим образом:

1. Поскольку ПРОИЗВЕДЕНИЕ является ведущим ключевым словом, которое соответствует И, подчеркните слова до и после И: «семь» и «число».

произведение семи и числа

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените AND знаком времени.

Выражение переводится как 7 × x .

Примечание: Имейте в виду, что И не всегда означает сложение. Ключевое слово PRODUCT OF определяет, что И в этом выражении означает умножение.

Выражение умножения, переведенное методом прямого перевода, показано в примере 11.

Пример 11: Переведите следующее: число, умноженное на пятнадцать

Выражение переводится как x x 15.

Некоторые ключевые слова умножения, такие как DOUBLE, TWICE и TRIPLE, преобразуются в число и операцию умножения, как показано в примерах 12 и 13.

Пример 12: Переведите следующее: дважды число

Выражение преобразуется в 2 × x .

Пример 13: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение: У Дженнифер в банке было 15 долларов. За следующие две недели она удвоила свои деньги.

Выражение преобразуется в 2 × 15.

Одним из ключевых слов, указывающих на умножение, является OF. Однако в текстовых задачах вы можете увидеть более одного употребления слова «из». Единственная OF, которая указывает на умножение, — это та, которая следует за ключевым словом PERCENT, знаком процента, ключевым словом FRACTION или дробью. См. примеры 14 и 15.

Пример 14: Переведите следующее: двадцать пять процентов от четырехсот долларов

Выражение переводится как 0,25 × 400.

Примечание: Помните, что перед умножением процент заменяется десятичной дробью.

Пример 15: Переведите следующее: одна треть от двадцати семи

Выражение переводится как .

Ключевые слова раздела

Некоторые распространенные примеры ключевых слов разделения:

ЧАСТЬ _____ И _____

РАЗДЕЛИТЬ _____ НА _____

_____ ДЕЛИТСЯ НА _____

ПОДЕЛИТЬСЯ НА ПОЛОВИНЫ

ПО

Некоторым людям трудно различить ключевые слова ПРОИЗВЕДЕНИЕ ИЗ и ЧАСТНОЕ ИЗ. Вот подсказка, которая поможет вам вспомнить, какое из них указывает на деление, а какое на умножение: ЧАСТНОЕ — слово «более сложное», чем «ПРОИЗВЕД», а деление — более сложная операция, чем умножение.

Помните: Ведущие ключевые слова определяют соответствующее И или BY для обозначения деления, обычно обозначаемого символом ÷.

Пример 16: Переведите следующее: частное семи и числа

1. Поскольку ключевое слово ЧАСТНОЕ ИЗ является ведущим ключевым словом, определяющим И, подчеркните слова до и после И: «семь» и «число».

частное семи и числа

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующее И, которое оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените И знаком деления.

Выражение переводится как 7 ÷ n .

Примечание: Здесь ключевое слово ЧАСТНОЕ определяет И для обозначения деления.

Пример 17: Переведите следующее: разделите минус тридцать шесть на девять

1. Поскольку слово DIVIDE является ведущим ключевым словом, определяющим BY, подчеркните слова до и после BY: «минус тридцать шесть» и «девять».

минус тридцать шесть разделить на девять

2. Обведите ведущее ключевое слово и укажите соответствующий BY, который оно определяет.

3. Переведите каждое подчеркнутое выражение и замените BY знаком деления.

Выражение переводится как .

Примечание: Первое число идет в числителе при использовании дроби для обозначения деления. Число в числителе (-36) помещается внутри «дома» при использовании длинного символа деления.

Некоторые ключевые слова раздела можно переводить по одному слову. Вместо этого вы просто следуете предложению и заменяете его алгебраическими обозначениями по ходу дела.

Пример 18: Переведите следующее: число, деленное на 16

Выражение переводится как .

Часто в сюжетных задачах ключевым словом, указывающим на деление, является PER. Когда в сюжетной задаче требуется указать скорость транспортного средства в милях в час, настройте выражение, чтобы разделить количество миль на количество часов. Вы не только напрямую переводите «мили» ÷ «часы», но также определяете количество миль и количество часов, находя их в другом месте задачи. См. пример 19.

Пример 19: Переведите следующую текстовую задачу в математическое выражение о скорости: Требуется три часа, чтобы проехать 150 миль до дома бабушки. Как найти среднюю скорость в милях в час?

В вопросе вы найдете «мили» ÷ «часы». В первой части задачи вы найдете количество миль, 150 миль, и количество часов, три часа.

Выражение переводится как 150 ÷ 3.

Математическая индукция

Математическая индукция — это особый способ доказательства вещей. У него всего 2 шага:

Шаг 1. Покажите, что верно для первый
Шаг 2. Покажите, что если любое из верно, то следующий верно

Тогда все верны

Вы слышали об «эффекте домино»?

Шаг 1. выпадает первая костяшка домино
Шаг 2. Когда выпадает любая костяшка домино, следующая костяшка костяшки выпадает

Итак… все костяшки упадут!

Так работает математическая индукция.

В мире чисел мы говорим:

Шаг 1. Покажите, что это верно для первого случая, обычно n=1
Шаг 2. Покажите, что если n=k верно, то n=k+1 также верно

Как это сделать

Шаг 1 обычно прост, нам просто нужно доказать, что он верен для n=1

Шаг 2 лучше всего сделать следующим образом:

Предположим, что верно для n =к
Докажите, что верно для n=k+1 (мы можем использовать n=k случай как факт .)

Это все равно, что сказать «ЕСЛИ мы можем заставить костяшку домино упасть, УПАЕТ ЛИ следующая?»

Шаг 2 часто может быть сложным , нам может понадобиться использовать воображение, чтобы заставить его работать!

Как в этом примере:

Пример: кратно ли 3

ⁿ −1 2?
Это правда? Давайте узнаем.

1. Покажите, что это верно для n=1
3 ¹ −1 = 3−1 = 2
Да, 2 кратно 2. Это было легко.
3 ¹ −1 — это правда
2. Предположим, что это верно для n = K
3 ^K -1 — это верно
(подвеска! Как мы знаем, что? Мы не знаем!
Это предположение … что мы рассматриваем
как факт для остальной части этого примера)

Now, prove that 3 ^k+1 −1 is a multiple of 2

3 ^k+1 is also 3×3 ^k
And Затем раздел 3 × на 2 × и 1 ×
, и каждый из них составляет 2
Потому что:
2 × 3 ^K 9016
We Artip. умножаются на 2)
3 ^k −1 верно (это мы сказали в предположении выше)
Итак:
3 ^k+1 −1 верно
ГОТОВО!
Вы видели, как мы использовали случай 3 ^k −1 как истинное , даже если мы не доказали это? Это нормально, потому что мы полагаемся на эффект домино . ..
… мы спрашиваем если выпадет любая костяшка домино, выпадет ли следующая ?
Итак, мы принимаем как факт (временно), что » n=k » костяшка домино падает (т.е. 3 ^k −1 верно), и смотрим, означает ли это, что » n=k+1 «домино тоже упадет.
Трюки
Я уже говорил, что нам часто приходится использовать творческие трюки.
Обычный прием состоит в том, чтобы переписать случай n=k+1 на 2 части:
одна часть представляет собой случай n=k (который считается верным)
затем можно проверить другую часть, чтобы убедиться, что она также верна
Мы сделали это в примере выше, а вот еще один:
Пример: сложение нечетных чисел
1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n ²
1 . Покажите, что это верно для n = 1
1 = 1 ² — это правда
2. Предположим, что это верно для n = K
1 + 3 + 5 + 5. + (2k−1) = k ² верно
(предположение!)
Теперь докажите, что это верно для «k+1»
1 + 3 + 5 + … + (2k−1) + (2(k+1)−1) = (k+1) ² ?

Мы знаем, что 1 + 3 + 5 + … + (2k−1) = k ² (предположение выше), поэтому мы можем сделать замену для всех членов, кроме последнего:
k ² + (2(k+1)−1) = (k+1) ²
Теперь разверните все члены:
k ² + 2k + 2 − 1 = k ² + 2k+1
И упростить:
k ² + 2k + 1 = k ² + 2k + 1
Они одинаковы! Так что это правда.
Итак:
1 + 3 + 5 + … + (2(k+1)−1) = (k+1) ² верно
ГОТОВО!

Ваша очередь
А теперь еще два примера , на которых вы можете попрактиковаться в .
Сначала попробуйте сами, а затем посмотрите на наше решение ниже.
Пример: треугольные числа
Треугольные числа — это числа, которые могут образовывать треугольный узор из точек.
Докажите, что n-е треугольное число равно:
T _n = n(n+1)/2
Натуральные номера
Докажите, что:
1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + … + N ³ = ¼n ² (N + 1) ²
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пожалуйста, не читайте решения, пока вы сами не попробуете ответы на вопросы, это единственные вопросы на этой странице, над которыми вы можете попрактиковаться!
Пример: треугольные номера
Докажите, что N-Th Треугольное число:
T _N = N (N+1)/2
1. 9042. n=1
T ₁ = 1 × (1+1) / 2 = 1 верно

2, Предположим, что это верно для n=k
T _k = k(k+1)/2 верно (предположение!)
Теперь докажите, что это верно для «k+1»
T _k+1 = (k+1)(k+2)/2 ?

Мы знаем, что T _k = k(k+1)/2 (предположение выше)
T _k+1 имеет дополнительный ряд из (k + 1) точек
Итак, T _k+1 = T _k + (k + 1)
(k+1)(k+2)/2 = k(k+1) / 2 + (k+1)
Умножить все члены на 2:
(к + 1) (к + 2) = к (к + 1) + 2 (к + 1)
(к + 1) (к + 2) = (к + 2) (к + 1)
Они одинаковые! Так что верно .
Итак:
T _k+1 = (k+1)(k+2)/2 верно
ГОТОВО!
Пример: с добавлением номеров куба
Докажите, что:
1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + … + N ³ = ¼n ² (n + ³ = ¼n ² (n + n ³ = ¼n ² (n ³ = 1) ²

1. Покажите, что он верен для n = 1
1 ³ = ¼ × 1 ² × 2 ² это правда
2. Предположим, это истинно
2. . Предположим. =k
1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + … + k ³ = ¼k ² (k + 1) ² верно
2
Теперь докажите, что это верно для «k+1»
1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + … + (k + 1) ³ = 1/4(k + 1) ² (k + 2) ² ?

Мы знаем, что 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + .

55	56	57	58	59	60	61
62	63	64	65	66	67	68
69	70	71	72	73	74	75
76	77	78	79	80	81	82
83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96
97	98	99	100	101	102	103

55	56	57	58	59	60	61
62	63	64	65	66	67	68
69	70	71	72	73	74	75
76	77	78	79	80	81	82
83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96
97	98	99	100	101	102	103

Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Как решить выражение по действиям. Порядок выполнения действий

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Действия первой и второй ступени

воскресенье, 4 августа 2019 г.

суббота, 3 августа 2019 г.

понедельник, 7 января 2019 г.

среда, 4 июля 2018 г.

суббота, 30 июня 2018 г.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Решение примеров со скобками

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Действия первой и второй ступени

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Порядок выполнения действий первой и второй ступени по фгос Перспективная начальная школа

Конспект урока ««Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».

Числовые выражения

Смотрите также учебники, книги и учебные материалы:

абстрактной алгебры — Порядок операций — почему они в том порядке, в котором они находятся?

Простая математическая задача разделила Интернет | Статья

Математика: это огонь на этой неделе

Порядок операций | NZ Maths

Приоритет | Математика | RSC Education

BIDMAS

Более сложный пример

Преподавание

Примеры

1. Расчет относительной атомной массы хлора

2. Мольная доля растворенного вещества в растворе

3. Для реакции

История деятельности

Эта математическая задача стала вирусной, потому что PEMDAS сбивает людей с толку

Курс лекций по теории и технологии обучения математике в начальных классах: учебное пособие

Урок математики на тему «Увеличение и уменьшение в несколько раз». 2-й класс

Урок математики в 3 классе на тему «Порядок выполнения действий» с использованием игровых технологий | Начальная школа

Как научить себя математике

Шаг первый: начните с объяснения

Что делать, если я не понимаю объяснение?

Шаг второй: Решайте задачи

Что делать, если у меня нет проблем, которые нужно решать?

Шаг третий: поймите, почему математика работает

Шаг четвертый: играйте с математикой

Шаг пятый: применение математики вне класса

Похоже, это слишком много работы!

3.2.10 написание вопросов первого шага, математика

Решение двухшаговых уравнений — ChiliMath

Как преподавать математические задачи — CUBES Math Strategy

Математические задачи

КУБИКИ Стратегия математических задач

Шаг 1: Прочитайте задачу вслух.

Шаг 2: Обведите числа И ЭТИКЕТКИ!

Шаг 3: Подчеркните вопрос

Шаг 4: Отметьте ключевые слова

Шаг 5: Удалите информацию, которая не нужна для решения задачи

Шаг 6: Нарисуйте рисунок

Шаг 7. Определите, является ли задача многоэтапной

Шаг 8: Решите

Хотите узнать больше о CUBES Math Word Problem Strategy?

Ключевые слова для математических операций

Математическая индукция

Как это сделать

Пример: кратно ли 3

Трюки

Пример: сложение нечетных чисел

Ваша очередь

Пример: треугольные числа

Натуральные номера

Пример: треугольные номера

Пример: с добавлением номеров куба

Добавить комментарий Отменить ответ

55	56	57	58	59	60	61
62	63	64	65	66	67	68
69	70	71	72	73	74	75
76	77	78	79	80	81	82
83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96
97	98	99	100	101	102	103