правила, примеры, решения, как умножить натуральное число на смешанную дробь

Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.

Умножение смешанных чисел

Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Используем правила умножения смешанных чисел:

Определение 1

• Умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
• Использование правила умножения дроби на дробь.

Рассмотрим решения на примерах.

Пример 1

Сделать умножение 357 и 1211.

Решение

Для начала умножаем смешанные числа в виде неправильных дробей: 357=3·7+57=267 и 1211=1·11+211=1311.

Умножение смешенных дробей заменяем умножением обыкновенных: 357·1211=267·1311.

После чего получим 267·1311=26·137·11=33877.

Дробь несократимая, поэтому выделяем целую часть:33877=43077.

В итоге получим 357·1211=267·1311=26·137·11=33877=43077.

Ответ: 357·1211=43077.

Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.

Пример 2

Произвести умножение 715·119.

Решение

Смешанные числа 715 и 119 можно представить в виде неправильных дробей: 135 и 109.

Получим, что 715·119=365·109=36·105·9.

Этот этап характеризуется применением правила сокращения дроби, тогда получим 36·105·9.

Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:

36·105·9=2·2·3·3·2·55·3·3=2·2·21=8

Ответ: 715·119=8.

Умножение смешенного и натурального числа

После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби  и натурального числа.

Пример 3

Произвести умножение 2518 и 45.

Решение

Представляем смешанное число 2518 в виде неправильной дроби 4118, получим 2518·45=4118·45=41·4518. Необходимо заменить на простые множители и выделить целую часть:

41·4518=41·3·3·52·3·3=41·52=2052=10212

Ответ: 2518·45=10212.

Умножение смешенного и натурального числа рассматривается, как решение с распределительным свойством умножения относительно сложения. Получаем, что произведение смешанного  и натурального числа равно сумме произведений целой части на натурально число и дробной части на данное натуральное число, тогда получаем, что abc·n=a+bc·n=a·n+bc·n.

Пример 4

Вычислить 1038·8.

Решение

Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:

1038·8=10+38·8=10·8+38·8=80+3=83

Ответ: 1038·8=83.

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.

Пример 5

Умножить 323 на 415.

Решение

Заменим данное смешанное число 323 при помощи дроби 113, тогда получим, что 323·415=113·415=4·113·15=4445.

Ответ: 323·415=4445.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Неправильные дроби – примеры с объяснением (5 класс, математика)

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 103.

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 103.

Неправильные дроби пугают учеников 5 класса своей непривычностью. На самом деле, самое страшное в таких дробях – название. Чтобы не допускать ошибок и не боятся работать с такими числами, рассмотрим тему в подробности.

Что такое неправильная дробь?

Неправильной дробью зовут дробь, у которой числитель больше знаменателя. Что это значит на практике? Представим себе, что мы делили пиццу на 8 частей, а потом взяли ${9\over{8}}$ пиццы. То есть мы взяли для расчета больше 1 единицы.

Каково объяснение понятия неправильной дроби? Неправильной дробь зовут потому, что нельзя оставлять такую форму записи в результате примера. Необходимо выделять целую часть, и записывать ответ в виде смешанной дроби.

Действия с неправильными дробями

Неправильные дроби складываются и умножаются по тем же правилам, что и обыкновенные дроби:

• Чтобы сложить или вычесть две неправильные дроби, необходимо привести обе дроби к одному знаменателю, после чело сложить или вычесть числители с сохранением знаменателя.
• Чтобы перемножить две неправильные дроби, необходимо перемножить числители и знаменатели дробей. Произведение числителей, станет числителем результата, произведение знаменателей, соответственно, знаменателем результата.
• Чтобы поделить неправильные дроби, нужно перевернуть делитель. То есть числитель делителя нужно поставить на место знаменателя, а знаменатель на место числителя. После нужно умножить делимое на перевернутый делитель. Результат такого умножения и будет результатом деления изначальных дробей.

Сравнение неправильных дробей

Сравнение неправильных дробей, пожалуй, самое трудное действие, которое можно осуществлять с этим подвидом чисел. Дело в том, что алгоритм сравнения хоть и похож, но немного отличается от привычного нам сравнения обыкновенных дробей.

• Первый шаг в сравнении неправильных дробей это выделение целой части.
• Второй шаг это сравнение целых частей. Если целая часть одной из дробей больше целой части другой дроби, то вся дробь будет больше.
• Только если целые части чисел равны между собой, то отдельно сравниваются дробные части, которые представляют собой обыкновенные дроби.

Можно сравнивать дроби и без выделения целой части, но это неудобно. Смешанные числа сравнивать проще.

Обыкновенные дроби сравниваются по следующим правилам:

• Если у дробей одинаковые числители, но разные знаменатели, то больше дробь с меньшим знаменателем.
• Если у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители, то больше дробь, у которой числитель больше.
• Если у дробей разные числители и знаменатели, то нужно привести числа к одному знаменателю и сравнить их по правилу из предыдущего пункта.

Что мы узнали?

Мы поговорили о неправильных дробях. Узнали, чем они отличаются от правильных и смешанных дробей. Рассказали, как совершать действия с неправильными дробями и как сравнивать неправильные дроби между собой.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Ярик Фоменко

  5/5

• Эмир Субхонбердиев

  5/5

Оценка статьи

4.4

Средняя оценка: 4. 4

Всего получено оценок: 103.

---

А какая ваша оценка?

Умножение смешанных дробей – шаги, правила, примеры

Операция умножения любых двух смешанных дробей известна как умножение смешанных дробей. Смешанные дроби можно определить как дробь, состоящую из целого числа и правильной дроби. Это еще один способ представления неправильной дроби. В этой статье мы узнаем больше об этапах и примерах умножения смешанных дробей.

1.	Умножение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями
2.	Умножение смешанных дробей с разными знаменателями
3.	Умножение смешанных и правильных дробей
4.	Умножение смешанных дробей на целые числа
5.	Часто задаваемые вопросы по умножению смешанных дробей

Умножение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями

Умножение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями определяется как операция умножения двух смешанных дробей с одинаковым знаменателем. Обратите внимание на следующие моменты, которые следует учитывать при умножении смешанных дробей.

• Смешанная дробь \(a\dfrac{b}{c}\) также может быть записана как + (b/c).
• Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно умножить целое число на знаменатель и прибавить результат к числителю правильной дроби, сохранив знаменатель. Например, чтобы преобразовать \(1\dfrac{3}{5}\) в неправильную дробь, мы умножаем 1 и 5, т. е. 1 × 5 = 5, и результат прибавляем к 3, т. е. 5 + 3 = 8. Таким образом, неправильная дробь равна 8/5.
• Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, разделим числитель неправильной дроби на ее знаменатель. Частное становится целой частью числа, остаток становится числителем правильной дроби, а знаменатель остается прежним. Например, чтобы преобразовать 17/5 в смешанное число, мы сначала разделим 17 на 5 и получим частное как 3, а остаток как 2. Таким образом, смешанное число равно \(3\dfrac{2}{5}\) .

Давайте рассмотрим пример, чтобы понять умножение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример: Перемножьте смешанные дроби \(2\dfrac{2}{7}\) и \(3\dfrac{1}{7}\).

• Шаг 1: Преобразуйте заданные смешанные дроби \(2\dfrac{2}{7}\) и \(3\dfrac{1}{7}\) в неправильные дроби. т. е. \(2\dfrac{2}{7}\) = 16/7 и \(3\dfrac{1}{7}\) = 22/7.
• Шаг 2: Числители и знаменатели этих дробей умножаются отдельно. т. е. (16 × 22) / (7 × 7).
• Шаг 3: Сократите общие множители, если они существуют в числителе и знаменателе. В этом примере нет общих множителей.
• Шаг 4: Выполните расчет. (16 × 22) / (7 × 7) = 352/49.
• Шаг 5: Если результат, полученный на предыдущем шаге, представляет собой неправильную дробь, преобразуйте ее в смешанную дробь. т. е. 352/49 = \(7\dfrac{9}{49}\).

Умножение смешанных дробей с разными знаменателями

Умножение смешанных дробей с разными знаменателями определяется как умножение двух смешанных дробей с разными знаменателями, например \(1\dfrac{2}{9}\) и \(2\dfrac{1}{4}\).

Шаги для умножения смешанных дробей остаются одинаковыми независимо от одинаковых или разных знаменателей, как обсуждалось в предыдущем разделе. Давайте возьмем пример умножения смешанных дробей, чтобы понять это лучше.

Пример: Перемножим две смешанные дроби \(1\dfrac{2}{9}\) и \(2\dfrac{1}{4}\), имеющие разные знаменатели.

\(1\dfrac{2}{9}\) × \(2\dfrac{1}{4}\)

= (11/9) × (9/4) [При преобразовании их в неправильные дроби ]

= (11 × 9) / (9 × 4)

= 11/4 [путем исключения общих множителей]

= \(2\dfrac{3}{4}\) [путем преобразования в смешанный дробь]

Таким образом, значение \(1\dfrac{2}{9}\) × \(2\dfrac{1}{4}\) равно \(2\dfrac{3}{4}\) .

Умножение смешанных дробей и правильных дробей

Давайте рассмотрим пример, чтобы понять шаги умножения смешанных дробей и правильных дробей.

Пример: Умножьте дробь 1/5 на \(3\dfrac{1}{3}\).

Мы должны выполнить (1/5) × \(3\dfrac{1}{3}\).

• Шаг 1: Преобразуем заданную смешанную дробь в неправильную дробь. т. е. \(3\dfrac{1}{3}\) = 10/3.
• Шаг 2: Теперь мы умножим данную дробь 1/5 на дробь, полученную на предыдущем шаге. т. е. (1/5) × (10/3).
• Шаг 3: Чтобы умножить (1/5) × (10/3), мы умножим числители и знаменатели дробей. т. е. (1 × 10) / (5 × 3).
• Шаг 4: Чтобы упростить это, мы уменьшим общие множители в числителе и знаменателе, что даст нам 2/3.
• Шаг 5: После выполнения расчета получаем в результате 2/3.
• Шаг 6: Если результатом предыдущего шага является неправильная дробь, мы преобразуем ее обратно в смешанную дробь.

Умножение смешанных дробей на целые числа

Операндами при умножении смешанных дробей на целые числа являются смешанная дробь и умножаемое целое число. Целое число можно записать в формате дроби, предполагая, что знаменатель равен 1. Например, 5 можно записать как 5/1. Шаги умножения смешанных дробей на целые числа будут очень похожи на предыдущий раздел. Давайте возьмем пример, чтобы понять это.

Пример: Умножьте смешанную дробь \(2\dfrac{1}{6}\) на целое число 3.

\(2\dfrac{1}{6}\) × 3

= (13/6) × (3/1) [О преобразовании смешанной дроби в неправильную дробь и записи всего числа через дробь]

= (13 × 3) / (6 × 1)

= 13/2 [Отменив общие множители и вычислив]

= \(6\dfrac{1}{2}\) [Преобразуя результат обратно в смешанная дробь]

Так мы делаем умножение смешанных дробей на целые числа.

Статьи по теме Умножение смешанных дробей

Проверьте эти статьи, связанные с концепцией умножения смешанных дробей.

• Смешанные фракции
• Неправильные дроби
• Правильная дробь
• Дроби

Часто задаваемые вопросы по умножению смешанных дробей

Как решать умножение смешанных дробей?

Умножение смешанных дробей осуществляется путем их преобразования в неправильную дробь с последующим умножением соответствующих числителей и знаменателей по отдельности и упрощением.
Например, \(3\dfrac{5}{7}\) × \(1\dfrac{2}{3}\) 90 185 = (26/7) × (5/3)
= (26 × 5) / (7 × 3)
= 130/21
= \(6\dfrac{4}{21}\)

Как умножать смешанные дроби на целые числа?

Для умножения смешанных дробей на целые числа мы запишем целое число в дробной форме, написав в знаменателе 1 и заменив смешанную дробь на неправильную, а затем умножив две дроби. Например, \(1\dfrac{2}{3}\) × (7/1)
= (5/3) × (7/1)
= (5 × 7) / (3 × 1)
= 35/3 = \(11\dfrac{2}{3}\)

Как умножать смешанные дроби на неправильные дроби?

Смешанные дроби сначала преобразуются в неправильную дробь, а затем результат умножается на заданную неправильную дробь. Окончательный результат упрощается и преобразуется обратно в смешанную дробь, если это неправильная дробь.
Например, \(2\dfrac{1}{8}\) × (26/17) 90 185 = (17/8) × (26/17)
= 13/4
= \(3\dfrac{1}{4}\)

Как умножать смешанные дроби с одинаковыми знаменателями?

Умножение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями осуществляется путем преобразования смешанных дробей в неправильные с последующим умножением числителей и знаменателей по отдельности и упрощением для получения результата.
Например, \(4\dfrac{2}{3}\)× \(3\dfrac{1}{3}\) 90 185 = (14/3) × (10/3)
= (14 × 10) / (3 × 3)
= 140/9
= \(15\dfrac{5}{9}\)

Как умножать смешанные дроби с разными знаменателями?

Умножение смешанных дробей с разными знаменателями можно легко умножить так же, как обычное умножение смешанных дробей. Для этого сначала смешанные дроби будут преобразованы в неправильные дроби. Далее числитель этих неправильных дробей будет умножен. Знаменатели также будут умножены. Результат будет дополнительно упрощен для получения результата.
Например, \(3\dfrac{1}{4}\) × \(3\dfrac{1}{3}\)
= (13/4) × (10/3)
= (13 × 10) / (4 × 3)
= (13 × 5) / (2 × 3)
= 65/6
= \(10\dfrac{5}{6}\)

Как умножить смешанные дроби на правильные дроби?

Чтобы умножить смешанные дроби на правильные, мы сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную, а затем умножаем две дроби и упрощаем их.
Например, давайте умножим 7/8 и \(1\dfrac{4}{7}\)
= (7/8) × \(1\dfrac{4}{7}\)
= (7/8) × (11/7)
= (7 × 11) / (8 × 7)
= 11/8

Умножение дробей Правильная и неправильная дробь с примерами

Дробь представляет собой часть целого. Например, он сообщает, сколько кусков пиццы осталось или съедено по отношению ко всей пицце, например, половина, три четверти.

частей дроби:

Каждая дробь состоит из двух членов, а именно

Числитель, который является верхней частью дроби.

Знаменатель, который является нижней частью дроби.

Пример: 5/9

Здесь 5 — числитель, а 9 — знаменатель.

Типы фракций:

Дроби могут быть двух типов Правильные дроби и Неправильные дроби .

Если и числитель, и знаменатель положительны, а числитель меньше знаменателя, такие дроби называются правильными дробями.

Пример: 08.03, 11.09 и т. д.

Тогда как дроби, у которых числитель больше знаменателя, называются неправильными дробями.

Пример: 8/7, 5/2,  и т. д.

Неправильные дроби также можно записывать, используя комбинацию целого числа и дроби, известную как Смешанная дробь.

Пример:

\(\begin{массив}{l}\frac{29}{8} = 3\frac{5}{8},\end{массив} \)

\(\begin{массив}{l}\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\end{массив} \)

 

В этой статье мы узнаем об умножении дробей и различных других операциях, связанных с дробями.  

Умножение дробей:

Умножение дроби так же просто, как умножение любого другого действительного числа. Чтобы умножить дроби, нам нужно выполнить указанный шаг:

.

Умножьте все члены числителя и все члены знаменателя, чтобы получить числитель и знаменатель дроби соответственно.

\(\begin{array}{l} Произведение \;\; of \;\; Fraction = \frac{Product \;\; of \;\; Числитель}{Product \;\; of \;\ ; Знаменатель}\конец{массив} \)

Пример:

\(\begin{array}{l}\frac{3}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{7}{9} = \frac{3 \times 1 \times 7 }{5 \times 4 \times 9} = \frac{7}{60}\end{массив} \)

 

Это верно для правильной и неправильной дроби. Чтобы найти произведение любых чисел, содержащих смешанную дробь, преобразуйте смешанную дробь в неправильную дробь и умножьте.

Поскольку мы уже знаем, что умножение — это многократное сложение чисел, поэтому сложение числа, умноженное на дробь, приведет к их умножению.

Пример:

\(\begin{array}{l}5 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\end{массив} \)

Дробь как оператор

Когда дробь упоминается как оператор, это означает, что она является частью целого чего-либо. Слово «из» означает умножение. Например, 2/4 от 2 пицц означает 1 пиццу, то есть 2/4 × 2=1.

В другом примере заштрихованные части на приведенном ниже рисунке представляют 4/6 треугольника.

Пример 1:

\(\begin{array}{l}\text{Evaluate}\frac{2}{3} \times \frac{5}{9}\end{array} \)

Решение: Произведение рациональных чисел = (Произведение числителей)/(Произведение знаменателей)

(2/3) х (5/9) = (2×5)/(3×9) = 10/27

Пример 2:

\(\begin{array}{l}\text{Evaluate} 3\frac{1}{4} \times 3\end{array} \)

Решение:  Чтобы найти произведение, преобразуйте смешанную дробь в неправильную, а затем умножьте.

\(\begin{array}{l}3\frac{1}{4} = \frac{(3 \times 4) + 1}{4}\end{array} \)

\(\begin{массив}{l}= \frac{13}{4}\end{массив} \)

Теперь, умножая члены, мы имеем:

\(\begin{array}{l}\frac{13}{4} \times 3 = \frac{13 \times 3}{4} = \frac{39{4}\конец{массив} \)

Пример 3: Найти 5/6 из 12

Решение: 5/6 из 12 средних,

\(\begin{array}{l}\frac{5}{6} \times 12 = \frac{5 \times 12}{6} = 10\end{array} \)

Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы

Q1

Когда дробь умножается на другую дробь, получается____

Когда дробь умножается на другую дробь, получается дробь.

Q2

Каково значение ½ × 7/3?

½ × 7/3 = (1 × 7)/(2 × 3) = 7/6

Q3

Каково значение 8/5 × 12/5?

8/5 × 12/5 = (8 × 12)/(5 × 5) = 96/25.

Q4

Чему равно 2 × 1/8?

2 × ⅛ = (2 × 1)/8 = 2/8 = 1/4.