Сложение и вычитание дробей с разными, одинаковыми знаменателями. Вычитание смешанных дробей в 2022 году

Как складывать дроби

Говоря о сложении дробей следует выделить сложение дробей с одинаковыми знаменателями и сложение дробей, имеющих разные знаменатели. Поэтому начнем с первого и более простого варианта.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Для того чтобы понять, как добавляются дроби с одинаковыми знаменателями, рассмотрим задачу.

Пример. На столе лежит три седьмых части арбуза, через некоторое время на стол положили еще две седьмые части арбуза. Сколько всего частей арбуза стало на столе?

Действие сложения можем записать так: 3/7 + 2/7

В результате на столе стало 3 + 2 = 5 седьмых частей арбуза, то есть 5/7. Таким образом, 3/7 + 2/7 = 5/7

Следовательно, в результате сложения дробей с одинаковым знаменателем мы получили дробь, числитель которой равен сумме числителей прилагаемых дробей, а знаменатель равен знаменателю исходных дробей.

Запишем действие добавления дробей в общем виде, где b – одинаковый знаменатель, a и c – числители прилагаемых дробей.

Чтобы добавить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно добавить их числители и знаменатель оставить без изменений.

Обратите внимание, при сложении дробных чисел можно пользоваться свойствами и законами сложения натуральных чисел. Переставной, связующий законы действуют также и при сложении дробей.

Приклад. Как сложить дроби 3/43 і 9/43

Поскольку дроби имеют одинаковые знаменатели, следует добавить числители и знаменатель оставить без изменений: 3 + 9 = 12 запишем в числителе суммы, знаменатель суммы – 43.

Ответ: 12/43

Еще одно важное правило: если после сложения дробей получили дробь, которую можно сократить, то нужно выполнить действие сокращения. Если в сумме получили неправильную дробь, то нужно превратить ее в смешанное число.

Пример.

Найти сумму дробей 3/14 і 5/14

В результате сложения получили дробь, которую можно сократить, ведь числитель и знаменатель можно разделить на 2

Пример. Найти сумму дробей 7/24 і 21/24

В результате получили неправильную сократимую дробь, которую нужно сократить.

После сокращения получили неправильную дробь 7/6, которую можно превратить в правильную, выделив целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Поскольку мы умеем сложить дроби с одинаковыми знаменателями, то для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно их сначала свести к общему знаменателю.

Правило сложения в данном случае звучит так:

Для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно их сначала свести к общему знаменателю, после этого следует сложить числители и в знаменатель записать общий знаменатель дробей.

Пример.

Сложить дроби 5/6 і 3/12

Поскольку дроби имеют разные знаменатели, сначала сведем их к общему знаменателю.

НОК (6; 12) = 12

Дополнительные множители: 12 : 6 = 2, 12 : 12 = 1

Получим следующие дроби:

Выполним сложение дробей:

После сложения получили неправильную дробь 13/12, которую превратили в смешанное число 1 1/12

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

При сложении натурального числа и правильной дроби получим смешанное число, целая часть которого соответствует натуральному числу, а дробная – прилагаемой дроби.

Например,

При сложении целого числа и неправильной дроби следует выделить из дроби целую часть. После этого натуральное число суммируют с выделенной целой частью и добавляют дробную часть.

Сложение смешанных чисел

При сложении смешанных чисел пользуются переставным и связующими законами сложения. Благодаря этим свойствам удобнее добавить целые и дробные части смешанных чисел.

Следовательно, адлгоритм сложения смешанных чисел будет следующим:

1. Добавляем целые части смешанных чисел
2. Добавляем дробные части чисел. Если дробные части имеют разные знаменатели, то перед добавлением сводим их к общему знаменателю
3. Добавляем полученные результаты и при необходимости сокращаем дробь, выделяем целую часть.

Пример. Найти сумму смешанных чисел:

Аналогично добавляются дроби, смешанные числа, содержащие три и более слагаемых.

Пример:

В данном примере мы использовали переставной и связующий законы сложения, что позволило упростить расчеты и быстро найти сумму.

Как отнимать дроби?

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы понять суть вычитания дробей, имеющих одинаковые знаменатели, рассмотрим задачу.

Задача. На столе лежало 5/7 частей арбуза, Олег съел 2/7 частей. Сколько частей арбуза осталось?

Логично, что осталось 5 – 2 = 3 седьмых части (3/7).

Чтобы отнять дроби с одинаковыми знаменателями, надо от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого и оставить знаменатель без изменений.

Пример. Отнять 3/17 от дроба 15/17

При необходимости полученную дробь в разности следует сократить или выделить целую часть.

Пример. Из 24/15 вычесть 4/15    

После выполнения вычитания получили неправильную дробь, которую можно сократить, поделив числитель и знаменатель на 5. Получим дробь 4/3, перевторив в смешанное число, получили результат одна целая одна третья.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Для того чтобы отнять дроби с разными знаменателями, нужно их сначала свести к общему знаменателю, после этого от числителя уменьшаемого надо отнять числитель вычитаемого, в знаменатель дроби записать общий знаменатель.

Пример. Вычесть дроби: 2/9 і 1/15

В первую очередь сводим дроби к общему знаменателю, определив наименьшее общее кратное число 9 и 15:

НОК (9; 15) = 45

Находим дополнительные множители: 45 : 9 = 5 і 45 : 15 = 3

Перемножим числители дробей на соответствующие дополнительные множители, получим числитель первой дроби: 5 ⋅ 2 =10, а числитель второй дроби: 1 ⋅ 3 = 3.

Вычтем числители: 10 – 3 = 7, знаменатель дроби 45

Пример. Из дроби 11/12 вычесть дробь 5/8

Вычитание смешанных дробей (смешаных чисел) с разными знаменателями

Для того чтобы вычесть смешанные числа, нужно сначала свести их к общему знаменателю. После этого поочередно вычитаем целые и дробные части.

Пример. Найти разность смешанных дробей:

Решение:

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо взять одну единицу из целой части уменьшаемого, дробить ее в те частицы, в которых выражена дробная часть, и добавить к дробной части уменьшаемого.

На примере это будет выглядеть так:

Пример. Найти разность смешанных чисел:

Вычитание дроби из натурального числа

Для того чтобы отнять от натурального числа дробь, можно натуральное число представить в виде дроби.

Пример. Из числа 8 вычесть 2/3

 

Рассмотрим еще несколько примеров на вычитание натуральных и смешанных чисел

Пример. Найти разность чисел 4 и три целых три пятых

Пример. Найти разность чисел 1065 и 13/62

Представим уменьшаемое 1065 как сумму чисел 1064 и 1 и выполним вычисление:

Вычитание натурального числа из обычной дроби: как отнять целое число из дроби

Для выполнения данного действия следует отразить натуральное число в виде обычной дроби со знаменателем единицей и свести к общему знаменателю.

Таким образом, для сложения и вычитания дробей можно использовать правила, законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел. Удобно группировать числа с числами, дроби с дробями, как в примерах ниже:

Вычитание дробей | Простое объяснение и онлайн-калькулятор

Дроби ﹣ Вычитание дробей

Здесь мы знакомим вас с вычитанием дробей, то есть вычитанием одной дроби из другой. Начнем с простого вычитания дробей с одинаковым знаменателем. После этого вы получите всю информацию о вычитании дробей с разными знаменателями и вычитании смешанных дробей. Завершает статью видео о вычитании дробей. С калькулятором вычитания дробей здесь можно производить любые расчеты.

На главной странице дробей вы найдете много общей информации о дробях и их преобразованиях. Если вы хотите узнать, как выполнять другие арифметические операции над дробями, посетите наши руководства по сложению дробей, умножению дробей или делению дробей.

Содержание

• Вычитание дробей
• Вычитание одинаковых дробей (с одинаковым знаменателем)
• Вычитание разных дробей (разные знаменатели)
• Вычитание смешанных дробей
• Видео на тему «Вычитание дробей»

Калькулятор ↑Содержание ↑

Дроби вычитают, сначала делая их равными, а затем вычитая числители, т. Е. Вычитая их друг из друга. Таким образом, каждую дробь сначала раскладывают так, чтобы все вычитаемые дроби имели один и тот же знаменатель.

Затем числители дробей с одинаковым знаменателем вычитаются, а общий знаменатель остается прежним.

Далее мы покажем шаг за шагом на примерах сначала вычитание дробей с одинаковым знаменателем, затем вычитание дробей с разными знаменателями и, наконец, вычитание смешанных дробей.

Калькулятор ↑Содержание ↑

Если вычитаемые дроби уже имеют одинаковое название (все они имеют одинаковый знаменатель), можно просто вычесть числители дробей друг из друга. Общий знаменатель остается прежним. Таким образом, вы, наконец, получите разницу между дробями.

.

Пример: Вычитание дробей с одинаковым знаменателем
24 − 14 знак равно 2 − 14 знак равно 14

IВ этом примере обе дроби имеют одинаковый знаменатель, т. е. обе дроби имеют одинаковое число под чертой дроби. Поэтому у них одинаковое название. Чтобы вычесть две дроби, нужно вычесть друг из друга только два числа, то есть два числителя над чертой дроби.

Калькулятор ↑Содержание ↑

Дроби называются неодинаково именно тогда, когда соответствующие числа под чертой дроби, т. Е. Два знаменателя вычитаемых дробей, различны. Для вычитания разнородные дроби нужно сначала сделать подобными дробям, точно так же, как и при сложении дробей. Если же они имеют то же имя, т. е. один и тот же знаменатель, то только числители над дробью надо вычесть друг из друга, а общий знаменатель останется неизменным.

Пример: вычитание разнородных дробей
13 − 14 знак равно 412 − 312 знак равно 4 — 312 знак равно 112

Две дроби, которые нужно вычесть друг из друга, изначально имеют разные знаменатели 3 и 4. Для вычитания их нужно сначала сделать равными. Для этого обе дроби преобразуют так, чтобы они имели одинаковый знаменатель, т. е. общий знаменатель. Дроби всегда преобразуются таким образом, что их значение, т. е. номер дроби, не меняется. В основном существует несколько способов преобразования дробей, которые описаны на главной странице в разделе «Дроби».

Привести дроби к одному знаменателю

Две дроби можно сделать равными, если разложить одну дробь на знаменатель другой. Таким образом, вы умножаете и числитель, и знаменатель одной дроби на знаменатель другой дроби.

Расширить

Расширение дроби — это преобразование, при котором значение дроби, т. е. номер дроби, не изменяется. Это связано с тем, что представленная фракция делится только на более мелкие части, т. Е. Фракция или деление уточняются.

Дроби расширяются путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число.

Создание того же знаменателя на примере

Таким образом, мы можем сделать так, чтобы две дроби из приведенного выше примера имели одинаковый знаменатель следующим образом.

Левая дробь дополняется знаменателем 4 правой дроби. Расширение на 4 означает умножение числителя и знаменателя левой дроби на 4.

13 знак равно 1 × 43 × 4 знак равно 412

Правая дробь умножается на 3 знаменателя левой дроби. Расширение на 3 означает умножение числителя и знаменателя правой дроби на 3.

14 знак равно 1 × 34 × 3 знак равно 312

N Теперь можно вычесть две дроби с одинаковым знаменателем, как показано в примере ниже:

412 − 312 знак равно 4 − 312 знак равно 112

Примечание

Описанная «подобная дробь» основана на разложении двух дробей таким образом, что в конечном итоге два разных знаменателя перемножаются. Однако это часто приводит к тому, что значения расширенных дробей могут стать очень большими, что делает последующие расчеты более трудоемкими. Поэтому, чтобы сделать их равными, следует определить наименьший общий знаменатель (главный знаменатель) дробей. Главный знаменатель представляет собой наименьшее общее кратное (kgV) знаменателей и поэтому часто меньше, чем произведение двух знаменателей. Вы можете прочитать больше о наименьшем общем знаменателе в калькуляторе дробей.

Калькулятор ↑Содержание ↑

Смешанные дроби состоят из целой и обыкновенной дробей. Их еще называют смешанными числами. Чтобы вычесть смешанные дроби, целое число каждой дроби сначала преобразуется в соответствующую дробь, чтобы затем две дроби можно было вычесть друг из друга. Для этого, как и при всяком вычитании дробей, их нужно сделать равными, если это необходимо, чтобы числители можно было вычесть, а знаменатель остался прежним.

Пример: вычитание смешанных дробей
223 − 213 знак равно 83 − 73 знак равно 13

Целая часть двух смешанных дробей, т. е. двойка в каждом случае, была преобразована здесь в шесть третей каждой и прибавлена ​​к связанной с ней дроби. Таким образом, две смешанные дроби были преобразованы в неправильные дроби. Дроби называются неправильными, если числитель больше знаменателя.

Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби

Вы преобразуете смешанную дробь или смешанное число в неправильную дробь, умножая целую часть на знаменатель, а затем добавляя к ней числитель. При этом знаменатель остается неизменным.

Преобразование на примере

Таким образом, две смешанные дроби из приведенного выше примера преобразуются в неправильные дроби следующим образом.

Левое смешанное число преобразуется следующим образом: целое число 2 умножается на знаменатель 3 и прибавляется к предыдущему числителю 2.

223 знак равно 2 × 3 + 23 знак равно 83

Правое смешанное число преобразуется следующим образом: Целое число 2 умножается на знаменатель 3 и прибавляется к предыдущему числителю 1.

213 знак равно 2 × 3 + 13 знак равно 73

Вычитание двух дробей

Поскольку две преобразованные дроби уже имеют одинаковый знаменатель, теперь их можно вычесть друг из друга.

83 − 73 знак равно 8 − 73 знак равно 13

Калькулятор ↑Содержание ↑

Вот видео о вычитании дробей от Math Antics. После вступления видео сначала объясняет, как вычитать дроби с одинаковым знаменателем. Math Antics объясняет, как разложить дроби, чтобы получить общий знаменатель для вычитания двух дробей. Позже описывается сокращение для общего знаменателя. Наконец, описано вычитание смешанных дробей.

Другие онлайн-калькуляторы

Вычисление круга, Калькулятор треугольника, Генерация случайных чисел, Калькулятор, Римские цифры, Преобразование веса, Преобразование времени

Оцените нашу статью

одним кликом

(левая звезда очень плохая — правая звезда хорошая)

5,0 звезды в 1 рейтинги 5 1 Вычитание дробей | простое объяснение и онлайн-калькулятор

ГлавнаяРуководстваМатематикаКалькулятор дробейРуководства

4.7: Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

4994

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Сложение дробей модели
• Сложение дробей с общим знаменателем
• Вычитание дроби модели
• Вычитание дробей с общим знаменателем

будьте готовы!

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Упростить: \(2x + 9 + 3x — 4\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.2.10.
2. Нарисуйте модель дроби \(\dfrac{3}{4}\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.1.2.
3. Упростить: \(\dfrac{3 + 2}{6}\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.3.12.

Дополнение к модели

Сколько четвертаков изображено? Одна четверть плюс \(2\) четверти равно \(3\) четверти.

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Помните, что четверти — это доли доллара. Четверти — это еще один способ сказать четверти. Итак, изображение монет показывает, что

\[\begin{split} \dfrac{1}{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{2}{4} \qquad & \qquad \qquad \dfrac{3 }{4} \один\; четверть + два\; четверти &= три\; четверти \end{split} \nonumber \]

Давайте воспользуемся дробными кругами для моделирования того же примера, \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}\).

Начните с одной детали \(\dfrac{1}{4}\).		\(\dfrac{1}{4}\)
Добавьте еще две части \(\dfrac{1}{4}\).		\(+ \dfrac{2}{4}\)
Результат: \(\dfrac{3}{4}\).		\(\dfrac{3}{4}\)

Итак, снова мы видим, что

\[\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4} \nonumber \]

Пример \(\ PageIndex{1}\): дополнение

Используйте модель, чтобы найти сумму \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}\).

Решение

Начните с трех \(\dfrac{1}{8}\) частей.		\(\dfrac{3}{8}\)
Добавьте две части \(\dfrac{1}{8}\).		\(+ \dfrac{2}{8}\)
Сколько здесь \(\dfrac{1}{8}\) штук?		\(\dfrac{5}{8}\)

Всего пять \(\dfrac{1}{8}\) частей, или пять восьмых. Модель показывает, что \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Используйте модель для нахождения каждой суммы. Покажите схему, иллюстрирующую вашу модель. \[\dfrac{1}{8} + \dfrac{4}{8} \номер\]

Ответить

\(\dfrac{5}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Используйте модель для нахождения каждой суммы. Покажите схему, иллюстрирующую вашу модель. \[\dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} \nonumber \]

Ответ

\(\dfrac{5}{6}\)

Сложение дробей с общим знаменателем

Пример \(\PageIndex{1}\) показывает, что для сложения частей одинакового размера, т. е. дробей с одинаковым знаменателем, достаточно сложить количество частей.

Определение: сложение дробей

Если \(a\), \(b\) и \(c\) числа, где \(c ≠ 0\), то

\[\dfrac{a}{c } + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\]

Чтобы сложить дроби с общим знаменателем, сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.

Пример \(\PageIndex{2}\): дополнение

Найдите сумму: \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\).

Решение

Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	\(\dfrac{3 + 1}{5}\)
Упрощение.	\(\dfrac{4}{5}\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Найдите каждую сумму: \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\).

Ответить

\(\dfrac{5}{6}\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Найдите каждую сумму: \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10}\).

Ответить

\(1\)

Пример \(\PageIndex{3}\): дополнение

Найдите сумму: \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}\).

Решение

Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.

\(\dfrac{х + 2}{3}\)

Обратите внимание, что мы не можем больше упрощать эту дробь. Поскольку \(x\) и \(2\) не похожи друг на друга, мы не можем их комбинировать.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Найдите сумму: \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}\).

Ответить

\(\dfrac{x+3}{4}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Найдите сумму: \(\dfrac{y}{8} + \dfrac{5}{8}\).

Ответить

\(\dfrac{y+5}{8}\)

Пример \(\PageIndex{4}\): сложение

Найдите сумму: \(− \dfrac{9}{d} + \dfrac{3}{d}\).

Решение

Начнем с того, что перепишем первую дробь со знаком минус в числителе.

\[− \dfrac{a}{b} = \dfrac{−a}{b} \nonumber \]

Перепиши первую дробь с минусом в числителе.	\(\dfrac{-9}{d} + \dfrac{3}{d}\)
Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	\(\dfrac{-9 + 3}{d}\)
Упростите числитель.	\(\dfrac{-6}{d}\)
Переписать со знаком минус перед дробью.	\(- \dfrac{6}{d}\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Найдите сумму: \(- \dfrac{7}{d} + \dfrac{8}{d}\).

Ответить

\(\dfrac{1}{d}\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Найдите сумму: \(− \dfrac{6}{m} + \dfrac{9{м}\).

Ответить

\(\dfrac{3}{м}\)

Пример \(\PageIndex{5}\): дополнение

Найдите сумму: \(\dfrac{2n}{11} + \dfrac{5n}{11}\).

Решение

Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	\(\dfrac{2n + 5n}{11}\)
Объедините похожие термины.	\(\dfrac{7n}{11}\)

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Найдите сумму: \(\dfrac{3p}{8} + \dfrac{6p}{8}\).

Ответить

\(\dfrac{9p}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Найдите сумму: \(\dfrac{2q}{5} + \dfrac{7q}{5}\).

Ответить

\(\dfrac{9q}{5}\)

Пример \(\PageIndex{6}\): дополнение

Найдите сумму: \(- \dfrac{3}{12} + \left(- \dfrac{5}{12}\right)\).

Решение

Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.	\(\dfrac{-3 + (-5)}{12}\)
Доп.	\(\dfrac{-8}{12}\)
Упростите дробь.	\(-\dfrac{2}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Найдите каждую сумму: \(- \dfrac{4}{15} + \left(- \dfrac{6}{15}\right)\).

Ответить

\(-\dfrac{2}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Найдите каждую сумму: \(- \dfrac{5}{21} + \left(- \dfrac{9}{21}\right)\).

Ответить

\(-\dfrac{2}{3}\)

Модель вычитания дробей

Вычитание двух дробей с общим знаменателем очень похоже на сложение дробей. Представьте себе пиццу, нарезанную на \(12\) кусочков. Предположим, что за ужином съедено пять штук. Это означает, что после обеда в коробке осталось семь кусков (или \(\dfrac{7}{12}\) пиццы). Если Леонардо съест \(2\) оставшихся кусочков (или \(\dfrac{2}{12}\) пиццы), сколько останется? Осталось бы \(5\) кусочков (или \(\dfrac{5}{12}\) пиццы).

\[\dfrac{7}{12} — \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12} \nonumber \]

Давайте используем дробные круги для моделирования того же примера, \(\dfrac {7}{12} — \dfrac{2}{12}\). Начните с семи частей \(\dfrac{1}{12}\). Уберите две части \(\dfrac{1}{12}\). Сколько двенадцатых осталось?

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Опять же, у нас есть пять двенадцатых, \(\dfrac{5}{12}\).

Пример \(\PageIndex{7}\): разница

Используйте дробные круги, чтобы найти разницу: \(\dfrac{4}{5} − \dfrac{1}{5}\).

Решение

Начните с четырех \(\dfrac{1}{5}\) частей. Уберите одну \(\dfrac{1}{5}\) часть. Посчитайте, сколько пятых осталось. Осталось три куска \(\dfrac{1}{5}\).

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Используйте модель, чтобы найти каждую разницу. Покажите схему, иллюстрирующую вашу модель. \(\dfrac{7}{8} — \dfrac{4}{8}\)

Ответ

\(\dfrac{3}{8}\), модели могут отличаться.

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Используйте модель, чтобы найти каждую разницу. Покажите схему, иллюстрирующую вашу модель. \(\dfrac{5}{6} — \dfrac{4}{6}\)

Ответ

\(\dfrac{1}{6}\), модели могут отличаться.

Вычитание дробей с общим знаменателем

Мы вычитаем дроби с общим знаменателем почти так же, как складываем дроби с общим знаменателем.

Определение: вычитание дроби

Если \(a\), \(b\) и \(c\) числа, где \(c ≠ 0\), то

\[\dfrac{a}{c} — \dfrac{b }{c} = \dfrac{a-b}{c}\]

Чтобы вычесть дроби с общим знаменателем, мы вычитаем числители и помещаем разницу над общим знаменателем.

Пример \(\PageIndex{8}\): разница

Найдите разницу: \(\dfrac{23}{24} — \dfrac{14}{24}\).

Решение

Вычтите числители и поместите разницу в общий знаменатель.	\(\dfrac{23 — 14}{24}\)
Упростите числитель.	\(\dfrac{9}{24}\)
Упростите дробь, удалив общие множители.	\(\dfrac{3}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{15}\)

Найдите разницу: \(\dfrac{19}{28} — \dfrac{7}{28}\).

Ответить

\(\dfrac{3}{7}\)

Упражнение \(\PageIndex{16}\)

Найдите разницу: \(\dfrac{27}{32} — \dfrac{11}{32}\).

Ответить

\(\dfrac{1}{2}\)

Пример \(\PageIndex{9}\): разница

Найдите разницу: \(\dfrac{y}{6} − \dfrac{1}{6}\).

Решение

Вычтите числители и поместите разницу в общий знаменатель.

\(\dfrac{y — 1}{6}\)

Дробь упрощена, потому что мы не можем объединять члены в числителе.

Упражнение \(\PageIndex{17}\)

Найдите разницу: \(\dfrac{x}{7} − \dfrac{2}{7}\).

Ответить

\(\dfrac{x-2}{7}\)

Упражнение \(\PageIndex{18}\)

Найдите разницу: \(\dfrac{y}{14} − \dfrac{13}{14}\).

Ответить

\(\dfrac{y-13}{14}\)

Пример \(\PageIndex{10}\): разница

Найдите разницу: \(- \dfrac{10}{x} — \dfrac{4}{x}\).

Решение

Помните, дробь \(− \dfrac{10}{x}\) может быть записана как \(\dfrac{−10}{x}\).

Вычесть числители.	\(\dfrac{-10 — 4}{х}\)
Упрощение.	\(\dfrac{-14}{x}\)
Перепишите со знаком минус перед дробью.	\(- \dfrac{14}{x}\)

Упражнение \(\PageIndex{19}\)

Найдите разницу: \(- \dfrac{9}{x} — \dfrac{7}{x}\).

Ответить

\(-\dfrac{16}{x}\)

Упражнение \(\PageIndex{20}\)

Найдите разницу: \(- \dfrac{17}{a} — \dfrac{5}{a}\).

Ответить

\(-\dfrac{22}{a}\)

Теперь давайте рассмотрим пример, включающий сложение и вычитание.

Пример \(\PageIndex{11}\): упростить

Упростить: \(\dfrac{3}{8} + \left(- \dfrac{5}{8}\right) − \dfrac{1} {8}\).

Решение

Приведите числители к общему знаменателю.	\(\dfrac{3 + (-5) — 1}{8}\)
Упростите числитель слева направо.	\(\dfrac{-2 — 1}{8}\)
Вычтите члены в числителе.	\(\dfrac{-3}{8}\)
Перепишите со знаком минус перед дробью.	\(- \dfrac{3}{8}\)

Упражнение \(\PageIndex{21}\)

Упрощение: \(\dfrac{2}{5} + \left(- \dfrac{4}{5}\right) — \dfrac{3} {5}\).

Ответить

\(-1\)

Упражнение \(\PageIndex{22}\)

Упрощение: \(\dfrac{5}{9} + \left(- \dfrac{4}{9}\right) — \dfrac{7}{9 }\).

Ответить

\(-\dfrac{2}{3}\)

Доступ к дополнительным онлайн-ресурсам

• Добавление дробей с помощью блоков шаблонов
• Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
• Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Ключевые понятия

• Дробное сложение
  • Если \(a,b,\) и \(c\) числа, где \(c\neq 0\), то \(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\)
  • Чтобы сложить дроби, сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.
• Вычитание дроби
  • Если \(a,b,\) и \(c\) числа, где \(c\neq 0\), то \(\dfrac{a}{c} — \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
  • Чтобы вычесть дроби, вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.

Практика ведет к совершенству

Модель сложения дробей

В следующих упражнениях используйте модель для сложения дробей. Покажите схему, иллюстрирующую вашу модель.

254. \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\)
255. \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10}\)
256. \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6}\)
257. \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8}\)

Сложение дробей с общим знаменателем

В следующих упражнениях найдите каждую сумму.

258. \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{9}\)
259. \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9}\)
260. \(\dfrac{6}{13} + \dfrac{7}{13}\)
261. \(\dfrac{9}{15} + \dfrac{7}{15}\)
262. \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}\)
263. \(\dfrac{y}{3} + \dfrac{2}{3}\)
264. \(\dfrac{7}{p} + \dfrac{9}{p}\)
265. \(\dfrac{8}{q} + \dfrac{6}{q}\)
266. \(\dfrac{8b}{9} + \dfrac{3b}{9}\)
267. \(\dfrac{5a}{7} + \dfrac{4a}{7}\)
268. \(\dfrac{-12y}{8} + \dfrac{3y}{8}\)
269. \(\dfrac{-11x}{5} + \dfrac{7x}{5}\)
270. \(- \dfrac{1}{8} + \left(- \dfrac{3}{8}\right)\)
271. \(- \dfrac{1}{8} + \left(- \dfrac{5}{8}\right)\)
272. \(- \dfrac{3}{16} + \left(- \dfrac{7}{16}\right)\)
273. \(- \dfrac{5}{16} + \left(- \dfrac{9}{16}\right)\)
274. \(- \dfrac{8}{17} + \dfrac{15}{17}\)
275. \(- \dfrac{9}{19} + \dfrac{17}{19}\)
276. \(- \dfrac{6}{13} + \left(- \dfrac{10}{13}\right) + \left(- \dfrac{12}{13}\right)\)
277. \(- \dfrac{5}{12} + \left(- \dfrac{7}{12}\right) + \left(- \dfrac{11}{12}\right)\)

Модель вычитания дробей

В следующих упражнениях используйте модель для вычитания дробей. Покажите схему, иллюстрирующую вашу модель.

278. \(\dfrac{5}{8} — \dfrac{2}{8}\)
279. \(\dfrac{5}{6} — \dfrac{2}{6}\)

Вычитание дробей с общим знаменателем

В следующих упражнениях найдите разницу.

280. \(\dfrac{4}{5} — \dfrac{1}{5}\)
281. \(\dfrac{4}{5} — \dfrac{3}{5}\)
282. \(\dfrac{11}{15} — \dfrac{7}{15}\)
283. \(\dfrac{9}{13} — \dfrac{4}{13}\)
284. \(\dfrac{11}{12} — \dfrac{5}{12}\)
285. \(\dfrac{7}{12} — \dfrac{5}{12}\)
286. \(\dfrac{4}{21} — \dfrac{19}{21}\)
287. \(- \dfrac{8}{9} — \dfrac{16}{9}\)
288. \(\dfrac{y}{17} — \dfrac{9{17}\)
289. \(\dfrac{x}{19} — \dfrac{8}{19}\)
290. \(\dfrac{5y}{8} — \dfrac{7}{8}\)
291. \(\dfrac{11z}{13} — \dfrac{8}{13}\)
292. \(- \dfrac{8}{d} — \dfrac{3}{d}\)
293. \(- \dfrac{7}{c} — \dfrac{7}{c}\)
294. \(- \dfrac{23}{u} — \dfrac{15}{u}\)
295. \(- \dfrac{29}{v} — \dfrac{26}{v}\)
296. \(- \dfrac{6c}{7} — \dfrac{5c}{7}\)
297. \(- \dfrac{12d}{11} — \dfrac{9d}{11}\)
298. \(\dfrac{-4r}{13} — \dfrac{5r}{13}\)
299. \(\dfrac{-7s}{3} — \dfrac{7s}{3}\)
300. \(- \dfrac{3}{5} — \left(- \dfrac{4}{5}\right)\)
301. \(- \dfrac{3}{7} — \left(- \dfrac{5}{7}\right)\)
302. \(- \dfrac{7}{9} — \left(- \dfrac{5}{9}\right)\)
303. \(- \dfrac{8}{11} — \left(- \dfrac{5}{11}\right)\)

Смешанная практика

В следующих упражнениях выполните указанную операцию и запишите свои ответы в упрощенной форме.

304. \(- \dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{9}{10}\)
305. \(- \dfrac{3}{14} \cdot \dfrac{7}{12}\)
306. \(\dfrac{n}{5} — \dfrac{4}{5}\)
307. \(\dfrac{6}{11} — \dfrac{s}{11}\)
308. \(- \dfrac{7}{24} — \dfrac{2}{24}\)
309. \(- \dfrac{5}{18} — \dfrac{1}{18}\)
310. \(\dfrac{8}{15} \div \dfrac{12}{5}\)
311. \(\dfrac{7}{12} \div \dfrac{9}{28}\)

Математика на каждый день

312. Трейл Микс Джейкоб смешивает орехи и изюм, чтобы приготовить смесь. У него есть \(\dfrac{6}{10}\) фунта орехов и \(\dfrac{3}{10}\) фунта изюма. Сколько трейл микса он может сделать?
313. Выпечка Джанет нужно \(\dfrac{5}{8}\) стакана муки для рецепта, который она готовит. У нее есть только \(\dfrac{3}{8}\) стакана муки, а остальное она попросит одолжить у соседки. Сколько муки она должна занять?

Письменные упражнения

314. Грег уронил свой ящик со сверлами, и три сверла выпали.