Как умножить смешанное число на натуральное: Как смешанное число умножить на число

Содержание

Как смешанное число умножить на число

Умножение смешанного числа на натуральное можно выполнять по-разному. Рассмотрим различные способы и выберем для себя, как смешанное число умножить на число натуральное удобнее.

1 способ

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно смешанное число превратить в неправильную дробь и умножить ее по правилу умножения дроби на число.

Например,

Решение:

Смешанное число переводим в неправильную дробь и умножаем по правилу умножения дроби на число (то есть числитель умножаем на это число, а знаменатель оставляем без изменений). Сокращаем 10 и 5 на 5 и умножаем получившиеся результаты. Поскольку в знаменателе единица, ответ — целое число.

Смешанное число записываем в виде неправильной дроби и умножаем. Сокращаем 3 и 9 на 3. Поскольку в результате получили неправильную дробь, выделяем целую часть.

Смешанное число превращаем в неправильную дробь и умножаем.

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Смешанную дробь переводим в неправильную дробь. Сокращаем 11 и 11. Полученный результат — целое число.

2 способ — с помощью распределительного свойства умножения относительно сложения.

Чтобы умножить смешанное число на целое, можно умножить на это число отдельно целую часть, отдельно — дробную часть и полученные произведения сложить.

Рассмотрим, как смешанное число умножить на число целое с помощью распределительного свойства. Берем те же примеры.

Второй способ удобен в тех случаях, когда знаменатель дробной части и целое число можно сократить.

Теперь, когда мы рассмотрели оба способа, вы можете выбрать для себя, как смешанное число умножить на натуральное число вам удобнее, и в дальнейшем использовать любой из них.

Умножение дробей и смешанных чисел.

Деление дробей и смешанных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет)

Умножение дробей и смешанных чисел. Деление дробей и смешанных чисел. Примерно 6-класс (11-12 лет)

Главное замечание по теме от проекта DPVA.info: Дети часто путают действия с правильыми дробями (это такие дроби, где числитель меньше знаменателя) и со смешанными числами (состоящими из целой и дробной части).

Умножение правильных дробей и смешанных чисел на натуральное число: Чтобы умножить правильную дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Для того, чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно смешанное число предстваить в виде неправильной дроби, а затем ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения, после чего выделить целую часть.

Умножение дробей : Чтобы умножить дробь на дробь, надо 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

2) первое произведение записать числителем, второе — знаменателем.

Умножение смешанных чисел: Для того, чтобы выплнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Деление правильных дробей и смешанных чисел на натуральное число: Чтобы разделить правильную дробь на натуральное число, надо ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения. Для того, чтобы разделить смешанное число на натуральное число, можно смешанное число предстваить в виде неправильной дроби, а затем ее знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменения, после чего выделить целую часть.

Памятка: Взаимно обратные числа это числа, произведение которых равно 1. Например: дроби 71/17 и 17/71 взаимно обратны. Делимое — то, что делят. Делитель — то, на что делят.

Деление дробей: Для того, чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число обратное делителю.

Деление смешанных чисел: Для того, чтобы выполнить деление смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления дробей.

Умножение дробей.

Навигация по странице:

Умножение дроби на натуральное число.

Определение.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же.

Примеры умножения дроби на натуральное число

Пример 1.

Найти произведение дроби и натурального числа:

3	· 2	=	3 · 2	=	6
7			7		7

Пример 2.

Найти произведение дроби и натурального числа:

1	· 4	=	4	=	2·2	=	2
2			2		2

Умножение обыкновенных дробей.

Примеры умножения обыкновенных дробей

Пример 3.

Найти произведение двух дробей:

3	·	2	=	3 · 2	=	6
7	·	5	=	7 · 5	=	35

Пример 4.

Найти произведение двух дробей:

10	·	3	=	10 · 3	=	2 · 5 · 3	=	5	=	5
9	·	4	=	9 · 4	=	2 · 2 · 3 · 3	=	2 · 3	=	6

Смотрите также:

Умножение смешанных чисел.

Примеры умножения смешанных чисел

Пример 5.

Найти произведение двух смешанных чисел:

2	1	·	1	2	=	2 · 2 + 1	·	1 · 3 + 2	=	5	·	5	=	5 · 5	=	25	=	6 · 4 + 1	= 4	1
	2			3		2		3		2		3		2 · 3		6		6		6

Пример 6.

Найти произведение смешанного числа и целого числа:

4	1	·	6	=	4 · 3 + 1	·	6	=	13 · 6	=	26
	3				3				3

Пример 7.

Найти произведение смешаного числа и обыкновенной дроби:

2	1	·	3	=	2 · 7 + 1	·	3	=	15	·	3	=	15 · 3	=	3 · 3	=	9	=	7 + 2	= 1	2
	7		5		7		5		7		5		7 · 5		7		7		7		7

Смотрите также:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Смешанные числа (дроби), формулы и онлайн калькуляторы

Определение

Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется

смешанным числом.

Рациональная дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель дроби равен или больше ее знаменателя, то дробь называется неправильной.

Пример

$\frac{3}{5}$ — правильная дробь;

$\frac{5}{3}$ — неправильная дробь.

Правильная дробь меньше единицы, неправильная — больше или равна единице.

Чтобы выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному.

Слишком сложно?

Смешанные числа (дроби) не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Если деление выполняется с остатком, то неполное частное дает искомое целое число, остаток стает числителем искомой дробной части, а знаменатель совпадает со знаменателем неправильной дроби.

Пример

Задание. Представить неправильную дробь $\frac{16}{5}$ в виде суммы целого числа и правильной дроби.

Решение. Делим 16 на 5, получаем частное 3 и остаток 1. То есть $\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}$

Данное выражение можно было получить и так:

$\frac{16}{5}=\frac{15+1}{5}=\frac{15}{5}+\frac{1}{5}=3+\frac{1}{5}$

Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом.

Пример

$\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}=3 \frac{1}{5}$

Число $3 \frac{1}{5}$ является смешанным числом или смешанной дробью.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Пример

Задание. Записать смешанное число $4 \frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение. $4 \frac{3}{5}=\frac{4 \cdot 5+3}{5}=\frac{23}{5}$

Читать следующую тему: десятичные дроби.

Умножение и деление смешанных чисел. Дроби. Умножение и деление дробей

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

разделить числитель на имеющийся знаменатель;
в конкретном примере неполное частное — целое;
и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
полученное произведение прибавляется к числителю;
результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
найти произведение числителей;
найти произведение знаменателей;
записать получившийся результат;
максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
найти произведение, несмотря на запятую;
в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

правильные;
неправильные;
смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

$\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\$

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

$\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\$

Дробь $\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\$ сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби $\bf n = \frac{n}{1}$ .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

$5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\$

Неправильную дробь $\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\$ перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

$\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\$ $\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\$

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
$2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\$

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь $\bf \frac{a}{b}$ является обратной для дроби $\bf \frac{b}{a}$, при условии a≠0,b≠0.
Дроби $\bf \frac{a}{b}$ и $\bf \frac{b}{a}$ называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
$\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\$

Пример:
$\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\$

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) $\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}$ б) $\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}$

Решение:
а) $\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\$
б) $\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}$

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) $3 \times \frac{17}{23}$ б) $\frac{2}{3} \times 11$

Решение:
а) $3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\$
б) $\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}$

Пример №3:
Напишите число обратное дроби $\frac{1}{3}$?
Ответ: $\frac{3}{1} = 3$

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) $\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}$

Решение:
а) $\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1$

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь $\frac{2}{3}$ правильная, обратная ей дробь будет равна $\frac{3}{2}$ – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь $\frac{3}{3}$ , обратная ей дробь равна $\frac{3}{3}$. Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число $3 = \frac{3}{1}$, то обратная ей дробь будет $\frac{1}{3}$. Дробь $\frac{1}{3}$ не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1$. Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) $4 \times 2\frac{4}{5}$ б) $1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}$

Решение:
а) $4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ $
б) $1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}$

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь $1\frac{1}{2}$, найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ . Обратная ей дробь будет равна $\frac{2}{3}$ . Дробь $\frac{2}{3}$ является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

правила, примеры, решения Что такое умножение и деление смешанных дробей

Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

Цель: выработать у учащихся умение и навыки применения правила умножения и деления смешанных дробей;

развитие аналитического мышления учащихся, формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

Задачи: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

Проверить умения применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

правило умножения дроби на натуральное число и обратно. Проверить умение переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно.

Вывести новое правило и алгоритм умножение и деления смешанных чисел.

Отработать новое правило на выполнении заданий.

Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей(памятка)

Метапредметные и личностные результаты :

Регулятивные УУД: постановка цели; план, получение результата

Познавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблемы

Коммуникативные УУД: работа в парах

Оборудование: учебник математики 6 класс

Раздаточный материал.

Проектор.

Ход урока:

I .Проблемная ситуация и актуализация знаний

1.Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножение и деление дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как из неправильной дроби получить смешанную и обратно.

3.По окончании опроса самостоятельная работа включающая примеры на умножение и деление обыкновенных дробей и содержащая два примера на умножение и деление смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой. Правильные ответы для сверки с учащимися отражаются на проекторе.

4. Обсуждение проблемы. Вывести на тему урока.

II .Совместное открытие знаний.

1/Предлагается обсуждение в парах, для озвучивания версии решения возникшей проблемы. Версии записать на школьной доске. Как узнать какая же из версий правильная?

2/Предложить ученикам обратиться к учебнику на соответствующей теме.

3/Выполнить ознакомительное чтение, найти нужный абзац и изучить его для составления алгоритма умножения и деления смешанных дробей. Контроль над выполнением задания.

4/Прослушать версии составить из главного общий алгоритм. Отразить его на проекторе и раздать ученикам в виде памятки.

III .Самостоятельное применение знаний

1/Вернуться к проблеме с решением примеров из самостоятельной работы и применяя полученный алгоритм решить их. Проверить в парах. Результаты отразить на проекторе для сверки.

2/ Дать задание из учебника. Контроль выполнения.

IV. Итог урока

Начать с проблемы возникшей в начале урока, проговорить пути ее решения и полученный результат.

Оценивание работы учащихся.

Задание для домашней работы.

Затем действуем по правилу: первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй (то есть на перевернутую дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами). При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

Рассмотрим примеры на деление смешанных чисел.

Деление смешанных чисел начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножаем на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, поэтому необходимо .

Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем его на число, обратное ко второму. Сокращаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Смешанные числа заменяем неправильными дробями и делим их. Для этого первую дробь переписываем без изменений и умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В результате — неправильная дробь. Выделяем из нее целую часть.

В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Навигация по странице.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей . Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби .

Запишем правило умножения смешанных чисел :

Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Пример.

Выполните умножение смешанных чисел и .

Решение.

Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби : .

Запишем все решение в одну строку: .

Ответ:

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Выполните умножение .

Решение.

Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби : заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа .

Пример.

Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .

Решение.

Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

Пример.

Вычислите произведение .

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Умножение дробей | Cubens

Умножение дробей

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель умножить на число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример умножения дроби на натуральное число

Пример 1: Найти произведение дроби на натуральное число (умножить дробь на натуральное число): на

Ответ:

Умножение дробей с разными знаменателями

Чтобы добавить две обыкновенные дроби с разными знаменателями, нужно:

Пример умножения дробей с разными знаменателями

Пример 2: Перемножить две обыкновенные дроби с разными знаменателями: и

Ответ:

Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить два смешанных числа, нужно:

Примеры сложения смешанных чисел

Пример 3: Умножить обыкновенную дробь на смешанное число: и

Ответ:

Пример 4 Умножить смешанное число на натуральное число: и

Ответ:

Пример 5: Умножить смешанные числа: и

Ответ:

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, следует:

Примеры умножения десятичных дробей

Пример 1: Перемножить дроби: 13,2 и 0,2.

Выполнив умножение, не обращая внимания на запятые, получим: .

Отделим запятой справа столько цифр, сколько стоит после запятой в обоих множителях вместе, то есть две цифры .

Рассмотрим другие примеры умножения десятичных чисел:

Пример 2:

Пример 3:

Умножение десятичной дроби и натурального числа

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждый из которых равен данному десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу.

Чтобыумножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

умножить его на это число, не обращая внимания на запятую;
в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобыумножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т. д., следует:

надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Пример 4:

Если в результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

Как умножать дроби на смешанные числа

Перед умножением дробей вы конвертируете любые смешанные числа в неправильные дроби. Затем вы умножаете все дроби в своей задаче, упрощаете, если возможно, и, наконец, конвертируете обратно в смешанную числовую форму.

Преобразовать смешанное в неправильное

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте знаменатель на целое число и добавьте числитель. Например, в дроби 5 3/8 умножьте знаменатель 8 и целое число 5, затем добавьте числитель 3:

Ответ станет вашим новым числителем. Знаменатель останется прежним. В этом примере неправильная дробь — 43/8. Повторите этот процесс для всех смешанных чисел в вашем уравнении.

Умножение дробей

После преобразования всех дробей в неправильную форму дроби умножьте дроби, как в любой задаче умножения дробей. Сначала умножьте все числители. Затем умножьте все знаменатели. Запишите ответы в виде дробей, указав произведение числителя вверху и произведение знаменателя внизу.Для задачи 10/3 x 3/4 умножьте 10 и 3, чтобы найти числитель 30. Умножьте 3 и 4, чтобы найти знаменатель 12. Ваш ответ — 30/12.

Упростите ответ

Возможно, вам придется упростить ответ до самых низких значений. Упрощение на этом этапе упрощает обратное преобразование в смешанное число. Посмотрите на числитель и знаменатель и определите, может ли какое-либо число делиться на них обоих. Если они оба делятся более чем на одно число, ищите наибольшее число.В 48/18 оба числа делятся на 2, 3 и 6. Поскольку 6 является наибольшим, разделите оба числа на 6, чтобы получить 8/3.

Преобразовать обратно в смешанное число

Если ваш ответ является неправильной дробью, преобразуйте его обратно в смешанное число после упрощения. Вместо умножения на этот раз вы делите верхнее число на нижнее число. В неправильной дроби 32/5 разделите 32 на 5. Ваш ответ: 6 плюс остаток 2. 6 становится вашим целым числом. 2 становится числителем смешанного числа.Ваш знаменатель останется прежним, поэтому 32/5 станет 6 2/5.

Обзор дробей

: смешанные числа и неправильные дроби

Purplemath

Если у вас большая вечеринка с пиццей и после этого у вас осталась одна пицца с ананасом и половина пиццы с анчоусами, вы бы сказали, что у вас есть «полторы» пиццы. «Полтора» — это стандартный разговорный английский способ выражения этого числа, он записывается как «1 ¹/₂». Этот символ «1 ¹/₂» называется «смешанным числом», потому что он объединяет «обычное» число «1» с дробью «¹/₂».

Хотя смешанные числа являются естественным выбором для разговорного английского языка (и поэтому хорошо подходят для ответов на словесные задачи), они, как правило, не самые простые дроби для вычисления. В алгебре вы почти всегда предпочитаете, чтобы дроби , а не были смешанными числами.

MathHelp.com

Вместо этого вы будете использовать так называемые «неправильные» дроби (также иногда называемые «вульгарными» дробями), когда верхнее число больше нижнего числа.

Стандартный способ преобразовать смешанное число в неправильную дробь — это умножить нижнее число на «обычное» число, добавить верхнее число и затем поместить его поверх исходного нижнего числа как новую дробь.

Например, чтобы преобразовать 1 ¹/₂ в неправильную дробь, выполните следующие действия:

Я умножил нижние 2 на «обычную» 1, а затем добавил 1 сверху, получив 3. Затем я положил эти 3 поверх 2 снизу.

Преобразовать в неправильную дробь.

Чтобы выполнить преобразование, я умножу знаменатель (16) на целое число (2), чтобы получить 32.Затем я добавлю числитель (3) к 32, чтобы получить новый числитель (35). Знаменатель останется прежним; а именно, 16.

Преобразовать в неправильную дробь.

Для преобразования я умножу знаменатель (5) на целое число (6), чтобы получить 30. Затем я добавлю числитель (2) к 30, чтобы получить новый числитель (32).Знаменатель останется прежним; а именно 5.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в преобразовании процентов в десятичные числа. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкните здесь, чтобы перейти прямо на сайт Mathway, если вы хотите проверить их программное обеспечение или получить дополнительную информацию.)

Чтобы перейти от неправильной дроби к смешанному числу, вы помните, что «дроби — это деление», и применяете длинное деление, чтобы найти частное целого числа плюс остаток. Другими словами, вы делите верхнее число на нижнее число. Все, что вы видите поверх символа деления, является частным и является частью вашего «обычного числа» смешанного числа. Каким бы ни был ваш остаток, положите это число поверх числа, на которое вы делили; это дробная часть вашего смешанного числа.

Примечание. Когда вы конвертируете неправильную дробь в смешанные числа, не продолжайте длинное деление на десятичные разряды , а не . Просто найдите частное и остаток. Тогда остановись.

Преобразовать в смешанное число.

Сначала я делаю полные числа, чтобы найти целую часть (являющуюся частным) и остаток:

Частное сверху — 11, так что это будет целая часть смешанного числа.Поскольку остаток равен 1, а я делю на 4, дробная часть будет равна ¹/₄.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в преобразовании неправильной дроби в смешанное число. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

Эта процедура отлично работает с рациональными выражениями (полиномиальные дроби). Вы можете увидеть это в примере ниже (или же можете сразу перейти к умножению обычных дробей):

Преобразовать в смешанное число.

Сначала проделайте длинное деление, чтобы найти правильную часть многочлена и остаток:

Полином сверху равен « x + 1», а остаток равен –1. Поскольку вы делите на « x + 2», дробная часть будет «(–1) / ( x + 2)»:

URL: https: // www.purplemath.com/modules/fraction2.htm

4.2: Правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа

Цели обучения

уметь различать правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа
уметь преобразовывать неправильную дробь в смешанное число
уметь преобразовывать смешанное число в неправильную дробь

Теперь, когда мы знаем, что такое положительные дроби, мы рассматриваем три типа положительных дробей: правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа.

Положительные правильные дроби

Определение: положительная правильная фракция

Дроби, в которых целое число в числителе строго меньше целого числа в знаменателе, называются положительными собственными дробями . На числовой строке правильные дроби расположены в интервале от 0 до 1. Положительные собственные дроби всегда меньше единицы.

Закрашенный кружок в позиции 0 указывает, что 0 включен, в то время как белый кружок в позиции 1 указывает, что 1 не включен.

Некоторые примеры положительных собственных дробей:

\ (\ dfrac {1} {2} \), \ (\ dfrac {3} {5} \), \ (\ dfrac {20} {27} \) и \ (\ dfrac {106} {255 } \)

Обратите внимание, что \ (1 <2 \), \ (3 <5 \), \ (20 <27 \) и \ (106 <225 \).

Положительные неправильные фракции

Определение: положительные неправильные дроби

Дроби, в которых целое число в числителе больше или равно целому числу в знаменателе, называются положительными неправильными дробями .В числовой строке неправильные дроби лежат справа (включительно) от 1. Положительные неправильные дроби всегда больше или равны 1.

Примеры положительных неправильных дробей:

\ (\ dfrac {3} {2} \), \ (\ dfrac {8} {5} \), \ (\ dfrac {4} {4} \) и \ (\ dfrac {105} {16 } \)

Обратите внимание, что \ (3 \ ge 2, 8 \ ge 5, 4 \ ge 4 \) и \ (105 \ ge 16 \).

Положительные смешанные числа

Определение: смешанные положительные числа

Число в форме \ (\ text {ненулевое целое число} + \ text {правильная дробь} \) называется положительным смешанным числом .Например, 2 \ (\ dfrac {3} {5} \) — смешанное число. В числовой строке смешанные числа расположены в интервале справа от (включительно) 1. Смешанные числа всегда больше или равны 1.

Связь положительных неправильных дробей и положительных смешанных чисел

Связь между неправильными дробями и смешанными числами подтверждается двумя фактами. Во-первых, неправильные дроби и смешанные числа расположены в одном интервале числовой строки.Второй факт, что смешанные числа представляют собой сумму натурального числа и дроби, можно увидеть, сделав следующие наблюдения.

Разделите все количество на 3 равные части.

Теперь рассмотрим следующие примеры, наблюдая за соответствующими заштрихованными областями.

В заштрихованной области две трети или \ (\ dfrac {2} {3} \).

\ (2 (\ dfrac {1} {3}) = \ dfrac {2} {3} \)

Есть 3 одной трети, или \ (\ dfrac {3} {3} \), или 1.

\ (3 (\ dfrac {1} {3}) = \ dfrac {3} {3} \) или 1

Таким образом,

\ (\ dfrac {3} {3} = 1 \)

Неправильная дробь = целое число.

Есть 4 1/3, или \ (\ dfrac {4} {3} \), или 1 и \ (\ dfrac {1} {3} \).

\ (4 (\ dfrac {1} {3}) = \ dfrac {4} {3} \) или 1 и \ (\ dfrac {1} {3} \)

Термины 1 и \ (\ dfrac {1} {3} \) могут быть представлены как \ (1 + \ dfrac {1} {3} \) или \ (1 \ dfrac {1} {3} \)

Таким образом,

\ (\ dfrac {4} {3} = 1 \ dfrac {1} {3}.\)

правильная дробь = смешанное число.

Есть 5 1/3, или \ (\ dfrac {5} {3} \), или 1 и \ (\ dfrac {2} {3} \).

\ (5 (\ dfrac {1} {3}) = \ dfrac {5} {3} \) или 1 и \ (\ dfrac {2} {3} \)

Термины 1 и \ (\ dfrac {2} {3} \) могут быть представлены как \ (1 + \ dfrac {2} {3} \) или \ (1 \ dfrac {2} {3} \).

Таким образом,

\ (\ dfrac {5} {3} = 1 \ dfrac {2} {3} \).

Неправильная дробь = смешанное число.

Есть 6 1/3, или \ (\ dfrac {6} {3} \), или 2.

\ (6 (\ dfrac {1} {3}) = \ dfrac {6} {3} = 2 \)

Таким образом,

\ (\ dfrac {6} {3} = 2 \)

Неправильная дробь = целое число.

Следующий важный факт проиллюстрирован предыдущими примерами.

Смешанное число = натуральное число + правильная дробь
Смешанное число — это сумма натурального числа и дроби. Смешанное число = (натуральное число) + (правильная дробь)

Например, \ (1 \ dfrac {1} {3} \) можно выразить как \ (1 + \ dfrac {1} {3} \). Дробь \ (5 \ dfrac {7} {8} \) может выражаться как \ (5 + \ dfrac {7} {8} \).

Важно отметить, что такое число, как \ (5 + \ dfrac {7} {8} \), не указывает на умножение , а не . Чтобы указать умножение, нам нужно будет использовать символ умножения (например, \ (\ cdot \))

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

\ (5 \ dfrac {7} {8} \) означает \ (5 + \ dfrac {7} {8} \), а не \ (5 \ cdot \ dfrac {7} {8} \), что означает 5-кратное \ (\ dfrac {7} {8} \) или 5 умноженное на \ (\ dfrac {7} {8} \).

Таким образом, смешанные числа могут быть представлены неправильными дробями, а неправильные дроби могут быть представлены смешанными числами.

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа

Чтобы понять, как можно преобразовать неправильную дробь в смешанное число, давайте рассмотрим дробь \ (\ dfrac {4} {3} \).

\ (\ begin {array} {rcl} {\ dfrac {4} {3}} & = & {\ underbrace {\ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1 } {3}} _ {1} + \ dfrac {1} {3}} \\ {} & = & {1 + \ dfrac {1} {3}} \\ {} & = & {1 \ dfrac { 1} {3}} \ end {array} \)

Мы можем проиллюстрировать процедуру преобразования неправильной дроби в смешанное число на этом примере.Однако преобразование проще, чем , выполняется делением числителя на знаменатель и использованием результата для записи смешанного числа.

Преобразование неправильной дроби в смешанное число
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделите числитель на знаменатель.

Целая часть смешанного числа является частным.
Дробная часть смешанного числа — это остаток от делителя (знаменателя неправильной дроби).

Образец набора A

Преобразует каждую неправильную дробь в соответствующее смешанное число.

\ (\ dfrac {5} {3} \) Разделить 5 на 3.

Решение

Несобственная дробь \ (\ dfrac {5} {3} = 1 \ dfrac {2} {3} \).

Образец набора A

\ (\ dfrac {46} {9} \) Разделим 46 на 9.

Решение

Несобственная дробь \ (\ dfrac {46} {9} = 5 \ dfrac {1} {9} \).

Образец набора A

\ (\ dfrac {83} {11} \) Разделим 83 на 11.

Решение

Несобственная дробь \ (\ dfrac {83} {11} = 7 \ dfrac {6} {11} \).

Образец набора A

\ (\ dfrac {104} {4} \) Разделим 104 на 4.

Решение

\ (\ dfrac {104} {4} = 26 \ dfrac {0} {4} = 26

Несобственная дробь \ (\ dfrac {104} {4} = 26 \).

Практический набор A

Преобразует каждую неправильную дробь в соответствующее смешанное число.

\ (\ dfrac {9} {2} \)

Ответ: \ (4 \ dfrac {1} {2} \)

Практический набор A

\ (\ dfrac {11} {3} \)

Ответ: \ (3 \ dfrac {2} {3} \)

Практический набор A

\ (\ dfrac {14} {11} \)

Ответ: \ (1 \ dfrac {3} {11} \)

Практический набор A

\ (\ dfrac {31} {13} \)

Ответ: \ (2 \ dfrac {5} {13} \)

Практический набор A

\ (\ dfrac {79} {4} \)

Ответ: \ (19 \ dfrac {3} {4} \)

Практический набор A

\ (\ dfrac {496} {8} \)

Ответ: 62

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби

Чтобы понять, как преобразовать смешанное число в неправильную дробь, вспомним

смешанное число = (натуральное число) + (правильная дробь)

и рассмотрите следующую диаграмму.

Напомним, что умножение описывает повторное сложение.

Обратите внимание, что \ (\ dfrac {5} {3} \) можно получить из \ (1 \ dfrac {2} {3} \), используя умножение следующим образом.

Умножить: \ (3 \ cdot 1 = 3 \)

Складываем: \ (3 + 2 = 5 \). Поместите 5 над 3: \ (\ dfrac {5} {3} \)

В этом примере проиллюстрирована процедура преобразования смешанного числа в неправильную дробь.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь,

Умножьте знаменатель дробной части смешанного числа на целую часть числа.
К этому произведению добавьте числитель дробной части.
Поместите этот результат над знаменателем дробной части.

Образец набора B

Преобразует каждое смешанное число в неправильную дробь.

\ (5 \ dfrac {7} {8} \)

Решение

Умножить: \ (8 \ cdot 5 = 40 \)
Складываем: \ (40 + 7 = 47 \)
Поместите 47 над 8: \ (\ dfrac {47} {8} \)

Таким образом, \ (5 \ dfrac {7} {8} = \ dfrac {47} {8} \).

Образец набора B

\ (16 \ dfrac {2} {3} \)

Решение

Умножить: \ (3 \ cdot 16 = 48 \).
Складываем: \ (48 + 2 = 50 \)
Поместите 50 над 3: \ (\ dfrac {50} {3} \)

Таким образом, \ (16 \ dfrac {2} {3} = \ dfrac {50} {3} \)

Практический набор A

Преобразует каждое смешанное число в соответствующую неправильную дробь.

\ (8 \ dfrac {1} {4} \)

Ответ: \ (\ dfrac {33} {4} \)

Практический набор A

\ (5 \ dfrac {3} {5} \)

Ответ: \ (\ dfrac {28} {5} \)

Практический набор A

\ (1 \ dfrac {4} {15} \)

Ответ: \ (\ dfrac {19} {15} \)

Практический набор A

\ (12 \ dfrac {2} {7} \)

Ответ: \ (\ dfrac {86} {7} \)

Упражнения

Для следующих 15 задач определите каждое выражение как правильную дробь, неправильную дробь или смешанное число.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

\ (\ dfrac {3} {2} \)

Ответ: неправильная дробь

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

\ (\ dfrac {4} {9} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

\ (\ dfrac {5} {7} \)

Ответ: собственная фракция

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

\ (\ dfrac {1} {8} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

\ (6 \ dfrac {1} {4} \)

Ответ: смешанное число

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

\ (\ dfrac {11} {8} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

\ (\ dfrac {1,001} {12} \)

Ответ: неправильная дробь

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

\ (191 \ dfrac {4} {5} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

\ (1 \ dfrac {9} {13} \)

Ответ: смешанное число

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

\ (31 \ dfrac {6} {7} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

\ (3 \ dfrac {1} {40} \)

Ответ: смешанное число

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

\ (\ dfrac {55} {12} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

\ (\ dfrac {0} {9} \)

Ответ: собственная фракция

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

\ (\ dfrac {8} {9} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

\ (101 \ dfrac {1} {11} \)

Ответ: смешанное число

Для следующих 15 задач преобразуйте каждую неправильную дробь в соответствующее смешанное число.

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

\ (\ dfrac {11} {6} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

\ (\ dfrac {14} {3} \)

Ответ: \ (4 \ dfrac {2} {3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

\ (\ dfrac {25} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)

\ (\ dfrac {35} {4} \)

Ответ: \ (8 \ dfrac {3} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

\ (\ dfrac {71} {8} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

\ (\ dfrac {63} {7} \)

Ответ: 9

Упражнение \ (\ PageIndex {22} \)

\ (\ dfrac {121} {11} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {23} \)

\ (\ dfrac {165} {12} \)

Ответ: \ (13 \ dfrac {9} {12} \) или \ (13 \ dfrac {3} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {24} \)

\ (\ dfrac {346} {15} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {25} \)

\ (\ dfrac {5,000} {9} \)

Ответ: \ (555 \ dfrac {5} {9} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {26} \)

\ (\ dfrac {23} {5} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {27} \)

\ (\ dfrac {73} {2} \)

Ответ: \ (36 \ dfrac {1} {2} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {28} \)

\ (\ dfrac {19} {2} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {29} \)

\ (\ dfrac {316} {41} \)

Ответ: \ (7 \ dfrac {29} {41} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {30} \)

\ (\ dfrac {800} {3} \)

Для следующих 15 задач преобразуйте каждое из смешанных чисел в соответствующую неправильную дробь.

Упражнение \ (\ PageIndex {31} \)

\ (4 \ dfrac {1} {8} \)

Ответ: \ (\ dfrac {33} {8} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {32} \)

\ (1 \ dfrac {5} {12} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {33} \)

\ (6 \ dfrac {7} {9} \)

Ответ: \ (\ dfrac {61} {9} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {34} \)

\ (15 \ dfrac {1} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {35} \)

\ (10 \ dfrac {5} {11} \)

Ответ: \ (\ dfrac {115} {11} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {36} \)

\ (15 \ dfrac {3} {10} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {37} \)

\ (8 \ dfrac {2} {3} \)

Ответ: \ (\ dfrac {26} {3} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {38} \)

\ (4 \ dfrac {3} {4} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {39} \)

\ (21 \ dfrac {2} {5} \)

Ответ: \ (\ dfrac {107} {5} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {40} \)

\ (17 \ dfrac {9} {10} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {41} \)

\ (9 \ dfrac {20} {21} \)

Ответ: \ (\ dfrac {209} {21} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {42} \)

\ (5 \ dfrac {1} {16} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {43} \)

\ (90 \ dfrac {1} {100} \)

Ответ: \ (\ dfrac {9001} {100} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {44} \)

\ (300 \ dfrac {43} {1,000} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {45} \)

\ (19 \ dfrac {7} {8} \)

Ответ: \ (\ dfrac {159} {8} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {46} \)

Почему \ (0 \ dfrac {4} {7} \) не считается смешанным числом?

Подсказка:

См. Определение смешанного числа.

Упражнение \ (\ PageIndex {47} \)

Почему 5 считается смешанным числом?

Подсказка:

См. Определение смешанного числа.

Ответ: … потому что его можно записать как \ (5 \ dfrac {0} {n} \), где \ (n \) — любое положительное целое число.

Проблемы с калькулятором
Для следующих 8 задач используйте калькулятор для преобразования каждого смешанного числа в соответствующую неправильную дробь.

Упражнение \ (\ PageIndex {48} \)

\ (35 \ dfrac {11} {12} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {49} \)

\ (27 \ dfrac {5} {61} \)

Ответ: \ (\ dfrac {1,652} {61} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {50} \)

\ (83 \ dfrac {40} {41} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {51} \)

\ (105 \ dfrac {21} {23} \)

Ответ: \ (\ dfrac {2,436} {23} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {52} \)

\ (72 \ dfrac {605} {606} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {53} \)

\ (816 \ dfrac {19} {25} \)

Ответ: \ (\ dfrac {20,419} {25} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {54} \)

\ (708 \ dfrac {42} {51} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {55} \)

\ (6,012 \ dfrac {4,216} {8,117} \)

Ответ: \ (\ dfrac {48,803,620} {8,117} \)

Упражнения для обзора

Упражнение \ (\ PageIndex {56} \)

Округлите 2 614 000 до ближайшей тысячи.

Упражнение \ (\ PageIndex {57} \)

Найдите товар. \ (1,004 \ cdot 1,005 \)

Ответ: 1 009 020

Упражнение \ (\ PageIndex {58} \)

Определите, делится ли 41826 на 2 и 3.

Упражнение \ (\ PageIndex {59} \)

Найдите наименьшее общее кратное 28 и 36.

Ответ: 252

Упражнение \ (\ PageIndex {60} \)

Укажите числитель и знаменатель дроби \ (\ dfrac {12} {19} \).

правильных дробей | Неправильные дроби

Неправильное дробление на смешанное число

Разделите числитель на знаменатель.
Например: Преобразовать 5/4 в смешанное число
`1`
`4` `5`
`4`
`1`
Используйте частное как целое число.
в нашем примере частное 1.
Используйте остаток как числитель правильной дроби.
в нашем примере остаток равен 1.
Знаменатель останется прежним.
в нашем примере знаменатель равен 4.
Следовательно, требуется смешанное число `1 1 / 4`

Смешанное число в неправильную дробь

Умножьте целое число на знаменатель.
Например: Преобразовать 2 1/4 в неправильную дробь
В нашем примере целое число — 2 , а знаменатель — 4
.
, следовательно, 2 x 4 = 8

Добавьте произведение к числителю правильной дроби. Сумма является числителем неправильной дроби.
Здесь числитель 1
сложив числитель и произведение, получим
числитель = 8 + 1 = 9

Знаменатель останется прежним.Знаменатель
= 4
Следовательно, неправильная дробь — `9/4`

Как умножить дроби: 7 удивительных упражнений, которые стоит попробовать
Поздравляем! Вы преуспели в обучении умножению (за шесть простых шагов). Но теперь пришло время научить ваших учеников умножать дроби. Глубокие вдохи. Учителя и ученики могут утверждать, что эта концепция более устрашающая, чем переход от вычитания и сложения к умножению.К счастью, существуют стратегии, которые должны упростить понимание умножения дробей — и мы собрали их для вас в виде четкого руководства. В этой статье вы найдете: Но сначала быстро напомним.
Что такое умножение? Проще говоря, умножение складывает одно и то же число снова и снова . Хорошие новости для ваших учеников: если они могут складывать, они могут умножать! Вместо того, чтобы писать 1 + 1 + 1 + 1 , есть гораздо более быстрый способ чтобы написать эту сложную задачу: 1 × 4 .Вот некоторые примеры: Кредит: класс мисс Жираф [/ caption] Помимо умножения целых чисел, вы также можете умножать на целые числа, десятичные дроби и, сегодня, дроби .
Определение трех типов дробей Дробь обычно состоит из двух частей:
Числитель — верхнее число , которое указывает, сколько частей (целого) у вас есть.
Знаменатель — нижнее число , которое относится к общему количеству частей, составляющих целое.
Предоставлено: Бретт Берри [/ caption]
1. Правильные дроби У правильной дроби числитель меньше , чем знаменатель. Например: ½, ⅔, ¾, ⅘, ⅚
2. Неправильные дроби Несмотря на то, что неправильная дробь похожа по структуре, неправильная дробь имеет числитель больше знаменателя. Примечание : когда числитель равен знаменателю, это считается «неправильным», потому что вы можете превратить его в целое число.То же правило применяется к неправильным дробям, таким как ²⁶⁄₁₃, которые при уменьшении становятся целыми (т. Е. Двумя). Например: ³⁄₂, ⁵⁄₃, ⁷⁄₆, ¹¹⁄₁₀, ⁸⁄₈
3. Смешанные дроби В отличие от первых двух, смешанная дробь состоит из правильной дроби и целого числа. Например: 3 ½, 7 ⅔, 2 ¾, 6 ⅘, 1 Хорошо, так что эти странные числа, как-то связанные с пиццей, существуют. Но каковы правила умножения дробей?
Как умножать дроби Хорошие вещи бывают тройками, включая три простых шага, которым должны следовать ваши ученики при обучении умножению дробей:
Умножение числителей ( верхних чисел )
Умножение знаменателей ( нижние числа )
При необходимости упростите или уменьшите дробь
И прежде чем ваши увлеченные ученики спросят, да — в отличие от сложения дробей, вы можете умножить две дроби на различных знаменателей .Давайте вместе рассмотрим пример!
Модели площадей для дробного умножения Идеально подходящие для наглядных учеников в вашем классе, модель площадей эффективно иллюстрирует, как выглядит одна часть, умноженная на другую (или «из»). Как вы можете видеть на иллюстрации ниже, создавая модель площади умножить дробь легко:
Нарисуйте дроби, которые вы умножаете, в отдельных прямоугольниках, каждый из которых использует свой цвет
Объедините рисунки в один прямоугольник, используя новый цвет для частей, которые перекрывают друг друга
Чтобы написать произведение, спросите себе два вопроса:
Сколько коробок имеют оба цвета? Это будет ваш числитель
Сколько всего ящиков? Это будет ваш знаменатель
Фото: госпожаКоггинс [/ caption]
Запоминающееся напоминание О! А если ваши ученики когда-нибудь забудут шаги, просто напомните им спеть эту песню:
Умножение дробей? Это не большая проблема. Сделайте верхний раз верхний поверх нижнего, умноженный на нижний. И прежде чем попрощаться, не забудьте упростить!
Умножение дробей на целые числа Предоставлено: Эрика Наджера [/ caption] Умножение целых чисел и дробей может озадачить ваших учеников.Почему? Потому что кажется, что есть только одна дробь вместо двух, но когда ученики учатся умножать дроби на целые числа, они могут переписывать их как дроби. Вместо 4, например, превратите его в дробь ⁴⁄₁. Теперь умножать проще и понятнее. Например, они могут переписать 2 × ⁄₁₃:
Решить : 2 × ⁄₁₃ Записываем целое число в дробь : ²⁄₁ × ⁵⁄₁₃ Умножение числителей : 2 × 5 = 10 Умножаем знаменатели : 1 × 13 = 13 Новая дробь : ¹⁰⁄₁₃
Примечание : Если учащиеся борются с целыми числами, объясните, что они могут думать о целом числе как о верхнем, а нижнее число всегда равно единице.
Умножение неправильных дробей Предоставлено: Miranda Weenusk [/ caption] Вы умножаете неправильные дроби так же, как правильные. Однако иногда ученики могут получать неправильные дроби. Возьмем для примера эту задачу:
Решите : ⁵⁄₃ × ⁷⁄₆ Умножение числителей : 5 × 7 = 35 Умножаем знаменатели : 3 × 6 = 18 Новая дробь : ³⁵⁄₁₈
Если учащиеся знакомы со смешанными дробями, они могут изменить неправильную дробь на смешанную.В данном случае это смешанное число будет 1 ⁄₁₈, но вы можете узнать больше о смешанных числах ниже!
Умножение смешанных дробей Перед тем, как научить студентов умножать дроби на смешанные числа, им необходимо знать три шага:
Преобразование любых смешанных дробей в неправильные дроби
Умножение неправильных дробей
Преобразование конечного произведения обратно в смешанное число
Чтобы выполнить первый шаг, научите своих учеников составить смешанное число «MAD» . Предоставлено: Fabulous Finch Facts [/ caption] Помните: смешанное число состоит из целого числа и правильной дроби. Чтобы завершить первый шаг и преобразовать смешанную дробь в неправильную, вам необходимо:
Найти новый числитель — Умножить целое число на знаменатель, а затем прибавить к нему исходный числитель.
Оставить тот же знаменатель — знаменатель останется без изменений.
Отсюда полезное сокращение:
M в конечном итоге А дд D enominator
Шаг второй, умножьте неправильные дроби, как мы проиллюстрировали перед этим разделом.Шаг третий: преобразуйте неправильную дробь обратно в смешанное число. Вот небольшой стишок, который поможет вашим ученикам запомнить, как это делать:
С неправильной дробью, дивизия — это акция!
Предоставлено: Heather’s Show and Tell [/ caption] Давайте воспользуемся примером, изображенным ранее: ⁄₅. Если деление — это действие, вам нужно разделить числитель (16) на знаменатель (5) и посмотреть, есть ли остаток.Пять переходит в 16 трижды равномерно , в сумме получается 15. Это означает, что целая числовая часть смешанного числа будет три . Но это не делится идеально, что вы можете увидеть по остатку от единица. . Таким образом, дробная часть смешанного числа — это остаток от знаменателя исходной дроби (⅕). Как выглядит смешанная дробь, это 3 ⅕ . Для более наглядного пошагового руководства по умножению смешанных чисел посмотрите это четырехминутное видео из Khan Academy: И это то, что вам нужно знать при умножении дробей и смешанных чисел.
Две основные ошибки, которые делают ученики при умножении дробей Хотя некоторые ученики быстро усваивают уроки умножения дробей, другие могут столкнуться с трудностями при использовании этих новых концепций. Более ранние учителя улавливают эти заблуждения, тем скорее ученики смогут извлечь уроки и исправить свои ошибки. к практическому руководству What Works Clearinghouse Института педагогических наук «Разработка эффективных инструкций по дробям для от детского сада до 8-го класса» — это одни из наиболее распространенных заблуждений в отношении обучения умножению дробей.
1. Вера в то, что целые числа имеют тот же знаменатель, что и дроби в задаче Группа из восьми экспертов гида признала, что это заблуждение может побудить учащихся взять задачу, такую как 4 -, и переписать ее как ⁄₈ — ⅜, поскольку неправильный ответ ⅛. При представлении смешанного числа учащиеся с таким неправильным представлением могут добавить целое число в числитель, как в ³¹⁄₃ × ⁶⁄₇ = (³⁄₃ + ⅓) × ⁶⁄₇ = ⁴ ⁄₃ × ⁶⁄₇ = ²⁴⁄₂₁. Помощь учащимся в понимании взаимосвязи между смешанными числами и неправильными дробями и в том, как переводить одно в другое, имеет решающее значение для работы с дробями.
Как помочь своим ученикам Избегайте соблазна взорвать базовые уроки. Найдите время, которое нужно вашим ученикам, чтобы помочь им понять взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами и как преобразовать их из одного в другое. Предоставлено: Once Upon a Creative Classroom [/ caption]
2. Оставить знаменатель неизменным Студенты могут совершить ошибку, забыв умножить равные знаменатели.Вероятно, это связано с тем, что вам не нужно касаться равных знаменателей при сложении дробей. Например, они могут увидеть ⅔ × ⅓ и неправильно ответить ⅔ вместо ²⁄₉.
Как помочь своим ученикам В практическом руководстве члены экспертной группы предлагают «объяснить концептуальную основу умножения дроби, используя единичные дроби (например, ½ × ½ = половина половины = ¼)». В частности, учителя могут показать что проблема ½ × ½ на самом деле спрашивает, что такое ½ от ½, что подразумевает, что произведение должно быть меньше любой умножаемой дроби.Вербализация этого заблуждения полезна, но особенно эффективна визуализация. Войдите в стену фракции ! Дробные стены — отличный способ помочь учащимся увидеть, как в данном случае выглядит абстрактная половина из половины (то есть одна четверть).
Поболтайте со своей суперзвездой @ rudstony4 в эти выходные! Посмотрите вместе на Стену дробей … спросите их о нашем ключевом словарном запасе … НОМЕР, ЗНАЧИТЕЛЬ, СМЕШАННОЕ ЧИСЛО, ЭКВИВАЛЕНТ … сколько они могут вам объяснить ?! #rudstonmaths рис.twitter.com/V02vgd9SYV
— Класс 4 (@ Rudstony4) 1 февраля 2019 г.
Теперь вы знаете о проблемах многих учеников, когда учились умножать дроби, что дальше? Давайте рассмотрим, как закрепить уроки дроби — и почему рабочие листы могут быть не лучшей стратегией.
Смерть рабочих листов? Доктор Стивен Камарата, специалист по развитию детей и отклонениям в развитии, считает, что естественное любопытство детей идет под откос. В эссе для Psychology Today он выразил недовольство предположением, что заполнение рабочих листов напрямую связано с улучшением обучения.
Но данные о достижениях в США по сравнению с остальным миром говорят об обратном. По иронии судьбы, по мере того, как все больше и больше листов вводятся в ранние и ранние классы и становятся все более механическими, скучная домашняя работа вынуждает развивающиеся умы, успеваемость учащихся в США продолжает снижаться.
Источник: Источник: NAEP Data Explorer, Национальный центр статистики образования [/ caption] Отчет Pew Center for Research указал на снижение и без того удручающих оценок достижений в США.Д-р Камарата выделил:
Только 34% четвероклассников и 27% восьмиклассников были оценены как хорошо владеющие математикой в 2011 году, и этот показатель снизился до 33% для четвероклассников и 25% для восьмиклассников в 2015 году (последний год, эти данные Невозможно положительно повлиять на эти результаты: в настоящее время более двух третей четвероклассников и трое из четырех восьмиклассников не владеют математикой . Это 38-е место в мире.
Означает ли это, что школы должны обходиться без рабочих листов? Не обязательно.Корреляция — это не причинная связь. Фактически, многие учителя и ученики добились успеха с рабочими таблицами. Однако преподаватели должны понимать, что образование быстро меняется — от рабочих листов к классным технологиям. Итак, вот несколько творческих способов научить умножению дробей — без рабочих листов!
7 Интересные примеры для обучения студентов умножению дробей
1. Prodigy Prodigy — это бесплатная математическая игра по учебной программе, которую используют более миллиона учителей и 50 миллионов студентов по всему миру.Он предлагает материалы по всем основным математическим темам с 1-го по 8-й класс. Что касается умножения дробей, Prodigy может помочь студентам научиться:
Умножать дробь на целое число
Умножать две дроби
Умножать целое число на пропущенную дробь
Умножать две дроби с помощью словесных задач
И многое другое
Практическое исследование 2018 года показало, что школы, использующие Prodigy, лучше справлялись со стандартизированными тестами и получили более высокие результаты.Игра Prodigy отправит ваших учеников в увлекательное и познавательное путешествие, вдохновленное фэнтези.
2. Перекидные дроби Предоставлено: MathFileFolderGames [/ caption] Для этого задания разделите учащихся на группы по четыре человека. Затем они разделятся на команды по два человека, одна из которых будет игроком А, а другая — игроком Б. Раздайте каждой группе колоду перетасованных карт (тузы = 1, валеты = 10, дамы = 11 и короли = 12).Как показано на картинке выше, каждый ученик рисует карточку с числителем (над карандашом) и карточку со знаменателем (под карандашом). Оба игрока А перепишут и умножат дроби на бумаге, а затем, если возможно, упростят произведение. После того, как они ответят, игроки Б. сделают то же самое. В зависимости от вашего расписания вы можете назначить всю колоду или дать учащимся таймер, чтобы они выполнили столько, сколько они могут. Попросите учащихся сдать свои листы ответов после задания для отметьте, или ответьте на 10+ вопросов вместе в классе. Примечание : Вы также можете назвать эту игру «Slam-it fractions», заменив карты и карандаши на домино.
3. Умножение дроби BINGO Кредит: jimmiehomeschoolmom [/ caption] Каждый ученик получает заполненную дробью карточку бинго вместе с небольшими листами бумаги (или «фишками бинго») с соответствующими задачами умножения дробей. Когда вы говорите «ИДТИ», они могут начать решать каждую задачу одну за другой, закладывая фишку. поверх правильной дроби.Вам решать, хотите ли вы, чтобы они заполнили линию или всю карту бинго. Вы также можете выбрать, будут ли ответы на карточку бинго упрощенными. Для простоты вы можете дать всем одну и ту же карточку бинго с одинаковыми вопросами. Таким образом, вы сможете потом решать каждую проблему и вместе решать, как ее решать. Примечание : Вы можете использовать этот и последующие примеры в качестве формирующих оценок, чтобы оценить уровень обучения учащихся и выявить заблуждения на раннем этапе.
4. Задачи со словами
Сегодняшние пятиклассники много размышляли над математикой. ❤️Они работали над концептуальным пониманием умножения дроби на целое число. @svmimac @BuenaVistaWCSD pic.twitter.com/Bg7HapJc82
— Келлианна Боксер (@BVBockser) 25 января 2019 г.
Задачи со словами — прекрасный способ сделать уроки математики актуальными для жизни ваших учеников. Умение умножать дроби может показаться им чуждым, но простая история может полностью изменить их точку зрения. примерно о дробях, а о математике в целом.Вот пример задачи со словом:
У вас есть ½ пакета чипсов в шкафу, но вы съели ½ из них после обеда. Сколько всего пакета вы съели? (Не сводите свой ответ к минимуму.)
Конечно, это простой пример. Но секунду назад эта дробь была просто числом выше и ниже короткой линии. Однако теперь эта «повседневная» проблема слов сделала умножение дробей применимым к реальной жизни.
5. Война фракций Предоставлено: Шерри Фишер [/ caption] Это занятие для двух человек адаптировано из карточной игры «Война. Примечание : Многие учителя отходят от решения задач на основе скорости, потому что это не обязательно демонстрирует понимание учащимися. В вашем классе также могут быть дети, которые нервничают из-за необходимости быстро заниматься математикой и поэтому не успевают. Итак, лучше всего оценить свой класс, прежде чем играть в эту версию. Сидя бок о бок, у каждого ученика будет половина колоды карт фракций (которую вы можете скачать здесь). Перевернув стопку карт, каждый ученик одновременно вытянет карту .Первый ученик, правильно умноживший две дроби, добавляет эти карты в свою колоду. Студент побеждает, если в итоге у него в руке оказывается вся колода карт дробей или у него есть большинство карт в конце, например, 20. Более того, быстрое размышление на месте этого упражнения с дробями может помочь улучшить умственные математические навыки ваших учеников. В качестве альтернативы вы можете запустить версию этой игры, позволяющую всем играть против вас. Кому не нравится возможность перехитрить своего учителя !? Разделите ваш класс на пять групп.Вы перейдете в первую группу и встретитесь с одним вопросом, прежде чем переходить ко второй группе и так далее. Помните: цель этой версии не в том, чтобы отвечать перед учениками, а в том, чтобы помочь им развить умственные математические способности. Это позволяет ученикам отвечать коллективно, чтобы не выделять детей, которые могут испытывать трудности с умственной математикой.
6. Пищевые фракции
Удивительно, насколько увлечены дети, когда речь идет о ЕДА! Цель: найти любимый рецепт, а затем рассчитать каждый ингредиент для всех 90 пятиклассников! Им это нравится! Подлый способ попрактиковаться в умножении дробей.;) @Falcons_BMS #FalconsInFlight pic.twitter.com/M6Rg7zaXXQ
— Эмили Либберт (@EmilyLibbert) 24 января 2019 г.
Дети любят поесть — это не секрет! Так почему бы не включить это в свой план урока? Учительница в твите выше заставила своих детей попрактиковаться в умножении дробей, преобразовывая рецепты вкусных блюд. Вы можете попросить каждого ученика выбрать свою любимую еду и умножить ингредиенты, чтобы накормить весь класс. Стимул тоже может помочь! Например, после того, как все переработали свою любимую еду, выберите безопасную закуску, которая понравится классу.Поднимите оригинальный рецепт. Теперь пусть ваши ученики поработают вместе над умножением ингредиентов, и, если они сделают это правильно, весь класс получит домашнюю (или купленную в магазине) выпечку!
7) Вымпел дробной части Предоставлено: Scaffolded Math [/ caption] Вырежьте для каждого ученика листы бумаги в форме ленты или треугольника. Вверху напишите «Я могу умножить…». Ниже вы будете включать:
Модель площади, иллюстрирующую дроби, которые они умножают
Сама задача умножения (с местом для демонстрации их работы)
Пробел в внизу: «Мой продукт сокращается до… »
После того, как каждый ученик завершит и украсит свой вымпел умножения дроби, приклейте его или скотчем к веревочке! Это активное учебное задание не только поможет научиться умножать дроби, но и придаст вашим ученикам уверенность. Это их работа на стене, задача , которую они решили, и все, ее видят. Это будет выглядеть примерно так:
Хотите научить своих учеников умножать дроби сейчас? Надеемся на это! Умножение дробей может оказаться непростой задачей — выучить и научить .Надеемся, что тщательная разбивка по различным типам дробей, их умножение и увлекательное обучение помогут обогатить опыт преподавания и обучения ваших учеников, соответственно.
Читать далее: Как разделить дроби за 3 простых шага
Умножение смешанных чисел
(«Смешанные дроби» также называются «Смешанными числами»)
Для умножения смешанных дробей:
Пример: Что такое 1
3 8 × 3?
Подумайте о пицце.
1 3 8 — это 1 пицца и 3 восьмых другой пиццы.
Сначала преобразуйте смешанную дробь (1 3 8 ) в неправильную дробь ( 11 8 ):
Разрежьте всю пиццу на восемь частей, а сколько у вас всего восьмых?
1 лот из 8 плюс 3 восьмых = 8 + 3 = 11 восьмых.

Теперь умножьте это на 3:
И, наконец, преобразовать в смешанную дробь (только потому, что исходная дробь была в такой форме):
А вот как это выглядит в одной строке:
1 3 8 × 3 = 11 8 × 3 1 = 33 8 = 4 1 8
Другой пример: Что такое 1
1 2 × 2 1 5 ?
Выполните шаги, указанные выше:
преобразовать в неправильные дроби
Умножение дробей
преобразовать результат обратно в смешанные дроби
Шаг за шагом:
Преобразовать смешанные в неправильные дроби:
1 1 2 = 2 2 + 1 2 = 3 2
2 1 5 = 10 5 + 1 5 = 11 5
Умножение дробей (верхние числа умножаются, нижние числа умножаются):
3 2 × 11 5 = 3 × 11 2 × 5 = 33 10
Преобразовать в смешанное число
33 10 = 3 3 10
Если вы умен, вы можете сделать все в одной строке, например:
1 1 2 × 2 1 5 = 3 2 × 11 5 = 33 10 = 3 3 10
Еще один пример: Что такое 3
1 4 × 3 1 3 ?
Преобразовать смешанные в неправильные дроби:
3 1 4 = 13 4
3 1 3 = 10 3
Умножить
13 4 × 10 3 = 130 12
Преобразовать в смешанное число:
130 12 = 10 10 12
И упростить:
10 10 12 = 10 5 6
Вот он в одной строке:
3 1 4 × 3 1 3 = 13 4 × 10 3 = 130 12 = 10 10 12 = 10 5 6
У этого есть минусы: что такое −1
5 9 × −2 1 7 ?
Преобразовать смешанные в неправильные дроби:
1 5 9 = 9 9 + 5 9 = 14 9
2 1 7 = 14 7 + 1 7 = 15 7
Затем умножьте неправильные дроби (Примечание: отрицательное значение, умноженное на отрицательное, дает положительный результат) :
−14 9 × −15 7 = −14 × −15 9 × 7 = 210 63
Теперь мы можем упростить.Здесь мы используем два шага, сначала на 7 (21 и 63 оба кратны 7), затем снова на 3. Но это можно сделать за один шаг, разделив на 21:
.
210 63 = 30 9 = 10 3
Наконец преобразовать в смешанную дробь (потому что это был стиль вопроса):
10 3 = (9 + 1) 3 = 9 3 + 1 3 = 3 1 3
Разделение на фракции с помощью сагуаро — Национальный парк Сагуаро (U.S. Служба национальных парков)
Уровень оценки:
Средняя школа: с шестого по восьмой класс
Тема:
Математика
Продолжительность урока:
60 минут
Объектив
Цель этого урока — помочь студентам научиться делить дроби с помощью сагуаро.
Фон
Тусон, штат Аризона, является домом для самых больших кактусов в стране. Гигантский сагуаро — универсальный символ американского запада.Эти величественные растения, встречающиеся только в небольшой части Соединенных Штатов, находятся под защитой национального парка Сагуаро, к востоку и западу от современного города Тусон. В Сагуаро у вас есть возможность увидеть эти огромные кактусы, вырисовывающиеся на фоне великолепного заката в пустыне.
Препарат
Познакомьтесь с Saguaros. Уметь кратко рассказать о его жизненном цикле в классе.
Распечатайте рабочий лист сагуаро фракции.
Материалы
Загрузить Рабочий лист Saguaro Fraction
Процедура
# 1: Всем классом посмотрите видео о том, как сагуаро растут в дикой природе.
# 2: Представьте (или повторно представьте) дроби учащимся. Убедитесь, что им удобно преобразовывать смешанное число в неправильную дробь. Помните, что при преобразовании смешанного числа нужно умножить знаменатель на целое число, а затем прибавить произведение к числителю. Запишите сумму над тем же знаменателем.
№ 3: Посмотрите на таблицу роста сагуаро на рабочем листе «Доля сагуаро». Обратите внимание, что значения высоты не являются целыми числами. Это будет хорошее время, чтобы освежить память студентов о преобразовании десятичных чисел в дроби.
# 4: Преобразуйте как класс первый столбец высоты в десятичных дробях в высоту в долях во втором столбце.
# 5: Предложите учащимся самостоятельно преобразовать числа в третьем столбце «Высота в десятичных дробях» в высоту в дробях.
# 6: Вторая часть знакомит студентов с задачами со словом, использующими деление на дроби. Повторите со студентами шаги по дробному делению. Первый шаг — преобразовать смешанные числа в неправильные дроби или выразить целые числа в виде дроби (делимого).Второй шаг — изменить операцию с деления на умножение. Третий шаг — найти величину, обратную второй дроби (делителю). Наконец, студенты могут выполнить операцию: умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Выразите решение в простейшей форме.
# 7: Соберитесь всем классом и проверьте ответы.
Словарь
Сагуаро — гигантский столбчатый (цилиндрический) кактус, произрастающий в пустыне Сонора
Дробь — не целое число, имеет числитель и знаменатель
Рубрика / ключ ответа
Ключ с ответами на дробь Сагуаро
Скачать рубрику / ключ ответа
Контактная информация
Напишите нам об этом плане урока по электронной почте
.

	`1`
`4`	`5`
	`4`
	`1`

Как смешанное число умножить на число

Умножение дробей и смешанных чисел.

Умножение дробей.

Умножение дроби на натуральное число.

Примеры умножения дроби на натуральное число

Умножение обыкновенных дробей.

Примеры умножения обыкновенных дробей

Умножение смешанных чисел.

Примеры умножения смешанных чисел

Смешанные числа (дроби), формулы и онлайн калькуляторы

Умножение и деление смешанных чисел. Дроби. Умножение и деление дробей

Что такое дробь?

Разновидности дробей

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Умножение дробей обыкновенных

Умножение дробей десятичных

Умножение смешанных дробей

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Умножение дробей с разными знаменателями

Как происходит перемножение

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Умножение дроби на число.

Умножение смешанных дробей.

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

правила, примеры, решения Что такое умножение и деление смешанных дробей

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанного числа и натурального числа

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

Умножение дробей | Cubens

Умножение дробей

Умножение дроби на натуральное число

Пример умножения дроби на натуральное число

Умножение дробей с разными знаменателями

Пример умножения дробей с разными знаменателями

Умножение смешанных чисел

Примеры сложения смешанных чисел

Умножение десятичных дробей

Примеры умножения десятичных дробей

Умножение десятичной дроби и натурального числа

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Как умножать дроби на смешанные числа

Преобразовать смешанное в неправильное

Умножение дробей

Упростите ответ

Преобразовать обратно в смешанное число

: смешанные числа и неправильные дроби

Purplemath

MathHelp.com

Преобразовать в неправильную дробь.

Преобразовать в неправильную дробь.

Преобразовать в смешанное число.

Преобразовать в смешанное число.

4.2: Правильные дроби, неправильные дроби и смешанные числа

Положительные правильные дроби

Положительные неправильные фракции

Положительные смешанные числа

Связь положительных неправильных дробей и положительных смешанных чисел

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа

Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби

Упражнения

Упражнения для обзора

правильных дробей | Неправильные дроби

Неправильное дробление на смешанное число

Смешанное число в неправильную дробь

Как умножить дроби: 7 удивительных упражнений, которые стоит попробовать

Читать далее: Как разделить дроби за 3 простых шага

Умножение смешанных чисел

Пример: Что такое 1

Другой пример: Что такое 1

Шаг за шагом: