Решение:

пример

Упростить: [латекс] 18 \ div 6 + 4 \ left (5-2 \ right) [/ latex].

Решение:

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения математического выражения.

Когда имеется несколько символов группировки, мы сначала упрощаем самые внутренние круглые скобки и работаем наружу.{3}} + 3 [0] [/ латекс]

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения выражения, содержащего экспоненты и символы группировки.{2}} [/ латекс]

— ChiliMath

Фундаментальная концепция порядка операций — выполнять арифметические операции в «правильном» порядке или последовательности.Давайте посмотрим, как Роб и Пэтти пытались упростить данное числовое выражение, применяя порядок или правило операций.

В чем ошибка Роба?

• Он небрежно упростил числовые выражения, применив арифметические операции слева направо.

Пэтти получила правильный ответ, потому что она правильно применила правила порядка операций.

• Сначала она выполнила умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Порядок операций — это просто набор правил, устанавливающих приоритет последовательности операций , начиная от наиболее важных до наименее важных.

Это правило о том, как правильно упрощать числовые выражения, также известно как правило PEMDAS (аббревиатура от P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally).

Шаг 1: Сделайте все возможное, чтобы упростить все, что находится внутри скобок или символа группировки.

Шаг 2: По возможности упрощайте экспоненциальные числа в числовом выражении.

Шаг 3: Умножение и деление слева направо в зависимости от того, что наступит раньше.

Шаг 4: Сложите и вычтите, в зависимости от того, что наступит раньше, слева направо

Пример 1: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

• Рассматривая числовые выражения с несколькими операциями слева направо, мы видим, что сначала мы должны выполнить деление, что составляет 5 \ div 5 = 1.

• На данный момент у меня есть три (3) возможных операции. В Порядке операций умножение имеет приоритет перед сложением и вычитанием. Следовательно, мы должны дальше размножаться. У нас 6 \ умножить на 2 = 12.

• Что нам делать дальше, складывать или вычитать? В зависимости от порядка операций сложение и вычитание имеют одинаковое значение.Чтобы определить, какую операцию выполнить в первую очередь, мы добавляем или вычитаем слева направо в зависимости от того, что идет первым, что в этой ситуации должно сложить, 1 + 3 = 4.

• Осталась одна операция — вычитание. На первый взгляд сложное числовое выражение сводится к окончательному ответу — 8.

Пример 2: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

В следующих примерах будет задействовано скобка .Помните, что вам нужно сначала упростить все, что указано в скобках, прежде чем двигаться дальше.

Пример 3: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

• Обратите внимание на выражения в скобках. Правило говорит нам сначала делить, а затем вычитать.

• Мы можем избавиться от скобок, вычтя 7 на 2.

• Умножение — это гораздо более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому мы должны сначала умножить 5 и 4.

• Завершите вычитанием 25 на 20.

Пример 4: Упростите приведенное ниже выражение, используя Порядок операций.

• Сначала упростите выражения в круглых скобках. Умножьте на первую скобку и разделите на вторую.

• Сложите числа в первой скобке, затем вычтите числа внутри второй.

• Здесь есть умножение и деление.Поскольку умножение предшествует делению, мы собираемся сначала умножить.

• Между вычитанием и делением приоритет имеет деление, поэтому мы делим 5 на 5, чтобы получить 1.

• Последняя оставшаяся операция — вычитание, поэтому мы и займемся этим.

Последние примеры будут включать экспоненты, поэтому будьте осторожны на каждом шаге, потому что в них происходит очень много всего. Пока вы сосредотачиваетесь на соблюдении правил, регулирующих порядок действий, это не должно быть так сложно! Поехали…

Пример 5: Упростите числовое выражение ниже, используя правила Порядка операций.

• Упростите выражения в скобках. Но, в частности, упростите числа с помощью показателей.

• Для упрощения заключены две круглые скобки. Мы упростим второй, \ left ({30 — 27} \ right), потому что он намного проще. Здесь разница 30 и 27 составляет 3.

• Теперь обратим внимание на другую скобку. Порядок действий говорит нам делить, прежде чем вычитать.

• Наконец, мы можем избавиться от скобок, выполнив вычитание, потому что больше нечего делать.

• Глядя на то, что мы оставили, упрощение экспоненциальных чисел имеет приоритет перед операциями умножения, сложения и вычитания.

• Просматривая слева направо, очевидно, что мы должны умножать перед сложением и / или вычитанием.

• В зависимости от порядка операций сложение и вычитание имеют одинаковое значение. Сначала мы должны вычесть, потому что операция вычитания предшествует сложению, если смотреть слева направо.3} первый.

• Заглянув в круглые скобки, мы должны сначала разделить, прежде чем умножать и вычитать.

• Сохраняя внимание в круглых скобках, порядок операций говорит нам умножать, прежде чем мы будем вычитать.

• Последняя операция внутри скобок — вычитание. Давай сделаем это!

• Здесь сделаем паузу. На данный момент ясно, что мы можем выполнить три (3) упрощения одновременно.2}.

• Кажущаяся сложной проблема теперь сведена к чему-то, что очень легко упростить. Если смотреть слева направо, деление имеет приоритет перед вычитанием и сложением.

• Потому что вычитание и умножение находятся на одном уровне в иерархии операций. Способ, которым мы разрываем связь, как вы уже должны были знать, — это выполнять ту, которая идет первой, если смотреть слева направо.

Что сначала умножение или прибавление

С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр. Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.

Математическое выражение − это записанное с помощью математических символов наставление, какие действия нужно произвести с числами, чтобы получить результат. Не «выйти» на искомый результат, как в статистике, а узнать, сколько их точно было. А вот чего и когда было − уже не входит в сферу интересов арифметики. При этом важно не ошибиться в последовательности действий, что сначала — сложение или умножение? Выражение в школе иногда называют «пример».

Сложение и вычитание

Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

Умножение

Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

Что сначала — умножение или сложение?

Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

• 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
• 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

• 500 + 500 + 500 + 500 + 500 — это кучки взрослых работников;
• 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
• 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

И одна кучка 70 помидоров.

5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами — сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

2500 + 100 + 70 = 2 670

При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

Деление

Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

Скобки

Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).

Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.

Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках. И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.

1. Это как коробочки с конфетами в большом мешке. Сначала нужно раскрыть все коробочки и ссыпать в большой мешок: (25 – 5 ) = 20. Пять конфет из коробочки сразу заслали отличнице Люде, которая приболела и в празднике не участвует. Остальные конфеты − в мешок!
2. Потом связать конфеты в пучки по 5 штук: 20 : 5 = 4.
3. Потом добавить в мешок еще 2 пучка конфет, чтобы можно было поделить на троих детей без драки. Признаки деления на 3 в данной статье не рассматриваются.

(20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2

Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.

Если вычислить первые скобки в выражении и переписать все заново, пример станет короче. Метод не быстрый, с большим расходом бумаги, зато удивительно эффективный. Заодно тренирует внимательность при переписывании. Пример приводится к виду, когда остается только один вопрос, сначала умножение или сложение без скобок. То есть к такому виду, когда скобок уже и нет. Но ответ на этот вопрос уже есть, и нет смысла обсуждать, что идет сначала — умножение или сложение.

«Вишенка на торте»

И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:

Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».

«Совсем вишня»

В Сети гуляет пример, вызывающий затруднения у взрослых дяденек и тетенек. Он не совсем по рассматриваемой теме, что сначала — умножение или сложение. Он вроде как про то, что сначала выполняете действие в скобках.

От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.

6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Какое действие делается первым умножение или сложение

Основные операции в математике

При наличии скобок сначала выполняется действие, в них заключенное.

При появлении знаков или первыми выполняются они, лишь затем сложение или вычитание.

2 + 2 х 2 = 2 + 4 = 6

2 + 2 ÷ 2 = 2 + 1 = 3

Скобки могут частично ослабить эти правила, так как действие в них заключенное всегда выполняется в первую очередь.

(2 + 2) х 2 = 4 х 2 = 8

(2 + 2) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2

Если в скобки заключено сложное выражение, внутри них работают стандартные правила.

(4 + 7 – 1) + 5 = (11 – 1) + 5 = 15

(5 + 3 х 2) – 4 = (5 + 6) – 4 = 11 – 4 = 7

При появлении двух и более знаков или нужно учитывать их очередность.

5 х 2 – 8 ÷ 4 = 10 – 2 = 8

Решение примеров с множественными скобками

5 + 8 ÷ 2 + 3 х (15 – 6 х 2 + 1) + 3 х (6 – 4) = ?

Распишем все расчеты поэтапно:

1. 6 х 2 = 12
2. 15 – 12 + 1 = 4
3. 6 – 4 = 2
4. 8 ÷ 2=4

Получаем сокращенную версию:

5 + 4 + 3 х 4 + 3 х 2 = ?

Снова расписываем:

1. 3 х 4 = 12
2. 3 х 2 = 6

Еще сократили: 5 + 4 + 12 + 6 = 27 Вариант 2: 3 + 2 х [10 – 3 х (6 ÷ 2)] + 1 = ? Сокращаем:

1. 6 ÷ 2 = 3
2. 10 – 3 х 3 = 10 – 9 = 1

Получили: 3 + 2 х 1 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6 Вариант 3:<50 – [11 – (5 + 2)>х 4 = ? Сокращаем:

1. 5 + 2 = 7
2. 11 – 7 = 4
3. 50 – 4 = 46
4. 46 х 4 = 184

Ответ: 184

Законы сложения и умножения Также описывают общие принципы проведения вычислений.

(a + b) + c = a + (b + c)

a х (b х c) = (a х b) х c

a х (b + c)=a х b + a х c

(a + b) х c= a х c + b х c

Знание этих законов поможет проводить необходимые вычисления быстрее.

Важно! В случае замены + и х на – и ÷ соответственно эти правила перестают действовать.

Несмотря на легкость понимания, очередность выполнения операций жизненно важна, так как все сложные формулы (логарифмы, интегралы и так далее) по сути представляют собой сокращенную форму написания длинной цепи простых вычислений. Чтобы закрепить материал статьи, рекомендуем посмотреть видео ниже. Рекомендуем посмотреть видео о порядке дейсивий в математике

Сайт для детей и их родителей

Порядок выполнения математических действий

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

1) в скобках: 10 + 6 = 16 ;

2) вычитание: 38 – 16 = 22 .

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

Порядок выполнения действий:

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5 ;

2) умножение: 5 × 4 = 20 ;

10 + 4 – 3 = 11 , т.е.:

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

4) 9 – 6 = 3 ; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7 ; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54 , т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4 ;

2) умножение: 6 × 4 = 24 ;

3) сложение: 30 + 24 = 54 ;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1) действия, заключенные в скобках;

2) умножение и деление;

3) сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.

1. Математика – 3 классПродолжим изучение предметов, которые изучают наши дети в начальной школе.
2. Математика – 2 классПродолжим изучение программы математики в начальной школе и на этот.

Понравилась статья – поделитесь с друзьями:

Подпишитесь на новости сайта:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

.

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 – 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Сперва вычисляется находится скобках. Порядок выполнения действий

Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:

1. Если в выражении присутствует возведение в степень, то сначала выполняется это действие в порядке следования, т. е. слева направо.
2. Затем (при наличии в выражении) выполняются действия умножения и деления в порядке их следования.
3. Последними (при наличии в выражении) выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования.

В качестве примера рассмотрим следующее выражение:

Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):

3 · 16 — 8: 2 + 20

Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):

И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):

48 — 4 + 20 = 44 + 20 = 64

Действия первой и второй ступени

Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени , умножение и деление — действиями второй ступени .

Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

Пример 1.

15 + 17 — 20 + 8 — 12

Решение. Данное выражение содержит действия только одной ступени — первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

Ответ: 42.

Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

Пример. Вычислить значение выражения:

24: 3 + 5 · 2 — 17

Решение. Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым — умножение, третьим — сложение, а четвёртым — вычитание.

Теперь приступим к вычислению.

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

• действия выполняются по порядку слева направо,
• причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 — 1 — 1, 6 — 2 — 1, 6 — 2 — 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме «Сложение и вычитание в пределах 10». Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 — 2 + 4, 9 — 3 — 1 , 4 +3 — 2; во 2 классе, например: 70 — 36 +10, 80 — 10 — 15, 32+18 — 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы «Порядок действий» учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе — опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а — (в+с) и а — (в — с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 — 36 +10=24, 60:10 — 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 — (26 — 14), 50:(30 — 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

Также интересными являются упражнения следующего вида:

• 1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. Поставьте вместо звездочек знаки «+» или «-» так, чтобы получились верные равенства:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 — 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

примеры. Порядок выполнения действий, правила, примеры

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Сложение и вычитание

Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

Умножение

Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

Что сначала — умножение или сложение?

Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

• 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
• 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

• 500 + 500 + 500 + 500 + 500 — это кучки взрослых работников;
• 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
• 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

И одна кучка 70 помидоров.

5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами — сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

2500 + 100 + 70 = 2 670

При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

Деление

Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических действий без скобок:

1. Если выражение содержит только действия на сложение и вычитание, то они выполняются в порядке следования — слева направо:
2. Если выражение содержит только действия на умножение и деление, то действия выполняются в порядке следования — слева направо:
3. Если в выражении присутствуют и умножение с делением, и сложение с вычитанием, то сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо):

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.

В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Примеры на порядок действий 3-4 класс для тренировки

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

***

Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

• умножение;
• деление;.
• сложение;
• вычитание;
• сложение.

Найди значение данного выражения.

***

Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

• умножение; 2. сложение; 3. вычитание
• сложение; 2. вычитание; 3. сложение
• умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

• в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
• в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

• сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
• затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 – 9 = 1

Сначала выполняем действия в скобках:
16 – 2 · 7 + 4 = 16 – 14 + 4 = 6
2 + 5 = 7

Теперь выполняем остающиеся действия:
9 + 16 : 4 – 2 · 6 + 6 · 7 =
= 9 + 4 – 12 + 42 =
= 43

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки. Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками <>. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
8 – 6 = 2
10 – 2 · 3 = 10 – 6 = 4

действия в квадратных скобках дают:
14 – 3 · 2 = 8

выполняя остающиеся действия скобках находим:
5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29

Порядок действий:
30 – 20 = 10
35 – 10 = 25
100 – 25 = 75
75 · 2 = 150

Расставь порядок действий. Найди значение выражения:

1. (12 – 0 : 4) : 3 – (7 — 7)*45 + (36 : 6) : (15 : 15)
2. 36 : (12 – 6 : 20 – (0 *5 + 3) – (7 * 8) : 14 : 4
3. (3 + 27 : 3) * 5 – 60 * 3 : 90 + 8 * (7 – 7) : 4
4. (630 : 7 + 4 * 9) : (5 + 5 : 5) + (8 – 8) : (35 * 7 + 49)
5. 5 * (48 : 6 + 2 : 2) – 280 : 20 * 3 + (50 – 32) : 9
6. 8040 : 6 + (109004 – 76048) : 7
7. (64000 : 80 * 3 + 600) : 15 – (3200 * 100) : 2000
8. 240400 – (5796 + 1803200 : 400) * 8
9. 345 * (250 * 125) * (8 * 400)
10. 56432 : 8 * 50 – (223956 + 882630 : 9)
11. (62456715 + 548185) : 700 – 300 * 80450 : 5000
12. 80 – (17 * 4) : (20 – 380 : 20) + 90 * 40 : 120
13. (1000 – 999) * 40 – 0 : 24 + 360 : (16 * 5 + 280 : 7)
14. (600000 – 538704) * 500 : 300
15. 280 : (60 : 15) – (25 + 3 * 8) : 7 + 3 * (720 : 80)
16. (250 * 840 – 145 * 1008) : 60
17. (1000 – 832) * 715 : 30 + (104402 – 58842 : 7)

[spoiler title=»Источники»]

• https://skysmart.ru/articles/mathematic/poryadok-dejstvij-v-matematike
• https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/porjadok-vypolnenija-dejstvij/
• https://1Ku.ru/obrazovanie/62562-chto-snachala-slozhenie-ili-umnozhenie-pravila-porjadok-vypolnenija-dejstvija-i-rekomendacii/
• https://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/poryadok_deystviy.html
• https://koncpekt.ru/nachalnye-klassy/rabochie-programmy/matematika-4-klass/5032-primery-na-poryadok-deystviy-so-skobkami-po-matematike-dlya-3-4-klassa.html

[/spoiler]

я журналист, переводчик, сертифицированный инструктор йоги. Но, пожалуй, в большей степени — мама двух горячо любимых детей. Проект «Неидеальные родители» — это моя попытка найти ответы на свои материнские вопросы. В силу профессий, имею возможность общаться со специалистами, мастерами своего дела. Результаты нашего сотрудничества — на страницах этого сайта. Надеюсь, мы отвечаем и на Ваши вопросы…

3 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 24

Числа от 1 до 100

Узнаем, в каком порядке выполняются действия в числовых выражениях.

1. Сравни выражения каждой пары: какие действия в них выполняются? В каком порядке выполняются эти действия и почему?
38 — 10 + 6 = 28 + 6 = 34        24 : 3 • 2 = 8 • 2 = 16
38 — (10 + 6) = 28 + 6 = 34     24 : (3 • 2) = 8 • 2 = 16
Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение: выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются.
1) Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняются в том порядке, в каком они записаны: слева направо.
Если в выражение без скобок входят не только сложение и вычитание, но и умножение или деление или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия, записанные в скобках, по правилам пунктов 1 и 2.

Действия в числовых выражениях выполняют в следующем порядке:
1) действия, записанные в скобках;
2) умножение и деление;
3) сложение и вычитание.

В первой паре выполняется сложение и вычитание, во второй — деление и умножение. В первой случае сначала выполняется вычитание, а затем деление. Но при наличии скобок сначала выполняются действия в скобках — сложение, а затем вычитание.

Во втором случае сначала выполняется деление, а затем умножение. Но при наличии скобок сначала выполняются действия в скобках — умножение, а затем деление.

2. Объясни, как надо выполнять действия.
      _{3     2       1}
30 + 6 • (13 — 9) = 30 + 6 • 4 = 30 + 24 = 54
      _{1     4     2      5        3}
18 : 2 — 2 • 3 + 12 : 3 = 9 — 6 + 4 = 7

В первом выражении сначала выполняется действие в скобках — вычитание, затем умножение, а потом сложение.

Во втором выражении сначала выполняются действия деления и умножения, а затем действия вычитания и сложения — слева направо.

ГДЗ по математике. Учебник. 3 класс. Часть 1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.

Математика. 3 класс

3 класс. Моро. Учебник №1. Ответы к стр. 24

Знакомство со сложными формулами в Excel

В этом уроке мы познакомимся с понятием Сложная формула в Excel, а также разберем порядок выполнения действий при решении таких формул. Представленная информация является базовой и предназначена в первую очередь для начинающих пользователей Microsoft Excel.