Как умножить смешанные числа правило. Дроби

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

• разделить числитель на имеющийся знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное — целое;
• и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение

. 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение прибавляется к числителю;
• результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

• две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
• нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
• подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
• в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
• если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

• перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
• найти произведение числителей;
• найти произведение знаменателей;
• записать получившийся результат;
• максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
• найти произведение, несмотря на запятую;
• в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Деление чисел с разными знаменателями. Умножение и деление дробей

1. Чтобы поделить 1-ну дробь на вторую, необходимо делимое умножить на число, которое обратно делителю.

Для правильных и неправильных дробей правило деления следующее:

Чтобы поделить обыкновенную дробь, необходимо числитель делимого умножить на знаменатель делителя, а знаменатель делимого умножить на числитель делителя. Первое произведение берем числителем, а второе — знаменателем.

Деление дроби на дробь.

Чтобы разделить 1-ну обыкновенную дробь на вторую, не равную нулю, необходимо:

• числитель 1-ой дроби умножить на знаменатель 2-ой дроби и записать произведение в числитель полученной дроби;
• знаменатель 1-ой дроби умножить на числитель 2-ой дроби и записать произведение в знаменатель полученной дроби.

Иными словами, деление дробей переходит к умножению.

Чтоб поделить 1-ну дробь на вторую, необходимо делимое (1-ну дробь) умножить на обратную дробь делителю.

Деление дроби на число.

Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

Чтобы поделить дробь на натуральное число, используют такой метод:

Выражаем натуральное число как неправильную дробь с числителем, который равен самому числу, а знаменатель равным 1-це.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Вконтакте

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

• правильные;
• неправильные;
• смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Чтобы понять, как делить дроби, изучим правило и на примерах рассмотрим, как его применять.

Правило деления обыкновенных дробей

Чтобы разделить две дроби, надо первое число умножить нако второму (то есть первую дробь умножаем на перевернутую вторую).

Примеры деления обыкновенных дробей :

Чтобы разделить эти дроби, первую дробь переписываем и , обратную ко второй (делимое умножаем на число, обратное делителю). Сократить здесь ничего нельзя.

Чтобы разделить данные дроби, первое число переписываем без изменений и умножаем на число, обратное ко второму.6 и 9 на 3, 20 и 25 — на 5. Полученная в результате дробь 8/15 — правильная и несократимая. Значит, это — окончательный ответ.

Первую дробь оставляем без изменений и умножаем на число, обратное ко второй дроби. Сокращаем 45 и 36 на 9, 65 и 52 — на 13. В результате получили неправильную дробь, из которой .

При деление двух равных чисел получаем единицу, поэтому сразу можем записать ответ.

Чтобы разделить дроби, первую умножаем на число, обратное ко второму. Сокращаем 23 и 23 на 23, 14 и 7 — на 7. Поскольку в знаменателе стоит единица, ответ — целое число.

В следующий раз рассмотрим, как разделить целое число на дробь.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Умножение дробей с помощью стержней Кюизенера

Умножение — операция, значение которой многие учащиеся не понимают. Когда он сочетается с дробными значениями, проблема понимания операции умножения с дробными значениями требует серьезного изучения с множеством различных возможностей. Использование стержней Кюизенера может быть одним из них. Они могут обеспечить конкретные пропорциональные представления для числовых значений и операций. В этой статье рассматривается умножение с дробными значениями.

Обзор

• Знакомство с Жезлами
• Представление дробей с помощью стержней Кюизенера
• Дробные представления
• Введение в умножение дробей
• Дробные числа меньше, чем одно целое число
• Дробные числа, умноженные на дробные числа
• Смешанный раз смешанный

Знакомство со стержнями Кюизенера

Всего стержней десять, и их длина варьируется от 1 до 10 см.

Каждая длина определяется уникальным цветом:
Белый, красный, светло-зеленый, пурпурный, желтый, темно-зеленый, черный, коричневый, синий и оранжевый

Заглавные буквы используются для обозначения различных стержней. Обратите внимание, что шаблон использует начальную букву до тех пор, пока не появятся три буквы «В», поэтому используются конечные буквы, а затем возвращаются к начальной букве для оранжевого цвета.

Представление дробей с помощью стержней Кюизенера

Для представления дробей или операций с дробями с помощью стержней Кюизенера необходимо выбрать стержень или комбинацию стержней для одного целого или единичного значения.

Ниже приведены некоторые из бесконечных возможностей, которые можно использовать целиком или по отдельности.

Задания, в которых используются конкретные модели, позволяют учащимся научиться создавать мысленные представления на основе визуальных аспектов конкретных моделей. Эти мысленные представления необходимы для понимания дробей и их операций.

Некоторые примеры дробных представлений

Пример с более короткими обозначениями.

Как бы вы завершили эти пять?

Ответы :

• W = 1/2
• Г = 1/3
• Р = 2
• R = 2/3 и D = 2

Образцы больше единицы

Когда учащиеся освоят дроби меньше единицы, им следует давать задачи с целыми числами и дробями больше единицы, смешанными числами.

Как бы вы их завершили?

Ответы :

• 2
• 3
• 4 1/2

 

Введение в умножение дробей

Умножение дробей можно разделить на четыре группы. Давайте кратко рассмотрим каждый тип, чтобы увидеть отношения между факторами и продуктами.

Позже мы рассмотрим каждый тип более подробно и некоторые учебные аспекты.

Первое: умножение дроби на дробь .

Когда дробь, меньшая единицы, умножается на другую дробь, меньшую единицы, результатом является произведение, меньшее любого из множителей.

Например , представьте себе такую ​​задачу:

У человека есть половинка шоколадного батончика и он делится ею с другом. Сколько получает каждый человек?

1/2 1/2 батончика = 1/4 батончика.

Три способа установки со стержнями Кюизенера:

При умножении целых чисел произведение всегда больше любого из множителей.

Произведение меньше любого множителя. Это может быть проблемой для студентов, которые считают, что произведение умножения всегда больше, чем множители.

Второй тип: умножение целого числа на дробь

Второй тип — целое число, умноженное на дробь.

Например, после того, как дети закончили есть пиццу, осталось только три коробки с пиццей, и в каждой было около 1/4 пиццы. Сколько пиццы осталось?

3 коробки Х 1/4 пиццы = 3/4 пиццы фракция. Стоимость этого продукта находится между двумя факторами, если только один из факторов не равен единице; тогда он равен другому множителю. Задачи этого типа по-прежнему не соответствуют ложному предположению, что умножение производит больше произведений, чем множители.

Мама говорит, что я могу посмотреть половину фильма, потом заняться домашними делами, а когда работа будет сделана, я смогу посмотреть остальное. Фильм идет два с половиной часа. Когда я должен заняться домашними делами, если я начну смотреть фильм сейчас?

1/2 от 2 1/2 часов = 1 1/4 часа

Четвертый: умножение смешанного числа на смешанное число

чем любой фактор. Например,
Хуан берет напрокат два фильма по два с половиной часа каждый. Он посмотрел полтора, прежде чем уйти на тренировку. Сколько часов фильмов он отсмотрел (просмотрел)?
1 1/2 от 2 1/2 =

Краткое изложение четырех способов умножения дробей

Четыре сравнения, рассмотренные выше:

1. Дробь, умноженная на дробь: 1/2 * 1/2,
2. Целое число, умноженное на дробь: 2 * 1/2 или дробь, умноженная на целое число 1/2 * 2,
3. Дробь, умноженная на дробь: 1/2 * 1 1/2 или смешанное число, умноженное на дробь: 1 1/2 * 1/2, и
4. Смешанное число, умноженное на смешанное число 1 1/2 * 1 1/2.

Частично они выводятся из физического вида цифр для каждого фактора.

Однако существует также связь между значениями продукта и факторами. Продукты не только наименьшие, когда факторы наименьшие, но и величины этих продуктов меньше, чем сами факторы. Это интересно и полезно знать.

Например:

Коэффициенты меньше единицы:

• 1/2 от 1/2 = 1/4
• 1/2 * 2/3 = 1/3
• 1/2 х 1/5 = 1/10
• 1/2 * 1/4 = 1/8

Один множитель меньше единицы, а другой больше единицы:

• 1/2 от 2 = 1
• 1 /2 х 3 = 1 1/2
• 1/2 * 1 1/2 = 3/4

Оба множителя больше единицы:

• 1 1/2 * 1 1/2 = 2 1/4
• 1 1/2 x 2 1/2 = 3 3/4
• 1 1/2 от 2 = 3

Один фактор равен одному:

• 1/2 от 1 = 1/2
• 1 * 2 1/2 = 2 1/2
• 2 1/4 х 1 = 2 1/4

Учебные рекомендации

При обучении умножению дробей большинство преподавателей начинают с умножения дробей меньше единицы и целых чисел. Обычно находят дробные части целых чисел, которые приводят к хорошим продуктам (1/2 x 4 = 2, хорошо, 1/2 от 5 не очень).

Затем перейдите к целым числам, умноженным на дроби: 4 * 1/2 = 2.

Затем обе дроби меньше одной 1/2 от 1/2 = 1/4. Как только учащиеся узнают, как решать такие типы задач, слишком многие учителя считают, что учащиеся могут обобщить процедуру, которая работает для умножения дробей всех типов. Эта практика, отсутствие понимания умножения дробей оставляет большинство людей в неведении о понимании умножения дробных чисел и различных отношениях факторов и продуктов.

Палочки Кюизенера помогают учащимся создавать и обобщать мысленные представления, расширяя их понимание дробей до операции умножения на дроби и возникающих взаимосвязей.

Постановка и решение задач на дробные числа, меньшие одного умножения на целые числа

Начнем с 1/3 от 3.

Первое, что нужно сделать, это решить, что использовать для представления единицы. Если белый выбран как один, то светло-зеленый будет иметь значение три, потому что три белых составляют светло-зеленый, следовательно, одна треть светло-зеленого стержня может быть представлена ​​​​белым, а мы уже знаем, что белый — это один, поэтому 1 /3 из 3 = 1,

Давайте посмотрим на другое произведение, которое больше единицы, 1/3 от 6 = 2.

Опять же, первое, что нужно сделать, это решить, что использовать для представления одного. Если мы выберем белый как один, то светло-зеленый будет иметь значение шесть. Три красных составляют зеленый, поэтому одна треть светло-зеленого — это красный, поскольку белый — это один, тогда красных будет два.

Давайте попробуем решить задачу с продуктом меньше единицы, 1/3 от 1.

У Чи есть упаковка мясного фарша весом один фунт, и она хочет приготовить три гамбургера.

Если белый представляет один, это означает, что у нас не будет стержней меньше белого цвета, которые можно было бы использовать для представления трех гамбургеров. Чтобы решить эту проблему, выберите стержень большего размера, чтобы использовать его для упаковки мяса весом в один фунт, чтобы были стержни меньшего размера для представления гамбургеров.

Учащиеся, которые раньше использовали стержни, узнают, что если они считают светло-зеленый = 1, то белый цвет можно использовать для представления гамбургеров, потому что 3 белых стержня = 1 зеленому стержню. Следовательно, светло-зеленый в этом представлении равен единице, а белый меньше единицы, или 1/3.

Учащимся необходимо несколько раз попрактиковаться в задачах на умножение дробных значений меньше единицы и целых чисел с помощью стержней, а также с другими манипуляциями и представлениями.

Самая большая трудность для учащихся – умение связать дробные числа. значения и целые значения на один и тот же стержень и плавно переходя от задачи к задаче. это развитие веха, которую учащиеся изо всех сил пытаются получить для понимания дробей, разрядное значение, кратные числа и другие математические идеи.

Постановка и решение задач на целые числа, умноженные на дробные числа меньше единицы

Предыдущие примеры включали дробную часть, умноженную на целое число меньше одного раза со значением единицы и больше: 1/3 X 3 = 1, 1/3 X 6 = 2 и 1/3 X 1 = 1/3

Однако примеры целых чисел, умноженных на дробные числа меньше единицы: 3 X 1/3 = 1, 6 X 1/3 = 2 и 1 X 1 /3 = 1/3 не были включены.

В то время как учащиеся, которые понимают свойства умножения, могут использовать свойство перестановочности и рационализировать три раза, когда одна треть равна одной трети от трех (3 * 1/3 = 1/3 * 3) и аналогично для других. Есть разница в том, как эти проблемы возникают в мире и представляются.

Способность понимать, представлять и решать задачи с дробными значениями и операцией умножения требует большего, чем знание 3 * 1/3 = 1/3 * 3 по свойству коммутативности.

Итак, давайте рассмотрим пример с целым числом и дробью со значением меньше единицы.

У Кейт три видео. Каждая длится треть часа (20 минут). Если она будет смотреть их всех подряд, сколько это займет времени?

Для этой задачи треть часа нужно представить три раза. Если светло-зеленый представляет один час, то белый может представлять одну треть часа.

Для решения задачи требуется три белых, по одному на каждое третьечасовое видео. Три трети часа или 1 час.

Больше дробных чисел меньше, чем одно целое число

Вы можете подумать, что примеры были подогнаны под размеры стержней, и задаетесь вопросом, что происходит, когда подгонка не так хороша.

Давайте посмотрим, как настроить такую ​​задачу, как одна треть из пяти.

• Что составляет треть пяти пальцев? (брутто?)
• Если у меня есть пять мешков с почвой, и я хочу положить по одной трети в каждый из трех горшков, сколько мешков пойдет в каждый?

Поскольку светло-зеленый — это первая известная нам удочка, которая может быть сопоставлена ​​с тремя другими удочками (тремя белыми), мы можем использовать ее как одну. Если представить светло-зеленый цвет как один, то пять светло-зеленых палочек представляют пять. Пять светло-зеленых палочек или сочетание оранжевого и желтого также представляют собой пять светло-зеленых. В любом случае желтый стержень будет на 1/3 из пяти светло-зеленым или комбинацией оранжевого и желтого.

Еще …

Вы, наверное, заметили, что все примеры имеют только одну дробную часть или числитель один. Также возможно представлять дробные числа меньше единицы, с несколькими дробными частями (числитель больше единицы), умноженными на целое число.

Пример 1

У Майка было десять десятицентовиков, и он отдал три пятых Джозе. Сколько получил Хоза?

Три пятых десяти. Нужно представлять группу из десяти десятицентовиков. Если белый представляет собой одну центовую монету, то оранжевый представляет десять. Одна пятая — это красный цвет, поэтому три пятых — это три красных, один красный равен двум десятицентовым монетам, а три — шести десятицентовым монетам.

Пример 2

Группа из одиннадцати детей шла в кино, когда один из них заметил, что потерял деньги, чтобы попасть на представление. Остальные десять решили, что если каждый даст три пятых доллара этому одиннадцатому человеку, этого будет достаточно для того, чтобы купить билет в кино. Сколько дали этому человеку? (10 х 3/5).

Давайте попробуем два способа: 3/5 х 10 и 10 х 3/5:

Если мы позволим белым представлять один доллар, то оранжевый будет десять долларов. Одна пятая часть оранжевого — красный, поэтому три пятых — это три красных. Стоимость в долларах была установлена ​​как белая, равная одному доллару. Следовательно, оранжевый цвет равен десяти долларам, красный — двум долларам, а три красных — шести долларам.

Второй способ представления этого числа состоит в том, чтобы изобразить три пятых доллара светло-зеленым цветом, взять десять из них и найти значение для всех десяти.

Пример 3

Папа всегда пытается заставить людей думать, поэтому он говорит такие вещи, как на столе три пакета, вам нужно взять две трети из них (2/3 X 3). Сколько мне нужно было взять?

Давайте попробуем это же двумя способами: 2/3 X 3 и 3 X 2/3:

Первые две трети из трех:

Второй три раза по две трети или три группы по две трети:

Для 3 x 2/3.
Зеленый был выбран для обозначения одного из них.
Если зеленый = 1, то красный = 2/3
Следовательно, три красных стержня представляют собой три группы по две трети.

Резюме

Учащимся труднее работать с дробными частями больше единицы/части (1/2, 1/3, 1/4, 1/5…). Им требуется время, чтобы обобщить свое понимание от одной трети до двух третей и других кратных дробных частей для других дробей.

Учащимся нужно дать время, чтобы соединить свое прежнее понимание сложения и умножения целых и дробных чисел. Когда они это сделают, они поймут, что две трети можно представить себе как две трети, умноженные на одну треть, или одну треть, добавленную дважды.

Чтобы получить представление о дробных значениях, когда множитель имеет числитель больше единицы, мы должны знать, что он кратен единице дробной части. Например, три пятых кратны одной пятой. Следовательно, три пятых имеют множители 3 и 1/5.

Предыдущий опыт работы с множителями, пропуском счета, умножением в виде строк и столбцов, площадью, прямоугольниками, квадратами и повторным сложением необходим для понимания дробей и умножения.

Дробные числа меньше единицы, умноженные на дробное число меньше единицы

Правильная дробь умножается на правильную дробь, но я не люблю называть дроби правильными и неправильными. Это дроби, и иногда одна полезнее другой, но эта полезность может определяться только использованием, а не формой, в которой находится число.

Вы наверняка поняли, что знание того, что представлять как единицу, является ключом к получению точного решения. Любая реальная или мировая проблема требует, чтобы для каждой проблемы было выбрано единичное значение, представляющее значение единицы. Это действительно помогает отметить это как часть представления, чтобы все знали присвоенные значения.

Давайте посмотрим несколько примеров того, как дробные числа меньше единицы умножаются на дробное число меньше единицы.

Пример 1:

Папа, брат и я косили соседский двор. Мы с братом скосили половину переднего двора, что, по словам отца, составляло две пятых всего двора. Какую часть всего двора я косил? 1/2 фасада, что составляет 2/5 всего двора.

Сначала решите, что использовать как единицу, чтобы можно было представить две пятых.

Затем спросите, что такое половина двух пятых, и изобразите ее.

Затем определите значение Белого, если Желтый — единица. Учащимся, возможно, потребуется напомнить, чтобы они спросили, какую часть целого (одного стержня или единицы) представляет верхний стержень. В этом случае белый — это и 1/2 от 2/5, и 1/5 от желтого или один. Это проблема многих маленьких детей. Объекты, имеющие одинаковые одновременные значения.

Вам может быть интересно, как учащиеся выбирают удочку для единицы (одной). Для задачи, которую мы только что решили, мы знали, что хотим сделать две пятых, поэтому имеет смысл выбрать стержень, который можно использовать для представления пятых. Есть только два стержня, из которых можно выбрать: Желтый и Оранжевый. Если вы раньше не использовали удилища Кюизенера, вам придется подумать об этом. Те, кто испытал их в течение нескольких часов, думая о том, какие стержни можно использовать для создания поездов, чтобы соответствовать другим стержням, будут знать, какие цветные стержни можно использовать, чтобы равномерно соответствовать другим. Может быть даже полезно предложить учащимся составить список или таблицу этих отношений.

Итак, для этой задачи мы использовали желтый цвет, но давайте посмотрим, как он был бы представлен, если бы он был оранжевым.

Во-первых, мы решили использовать Оранжевый как единицу, чтобы две пятых были представлены красным.

Затем спросите, что такое половина двух пятых, и изобразите ее красным цветом.

Затем определите значение 1/2 от 2/5. Так как Оранжевый — один, то Красный — 1/5 его. Опять же, многим учащимся нужно будет напомнить, чтобы они спросили, какая часть
целого (одного стержня или единицы) представляет верхний стержень.

При выборе чего-либо для представления единицы или единицы, думать о том, какие стержни соответствуют другим стержням, не работает, тогда это простое правило всегда будет работать:

Сначала попробуйте использовать знаменатель второго множителя. Если это не сработает, умножьте знаменатели и определите, какой стержень или комбинация стержней потребуется, чтобы получить длину (см) такого количества белых.

Например, если проблема была 2/3 X 4/5. Желтый был бы первым выбором, но 2/3 желтого цвета не могут быть представлены целыми стержнями. Таким образом, 3 * 5 = 15, и вместо одного можно использовать три желтых или оранжевый и желтый. Две трети могут быть представлены двумя желтыми).

Не говорите об этом ученикам. Скажите им, чтобы они подумали о размере частей, которые они хотят использовать. Если не поможет, то подскажите что поможет. Поиск единичного стержня может быть интересным и сложным, но если учащимся предложить умножать знаменатели, некоторые будут продолжать делать это, даже когда это нежелательно. Например, 1/5 х 5/9. Если знаменатели перемножить (45), то четыре оранжевых стержня и один желтый стержень будут представлять один. Эта комбинация будет работать, но использование blueE обеспечивает лучшее представление, чтобы облегчить концептуальное понимание, что облегчит решение задач учащимися и беглость математики. Изучение правил без концептуализации — это процедурное знание без знания того, когда и как его использовать.

Другой пример

Этот пример представляет собой наиболее сложный тип задачи на правильную дробь, умноженную на другую правильную дробь. Их следует избегать до тех пор, пока ученики не освоят остальные.

Мать дала Мэри пакет конфет и велела разделить его с братом и сестрой. Когда ее брат увидел ее с конфетами, он спросил, можно ли ему немного. Мэри сказала ему, что он может, но она должна разделить его между ними тремя. Итак, она и ее брат разделили его на три равные группы. Ее брат взял свою долю и оставил Мэри с двумя третями в мешке. Когда ее сестра обнаружила конфеты, она подошла к Мэри и попросила свою долю. Мэри снова сказала, что ей сказали разделить его на три части и поделиться. Итак, они разделили его на три равные группы, ее сестра ушла со своей, а Мэри положила две трети в мешок. Сколько конфет из первоначального мешка в итоге досталось Мэри?

Проблема :
Конфеты, оставшиеся после того, как ее брату и сестре дали долю, составляют 2/3 конфет, оставшихся после того, как она дала долю ее брату и оставила Мэри 2/3 первоначального мешка.

Сначала подумайте, что вы хотите оштрафовать две трети мешка, в котором две трети того, что было в исходном мешке (2/3 мешка из 2/3 мешка).

Затем решите Пусть bluE = один и найдите две трети синего цвета. Два светло-зеленых.

Затем найдите две трети светло-зеленого (2/3 от 2/3).

Это можно представить двумя способами.

1. светло-зеленый представляет 2/3 синего, а красный представляет 2/3 двух светло-зеленых, которые считаются одним темно-зеленым
2. светло-зеленый представляет 2/3 синего, а белый представляет 2/3 светло-зеленого

Сложность понимания умножения дробей связана с распознаванием частей и целых чисел, а также того, как они соотносятся и изменяются в зависимости от их значений и операции умножения.

Примером такой двойственности значений является ситуация, когда две светло-зеленые палочки используются как две части (2/3), а также вместе как единое целое (2/3), чтобы определить, что составляет две трети.

Чтобы понять эти взаимосвязи, учащимся требуется много времени, чтобы испытать, интерпретировать, построить понимание и связать это понимание. Один из способов выделить время для достаточного опыта состоит в том, чтобы либо отложить обучение умножению дробей процедурно, либо полностью прекратить обучение этому процедурно и позволить ученику изобретать свои собственные алгоритмические процедуры.

Чтобы понять, почему произведения дробей так разнообразны. Использование конкретных представлений помогает учащимся понять, почему, и начинает предлагать различные подходы к размышлению о проблемах.

Смешанная дробь, умноженная на смешанную дробь

Задачи со смешанными дробями, умноженными на смешанную дробь, могут быть решены путем умножения четырех множителей и сложения произведений. Хотя эта идея важна для понимания умножения, она не так очевидна, когда для решения подобных задач используется стандартный алгоритм.

Давайте посмотрим, как можно объединить предыдущие идеи для умножения смешанных дробей:

Пример 1 1/2 X 2 1/2:

Сначала определите коэффициенты, которые необходимо умножить.

Затем решите, как его изобразить.

После того, как решено, как будет представлена ​​единица, можно решить задачу путем умножения четырех пар чисел: 1 x 2, 1 x 1/2, 1/2 x 2 и 1/2 x 1/. 2. Как показано выше.

Однако, когда человек поймет, как работает умножение дробей, он сможет найти всевозможные короткие пути. Например: в задаче 1 1/2 умножить на 2 1/2 ее можно решить мысленно, подумав:

1 х 2 1/2 = 2 1/2 и 1/2 х 2 1/2 = 1 1/4.
Затем объедините 2 1/2 + 1 1/4, чтобы получить 3 3/4

Другой пример: 12 1/4 X 12 1/4
12 х 12 = 144
12 х 1/4 = 3
1/4 х 12 = 3
1/4 х 1/4 = 1/16
144 + 3 + 3 + 1/16 = 150 1/16

Я считаю, что это проще, чем использование традиционного алгоритма, когда нужно умножить 49 x 49 и разделить этот продукт, 1401, на 16, и, что более важно, это приходит с пониманием.

Учащиеся, имеющие достаточный конкретный опыт, поймут все методы и будут иметь уверенность и способность выбирать стратегию, основанную на точных мысленных образах. Алгоритм не помогает учащимся концептуально понять умножение дробей. Поэтому, хотя это может быть быстрее, нужно понимать, почему пары чисел должны быть умножены и что это означает для каждого типа.

Резюме

Некоторые ученики всегда хотят запомнить правило, потому что они отказались от мысли, что они могут понять математику, или они не видят никаких преимуществ в решении задач, кроме как с помощью правил. Они обнаруживают, что все, что им обычно нужно сделать, это взять правило и использовать его, когда им представляют проблемы, уже поставленные на рабочих листах, но жизнь не представляет проблемы таким образом.

Предлагая задачи в реальных ситуациях и предлагая учащимся понять их мир, большинство учащихся будут тратить время и усилия, чтобы научиться использовать математику, чтобы понимать и объяснять мир.

Представление сложных задач и достаточно тщательно подобранных задач, таких как:

2/3 X 4/4

Учащиеся, использующие правило, в итоге получают больше работы, тогда как те, кто уделяет время изучению задачи, думают

4/ 4 = 1

И переходим к ответу.

Другие задачи, такие как:

1/2 X 22/36

1/3 X 9 3/8

2/3 X 27 понимать умножение дробей.

Использование жезлов — это только начало.

Заметки доктора Роберта Суитленда

Изучить определение, факты и примеры

Дробь — это число, являющееся составной частью целого. Разбивая целое на ряд частей, оно оценивается. Если дробь выражается как a/b, то a и b являются ее компонентами, причем a служит числителем дроби, а b служит ее знаменателем. Например, если 1/2 — дробное значение, то 1 — это числитель, а 2 — знаменатель, и это значение представляет половину целого числа.

Введение в умножение дроби

Произведение дроби на другую дробь, целое число или набор переменных называется умножением дроби.

Умножение — это процесс повторения сложения. Посмотрите на изображение ниже, чтобы понять это. Прочитав эту статью, вы сможете ответить и решить такие вопросы, как нахождение произведения дробей, как умножать разные дроби и т. д.

Умножение как повторяющееся сложение

Как размножить фракцию

Стадии для умножения фракций следующие:

• Умножение числителя с числителем

• Умножьте деморандутор с деноментатором

• . до наименьшего срока), если это необходимо.

Дробное умножение

Теперь поговорим о дробном умножении на целые числа, дробные числа и смешанные дробные числа.

Умножение дроби на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число, сначала умножьте числитель дроби на целое число, а затем при необходимости сократите дробь до наименьшего члена.

Умножим 2/3 на 4, чтобы понять умножение дробей на целые числа. Для ее решения воспользуемся правилом повторного сложения.

Умножение дроби на целое число

Это означает, что мы можем сказать, что 2/3 от 4 равно 8/3.

Умножение дроби на другое дробное число

При умножении двух или более дробей знаменатели умножаются для получения знаменателя произведения, а числители умножаются для получения нового числителя произведения.

Умножим 1/4 на 1/2, чтобы понять умножение дробей на другие дробные числа.

Для этого сначала умножьте числители 1 на 1, а затем умножьте знаменатели 4 на 2.

Умножение дроби на другое дробное число

Это означает, что мы можем сказать, что 1/4 от 1/2 равно 1/8.

Умножение дроби на смешанное число

Чтобы умножить дробное число на смешанное число, сначала преобразуйте смешанное число в неправильное дробное число, а затем просто примените правило, которое мы обсуждали выше, для умножения дроби на другое дробное число. Посмотрите на приведенный ниже пример, чтобы понять эту концепцию.

Умножим 6 на 3$\frac{1}{4}$,

Чтобы найти произведение дроби и смешанного числа, мы сначала упростим смешанное число 3 ¼ as;

(4 × 3 + 1)/4 = 13/4

Тогда

6 × 13/4 = 78/4.

Примеры умножения дробей

Давайте лучше разберемся с концепцией на нескольких примерах умножения дробей.

Пример 1: умножьте 4 на 2/8.

Ответ: умножьте числитель на 4.

4 × 2 = 8

Это означает, что 4 × 2/8 = 8/8

Теперь уменьшите полученную дробь до наименьшего члена,

8/8 = 1

Следовательно, 4 на 2/8 = 1,

Пример 2. Умножьте 2/3 на 5/9.

Ответ:

Шаг 1. Умножьте числители,

2 × 5 = 10

Шаг 2. Умножьте знаменатели,

3 × 9 = 27

Следовательно, 2/3 на 5/9 = 10/27.