За­да­ча №2.  Длина пря­мо­уголь­ни­ка  дм, а ши­ри­на  дм. Чему равна пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка?

Рас­смот­рим квад­рат со сто­ро­ной 1 дм.

Раз­де­лим одну сто­ро­ну на 3 оди­на­ко­вые части и возь­мем 2 такие части.

Дру­гую же сто­ро­ну раз­де­лим на 5 оди­на­ко­вых ча­стей и возь­мем 4 такие части. При таком де­ле­нии квад­рат будет со­сто­ять из 15 рав­ных ча­стей, а пря­мо­уголь­ник – из 8. Зна­чит, его пло­щадь    дм2. С дру­гой сто­ро­ны,  пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длины на ши­ри­ну.  По­лу­чим ра­вен­ство: 

Прой­ден­ный путь – это про­из­ве­де­ние ско­ро­сти и вре­ме­ни. Най­дем про­из­ве­де­ние  и.

Пред­ста­вим каж­дое сме­шан­ное число в виде непра­виль­ной дроби. Вы­пол­ним умно­же­ние: най­дем про­из­ве­де­ние чис­ли­те­лей и зна­ме­на­те­лей, по­лу­чен­ную дробь со­кра­тим на 12. В ре­зуль­та­те по­лу­чим . Вы­де­лим целую часть. Итак, ве­ло­си­пе­дист про­едет  км.

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/umnozhenie-i-delenie-obyknovennyh-drobej/umnozhenie-obyknovennyh-drobey?seconds=0&chapter_id=339

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=o92eTsVxdbM

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=ou3YhsAe-LM

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=KeJCpi-clqg

источник презентации — http://prezentacii. com/matematike/5186-umnozhenie-obyknovennyh-drobey. html

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Что такое умножение дроби на целое число?

Умножение дроби на целое число

Мы знаем, что умножение — это повторное сложение. Итак, умножение дроби на целое число эквивалентно сложению дроби целое число раз.

Например:

3 x 14 может отображаться как,

Алгебраически это означает, что 3 x 1 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 = 1 + 1 + 1 4 = 3 4

Рассмотрим произведение 5 x 2 3.

Это эквивалентно сложению 23,5 раза. Поскольку повторное сложение может быть выполнено умножением, это можно сделать, умножив числитель на 5.

То есть 5 x 23 = 5×24 = 103

Другой способ взглянуть на это — рассмотреть целое число 5 как дробь со знаменателем 1. Чтобы умножить две дроби, умножьте числители и знаменатели по отдельности, а затем запишите их произведения как числители и знаменатели соответственно.

5 x 23 = 51 + 23 = 5x21x3 = 103

Так как произведение представляет собой неправильную дробь, преобразуйте ее в смешанное число.Разделите 10 на 3. Частное равно 3, а остаток равен 1.

Таким образом, 103 = 313.

Это можно четко определить в геометрической интерпретации, как показано:

Пример:

Екатерина делает торт, для которого ей нужно использовать три четверти стакана масла. Если она решит испечь три торта, какое количество масла потребуется?

Для трех лепешек количество используемого масла должно быть в 3 раза больше трех четвертей стакана масла.

3 x 34 = 31 x 34 = 3x31x3 = 94

Преобразует неправильную дробь в смешанное число.

9 ÷ 4 = Q 2 R 1

Таким образом, 94 = 21 4

Следовательно, для нового рецепта потребуется 2 с четвертью стакана масла.

Пример: 5 x 62 3

Сначала преобразуем 62 3 в неправильную дробь.

623 = (6×3) +23 = 203

Итак, 5 x 623 = 5 x 203 = 51 x203 = 1003

Теперь преобразуем 1003 в смешанную дробь.

120 ÷ 3 = 33 р 1

Таким образом, 1003 = 3313

Умножение обыкновенных дробей Арифметика

Умножение обыкновенных дробей будет рассмотрено в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это простейший случай, когда вам нужно использовать следующие правила для умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , необходимо:

• умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и записать их произведение в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби, умноженный на знаменатель второй дроби, и их произведение, записанное в знаменателе новой дроби;

Пример.

Перед тем, как умножать числители и знаменатели, проверьте, можно ли уменьшить дробь. Уменьшение дробей при расчетах значительно облегчит ваши расчеты.

Пример.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы умножить дробь на натуральное число, вам нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель дроби оставить неизменным.

Если результатом умножения является неправильная дробь, не забудьте превратить ее в смешанное число, то есть выбрать целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить смешанные числа, вы должны сначала превратить их в неправильные дроби, а затем умножить их в соответствии с правилом умножения обычных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда в расчетах удобнее использовать другой способ умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, знаменатель дроби должен быть разделен на это число, а числитель должен остаться прежним.

Как видно из примера, этот вариант правила удобнее использовать, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Как умножить дроби: 7 удивительных упражнений, которые стоит попробовать

Поздравляем! Вы преуспели в обучении умножению (за шесть простых шагов). Но теперь пора научить ваших учеников умножать дроби. Глубокие вдохи. Учителя и ученики могут утверждать, что эта концепция более устрашающая, чем переход от вычитания и сложения к умножению. К счастью, существуют стратегии, которые должны упростить понимание умножения дробей — и мы собрали их для вас в виде четкого руководства. В этой статье вы найдете: Но сначала быстро напомним.

Что такое умножение? Проще говоря, умножение складывает одно и то же число снова и снова . Хорошие новости для ваших учеников: если они могут складывать, они могут умножать! Вместо того, чтобы писать 1 + 1 + 1 + 1 , есть гораздо более быстрый способ чтобы написать эту сложную задачу: 1 × 4 .Вот несколько примеров: Кредит: Класс мисс Жираф Помимо умножения целых чисел, вы также можете умножать на целые числа, десятичные дроби и, сегодня, дробей .

Определение трех типов дробей Дробь обычно состоит из двух частей:

• Числитель — верхнее число , которое указывает, сколько частей (целого) у вас есть.
• Знаменатель — нижнее число , которое относится к общему количеству частей, составляющих целое.

Кредит: Бретт Берри

1. Правильные дроби У правильной дроби числитель на меньше , чем знаменатель. Например: ½, ⅔, ¾, ⅘, ⅚

2. Неправильные дроби Хотя аналогична по структуре, у неправильной дроби числитель больше, чем знаменатель, на . Примечание . Когда числитель равен знаменателю, это считается «неправильным», потому что вы можете преобразовать его в целое число. То же правило применяется к неправильным дробям, таким как ²⁶⁄₁₃, которые при уменьшении становятся целыми (т.е., два). Например: ³⁄₂, ⁵⁄₃, ⁷⁄₆, ⁄₁₀, ⁸⁄₈

3. Смешанные дроби В отличие от первых двух, смешанная дробь состоит из правильной дроби и целого числа. Пример: 3 ½, 7 ⅔, 2 ¾, 6 ⅘, 1 Хорошо, так что эти странные числа, как-то связанные с пиццей, существуют. Но каковы правила умножения дробей?

Как умножать дроби Хорошие вещи бывают тройками, включая три простых шага, которым должны следовать ваши ученики, когда учатся умножать дроби:

1. Умножение числителей ( верхних числа )
2. Умножение знаменателей ( нижние числа )
3. При необходимости упростите или уменьшите дробь

И прежде чем ваши увлеченные ученики спросят, да — в отличие от сложения дробей, вы можете умножить две дроби с разными знаменателями . Давайте вместе рассмотрим пример!

Модели площадей для дробного умножения Модель площадей, идеально подходящая для учащихся, обучающихся наглядно в вашем классе, эффективно иллюстрирует, как выглядит одна часть, умноженная на другую (или «из»). Как вы можете видеть на иллюстрации ниже, создавая модель площади умножить дробь легко:

1. Нарисуйте дроби, которые вы умножаете, в отдельных прямоугольниках, каждый используя свой цвет
2. Объедините рисунки в один прямоугольник, используя новый цвет для частей, которые перекрывают друг друга
3. Чтобы написать произведение, спросите себе два вопроса:
   • Сколько коробок имеют оба цвета? Это будет ваш числитель
   • Сколько всего ящиков? Это будет ваш знаменатель.

Кредит: Mrs.Коггинс

Броское напоминание О! И если ваши ученики когда-нибудь забудут шаги, просто напомните им спеть эту песню:

Умножение дробей? Это не большая проблема. Сделайте верхний раз верхний поверх нижнего раза нижний. И прежде чем попрощаться, не забудьте упростить!

Умножение дробей на целые числа Кредит: Эрика Нахера Умножение целых чисел и дробей может поставить ваших учеников в тупик.Почему? Потому что кажется, что есть только одна дробь вместо двух, но когда ученики учатся умножать дроби на целые числа, они могут переписывать их как дроби. Вместо 4, например, превратите его в дробь ⁴⁄₁. Теперь умножать проще и понятнее. Например, они могут переписать 2 × ⁵⁄₁₃:

Solve : 2 × ⁄₁₃ Записываем целое число как дробь : ²⁄₁ × ⁵⁄₁₃ Умножение числителей : 2 × 5 = 10 Умножаем знаменатели : 1 × 13 = 13 Новая дробь : ¹⁰⁄₁₃

Примечание : Если учащиеся борются с целыми числами, объясните, что они могут рассматривать целое число как верхнее число, а нижнее число всегда равно единице.

Умножение неправильных дробей Кредит: Miranda Weenusk Вы умножаете неправильные дроби так же, как и правильные. Однако иногда ученики могут получать неправильные дроби. Возьмем для примера эту задачу:

Решить : ⁵⁄₃ × ⁷⁄₆ Умножение числителей : 5 × 7 = 35 Умножить знаменатели : 3 × 6 = 18 Новая дробь : ³⁵⁄₁₈

Если учащиеся знакомы со смешанными дробями, они могут изменить неправильную дробь на смешанную.В данном случае это смешанное число будет 1 ⁄₁₈, но вы можете узнать больше о смешанных числах ниже!

Умножение смешанных дробей Прежде чем научить студентов умножать дроби на смешанные числа, им необходимо знать три шага:

1. Преобразование любых смешанных дробей в неправильные дроби
2. Умножение неправильных дробей
3. Преобразование конечного произведения обратно в смешанное число

Чтобы выполнить первый шаг, научите своих учеников составить смешанное число «MAD» . Кредит: Невероятные факты о зяблике Помните: смешанное число состоит из целого числа и правильной дроби. Чтобы завершить первый шаг и преобразовать смешанную дробь в неправильную, вам необходимо:

• Найти новый числитель — Умножить целое число на знаменатель, затем прибавить к нему исходный числитель.
• Оставить тот же знаменатель — знаменатель не изменится.

Отсюда полезное сокращение:

M в конечном итоге A dd D enominator

Шаг второй, умножьте неправильные дроби, как мы проиллюстрировали перед этим разделом.Шаг третий: преобразуйте неправильную дробь обратно в смешанное число. Вот небольшой стишок, который поможет вашим ученикам запомнить, как это делать:

С неправильной дробью дивизия это акция!

Предоставлено: шоу и рассказ Хизер Давайте воспользуемся примером, изображенным ранее: ⁄₅. Если деление — это действие, то вам нужно разделить числитель (16) на знаменатель (5) и посмотреть, есть ли остаток. Пять переходит в 16 трижды равномерно , в сумме получается 15.Это означает, что целая числовая часть смешанного числа будет три . Но оно не делилось идеально, что вы можете увидеть по остатку от на . Таким образом, дробная часть смешанного числа — это остаток от знаменателя исходной дроби (⅕). Как выглядит смешанная дробь, это 3 ⅕ . Для более наглядного пошагового руководства по умножению смешанных чисел посмотрите это четырехминутное видео из Khan Academy:

И это то, что вам нужно знать при умножении дробей и смешанных чисел.

Две основные ошибки, которые делают ученики при умножении дробей Хотя некоторые ученики быстро усваивают уроки умножения дробей, другие могут столкнуться с трудностями при использовании этих новых концепций. Более ранние учителя улавливают эти заблуждения, тем скорее ученики смогут извлечь уроки и исправить свои ошибки. к практическому руководству What Works Clearinghouse Института педагогических наук «Разработка эффективных инструкций по дробям для от детского сада до 8-го класса» — это одни из наиболее распространенных заблуждений в отношении обучения умножению дробей.

1. Вера в то, что целые числа имеют тот же знаменатель, что и дроби в задаче Группа из восьми экспертов гида признала, что это заблуждение может побудить учащихся взять задачу, такую ​​как 4 — ⅜, и переписать ее как ⁄₈ — ⅜, поскольку неправильный ответ ⅛. При представлении смешанного числа учащиеся с таким неправильным представлением могут добавить целое число в числитель, как в ³¹⁄₃ × ⁶⁄₇ = (³⁄₃ + ⅓) × ⁄₇ = ⁴ ⁄₃ × ⁶⁄₇ = ²⁴⁄₂₁. Помощь учащимся в понимании взаимосвязи между смешанными числами и неправильными дробями, а также в том, как переводить одно в другое, имеет решающее значение для работы с дробями.

Как помочь своим ученикам Избегайте соблазна взорвать базовые уроки. Найдите время, которое нужно вашим ученикам, чтобы помочь им понять взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами и как преобразовать их из одного в другое. Кредит: Однажды в творческом классе

2. Оставить знаменатель неизменным Учащиеся могут совершить ошибку, забыв умножить равные знаменатели. Вероятно, это связано с тем, что вам не нужно касаться равных знаменателей при сложении дробей.Например, они могут увидеть × ⅓ и неправильно ответить вместо ²⁄₉.

Как помочь своим ученикам В практическом руководстве члены экспертной группы предлагают «объяснить концептуальную основу умножения дроби, используя единичные дроби (например, ½ × ½ = половина половины = ¼)». В частности, учителя могут показать что проблема ½ × ½ на самом деле спрашивает, что такое ½ от ½, что подразумевает, что произведение должно быть меньше любой умножаемой дроби. Вербализация этого заблуждения полезна, но визуализация его особенно эффективна.Войдите во фракционную стену ! Дробные стены — отличный способ помочь учащимся увидеть, как в данном случае выглядит абстрактная половина из половины (т. Е. Одна четверть).

Поболтайте со своей суперзвездой @ rudstony4 в эти выходные! Посмотрите вместе на Стену дробей … спросите их о нашей ключевой лексике … НОМЕРАТОР, ЗНАЧИТЕЛЬ, СМЕШАННОЕ ЧИСЛО, ЭКВИВАЛЕНТ … сколько они могут вам объяснить ?! #rudstonmaths pic.twitter.com/V02vgd9SYV

— Класс 4 (@ Rudstony4) 1 февраля 2019 г.

Теперь вы знаете о проблемах многих учеников, когда учились умножать дроби, что дальше? Давайте рассмотрим, как закрепить уроки дроби — и почему рабочие листы могут быть не лучшей стратегией.

Смерть рабочих листов? Доктор Стивен Камарата, специалист по развитию детей и отклонениям в развитии, считает, что естественное любопытство детей сводится на нет. В эссе для журнала Psychology Today он выразил недовольство предположением, что заполнение рабочих листов напрямую связано с улучшением обучения.

Но данные о достижениях в США по сравнению с остальным миром говорят об обратном. По иронии судьбы, по мере того, как все больше и больше листов вводятся в ранние и ранние классы и становятся все более механическими, скучная домашняя работа вынуждает развивающиеся умы, успеваемость учащихся в США продолжает снижаться.

Источник: Источник: NAEP Data Explorer, Национальный центр статистики образования. В отчете исследовательского центра Pew указано снижение и без того мрачных оценок достижений в США. Д-р Камарата подчеркнул:

Только 34% четвероклассников и 27% восьмиклассников были оценены как хорошо владеющие математикой в ​​2011 году, и этот показатель снизился до 33% для четвероклассников и 25% для восьмиклассников в 2015 году (последние данные Невозможно положительно повлиять на эти результаты: в настоящее время более двух третей четвероклассников и трое из четырех восьмиклассников не владеют математикой . Это 38-е место в мире.

Означает ли это, что школы должны обходиться без рабочих листов? Не обязательно. Корреляция — это не причинно-следственная связь. Фактически, многие учителя и ученики добились успеха с рабочими таблицами. Однако преподаватели должны понимать, что образование быстро меняется — от рабочих листов к классным технологиям. Итак, вот несколько творческих способов научить умножению дробей — без рабочих листов!

7 Интересные примеры для обучения студентов умножению дробей

1. Prodigy Prodigy — это бесплатная математическая игра по учебной программе, которую используют более миллиона учителей и 50 миллионов студентов по всему миру.Он предлагает материалы по всем основным математическим темам с 1-го по 8-й класс. Что касается умножения дробей, Prodigy может помочь студентам научиться:

• Умножать дробь на целое число
• Умножать две дроби
• Умножать целое число на пропущенную дробь
• Умножать две дроби с помощью словесных задач
• И многое другое

Тематическое исследование 2018 года показало, что школы, использующие Prodigy, лучше справлялись со стандартизированными тестами, и их результаты улучшились. Игра Prodigy отправит ваших учеников в увлекательное и познавательное путешествие, вдохновленное фэнтези.

2. Переверните дроби Кредит: MathFileFolderGames Для этого задания разделите учащихся на группы по четыре человека. Затем они разделятся на команды по два человека, одна из которых будет игроком А, а другая — игроком Б. Раздайте каждой группе колоду перетасованных карт (тузы = 1, валеты = 10, дамы = 11 и короли = 12). на картинке выше каждый ученик рисует карточку с числителем (над карандашом) и карточку со знаменателем (под карандашом).Оба игрока А перепишут и умножат дроби на бумаге, а затем, если возможно, упростят произведение. После того, как они ответят, игроки Б. сделают то же самое. В зависимости от вашего расписания вы можете назначить всю колоду или дать учащимся таймер, чтобы они выполнили столько, сколько они смогут. Попросите учащихся сдать листы с ответами после задания. отметьте, или ответьте на 10+ вопросов вместе в классе. Примечание : Вы также можете назвать эту игру «Slam-it fractions», заменив карты и карандаши на домино.

3. Умножение дробей BINGO Кредит: jimmiehomeschoolmom Каждый ученик получает заполненную дробью карточку бинго вместе с небольшими листами бумаги (или «фишками бинго») с соответствующими задачами умножения дробей. Когда вы говорите «ИДТИ» , »Они могут начать решать каждую задачу одну за другой, кладя фишку поверх правильной дроби. Вам решать, хотите ли вы, чтобы они завершили линию или всю карточку бинго. Вы также можете выбрать, будут ли ответы на карты бинго упрощенными.Для простоты вы можете дать всем одну и ту же карточку бинго с одинаковыми вопросами. Таким образом, вы сможете потом решать каждую проблему и вместе решать, как их решать. Примечание : Вы можете использовать этот и последующие примеры в качестве формирующих оценок для оценки успеваемости учащихся и раннего выявления неправильных представлений.

4. Задачи со словами

Пятиклассники сегодня очень много размышляли над математикой. ❤️Они работали над концептуальным пониманием умножения дроби на целое число.@svmimac @BuenaVistaWCSD pic.twitter.com/Bg7HapJc82

— Келлианна Боксер (@BVBockser) 25 января 2019 г.

Задачи со словами — прекрасный способ сделать уроки математики актуальными для жизни ваших учеников. Умение умножать дроби может показаться им чуждым, но простая история может полностью изменить их точку зрения. примерно дроби, но математика в целом. Вот пример задачи со словами:

У вас есть ½ пакета чипсов в шкафу, но вы съели ½ из них после обеда. Сколько всего пакета вы съели? (Не сокращайте свой ответ до самых простых слов.)

Конечно, это простой пример. Но секунду назад эта дробь была просто числом выше и ниже короткой линии. Однако теперь эта «повседневная» проблема слов сделала умножение дробей применимым к реальной жизни.

5. Война фракций Предоставлено: Шерри Фишер Это упражнение для двух человек адаптировано из карточной игры «Война». Примечание : Многие учителя отходят от решения задач на основе скорости, потому что это не обязательно демонстрирует понимание учащимися.В вашем классе также могут быть дети, которые нервничают из-за необходимости быстро заниматься математикой и поэтому не успевают. Итак, лучше всего оценить свой класс, прежде чем играть в эту версию. Сидя бок о бок, у каждого ученика будет половина колоды карт фракций (которую вы можете скачать здесь). Положив стопку карт лицом вниз, каждый ученик одновременно вытянет карту . Первый ученик, умноживший на две фракции правильно добавляют эти карты в свою колоду. Учащийся выигрывает, если у него в руке оказывается вся колода карт фракций или у него есть большинство карт по прошествии, например, 20 минут. Более того, быстрое мышление на месте этого упражнения с дробями может помочь улучшить умственные математические навыки ваших учеников. В качестве альтернативы вы можете запустить версию этой игры, позволяющую всем играть против вас. Кому не нравится возможность перехитрить своего учителя !? Разделите класс на пять групп. Вы перейдете в первую группу и встретитесь с одним вопросом, прежде чем переходить ко второй группе и так далее. Помните: цель этой версии не в том, чтобы отвечать перед учениками, а в том, чтобы помочь им развить математические способности.Это позволяет учащимся отвечать коллективно, чтобы не выделять детей, которые могут испытывать трудности с умственной математикой.

6. Пищевые фракции

Удивительно, как дети увлекаются, когда речь идет о ЕДА! Цель: найти любимый рецепт, а затем рассчитать каждый ингредиент для всех 90 пятиклассников! Им это нравится! Подлый способ попрактиковаться в умножении дробей. 😉 @Falcons_BMS #FalconsInFlight pic.twitter.com/M6Rg7zaXXQ

— Эмили Либберт (@EmilyLibbert) 24 января 2019 г.

Дети любят поесть — это не секрет! Так почему бы не включить это в свой план урока? Учительница в твите выше заставила своих детей попрактиковаться в умножении дробей, преобразовывая рецепты вкусной еды.Вы можете попросить каждого ученика выбрать свою любимую еду и умножить ингредиенты, чтобы накормить весь класс. Также может помочь стимул! Например, после того, как все переработали свою любимую еду, выберите безопасную закуску, которая понравится классу. Найдите оригинальный рецепт. Теперь пусть ваши ученики поработают вместе над умножением ингредиентов, и, если они сделают это правильно, весь класс получит домашнюю (или купленную в магазине) выпечку!

7) Вымпел с умноженной дробью Кредит: Математические леса Вырежьте листы бумаги в форме ленты или треугольника для каждого ученика. Вверху напишите «Я могу умножить…» Ниже вы будете включать:

• Модель площади, иллюстрирующую дроби, которые они умножают
• Сама задача умножения (с местом для демонстрации их работы)
• Пробел в внизу с надписью «Мой продукт сокращается до …»

После того, как каждый ученик завершит и украсит свой вымпел умножения дробей, приклейте их или скотчите к веревке! Это активное учебное мероприятие не только поможет научить умножать дроби, но и это придаст вашим ученикам уверенности.Это , их работают на стене, задача , которую они решили, и , которые все видят. Это будет выглядеть примерно так:

Хотите научить своих учеников умножать дроби сейчас? Мы надеемся на это! Умножение дробей может быть сложной задачей — научить и . Надеемся, что тщательное разбиение различных типов дробей, их умножение и увлекательное обучение поможет обогатить вас и ваших учеников. ‘опыт преподавания и обучения, соответственно.

Читайте дальше: Как разделить дроби за 3 простых шага

Тема — умножение и деление смешанных дробей. Деление смешанных чисел. Деление дробей с использованием натурального числа

В этой статье мы проанализируем умножение смешанных чисел . Сначала мы объявим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила в примерах решения. Далее поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа.Наконец, мы узнаем, как умножить смешанное число на обыкновенную дробь.

Навигация по страницам.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого просто переводите смешанные числа в неправильные дроби.

Запишем правило умножения смешанных чисел :

• Во-первых, перемноженные смешанные числа необходимо заменить неправильными дробями;
• Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дроби.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Пример.

Произвести умножение смешанных чисел и.

Решение.

Во-первых, представьте перемноженные смешанные числа в виде неправильных дробей: и. Теперь мы можем заменить умножение смешанных чисел умножением обычных дробей:. Применяя правило умножения дробей, получаем. Получившаяся дробь несократимая (см. Приводимые и несократимые дроби), но она неверна (см. Правильные и неправильные дроби), поэтому для получения окончательного ответа остается выделить из неправильной дроби целую часть :.

Записываем все решение в одну строку :.

Ответ:

.

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение другого примера.

Пример.

Выполните умножение.

Решение.

Веселые числа и равны дробям 13/5 и 10/9 соответственно. Потом . На этом этапе самое время вспомнить об уменьшении дроби: мы заменяем все числа в дроби их разложениями на простые множители и выполняем сокращение тех же множителей.

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа.

Пример.

Умножьте смешанное число и натуральное число 45.

Решение.

Тогда смешанное число равно дроби. Замените числа в полученной дроби на их разложения на простые множители, произведите сокращение, а затем выберите целую часть :.

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно выполнять с помощью распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть.

Пример.

Рассчитайте произведение.

Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

Цель: развить у студентов умение применять правила умножения и деления смешанных дробей;

развитие аналитического мышления студентов, формирование у студентов умения выделять главное и обобщать.

Задания: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

Проверьте навыки применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

правила умножения дроби на натуральное число и наоборот. Проверьте способность переводить неправильную дробь в смешанное число и наоборот.

Вывести новое правило и алгоритм умножения и деления смешанных чисел.

Разработайте новое правило по задачам.

Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей (памятка)

Мета-субъектные и личностные результаты :

Нормативный УУД: постановка целей; план, получение результата

Когнитивный УУД: общеобразовательный, логический, постановка и решение задачи

Коммуникативный УУД: работа в парах

Оборудование: учебник математики 6 класс

Раздаточный материал.

Проектор.

Во время занятий:

I.Проблемная ситуация и обновление знаний

1. Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножения и деления дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как смешать неправильную фракцию и обратно.

3. В конце опроса, самостоятельная работа, включающая примеры умножения и деления обыкновенных дробей и содержащая два примера умножения и деления смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой.Правильные ответы для примирения со студентами отражаются на проекторе.

4. Обсуждение проблемы. Довести до темы урока.

II. Совместное открытие знаний.

1 / Предлагается обсуждение попарно, для озвучивания варианта решения проблемы. Версии написаны на школьной доске. Как узнать, какая версия правильная?

2 / Предложите студентам обратиться к учебнику по соответствующей теме.

3 / Выполните вводное чтение, найдите необходимый абзац и изучите его, чтобы составить алгоритм умножения и деления смешанных дробей.Контроль выполнения задания.

4 / Прослушивание версий составляет основной общий алгоритм. Переверните его на проекторе и раздайте ученикам в виде памятки.

III. Самостоятельное применение знаний

1 / Вернуться к задаче с решением примеров из самостоятельной работы и применением полученного алгоритма для их решения. Проверяйте попарно. Отобразите результаты на проекторе для проверки.

2 / Дайте задание из учебника. Контроль исполнения.

IV. Краткое содержание урока

Начните с проблемы, возникшей в начале урока, обсудите способы ее решения и результат.

Оценка успеваемости студентов.

Домашнее задание.

) и знаменатель знаменателя (получаем знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Прежде чем приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить возможность уменьшения дробей.Если вам удастся уменьшить дробь, то вам будет легче продолжать расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае сложения, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанные):

• переводим смешанные дроби в неправильные дроби;
• умножить числители и знаменатели дробей;
• уменьшить дробь;
• , если вы получили неправильную дробь, конвертируйте неправильную дробь в смешанную.

Примечание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, сначала нужно привести их к виду неправильных дробей, а затем умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Удобнее использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Примечание! Чтобы умножить дробь на натуральное число, необходимо разделить знаменатель дроби на это число, а числитель оставить неизменным.

Из приведенного выше примера ясно, что этот вариант более удобен для использования, когда знаменатель дроби делится на натуральное число.

Многоэтажные фракции.

В средней школе часто встречаются трехэтажные (или более) дроби. Пример:

Чтобы привести такую ​​дробь к обычному виду, используйте деление на 2 балла:

Примечание! При делении на фракции очень важен порядок деления.Будьте осторожны, запутаться легко.

Примечание, например:

При делении единицы на любую дробь получится такая же дробь, только в обратном порядке:

Практические советы по умножению и делению дробей:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность. Все расчеты производите аккуратно и четко, четко и четко. Лучше написать в черновике несколько лишних строк, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными типами дробей — переходите к форме обыкновенных дробей.

3. Уменьшаем все дроби до тех пор, пока уменьшать уже нельзя.

4. Многоэтажные дробные выражения задаются в виде обыкновенных, с делением на 2 балла.

5. Разделите единицу на дробь в уме, просто перевернув дробь.

Далее следуем правилу: умножаем первую дробь на дробь, обратную второй (то есть на обратную дробь, в которой числитель и знаменатель меняются местами).При умножении дробей числитель умножается на числитель, знаменатель — знаменатель.

Рассмотрим примеры деления смешанных чисел.

Деление смешанных чисел мы начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножьте на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, значит надо.

Смешанные числа переводятся в неправильную дробь.Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем на число, обратное второму. Уменьшаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Заменяем смешанные числа на неправильные дроби и делим их. Для этого перепишем первую дробь без изменений и умножим на перевернутую вторую. Уменьшаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В итоге получилась неправильная дробь. Изолируем от него всю деталь.

Как умножить смешанное число на натуральное. Доля. Умножение дробей обыкновенных, десятичных, смешанных

Еще одно действие, которое можно выполнить с обыкновенными дробями, — это умножение. Мы постараемся уточнить его основные правила при решении задач, покажем, как обыкновенная дробь умножается на натуральное число и как правильно выполнять умножение трех обыкновенных дробей и не только.

Сначала подготовим основное правило:

Определение 1.

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то полученная в результате дробь будет равна произведению исходных дробей, а знаменатель будет произведением их знаменателей. В алфавитной форме для двух дробей A / B и C / D это можно выразить как a b · c d = a · c b · d.

Давайте посмотрим на примере, как применить это правило. Предположим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда цифра фигуры составит 1 квадратный метр.Блок. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единице, мы обнаружим, что теперь он состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет составлять 1 32 от площади всей фигуры, то есть 1 32 квадратных метра. единицы измерения.

Имеется раскрашенный фрагмент с партиями, равными 5 8 числовым единицам и 3 4 числовым единицам. Соответственно, чтобы вычислить его площадь, необходимо первую дробь умножить на вторую.Он будет равен 5 8 · 3 4 кв. единицы измерения. Но мы можем просто посчитать, сколько прямоугольников входит в фрагмент: их 15, значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единицы.

Так как 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32, мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Является подтверждением сформулированных нами правил умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d. Действует так же, как правильные и неправильные дроби; С его помощью можно умножать дроби с разными и одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1.

Умножить 7 11 на 9 8.

Решение

Для начала вычисляем произведение числителей дробей, умножая 7 на 9. У нас получилось 63. Затем вычисляем произведение знаменателей и получаем: 11 · 8 = 88. Составим им два числа Ответ : 63 88.

Все решения можно записать как:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Если в ответе у нас нехватка дроби, нужно увеличить расчет до конца и сделать его уменьшение. Если мы ошиблись дробью, необходимо выделить целую часть.

Пример 2.

Вычислить работу дробей 4 15 и 55 6.

Решение

Оспаривая приведенное выше правило, нам нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Решение будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Получена фракция фракции, т.е.е. Имеет знак делимости на 10.

Выполняем нарезку дроби: 220 90 НОД (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. В результате у нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем всю часть и получаем смешанное число: 22 9 = 2 4 9.

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9.

Для удобства мы можем уменьшить начальные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам нужно привести дробь к форме A · C b · d.Разложим значения переменных на простые множители и уменьшим такие же.

Поясним, как это выглядит, используя конкретную задачу.

Пример 3.

Рассчитать работу 4 15 · 55 6.

Решение

Пишем расчеты по правилу умножения. Нас будет:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку оба 4 = 2 · 2, 55 = 5 · 11, 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3, значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3.

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9.

Числовое выражение, в котором происходит умножение обыкновенных дробей, обладает освобождающим свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок множителей множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как умножить обыкновенную дробь на натуральное число

Мы сразу записываем основное правило, а затем пытаемся объяснить его на практике.

Определение 2.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. В этом случае знаменатель конечной дроби будет равен знаменателю исходной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число N можно записать в виде формулы A b · n = a · n b.

Легко понять эту формулу, если вспомнить, что любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу идею на конкретных примерах.

Пример 4.

Рассчитать работу 2 27 до 5.

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель мы получаем 10. В силу упомянутых выше правил мы получим 10 27. Все решения приведены в этом посте:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы получаем натуральное число обычным выстрелом, вам часто приходится уменьшать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5.

Условие: Рассчитать работу с 8 по 5 12.

Решение

По приведенному выше правилу умножаем натуральное число на числитель. В результате получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12. Конечная дробь имеет признаки делимости на 2, поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

NOK (40, 12) = 4, следовательно, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь осталось только выделить всю часть и написать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3.

В этой записи можно увидеть все решение: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Мы могли также уменьшить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя до простых множителей, и результат оказался бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3.

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также имеет свойство движения, то есть расположение множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как произвести умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения этих понятий.

Благодаря знанию комбинирующих и подвижных свойств вы можете умножить три обыкновенные дроби и более. Допускается переставлять множители местами для большего удобства или раскрывать скобки, так будет легче посчитать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6.

Умножение четырех обыкновенных дробей 1 20, 12 5, 3 7 и 5 8.

Решение: Для начала сделайте запись о работе.У нас будет 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8. Нам нужно перемножить друг друга числа и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5. · 7 · 8.

Перед тем, как приступить к умножению, мы можем легко облегчить нашу задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем уменьшить получившуюся готовую фракцию.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 ​​· 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280.

Пример 7.

Умножение 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10.

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать кадр 7 8 с номером 8 и номер 12 с дробью 5 36, так как это будет очевидно в будущих версиях. В результате у нас будет:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Умножить целое число на дробь — несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы наверняка разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь — немного членов

Если вы помните, какой числитель является знаменателем, а какой правильный выстрел из неправильного — пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

В числителе указывается верхняя часть дроби — то, что делится. Знаменатель ниже. Это то, что мы разделяем.
Правильная дробь той, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильно названная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое — числитель умножается на целое, и знаменатель не касается знаменателя.Например: умножьте два на одну пятую — мы получим две пятых. Четыре умножить на три гекса — получится двенадцать шестнадцатое.

Сокращение

Во втором примере полученная дробь может быть уменьшена.
Что это значит? Примечание — и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется — уменьшить дробь. Получаем три четверти.

Неправильные дроби

Но предположим, что мы умножили четыре на два пятнадцать.Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Его необходимо привести в правильный вид. Для этого необходимо выделить его целиком.
Здесь нужно использовать деление по остатку. Получаем единицу и три в остатке.
Одно целое и три пятых, и вот наша правильная дробь.

Привести в правильную форму тридцать пять восьмых — задача немного сложнее. Число, близкое к тридцати семи, деленное на восемь, дает тридцать два.При делении получаем четыре. Берем из тридцати пяти тридцать два — получаем три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А дальше все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. Урок «Сложение и вычитание дробей»). Самым сложным моментом в действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь пора заняться умножением и делением. Хорошая новость в том, что эти операции выполнять даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной части.

Чтобы умножить две дроби, необходимо умножить их числа и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, нужно первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому мы будем рассматривать весь урок преимущественно по умножению.

В результате умножения может возникнуть (и часто действительно бывает) нехватка дроби — ее, конечно, нужно уменьшить. Если после всех разрезов дробь оказалась неверной, ее следует отнести к целой части.Но чего точно не будет при умножении, так это привести к общему знаменателю: никаких методов «кросс-старшего», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дроби на целую часть и отрицательную дробь

Если в махинациях есть целые части, их нужно переводить в неправильные — и только потом умножать по схемам выше.

Если в знаменателе в знаменателе или перед ним стоит минус, он может быть получен путем умножения или полностью удален в соответствии со следующими правилами:

1. Плюс, минус дает минус;
2. Два отрицания дают утвердительный ответ.

До сих пор эти правила выполнялись только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. По работе их можно обобщить, чтобы «сжечь» сразу несколько минусов:

1. Минусы вытягиваю попарно, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае может выжить один минус — тот, кто не нашел пару;
2. Если минусов нет, операция завершена — можно переходить к умножению. Если последний минус не зачеркивается, так как не нашел пары, переносим вне умножения.Получается отрицательная дробь.

Задание. Найдите значение выражения:

Все дроби переводятся в неправильные, а потом выносим минусы вне умножения. Что остается, умножайте по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напоминаю, что минус, стоящий перед дробью с выделенной целой частью, относится ко всей дроби, а не только к ее части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они находятся в скобках. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более точной.

Уменьшение фракций «На лету»

Умножение — очень трудоемкая операция. Числа здесь довольно большие, и для упрощения задачи можно попробовать уменьшить дробь больше до умножения . Ведь по сути, числа и знаменатели дробей являются обычными множителями, и поэтому их можно разрезать, используя основное свойство дроби.Взгляните на примеры:

Задание. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители уменьшились полностью. На их месте мало единиц, о которых, вообще говоря, писать нельзя. Во втором примере добиться полного сокращения не удалось, но общий объем вычислений все же уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте эту технику при сложении и вычитании дробей! Да, иногда встречаются похожие числа, которые хочется сократить. Вот смотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении дроби в числителе появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, нельзя применить главное свойство дроби, потому что в этом свойстве речь идет об умножении чисел.

Других оснований для уменьшения дробей просто нет, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте осторожны.

) И знаменатель на знаменателе (получаем знаменатель работы).

Формула умножения дробей:

Например:

Прежде чем приступить к умножению чисел и знаменателей, необходимо проверить возможность сокращения дроби.Если получится сократить дробь, то вам будет легче проводить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае сложения, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанные):

• превращаем смешанные дроби в неправильные;
• уменьшить числительные и знаменатели дробей;
• уменьшающая фракция;
• , если вы ошиблись дробью, мы преобразуем неправильную дробь в смешанную.

Примечание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, вам нужно для начала привести их в виду неправильные дроби, а затем умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Удобнее использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Примечание! Для умножения дроби на натуральное число знаменатель дроби должен быть разделен на это число, а числитель остается неизменным.

Из приведенного выше примера ясно, что этот вариант более удобен для использования, когда обозначение дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные фракции.

В классах средней школы встречаются трехэтажные (или более) дроби. Пример:

Чтобы довести такую ​​дробь до привычного представления, используйте деление после 2 баллов:

Примечание! При делении на дроби очень важен порядок деления.Будьте осторожны, здесь легко запутаться.

Примечание, например:

При делении единиц на любую дробь результат будет такая же дробь, только в обратном порядке:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность. Все расчеты делайте аккуратно и аккуратно, сосредоточенно и четко. Лучше записать в черновиках несколько лишних строк, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В задачах с разными типами дробей — переходите к видам обычных дробей.

3. Все фракции уменьшаются до невозможности разрезания.

4. Многоэтажные дробные выражения в виде обыкновенных, с делением через 2 точки.

5. Единицу дроби делим в уме, просто переворачивая дробь.

В курсах средней и старшей школы учащиеся сдали тему «Фруи». Однако это понятие намного шире, чем дано в процессе обучения.Сегодня понятие дроби встречается довольно часто, и не каждый может вычислить какое-либо выражение, например, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерения. Как показывает практика, часто встречаются примеры определения длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Изначально студенты знакомятся с таким понятием, как доля. Например, если разделить арбуз на 8 частей, каждая получит каждый восьмой арбуз.Этот один из восьми и называется дробью.

Часть 1/2 от любого значения называется половиной; ⅓ — Третий; ¼ — Квартал. Записи вида 5/8, 4/5, 2/4 называются обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь делится на числитель и знаменатель. Между ними есть признак дроби или дробный признак. Дробный объект можно нарисовать как в виде горизонтальной, так и в виде наклонной линии. В данном случае это означает знак деления.

Знаменатель показывает, насколько одинаковые акции разделены значением; А числитель — сколько взято одинаковых дробей.Числитель пишется над знаком дроби, знаменатель — под ним.

На координатном луче удобнее всего отображать обыкновенные дроби. Если один сегмент разделить на 4 равные доли, обозначить каждую дробь латинской буквы, то в результате можно получить отличный наглядный допуск. Итак, точка A показывает долю, равную 1/4 от всего сегмента единицы, а точка B отмечает 2/8 от этого сегмента.

Разновидности дробей

Плоды бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные.Кроме того, дробь можно разделить на правильную и неправильную. Эта классификация больше подходит для обычных фракций.

Под правильной дробью — число в числителе меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — это число, числитель которого больше знаменателя. Вторая форма обычно записывается в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная.Однако, если вам нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается этого выражения, то они понимают запись, в которой любое число представлено знаменателем дробного выражения которой может быть выражается единицей с несколькими нулями.Если дробь верна, то вся часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, вы должны сначала записать целую часть, отделив ее от дробной запятой, а затем написать дробное выражение. Необходимо помнить, что числитель после точки с запятой должен содержать столько цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представьте дробь 7 21/1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Для записи задания в ответ неправильная дробь некорректно, поэтому ее необходимо перевести в смешанное число:

• разделите числитель на существующий знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное — целое число;
• , а остаток является числителем дробной части, а знаменатель остается неизменным.

Пример . Переведите неправильную дробь в смешанное число: 47/5.

Решение . 47: 5. Неполное частное равно 9, остаток = 2. Итак, 47/5 = 9 2/5.

Иногда необходимо представить смешанное число как неправильную дробь. Затем нужно использовать следующий алгоритм:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение добавляется в числитель;
• результат записывается в числитель, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представьте смешанную форму как неправильную дробь: 9 8/10.

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение обыкновенных дробей

Над обыкновенными дробями можно выполнять различные алгебраические операции. Чтобы умножить два числа, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Более того, умножение дробей с разными знаменателями отличается от произведения дробных чисел с такими же знаменателями.

Бывает, что после нахождения результата нужно уменьшить дробь. В обязательном порядке нужно упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе является ошибкой, но и назвать ее правильным ответом тоже сложно.

Пример . Найдите произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20/18.

Как видно из примера, после нахождения работы получилась сокращенная дробная запись.И числитель, и знаменатель в данном случае делятся на 4, и получается ответ 5/9.

Умножение десятичных дробей

Произведение десятичных дробей по своему принципу сильно отличается от работы обыкновенной. Итак, умножение дробей выглядит следующим образом:

• две десятичные дроби должны быть записаны друг в друга так, чтобы крайние правые числа были друг к другу;
• надо записанные числа умножать, не смотря на запятые, то есть как натуральные;
• вычислить количество цифр после точки с запятой в каждом из чисел;
• в результирующем шаге после умножения результата необходимо подсчитать столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить разделительный знак;
• Если цифр в работе получилось меньше, то перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть эту сумму, поставить запятую и поставить целую часть равной нулю.

Пример . Вычислите работу двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, вам необходимо использовать правило умножения дробей:

• переводит смешанные числа в неправильные дроби;
• найдите произведение цифр;
• найти произведение знаменателей;
• записать полученный результат;
• максимальное упрощение выражения.

Пример . Найдите продукт 41 и 6 2/5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения работы двух дробей, смешанных чисел, существуют задания, где нужно умножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, вам нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые числа оказались одно над другим;
• найти работу, не смотря на запятую;
• в полученном результате можно отделить целую часть дроби с помощью точки с запятой, считая справа то количество символов, которое стоит после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, вы должны найти произведение числителя и натурального множителя. Если ответ представляет собой уменьшенную дробь, его следует преобразовать.

Пример . Рассчитываем работу 5/8 и 12.

Решение . 5/8 * 12 = (5 * 12) / 8 = 60/8 = 30/4 = 15/2 = 7 1/2.

Ответ : 7 1/2.

Как видно из В предыдущем примере необходимо было уменьшить полученный результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения смешанной формы и натурального множителя. Чтобы умножить эти два числа, вы следуете за целой частью смешанного множителя для умножения на число, умножаете числитель на то же значение, а знаменатель оставляете без изменений. При необходимости нужно легко упростить результат.

Пример . Найдите товар 9 5/6 и 9.

Решение . 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Ответ : 88 1/2.

Умножение множителей 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001.

Из предыдущего пункта следует следующее правило. Для умножения десятичной дроби, 10, 100, 1000, 10 000 и т. Д. Нужно сдвинуть запятую вправо на столько знаков числа, сколько нулей в множителе после единицы.

Пример 1. . Найдите продукт 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2. . Найдите товар 3.9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно умножить натуральное число на 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. Д. Следует переместить левую запятую в получившемся продукте на такое количество знаков цифр, сколько нулей до единицы. При необходимости нулей записывают в достаточном количестве натуральным числом.

Пример 1. . Найдите продукт 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2. . Найдите продукт 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, поиск работы различных дробей не должен вызывать затруднений, кроме подсчета результата; В этом случае без калькулятора просто не обойтись.

Умножение — произведение, закон, пример и законы

Умножение часто описывается как повторяющееся сложение . Например, произведение 3 × 4 равно сумме 4 + 4 + 4 трех четверок. Закон, на котором это основано, — это закон распределения: a (b + c) = ab + ac. В этом случае закон применяется к 4 (1 + 1 + 1), что дает 4 (1) + 4 (1) + 4 (1) или 4 + 4 + 4.

Если один или оба множителя не являются натуральными числами , закон все еще применяется, 0.4 (1,2) = 0,4 (1) + 0,4 (0,1) + 0,4 (0,1), но члены суммы не просто «повторяются», и необходимы другие правила, такие как правила размещения десятичной точки.

Конечно, нельзя возвращаться к закону распределения каждый раз, когда он или она вычисляет продукт. Фактически, большая часть времени в младших классах школы посвящена построению таблицы умножения и ее запоминанию для последующего использования. Однако при применении этой таблицы к таким продуктам, как 12 × 23, явно используется закон распределения:

Здесь а равно 12; b равно 20; и c равно 3.

Говоря об умножении, используется несколько терминов. В 6 × 3 все выражение, записывается ли оно как 6 × 3 или как 18, называется произведением. Каждая шестерка и тройка называются множителями, множителями или, иногда, членами. Старые слова «умножаемое» (для 6) и «множитель» (для 3), которые делали различие между числом, которое умножается, и числом, которое производило умножение, вышли из употребления. Теперь «множитель» применяется к любому числу.

Умножение обозначается тремя способами: знаком «×», как в случае 6 × 3; с точкой в ​​центре, как в 6 • 3; и написав числа рядом друг с другом, как в 5x, 6 (3), (6) (3) или (x + y) (x — y).Последний способ обычно предпочтительнее.

Для всех номеров a, b и c
ab — уникальный номер	закон о закрытии
ab = ba	коммутативный закон
а (bc) = (ab) c	ассоциативный закон
а • 1 = а	закон мультипликативной идентичности
Если ab = cb и b ≠	закон об отмене
Из этих законов можно вывести еще три полезных закона:
a • 0 = 0	умножение на нулевое свойство
Если ab = 0, то a = 0, или b = 0, или и то, и другое.	Отсутствие делителей нуля
Факторы в продукте можно комбинировать в любом порядке.	обобщенное коммутативное свойство

Умножение регулируется не только законом распределения, который связывает его со сложением, но и законами, которые применяются только к умножению. Эти законы представлены в таблице выше.

Поскольку арифметика выполняется с натуральными числами, необходимы некоторые дополнительные законы для обработки десятичных дробей, обыкновенных дробей и других чисел, которые не являются натуральными числами:

Десятичные дроби: умножайте десятичные дроби, как если бы они были натуральными числами.Поместите десятичную точку в произведении так, чтобы количество разрядов в произведении было суммой количества разрядов в множителях. Например, 3,07 × 5,2 = 15,964.

Дроби: Числитель произведения является произведением числителей; знаменатель произведения — произведение знаменателей. Например, (3/7) (5/4) = 15/28.

Числа со знаком: умножайте числа, как если бы они не имели знаков. Если один из двух факторов имеет знак минус, поставьте продукт знак минус.Если оба множителя имеют знак минус, напишите продукт без знака минус. Например, (3x) (- 2y) = -6xy; (-5) (- 4) = 20; (-x) ² = x ² ; и (5x) (x) = 5x ² .

Степени одного и того же основания: чтобы умножить две степени одного и того же основания , сложите экспоненты. Например, 10 ² × 10 ³ = 10 ⁵ и x ² × x = x ³ .

Одночлены: чтобы умножить два одночлена, переставьте множители. Например, (3x ² y) (5xyz) = 15x ³ y ² z.

Многочлены : Чтобы умножить два многочлена, умножьте каждый член одного из на каждый член другого, объединяя одинаковые члены. Например, (x + y) (x — y) = x ² — xy + xy — y ² = x ² — y ² .

Умножение — это модель для множества практических ситуаций. В одном у нас есть количество, a, групп по b вещей в каждой группе . Произведение ab представляет собой общее число. Например, семь коробок для яиц содержат всего 7 × 12 яиц. В других ситуациях мы имеем «прямое изменение» или пропорциональность: y = kx. Столько галлонов бензина из расчета на столько галлонов требует умножения, как и вычисление расстояния как , функция из , скорость и время, D = RT.

В отличие от сложения, в котором длина плюс длина равна другой длине, а длина плюс вес, бессмысленна, произведение двух количеств одного и того же типа или разных типов часто имеет смысл и имеет тип, отличный от обоих. Например, произведение двух одномерных мер, таких как длина, становится двумерной мерой, площадью. Умножение силы , такой как сила тяжести, на расстояние дает работу, которая представляет собой изменение количества энергии . Таким образом, хотя умножение тесно связано с вычислительным сложением, в приложении оно учитывает отношения более сложных измерений.

Хотя умножение обычно является операцией между числами, оно также может быть операцией между другими видами математических элементов. Умножение в более широком смысле подчиняется многим законам обычного умножения, но не обязательно всем из них.

Например, в «часовой арифметике» выполняются все основные законы, кроме отмены.В арифметике часов 3 × 4 = 3 × 8, потому что обе оставляют стрелки в одном и том же положении, но, конечно, 4 не равно 8. При умножении матриц коммутативность не выполняется.

Особенно интересным расширением идеи умножения является декартово произведение двух множеств. Если A = {1, 2, 3} и B = {x, y}, то A × B — это множество {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y ), (3, x), (3, y)}, сформированный путем объединения каждого элемента A с каждым элементом B. Поскольку множества иногда используются в качестве основы для арифметики, декартовы произведения образуют важную связь между множествами и обычным умножением. .

Натуральное число: определение и примеры

Определения статистики> Натуральные числа и целые числа

Содержание (Щелкните, чтобы перейти к этому разделу)

1. Натуральное число
2. Целые числа
3. Почему натуральное число — это целое число?
4. Пример целых чисел
5. Закрытые комплекты и целые
6. Свойства целых номеров

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета.Они целые, неотрицательных числа. Мы часто видим их представленными на числовой строке

.

Линия на изображении выше начинается с 1 и увеличивается в значении до 5. Однако числа могут увеличиваться в значении бесконечно (обозначено пунктирной линией на изображении). Таким образом, натуральные числа могут продолжаться до бесконечности.

Набор натуральных чисел обычно обозначается символом ℕ . Например:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Набор натуральных чисел, включающий ноль, известен как целых чисел . Набор целых чисел обычно обозначается W . Например, это набор целых чисел:

Вт = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

Возможно, что сбивает с толку, некоторые авторы не включают ноль в набор целых чисел. В этом случае это то же самое, что и набор натуральных чисел.

Как упоминалось выше, натуральные числа должны быть целыми и положительными. Это имеет смысл по ряду причин, включая тот факт, что они считают числа.Допустим, учитель хочет подсчитать количество учеников в своем классе: она может сосчитать только всех детей.

Мы часто видим в статистике, публикуемой в Интернете, цифры, которые кажутся противоречащими «целостности» людей. Например, «средний размер семьи — 3,1 человека». Должно быть достаточно ясно, что невозможно иметь 0,1 человека, но это число является лишь средним. Среднее количество автомобилей на семью рассчитывается путем сложения общего количества автомобилей и деления на количество домашних хозяйств.После деления мы больше не работаем с натуральными числами. Скорее, у нас остается действительное число, в данном случае дробь.

Сумма или произведение натуральных чисел также являются натуральными числами. Например, 5 + 5 = 10 (все три из которых являются естественными) или 10 · 15 = 150.

Точно так же в физическом мире «натуральных» чисел нет смысла говорить, что у нас есть «что-то отрицательное». Скорее, мы говорим, что у нас есть ноль чего-то там, где его нет.Используя приведенный выше пример с учителем, если у учителя в настоящее время нет учеников в его классе, у него нет учеников; В реальном мире нет смысла иметь отрицательных учеников.

Полный набор целых чисел равен набору из неотрицательных целых чисел. Целые числа похожи на целые числа, за исключением того, что они также могут быть отрицательными или нулевыми. Например: -10, -3, 0, 1 5.
Статья по теме: Целочисленные последовательности (CalculusHowTo.com).

Несколько примеров целых чисел: 3, 15, 998, 2, 232, 589.

Все следующие числа являются , а не целыми числами :

• Десятичные : 0,1, 5,23, 15,999, 1,7 ² .
• Фракции : ½, 1/27, 2 ½, 99/100.
• Отрицательные числа: -10, -99, -521.

В теории множеств целые числа подчиняются нескольким правилам. Набор целых чисел:
Замкнут на сложение и умножение. Возьмите два целых числа a и b. Если вы сложите затем (a + b = c), то «c» также будет целым числом.То же верно и для умножения: a · b = d.

Давайте рассмотрим несколько конкретных примеров с числами вместо переменных:

Набор целых чисел не закрывается для деления и вычитания. Если a — целое число, то существует еще одно целое число b, которое дает нецелочисленное решение. В обозначениях это:

Где «b», «c» и «d» не целые числа.

Примеры :

1. Вычитание:
   6 и 10 — целые числа,
   , но 7-9 = -2, что не является целым числом.
2. Раздел :
   4 и 5 — целые числа, но 4/5 — не целые числа.

• Целые числа коммутативны для сложения и умножения. Вы не можете вычесть два целых числа в любом порядке и получить тот же результат.
  В обозначениях: Для каждого a, b в множестве целых чисел a + b = b + a и a · b = b a.
  Пример : 10 — 1 не то же самое, что 1 — 10.
• Целые числа ассоциативны для сложения и умножения.Порядок добавления не важен (их можно сгруппировать в разном порядке).
  Для любых a, b и c в наборе целых чисел a (b · c) = (a · b) · c и (a + b) + c = a + (b + c).

Как умножить дробь на натуральное число? Чтобы умножить обыкновенную дробь на презентация, доклад, проект

Слайд 1Текст слайда:

Как умножить дробь на натуральное число?

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число.

---

Слайд 2Текст слайда:

Выполните умножение и сократите полученную дробь:

1

3

1

9

1

1

5

---

Слайд 3Текст слайда:

К л а с с н а я р а б о т а.

---

Слайд 4Текст слайда:

№ 364

1) Замените сумму произведением:

а) 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 =

б) 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 + 7,1 =

в) 1 + 1 + … + 1 (n слагаемых) =

г) (– 1) + (– 1) + (– 1) + (– 1) + (– 1) =

д) (– 6) + (– 6) + (– 6) + (– 6) + (– 6) + (– 6) +
+ (– 6) =

е) (– 1) + (– 1) + … + (– 1) (n слагаемых) =

15 · 7

= 7,1 · 9

1 · n

(– 1) · 5

(– 6) · 7

(– 1) · n

---

Слайд 5Текст слайда:

№ 364

2) Представьте произведение в виде суммы:

а) (– 1) · 3 =

(– 1) + (– 1) + (– 1)

б) (– 1) · 5 =

(– 1) + (– 1) + (– 1) + (– 1) + (– 1)

в) (– 1) · 7 =

(– 1) + (– 1) + (– 1) + (– 1) + (– 1) +
+ (– 1) + (– 1)

г) (– 1) · n =

(– 1) + (– 1) + … + (– 1) (n слагаемых)

3) Вычислите, используя результаты предыдущего задания:

а) (– 1) · 3 =

б) (– 1) · 5 =

в) (– 1) · 7 =

– 3

– 5

– 7

---

Слайд 6Текст слайда:

№ 364

В каждом случае сравните результат умноже-ния со вторым множителем. Что вы заметили?

а) (– 1) · 3 =

б) (– 1) · 5 =

в) (– 1) · 7 =

– 3

– 5

– 7

Упростите выражение (– 1) · n (n – натуральное чис-ло).

(– 1) · n = – n

4) Каким по вашему мнению, должно быть значение таких выражений:

а) 3 · (– 1) =

б) 5 · (– 1) =

в) 7 · (– 1) =

– 3

– 5

– 7

Почему?

n · (– 1) = – n

---

Слайд 7Текст слайда:

№ 364

5) Упростите выражения:

1 · а =

(– 1) · а =

а · 1 =

а · (– 1) =

а

а

– а

– а

Знали раньше:

1 · а = а · 1 = а

При умножении числа на 1 получаем то же число.

Узнали сейчас:

(– 1) · а = а · (– 1) = – а

При умножении числа на (– 1) получаем число, ему противоположное.

---

Слайд 8Текст слайда:

9,2

Вычислите

Проверьте себя

15 · (–1) =

1)

–15

–24 · (–1) =

2)

24

(–1) · 3,4 =

3)

–3,4

–35 · (–1) =

5)

35

82 · (–1) =

6)

–82

(–1) · (–1) =

7)

1

0 · (–1) =

8)

0

4)

(–1) · (–9,2) =

---

Слайд 9Текст слайда:

№ 367

Подумайте, как найти значение следующих выражений:

(– 3) · 1,5 =

(– 1) · 3 · 1,5 =

(– 1) · 4,5 =

– 4,5

17 · (– 0,4) =

17 · (– 1) · 0,4 =

(– 1) · 17 · 0,4 =

= (– 1) · 6,8 =

– 6,8

(– 3) · 1,5 = – 4,5

17 · (– 0,4) = – 6,8

Сравните равенства. Какую закономерность вы увидели?

Проанализируйте полученные результаты и постарайтесь сформулировать правило умно-жения чисел с разными знаками.

---

Слайд 10Текст слайда:

При умножении двух чисел с разными знаками в результате получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.

---

Слайд 11Текст слайда:

№ 369

Подумайте, как найти значение следующих выражений:

(– 3) · (– 1,5) =

(– 1) · 3 · (– 1,5) =

(– 1) · (– 4,5) =

= – (– 4,5) =

4,5

(– 17) · (– 0,4) =

(– 1) · 17 · (– 0,4) =

(– 1) · (– 6,8) =

= – (– 6,8) =

6,8

(– 3) · (– 1,5) = 4,5

(– 17) · (– 0,4) = 6,8

Сравните равенства. Какую закономерность вы увидели?

Проанализируйте полученные результаты и постарайтесь сформулировать правило умно-жения чисел с одинаковыми знаками.

---

Слайд 12Текст слайда:

При умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.

---

Слайд 13Текст слайда:

ИТОГИ

Мнемоническое правило:

Друг моего друга – мой друг

Друг моего врага – мой враг

Враг моего друга – мой враг

Враг моего врага – мой друг

---

Слайд 14Текст слайда:

Определите знак выражения

15 · (–15) · (+15)· (–15)

1)

+

–38 · (–5) · (+7) · (+9) · (–11)

2)

–

(–21) · 3,4 ·(–4,5) · (+54) · (– 76)

3)

–

–35 · (+1) ·(–2) · 3 · (–4) · (–(–25))

5)

–

–(–65) · (–(+1)) · (+(–7)) · (–(–1))

6)

+

–(–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1)

7)

–

0 · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1)

8)

Ни плюс, ни минус

4)

+

(–1) · (–1) · (–6) · (–7) · (–8) · (–9)

0 – ни положительное, ни отрицательное число

---

Слайд 15Текст слайда:

Дома:

У: № 366; 372; 373;
397(а)

---

Слайд 16Текст слайда:

Самостоятельная работа

стр. 47
С – 12.1

---

Слайд 17Текст слайда:

12.1

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

---

Слайд 18Текст слайда:

Вычислите:

–84

а) (–12) · 7 =

85

б) (–3,4) · (–25) =

---

Слайд 19Текст слайда:

Угадайте корень уравнения и сделайте проверку:

а) 7 · x = 56;

x = 8;

7 · 8 =

56.

б) (–3) · x = 48;

x = –16;

(–3) · (–16) =

48.

в) (–9) · x = –450;

x = 50;

(–9) · 50 =

–450.

г) 8 · x = –1600.

x = –200;

8 · (–200) =

–1600.

---

Слайд 20Текст слайда:

Какой знак будет иметь произведение восьми множителей, если 3 из них отрицательны, а остальные – положительные?

Произведение будет отрицательным.

---

Слайд 21Текст слайда:

Вычислите:

–104

а) (–13) · 8 =

б) (–4,2) · (–25) =

105

---

Слайд 22Текст слайда:

Угадайте корень уравнения и сделайте проверку:

а) 8 · x = 72;

x = 9

8 · 9 =

72

б) (–4) · x = 64;

x = –16

(–4) · (–16) =

64

в) (–7) · x = –560;

x = 80

(–7) · 80 =

–560

г) 9 · x = –2700.

x = –300

9 · (–300) =

–2700

---

Слайд 23Текст слайда:

Какой знак будет иметь произведение шести множителей, если 3 из них отрицательны, а остальные – положительные?

Произведение будет отрицательным.

---

Скачать презентацию

Умножение обыкновенных дробей и смешанных чисел — Республикалық білім порталы

Раздел долгосрочного плана: 5. 2A Действия над обыкновенными дробями				Школа: Кыргызсайская средняя школа
Дата:			ФИО учителя: Гульярова Ширингуль Полатовна
Класс: 5 класс			Количество присутствующих: 12			отсутствующих:
Тема урока			Умножение обыкновенных дробей и смешанных чисел
Цели обучения, которые достигаются на данном  уроке (ссылка на учебную программу)			5.1.2.21 выполнять умножение обыкновенных дробей, смешанных чисел; 5.1.1.12 знать определение взаимно обратных чисел; 5.1.2.22 находить число, обратное заданному числу
Цели урока			Все: формулируют правила умножения обыкновенных дробей и смешанных чисел Большинство: находят произведение дробных чисел Некоторые: использует полученные знания в нестандартных обстоятельствах
Критерии оценивания			Умеют выполнять умножение дробей; умножение дроби на натуральное число, умножение смешанных чисел; Знают понятия взаимно обратных чисел
Языковые цели			Учащиеся будут: − объясняют решение заданий с помощью соответствующей терминологии Предметная лексика и терминология: числитель, знаменатель, произведение, сумма Серия полезных фраз для диалога/письма Чтобы умножить обыкновенную дробь на дробь…. Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число …. Чтобы умножить смешанные числа…
Навыки использования  ИКТ			Интерактивная доска
Привитие ценностей			1)      Привитие ценности «Казахстанский патриотизм и гражданская ответственность» осуществляется через решение задачи, в которойучтен казахстанский контекст. Воспитание толерантности, чувства взаимопомощи, сотрудничества в парах  и группе. Формирование и поддержание доверительных межличностных отношений, взаимного уважения, взаимной ответственности.
Предварительные знания			Учащиеся могут использовать правила умножение дроби. Знают переводить смешанные числа на неправильную дробь
Ход урока
Запланированные этапы урока		Запланированные этапы урока						Ресурсы
Начало урока 1 мин         1 мин       3 мин	Приветствие учащихся. Создание благоприятного психологического климата: ·         Учащиеся образуют концентрических 2 круга, образовавшиеся пары методом «Добро в ладошках» соединяют ладоши (как в игре «Колечко-колечко»), «собрав» в них своё добро и «передают» его друг другу. Учащиеся с помощью карточек делятся на 3 группы: 1. Правильные дроби 2 . Неправильные дроби 3. Смешанные числа Проверка домашнего задания. (П)Метод «+ и — » Ученики обмениваются тетрадями с соседом по парте и проверяют домашнее задание друг у друга. На интерактивной доске есть готовые ответы . Форма оценивания: взаимоценивание «-», «+» Обратная связь:  Производится в виде похвалы или совета учителем							Карточки
Середина урока 7 мин                               6 мин                               11 мин                                                                                     1 мин	(Г) Для актуализации ранее полученных знаний,используем   прием «Корзина  идей. .»  для развития устной математической речи. 3 группам из корзины выдаются в конвертах задания: 1 группе: сформулировать правило умножения обыкновенных дробей 2 группе: сформулировать правило умножения обыкновенных дробей на натуральное число 3 группе:сформулировать правило умножения смешанных чисел Дескриптор: — знает правила умножения обыкновенных дробей — знает правила умножения обыкновенных дробей на натуральное число — знает правила умножения смешанных чисел ФО: группы оценивают друг друга с методом «Светофор» Уровень мыслительных навыков: знание и понимание   (И) Метод «АВС» 1 задания группы А   Дескриптор 1) Сокращают дроби. 1 2 ) Выполняют умножение на натуральное число 1 3) Выполняют умножение дробей. 1 4) Представляют в виде неправильной дроби 1   2 задания группы А 1.      Сократите дробь: 1)      2)     3) 2.      4) 3.      Вычисли:  а) , б) , в)  , Г) , Дескрипторы Обучающие 1.      Правильно сокращает дроби 2 2.      Выполняет умножение дробей 1 3.      Записывает правильный  ответ 1   Задания группы В 1.      1. Найдите площадь куска ткани прямоугольной формы шириной   м и длиной 7 м. 1.      2. У мамы 5 000 тенге. Она взяла     этой суммы, чтобы оплатить коммунальные услуги. Сколько денег взяла мама? Дескриптор: составляет числовое выражения по условию задач; 2 выполняет действия с дробями 1 находит ответ к каждой задаче. 1   Задания группы С Найдите площадь фигуры: Дескриптор: сложную фигуру делит на простые 2 выполняют соответствующее вычисления 2 находит площадь каждой фигуры 2 записывает ответ 2   Учитель проверяет работу учеников, выполнивших все задания группы А, В, С, далее эти ученики берутся в качестве помощников учителя и проверяют работы остальных учеников ФО: Производится в виде похвалы и совета учителем Уровень мыслительных навыков: знание,понимание и применение   Физминутка Метод  «Кто быстрее?», учащиеся поднимает сигнальный флажок и отвечают 1.Половина – треть числа. Какое это число? ( 2. Какой знак нужно поставить между числами 1 и 5, чтобы оно было больше 0 и меньше1? (дробную черту) 3.Можно ли четырьмя двойками выразить число 111?() 4. У отца шесть сыновей. Каждый сын имеет сестру. Сколько всего детей у этого отца?  (7 детей) ФО: Аплодисменты							Раздаточный материал
Конец Урока 7 мин	(П)Стратегия « Найди ошибку» Найдите ошибки и объясните,  почему они были допущены: 1. 2. 3. Дескриптор: Обучающие: Находит ошибку и Правильно выполняет умножение 2 Объясняет этапы решения примеров 2   ФО: Пары оценивают друг друга методом «Большой палец» Уровень мыслительных навыков: знание,понимание и применение							слайд
Рефлексия 2 мин	Лист оценивание ФИО Метод АВС Найди ошибку Общий балл А1 А2 В С                 0-5- надо стараться 6-12- ты можешь лучше… 13-18- хорошо 19-24 отлично Рефлексия:							Стикеры
Домашнее задание 1 мин	№ 530,531 стр 131-132							Учебник 5 класса
Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?					Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?		Здоровье и соблюдение техники безопасности
Индивидуальная поддержка учащихся имеющих проблемы при понимании нового материала.					Самопроверка, взаимопроверка по критериям оценивания, проверка учителем, выраженная в виде одобрения, похвалы или совета 0-5- надо стараться 6-12- ты можешь лучше… 13-18- хорошо 19-24 отлично		Все задания подобраны с учетом возрастных особенностей учащихся
Рефлексия по уроку Были ли цели урока/цели обучения реалистичными? Все ли учащиеся достигли ЦО? Если нет, то почему? Правильно ли проведена дифференциация на уроке? Выдержаны ли были временные этапы урока? Какие отступления были от плана урока и почему?					Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
Общая оценка   Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)? 1:Создание коллаборативной среды 2: Работы в группе Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)? 1: Представление информации для задачи в виде рисунков или видеофрагментов Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

методика и ее реализация, примеры решения задач

Математика

12. 11.21

13 мин.

Расчеты выполняются не только с натуральными целыми числами, но и с дробными. На уроках математики в 6 классе примеры умножения обыкновенных дробей изучаются более подробно. Для правильного вычисления необходимо применить определенную методику, которую разработали специалисты для этой цели. Они рекомендуют сначала приобрести базовые знания, а затем перейти к их практической реализации.

Оглавление:

• Общие сведения
• Виды обыкновенных дробей
• Работа со смешанными числами
• Правила сокращения
• Алгоритм умножения

Общие сведения

Процесс нахождения произведения двух обыкновенных дробных тождеств очень прост. Однако существуют «подводные камни», которые могут вызвать много ошибок. Чтобы этого не случилось, необходимо руководствоваться специальным алгоритмом, который предлагают ведущие преподаватели-специалисты.

Обыкновенная дробь имеет два компонента — числитель и знаменатель. Первый находится вверху и называется делимым, а второй — внизу. Последний называется делителем. Следует отметить, что дробный вид — представление частного, т. е. результата операции деления. Эта форма записи применяется для читабельной формы, поскольку иногда одно число не делится на другое.

Например, при делении 2 на 3 образуется десятичная бесконечная периодическая дробь. Ее можно записать в таком виде: 0,(6). Скобки означают, что число 6 повторяется бесконечное количество раз, так обозначается периодичность.

Однако бывают случаи, когда образуется десятичная непериодическая величина, а ее каким-то образом нужно записать с точностью до десятитысячной доли. Эта операция невозможна, поскольку после целой части будут следовать 10000 разрядов. Вот для ее записи и необходимо применять обыкновенную дробь.

Следует отметить, что умножать бесконечные непериодические дроби также проблематично. Их нужно преобразовать в обыкновенные величины, а далее применить соответствующий алгоритм. Чтобы воспользоваться методикой, требуется получить базовые знания. К ним относятся следующие:

1. Классификация обыкновенных дробных чисел.
2. Работа со смешанными дробями обыкновенного типа.
3. Сокращение.

Следует отметить, что каждый компонент необходимо подробно разобрать, поскольку от качественного изучения материала зависит скорость обучения. Если ученик не понял различия между правильной и неправильной дробями, то не имеет смысла переходить ко второму пункту. Это вызовет путаницу, а драгоценное время будет потрачено впустую.

Виды обыкновенных дробей

Классификация дробных выражений позволяет понять основные их свойства, методы конвертации и основные различия между собой. Они бывают трех типов: правильными, неправильными и смешанными. Для удобства необходимо записать дробь в математическом представлении «p/t», где р — числитель, а t — знаменатель.

Правильной дробью называется выражение, в котором числитель меньше знаменателя, т. е. выполняется условие p<t. Если величина «t» превышает «р», то дробное тождество является неправильным.

Однако при расчетах можно в учебниках (например, Виленкина Н. Я.) увидеть смешанное представление. Например, 6[2/3]. Последнее состоит из целой и дробной частей, причем последняя представлена в виде обыкновенного дробного значения. Эта форма записи применяется для конечного отображения результата, полученного при расчетах.

Математики рекомендуют всегда преобразовывать ответ в читабельный вид, чтобы им в дальнейшем могли воспользоваться другие люди. Далее требуется подробно разобрать работу со смешанными числовыми представлениями, поскольку в этом случае умножать обыкновенные дроби проблематично. Отсутствие конвертации может привести к возникновению множества ошибок при вычислениях.

Работа со смешанными числами

Для работы со смешанными числами также существует определенный алгоритм. Он имеет два направления: прямое и обратное преобразование. В первом случае выполняется конвертация смешанного дробного тождества в неправильную дробь обыкновенного типа. Он имеет следующий вид:

1. Написать величину: M[p/t].
2. Рассчитать значение числителя «Р» по такой формуле: Р=Мt+p.
3. Записать неправильную дробь: Р/t.

Следует отметить, что алгоритм преобразования неправильной обыкновенной величины выполняется строго в обратном порядке. Методика выглядит следующим образом:

1. Записать неправильное тождество обыкновенного дробного вида: Р/t.
2. Выделить целочисленную константу, разделив числитель на знаменатель: Р/t=M.
3. Вычислить новый числитель, который должен быть меньше знаменателя: р=Р-М*t.
4. Записать искомое значение: М[p/t].

Следует отметить, что при последнем действии дробную часть рекомендуется сократить. Эту операцию требуется делать постоянно, чтобы оптимизировать дальнейшие расчеты. Далее необходимо разобраться с методикой сокращения числителя и знаменателя.

Правила сокращения

Сокращение числителя и знаменателя необходимы для уменьшения объема вычислений. Например, требуется выполнить операцию умножения для двух дробных значений 44/55 и 90/100. Если оставить выражения в таком виде, то для вычисления произведения нужно оперировать с большими числами, а это очень неудобно. Следовательно, дроби нужно сократить. Для этой цели используется специальная методика. Она имеет такой вид:

1. Записать дробную величину.
2. Найти общий множитель для числителя и знаменателя.
3. Вынести величину, полученную в первом пункте.
4. Сократить дробь, записав результат.

Однако алгоритм нужно отработать на практике. Его реализация имеет такой вид:

1. 44/55 и 90/100.
2. 11 и 10 — общие множители для двух значений дробного вида.
3. (11*4)/(11*5) и (10*9)/(10*10).
4. 4/5 и 9/10.

Следует отметить, что выполнять любые арифметические операции с дробями обыкновенного вида, полученными на четвертом шаге алгоритма, удобнее, чем с их первоначальными значениями. На основании этого можно сделать вывод о том, что сокращение — вынужденная мера, используемая во всем мире для оптимизации вычислений. Далее можно переходить к самой методике умножения дробей в 6 классе.

Алгоритм умножения

Методика умножения дробных обыкновенных значений довольно проста. Однако в математике бывает всего три случая, которые на уроках не всегда поддаются объяснению (очень часто преподаватели не обращают на них внимания учеников):

1. Одинаковые знаменатели.
2. Равные между собой числители, но разные знаменатели.
3. Каждый элемент равен однотипному компоненту, т. е. числитель первой дроби эквивалентен числителю второй, а знаменатели также равны между собой.

На самом деле умножение простых дробей с разными знаменателями является одной и той же операцией, т. е. поиск решения осуществляется по одному принципу. Чтобы его объяснить, нужно разобрать методику выполнения. Она имеет следующий вид:

1. Записать две дроби.
2. Конвертировать смешанные числа в неправильные дробные числа.
3. Привести их к нормальному виду при помощи операции сокращения.
4. Сократить числитель и знаменатель одной величины на элементы неправильной дроби другого значения.
5. Перемножить числители и знаменатели.
6. Записать искомый результат, сокращая его при необходимости и переводя в правильную дробь.

Для понимания алгоритма нужно научиться решать задачи на умножение дробей с разными знаменателями для 6 класса. Например, необходимо перемножить 6[4/8] и 3[20/35]. Их произведение находится по следующей методике:

1. 6[4/8] и 3[20/35].
2. Конвертацию нужно выполнять только после приведения дробных величин к оптимальному виду: 6[4/8]=6[½] и 3[20/35]=3[4/7].
3. Перевод в неправильные дробные тождества: 13/2 и 25/7.
4. Сокращение между величинами невозможно, поскольку 25 не делится нацело на 2, а 13 на 7.
5. Перемножение: (13*25)/(2*7)=325/14.
6. Для сокращения нужно найти общий множитель для чисел 325 и 14 (минус — не делится, а плюс — делится): 2 (-), 3 (-), 4 (-), 5 (-), 6 (-), 7 (-), 8 (-), 9 (-). Невозможно сократить дробное выражение.
7. Запись в смешанной форме, руководствуясь методикой конвертации неправильного дробного значения в смешанное число: 23[(325−23*14)/14]=23[3/14].

Следует отметить, что каждый шаг методики необходимо оптимизировать. Для этого необходимо избавляться от лишних вычислений, постоянно сокращая дробные величины. Однако некоторые могут не понять, как влияет методика умножения на результат. Для этого нужно решить пример другим методом:

1. Для удобства сократить величины дробного вида: 6[½] и 3[4/7].
2. Перемножить целые и дробные части: 18[4/14].
3. Сократить: 18[2/7].

Следует отметить, что результаты не совпадают, поскольку последний способ является неверным. На основании этого можно сделать вывод о том, что требуется решать задачи по методике. Если не следовать правилам, то могут появиться ошибки при расчетах.

Таким образом, для выполнения операции произведения двух обыкновенных дробей необходимо использовать определенный алгоритм, а также уметь сокращать дробные величины и преобразовывать смешанные числа.

Формулы умножения и деления дробей. Правила умножения дробей на число

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

• разделить числитель на имеющийся знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное — целое;
• и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение прибавляется к числителю;
• результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

• две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
• нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
• подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
• в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
• если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

• перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
• найти произведение числителей;
• найти произведение знаменателей;
• записать получившийся результат;
• максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
• найти произведение, несмотря на запятую;
• в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

• числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Действия с дробями

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

• Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
• Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

3. Найти НОК знаменателей дробей;
4. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
5. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
6. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
7. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

8. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
9. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;

Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД — это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

А НОК — это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

НОД (20 и 30) = 10

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

Получили красивый ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

НОД для (105 и 150) равен 15

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Умножение смешанных чисел

(«Смешанные дроби» также называются «смешанными числами»)

Чтобы умножить смешанные дроби:

• преобразовать в неправильные дроби
• Умножение дробей
• преобразовать результат обратно в смешанные дроби

Пример: Что такое 1

3 8 × 3?

Подумайте о пицце.

1 3 8 это 1 пицца и 3 восьмых части другой пиццы.

Сначала преобразуем смешанную дробь (1 3 8 ) в неправильную дробь ( 11 8 ):

7

Разрежьте всю пиццу на восемь частей и сколько всего у вас будет восьмерок? 1 партия из 8 плюс 3 восьмых = 8+3 = 11 восьмых.

Теперь умножьте это на 3:

У вас 33 восьмых.

 

1 3 8 × 3 = 11 8 × 3 1 = 33 8

И, наконец, преобразовать в смешанную дробь (только потому, что исходная дробь была в таком виде):

33 восьмых — это 4 целых пиццы (4×8=32) и 1 восьмая осталась.

And this is what it looks like in one line:

1 3 8 × 3 = 11 8 × 3 1 = 33 8 = 4 1 8

Другой пример: Что такое 1

1 2 × 2 1 5 ?

Выполните действия, описанные выше:

1. преобразовать в неправильные дроби
2. Умножение дробей
3. преобразовать результат обратно в смешанные дроби

Step, by step it is:

Convert Mixed to Improper Fractions:

1 1 2 = 2 2 + 1 2 = 3 2

2 1 5 = 10 5 + 1 5 = 11 5

11 5

0006 Умножьте дроби (умножьте верхние числа, умножьте нижние числа):

3 2 × 11 5 = 3 × 11 2 × 5 = 33 10

Конвертировать в смешанный номер

33 10 = 3 3 10

Если вы можете сделать все. 1 1 2 × 2 1 5 = 3 2 × 11 5 = 33 10 = 3 3 10

ОТДЕЛА. Что такое 3

1 4 × 3 1 3 ?

Преобразовать смешанные в ненадлежащую фракции:

3 1 4 = 13 4

3 1 3 = 10 3 = 10 3

= 10 3 9 = 10 3

= 10 = 10 .0006 Умножение

13 4 × 10 3 = 130 12

.

и упрощение:

10 10 12 = 10 5 6

Вот в одной линии:

3 1 4 202019. 3

7 4 202019. 3

7 4 2019. 3

7 1 4 2019. 3

7 4

. 3

7 4 . 3

7 4

---

20019 3 = 13 4 × 10 3 = 130 12 = 10 10 12 = 10 5 6

This One Has Negatives: What равно −1

5 9 × −2 1 7 ?

Преобразовать смешанные дроби в неправильные:

1 5 9 = 9 9 + 5 9 18 907 190 0019 9
2 1 7 = 14 7 + 1 7 = 15 7

. :

−14 × −15 7 = −14 × -15 9 × 7 = 210 63 9003

. Здесь мы используем два шага, сначала по 7 (21 и 63 оба кратны 7), затем снова по 3. Но это можно было бы сделать за один шаг, разделив на 21:

210 63 = 30 9 = 10 3

Finally convert to a Mixed Fraction (because that was the style of the question):

10 3 = (9 + 1) 3 = 9 3 + 1 3 = 3 1 3

Дидизионные фракции

00.

6i9DOPwHZWw

Переверните вторую дробь вверх ногами и умножьте.

Есть 3 простых шага для деления дробей:

Шаг 1. Переверните вторую дробь (ту, на которую вы хотите разделить) вверх ногами (теперь это обратная дробь). Шаг 2. Умножьте первую дробь на обратную Шаг 3. Упростите дробь (при необходимости)

Пример:

1 2 ÷ 1 6

Шаг 1. Переверните вторую дробь вверх ногами (она станет обратной ):

1 6 становится 6 1

Шаг 2. Умножить первую дробь на обратную :

(умножить вершины …)

1 2 × 6 1 знак равно 1 × 6 2 × 1 знак равно 6 2

(. .. умножить основания)

 

Шаг 3. Упростите дробь:

6 2 =  3

С ручкой и бумагой

А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):

Чтобы помочь вам запомнить:

♫ «Делить дроби проще простого,
Переверните вторую дробь, затем умножьте.
И не забудь упростить,
Пока не пришло время прощаться» ♫

Другой способ запомнить: «оставь меня, измени меня, переверни меня»

 

Сколько?

20 разделить на 5 спрашивает «сколько 5 в 20?» (=4) и так:

 

1 2 ÷ 1 6 действительно спрашивает:

сколько 1 6 с в 1 2 ?

 

Теперь посмотрите на пиццу ниже… сколько «1/6 кусочков» помещается в «1/2 кусочка»?

Сколько

в

?

Ответ: 3

 

Итак, теперь вы понимаете, почему 1 2 ÷ 1 6 = 3

 

Другими словами: «У меня есть половина пиццы, если я разделю ее на одну шестую часть, сколько получится частей?»

 

Другой пример:

1 8 ÷ 1 4

Шаг 1. Переверните вторую дробь вверх ногами ( взаимный ):

1 4 становится 4 1

Шаг 2. Умножьте первую дробь на обратную :

1 8 × 4 1 знак равно 1 × 4 8 × 1 знак равно 4 8

Шаг 3. Упростите дробь:

4 8 знак равно 1 2

Дроби и целые числа

Как насчет деления дробей на и целых чисел?

Превратите целое число в дробь, положив его на 1.

Пример: 5 тоже 5 1

Дальше продолжайте как раньше.

Пример:

2 3 ÷  5

Превратить 5 в 5 1 :

2 3 ÷ 5 1

Продолжайте, как раньше.

Шаг 1. Переверните вторую дробь вверх ногами (обратное число ):

5 1 становится 1 5

Шаг 2. Умножьте первую дробь на обратную :

2 3 × 1 5 знак равно 2 × 1 3 × 5 знак равно 2 15

Шаг 3. Упростите дробь:

Дробь уже настолько проста, насколько это возможно.

Ответ = 2 15

Пример:

3  ÷ 1 4

Превратите 3 в 3 1 :

3 1 ÷ 1 4

Продолжайте, как раньше.

Шаг 1. Переверните вторую дробь вверх ногами (обратное число ):

1 4 становится 4 1

Шаг 2. Умножьте первую дробь на обратную :

3 1 × 4 1 знак равно 3 × 4 1 × 1 знак равно 12 1

Шаг 3. Упростите дробь:

12 1 = 12

И помните…

Вы можете переписать вопрос типа «20 разделить на 5» в «сколько 5 в 20»

Таким образом, вы также можете переписать «3 разделить на ¼» в «как много ¼ с в 3 дюймах (=12)

 

Зачем переворачивать дробь вверх ногами?

Потому что деление противоположно умножению!

 

Дробь говорит:
умножить на верхнее число разделить на нижнее число

Но для ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ мы:

• разделить на большее число
• умножить на нижнее число

Пример: деление на

⁵ / ₂ — это то же самое, что умножение на ² / ₅

. Вместо того, чтобы разделиться, что на все, что будет с легче, на обороте, это будет с легкостью, что на все, что будет с легче, на все, что будет с легче, на все, что будет с легче, на все, что будет с легче, на все, что будет с легче, на все, что будет с легче, чтобы разделиться, что на это будет с легче на обороте. вниз, затем выполните умножение.

 

937 938 939, 1411, 1412, 1413, 3575, 3576, 3577, 3578

Умножение дробей — шаги, примеры

Умножение дробей начинается с умножения заданных числителей, за которым следует умножение знаменателей. Затем полученная дробь еще больше упрощается и при необходимости сокращается до наименьших членов. Узнайте все об умножении дробей в этой статье.

1.	Как умножать дроби?
2.	Правила умножения дробей
3.	Умножение дробей с одинаковым знаменателем
4.	Умножение дробей с разными знаменателями
5.	Умножение дробей на целые числа
6.	Умножение дробей со смешанными числами
7.	Умножение неправильных дробей
8.	Часто задаваемые вопросы об умножении дробей

Как умножать дроби?

Умножение дробей не похоже на сложение или вычитание дробей, где знаменатель должен быть одинаковым. Здесь можно легко перемножить любые две дроби с разными знаменателями. Единственное, что нужно иметь в виду, это то, что дроби не должны быть в смешанной форме, они должны быть либо правильными дробями, либо неправильными дробями. Давайте научимся умножать дроби, выполнив следующие шаги:

• Шаг 1: Умножьте числители.
• Шаг 2: Умножьте знаменатели.
• Шаг 3: Сократите полученную дробь до наименьшего значения.

Давайте разберем эти шаги на примере.

Пример: Умножьте следующие дроби: 1/3 × 3/5.

Решение: Начнем с умножения числителей: 1 × 3 = 3, затем умножим знаменатели: 3 × 5 = 15. Это можно записать как: (1 × 3)/(3 × 5) = 3 /15. Теперь уменьшите это значение до самой низкой формы. 3 — это наибольший общий делитель (НОД) 3 и 15, поэтому разделите и 3, и 15 на 3, чтобы упростить дробь. Следовательно, 1/3 × 3/5 = 1/5.

Правила умножения дробей

При умножении дробей следует помнить о следующих правилах:

• Правило 1: Первое правило состоит в преобразовании смешанных дробей в неправильные дроби, если таковые имеются. Затем умножьте числители данных дробей.
• Правило 2: Умножьте знаменатели отдельно.
• Правило 3: Упростите полученное значение до наименьшего члена.

Эти три правила можно применить к любым двум дробям, чтобы найти их произведение. Теперь давайте изучим отдельные случаи умножения дробей с разными типами дробей.

Умножение дробей с одинаковым знаменателем

Умножение дробей с одинаковыми знаменателями не меняет правила умножения дробей. Дроби, имеющие одинаковые знаменатели, называются дробями. Хотя сложение и вычитание одинаковых дробей отличается от сложения и вычитания разнородных дробей, в случае умножения и деления метод остается тем же. Мы умножаем числители, затем знаменатели, а затем дробь сокращается до наименьших членов.

Пример: Умножить 1/3 × 5/3

Решение: Мы можем умножить эти дроби, используя следующие шаги.

• Шаг 1: Умножьте числители, 1 × 5 = 5.
• Шаг 2: Умножьте знаменатели, 3 × 3 = 9.
• Шаг 3: Произведение, которое мы получаем, равно 5/9. Это не может быть уменьшено дальше, поэтому ответ 5/9.

Умножение дробей с разными знаменателями

Умножение дробей с разными знаменателями точно такое же, как умножение одинаковых дробей. Давайте разберемся в этом на примере.

Пример: Умножьте 4/12 × 16/24.

Мы можем умножить эти дроби, используя следующие шаги:

• Шаг 1: Умножьте числители, 4 × 16 = 64.
• Шаг 2: Умножьте знаменатели, 12 × 24 = 288.
• Шаг 3: Произведение, которое мы получаем, равно 64/288. Это может быть уменьшено до 2/9. Таким образом, 2/9 является ответом.

Альтернативный метод

Те же дроби можно умножить другим методом, в котором мы упрощаем дроби между собой, а затем умножаем числители, затем знаменатели, чтобы получить конечный продукт.

Пример: Умножьте 4/12 × 16/24.

Умножим данные дроби, используя следующие шаги:

• Шаг 1: Упростим данные дроби между собой. Другими словами, эти дроби можно сократить до 1/3 × 2/3.
• Шаг 2: Умножим числители, 1 × 2 = 2.
• Шаг 3: Теперь умножим знаменатели, 3 × 3 = 9.
• Шаг 4: Следовательно, произведение, которое мы получаем, равно 2/9.

Умножение дробей на целые числа

Умножение дробей на целые числа — простая идея. Поскольку мы знаем, что умножение — это многократное сложение одного и того же числа, этот факт можно применить и к дробям.

Умножение дробей на целые числа Визуальная модель

Рассмотрим следующий пример: 4 × 2/3. Это означает, что 2/3 добавляется 4 раза. Представим этот пример с помощью визуальной модели. Четырежды две трети представлены как:

Шаги умножения дробей на целые числа

Чтобы умножать дроби с целыми числами, мы используем простое правило: умножаем числители, затем умножаем знаменатели, а затем приводим их к наименьшим слагаемым. Однако в случае целых чисел мы запишем их в дробной форме, поставив «1» в знаменателе. Давайте разберемся в этом на примере.

Пример: Умножить: 5 × 3/4.

Решение: Давайте используем следующие шаги, чтобы умножить данную дробь на целое число.

• Шаг 1: Здесь 5 — это целое число, которое можно записать как 5/1, а затем его можно умножить, как мы умножаем обычные дроби.
• Шаг 2: Это означает, что нам нужно умножить 5/1 × 3/4.
• Шаг 3: Умножьте числители, 5 × 3 = 15.
• Шаг 4: Умножьте знаменатели, 1 × 4 = 4.
• Шаг 5: Полученное произведение равно 15/4, и его нельзя уменьшить дальше.
• Шаг 6: Поскольку 15/4 — неправильная дробь, мы изменим ее на смешанную дробь, 15/4 = \(3\frac{3}{4}\).

Умножение дробей со смешанными числами

Смешанные числа или смешанные дроби — это дроби, состоящие из целого числа и правильной дроби, например \(2\frac{3}{4}\), где 2 — целое число, а 3/4 — правильная дробь. Для умножения смешанных дробей нам нужно преобразовать смешанные дроби в неправильную дробь перед умножением. Например, если число равно \(2\frac{2}{3}\), нам нужно изменить его на 8/3. Давайте разберемся в этом с помощью примера.

Пример: Умножьте \(2\frac{2}{3}\) и \(3\frac{1}{4}\).

Решение: Следующие шаги можно использовать для умножения дробей со смешанными числами.

• Шаг 1: Измените заданные смешанные дроби на неправильные, т. е. (8/3) × (13/4).
• Шаг 2: Умножьте числители неправильных дробей, а затем умножьте знаменатели. Это даст 104/12.
• Шаг 3: Теперь уменьшите полученную дробь до наименьшего значения, что сделает ее равной 26/3.
• Шаг 4: Далее, преобразуйте ответ обратно в смешанную дробь, которая будет \(8\frac{2}{3}\).

Умножение неправильных дробей

Теперь давайте разберемся с умножением неправильных дробей. Мы уже знаем, что неправильная дробь — это та, у которой числитель больше знаменателя. При умножении двух неправильных дробей часто получается неправильная дробь. Например, чтобы умножить 3/2 × 7/5, две неправильные дроби, нам нужно выполнить следующие шаги:

• Шаг 1: Умножьте числители и знаменатели. (3 × 7)/(2 × 5) = 21/10.
• Шаг 2: Дробь 21/10 не может быть приведена к наименьшему значению.
• Шаг 3: Следовательно, ответ равен 21/10, что можно записать как \(2\frac{1}{10}\).

Советы и приемы умножения дробей

Вот несколько важных советов и приемов, которые помогут умножить дроби.

• Обычно учащиеся упрощают дробь после умножения. Однако, чтобы упростить расчеты, проверьте, не находятся ли две дроби, которые нужно умножить, в младших формах. Если нет, сначала упростите их, а затем умножьте. Например, 4/12 × 5/13 будет сложно умножить напрямую.
• Теперь, если мы сначала упростим дробь, мы получим: 1/3 × 5/13 = 5/39.
• Упрощение также может быть сделано для двух дробей. Если между числителем одной из дробей и знаменателем другой дроби есть общий множитель, можно их упростить и продолжить. Например, 5/28 × 7/9можно упростить до 5/4 × 1/9 перед умножением.

☛ Похожие темы

• Калькулятор умножения дробей
• Обратное число дробей
• Умножение десятичных дробей
• Умножение и деление целых чисел
• Сложение дробей
• Вычитание дробей
• Деление дробей

 

Умножение дробей Примеры

1. Пример 1: Умножьте данные дроби: 1/4 × 5/8.

   Решение:

   Для умножения дробей с разными знаменателями, как указано в 1/4 × 5/8, мы начинаем с умножения числителей: 1 × 5 = 5. После этого мы умножаем знаменатели: 4 × 8 = 32. Это можно записать как: (1 × 5)/(4 × 8) = 5/32. Теперь эту результирующую дробь нельзя упростить, поэтому ответ равен 5/32.

2. Пример 2: Изменяет ли правило умножения дробей умножение дробей на целые числа? Обоснуйте свой ответ, умножив 4 × 6/5.

   Решение:

   Нет, умножение дробей на целые числа не меняет правила умножения дробей. Нам просто нужно записать целое число в форме дроби. В этом случае 4 будет записано как 4/1, и тогда мы будем использовать тот же метод. Итак, мы будем умножать 4/1 × 6/5. При умножении числителей мы получаем 4 × 6 = 24. При умножении знаменателей мы получаем 1 × 5 = 5. Следовательно, результирующее произведение равно 24/5, которое нельзя уменьшить дальше. Поэтому мы изменим эту неправильную дробь 24/5 на смешанную дробь, чтобы представить ее как ответ, который равен 24/5 = \(4\frac{4}{5}\).

3. Пример 3: Каким будет произведение 5/4 × 5/2 × 5/3?

   Решение:

   Чтобы умножить три дроби, мы сначала умножим все три числителя, а затем все три знаменателя. Затем мы упростим окончательный ответ.

   ⇒ 5/4 × 5/2 × 5/3

   ⇒ (5×5×5)/(4×2×3)

   ⇒ 125/24

   Следовательно, 5/4 × 5/2 × 5/3 = 125/24 или \(5\frac{5}{24}\)

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика — это жизненный навык. Помогите своему ребенку усовершенствовать его с помощью реального приложения.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по умножению дробей

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об умножении дробей

Как умножать дроби?

Умножение дробей означает нахождение произведения двух или более дробей. Метод, используемый для умножения дробей, отличается от сложения и вычитания дробей. Чтобы умножить любые две дроби, мы следуем шагам, указанным ниже. Давайте умножим 7/8 × 2/6, чтобы понять шаги.

• Умножьте числители. Итак, 7 × 2 = 14,
• Умножить знаменатели. Это означает, что 8 × 6 = 48,
.
• Полученная дробь равна 14/48. Упростите полученную дробь до наименьших членов. Упрощение дроби 14/48 дает нам 7/24. Следовательно, ответ 7/24.

Каковы правила умножения дробей?

Есть три простых правила умножения дробей. Сначала умножьте числители, а затем знаменатели обеих дробей, чтобы получить результирующую дробь. Затем нам нужно упростить полученную дробь, чтобы получить окончательный ответ. Это можно понять на простом примере → 2/6 × 4/7 = (2 × 4)/(6 × 7) = 8/42 = 4/21.

Как умножать дроби со смешанными числами?

Следующие шаги можно использовать для умножения смешанных дробей. Умножим 1/4 × \(3\frac{1}{2}\).

• Замените смешанную дробь на неправильную. Здесь \(3\frac{1}{2}\) станет 7/2. Итак, теперь нам нужно умножить 1/4 × 7/2.
• Умножьте числители, а затем знаменатели. Это означает, что (1 × 7)/(4 × 2) = 7/8.
• Убедитесь, что ответ указан в самом низком выражении. Поскольку 7/8 нельзя уменьшить дальше, ответом будет 7/8.

Как умножать дроби на целые числа?

Чтобы понять умножение дроби на целое число, мы можем взять простой числовой пример 2/7 × 3. Начните с перезаписи целого числа (3 в этом примере) в виде дроби 3/1. Теперь мы можем применить шаги, которые мы используем для умножения дробей. Это означает, что 2/7 × 3/1 = (2 × 3)/(7 × 1) = 6/7.

Как умножать дроби с одинаковыми знаменателями?

Умножение дробей с одинаковыми знаменателями аналогично умножению других правильных дробей. Давайте разберемся в этом на примере. Умножим 4/5 × 3/5. Умножаем числители, то есть 4 × 3 = 12. Затем умножаем знаменатели, то есть 5 × 5 = 25. Это даст нам произведение как 12/25. Поскольку это нельзя уменьшить дальше, ответом будет 12/25.

Как умножать дроби с разными знаменателями?

Умножение дробей с разными знаменателями не меняет правила умножения дробей. Давайте разберемся в этом на примере. Умножьте 2/6 × 3/4. Мы можем умножить эти дроби, используя следующие шаги:

• Умножьте числители, 2 × 3 = 6.
• Умножьте знаменатели, 6 × 4 = 24.
• Продукт, который мы получаем, 6/24. Это можно уменьшить до 1/4, следовательно, ответ 1/4.

Как умножить дробь на дробь?

Умножение двух дробей — простейшая форма арифметических операций между двумя дробями. Сначала умножаются числители обеих дробей, а затем умножаются знаменатели. Затем полученная дробь при необходимости упрощается до наименьших членов.

Чем умножение дробей отличается от сложения дробей?

Сложение дробей отличается от умножения дробей. При умножении сначала умножаются числители двух дробей, затем умножаются знаменатели, чтобы получить результирующую дробь. Однако в процессе сложения дробей нам сначала нужно сделать знаменатели обеих дробей равными, а затем сложить числители, чтобы получить результирующую дробь. Кроме сложения или вычитания дробей, мы не складываем и не вычитаем знаменатели отдельно.

Как умножать десятичные дроби?

Чтобы умножить дроби на десятичные, мы преобразуем десятичное число в дробь, а затем используем те же правила умножения дробей. Например, давайте умножим 5/7 × 0,6.

• Здесь мы преобразуем 0,6 в дробную форму, что составит 6/10.
• Теперь умножим 5/7 × 6/10 обычным способом.
• Умножим числители, 5 × 6 = 30.
• Умножим знаменатели, 7 × 10 = 70.
• Таким образом, результирующая дробь будет 30/70.
• Упростив полученную дробь, мы получим произведение как 3/7.

Как научить умножению дробей?

Умножению дробей можно научиться так же, как умножению целых чисел. Важным аспектом перед умножением дробей является преобразование смешанной дроби в неправильную дробь. После этого шага мы умножаем числители обеих дробей, а затем знаменатели обеих дробей, чтобы получить результирующую дробь. Для обучения умножению дробей можно использовать следующие способы:

• Максимально используйте визуальные модели для представления концепции. Учить учащихся понимать использование и процесс умножения дробей.
• Используйте рабочие листы для умножения дробей после обучения понятию.

Как умножить 3 дроби?

Чтобы умножить 3 дроби, мы используем те же правила умножения дробей. Например, давайте умножим 2/3 × 4/5 × 1/7. Умножим все числители, 2 × 4 × 1 = 8. Теперь умножим знаменатели, 3 × 5 × 7 = 105. Итак, произведение равно 8/105. Поскольку это нельзя уменьшить дальше, ответом будет 8/105.

Бесплатная математическая помощь по умножению смешанных чисел

Форма поиска

Поиск

Пример 1:  Сад Нины имеет длину 4 и 2/3 фута и ширину 1 и 1/8 фута. Какова площадь сада?

Анализ:  Мы умножим эти смешанные числа, чтобы решить эту задачу.

Решение:  Сначала мы преобразуем каждое смешанное число в неправильную дробь. Тогда мы можем умножить.

Шаг 1:

Шаг 2:

Ответ: Площадь сада Нины составляет 5 и 1/4 кв.

Анализ:  Сначала преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Затем умножьте.

Шаг 1: 

Шаг 2:

---

Ниже приведена процедура умножения смешанных чисел..

Процедура:  Чтобы умножить смешанные числа, сначала преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь, а затем умножьте. При необходимости упростите результат.

Давайте рассмотрим несколько примеров использования этой процедуры.

Пример 3:  Умножение.

Шаг 1:

Шаг 2:

Нет общих множителей для разделения.

---

Пример 4: Умножить

Анализ:  Сначала преобразуйте целое число и смешанное число в неправильную дробь. Затем умножьте.

Шаг 1:

Шаг 2:

Теперь, когда мы знаем, как умножать дроби, нам не нужно показывать каждую часть процесса ниже в наших примерах.

---

Пример 5:  Умножение

Шаг 1:

Шаг 2:

---

Пример 6:  Умножение.

Решение:

Нет общих множителей для разделения.

---

Пример 7: Умножить

Решение:

---

Резюме: сначала преобразуйте смешанные числа, а затем умножьте их на неправильную смешанную дробь. При необходимости упростите результат.

---

Упражнения

Указания: В каждом приведенном ниже упражнении умножьте дроби, разделив общие множители. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

Примечание. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.

1.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

2.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

3.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

4.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

5.
	ОКНО ОТВЕТОВ:      ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

Уроки умножения и деления дробей и смешанных чисел
1.	Умножение дробей
2.	Умножение дробей путем исключения общих множителей
3.	Умножение смешанных чисел
4.	Обратные связи
5.	Деление дробей
6.	Деление смешанных чисел
6.	Решение задач Word
7.	Практические упражнения
8.	Упражнения с вызовом
9.	Решения

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку!

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!

Адрес электронной почты *

Деление дробей | Математические вкусности

Форма поиска

Поиск

Деление показывает, сколько раз одна величина содержится в другой величине. Например, на иллюстрации ниже видно, что целое число 2 содержит 6 третей.

Так как 2 содержит 6 третей, мы можем сказать, что 2 разделить на одну треть равно 6.

итак	2	÷		=	6
и	2	х	3	=	6

Как видите, деление первой дроби на вторую ненулевую дробь равносильно умножению первой дроби на обратную вторую дробь. Это приводит нас к следующей процедуре.

Процедура: Чтобы разделить первую дробь на вторую, ненулевую дробь, умножьте первую тягу на величину, обратную второй дроби.

Этот метод деления дробей также называется инвертировать и умножать , так как мы инвертируем делитель, а затем умножаем. По сути, мы меняем задачу деления на задачу умножения после инвертирования делителя. Это позволяет нам умножить первую дробь на обратную вторую дробь.

Пример 1: Разделить.

Анализ:

Решение:

---

Пример 2: Разделить.

Анализ:

Решение:

В примере 2 необходимо было разделить общие делители.

---

Пример 3: Разделить.

Анализ:

Решение:

В примере 3 нужно было упростить результат.

---

Пример 4: Divide

Анализ:

Решение:

---

Пример 5: A Candy Bare — 3/4 из дюйма. Если его разделить на части длиной 1/8 дюйма, то сколько частей получится?

Анализ: Чтобы решить эту задачу, мы разделим 3/4 на 1/8.

Решение:

Ответ: Конфет будет 6 шт.

---

Итог: Чтобы разделить первую дробь на вторую, ненулевую дробь, умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби. При необходимости упростите результат.

---

Упражнения

Указания: Разделите дроби в каждом упражнении ниже. При необходимости обязательно упростите результат. Щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ.

Примечание. Чтобы записать дробь три четверти, введите 3/4 в форму. Чтобы написать смешанное число четыре и две трети, введите 4, пробел, а затем 2/3 в форму.

1.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

2.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

3.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

4.
	ОКНО ОТВЕТОВ:    ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

5.	Джастин отдал 2/3 своей пиццы 4 друзьям, которые разделили пиццу поровну. Какую часть первоначальной пиццы получил каждый друг?
	ЯЩИК ОТВЕТОВ:      ЯЩИК РЕЗУЛЬТАТОВ:

 

Уроки умножения и деления дробей и смешанных чисел
1.	Умножение дробей
2.	Умножение дробей путем исключения общих множителей
3.	Умножение смешанных чисел
4.	Обратные связи
5.	Деление дробей
6.	Деление смешанных чисел
6.	Решение задач Word
7.	Практические упражнения
8.	Упражнения с вызовом
9.	Решения

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку!

Подпишитесь на нашу БЕСПЛАТНУЮ рассылку новостей!

Адрес электронной почты *

Методы умножения и упрощения дробей ｜ Хацуди

Мы изучаем дроби в начальной школе по математике. Когда мы вычисляем дроби, мы используем умножение. Умножение дробей проще, чем сложение и вычитание. Это потому, что нам не нужно делать знаменатели одинаковыми, находя общий знаменатель.

Однако при умножении нам нужно упростить дроби. Также при умножении дробей необходимо использовать неправильные дроби вместо смешанных дробей.

Кроме того, если вы можете упростить дроби, обычно их упрощают перед умножением. Это потому, что это уменьшает просчеты.

Хотя это проще, чем сложение и вычитание, существует правильный способ умножения дробей, и вам нужно научиться этому. Итак, давайте посмотрим, как умножать дроби.

Содержание

• 1 Как умножать дроби на дроби
  • 1.1 Умножение целых чисел на дроби: преобразование целых чисел в дроби
  • 1.2 Почему мы можем умножать числители друг на друга и знаменатели друг на друга?
• 2 Изменить смешанные фракции на неправильные фракции при умножении фракций
• 3 Умножающие фракции, когда фракции могут быть упрощены
  • 3. 1 Упрощение фракций перед умножением, чтобы увеличить числа меньше
• 4 Методы умножения и упрощенные фракции являются важными

. по дробям

Во-первых, давайте научимся умножать дроби. При умножении дробей процесс прост. Перемножим знаменатели и числители соответственно. Похоже на это.

• $\displaystyle\frac{3}{4}×\displaystyle\frac{5}{2}=\displaystyle\frac{3×5}{4×2}=\displaystyle\frac{15}{8 }$

Таким образом, мы умножаем знаменатели друг на друга и числители друг на друга. Знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми, в отличие от сложения и вычитания. Поэтому, в отличие от сложения и вычитания, нам не нужно находить общий знаменатель при умножении дробей.

Умножение дробей не представляет особой сложности, так как нужно только умножать знаменатели друг на друга и числители друг на друга.

Умножение целых чисел на дроби: Преобразование целых чисел в дроби

Итак, как мы умножаем целые числа на дроби? Например, вычислите следующее выражение.

• $2×\displaystyle\frac{2}{3}$

Чтобы понять этот расчет, давайте превратим 2 в дробь: если мы превратим 2 в дробь, мы можем использовать $\displaystyle\frac{2} {1}$. Целые числа также являются дробями. Однако, если знаменатель равен 1, мы обычно опускаем знаменатель. Поэтому важно понимать, что хотя целое число записывается как 2, оно также может быть записано как $\displaystyle\frac{2}{1}$.

Заменив 2 на $\displaystyle\frac{2}{1}$, мы можем умножать дроби. Это будет выглядеть так.

• $2×\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2}{1}×\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{4}{3}$

Трудно понять, как считать с целыми числами. Итак, если мы заменим целые числа на дроби, мы сможем понять, как выполнять вычисления.

Почему мы можем умножать числители друг на друга и знаменатели друг на друга?

Так почему же можно умножать дроби, не делая знаменатели одинаковыми? Чтобы понять это, давайте узнаем о свойствах умножения.

Умножение дробей аналогично делению и умножению одновременно. Дроби можно преобразовать в деление следующим образом.

• $\displaystyle\frac{4}{9}=4÷9$
• $\displaystyle\frac{13}{2}=13÷2$

При делении числа знаменатель будет равен больше. Знаменатель — это то, что делит число на равные части. Например, $\displaystyle\frac{1}{2}$ означает разделить число на две равные части. Кроме того, $\displaystyle\frac{1}{3}$ означает разделить число на три равные части.

Следовательно, при умножении дробей умножение знаменателей друг на друга приведет к большему числу в знаменателе. Например, $\displaystyle\frac{1}{2}×\displaystyle\frac{1}{3}$ дает $\displaystyle\frac{1}{6}$ путем умножения знаменателей.

Кроме того, $\displaystyle\frac{1}{2}×\displaystyle\frac{1}{3}$ означает разделить $\displaystyle\frac{1}{2}$ на три равные части. На рисунке это выглядит так.

Знаменатель представляет собой число, которое нужно разделить, а при умножении дробей знаменатели перемножаются.

Числитель представляет количество дробей. Например, $\displaystyle\frac{2}{5}$ — это сумма двух $\displaystyle\frac{1}{5}$. Кроме того, $\displaystyle\frac{3}{5}$ представляет собой сумму трех $\displaystyle\frac{1}{5}$.

Другими словами, числитель — это то, сколько нам нужно собрать после деления.

Итак, что мы думаем о $\displaystyle\frac{1}{2}×\displaystyle\frac{3}{4}$? Чтобы умножить $\displaystyle\frac{3}{4}$, давайте разделим $\displaystyle\frac{1}{2}$ на четыре равные части, а затем соберем три. Результат следующий.

Если вы посмотрите на рисунок, то увидите, что $\displaystyle\frac{1}{2}$ делится на 4 равные части, поэтому знаменатель равен 8. Таким образом, при умножении дробей знаменатели равны умноженные вместе.

Кроме того, числитель $\displaystyle\frac{3}{4}$ равен 3. Следовательно, после деления нам нужно собрать три. Другими словами, при умножении $\displaystyle\frac{3}{4}$ мы делим на 4, а затем умножаем на 3. Это означает, что мы умножаем числители друг на друга.

Таким образом, расчет выглядит следующим образом.

• $\displaystyle\frac{1}{2}×\displaystyle\frac{3}{4}＝\displaystyle\frac{1×3}{2×4}＝\displaystyle\frac{3}{8 }$

Как видите, при умножении дробей ответ получается путем умножения числителей друг на друга и знаменателей друг на друга.

Преобразование смешанных дробей в неправильные при умножении дробей

Как вычислить умножение смешанных дробей? При сложении или вычитании смешанных дробей вы можете вычислять их как смешанные дроби. Например, можно рассчитать следующим образом.

• $1\displaystyle\frac{1}{4}+2\displaystyle\frac{2}{4}=3\displaystyle\frac{3}{4}$

С другой стороны, не умножайте с использованием смешанных фракций. Если вы будете умножать на смешанные дроби, вы получите неверный ответ. Например, как мы вычисляем следующее умножение?

• $1\displaystyle\frac{1}{4}×1\displaystyle\frac{1}{2}$

Как и при сложении, если вы отделите целое число от дроби, вы совершите ошибку. Если вы проверите целые части двух смешанных дробей, они обе равны 1. Следовательно, $1×1=1$. Кроме того, если мы перемножим две дроби вместе, мы получим $\displaystyle\frac{1}{4}×\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{8}$. Поэтому многие думают, что $1\displaystyle\frac{1}{4}×1\displaystyle\frac{1}{2}=1\displaystyle\frac{1}{8}$ — это ответ.

Однако этот ответ неверен. $1\displaystyle\frac{1}{2}$ – число больше 1. Следовательно, при умножении на $1\displaystyle\frac{1}{2}$ ответ должен быть больше $1\displaystyle\frac{ 1{4}$. Предыдущий ответ, $1\displaystyle\frac{1}{8}$, меньше, чем $1\displaystyle\frac{1}{4}$. Таким образом, мы видим, что это заведомо неправильный ответ.

В любом случае важно понимать, что умножение со смешанными дробями приведет к неправильным ответам.

Итак, как мы можем умножать смешанные дроби? Рассмотрим следующий расчет.

• $\displaystyle\frac{1}{4}×1\displaystyle\frac{1}{2}$

$1\displaystyle\frac{1}{2}=1+\displaystyle\frac {1}{2}$. Другими словами, $\displaystyle\frac{1}{4}×1\displaystyle\frac{1}{2}$ означает, что существует один $\displaystyle\frac{1}{4}$ и половина $\ displaystyle\frac{1}{4}$. Поэтому имеем следующее.

$\displaystyle\frac{1}{4}×1\displaystyle\frac{1}{2}$

$=\displaystyle\frac{1}{4}×1+\displaystyle\frac{1}{4}×\displaystyle\frac{1}{2}$

$=\displaystyle\frac{1} {4}+\displaystyle\frac{1}{8}$

$=\displaystyle\frac{2}{8}+\displaystyle\frac{1}{8}$

$=\displaystyle\frac{ 3}{8}$

Таким образом, мы можем получить ответ.

Однако расчет смешанных фракций затруднен. Итак, заменим смешанные дроби неправильными дробями. Это облегчит расчет, как показано ниже.

• $\displaystyle\frac{1}{4}×1\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{4}×\textcolor{red}{\displaystyle\frac{3 }{2}}=\displaystyle\frac{3}{8}$

Если это неправильная дробь (или правильная дробь), вы можете умножить числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Однако при умножении смешанных дробей их следует заменить неправильными дробями.

Умножение дробей, когда дроби можно упростить

До сих пор мы обсуждали умножение, когда дроби не упрощаются. С другой стороны, если вы можете упростить дроби, вам нужно упростить дроби при умножении.

Даже если числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, ответ будет тот же. Итак, если вы можете упростить дроби, обязательно упрощайте дроби. Похоже на это.

• $\displaystyle\frac{2}{3}×\displaystyle\frac{6}{3}=\displaystyle\frac{12}{9}=\displaystyle\frac{4}{3}$

Если не упрощать дроби, получится неверный ответ. Следовательно, нам нужно найти общие множители числителя и знаменателя и упростить дроби.

Упрощайте дроби перед умножением, чтобы сделать числа меньше

При умножении обязательно сначала упрощайте дроби. Другими словами, упрощайте дроби перед умножением, а не после ответа.

Если сначала выполнить умножение, расчет будет выглядеть так.

• $\displaystyle\frac{3}{7}×\displaystyle\frac{14}{5}=\displaystyle\frac{42}{35}=\displaystyle\frac{6}{5}$

Наибольший общий делитель чисел 42 и 35 равен 7. Итак, делим числитель и знаменатель на 7, чтобы получить ответ. Однако трудно найти общий делитель больших чисел. Итак, прежде чем умножать, давайте упростим дроби.

Упрощение дробей аналогично делению. Также при использовании одного и того же числа ответ будет таким же, если делить после умножения или умножать после деления. Например, следующий ответ даст тот же ответ.

• $6\textcolor{red}{÷2×4}=12$
• $6\textcolor{red}{×4÷2}=12$

При выполнении расчетов мы обычно считаем слева направо Правильно. В результате, хотя порядок для $÷2×4$ и $×4÷2$ разный, ответ будет одинаковым. То же самое и с дробями, поэтому вместо деления за умножением мы должны выполнять умножение за делением.

Для $\displaystyle\frac{3}{7}×\displaystyle\frac{14}{5}$ давайте проверим числитель и знаменатель. При упрощении дробей числитель и знаменатель делятся на одно и то же число. Итак, проверьте числитель и знаменатель, и если вы можете разделить на одно и то же число, сначала выполните деление. Результат следующий.

Если вы посмотрите на 14 в числителе и 7 в знаменателе, общий делитель равен 7. Итак, давайте разделим оба числа на 7. Тогда вы можете изменить $\displaystyle\frac{3×14}{7×5 }$ в $\displaystyle\frac{3×2}{1×5}$. В результате вы можете легко умножать дроби.

При умножении дробей обязательно выполните деление перед умножением. Это уменьшит количество просчетов, а также позволит быстро считать.

Важны методы умножения и упрощения дробей

По сравнению со сложением и вычитанием умножение дробей намного проще. Вам не нужно искать наименьший общий знаменатель; просто умножьте числители друг на друга и знаменатели друг на друга. Важно понимать умножение дробей не только при умножении дробей на дроби, но и при умножении целых чисел на дроби.