Вычитание дробей с разными, одинаковыми знаменателями
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем. А под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
- Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.
- Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например 3/7 и 31/45.
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1\4.
Основные свойства дробей1. Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю. 2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. 3. Равными называют a/b и c/d в том случае, если a * d = b * c. 4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. |
Правило вычитания дробей
Вычитание — арифметическое действие, когда от одного числа отнимают другое.
Свойства вычитания:
- Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а после из результата вычесть другое слагаемое:
a — (b + c) = (a — b) — c,
a — (b + c) = (a — с) — b.
- Скобки в выражении (a — b) — c не имеют значения и их можно опустить:
(a — b) — c = a — b — c.
- Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся:
(a + b) — c = (a — c) + b, если a > c или а = с,
(a + b) — c = (b — c) + a, если b > c или b = с.
- Если из числа вычесть нуль, получится оно же:
a — 0 = a.
- Если из числа вычесть его само, получится нуль:
a — a = 0.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно от числителя первой отнять числитель второй, а знаменатель оставить тот же.
Прежде, чем зафиксировать ответ, важно проверить возможность сокращения.
Рассмотрим это правило на примере:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Как вычитать дроби с разными знаменателями? Для этого приводим их к общему знаменателю и гаходим разность числителей.
Рассмотрим пример, в котором нужно найти разность 2/9 и 1/15.
Как решаем:
- Знаменатели разные, значит найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя. Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (9, 15) = 3 * 3 * 5 = 45
- Найдем дополнительные множители. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
45 : 9 = 5,
45 : 15 = 3.
- Полученные числа умножим на соответствующие дроби:
и
- Перейдем к вычитанию заданных чисел:
Ответ:
Вычитание обыкновенной дроби из натурального числа
Для вычитания из обыкновенной дроби натурального числа необходимо это действие привести к вычитанию обыкновенных дробей.
Разберем для наглядности пример разности 3 и 6/7.
Как решаем:
- Представим натуральное число в виде смешанного — займем единицу и переведем ее в неправильную дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой:
3 = 2 * 7/7.
- Произведем разность:
Ответ: две целых одна седьмая.
Вычитание натурального числа из обыкновенной дроби
Для вычитания натурального числа из обыкновенной дроби нужно последовать тому же алгоритму, что и в предыдущем примере. А именно: перевести натуральное число в вид дроби, привести все к единому знаменателю, найти разность.
Рассмотрим пример разности 3 из 83/21.
Как решаем:
3 = 3/1.
А еще можно вот так:
- Представим 83/21 в виде смешанной дроби, для этого разделим делитель на делимое:
83/21 = 3 * 20/21.
- Произведем вычитание:
3 * 20/21 — 3 = 20/21
Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:
Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.
Приходите практиковаться в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.
Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.
Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.
К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.
Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.
Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.
Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.
Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями
- найти НОК всех знаменателей;
- проставить к каждой дроби дополнительные множители;
- умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
- полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
- произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.
Например:
Запись опубликована в рубрике Математика с метками вычитание, дробь, знаменатель, сложение.{3}}{12}\right)=3+\frac{13 \cdot 4-11 \cdot 3}{36}=$$ $$=3+\frac{52-33}{36}=3+\frac{19}{36}=3 \frac{19}{36}$$
Ответ. $5 \frac{4}{9}-1 \frac{11}{12}=3 \frac{19}{36}$
Аналогичным образом поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.
Пример
Задание. Найти разность $4-3 \frac{3}{5}$
Решение. Выполним вычитание дробей по описанному выше правилу
$$4-3 \frac{3}{5}=3+1-3 \frac{3}{5}=3+\frac{5}{5}-3 \frac{3}{5}=3 \frac{5}{5}-3 \frac{3}{5}=$$ $$=(3-3)+\left(\frac{5}{5}-\frac{3}{5}\right)=0+\frac{5-3}{5}=\frac{2}{5}$$Ответ. $4-3 \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
Замечание. Производить операции со смешанными числами можно и иначе: записать смешанное число в виде неправильной дроби и уже работать далее как с обыкновенными дробями.
Читать следующую тему: умножение дробей.
Урок 40. сложение и вычитание дробей — Математика — 6 класс
Математика
6 класс
Урок № 40
Сложение и вычитание дробей
Перечень рассматриваемых вопросов:
- обобщение и систематизация знаний по теме «Сложение и вычитание дробей».
Тезаурус
Сумма дробей с одинаковыми положительными знаменателями есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным сумме числителей.
Разностью двух дробей называют такую дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое.
Наименьший общий положительный знаменатель – это наименьшее положительное число, кратное знаменателям данных дробей.
Наименьшее общее кратное двух чисел – наименьшее натуральное число, которое делится на заданные числа без остатка.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На прошлых уроках мы с вами рассматривали, как выполняют сложение и вычитание дробей любого знака. Сегодня вспомним и закрепим эти правила.
Вспомним основные правила сложения и вычитания дробей любого знака.
Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми положительными знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Правило сложения дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы вычесть две дроби с одинаковым положительными знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.
Правило вычитания дробей с разными знаменателями
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Разность дробей a и b равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.
Дроби можно складывать и вычитать по тем же правилам, что и целые числа, то есть сначала определять знак результата, потом выполнять действия с модулями.
Иногда сложение и вычитание дробей выполняется проще, если привести их к наименьшему общему положительному знаменателю.
Дополнительный материал
Решим задачу.
Какую часть пути прошли туристы за три дня?
Решение.
Найдём, какую часть пути туристы прошли в третий день.
Найдём, какую часть пути туристы прошли за три дня.
Для этого сложим все части.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
Варианты ответов:
Сложение дробей с разными знаками и разными знаменателями.
Сложение отрицательных дробей с разными знаменателями
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Для ответа на вопрос задания вспомним действия с рациональными числами и внимательно посмотрим на знаки между предложенными дробями.
Правильный ответ:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
- Сложение дробей с разными знаками и разными знаменателями.
- Сложение отрицательных дробей с разными знаменателями
№ 2. Вставьте в текст нужные слова.
Чтобы сложить две дроби с разными …, надо привести их к общему положительному … и … полученные дроби.
Варианты слов для вставки:
знаменателями
числителями
знаменателю
числителю
сложить
вычесть
Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу урока.
Правильный ответ:
Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему положительному знаменателю и сложить полученные дроби.
Как складывать дроби с разными знаменателями
Чтобы понять, как складывать дроби с разными знаменателями, сначала изучим правило, а затем рассмотрим конкретные примеры.
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо:
1) Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) данных дробей.
2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого новый знаменатель нужно разделить на старый.
3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями.
4) Проверить, является ли полученная в результате дробь правильной и несократимой.
В следующих примерах надо сложить или вычесть дроби с разными знаменателями:
Решение:
1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель данных дробей. Выбираем большее из чисел и проверяем, делится ли оно на меньшее. 25 на 20 не делится. Умножаем 25 на 2. 50 на 20 не делится. Умножаем 25 на 3. 75 на 20 не делится. Умножаем 25 на 4. 100 на 20 делится. Значит, наименьший общий знаменатель равен 100.
2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 100:25=4, 100:20=5. Соответственно, к первой дроби дополнительный множитель 4, ко второй — 5.
3) Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем дроби по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
4) Полученная дробь — правильная и несократимая. Значит, это — ответ.
1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель. 16 на 12 не делится. 16∙2=32 на 12 не делится. 16∙3=48 на 12 делится. Значит, 48 — НОЗ.
2) 48:16=3, 48:12=4. Это — дополнительные множители к каждой дроби.
3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и складываем новые дроби.
4)Полученная в результате дробь — правильная и несократимая.
1) 30 на 20 не делится. 30∙2=60 на 20 делится. Значит, 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.
2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель поделить на старый: 60:20=3, 60:30=2.
3) умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель и вычитаем новые дроби.
4) полученную дробь надо сократить на 5.
1) 8 на 6 не делится. 8∙2=16 на 6 не делится. 8∙3=24 делится и на 4, и на 6. Значит, 24 — это и есть НОЗ.
2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Значит, 3, 6 и 4 — дополнительные множители к первой, второй и третьей дроби.
3) умножаем числитель и знаменатель каждой долби на дополнительный множитель. Складываем и вычитаем. Полученная дробь — неправильная, поэтому необходимо выделить целую часть.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Приведение дробей к одному знаменателю. Понятие о НОК
- Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
- Понятие о НОК
- Приведение дробей к одному знаменателю
- Как сложить целое число и дробь
1Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,
Пример 1:
Пример 2:
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
2Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.
3Наименьшее общее кратное (НОК)
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:
Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:
- Разложить эти числа на простые множители
- Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
- Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
- Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Например, найдем НОК чисел 28 и 21:
4Приведение дробей к одному знаменателю
Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.
Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:
Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.
5Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:
Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:
Тренажер 1
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Лимит времени: 0
0 из 20 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
Информация
В этом тесте проверяется умение складывать дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:
- Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
- Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Тренажер 2
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Лимит времени: 0
0 из 20 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
Информация
Тест поможет проверить, как вы умеете складывать дроби с разными знаменателями. Перед тем, как сложить дроби, необходимо привести их к одинаковому знаменателю. Записывая результат, соблюдаем два правила:
- Если в результате сложения получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
- Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Вычитание смешанных чисел. Онлайн калькулятор
Чтобы вычесть смешанное число из другого смешанного числа, нужно отдельно вычесть целую часть из целой, а дробную из дробной и полученные результаты сложить.
Вычислим разность и :
Вычитание смешанных чисел можно записывать в более краткой форме, без промежуточных вычислений:
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными, то в результате целая или дробная части соответственно будут равны нулю:
Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю:
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели, то сначала их нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание:
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то из целой части уменьшаемого нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого:
Чтобы из натурального числа вычесть смешанное число, у натурального числа нужно взять одну единицу и представить её в виде дроби:
Чтобы вычесть натуральное число из смешанного числа, нужно натуральное число вычесть из целой части смешанного числа, оставив дробную часть без изменений:
При вычитании обыкновенной дроби из смешанного числа, дробь вычитается из дробной части смешанного числа. Если дробь больше, чем дробная часть смешанного числа, то из целой части нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого можно выполнить вычитание:
Также, смешанные числа можно записать в виде неправильных дробей и выполнить вычитание, а в конце (если требуется по условию задания) записать результат в виде смешанного числа:
Калькулятор вычитания смешанных чисел
Данный калькулятор поможет вам выполнить вычитание смешанных чисел. Просто введите уменьшаемое и вычитаемое и нажмите кнопку Вычислить
. Данный калькулятор позволяет также выполнять вычитание: натурального числа и дроби, смешанного числа и дроби, натурального и смешанного числа, натуральных чисел.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нам нужно проделать несколько дополнительных шагов. Общий подход обсуждается ниже. В этом уроке мы рассмотрим несколько примеров, чтобы убедиться, что вы освоили эту процедуру.
Шаги Как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями
Шаг 1: Даны две разные дроби, знаменатели которых НЕ совпадают.
Шаг 2: Сделайте знаменатели одинаковыми, найдя наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.Этот шаг точно такой же, как поиск наименьшего общего знаменателя (LCD).
Шаг 3: Перепишите каждую дробь в ее эквивалентную дробь со знаменателем, равным наименьшему общему кратному, найденному на шаге 2. .
Шаг 4: Теперь добавьте или вычтите «новые» дроби из шага №3. Всегда сокращайте ответ до минимума.
Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями
Пример 1: Сложите дроби с разными знаменателями.
Знаменатели двух дробей не равны . Нам нужно сделать их равными, найдя их наименьшее общее кратное, которое будет служить их наименьшим общим знаменателем (LCD).
Начните с перечисления кратных каждого знаменателя и определите наименьшее общее для них обоих число.
У первой дроби уже есть знаменатель, равный НОК = 15, поэтому мы оставим его в покое.
Вторая дробь требует некоторой корректировки, чтобы знаменатель стал равным 15.Для этого умножьте числитель и знаменатель на число 3.
- После того, как их знаменатели станут равными, сложите дроби, сложив их числители, а затем скопируйте общий знаменатель.
Дробь {{11} \ over {15}} — наш окончательный ответ, потому что она уже находится в наименьшем члене.
Пример 2: Сложите дроби с разными знаменателями.
Мы пока не можем сложить две дроби, потому что у них разные знаменатели, а именно 5 и 9.Начните с перечисления их кратных и выберите наименьшее общее для них число. Это станет их общим знаменателем.
Теперь преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с НОК в качестве знаменателя, затем продолжите обычное сложение.
Ищите возможность сократить ответ до самого низкого члена. Числитель и знаменатель числа {{33} \ over {45}} делятся на 3 .
Пример 3: Сложите дроби с разными знаменателями.
Иногда нет «необходимости» находить наименьший общий знаменатель методом списка. Мы можем сразу найти его, если оба числа являются простыми числами.
- Простое число — это число, которое делится только на 1 и само себя.
Обратите внимание, что знаменатели 3 и 5 — простые числа. ЖК-дисплей будет просто их произведением, то есть 3 x 5 = 15.
Пример 4: Сложите дроби с разными знаменателями.
Решение :
Найдите наименьшее общее кратное знаменателей.
Внесите необходимые изменения в знаменатель и действуйте как обычно. Сократите свой окончательный ответ до самого низкого члена.
Пример 5: Сложите дроби с разными знаменателями.
Решение :
Поскольку знаменатели 11 и 13 являются простыми числами, их произведение будет наименьшим общим знаменателем.
Преобразуйте текущие знаменатели двух дробей в ЖК-дисплей и продолжайте обычное сложение.
Пример 6: Вычтите дроби с разными знаменателями.
Вычитание дробей с неравными знаменателями очень похоже на сложение.
Уравняйте их знаменатели, используя принцип наименьшего общего кратного. Затем соответственно вычтите их числители.
Перепишите каждую дробь в ее эквивалентную дробь со знаменателем, равным НОК = 30 , затем вычтите их числители. Обязательно сократите свой ответ до самого низкого члена.
Пример 7: Вычтите дроби с разными знаменателями.
Поскольку знаменатели являются простыми числами, их НОК — это просто их произведение, таким образом, 7 x 5 = 35.
Пример 8: Вычтите дроби с разными знаменателями.
Решение :
Найдите наименьший общий знаменатель, определив НОК знаменателей.
Записываем две дроби с общим знаменателем, равным НОК = 42 . Вычтите их числители и, если возможно, сократите ответ до наименьшего члена.
Пример 9: Вычтите дроби с разными знаменателями.
Решение :
Найдите наименьший общий знаменатель, решив найти наименьшее общее кратное знаменателей.
Мы вносим поправки в существующие дроби, чтобы их знаменатель был равен LCD = 40 . После этого вычтите их числители и скопируйте общий знаменатель.
Практика с рабочими листами
Возможно, вас также заинтересует:
Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем
Умножение дробей
Деление дробей
Упрощение дробей
Эквивалентные дроби
Получение обратных дробей Дроби
Возможно, вам сначала захочется прочитать «Сложение дробей».
Есть 3 простых шага для вычитания дробей
- Шаг 1. Убедитесь, что нижние числа (знаменатели) совпадают.
- Шаг 2. Вычтите верхние числа (числители). Поместите ответ в тот же знаменатель.
- Шаг 3. Упростите дробь (при необходимости).
Пример 1:
3 4 — 1 4
Шаг 1 .Нижние цифры уже такие же. Переходите сразу к шагу 2.
Шаг 2 . Вычтите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:
.3 4 — 1 4 знак равно 3–1 4 знак равно 2 4
Шаг 3 . Упростим дробь:
2 4 знак равно 1 2
(Если вы не уверены в последнем шаге, см. Эквивалентные дроби.)
Пример 2:
1 2 — 1 6
Шаг 1 . Нижние цифры разные. Видите, как ломтики бывают разных размеров? Нам нужно сделать их такими же, прежде чем мы сможем продолжить, потому что мы не можем вычесть их следующим образом:
Чтобы сделать нижние числа одинаковыми, умножьте верхнюю и нижнюю часть первой дроби ( 1 / 2 ) на 3 следующим образом:
| × 3 |
| × 3 |
А теперь наш вопрос выглядит так:
| 3 6 | – | 1 6 |
Нижние числа (знаменатели) такие же, поэтому мы можем перейти к шагу 2.
Шаг 2 . Вычтите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:
.3 6 — 1 6 знак равно 3–1 6 знак равно 2 6
На картинке это выглядит так:
Шаг 3 . Упростим дробь:
2 6 знак равно 1 3
С ручкой и бумагой
А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):
Вычитание смешанных дробей
У меня есть специальная страница о сложении и вычитании смешанных дробей.
Делаем знаменатели одинаковыми
В предыдущем примере было легко сделать знаменатели одинаковыми, но это может быть сложнее … поэтому вам может потребоваться использовать либо
Они оба работают, используйте тот, который вам больше нравится!
Пример: кексы
Хотите продать кексы на базаре:
- Вам платят 2 5 от общего объема продаж
- Но ты должен заплатить 1 4 от общего объема продаж киоска
Сколько вы получаете?
Нам нужно вычесть 1 4 из 2 5
2 5 — 1 4 знак равно ? ?
Первые делают нижние числа (знаменатели) одинаковыми.
Умножить верхнюю и нижнюю часть 2 / 5 на 4 :
2 × 4 5 × 4 — 1 4 знак равно ? ?
И умножьте верхнюю и нижнюю часть 1 / 4 на 5 :
2 × 4 5 × 4 — 1 × 5 4 × 5 знак равно ? ?
Сейчас делаем расчеты:
8 20 — 5 20 знак равно 8–5 20 знак равно 3 20
Ответ: оставь 3 20 от общего объема продаж.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Результаты обучения
- Сложить или вычесть дроби с разными знаменателями
- Определение и использование операций с дробями
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, мы сначала должны записать их как эквивалентные дроби с одинаковым знаменателем. Мы воспользуемся методами из предыдущего раздела, чтобы найти НОК знаменателей дробей.Напомним, мы называем это ЖК-дисплеем (наименьший общий знаменатель). При нахождении ЖК-дисплея мы используем только знаменатели дробей, а не числители.
Затем мы можем использовать свойство Equivalent Fractions Property, чтобы алгебраически изменить дробь на эквивалентную. Помните, что две дроби эквивалентны, если имеют одинаковое значение. Шаги по поиску ЖК-дисплея и свойства эквивалентных дробей повторяются ниже для справки.
Наименьший общий знаменатель
Наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.
Эквивалентные дроби Свойство
Если [латекс] a, b, c [/ latex] — целые числа, где [latex] b \ ne 0, c \ ne 0, \ text {then} [/ latex]
[латекс] \ Large \ frac {a} {b} = \ Large \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot c} \ normalsize \ text {и} \ Large \ frac {a \ cdot c} {b \ cdot c} = \ Large \ frac {a} {b} [/ latex]
После того, как мы преобразовали две дроби в эквивалентные формы с общими знаменателями, мы можем складывать или вычитать их, добавляя или вычитая числители. Попробуйте приведенные ниже примеры и практические задачи, чтобы освежить эти навыки.
Сложить или вычесть дроби с разными знаменателями
- Найдите ЖК-дисплей.
- Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
- Сложите или вычтите дроби.
- Запишите результат в упрощенном виде.
Пример
Добавьте: [латекс] \ Large \ frac {1} {2} + \ Large \ frac {1} {3} [/ latex]
Решение:
| [латекс] \ Large \ frac {1} {2} + \ Large \ frac {1} {3} [/ latex] | |
| Найдите ЖК-дисплей [латекс] 2 [/ латекс], [латекс] 3 [/ латекс]. | |
| Преобразовать в эквивалентные дроби с ЖК [латекс] 6 [/ латекс]. | [латекс] \ Large \ frac {1 \ cdot \ color {red} {3}} {2 \ cdot \ color {red} {3}} + \ Large \ frac {1 \ cdot \ color {red} {2 }} {3 \ cdot \ color {красный} {2}} [/ латекс] |
| Упростите числители и знаменатели. | [латекс] \ Large \ frac {3} {6} + \ Large \ frac {2} {6} [/ latex] |
| Доп. | [латекс] \ Large \ frac {5} {6} [/ латекс] |
Помните, всегда проверяйте, можно ли упростить ответ.Поскольку [latex] 5 [/ latex] и [latex] 6 [/ latex] не имеют общих факторов, фракция [latex] \ Large \ frac {5} {6} [/ latex] не может быть уменьшена.
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров и объяснений того, как сложить две дроби с разными знаменателями.
Пример
Вычесть: [латекс] \ Large \ frac {1} {2} — \ left (- \ Large \ frac {1} {4} \ right) [/ latex]
Показать решениеРешение:
| [латекс] \ Large \ frac {1} {2} — \ left (- \ Large \ frac {1} {4} \ right) [/ latex] | |
| Найдите ЖК-дисплей [латекс] 2 [/ латекс] и [латекс] 4 [/ латекс]. | |
| Перепишите как эквивалентные дроби, используя LCD [latex] 4 [/ latex]. | [латекс] \ Large \ frac {1 \ cdot \ color {red} {2}} {2 \ cdot \ color {red} {2}} — (- \ Large \ frac {1} {4}) [/ латекс] |
| Упростим первую дробь. | [латекс] \ Large \ frac {2} {4} — \ left (- \ Large \ frac {1} {4} \ right) [/ latex] |
| Вычесть. | [латекс] \ Large \ frac {2- \ left (-1 \ right)} {4} [/ latex] |
| Упростить. | [латекс] \ Large \ frac {3} {4} [/ латекс] |
Одна из дробей уже имела наименьший общий знаменатель, поэтому нам оставалось только преобразовать другую дробь.
В следующем видео представлены еще два примера того, как вычесть две дроби с разными знаменателями.
Пример
Добавьте: [латекс] \ Large \ frac {7} {12} + \ Large \ frac {5} {18} [/ latex]
Показать решениеРешение:
| [латекс] \ Large \ frac {7} {12} + \ Large \ frac {5} {18} [/ latex] | |
| Найдите ЖК-дисплей [латекс] 12 [/ латекс] и [латекс] 18 [/ латекс]. | |
| Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. | [латекс] \ Large \ frac {7 \ cdot \ color {red} {3}} {12 \ cdot \ color {red} {3}} + \ Large \ frac {5 \ cdot \ color {red} {2 }} {18 \ cdot \ color {красный} {2}} [/ латекс] |
| Упростите числители и знаменатели. | [латекс] \ Large \ frac {21} {36} + \ Large \ frac {10} {36} [/ latex] |
| Доп. | [латекс] \ Large \ frac {31} {36} [/ латекс] |
Поскольку [latex] 31 [/ latex] является простым числом, у него нет общих множителей с [latex] 36 [/ latex]. Ответ упрощен.
Когда мы используем свойство Equivalent Fractions Property, есть быстрый способ найти число, на которое нужно умножить, чтобы получить ЖК-дисплей. Запишите множители знаменателей и ЖК-дисплей так же, как вы это делали, чтобы найти ЖК-дисплей. «Недостающие» факторы каждого знаменателя — это числа, которые вам нужны.
ЖК-дисплей, [латекс] 36 [/ латекс], имеет [латекс] 2 [/ латекс] факторы [латекс] 2 [/ латекс] и [латекс] 2 [/ латекс] факторы [латекс] 3 [/ латекс].
Двенадцать имеет два фактора [латекс] 2 [/ латекс], но только один из [латекс] 3 [/ латекс] — поэтому ему «не хватает» одного [латекса] 3 [/ латекса].Мы умножили числитель и знаменатель [latex] \ Large \ frac {7} {12} [/ latex] на [latex] 3 [/ latex], чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем [latex] 36 [/ latex].
Восемнадцать отсутствует один множитель [латекс] 2 [/ латекс] — поэтому вы умножаете числитель и знаменатель [латекс] \ Large \ frac {5} {18} [/ latex] на [латекс] 2 [/ latex], чтобы получим эквивалентную дробь со знаминателем [латекс] 36 [/ латекс]. Мы применим этот метод при вычитании дробей в следующем примере.
Пример
Вычесть: [латекс] \ Large \ frac {7} {15} — \ Large \ frac {19} {24} [/ latex]
Показать решениеРешение:
| [латекс] \ Large \ frac {7} {15} — \ Large \ frac {19} {24} [/ latex] | |
| Найдите ЖК-дисплей. | [латекс] 15 [/ латекс] «отсутствуют» три фактора [латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 24 [/ латекс] «отсутствует» коэффициент [латекс] 5 [/ латекс] |
| Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. | [латекс] \ Large \ frac {7 \ cdot \ color {red} {8}} {15 \ cdot \ color {red} {8}} — \ Large \ frac {19 \ cdot \ color {red} {5 }} {24 \ cdot \ color {красный} {5}} [/ латекс] |
| Упростим каждый числитель и знаменатель. | [латекс] \ Large \ frac {56} {120} — \ Large \ frac {95} {120} [/ латекс] |
| Вычесть. | [латекс] — \ Large \ frac {39} {120} [/ латекс] |
| Перепишите, показывая общий коэффициент [латекс] 3 [/ латекс]. | [латекс] — \ Large \ frac {13 \ cdot 3} {40 \ cdot 3} [/ латекс] |
| Для упрощения удалите общий множитель. | [латекс] — \ Large \ frac {13} {40} [/ латекс] |
Пример
Добавьте: [латекс] — \ Large \ frac {11} {30} + \ Large \ frac {23} {42} [/ latex]
Показать решениеРешение:
| [латекс] — \ Large \ frac {11} {30} + \ Large \ frac {23} {42} [/ latex] | |
| Найдите ЖК-дисплей. | |
| Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. | [латекс] — \ Large \ frac {11 \ cdot \ color {red} {7}} {30 \ cdot \ color {red} {7}} + \ Large \ frac {23 \ cdot \ color {red} { 5}} {42 \ cdot \ color {красный} {5}} [/ латекс] |
| Упростим каждый числитель и знаменатель. | [латекс] — \ Large \ frac {77} {210} + \ Large \ frac {115} {210} [/ latex] |
| Доп. | [латекс] \ Large \ frac {38} {210} [/ латекс] |
| Перепишите, показывая общий коэффициент [латекс] 2 [/ латекс]. | [латекс] \ Large \ frac {19 \ cdot 2} {105 \ cdot 2} [/ латекс] |
| Для упрощения удалите общий множитель. | [латекс] \ Large \ frac {19} {105} [/ латекс] |
Вычитание дробей с разными знаменателями
При вычитании дробей с разными знаменателями мы следуем тому же процессу , который мы использовали для сложения различающихся дробей. Но поскольку не все начинают с сложения, мы обеспечиваем одинаковый уровень детализации для вычитания.
Прежде всего, при вычитании дробей с разными знаменателями, первый шаг в Правиле говорит, что мы должны изменить эти дроби так, чтобы они имели « тот же знаменатель ».
Вот шаги для вычитания дробей с разными знаменателями. Мы разберем каждый шаг , как и до , чтобы убедиться, что вы его поняли. Затем мы вычтем более жесткие числа. И, наконец, мы поможем вам все собрать воедино. Хорошо!
Итак, вот шаги.
- Постройте каждую дробь так, чтобы оба знаменателя были равны. Помните , при вычитании дробей знаменатель должен быть равен . Итак, мы должны сначала завершить этот шаг. На самом деле это означает, что вы должны найти то, что называется общим знаменателем. Большую часть времени вам придется решать задачу, используя так называемый наименьший общий знаменатель (ЖКД). В любом случае вы превратите каждую дробь в эквивалентную дробь.
- Перепишите каждую эквивалентную дробь , используя новый знаменатель
- Теперь вы можете из вычесть из числителей и оставить знаменатель эквивалентных дробей.
- Перепишите свой ответ в виде упрощенной или сокращенной дроби, если необходимо.
Но имейте в виду , если вы делаете домашнее задание, обязательно ответьте на задачи в форме , запрошенной в задании.
Хорошо, начнем с…
Основы вычитания дробей с разными знаменателями
Вычесть: 1/2 — 1/3
–
Обратите внимание, что общий размер нашей точки отсчета
(весь) равен ИМЕННО то же самое.
Шаг № 1 в нашем правиле говорит нам, что знаменатели должны быть равны . И самый простой способ найти общий знаменатель — это просто умножить на знаменатели.
Итак, займемся этим сейчас…
2 x 3 = 6
Общий знаменатель 1/2 и 1/3 равен 6
Шаг 2 — Перепишите каждую эквивалентную дробь, используя этот новый знаменатель.
С…
1/2 эквивалентно 3/6
А…
1/3 эквивалентно 2/6
Мы переписываем наше уравнение так, чтобы оно читалось…
Вычесть: 3/6 — 2/6
Теперь мы готовы выполнить Шаг № 3 — Вычтите из числителей и сохраните знаменатель эквивалентных дробей (который равен 6).
Итак, получаем…
3/6 — 2/6 = (3 — 2) / 6 = 1/6
–
=
Наконец, Шаг № 4 — При необходимости перепишите свой ответ в виде упрощенной или сокращенной дроби.
В нашем примере ответ ( 1/6 ) уже имеет простейшую форму . Итак, никаких дополнительных действий не требуется!
Вот и все!
Быстрый и простой способ вычитания дробей с разными знаменателями.
Помните, всегда показывайте свой ответ в форме , запрашиваемой в ваших инструкциях.
Помощники по домашнему заданию
Эти отличные советы действительно упростят вам домашнее задание по дробям . Нажмите здесь>
Как вычислить дроби
Учебники о том, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби! Нажмите здесь, чтобы добавить>
Калькулятор дробей
Узнайте, как решать задачи с дробями, а затем проверьте свою работу с помощью нашего онлайн-калькулятора дробей .Нажмите здесь>
Рабочие листы по дробям
Рабочие листы , которые можно бесплатно загрузить, дадут вам массу практики, чтобы научиться решать задачи с дробями. Нажмите здесь>
Вычесть дроби с разными знаменателями?
Вычесть дроби с отличными знаменателями
Дроби с разными знаменателями — это дроби с разными знаменателями.
Например, дроби 1 4 и 1 3 отличаются от знаменателей.
Другой пример: у Тома 3 4 пиццы, и он съедает 1 8. Нам нужно отнять 1 8 из 3 4, чтобы вычислить, сколько пиццы он съел.
Аналогично, если бы у Мэйси была половина яблока, и она съела четверть ее утром. Чтобы проработать оставшуюся часть оставшегося яблока, нам нужно от 1 4 от 1 2 отнять.
Шаги для вычитания дробей с разными знаменателями:
(i) Определите непохожие дроби, которые нам нужно вычесть.
(ii) Преобразуйте обе дроби в их эквивалентные дроби, чтобы у них были одинаковые знаменатели.
(iii) Замените обе дроби на этапе (i) их эквивалентными дробями, полученными на этапе (ii).
(iv) Поскольку у нас есть дроби с одинаковыми знаменателями, мы можем вычесть числители напрямую, чтобы получить ответ, а знаменатель останется прежним.
(v) По возможности упростите дробь, полученную на этапе (iv).
Случай-1: Когда один из знаменателей кратен другому.
Пример 1 : Тренировка: 1 2 — 2 8.
Решение :
Номер шага | Наблюдение | Тренировка |
Шаг (i) | В отличие от знаменателей | 1 2–2 8 |
Шаг (ii) | Общий знаменатель указанных дробей равен 8.Вычисление эквивалентных дробей. | 1 × 4 2 × 4 = 4 8; 2 8 = 2 8 |
Шаг (iii) | Замена дробей в (i) эквивалентными дробями из (ii) | 4 8–2 8 |
Шаг (iv) | Теперь у нас похожие знаменатели. Итак, сразу убираем числители. | 4 8 — 2 8 = 2 8 |
Шаг (v) | Упрощение ответа от (iv) | 2 ÷ 2 8 ÷ 2 = 1 4 |
Следовательно, 1 2 — 2 8 = 1 4
Случай-2: Когда оба знаменателя разные.
Пример 2 : У Джека 4 5 папайи. Если он отдаст 1 3 из них Люси, какая часть папайи останется у Джека?
Решение :
Номер шага | Наблюдение | Тренировка |
Шаг (i) | В отличие от знаменателей | 4 5–1 3 |
Шаг (ii) | Общий знаменатель указанных дробей равен 15.Вычисление эквивалентных дробей. | 4 × 3 5 × 3 = 12 15; 1 × 5 3 × 5 = 5 15 |
Шаг (iii) | Замена дробей в (i) эквивалентными дробями из (ii) | 12 15–5 15 |
Шаг (iv) | Теперь у нас похожие знаменатели. Итак, сразу убираем числители. | 12 15 — 5 15 = 7 15 |
Шаг (v) | Ответ уже в простейшей форме. | 2 ÷ 2 8 ÷ 2 = 1 4 |
Следовательно, у Джека осталось 1 4 папайи.
Пример 3 : Элли и Джозеф участвуют в велогонке. Если Элли преодолела 3–4 всего расстояния, а Джозеф — 1–5 всего расстояния. Какая разница в пройденном ими расстоянии?
Решение :
Номер шага | Наблюдение | Тренировка |
Шаг (i) | В отличие от знаменателей | 3 4–1 5 |
| Шаг (ii) | Общий знаменатель указанных дробей равен 20.Вычисление эквивалентных дробей. | 3 × 5 4 × 5 = 15 20; 1 × 4 5 × 4 = 4 20 |
Шаг (iii) | Замена дробей в (i) эквивалентными дробями из (ii) | 15 20-4 20 |
Шаг (iv) | Теперь у нас похожие знаменатели. Итак, сразу убираем числители. | 15 20 — 4 20 = 11 20 |
Шаг (v) | Ответ уже в простейшей форме. | 11 20 |
Следовательно, разница между расстоянием, пройденным Элли и Джозефом, составляет 11 20 от общего расстояния.
Интересные факты
Например, : 2 можно записать как 2 1 или 3 как 3 1 и так далее. |
Калькулятор сложения дробей
Использование калькулятора
С помощью этого калькулятора складывайте и вычитайте правильные и неправильные дроби и смотрите, как работает решение.
Выберите количество дробей в уравнении, а затем введите числители и знаменатели в доступные поля. Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы решить уравнение и показать работу.
Вы можете складывать и вычитать 3 дроби, 4 дроби, 5 дробей и до 9 дробей за раз.
Как складывать и вычитать дроби
Когда знаменатели совпадают
Когда дроби имеют одинаковые знаменатели, мы просто складываем или вычитаем числители, как указано, и помещаем результат над общим знаменателем.При необходимости мы можем упростить дробь до наименьших членов или смешанного числа.
Когда знаменатели разные или разные
Когда дроби имеют разные знаменатели, первым делом нужно найти эквивалентные дроби, чтобы все знаменатели были одинаковыми. Мы находим Наименьший общий знаменатель (ЖКД) затем перепишите все дроби в уравнении как эквивалентные дроби, используя ЖКД в качестве знаменателя. Когда все знаменатели совпадают, просто сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.Полученную дробь можно упростить до наименьшего числа или записать в виде смешанного числа.
Как работать с отрицательными дробями
Когда уравнение требует сложения отрицательной дроби, мы можем переписать уравнение как вычитание положительной дроби. Точно так же, если уравнение требует вычитания отрицательной дроби, это то же самое, что и добавление положительной дроби, и его можно переписать таким же образом. Этот калькулятор переписывает отрицательные дроби, когда показывает работу, связанную с поиском ответа.
Упрощение операций с отрицательными числами
Если вы работаете с дробями, целыми или десятичными числами, используйте эти рекомендации при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел.
Оригинал
Добавление положительного числа
+
+
Добавление отрицательного числа
+
–
Вычитание положительного числа
–
+
Вычитание отрицательного числа
–
–
Изменения к
+
+
Добавление положительного числа
–
+
Вычитание положительного числа
–
+
Вычитание положительного числа
+
+
Добавление положительного числа
С похожими и более простыми методами работы с дробями вы также можете посетить Помощь с дробями.
4.8: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (часть 1)
Найдите наименьший общий знаменатель
В предыдущем разделе мы объяснили, как складывать и вычитать дроби с общим знаменателем. Но как мы можем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?
Давайте снова подумаем о монетах. Можете ли вы добавить четверть и одну копейку? Можно сказать, что есть две монеты, но это не очень полезно.Чтобы найти общую стоимость одной четверти плюс одна копейка, вы меняете их на одну и ту же единицу — центы. Одна четверть равна \ (25 \) центов, а одна десятицентовая монета равна \ (10 \) центам, поэтому сумма составляет \ (35 \) центов. См. Рисунок \ (\ PageIndex {1} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): вместе четверть и десять центов стоят 35 центов, или \ (\ dfrac {35} {100} \) доллара.
Точно так же, когда мы складываем дроби с разными знаменателями, мы должны преобразовывать их в эквивалентные дроби с общим знаменателем.Что касается монет, когда мы конвертируем их в центы, знаменатель равен \ (100 \). Так как в одном долларе \ (100 \) центов, \ (25 \) центов равно \ (\ dfrac {25} {100} \), а \ (10 \) центов равно \ (\ dfrac {10} {100} \). Итак, мы добавляем \ (\ dfrac {25} {100} + \ dfrac {10} {100} \), чтобы получить \ (\ dfrac {35} {100} \), что составляет \ (35 \) центов.
Вы попрактиковались в сложении и вычитании дробей с общим знаменателем. Теперь давайте посмотрим, что вам нужно делать с дробями с разными знаменателями.
Сначала мы будем использовать дробные плитки для моделирования поиска общего знаменателя для \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \).Начнем с одной плитки \ (\ dfrac {1} {2} \) и плитки \ (\ dfrac {1} {3} \). Мы хотим найти плитку общей дроби, которую мы можем использовать для точного сопоставления как \ (\ dfrac {1} {2} \), так и \ (\ dfrac {1} {3} \). Если мы попробуем части \ (\ dfrac {1} {4} \), \ (2 \) из них точно совпадут с частью \ (\ dfrac {1} {2} \), но они не точно совпадут с \ (\ dfrac {1} {3} \) кусок.
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)
Если мы попробуем кусочки \ (\ dfrac {1} {5} \), они не будут точно покрывать кусок \ (\ dfrac {1} {2} \) или \ (\ dfrac {1} {3} \) кусок.
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)
Если бы мы попробовали кусочки \ (\ dfrac {1} {12} \), они также работали бы.
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)
Даже меньшие плитки, такие как \ (\ dfrac {1} {24} \) и \ (\ dfrac {1} {48} \), также точно покрывают \ (\ dfrac {1} {2} \) кусок и кусок \ (\ dfrac {1} {3} \). Знаменатель наибольшего куска, покрывающего обе дроби, равен наименьшему общему знаменателю (LCD) двух дробей.Итак, наименьший общий знаменатель для \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \) равен \ (6 \).
Обратите внимание, что все плитки, покрывающие \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \), имеют нечто общее: их знаменатели являются кратными \ (2 \) и \ (3 \), знаменатели \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \). Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей равно \ (6 \), поэтому мы говорим, что \ (6 \) — это наименьший общий знаменатель (НОК) дробей \ (\ dfrac {1} {2} \) и \ (\ dfrac {1} {3} \).
Определение: наименьший общий знаменатель
Наименьший общий знаменатель (ЖКД) двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.
Чтобы найти ЖКД двух дробей, мы найдем НОК их знаменателей. Мы следуем процедуре, которую использовали ранее, чтобы найти НОК двух чисел. При нахождении ЖК-дисплея мы используем только знаменатели дробей, а не числители.
Пример \ (\ PageIndex {1} \): lcd
Найдите ЖК-дисплей для дробей \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \).
Решение
| Разложите каждый знаменатель на его простые числа. | |
| Перечислите простые числа 12 и 18, выровняв их по столбцам, когда это возможно. | |
| Обрушьте колонны. | |
| Умножьте множители. Продукт — LCM. | НОК = 36 |
| НОК 12 и 18 равно 36, поэтому ЖКД \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \) равен 36. | ЖК-дисплей \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {5} {18} \) равен 36. |
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {11} {15} \).
- Ответ
\ (60 \)
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {13} {15} \) и \ (\ dfrac {17} {5} \).
- Ответ
\ (15 \)
Чтобы найти ЖКД двух дробей, найдите НОК их знаменателей. Обратите внимание на то, что шаги, показанные ниже, аналогичны шагам, которые мы предприняли для поиска LCM.
КАК: НАЙТИ НАИМЕНЕЕ ОБЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ (ЖКД) ДВУХ ФРАКЦИЙ
Шаг 1. Разложите каждый знаменатель на простые числа.
Шаг 2. Составьте список простых чисел, по возможности сопоставив простые числа в столбцах.
Шаг 3.Обрушьте колонны.
Шаг 4. Умножьте множители. Произведение — это НОК знаменателей.
Шаг 5. НОК знаменателей — это ЖКД дробей.
Пример \ (\ PageIndex {2} \):
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей \ (\ dfrac {8} {15} \) и \ (\ dfrac {11} {24} \).
Решение
Чтобы найти ЖКД, находим НОК знаменателей. Найдите НОК \ (15 \) и \ (24 \).
НОК \ (15 \) и \ (24 \) равно \ (120 \).Итак, ЖК-экран \ (\ dfrac {8} {15} \) и \ (\ dfrac {11} {24} \) равен \ (120 \).
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {13} {24} \) и \ (\ dfrac {17} {32} \).
- Ответ
\ (96 \)
Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей: \ (\ dfrac {9} {28} \) и \ (\ dfrac {21} {32} \).
- Ответ
\ (224 \)
Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея
Ранее мы использовали дробные плитки, чтобы увидеть, что ЖК-экран \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) равен \ (12 \).Мы видели, что три части \ (\ dfrac {1} {12} \) точно покрыли \ (\ dfrac {1} {4} \) и две \ (\ dfrac {1} {12} \) части точно покрыли \ ( \ dfrac {1} {6} \), поэтому
\ [\ dfrac {1} {4} = \ dfrac {3} {12} \ quad и \ quad \ dfrac {1} {6} = \ dfrac {2} {12} \ ldotp \ nonumber \]
Мы говорим, что \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {3} {12} \) эквивалентные дроби, а также что \ (\ dfrac {1} {6} \) и \ ( \ dfrac {2} {12} \) эквивалентные дроби.
Мы можем использовать свойство Equivalent Fractions Property, чтобы алгебраически преобразовать дробь в эквивалентную.Помните, что две дроби эквивалентны, если имеют одинаковое значение. Свойство эквивалентных дробей повторяется ниже для справки.
Определение: Свойство эквивалентных дробей
Если \ (a, b, c \) — целые числа, где \ (b ≠ 0 \), \ (c ≠ 0 \), то
\ [\ dfrac {a} {b} = \ dfrac {a \ cdot c} {b \ cdot c} \ quad и \ quad \ dfrac {a \ cdot c} {b \ cdot c} = \ dfrac {a } {b} \]
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нам сначала нужно преобразовать каждую дробь в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.Давайте посмотрим, как заменить \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) на эквивалентные дроби со знаменателем \ (12 \) без использования моделей.
Пример \ (\ PageIndex {3} \): преобразование
Преобразует \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) в эквивалентные дроби со знаминателем \ (12 \), их ЖКД.
Решение
| Найдите ЖК-дисплей. | ЖК-дисплей \ (\ dfrac {1} {4} \) и \ (\ dfrac {1} {6} \) равен 12. |
| Найдите число, чтобы умножить 4, чтобы получить 12. | \ (4 \ cdot \ textcolor {красный} {3} = 12 \) |
| Найдите число, чтобы умножить 6, чтобы получить 12. | \ (6 \ cdot \ textcolor {красный} {2} = 12 \) |
| Используйте свойство «Эквивалентные дроби» для преобразования каждой дроби в эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на одно и то же число. | \ (\ begin {split} \ dfrac {1} {4} \ qquad & \ dfrac {1} {6} \\ \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {4 \ cdot \ textcolor {красный} {3}} \ qquad & \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} {6 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \ end {split} \) |
| Упростите числители и знаменатели. | \ (\ dfrac {3} {12} \ qquad \ dfrac {2} {12} \) |
Полученные дроби не уменьшаем. Если бы мы это сделали, мы бы вернулись к нашим исходным дробям и потеряли бы общий знаменатель.
Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (\ dfrac {3} {4} \) и \ (\ dfrac {5} {6} \), \ (LCD = 12 \)
- Ответ
\ (\ dfrac {9} {12}, \ dfrac {10} {12} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (- \ dfrac {7} {12} \) и \ (\ dfrac {11} {15} \), \ (LCD = 60 \)
- Ответ
\ (- \ dfrac {35} {60}, \ dfrac {44} {60} \)
КАК: ПРЕОБРАЗОВАТЬ ДВЕ ФРАКЦИИ В ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФРАКЦИИ С ИХ ЖК В КАЧЕСТВЕ ОБЩЕГО ДЕНОМИНАТОРА
Шаг 1.Найдите ЖК-дисплей.
Шаг 2. Для каждой дроби определите число, необходимое для умножения знаменателя, чтобы получить ЖК-дисплей.
Шаг 3. Используйте свойство Equivalent Fractions Property, чтобы умножить числитель и знаменатель на число, которое вы нашли на шаге 2.
Шаг 4. Упростим числитель и знаменатель.
Пример \ (\ PageIndex {4} \): преобразование
Преобразуйте \ (\ dfrac {8} {15} \) и \ (\ dfrac {11} {24} \) в эквивалентные дроби со знаминателем \ (120 \), их ЖКД.
| Найдите число, на которое нужно умножить 15, чтобы получить 120. | \ (15 \ cdot \ textcolor {красный} {8} = 120 \) |
| Найдите число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 120. | \ (24 \ cdot \ textcolor {красный} {5} = 120 \) |
| Используйте свойство Equivalent Fractions. | \ (\ dfrac {8 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {15 \ cdot \ textcolor {red} {8}} \ qquad \ dfrac {11 \ cdot \ textcolor {red} {5}} {24 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \) |
| Упростите числители и знаменатели. | \ (\ dfrac {64} {120} \ qquad \ dfrac {55} {120} \) |
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (\ dfrac {13} {24} \) и \ (\ dfrac {17} {32} \), ЖК-дисплей \ (96 \)
- Ответ
\ (\ dfrac {52} {96}, \ dfrac {51} {96} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)
Изменить на эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея: \ (\ dfrac {9} {28} \) и \ (\ dfrac {27} {32} \), ЖК-дисплей \ (224 \)
- Ответ
\ (\ dfrac {72} {224}, \ dfrac {189} {224} \)
Сложить и вычесть дроби с разными знаменателями
После того, как мы преобразовали две дроби в эквивалентные формы с общими знаменателями, мы можем складывать или вычитать их, добавляя или вычитая числители.
КАК: ДОБАВИТЬ ИЛИ ВЫЧИТАТЬ ФРАКЦИИ С РАЗЛИЧНЫМИ ДЕНОМИНАТОРАМИ
Шаг 1. Найдите ЖК-дисплей.
Шаг 2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную форму с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
Шаг 3. Сложите или вычтите дроби.
Шаг 4. Запишите результат в упрощенном виде.
Пример \ (\ PageIndex {5} \): добавить
Добавьте: \ (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} \).
Решение
| Найдите ЖК-дисплей 2, 3. | |
| Преобразование в эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем 6. | \ (\ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {2 \ cdot \ textcolor {red} {3}} + \ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} {3 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \) |
| Упростите числители и знаменатели. | \ (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {2} {6} \) |
| Доп. | \ (\ dfrac {5} {6} \) |
Помните, всегда проверяйте, можно ли упростить ответ.Поскольку \ (5 \) и \ (6 \) не имеют общих делителей, дробь \ (\ dfrac {5} {6} \) не может быть уменьшена.
Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)
Добавьте: \ (\ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {3} \).
- Ответ
\ (\ dfrac {7} {12} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)
Добавьте: \ (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {5} \).
- Ответ
\ (\ dfrac {7} {10} \)
Пример \ (\ PageIndex {6} \): вычесть
Вычтите: \ (\ dfrac {1} {2} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \).
Решение
| Найдите ЖК-дисплей 2 и 4. | |
| Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея 4. | \ (\ dfrac {1 \ cdot \ textcolor {red} {2}} {2 \ cdot \ textcolor {red} {2}} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \) |
| Упростим первую дробь. | \ (\ dfrac {2} {4} — \ left (- \ dfrac {1} {4} \ right) \) |
| Вычесть. | \ (\ dfrac {2 — (-1)} {4} \) |
| Упростить. | \ (\ dfrac {3} {4} \) |
Одна из дробей уже имела наименьший общий знаменатель, поэтому нам оставалось только преобразовать другую дробь.
Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)
Вычтите: \ (\ dfrac {1} {2} — \ left (- \ dfrac {1} {8} \ right) \).
- Ответ
\ (\ dfrac {5} {8} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)
Вычтите: \ (\ dfrac {1} {3} — \ left (- \ dfrac {1} {6} \ right) \).
- Ответ
\ (\ dfrac {1} {2} \)
Пример \ (\ PageIndex {7} \): добавить
Добавьте: \ (\ dfrac {7} {12} + \ dfrac {5} {18} \).
Решение
| Найдите ЖК-дисплей 12 и 18. | |
| Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. | \ (\ dfrac {7 \ cdot \ textcolor {red} {3}} {12 \ cdot \ textcolor {red} {3}} + \ dfrac {5 \ cdot \ textcolor {red} {2}} {18 \ cdot \ textcolor {красный} {2}} \) |
| Упростите числители и знаменатели. | \ (\ dfrac {21} {36} + \ dfrac {10} {36} \) |
| Доп. | \ (\ dfrac {31} {36} \) |
Поскольку \ (31 \) является простым числом, у него нет общих делителей с \ (36 \). Ответ упрощен.
Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)
Добавьте: \ (\ dfrac {7} {12} + \ dfrac {11} {15} \).
- Ответ
\ (\ dfrac {79} {60} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)
Добавьте: \ (\ dfrac {13} {15} + \ dfrac {17} {20} \).
- Ответ
\ (\ dfrac {103} {60} \)
Когда мы используем свойство Equivalent Fractions Property, есть быстрый способ найти число, на которое нужно умножить, чтобы получить ЖК-дисплей. Запишите множители знаменателей и ЖК-дисплей так же, как вы это делали, чтобы найти ЖК-дисплей. «Недостающие» факторы каждого знаменателя — это числа, которые вам нужны.
ЖК-дисплей, \ (36 \), имеет \ (2 \) множители \ (2 \) и \ (2 \) множители \ (3 \). Двенадцать имеет два множителя \ (2 \), но только один из \ (3 \) — поэтому он «пропускает» один \ (3 \).Мы умножили числитель и знаменатель \ (\ dfrac {7} {12} \) на \ (3 \), чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем \ (36 \). В восемнадцати отсутствует один множитель \ (2 \) — поэтому вы умножаете числитель и знаменатель \ (\ dfrac {5} {18} \) на \ (2 \), чтобы получить эквивалентную дробь со знаменателем \ (36 \). Мы применим этот метод при вычитании дробей в следующем примере.
Пример \ (\ PageIndex {8} \): вычесть
Вычтите: \ (\ dfrac {7} {15} — \ dfrac {19} {24} \).
Решение
Найдите ЖК-дисплей. 15 «не хватает» трех факторов 2 24 ‘отсутствует’ в 5 раз | |
| Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. | \ (\ dfrac {7 \ cdot \ textcolor {red} {8}} {15 \ cdot \ textcolor {red} {8}} — \ dfrac {19 \ cdot \ textcolor {red} {5}} {24 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \) |
| Упростим каждый числитель и знаменатель. | \ (\ dfrac {56} {120} — \ dfrac {95} {120} \) |
| Вычесть. | \ (- \ dfrac {39} {120} \) |
| Перепишите, показывая общий множитель 3. | \ (- \ dfrac {13 \ cdot 3} {40 \ cdot 3} \) |
| Для упрощения удалите общий множитель. | \ (- \ dfrac {13} {40} \) |
Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)
Вычтите: \ (\ dfrac {13} {24} — \ dfrac {17} {32} \).
- Ответ
\ (\ dfrac {1} {96} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)
Вычтите: \ (\ dfrac {21} {32} — \ dfrac {9} {28} \).
- Ответ
\ (\ dfrac {75} {224} \)
Пример \ (\ PageIndex {9} \): добавить
Добавьте: \ (- \ dfrac {11} {30} + \ dfrac {23} {42} \).
Решение
| Найдите ЖК-дисплей. | |
| Перепишите как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем. | \ (- \ dfrac {11 \ cdot \ textcolor {red} {7}} {30 \ cdot \ textcolor {red} {7}} + \ dfrac {23 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} {42 \ cdot \ textcolor {красный} {5}} \) |
| Упростим каждый числитель и знаменатель. | \ (- \ dfrac {77} {210} + \ dfrac {115} {210} \) |
| Доп. | \ (\ dfrac {38} {210} \) |
| Перепишите, показывая общий множитель 2. | \ (\ dfrac {19 \ cdot 2} {105 \ cdot 2} \) |
| Для упрощения удалите общий множитель. | \ (\ dfrac {19} {105} \) |
Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)
Добавьте: \ (- \ dfrac {13} {42} + \ dfrac {17} {35} \).
- Ответ
\ (\ dfrac {37} {210} \)
Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)
Добавить: \ (- \ dfrac {19} {24} + \ dfrac {17} {32} \).
- Ответ
\ (- \ dfrac {25} {96} \)
В следующем примере одна из дробей имеет переменную в числителе.