Как умножать дроби на натуральное число: Умножение обыкновенной дроби на натуральное число — урок. Математика, 5 класс.

Содержание

Как легко умножить на 0,125

В этой статье ты узнаешь как легко умножить любое число на \(0,125\), для этого тебе даже не понадобится калькулятор. \(0,125-\) это десятичная дробь, приведём её к виду обыкновенной дроби:

При умножении на \(0,125\) можно заменить умножением на \(\frac{1}{8}\). Обратная дробь одной восьмой \(-8\)  То есть для того чтобы умножить на \(0,125\) надо разделить на \(8.\)  Легко не так ли?


 

Пример 1.  Умножьте \(16\) на \(0,125\).

Решение: \(16*0,125=16*\frac{1}{8}=16:8=2\)

Ответ: \(2\).


Пример 2.  Умножьте \(32\) на \(0,125\).

Решение: \(32*0,125=32*\frac{1}{8}=32:8=4\)

Ответ: \(4\).


Пример 2.  Умножьте \(72\) на \(0,125\).

Решение: \(72*0,125=72*\frac{1}{8}=72:8=9\)

Ответ: \(9\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по обществознанию для 4-11 классов. Победитель, призёр и лауреат конкурсов педагогического мастерства (в т.ч. МГУ и МПГУ). Магистр права. На наших занятиях всегда интересно! По каждому вопросу привожу примеры и аналогии, что визуализирует материал, упрощает его понимание, прививает интерес к предмету и в итоге даёт положительный результат. Вместе у нас всё получится!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Для меня математика — язык общения с миром. Всегда важно понимать, что стоит за той или иной цифрой, формулой, уравнением, понимать, какой смысл в себе они несут. Этому языку я обучаю своих учеников, помогаю полюбить его и научить умело применять в жизни. В преподавании основываюсь на том, чтобы закладывать основательные знания. Если фундамент прочный, то дальнейшее обучение всегда просто. Если есть трудности, то помогу найти и восполнить пробел. В каждом ученике я вижу личность и учитываю его индивидуальные особенности. В обучении использую идеи Льва Толстого. Преподаю с Любовью. Жду вас на своих уроках.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Люблю математику и стараюсь привить эту любовь учащимся. Учу учащихся искать нестандартные решения, рассуждать, не бояться ошибок, делать выводы. Показываю связь математики с жизнью.

Курсы ЕГЭ

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

П 34. Умножение десятичных дробей на натуральные числа

Пусть поле имеет форму квадрата со стороной 1,83 км. Найдем периметр поля: 1,85+1,85+1,85+1,85=7,32 км. Для решения задачи мы нашли сумму четырех слагаемых, каждое из которых равно 1,83. Такую сумму называют произведением числа 1, 83 и натурального числа 4 и обозначают 1,83∙4.

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждое из которых равно этой дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу.


Значение 7,32 для произведения 1,83∙4 можно получить иначе: умножить 1,83 на 4, не обращая внимание на запятую, а в полученном произведении 732 отделить запятой столько цифр справа, сколько их после запятой в дроби 1,83:

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;
2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделена запятой в десятичной дроби.

Найдем произведение 9,865∙10. По правилу сначала умножаем 9865 на 10, получим 9865∙10=9865. Теперь отделяем запятой три цифры справа и получаем:

9,865∙10=98,650=98,65

Таким образом при умножении 9,865 на 10 мы переносим запятую через одну цифру вправо. Если умножить 9,865 на 100, то получим 986,5, то есть запятую перенесли через две цифры вправо.


Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее

, надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр право, сколько нулей стоит в множителе после единицы.


П.35 Деление десятичных дробей на натуральные числа


Задача. Кусок ленты длиной 19,2 м разрезали на 8 равных частей. Найдите длину каждой части.


Решение. Чтобы решить задачу, выразим длину ленты в дециметрах: 19,2 м = 192 дм. Но 192 : 8 = 24. Значит, длина каждой части равна 24 дм, то есть 2,4 м. Если умножить 2,4 на 8, получим 19,2. Значит, 2,4 является частным от деления 19,2 на 8.
Пишут: 19,2 : 8 = 2,4.
Тот же ответ можно получить, не переводя метры в дециметры. Для этого надо разделить 19,2 на 8, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части:


Разделить десятичную дробь на натуральное число — значит найти такую дробь, которая при умножении на это натуральное число дает делимое.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) разделить дробь на это число, не обращай внимания на запятую;
2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых:

Разделим 96,1 на 10. Если частное умножить на 10, должно получиться снова 96,1.
Но при умножении десятичной дроби на 10 запятую переносят на одну цифру вправо. Значит, при делении на 10 запятую надо переносить на одну цифру влево: 96,1 : 10 = 9,61.
Проверка: 9,61 . 10 = 96,1.
При делении на 100 запятую переносят на две цифры влево.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей стоит в делителе после единицы.
При этом иногда приходится написать перед целой частью нуль или несколько нулей.
Например: 8,765 : 100 = 008,765 : 100 = 0,08765.
С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби.
Другими словами, с помощью деления обращают обыкновенную дробь в
десятичную.

Пример. Обратим дробь  в десятичную.


Решение. Дробь  является частным от деления 3 на 4. Деля 3 на 4, получаем десятичную дробь 0,75. Значит, 

Умножение дробей | Cubens

Умножение дробей

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель умножить на число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример умножения дроби на натуральное число

Пример 1: Найти произведение дроби на натуральное число (умножить дробь на натуральное число): на

Ответ:

Умножение дробей с разными знаменателями

Чтобы добавить две обыкновенные дроби с разными знаменателями, нужно:

Пример умножения дробей с разными знаменателями

Пример 2: Перемножить две обыкновенные дроби с разными знаменателями: и

 

Ответ:

Умножение смешанных чисел

Чтобы умножить два смешанных числа, нужно:

Примеры сложения смешанных чисел

Пример 3: Умножить обыкновенную дробь на смешанное число: и

Ответ:

Пример 4 Умножить смешанное число на натуральное число: и

Ответ:

Пример 5: Умножить смешанные числа: и

Ответ:

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, следует:

Примеры умножения десятичных дробей

Пример 1: Перемножить дроби: 13,2 и 0,2.

Выполнив умножение, не обращая внимания на запятые, получим: .

Отделим запятой справа столько цифр, сколько стоит после запятой в обоих множителях вместе, то есть две цифры .

Рассмотрим другие примеры умножения десятичных чисел:

Пример 2:

Пример 3:

Умножение десятичной дроби и натурального числа

Произведением десятичной дроби и натурального числа называют сумму слагаемых, каждый из которых равен данному десятичной дроби, а количество слагаемых равно этому натуральному числу.

Чтобыумножить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

  • умножить его на это число, не обращая внимания на запятую;
  • в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобыумножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., следует:

  • надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Пример 4:

Если в результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

Умножение десятичных дробей — правила, как правильно умножать десятичные числа в столбик, примеры

Перед тем как перейти к вопросу, о том как умножать десятичные дроби, вспомним теоретические основы. Итак:

Десятичная дробь — это представление обыкновенной дроби в десятичной форме, где знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д. Другими словами, десятичная дробь — это результат деления числителя на знаменатель. К примеру, ½ = 0,5.

Как умножать десятичные дроби?

Умножение десятичных дробей сводится к умножению натуральных чисел, с правильной постановкой запятой. Рассмотрим подробнее основные правила умножения десятичных дробей.

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, необходимо:

  • умножить дробь на это число не обращая внимания на запятую;
  • в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено в первоначальной дроби.

Пример 1: умножить 5,51 на 14.

Произведем умножение в столбик:

Ответ: 5.51 × 14 = 77.14

Пример 2: умножить 31,2 на 23.

Произведем умножение в столбик:

Ответ: 31.2 × 23 = 717.6

Как умножить две десятичные дроби?

Чтобы перемножить две десятичные дроби, необходимо:

  • произвести умножение, не обращая внимание на запятые;
  • в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Пример 3: умножить 4,42 на 0,9.

Ответ: 4,42 × 0,9 = 3,978

Пример 4: умножить 18,687 на 2,25.

Ответ: 18,687 × 2,25 = 42,04575

Умножение десятичной дроби на 10 100 1000

Правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. состоит в том, что для получения ответа, необходимо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе после единицы.

Примеры:

  1. 12.21 × 10 = 122.1;
  2. 2.015 × 100 = 201.5;
  3. 51.2614 × 1000 = 51261.4.

Умножение десятичной дроби на 0,001, 0,01, 0,1?

Правило умножения десятичной дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и т.д. состоит в том, что для получения ответа, необходимо в этой дроби перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей в множителе перед единицей.

Примеры:

  1. 15.48 × 0,1 = 1.548;
  2. 0.017 × 0,01 = 0.00017;
  3. 87.149 × 0,001 = 0.087149.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную?

Для умножения десятичной дроби на обыкновенную, необходимо перевести обыкновенную дробь в десятичную и выполнить умножение по правилу умножения двух десятичных дробей.

Пример: 11.4 умножить на 56/5.

  • Приведем обыкновенную дробь 56/5 к десятичному виду и получим 56/5 = 11.2;
  • Произведем умножение двух десятичных дробей в столбик.

Ответ: 11.4 × 56/5 = 127.68

Правило умножения смешанных дробей. Правила умножения дробей на число

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

  • разделить числитель на имеющийся знаменатель;
  • в конкретном примере неполное частное — целое;
  • и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

  • целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
  • полученное произведение прибавляется к числителю;
  • результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

  • две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
  • нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
  • подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
  • в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
  • если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

  • перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
  • найти произведение числителей;
  • найти произведение знаменателей;
  • записать получившийся результат;
  • максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

  • записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
  • найти произведение, несмотря на запятую;
  • в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 7 11 на 9 8 .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

Все решение можно записать так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 2 27 на 5 .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Умножение обыкновенных дробей

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ: $\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}.$

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

  1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
  2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Доли и дроби. Арифметические действия с дробями. Сокращение дроби. Умножение и деление дроби на натуральное число. Умножение и деление дробей. Сложение и вычитание дробей с различными знаменателями.


Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Доли и дроби. Арифметические действия с дробями. Сокращение дроби. Умножение и деление дроби на натуральное число. Умножение и деление дробей. Сложение и вычитание дробей с различными знаменателями.

Поделиться:   

Доли и дроби. Арифметические действия с дробями. Сокращение дроби. Умножение


и деление дроби на натуральное число. Умножение и деление дробей. Сложение и вычитание
дробей с различными знаменателями.
  • Дробь: это одна или несколько долей целого
  • Знаменатель дроби (то, что записывется под чертой): это число долей, на которое делилось целое
  • Числитель дроби (то, что записывется над чертой): это сколько таких долей было взято
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Умножение дробей, нахождение дроби от числа

Умножение обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей: При умножении двух дробей получается дробь, в числителе которой записывается произведение числителей данных дробей, а в знаменателе – произведение знаменателей:

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Замечание 1

Данное правило можно использовать для умножения правильных и неправильных дробей, дробей с одинаковыми и разными знаменателями.

Пример 1

Умножить обыкновенную дробь $\frac{12}{23}$ на обыкновенную дробь $\frac{4}{5}$.

Решение.

Произведение числителей данных дробей равно $12\cdot 4=48$.

Произведение знаменателей равно $23\cdot 5=115$.

Найдем произведение дробей $\frac{12}{23}$ и $\frac{4}{5}$:

$\frac{12}{23}\cdot \frac{4}{5}=\frac{12\cdot 4}{23\cdot 5}=\frac{48}{115}$.

Ответ: $\frac{48}{115}$.

Замечание 2

Если в результате умножения дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{5}{17}$ и $\frac{43}{4}$.

Решение.

По правилу умножения обыкновенных дробей получим:

$\frac{5}{17}\cdot \frac{43}{4}=\frac{5\cdot 43}{17\cdot 4}=\frac{215}{68}$

Получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

$\frac{215}{68}=\frac{3 \ 11}{68}$

Ответ: $\frac{3 \ 11}{68}$.

Замечание 3

Если хотя бы одна из умножаемых дробей сократима, можно выполнить ее сокращение до умножения. Для этого числители и знаменатели раскладывают на простые множители и сокращают одинаковые множители числителя и знаменателя.

Готовые работы на аналогичную тему

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{42}\cdot {49}{9}$.

Решение.

Используя правило умножения обыкновенных дробей, найдем:

$\frac{6}{42}\cdot \frac{49}{9}=\frac{6\cdot 49}{42\cdot 9}$.

Разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители:

$\frac{6\cdot 49}{42\cot 9}=\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 3\cdot 3}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 3\cdot 3}=\frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

При умножении дробей можно использовать переместительное свойство умножения:

Замечание 4

При изменении мест множителей их произведение не изменится:

$\frac{a}{b}\cdot {c}{d}=\frac{c}{d}\cdot {a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Нахождение дроби от числа

Замечание 5

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

В результате умножения дроби на натуральное число получают дробь, у которой числитель равен произведению числителя дроби и натурального числа, а знаменатель остается неизменным:

$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}$

Если представить натуральное число $n$ в виде неправильной дроби $\frac{n}{1}$ и применить правило умножения двух дробей, получим:

$\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{1}=\frac{a\cdot n}{b\cdot 1}=\frac{a\cdot n}{b}$

Пример 4

Выполнить умножение обыкновенной дроби $\frac{7}{13}$ на натуральное число $8$.

Решение.

При умножении числителя дроби $7$ на натуральное число $8$ получим $56$. Воспользуемся правилом умножения дроби на число:

$\frac{7}{13}\cdot 8=\frac{56}{13}$

Т.к. полученная дробь – неправильная, выделим целую часть:

$\frac{56}{13}=4 \frac{4}{13}$

Ответ: $\frac{7}{13}\cdot 8=4 \frac{4}{13}$.

Замечание 6

Если в результате умножения дроби на число получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.

Пример 5

Умножить обыкновенную дробь $\frac{4}{25}$ на натуральное число $5$.

Решение.

Используя правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число, получим:

$\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4\cdot 5}{25}=\frac{20}{25}$.

В результате умножения получили сократимую дробь $\frac{20}{25}$ (признак делимости на $5$). Выполним ее сокращение:

$\frac{20}{25}=\frac{20\div 5}{25\div 5}=\frac{4}{5}$.

Краткая запись решения:

$\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4\cdot 5}{25}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{25}\cdot 5=\frac{4}{5}$.

Замечание 7

Если умножаемая дробь сократима или натуральное число и знаменатель дроби имеют общий делитель, можно выполнить сокращение дроби, разложив ее числитель и знаменатель на простые множители и сократив одинаковые множители числителя и знаменателя.

Пример 6

Вычислить произведение $\frac{6}{42}\cdot 49$.

Решение.

Используя правило умножения дроби на число, найдем:

$\frac{6}{42}\cdot 49=\frac{6\cdot 49}{42}$.

Разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители:

$\frac{6\cdot 49}{42\cdot 9}=\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7}$.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cdot 3\cdot 7\cdot 7}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{7}{1}=7$.

Ответ: $1$.

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительное свойство:

Замечание 8

При изменении мест множителей их произведение не изменится:

$\frac{a}{b}\cdot n=n\cdot \frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b}$.

Умножение дроби на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число, помните, что умножение — это многократное сложение.

Пример 1:

Умножить 1 7 ⋅ 3 .

Запишите умножение как сложение. Добавлять 1 7 три раза.

1 7 ⋅ 3 знак равно 1 7 + 1 7 + 1 7

Теперь нам просто нужно добавить дроби с одинаковыми знаменателями.Оставьте знаменатели одинаковыми и добавьте числители.

знак равно ( 1 + 1 + 1 ) 7 знак равно 3 7

Пример 2:

Умножить 5 ⋅ 3 16 .

5 ⋅ 3 16 знак равно 3 16 + 3 16 + 3 16 + 3 16 + 3 16 знак равно 5 ⋅ 3 16 знак равно 15 16

Другой способ подумать об этом — переписать целое число в виде дроби со знаменателем 1 .

5 ⋅ 3 16 знак равно 5 1 ⋅ 3 16

Затем умножьте числители и знаменатели , по обычным правилам умножение дробей .

знак равно 5 ⋅ 3 1 ⋅ 16 знак равно 15 16

В некоторых случаях ваш ответ может быть больше, чем 1 , поэтому вы захотите переписать его как смешанное число .Возможно, вам также придется уменьшить дробь чтобы получить его в простейшей форме.

Пример 3:

Умножить 1 4 ⋅ 10 .

1 4 ⋅ 10 знак равно 10 4

И числитель, и знаменатель имеют общий делитель 2 . Разделите оба на 2 .

знак равно 5 2

Запишите эту неправильную дробь в виде смешанного числа.

знак равно 2 1 2

Как умножить дробь на натуральное число

Натуральные числа — это целые положительные числа, начинающиеся с единицы. Дробь тоже число, но выражает не количество целых предметов, а количество дробей одного. Такие числа умножаются по определенным правилам.

Руководство по эксплуатации

1

В математике действия совершаются с простыми и десятичными дробями.Десятичная дробь показывает количество десятых (сотых, тысячных) от целого. Те. в операциях с десятичными дробями предполагается, что целое число делится на число долей, кратное десяти. Десятичная дробь записывается в формате 0, xxx.

2

Простая дробь позволяет выразить любую часть числа и записывается как двузначное число. Верхняя часть дробного числа называется числителем, нижняя — знаменателем дроби.Знаменатель показывает, на сколько частей разбита вся единица. Числитель равен количеству таких дробей в дробном числе.

3

Результат умножения дроби на натуральное число может быть меньше целого числа, больше целого числа или равен целому числу. Например, десятую часть можно записать как десятичную дробь 0,1 или простую дробь 1/10. Пять раз по 1/10 меньше одного целого. Десять раз по 1/10 — соответствует одной единице, а если взять 12 раз по 1/10, получится больше одного целого.

4

Чтобы умножить простую дробь на натуральное число, нужно умножить на это число только числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Если результат умножения меньше единицы, то числитель простой дроби меньше знаменателя. Такая дробь называется правильной. Умножение простой дроби на натуральное число, большее знаменателя, дает число больше единицы. Такое число в дробной записи представляет собой неправильную дробь, в которой числитель больше знаменателя.Неправильную дробь можно преобразовать в смешанную, состоящую из целой и дробной частей. Например, если вы умножите 3/4 на 5, вы получите 15/4 или 3 ¾.

5

При умножении десятичной дроби на натуральное число найти произведение этого натурального числа на значащие цифры десятичной дроби. В полученном числе отделите справа столько цифр, сколько было в умноженной десятичной дроби после запятой. Например: 0,17*24,

17 * 24 = 408.В дроби 0,17 два знака после запятой, поэтому в числе 408 поставьте битовую запятую после двух цифр справа: 4,08

Результат умножения 0,17 * 24 = 4,08.

как умножать дроби с целыми и смешанными числами[решено]

Целые числа — это все натуральные числа, включая 0.

 Дробь представляет собой числовое значение, определяющее часть целого.

Дробь, представляющая собой комбинацию целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью.

Ответ: Чтобы умножить целое число на дробь, нужно целое число преобразовать в дробь со знаменателем 1, а затем умножить на данную дробь. Смешанные числа преобразуются в неправильную дробь, а затем умножаются на заданную дробь.

Следующие шаги объясняют способ умножения дробей с целыми числами и смешанными числами.

Объяснение:

1. Умножение дробей с целыми числами:

  • Запишите целое число в виде дроби со знаменателем 1.
  • Умножьте числители обеих дробей.
  • Умножьте знаменатели обеих дробей.
  • Объедините их и упростите дробь до минимума.

Пример: Найдите произведение 6 и 5/8.

Шаг 1. Представьте число 6 в виде дроби

6 = 6/1

Итак, нужно умножить дроби 6/1 × 5/8

Шаг 2: Умножьте числители двух дробей

6 × 5 = 30

Шаг 3: Умножьте знаменатели двух дробей

1 × 8 = 8

Шаг 4: Объедините их и запишите дробь в наименьшем выражении

30/8 = 15/4

2.Умножение дробей со смешанными числами:

Дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью.

  • Преобразовать заданную смешанную дробь в неправильную дробь.
  • Умножьте числители обеих дробей.
  • Умножьте знаменатели обеих дробей.
  • Объедините их и упростите дробь до минимума.

Пример: найти произведение 1 2/5 и 5/9

Шаг 1. Преобразуйте 3 2⁄5 в неправильную дробь

1 2⁄5 = 7/5

Итак, нужно умножить дроби 7/5 × 5/9

Шаг 2: Умножьте числители двух дробей

7 × 5 = 35

Шаг 3: Умножьте знаменатели двух дробей

5 × 9 = 45

Шаг 4: Объедините их и упростите дробь до минимума.

35/45 = 7/9

Следовательно, это методы умножения дробей с целыми числами и смешанными числами.

Что такое Умножение дроби на целое число?

Умножение дроби на целое число

Мы знаем, что умножение — это многократное сложение. Таким образом, умножение дроби на целое число эквивалентно сложению дроби целое число раз.

Например:

3 x 14может отображаться как

Алгебраически это означает, что 3 x 1 4 = 1 4 + 1 4 + 1 4 = 1 + 1 + 1 4 = 3 4

Рассмотрим произведение 5 x 2 3 .

Это эквивалентно добавлению 23, 5 раз. Так как повторное сложение можно выполнить путем умножения, это можно сделать, умножив числитель на 5.

Это 5 х 23 = 5×24 = 103

Другой способ взглянуть на это — рассматривать целое число 5 как дробь со знаменателем 1. Чтобы умножить две дроби, умножьте числители и знаменатели отдельно, а затем запишите их произведения как числители и знаменатели соответственно.

5 x 23 = 51 + 23 = 5x21x3 = 103

Поскольку произведение представляет собой неправильную дробь, преобразуйте его в смешанное число.Разделите 10 на 3. Частное равно 3, а остаток равен 1. 

Таким образом, 103 = 313.

Это можно четко определить в геометрической интерпретации, как показано на рисунке:

Пример:

Кэтрин готовит торт, для которого ей нужно три четверти стакана масла. Если она решит испечь три лепешки, сколько потребуется масла?

Для трех лепешек количество используемого масла должно быть в 3 раза больше, чем три четверти стакана масла.

 3 x 34 = 31 x 34 = 3x31x3 = 94

Превратите неправильную дробь в смешанное число.

9 ÷ 4 = Q 2 R 1 

Таким образом, 94 = 21 4 

Следовательно, для нового рецепта потребуется 2 с четвертью стакана масла.

Забавный факт: 

  • Если множимое представляет собой смешанную дробь, сначала преобразуйте смешанную дробь в неправильную дробь, а затем умножьте.

Пример: 5 x 62 3

Сначала преобразуйте 62 3  в неправильную дробь.

  623 = (6×3)+23  =203

Итак, 5 х 623 = 5 х 203 = 51 х 203 = 1003

Теперь преобразуйте 1003 в смешанную дробь.

120 ÷ 3= Q 33 R 1

Таким образом, 1003 = 3313

 

Умножение дробей на целые числа

Этот урок научит вас умножать дроби на целые числа на основе визуальных моделей. Мы просто находим общее количество штук путем умножения, то есть вы умножаете целое число и верхнее число (числитель) дроби. В уроке также много текстовых задач.

В видео ниже я учу умножать дроби на целые числа, что является довольно простой концепцией.Вам просто нужно помнить, что 4 х (2/3) не рассчитывается как (4 х 2) / (4 х 3). В визуальной модели вы можете раскрасить две трети четыре раза, чтобы получить ответ. Я также показываю интересную связь между (1/3) x 5 или одной третью пяти кругов и 5 x (1/3), или пятью копиями 1/3.

.
3 ×

4

5

 – это три копии 

4

5

.(Посмотрите на картинку.)

Сколько пятых в Всего?

Есть 12 пятых. Итак, 3 ×

4

5

 =  

12

5

.
Наконец, мы даем ответ в виде смешанного числа :
12/5 равно 2 2/5.
 =
   
3 ×

4

5

 =  

12

5

  =   2

2

5

1.Неоднократно раскрашивайте части, чтобы решить умножения. Дайте ответ в виде смешанного числа .

а. 4 ×

7

9

  =
б. 3 ×

5

8

  =
в. 5 ×

11

12

  =
д.   6 ×

7

10

  =

2. Заполните.

а.

  2

4

5

  =  2 ×  

б.

25

9

  =  5 ×

г.

  2

2

8

  =  3 ×  

Решите, например, с помощью чертежа.

3. Высокие стаканы Эрики вмещают 3/8 литра каждый.
    Сколько воды ей нужно, чтобы наполнить четыре из них?


4. Марлен хочет утроить этот рецепт (сделать три раза).
    Сколько ей понадобится каждого ингредиента?
Брауни

3/4 стакана сливочного масла
1 1/2 стакана коричневого сахара
4 яйца
1 1/4 стакана какао-порошка
1/2 стакана муки
2 ч.л. ванили

Чтобы умножить целое число на дробь, найдите общее количество «куски» (путем умножения). Это означает, что вы умножаете целое число и верхнее число (числитель) фракции.
Пример 1.  8 ×

3

4

 означает 8 × 3 шт. или 24 шт. Каждая часть является четвертой. Итак, получаем

24

4

.

Наконец, мы запишем ответ в виде смешанного числа.На этот раз

24

4

 – это целое число 6.

Пример 2. Умножение можно выполнять в любом порядке. (Другими словами, умножение коммутативно .)

..
Итак,

3

10

 × 5 то же, что  5 ×

3

10

.Они оба равны

5 × 3

10

 =  

15

10

. Это упрощается до

3

2

, что равно 1

1

2

.

5. Решить. Дайте свой ответ в самых низких терминах (упрощенное) и как смешанное число.Изучите пример.

а.   6 ×

4

9

  = 

24

9

  = 

8

3

  =  2

2

3

 
б.   4 ×

7

10

 =
в.   2 ×

11

20

 =
д.   9 ×

2

15

 =
эл.  

15

6

 × 2 =
ф.   6 ×

7

100

 =
г.  

1

12

× 16 =
ч.   2 ×

35

100

 =
и.  

9

20

 × 10 =
л.  

7

15

 × 7 =

6.Уильям спросил 20 пятиклассников, сколько времени они потратили на работу по дому / работу по дому накануне. Он
    затем округлил ответы до ближайшей 1/8 часа. То линейный график показывает его результаты. Каждая отметка x
    соответствует одному пятикласснику.

    а. Исключить трех учеников, которые сделали меньше всего работу по дому и троих, которые сделали больше всего, и введите:

        Большинство учащихся использовали ___________ и __________ часов на работу по дому и работу по дому.

    б. Среднее значение для этих данных составляет 7/8 часов. Использовать это вычислить сколько
        много часов в эти 20 пятых всего грейдеров, используемых для работы по дому.

НАПОМИНАНИЕ

Дробь от число означает что дробь РАЗ номер.
Другими словами, слово «из» переводится как умножение. За пример

3

10

из

120 долларов

   

3

10

× 120 долларов

Теперь вы уже научились находить 3/10 от 120 долларов США при использовании подразделения :

Мы также получаем тот же ответ с умножение дроби :   

3

10

 × 120 долларов =  

3 × 120 долл. США

10

  =

$360

10

  = 36 долларов США.

Оба метода по существу одинаковы: вы делите на 10 и умножаете на 3, только в двух разных порядках.

7. Найдите следующие количества.

    а. 2/5 от 35 фунтов

    б. 4/9 180 км  
 

8. Папа строит полку длиной 4 метра. Он хочет использовать
    2/5 из них для садовые принадлежности и остальное для инструментов.
    Какова длина этих двух частей полка?
      ( Подсказка: использование сантиметров может помочь. )

 

9. а. Джанет и Сэнди заработали 81 доллар за работу во дворе. Они разделили
        деньги неравномерно, так что Джанет получила 2/3, а Сэнди получил
остальные. Сколько денег получила каждая девочка?
 

 

    б. Что произойдет, если сумма, которую они заработали, составляет 80 долларов?

 

10. Энди нарисовал на бумаге прямоугольник размером 5 на 4 дюйма. Затем он начертил
      второй прямоугольник, длина и ширина которого составляла 3/4 длины и ширины первого. один.

а. Какой длины и ширины была секунда Энди? прямоугольник?

б. Нарисуйте оба прямоугольника (на отдельной бумаге).

Эпилог: Есть кое-что интересное в умножении «дроби на целое». номер»
или умножение «целого числа на дробь». Давайте сравним.

1

4

 ×  12 означает четвертую часть от 12 , что равно 3.

12

 ×  

1

4

  означает  12 копий 1/4 ,

из которых получается 3 целых пирога.

Примечание: Оба  

1

4

 × 12 и 12 × 

1

4

  равно 3.Это имеет смысл, потому что умножение может быть

в любом порядке. Но они означают разные вещи (четвертая часть 12 и 12 копий 1/4).

11. Заполните недостающие части.

а. Две пятых от 10 10 копий 2/5
.

 ×  10   означает две пятых части 10 

что равно .

.

10

 ×   означает 10 копий ,

что равно .

 

б. А ______________ часть 5 5 копий 1/3

1

3

 ×  5   означает часть 5,

что равно .

.

5

 ×   означает 5 копий ,

что равно .

 

с. ____________________ из 7 7 копий _______
 ×  7   означает из 7,

что равно .

.

7

 ×   означает 7 копий ,

что равно .


Здесь вы найдете бесплатные печатные листы для умножения дробей на целые числа.


Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Fractions 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторское право © Мария Миллер.



1.1 Что такое числа? Рациональные числа

У нас есть много видов чисел, но все они начинаются с натуральных чисел , которые \(1, 2, 3\) и так далее.

Если вы посчитаете свои цифры и пальцы ног, вы придете к \(20\) (большинство из вас), и это натуральное число. Мы можем в нашем воображении считать, что эти натуральные числа продолжаются вечно, после миллиона, миллиарда, триллион и так далее.

В начальной школе вы изучали не только эти числа, но и то, как над ними можно производить действия.

Какие операции?

Есть сложение, вычитание, умножение и деление .

Вы можете сложить два натуральных числа вместе, и вы всегда получите еще одно натуральное число, как в известный факт, что один и один два.

С вычитанием дело обстоит сложнее. Если вычесть число, например число \(5\), из само по себе, вы получаете что-то новое, что-то, что вовсе не является натуральным числом. Мы называем это числом \(0\) или ноль . И если вы вычтете число, снова скажем \(5\), из меньшего числа, скажем \(3\), тогда вы получаете нечто новое, а именно отрицательное целое число, которое в данном случае равно \(-2\), называемое «минус два» .

Вы можете использовать числа, чтобы подсчитать количество копеек, которые у вас есть в кармане. Таким образом, у вас может быть пять пенни в твой карман. Ноль — это количество пенни, которое у вас было бы, если бы в вашем кармане была дырка, а все те, что вы положили в сразу выпал снова.

Теперь предположим, что вы идете в магазин, и владелец магазина достаточно глуп, чтобы отдать вам должное. Предположим далее, что у вас было пять копеек, и вы купили какую-то дорогую вещь стоимостью 11 копеек.Тогда отрицательное целое, \(-6\), представляет собой тот факт, что у вас не только нет пенни, но если бы вы получили еще шесть, вы были бы обязаны сдайте их, чтобы заплатить за этот предмет. Шесть – это количество пенни, которое вы должны были бы своему кредитору, если бы заплатить ему ваши \(5\) пенни, и он отдал вам предмет, а остальные деньги одолжил вам.

Таким образом, чтобы приспособиться к вычитанию и иметь возможность представлять «сумму долга» числами, мы расширяем естественный числа, включающие числа \(0\) и отрицательные значения натуральных чисел.Весь этот набор цифр, положительные натуральные числа, их отрицательные значения и 0 называется набором из целых чисел и обозначается буквой \(Z\).

Мы можем взять любые два члена \(Z\) и добавить их или вычесть их и в любом случае получить еще один член \(Z\).

Я все это знаю, но я очень заржавел в реальных сложениях и вычитаниях. Я ошибаюсь в большинстве время я пытаюсь сделать их.

Большинство людей делают ошибку примерно один раз из десяти сложений или вычитаний однозначных цифр, которые они совершают. выполнять. Это означает, что если они добавляют или вычитают многозначные числа, например \(1234123\) и \(5432121\), у них есть отличный шанс получить неправильный ответ.

К счастью, сегодня это не имеет значения. Вы можете легко проверить сложения и вычитания на калькуляторе или в электронной таблице и посмотрите, получите ли вы один и тот же ответ несколько раз.К сожалению, я обычно делаю ошибка при вводе чисел для сложения или вычитания, или сложения вместо вычитания, или выполнения чего-либо еще в равной степени абсурд. Все, что это означает сегодня, это то, что я должен сделать каждый расчет по крайней мере три раза, чтобы иметь разумное шанс на правильность. Правда, количество моих усилий в три раза больше, чем могло бы быть, но в три раза очень мало усилия по-прежнему очень мало усилий.

Если у вас есть эта проблема, вам лучше всего добавлять или вычитать в электронной таблице.Тогда вы можете посмотреть на свой вычисления и использовать свое суждение относительно того, имеет ли это смысл. Вот несколько правил проверки на смысл.

Когда вы добавляете положительные числа, результат должен быть больше, чем оба из двух «сумм» , которые вы добавили. Если одно из чисел положительное, а другое отрицательное, величина (значение, если вы игнорируете любое знак минус) суммы должен быть меньше, чем величина большего из двух, а знак должен быть то из слагаемого с большей величиной.

Кроме того, младшие значащие цифры ваших чисел должны правильно складываться или вычитаться, если вы игнорируете остальные. За например, если вы вычтете \(431\) из \(512\), то последняя цифра ответа должна быть \(1\), что равно \(2\) минус \(1\).

Если ваша проверка выдает что-то подозрительное, попробуйте еще раз вычислить, будучи более осторожным, особенно с входными данными.

Операция вычитания 5 из другого числа, отменяет операцию прибавления \(5\) к другой номер.Таким образом, если вы выполняете обе операции, прибавляете пять, а затем вычитаете пять или наоборот, вы снова откуда вы начали: \(3 + 5 — 5 = 3\).

Сложение \(5\) и вычитание \(5\) считаются обратными операциями друг к другу из-за this property: Выполнение их одно за другим равносильно бездействию.

Кстати, почему \(0\) не является натуральным числом?

Я понятия не имею.Так люди определяли натуральные числа давным-давно, и никто особо не заботился об их изменении. это определение.

Еще в начальной школе вы также столкнулись с понятием умножения на . Это что-то вы можете сделать с двумя целыми числами, которые дадут третье, называемое их произведением . Ты был (я надеюсь) вынужден выучить таблицу умножения, которая дает произведение каждой пары однозначных чисел и затем научился использовать эту таблицу для умножения чисел с большим количеством цифр.

Я никогда не был хорош в этом .

В старину нужно было уметь делать эти вещи, сложения и умножения, хотя бы для того, чтобы уметь обращаться с деньги и совершать обычные покупки, не подвергаясь мошенничеству.

Теперь вы можете использовать калькулятор или компьютерную электронную таблицу, чтобы сделать эти вещи, если вы знаете, как вводить целые числа и , чтобы нажать кнопки \(+\) или \(-\) или \(*\) и = соответственно.

( К сожалению, этот факт привел педагогов к мысли, что им не нужно заставлять учеников проходить нудное изучение таблицы умножения.

Это наносит большой вред тем, кто этого не делает, из-за того, как работает наш мозг. оказывается что чем больше времени мы тратим на любую деятельность в детстве и даже во взрослом возрасте, тем больше площадь мозга получает то, что посвящено этой деятельности, и чем больше она становится, тем лучше мы справимся с этой деятельностью.

Таким образом, вы тратите меньше времени на изучение таблицы умножения, что приводит к уменьшению площади вашего мозг посвящен вычислениям, что препятствует вашему дальнейшему математическому развитию.

Ваши математические способности будут прямо пропорциональны количеству времени, которое вы решите посвятить думаю об этом. И это зависит от вас. )

Как только мы познакомимся с умножением, возникает естественный вопрос: как мы можем отменить умножение? Что обратная операция, скажем, к умножению на \(5\), так что умножение, а затем выполнение этого равносильно выполнению ничего такого? Эта операция называется делением. Итак, вы научились делить целые числа. То операция, обратная умножению на \(x\) — это деление на \(x\) , (если только \(x\) не равно \(0\)).

Теперь возникает проблема: если мы попытаемся разделить \(5\) на \(3\), мы не получим целое число. Итак, как мы и должны были расширить натуральные числа до целых, чтобы приспособить операцию вычитания, мы должны расширить наши числа из целых чисел включают также соотношения целых чисел , например \(\frac{5}{3}\), если мы хотим сделать деление определено для каждой пары ненулевых целых чисел.И мы хотим иметь возможность определять разделение, где бы мы ни находились. может.

Отношения целых чисел называются рациональными числами, и вы получаете единицу для любой пары целых чисел, если второе целое число, называемое знаменателем, не равно нулю. Соотношения типа \(\frac{5}{3}\), которые сами по себе не являются целыми числами, называется дробей.

После того, как мы ввели дроби, мы хотим предоставить правила их сложения и вычитания, а также правила умножения. и разделив их.Это начинает усложняться, но, к счастью для нас, у нас есть калькуляторы и электронные таблицы. которые могут делать все это без каких-либо жалоб, если у нас хватит ума ввести то, что мы хотим сделать.

Есть одна вещь, которую мы не можем делать с нашими рациональными числами, — делить на \(0\). Дивизия, в конце концов, является действием отмены умножения. Но умножение любого числа на 0 дает результат \(0\). Нет способа верни из этого произведения \(0\) то, на что ты умножил \(0\), чтобы получить его.

Конечно, складывать и умножать (а также вычитать и делить) дроби сложнее, чем делать это для целые числа. Чтобы умножить, скажем, \(\frac{a}{b}\) на \(\frac{c}{d}\), новый числитель является произведением старого единицы (а именно \(ac\)) и новый знаменатель является произведением старых (\(bd\)), поэтому произведение равно \(\frac{ac}{bd}\): \(\frac{a}{b}*\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\).

Обратная операция умножения на \(\frac{c}{d}\) — это умножение на \(\frac{d}{c}\), и эта обратная операция по определению операция деления на \(\frac{c}{d}\).Произведение любого числа на обратное всегда равно \(1\). Это означает, что \(\frac{d}{d}\) всегда \(1\) для любого \(d\), отличного от \(0\).

Таким образом, \(\frac{a}{b}\), деленное на \(\frac{c}{d}\), равно \(\frac{a}{b}\), умноженному на величину, обратную \(\frac{ компакт диск}\) что равно \(\frac{a}{b}\), умноженному на \(\frac{d}{c}\). Ответ: \(\frac{ad}{bc}\).

Добавление немного сложнее. Понятие сложения можно применять как к объектам, так и к числам в следующий смысл.Мы знаем, например, что \(3+5\) равно \(8\). Значит, если у нас есть 3 редиски и выкопаем \(5\) больше, у нас будет \(8\) редиски (при условии, что никто не ел первую \(3\)). И то же самое верно для любые другие предметы вместо редиски. Это говорит нам, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Таким образом \(\frac{3}{a} + \frac{5}{a}\) — это \(\frac{8}{a}\), в котором \(\frac{1}{a}\) заменено редька. Мы применяем общее правило добавления подобных вещей к объекту \(\frac{1}{a}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно сначала изменить их так, чтобы знаменатели были одинаковыми, затем добавьте числители, как вы добавляли числа. Самый простой способ сделать это — сделать новый знаменатель продукт старых. Таким образом, чтобы найти \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\), вы сначала умножаете первый член на \(\frac{d}{d}\), а второй на \(\frac{b}{b}\), получив \(\frac{ad}{bd} + \frac{cb}{bd} \) и ответ \(\frac{ad+cb}{bd}\).Вы можете сделать то же самое для вычитания.

Вас, вероятно, заставляли выносить за скобки общие члены в числителе и знаменателе в этом ответе в школе, но вам не нужно делать это при вводе ответа в электронную таблицу, что значительно усложняет сложение дробей легче, когда вы используете электронные таблицы.

Умножение дробей на целые числа — видео и расшифровка урока

Умножение целых чисел

Как вы выполняете эти умножения? Во-первых, вам нужно превратить целое число в дробь.Как ты это делаешь? Помните, что все целые числа на самом деле являются дробями; это дроби, в которых знаменатель равен 1. Таким образом, 2 можно превратить в 2/1. 3 можно превратить в 3/1. Итак, теперь, когда вам нужно умножить 1/2 * 3, вы на самом деле умножаете 1/2 * 3/1. Чтобы выполнить эту операцию, вы умножаете прямо. Вы умножаете числители вместе и знаменатели вместе. Что вы получаете? Вы получаете (1 * 3)/(2 * 1) = 3/2. Давайте подумаем об этом. Что произойдет, если умножить любое число на 1? Вы получаете сам номер.Таким образом, знаменатель остается прежним, поскольку вы умножаете его на 1.

Правило

Из этого мы можем создать правило, которое облегчит умножение дробей на целое число. Правило состоит в том, что когда вы умножаете дроби на целое число, просто умножайте числитель на целое число и оставляйте знаменатель прежним. Это будет ваш ответ. Если ответ можно упростить, то вы идете вперед и упрощаете его.

Давайте рассмотрим пример.

Пример

Роберт считает общее количество пирогов, оставшихся на конец дня. После продажи сотен пирогов и еще большего количества кусочков у него осталось пять пирогов размером 3/4. Какова общая сумма пирога, который у него остался?

Чтобы решить эту задачу, вы видите, что вам нужно умножить 3 на 4 на 5 (3/4 * 5). Вы помните правило, согласно которому нужно просто умножить числитель на целое число, а знаменатель оставить прежним. Вы получаете (3 * 5)/4 = 15/4.Можно ли это еще упростить? Нет. Итак, 15/4 — ваш ответ. Всего у Роберта осталось 15/4 или 3 и 3/4 пирога.

Итоги урока

Давайте повторим, что вы узнали. Дроби — это числа, которые показывают часть целого. Когда вы умножаете дроби на целое число, просто умножьте числитель на целое число и оставьте прежним знаменатель. Упростите свой ответ, если можете.

Результаты обучения

Цель этого урока — помочь вам расширить свои возможности:

  • Написать определение дробей
  • Умножение дробей на целое число
  • Укажите правило, облегчающее процесс
  • Приведите сценарий, в котором может потребоваться умножение дробей
.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *