Как умножать дроби простые: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Как умножать простые дроби

Простые дроби (обыкновенные)- это часть единицы или несколько ее частей. Она имеет числитель и знаменатель. Знаменатель – это число равных частей, на которые поделена единица. Числитель- это число взятых равных частей.С простыми дробями можно выполнять простейшие арифметические операции: сложение, вычитание, сравнение, умножение и деление.Вам понадобится

Возьмите две простых (обыкновенных) дроби, которые требуется умножить друг на друга. Для умножения подходят любые простые (обыкновенные дроби).

Если дробь содержит целую часть, то ее надо привести к неправильному виду, то есть умножить целую часть на знаменатель дробной части и сложить с числителем дробной части. Знаменатель при этом остается тот же.

Например:
4 1/3= (4*3+1)/3 = 13/3;
5 3/8 = (5*8+1)/8 = 41/8;

Согласно правилу умножения простых (обыкновенных) дробей, чтобы умножить число на дробь нужно умножить его на числитель дроби и разделить полученное произведение на знаменатель дроби. Таким образом, чтобы получить результат умножения двух простых (обыкновенных) дробей нужно разделить произведение их числителей на произведение их знаменателей.

Например, у нас есть две простых (обыкновенных) дроби 1/4и 3/5
Возьмите их числители — 1 и 3 и перемножьте их между собой. Для этого используйте таблицу умножения. В столбце, на пересечении двух чисел, находится результат их произведения.
1*3=3

Возьмите их знаменатели – 4 и 5 и перемножьте их между собой. Используйте таблицу умножения: 4*5=20

Разделите получившийся числитель на получившийся знаменатель. Ответ — 3/20;

Деление в данном случае подразумевает вид записи простых (обыкновенных) дробей. Для этого используется разделительная черта. Числитель записывается сверху черты, а знаменатель – снизу.

Также при записи простой (обыкновенной) дроби может использоваться знак прямой слеш «/»

Если простые (обыкновенные) дроби имеют знаки, то при умножении действуют те же правила, что и с любыми простыми числами. Два отрицательных знака дают минус, два положительных – плюс, если один знак положительный, а другой знак отрицательный, то – минус.

Например:
— 1/3 * 1/6 = -1/18;
— 2/3 *- 5/7 = 10/21;

Как использовать обыкновенные дроби в Excel

Автор Антон Андронов На чтение 3 мин Опубликовано

Если Вам приходилось работать в Excel, с большой вероятностью Вы использовали его для хранения и выполнения вычислений с данными различных типов, таких как целые числа, десятичные дроби и проценты. Однако может произойти так, что потребуется работать в Excel со значениями в виде обыкновенных дробей, таких как 1/2 (одна вторая) или 2/3 (две третьих), не переводя в десятичные дроби.

К примеру, у нас есть рецепт шоколадного печенья, и мы хотим оформить его в Microsoft Excel. В рецепте требуется ингредиент – 1/4 чайной ложки соли, его необходимо записать в столбец B, как обыкновенную дробь.

Перед тем, как начать вводить ингредиенты, мы должны кое-что изменить в нашей таблице. Как Вы, вероятно, помните (в том числе из наших уроков), к любой ячейке в Excel можно применить специальное форматирование, т.е. числовой формат. В Excel существует дробный числовой формат, который позволяет вводить значения в виде дробей. Для этого мы выделяем столбец B, а затем на вкладке

Home (Главная) в выпадающем списке Number Format (Числовой формат) выбираем пункт Fraction (Дробный).

Обратите внимание, что мы в этом примере работаем в Excel 2013, но этот способ будет работать в Excel 2010 и 2007 точно также. Что касается Excel 2003 и более ранних версий, выделите нужные ячейки и нажмите сочетание клавиш Ctrl+1, чтобы настроить числовой формат. Учтите, что такой возможности нет в Google Sheets.

Теперь, когда числовой формат настроен, мы готовы вводить дроби в столбец B.

Заметьте, что числа могут отображаться как смешанные дроби, в виде 2 3/4 (два и три четверти). Если Вы выделите одну из таких ячеек, в строке формул станет видно, что на самом деле Excel обрабатывает эти значения как десятичные – формат обыкновенной дроби изменяет лишь способ отображения числа в ячейке. Например,

2 3/4 это то же самое, что и 2.75.

Вы можете использовать обыкновенные дроби в формулах и функциях. Представим, что этот рецепт рассчитан на две порции печенья. Если требуется приготовить четыре порции печенья, то при помощи Excel можно удвоить рецептуру. Если нам нужно удвоить количество соли в рецепте, мы должны умножить значение ячейки B2 на 2; формула будет вот такая: =B2*2. А дальше мы можем скопировать формулу в другие ячейки столбца C, выделив ячейку и потянув за маркер автозаполнения.

Мы получили новые дробные значения для нашего удвоенного рецепта! Как видите, используя такой числовой формат в Excel работать с дробями становится заметно проще, особенно, если Вы не хотите преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные.

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

Отображение чисел в качестве дробей

Используйте формат «Дроб», чтобы отображать или ввести числа как фактические дроби, а не в десятичных числах.

  1. Выделите ячейки, которые нужно отформатировать.

  2. На вкладке Главная нажмите кнопку вызова диалогового окна рядом с именем группы Число.

  3. В списке Категория выберите дроби.

  4. В списке Тип выберите нужный тип формата дроби.

Формат дроби

В этом формате 123,456 отображается как

Дробная часть с одной цифрой

123 1/2, округление до ближайшего однозначного значения дроби

Двузначная дробь

123 26/57, округлизация до ближайшего двузначного значения дроби

Трижды значок дроби

123 57/125, округлизация до ближайшего трехзначного значения дроби

Дробный в качестве дробей

123 1/2

Дробный по кварталам

123 2/4

Дробный в качестве частиц

123 4/8

Дробные части в качестве шестнадцатых

123 7/16

Дробный в качестве десятых

123 5/10

Дробные части в качестве сотых

123 46/100

Число в активной ячейке выбранного на этом сайте отображается в поле Образец, чтобы можно было просмотреть выбранные параметры форматирования.

Советы для отображения дробей

  • После применения формата дроби к ячейке дробные числа, а также фактические дроби, которые вы в нее введите, будут отображаться как дроби. Например, если ввести 0,5 или 1/2, то при формате ячейки с типом дроби до одной цифры будет 1/2.

  • Если к ячейке не применен формат дроби и вы введите дробную часть, например 1/2,она будет отформатирована как дата. Чтобы отобразить дробную часть, применив формат дроби, а затем впечатаем ее еще раз.

  • Если вам не нужно выполнять вычисления с дробями, перед тем как ввести в нее дробную часть, можно отформать ячейку как текст, щелкнув Текст в списке Категория. В этом случае дробные части не будут уменьшаться или преобразовываться в десятичных. Однако математические вычисления с дробями, которые отображаются как текст, выполнять нельзя.

  • Чтобы сбросить числовом формате, в диалоговом окне Категория(диалоговое окно Формат ячеек) или Числовом формате(вкладкаГлавная, группа Число) нажмите кнопку Общий. В ячейках с форматом Общий форматирование к числам не применяется.

Действия с дробями: правила, приёмы, примеры

Условимся считать, что под «действиями с дробями» на нашем уроке будут пониматься действия с обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь — это дробь, обладающая такими атрибутами, как числитель, дробная черта и знаменатель. Это отличает обыкновенную дробь от десятичной, которая получается из обыкновенной путём приведения знаменателя к числу, кратному 10.

Десятичная дробь записывается с запятой, отделяющей целую часть от дробной. У нас пойдёт речь о действиях с обыкновенными дробями, так как именно они вызывают наибольшие затруднения у студентов, позабывших основы этой темы, пройденной в первой половине школьного курса математики. Вместе с тем при преобразованиях выражений в высшей математике используются в основном именно действия с обыкновенными дробями. Одни сокращения дробей чего стоят! Десятичные же дроби особых затруднений не вызывают. Итак, вперёд!

Две дроби и называются равными, если .

Например, , так как

Равными также являются дроби и (так как ), и (так как ).

Очевидно, равными являются и дроби и . Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной: .

Это свойство называется основным свойством дроби.

Основное свойство дроби можно использовать для перемены знаков у числителя и знаменателя дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить на -1, то получим . Это означает, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

;

.

Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Пусть, например, дана дробь . Числа 36 и 48 имеют наибольший общий делитель 12. Тогда

.

В общем случае сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

Забыли, что такое простые и составные числа и чем они различаются? Сейчас узнаем заново.

Простым называется число, которое делится (нацело) на само себя и на единицу. Составным числом называется число, которое делится на само себя, единицу и минимум ещё на одно натуральное число.

Вот первые 25 простых чисел в порядке их возрастания:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

А вот все составные числа, не превышающие 50, также в порядке их возрастания:

4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30; 32; 33; 34; 35; 36; 38; 39; 40; 42; 44; 45; 46; 48; 49; 50.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Итак, сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Всё вышесказанное применимо и к дробным выражениям, содержащим переменные.

Пример 1. Сократить дробь

.

Решение. Для разложения числителя на множители, представив предварительно одночлен — 5xy в виде суммы — 2xy — 3xy, получим

Для разложения знаменателя на множители используем формулу разности квадратов:

.

В результате

.

Далее, изменяя знаки в числителе и знаменателе дроби, получим

Пусть даны две дроби и . Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причём такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим

.

Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

.

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

.

Но это не единственное решение поставленной задачи: например, данные дроби можно привести также к общему знаменателю 70:

,

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и 7.

Рассмотрим ещё один пример: приведём к общему знаменателю дроби и . Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

,

.

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдём наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: НОК(24, 30) = 120.

Так как 120:4=5, то чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5, это число называется дополнительным множителем. Значит .

Далее, получаем 120:30=4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим .

Итак, данные дроби приведены к общему знаменателю.

Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей является наименьшим возможным общим знаменателем.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Для дробных выражений, в которые входят переменные, общим знаменателем является многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Сложение дробей определяется следующим образом:

.

Например,

.

Если b = d, то

.

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

.

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают числители. Например,

.

На сайте есть калькулятор онлайн для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел.

Теперь рассмотрим пример сложения дробных выражений с переменными.

Пример 3. Преобразовать в одну дробь выражение

.

Решение. Найдём наименьший общий знаменатель. Для этого сначала разложим знаменатели на множители:

1) ;

2) ;

3) .

Наименьший общий знаменатель:

Дополнительные множители, на которые умножаются числители дробей:

1) 6;

2) ;

3) .

Результат этого умножения:

.

Далее, раскрывая скобки и выполняя тождественные преобразования, получаем

.

Произведение двух дробей и равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей, т. е. .

Например,

.

При делении дроби на дробь числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя, т. е. .

Например,

.

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т. е. если , то .

2. Из пропорции вытекают следующие пропорции: , , , то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

3. Чтобы найти неизвестный средний (крайний) член пропорции, нужно произведение крайних (средних) членов пропорции разделить на известный средний (крайний) член пропорции: и .

В высшей математике это действие с дробями чаще всего применяется при интегрировании рациональных функций. Поэтому оно подробно разобрано в уроке Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Умножение смешанных дробей на простые числа. Умножение и деление дробей

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

  • правильные;
  • неправильные;
  • смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

  1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
  2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Умножение дробей и значение слова «от» . Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

Складывать и вычитать дроби бывает неудобно, но, к счастью, с умножением и делением все обстоит гораздо проще.

Умножение дробей часто скрывается за словом «от». Если вы говорите «три четверти от двенадцати», на самом деле вы имеете в виду 3/4 ? 12. При умножении целого числа на дробь нужно выполнить две операции: умножить число на числитель и разделить на знаменатель. Вот как это будет выглядеть для 3/4 ? 12.

Чтобы перемножить две дроби, нужно просто перемножить их верхние и нижние части.

Предположим, вы каждые субботу и воскресенье по 7 часов наблюдаете за птицами. Какая это будет часть от целой недели? Суббота и воскресенье составляют 2/7 недели, а поскольку в сутках 24 часа, вы тратите 7/24 от них, пытаясь выследить пеструю камышовку или хохлатого зяблика. Получается выражение

Наверное, вы заметили, что 14 и 168 делятся на 14, что даст в результате 1/12. А не лучше ли вообще не связываться с такими большими числами? При умножении дробей всегда стоит поискать возможность их по ходу дела сократить. Самое оптимальное – найти одно и то же число в числителе и знаменателе дробей, потому что тогда эти числа взаимно уничтожаются.

Вернемся к выражению

Взгляните на две семерки: вверху дроби и внизу. Подсчитав верхнюю и нижнюю части дроби, мы в итоге придем туда, откуда начали, то есть 14/168. Вместо этого зачеркнем обе семерки и заменим их единицами. Давайте посмотрим, что еще можно сделать.

Итак, теперь вы знаете, что тратите двенадцатую часть недели на наблюдения за птицами. Это соответствует одной минуте из каждых 12 минут вашей жизни или же целому месяцу в год! (Если вы начнете высчитывать дроби для всех своих регулярных занятий, например для хобби или поездок на работу, результаты могут вас шокировать. К примеру, большинство людей проводят в ванной комнате около 10 дней в году.)

Есть одна старая математическая головоломка, которую время от времени перепечатывают в газетах. Сколько будет 9/10 ? 8/9 ? 7/8 ? 6/7 ? 5/6 ? 4/5 ? 3/4 ? 2/3 ? 1/2? Тот, кто решает это опубликовать, наверняка сидит в своем кабинете, поглаживая белую кошку, и демонически хохочет, предвкушая, как читатели засядут за вычисления. Однако не тут-то было: эти числа взаимно уничтожаются, и в итоге остается 1/10.

Выполни деление алгебраических дробей. Умножение алгебраических дробей

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и вычитание алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

Мы умеем выполнять умножение и деление арифметических дробей, например:

если буквы a, b, c и d обозначают арифметические целые числа.

Возникает вопрос, не остаются ли в силе эти равенства, если a, b, c и d будут обозначать: 1) какие-нибудь арифметические числа и 2) любые относительные числа.

Прежде всего придется рассмотреть сложные дроби, например:

Этих примеров уже достаточно, чтобы убедиться в справедливости равенств, относящихся к умножению и делению дробей, когда числа a, b, c и d какие угодно (целые или дробные) арифметические. Заметим, что основных равенств лишь 2, а именно:

Остается теперь рассмотреть, останутся ли справедливыми эти равенства, если некоторые из чисел a, b, c и d предположить отрицательными: если, например, a отрицательное число, b, c и d – положительные, то дробь отрицательна, а дробь положительна; поэтому, например, от деления на должно получиться отрицательное число, но мы видим, что, согласно нашему предположению, и выражение должно выразить отрицательное число, т. е. равенство оправдывается и в этом случае. Легко также рассмотреть и другие предположения для знаков числе a, b, c и d . Результатом этого рассмотрения является убеждение в справедливости равенств

и для случая, когда a, b, c и d выражают любые относительные числа, т. е. для умножения и деления алгебраических дробей остаются в силе те же правила, как и для арифметических.

Теперь мы можем выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наибольшие затруднения представляет здесь вопрос о сокращении дробей, получаемых после умножения или деления. Если алгебраические дроби одночленные, то сокращение полученного результата не представит затруднений, а если дроби алгебраические, то является необходимым предварительно числителя и знаменателя каждой из данных дробей разлагать на множители.

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18

Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень» — вспомогательное средство для ведения урока математики по данной теме. С помощью видеоурока учителю легче сформировать у учеников умение выполнять умножение и деление алгебраических дробей. Наглядное пособие содержит подробное понятное описание примеров, в которых выполняются операции умножения и деления. Материал может быть продемонстрирован во время объяснения учителя или стать отдельной частью урока.

Чтобы сформировать умение решать задания на умножение и деление алгебраических дробей, по ходу описания решения даются важные комментарии, моменты, требующие запоминания и глубокого понимания выделяются с помощью цвета, жирного шрифта, указателей. С помощью видеоурока учитель может повысить эффективность урока. Данное наглядное пособие поможет быстро и эффективно достичь учебных целей.

Видеоурок начинается с представления темы. После этого указывается, что операции умножения и деления с алгебраическими дробями производятся аналогично операциям с обыкновенными дробями. На экране демонстрируются правила умножения, деления и возведения в степень дробей. С помощью буквенных параметров демонстрируется умножение дробей. Отмечается, что при умножении дробей числители, а также знаменатели перемножаются. Так получается результирующая дробь a/b·c/d=ac/bd. Демонстрируется деление дробей на примере выражения a/b:c/d. Указывается, что для выполнения операции деления необходимо в числитель записать произведение числителя делимого и знаменателя делителя. Знаменателем частного становится произведение знаменателя делимого и числителя делителя. Таким образом, операция деления превращается в операцию умножения дроби делимого и дроби, обратной делителю. Возведение в степень дроби приравнивается дроби, в которой числитель и знаменатель возводятся в назначенную степень.

Далее рассматривается решение примеров. В примере 1 необходимо выполнить действия (5х-5у)/(х-у)·(х 2 -у 2)/10х. Чтобы решить данный пример, числитель второй дроби, входящей в произведение, раскладывается на множители. Используя формулы сокращенного умножения, делается преобразование х 2 -у 2 =(х+у)(х-у). Затем числители дробей и знаменатели перемножаются. После проведения операций видно, что в числителе и знаменателе есть множители, которые можно сократить, используя основное свойство дроби. В результате преобразований получается дробь (х+у) 2 /2х. Здесь же рассматривается выполнение действий 7а 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Все числители и знаменатели рассматриваются на предмет возможности разложения на множители, выделения общих множителей. Затем перемножаются числители и знаменатели. После умножения производятся сокращения. Результатом преобразования становится дробь 2(a-b)/7а.

Рассматривается пример, в котором необходимо выполнить действия (х 3 -1)/8у:(х 2 +х+1)/16у 2 . Чтобы решить выражение, предлагается преобразовать числитель первой дроби, используя формулу сокращенного умножения х 3 -1=(х-1)(х 2 +х+1). Согласно правилу деления дробей, первая дробь умножается на дробь, обратную второй. После перемножения числителей и знаменателей получается дробь, которая содержит в числителе и знаменателе одинаковые множители. Они сокращаются. В результате получается дробь (х-1)2у. Здесь же описывается решение примера (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2). Аналогично предыдущему примеру, для преобразования числителя применяется формула сокращенного умножения. Также преобразуется знаменатель дроби. Затем первая дробь перемножается с дробью, обратной второй дроби. После умножения выполняются преобразования, сокращения числителя и знаменателя на общие множители. В результате получается дробь -(a+b)(a 2 +b 2)/(b-3). Обращается внимание учеников, как меняются знаки числителя и знаменателя при умножении.

В третьем примере необходимо выполнить действия с дробями ((х+2)/(3х 2 -6х)) 3:((х 2 +4х+4)/(х 2 -4х+4)) 2 . В решении данного примера применяется правило возведения дроби в степень. И первая, и вторая дробь возведены в степень. Они преобразуются возведением в степень числители и знаменателя дроби. Кроме того, для преобразования знаменателей дробей применяется формула сокращенного умножения, выделение общего множителя. Чтобы поделить первую дробь на вторую, необходимо умножить первую дробь на обратную дробь ко второй. В числителе и знаменателе образуются выражения, которые можно сократить. После преобразования получается дробь (х-2)/27х 3 (х+2).

Видеоурок «Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень» применяется для повышения эффективности традиционного урока математики. Материал может быть полезен учителю, осуществляющему обучение дистанционно. Детальное понятное описание решения примеров поможет ученикам, самостоятельно осваивающим предмет или требующим дополнительных занятий.

В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

2 3 · 4 7 = 2 · 4 3 · 7 = 8 21

А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

2 3: 7 11 = 2 3 · 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

Определение 1

Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.

В буквенном виде правило можно записать как a b · c d = a · c b · d . Здесь a , b , c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

Определение 2

Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

Это правило можно также записать как a b: c d = a b · d c = a · d b · c . Буквы a , b , c и d здесь означают многочлены, из которых a , b , c и d не могут быть нулевыми.

Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a · b + 1 a 3 дробь a 3 a · b + 1 будет обратной.

Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

Пример 1

Условие: умножьте дробь 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5 , а потом разделите одну дробь на другую.

Решение

Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5)

Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5) = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y

Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x 2 + 5 3 · x · y:

1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y

Приведем полученную дробь к стандартному виду:

1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y = 1 · x 2 + 5 (x + y) · 3 · x · y = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2

Ответ: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 = 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y ; 1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2 .

Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

Пример 2

Условие: перемножьте дроби x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 — 1 .

Решение

Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x — 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1

У нас получилась дробь, которую можно сократить:

x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = x + 1 3 · x 2 · (x — 1)

О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

x + 1 3 · x 2 · (x — 1) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

Вот запись всего решения без пояснений:

x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x — 1) · (x + 1) = x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x — 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x — 1) = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2

Ответ: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 — 1 = x + 1 3 · x 3 — 3 · x 2 .

В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

Пример 3

Условие: разделите 2 1 7 · x — 1 на 12 · x 7 — x .

Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 2 1 7 · x — 1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

2 1 7 · x — 1 = 7 · 2 7 · 1 7 · x — 1 = 14 x — 7

Видим, что знаменатель дроби 12 · x 7 — x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12 · x 7 — x , получим 12 · x 7 — x = — 12 · x x — 7 .

После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

2 1 7 · x — 1: 12 · x 7 — x = 14 x — 7: — 12 · x x — 7 = 14 x — 7 · x — 7 — 12 · x = 14 · x — 7 x — 7 · — 12 · x = = 14 — 12 · x = 2 · 7 — 2 · 2 · 3 · x = 7 — 6 · x = — 7 6 · x

Ответ: 2 1 7 · x — 1: 12 · x 7 — x = — 7 6 · x .

Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x 2 + x − 4 на x 2 + x − 4 1 . Полученные выражения будут тождественно равны.

Пример 4

Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 .

Решение

x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 = x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 1 = x + 4 5 · x · y · 1 x 2 — 16 = = x + 4 5 · x · y · 1 (x — 4) · x + 4 = (x + 4) · 1 5 · x · y · (x — 4) · (x + 4) = 1 5 · x · y · x — 4 = = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y

Ответ: x + 4 5 · x · y: x 2 — 16 = 1 5 · x 2 · y — 20 · x · y .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как умножать простые дроби

Простые дроби (обыкновенные) являются частью единицы или нескольких ее частей. У него есть числитель и знаменатель. Знаменатель – это количество равных частей, на которые делится единица. Числитель – это количество взятых равных частей. С простыми дробями можно выполнять простые арифметические действия: сложение, вычитание, сравнение, умножение и деление.

Вам понадобится

Базовые знания арифметики, таблица умножения

Руководство по эксплуатации

1

Возьмите две простые дроби, которые вы хотите умножить друг на друга.Для умножения подходят любые простые (обыкновенные дроби).

Если дробь содержит целую часть, то ее необходимо привести к неправильному виду, то есть умножить целую часть на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Знаменатель остается прежним.

Например:

4 1/3 = (4 * 3 + 1) / 3 = 13/3;

5 3/8 = (5 * 8 + 1) / 8 = 41/8;

По правилу умножения простых (обыкновенных) дробей, чтобы умножить число на дробь, умножьте его на числитель дроби и полученное произведение разделите на знаменатель дроби.Таким образом, чтобы получить результат умножения двух простых (обыкновенных) дробей, необходимо произведение их числителей разделить на произведение их знаменателей.

Например, у нас есть две простые (обыкновенные) дроби 1/4 и 3/5

Возьмите их числители — 1 и 3 и умножьте их между собой. Для этого воспользуйтесь таблицей умножения. В столбце на пересечении двух чисел находится результат их произведения.

1 * 3 = 3

2

Возьмите их знаменатели — 4 и 5 и умножьте их между собой.Используйте таблицу умножения: 4 * 5 = 20

Разделите полученный числитель на полученный знаменатель. Ответ 3/20;

3

Деление в данном случае подразумевает тип записи простых (обыкновенных) дробей. Для этого используется разделитель. Числитель пишется вверху строки, а знаменатель внизу.

Также при написании простой (обыкновенной) дроби можно использовать знак косой черты «/»

Если простые (обыкновенные) дроби имеют знаки, то при умножении действуют те же правила, что и для любых простых чисел.Два отрицательных знака дают знак минус, два положительных знака дают знак плюс, если один знак положительный, а другой отрицательный, то знак минус.

Например:

— 1/3 * 1/6 = -1/18;

— 2/3 * — 5/7 = 10/21;

Полезный совет

При умножении дробей можно уменьшать числа в числителе и знаменателе, если они кратны, например

3/8 и 2/5

Если умножить 2 на 8, то можно уменьшить как 1 и 4, потому что они кратны 2.Это упростит процесс приведения дроби к нормальному виду.

как умножать дроби с разными знаменателями

Умножение дробей Рабочие листы

Рабочие листы по умножению дробей на этой странице охватывают различные задачи на умножение, начиная с умножения простых дробей на целые числа, умножения двух дробей, умножения дробей с перекрестным сокращением и умножения смешанных чисел. Там, где это уместно, рабочие листы включают более простые практические задачи, которые ограничивают использование неправильных дробей или смешанных чисел, прежде чем вводить более сложные задачи с дробями, которые могут потребовать преобразования в наиболее сокращенную форму.

Ключи ответов на этих рабочих листах для дробей являются одними из самых сложных на сайте, и они подробно показывают такие шаги, как нахождение общего знаменателя, преобразование смешанных чисел и обратно и сокращение ответов. В некоторых случаях могут быть альтернативные шаги, которые можно предпринять для вычисления конечной дроби, но эти ключи ответов предоставляют отличный ресурс для учащихся, пытающихся найти путь решения сложной задачи на умножение дроби. Во многих отношениях это одни из лучших рабочих листов на сайте, и я надеюсь, что они помогут вашим детям научиться легко умножать дроби!

Умножение дробей и целых чисел


12 Рабочие листы по умножению дробей

Основы умножения дробей на целые числа.Каждая задача на этих листах имеет одну дробь, умноженную на целое значение.

Умножение дробей и целых чисел

Умножение простых дробей


Умножение с перекрестным отменой


Перекрестное отмена тренировок


36 Умножение дробей Рабочие листы

перекрестное умножение (или перекрестное отмена), чтобы получить продукт.

Тренировки с перекрестным отменой

Умножение дробей с целыми числами


Умножение полных дробей


Когда использовать эти рабочие листы для умножения дробей

Если вы освоили сложение и вычитание дробей, часто умножение дробей будет казаться намного менее сложным. Многие шаги кажутся похожими, но большая часть работы, связанной с общими знаменателями, ушла. Однако умножение дробей проверит ваши навыки сокращения! Если вам нужна дополнительная помощь, калькулятор дробей по ссылке ниже — это мощный инструмент, позволяющий увидеть, как работают задачи на умножение дробей.

Калькулятор умножения дробей

Как умножать дроби

Чтобы умножать дроби, сначала преобразуйте любые смешанные дроби в неправильные дроби. Затем умножьте числители, чтобы получить числитель ответа. Сделайте то же самое для знаменателей, умножив два значения, чтобы получить знаменатель дроби ответа. Сократить, а если ответ неверный, превратить в смешанную дробь.

Рабочие листы на этой странице содержат различные упражнения для умножения дробей.Включены задачи, которые сосредоточены на перекрестном исключении, которое является навыком, который значительно упрощает процесс сокращения дробей на шаге ответа. Взаимное сокращение перед умножением дробей приводит к гораздо меньшим продуктам, которые значительно легче уменьшить и превратить в правильные дроби.

Если вам нужна дополнительная помощь с шагами, необходимыми для умножения дробей, эта ссылка содержит полезный учебник.

Научитесь умножать дроби

Научитесь умножать дроби Меню

Умножение дробей.Как умножить обычные математические дроби? Шаги. Пример.

Как умножить две дроби?

При умножении обыкновенных дробей в конце дроби будет:
  • в числителе, результат умножения всех числителей дробей,
  • в знаменателе, результат умножения всех знаменателей дробей.
  • a / b × c / d = (a × c) / (b × d)
  • a, b, c, d — целые числа;
  • если пары (a × c) и (b × d) не взаимно просты (имеют общие простые множители), то конечная дробь должна быть сокращена (упрощена) до младших членов.

Как умножать обыкновенные дроби? Шаги.

  • Начните с сокращения дробей до меньших членов (упрощение).
  • Сокращение математических дробей до меньших, онлайн, с пояснениями.
  • Разложите числители и знаменатели сокращенных дробей на множители: разложите их на простые множители.
  • Вычислить простые множители чисел, онлайн калькулятор
  • Над чертой дроби запишем произведение всех простых множителей числителей дробей, не производя никаких вычислений.
  • Под чертой дроби запишем произведение всех простых множителей знаменателей дробей, не производя никаких вычислений.
  • Вычеркните все простые множители, которые встречаются как над, так и под дробной чертой.
  • Умножьте оставшиеся простые множители над чертой дроби — это будет числитель полученной дроби.
  • Умножьте оставшиеся простые множители под чертой дроби — это будет знаменатель полученной дроби.
  • Нет необходимости сокращать (упрощать) полученную дробь, так как мы уже вычеркнули все общие простые множители.
  • Если полученная дробь неправильная (без учета знака, числитель больше знаменателя), ее можно записать в виде смешанного числа, состоящего из целой и правильной дроби одного знака.
  • Запишите неправильные дроби в виде смешанных чисел онлайн.
  • Умножение обыкновенных дробей, онлайн, с пояснениями.

Пример умножения трех обыкновенных дробей, с пояснениями:

  • 6 / 90 × 80 / 24 × 79 6 / 29124 30 9012 30 9012
  • Разложите числители и знаменатели дробей на множители (разложите их как произведение простых множителей) и сократите исходные дроби.
    • 6 / 90 = (2 × 3) / (2 × 3 2 × 5) = ((2 × 3) ÷ (2 × 3)) / ( / 2 × 3 2 × 5) ÷ (2 × 3)) = 1 / (3 × 5) = 1 / 15
    • 80127/ 24 = (2 4 × 5) / (2 3 × 3) = ((2 4 × 5) ÷ (2 3 )) /
    • 5 × 2 ÷ 3 2 ÷ 3 (2 3 )) = (2 × 5) / 3 = 10 / 3
    • 30 / 75 = (2 × 3 × 5) / ( 3 × 5 2 ) = ((2 × 3 × 5) ÷ (3 × 5)) / ((3 × 5 2 ) ÷ (3 × 5)) = 2 / 5
  • В этот момент дроби сокращаются (упрощаются) и их числители и знаменатели разлагаются на множители:
    • 6 90 125/ 90 × 80125/ 24 / 24 / 30 / 75 = 1 / (3 × 5) × (2 × 5) / 3 × 2 / 5
  • Умножьте все простые множители выше и ниже дробной черты, вычеркнув общие множители:
    • 1 / (3 × 5) × (2 × 5) / 30 х 2 / 5
    • = (1 х 2 х 5 х 2) / (3 х 5 х 3 х 5)
    • = (1 х 2 х 0) 5 / 921 х 2) (3 × 3 × 5 × 5)
    • = ( 1 × 2 × 2 × 5 ) / (3 × 3 × 5 × 5 )
    • 99 0 2) / (3 × 3 × 5)
    • = 4 / 45

Подробнее об обыкновенных (общих) математических дробях действия

бесплатная рассылка! Расскажи другу! конкурсы

программное обеспечение
отзывы
список бестселлеров
обзор цен
что нового
поддержка продукта
поиск

обучающие инструменты
спроси ученого
математические рабочие листы
составители словарного запаса
палач
Приложения для iPhone/iPad
логические игры
пища для мозга

образовательные идеи

тематические статьи

рынок
Приложения для iPhone/iPad
уголок для чтения
Киноуголок

Дом SuperKids
о SuperKids
рекламировать!
юмор
ссылки
помощь

* * *

Акции

  * * *

математические задания > > дроби > > умножение дробей

Математический обзор SuperKids

Как умножать дроби

Помните .. .

Вот трюк с памятью: Знаменатель является нижним, или Вниз числом в дроби — и оба D знаменатель и D собственные начинаются с буквы D .

Умножать дроби просто. В отличие от сложения и вычитания, когда необходимо следить за тем, чтобы обе дроби имели общий знаменатель, операция умножения не требует такого требования.

Метод 1 — (для начинающих) Просто умножьте числители (верхние числа) и знаменатели (нижние числа) и поместите полученные ответы в соответствующие верхние/нижние позиции дроби ответов.Затем сократите дробь, если это возможно

Пример 1: Умножение простых дробей


Сокращение невозможно, поэтому мы нашли ответ!

Пример 2: Умножение, требующее уменьшения доли ответа


Затем уменьшить:
=

Пример 3: Умножение смешанного числа

х = ?

Сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь:
=

Затем умножьте:

Затем сократите дробь:
=


Метод 2 — (для всех, кто понимает вышеприведенную концепцию).Перед умножением числителей и знаменателей ищите способы предварительного сокращения дробей, как внутри каждой дроби, так и между дробями.

Пример 1: Предварительное измельчение внутри дроби

х = ?

Сначала уменьшите 2/4 до 1/2, затем умножьте числители (верхние числа) и знаменатели (нижние числа) и поместите полученные ответы в соответствующие верхние/нижние позиции дроби ответов.Затем сократите дробь, если это возможно.

Пример 2: Сокращение дробей

х = ?

Здесь мы делим первый числитель (5) на второй знаменатель (5) перед умножением числителей (верхние числа) и знаменателей (нижние числа).

Этот метод имеет то преимущество, что позволяет использовать меньшие числа в процессе расчета.

Понятно? Здорово! Тогда перейдите к Создателю математических рабочих листов SuperKids для основных дробей и попробуйте!




Вопросы или комментарии по этому сайту? [email protected]
Copyright © 1998-2022 ООО «Обмен знаниями». Все права защищены. Политика конфиденциальности

Как умножать дроби? — Блог Tutorax

Являетесь ли вы гением математики или вас пугает присутствие чисел, дроби часто могут вызывать проблемы у многих учащихся.Однако знание дробей необходимо не только для того, чтобы помочь вам на 100 % пройти тест, который вам предстоит на следующей неделе, но и на самом деле является одной из тех вещей, которые вы изучаете на уроках математики и которые имеют прямое применение в повседневной жизни. не всегда есть калькулятор для умножения дробей, поэтому полезно знать все основы.

Например, если вы идете в магазин и видите, что есть распродажа со скидкой ½, вам придется использовать дроби для расчета новой цены на вещи, которые вы хотите купить.Вы неизбежно столкнетесь с фракциями за пределами класса, поэтому вам нужно иметь четкое представление о том, как с ними бороться.

 

3 простых шага для умножения дробей

1. Умножьте числители

Первое, что вам нужно сделать при умножении дробей, это умножить числители. Числители — это числа над дробями. Ответ, который вы получите, создаст числитель для вашего ответа.

 

2.Умножьте знаменатель

Второе, что вам нужно сделать, это умножить знаменатели. Знаменатели – это числа в нижней части дроби. Число, которое вы получите, создаст число знаменателя для вашего ответа.

 

3. Упростите ответ

В некоторых случаях ответ, который вы получите после первых двух шагов, будет окончательным ответом, потому что числитель и знаменатель нельзя разделить на одно и то же число, чтобы сделать их меньшими числами.

Получить помощь с дробями

 

Примеры

Дробь, которую нельзя упростить

Во-первых, мы будем умножать дроби на целые числа, когда ответ нельзя будет упростить дальше.

Q. ⅔ X ⅓

  • Шаг 1: Первое, что вам нужно сделать, это умножить числители. Чтобы сделать это в данном случае, все, что вам нужно сделать, это умножить 2 на 1, что равно 2. 
  • Шаг 2: Второе, что вам нужно сделать, это умножить знаменатели.Для этого все, что вам нужно сделать, это умножить 3 на 3, что равно 9. 
  • Шаг 3: Наконец, вы складываете эти числа вместе в соответствующую позицию дроби, что дает вам ответ 2/9. Не существует чисел, которые можно разделить и на 2, и на 9, так что это ваш окончательный ответ, так как его уже нельзя упростить.

 

Дробь, которую можно упростить

Теперь рассмотрим пример, где ответ можно упростить.Хотя здесь есть дополнительный шаг, он не сложнее предыдущего примера, который мы только что завершили.

Q. 2/8 x 2/4 

  • Шаг 1: Опять же, первое, что вам нужно сделать, это перемножить числители. Для этого вам нужно умножить 2 на 2, что даст вам 4. 
  • Шаг 2: Следующее, что вам нужно сделать, это умножить знаменатели. Для этого вам нужно умножить 8 на 4, что даст вам 32.
  • Шаг 3: Ваш ответ 4/32. Хотя технически этот ответ правильный, есть гораздо более простой способ сказать 4/32. Все, что вам нужно сделать, это расшифровать, на какое максимальное число можно разделить оба этих числа. В данном случае 4 — это наибольшее число, на которое они оба могут делиться. Поэтому вы делите и числитель, и знаменатель на 4, чтобы получить упрощенную версию этой дроби. Ваш окончательный ответ на этот вопрос умножения должен быть ⅛.

 

Умножение дробей со смешанными числами

Умножение дробей с целыми и смешанными числами немного отличается. Важно, чтобы вы знали, как выполнить оба типа умножения, поскольку они оба могут появиться в вашей жизни в какой-то момент.

  • Шаг 1: Первое, что вам нужно сделать при умножении любых смешанных чисел, это превратить смешанное число в неправильную дробь. Для этого нужно умножить знаменатель на целое число и прибавить числитель.Полученное число будет вашим новым числителем. Ваш знаменатель останется таким же, как и в смешанном числе.
  • Шаг 2: Следующим шагом является упрощение, если это возможно. Это касается обоих чисел. Следовательно, если вы можете разделить число из первой и второй дроби на 2, разделите эти два числа, они не обязательно должны быть в одной и той же дроби.
  • Шаг 3: Затем вам нужно поступить так же, как в обычной задаче, и перемножить числители вместе и знаменатели вместе.
  • Шаг 4: Последним шагом является упрощение дроби и превращение ее обратно в смешанное число, если это возможно.

 

Пример умножения дробей со смешанными числами

Несмотря на то, что следовать приведенным выше инструкциям может быть сложно, у нас есть этот пример для вас ниже, чтобы вы могли увидеть эти типы проблем в действии.

Q. 6 ⅔ X 3 3/11 

  • Шаг 1: Первое, что вам нужно сделать, это создать неправильные числа, что делается следующим образом.
  1. 6 x 3 + 2 = 20 ——> 20/3
  2. 11 х 3 + 3 = 36 ——-> 36/11
  • Шаг 2: Затем вы упрощаете числа, так как и 3, и 36 можно разделить на 3, вы делите эти числа на три, поэтому ваши новые задачи выглядят так:

20/1 x 12/11

  • Шаг 3: Затем вы перемножаете числители и знаменатели вместе, что дает вам:

240/11 

  • Шаг 4: Превратите число обратно в смешанное число.Для этого вы делите 240 на 11, а оставшееся число становится числителем. Следовательно, ваш окончательный ответ:
  • .

21 11 сентября

 

Нужна помощь по математике?

Несмотря на то, что мы рассмотрели основы умножения дробей, предстоит еще многому научиться, например, умножению дробей с разными знаменателями, умножению дробей с переменными, вычитанию дробей и делению дробей. Если у вас есть трудности с какой-либо из этих концепций или других концепций, связанных с математикой, вам могут помочь занятия с репетитором.

Tutorax предлагает не только очное обучение, но и онлайн-обучение, чтобы вы могли выбрать решение, которое наилучшим образом соответствует потребностям и стилю обучения вашего ребенка. Наша цель — предоставить вашему ребенку возможности и инструменты, необходимые для полного раскрытия его потенциала и достижения успехов в учебе.

 

Репетиторские услуги

Объяснение инвертирования и умножения

Нам, учителям начальных классов, редко предоставляется возможность изучить деление дроби на дробь.Когда мы это делаем, это обычно сопровождается Keep-Change-Flip или поговоркой «Не в вас причина, просто инвертируйте и умножайте».

Оба концептуальные калеки.

Я работаю над четвертой частью серии Making Sense, включающей дроби, и делюсь этим постом как личную ссылку на случай, если K-C-F снова появится в этих частях… и я уверен, что так и будет.

Примечание : некоторое время назад Фаун и Кристофер поделились постами о делении дробей с использованием общих знаменателей.Оба поста оставили много математических остатков и стоят вашего времени.

Начнем с модели 3/5 ÷ 1/4.

Моделирование измерения делением дроби на дробь.

 

В какой-то момент учащимся становится неэффективно рисовать модели после того, как концептуальное понимание установлено. Поскольку учащиеся представляют измерение деления дробей, они должны формально записывать свои мысли.

 

Отсюда учащиеся создают свой собственный алгоритм (ярлык).Они начинают осознавать, что всегда будут получать знаменатель «1 целое», поэтому они начинают намеренно опускать его. При этом они становятся более эффективными в процедуре деления дробей.

Некоторые учащиеся начинают исключать зеленый и красный шаги из приведенного выше уравнения, потому что они воспринимаются как повторяющиеся. У нас даже был один студент, который «изобрел» и обобщил перекрестное умножение для деления дробей, поскольку они искали способы записи меньшего количества чисел и символов.

Выглядело это примерно так…

НЕ СТАРТОВАЯ ТОЧКА!

Я постоянно напоминаю себе, что если дроби являются привратником алгебраических рассуждений, то мне нужно замедлить процесс и концептуально понять, что происходит. Это включает в себя K-C-F.

По мере того, как учащиеся понимают силу создания знаменателя целого числа, они начинают искать более эффективные способы получения 1 целого числа. Именно здесь они должны исследовать эквивалентную дробь и идею использования обратной величины для создания целого.

Я понял, что помимо сложных дробей основы этого уравнения развиваются в начальных классах.

  • 5.NF.3 Интерпретировать дробь как деление числителя на знаменатель (a÷b = a/b).
  • 4.NF.1-Объясните, почему дробь a/b эквивалентна дроби (n x a)/(n x b).
  • 3.NF.3.c- Выражайте целые числа в виде дробей и распознавайте дроби, эквивалентные целым числам.

Как и прежде, учащиеся попытаются обобщить вышеприведенное уравнение и найти более короткие пути.Они сделают это, исключив повторяющиеся шаги, которые оставят их с…

Инвертируйте и умножьте.

 

 

 

Умножение дробей онлайн | Математические калькуляторы

Умножать дроби очень просто. Для этого нам просто нужно знать, что числитель получившейся дроби есть произведение числителей и то же самое для знаменателя.

Если вы хотите избежать предыдущей операции, наш калькулятор умножения дробей позволяет автоматически выполнять соответствующие вычисления и получать результат в формате несократимой дроби.Просто введите дробь в каждое поле, нажмите кнопку расчета, и все готово.

Как умножать дроби?

Чтобы умножить дроби, нужно умножить числители и повторить то же самое для знаменателей .

В предложенном нами примере мы сделали именно то, о чем только что вам сказали, но давайте рассмотрим это шаг за шагом, чтобы было понятнее:

  1. Умножьте числители на 9 и 2, что при умножении даст нам 18
  2. Умножаем знаменатели : 6 х 6 = 36

В результате у нас есть окончательная дробь 18/36, которую мы можем еще больше упростить, чтобы сделать ее несократимой, в итоге мы получим дробь 1/2.

Умножение дробей на целые числа

Умножение дробей на целые числа — простая операция. Вы можете представить это целое число как дробь, поставив 1 в качестве знаменателя, то есть число 3 равно дроби 3/1.

Учитывая вышесказанное, мы можем умножать дроби на целые числа , следуя этой процедуре :

  1. Умножаем числитель на целое число
  2. Оставляем знаменатель прежним
  3. Вычислите несократимую дробь, если применимо

Например, умножим дробь 1/2 на целое число 3:

3 х 1/2 = 3/2

А теперь еще одно решенное упражнение, в котором мы получим результат в виде несократимой дроби:

8 х 14/10 = 112/10 = 56/5

Что учитывать при умножении дробей

В отличие от вычитания дробей или сложения, нам не нужно, чтобы знаменатели были равны для выполнения умножения.

Еще один очень важный момент заключается в том, что мы не должны путать умножение дробей с их делением. . Чтобы разделить дроби, мы умножаем в кресте, а в операции умножения мы умножаем в строке. Это распространенная ошибка, потому что символ умножения сбивает нас с толку, представляя крест, но это ничего не значит, помните об этом.

Калькулятор умножения дробей

Как видите, наш онлайн-калькулятор для умножения дробей имеет очень простую операцию.Вам нужно только ввести каждую дробь в одно из доступных полей и нажать кнопку расчета, чтобы получить результат.

Если на вашем компьютере установлен Excel, вы также можете создать свой собственный инструмент Excel для умножения дробей . Для этого откройте новую электронную таблицу и выберите две пустые ячейки (например, A1 и A2), чтобы изменить их формат на трехзначную дробь.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.