Как умножается дробь на дробь: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Kam Electro

Kam Electro Перейти к содержимому

Resipi dari Bahasa, 90 Resipi, Resipi Foto / Persediaan.ru
Sakit kepala dengan Penyusuan Penyusuan — Punca dan Kaedah Rawatan
Bagaimana untuk membuat carta dalam Excel
Plateau Arab: Apa itu, di mana terletak, ciri-ciri iklim, bantuan, pelancongan :: syl.ru
Spermatogenesis.
Jenis Pengecas: Penerangan mengenai jenis dan cadangan sedia ada untuk pilihan
Bagaimana untuk menjahit langsir melakukannya sendiri: arahan langkah demi langkah (5 foto)
Cara Buat Akaun Google Pada 2021 — Arahan Langkah demi Langkah
Salad, makanan ringan dan hidangan dengan halia jeruk: Resipi
Bagaimana untuk mengetahui nombor ICQ (ICQ) dari mana-mana versi
Yandex Dzen.
Jurnal Sarjana Pameran
Klinik «Doktor Keluarga
Sakit di leher (jabatan serviks) rawatan, sebab, gejala, mencubit pisau saraf di Moscow
Memindahkan fail antara iPad dan komputer — Sokongan Apple

Osmaster.org.ua.
Intipati akaun semasa
Di mana untuk mencari pautan trad anda ke Steam: Top 2 cara
Apa yang perlu dilakukan jika suami adalah alkohol: bagaimana untuk hidup dengan suami yang beralkohol
Contoh (sampel) mengisi alamat penghantaran ke AliExpress
Apa yang menjadi priori — apa maksudnya, perkataan, definisi, intipati,
Palming: Latihan yang mudah untuk menghapuskan keletihan mata «Ochkov.net»
12 hidangan meja tradisional Rusia untuk Krismas
Saman pokok Krismas untuk seorang gadis untuk tahun baru dengan tangan anda sendiri: Bagaimana untuk menjahit pakaian
Apa yang perlu dirawat sakit tekak?
Apakah resit, jenis resit
Yandex Dzen.
Snowflakes on Nails: 53 Foto elegan idea manicure dan bagaimana untuk menarik
Buat jadual dalam Word dan isikannya — Arahan terperinci
Pelajaran jauh

Bagaimana untuk mengelakkan konsepsi selepas persetubuhan yang tidak dilindungi
Yandex Dzen.
Memasang Pengubahsuaian di Stellaris (Stellaris) — Stellaris (Stellaris) — Paradox Interactive — Perpustakaan — Komuniti Imperial
Manufactory adalah: Definisi dalam sejarah MANUFF yang bertaburan
Merokok Mackerel di rumah — resipi langkah demi langkah dengan foto di Cook.ru
Bagaimana dan di mana untuk mendapatkan «TAKS FREE» di Moscow: Ciri-ciri Pendaftaran dan Bayaran Balik
Muat turun Clash of Clans pada komputer secara percuma (versi terkini)
Bagaimana untuk menterjemahkan liter kepada sentimeter padu
Bagaimana untuk mengira tarikh kematian mengikut tarikh lahir dalam numerologi
Bagaimana untuk menghentikan pendarahan rahim di rumah
Bagaimana untuk membuat sembang di VC: dalam kumpulan, sembang tanpa nama, tetapan
Apakah perbezaan antara nombor dalam matematik: definisi, peraturan

Siapa herobrin dan bagaimana untuk memanggilnya
Bagaimana untuk bermain di rangkaian melalui Hamachi: Arahan
Kek Napoleon di resipi langkah demi langkah rumah
Menambah cendawan di rumah di ruangan bawah tanah untuk pemula
Maklumbalas Pelanggan
Bagaimana untuk memasak ayam fillet yang lazat?
Apa yang hendak dimasak dari doh puff yis?
Apa lagu tanpa akordion — Wikipedia
Dolomit — Apa itu, sifat dan permohonan :: syl.ru
Mata jahat dan kerosakan Bagaimana untuk menentukan siapa yang melakukan dan bagaimana untuk mengeluarkan 14 tips
Yandex Dzen.
Kehilangan rambut pada lelaki: bagaimana untuk berhenti dan apa yang perlu dilakukan untuk menyembuhkan
NSAID Senarai kumpulan klinikal dan farmakologi di dalam direktori dadah Varl
Ibu hadiah melakukannya sendiri untuk hari jadi: 100 idea terbaik dengan foto langkah demi langkah
Limoncello di rumah: Resipi Memasak — Moonshine

Menggunakan-
Bagaimana untuk mengambil minecraft
Bagaimana untuk membuat keropok dengan tangan anda sendiri
Bagaimana untuk memasak arnab cepat dan lazat
Menenun dari getah di mesin: skim cahaya mudah untuk pemula dan kompleks untuk tuan yang berpengalaman
Bagaimana untuk melumpuhkan Internet di Tele2: Semua kaedah
Bagaimana untuk menggunakan trimmer: untuk rambut, janggut, bikini, hidung, zon alis, kutikula
Yandex Dzen.
Yandex Dzen.
25 jawapan yang akan membantu Syarikat untuk menghentikan pihak berkuasa wakil.
Bahasa Pork Bagaimana untuk memasak yang lazat Berapa banyak memasak, resipi terbaik
Bagaimana untuk membuat topeng Soroka untuk penyamaran melakukannya sendiri?
Multivarka.
Poppers: Apa itu dan apa yang digunakan untuk
Terjemah wang dari megaphone ke megaphone: cara
Bagaimana untuk menambah tapak di Yandex.Vebmaster: Pengesahan Hak dan Persediaan — Langkah demi langkah arahan

Bagaimana tidak boleh disalah anggap apabila memilih lapisan asas pakaian
Pikabu.
Peranannya dalam Islam dan Senibina :: Syl.ru
Bagaimana untuk memilih kereta api tuala yang dipanaskan: Arahan langkah demi langkah, kami memahami pelbagai model
Smart Manager Samsung: Apa ini, gambaran keseluruhan fungsi
Bagaimana untuk menentukan lantai penyu merah: bagaimana untuk membezakan seorang wanita dari lelaki mengikut data luaran, tingkah laku?
Kenapa seseorang bercakap dalam mimpi dengan kuat: Punca dan Rawatan
Kilowatt di kuasa kuda: bagaimana untuk menterjemahkan dan di mana ls digunakan
Multitach: Apa itu dalam telefon atau telefon pintar
Bagaimana untuk memanggil guinea babi: nama dan lubang untuk kanak-kanak lelaki dan kanak-kanak perempuan
Bagaimana untuk membuat kalendar dalam Word sebagai Pro, dalam 1 minit

2 cara untuk memadam semua rekod dari dinding vkontakte dengan serta-merta
Bagaimana untuk membersihkan sturgeon
Melukis peringkat dengan kanak-kanak
Russia — Republik Czech — 4: 1, Eurotur, 19 Disember, 2020, Statistik, Foto, Video, Lombong Fluff
Bagaimana untuk menggulung rambut dengan menangkap: Bagaimana untuk menggunakan cara membuat keriting yang indah, keriting menghancurkan, ulasan peranti mana yang lebih baik, meletakkan pada rambut pendek, sederhana dan panjang
Namakan tanda-tanda utama biro primitif
Kotoshachapka: Penerangan dan Skim Cut Cute untuk gadis — 1st-finstep.ru
Softlakecity.ru.
Yandex Dzen.
Fool Me: Profiler — Mengenai Amalan yang mengejutkan, mitos dan keradangan profesion — Rambler / News
Excel Bagaimana Menghapus Pautan Cyclic In — Segala-galanya mengenai Excel
Gamenewsblog.
Punca icotes di dalam bayi: Kenapa jaket yang baru lahir?

Ulasan pemilik kereta buatan sendiri dengan Foto — Drive2.ru
Resort di Thailand: Di mana lebih baik berehat?
Gaya rambut bergaya untuk wanita pada tahun 2020.
Yandex Dzen.

Действия с дробями | LAMPA

Как же теперь привести дроби 27\frac{2}{7}72 и 34\frac{3}{4}43 к знаменателю 282828?

Вспоминаем, что если умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Например, 15\frac{1}{5}51 и 210\frac{2}{10}102 — это одно и тоже число.

То есть нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получился общий знаменатель дробей (в случае дробей 27\frac{2}{7}72 и 34\frac{3}{4}43 — число 282828).

Числитель и знаменатель дроби 27\frac{2}{7}72 нужно умножить на 444:

27=2⋅47⋅4=828\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28}72=7⋅42⋅4=288,

— а числитель и знаменатель 34\frac{3}{4}43 — на 777:

34=3⋅74⋅7=2128\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}43=4⋅73⋅7=2821.

Теперь можно без труда сложить получившиеся дроби: 828+2128=2928=1128\frac{8}{28}+\frac{21}{28}=\frac{29}{28}=1 \frac{1}{28}288+2821=2829=1281.

Общая формула, которой можно пользоваться для сложения дробей: ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}ba+dc=bdad+bc

Пользуясь этой формулой, мы получим, что 13+16=1⋅6+3⋅13⋅6=918\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 6+3\cdot 1}{3\cdot 6}=\frac{9}{18}31+61=3⋅61⋅6+3⋅1=189. Как мы видим, эту дробь можно сократить на 999. Получится 12\frac{1}{2}21.

Наименьший общий знаменатель

Можно ли сразу получить дробь, которую не надо было бы сокращать, то есть дробь с наименьшим возможным знаменателем?

Да, можно! Для этого вместо перемножения знаменателей необходимо вычислить их .2\cdot 5=902⋅32⋅5=90.

Умножить смешанное число на целое. Дроби

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

правильные;
неправильные;
смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

разделить числитель на имеющийся знаменатель;
в конкретном примере неполное частное — целое;
и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
полученное произведение прибавляется к числителю;
результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
найти произведение числителей;
найти произведение знаменателей;
записать получившийся результат;
максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
найти произведение, несмотря на запятую;
в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Как умножить и разделить смешанные дроби. Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Плюс на минус дает минус;
Минус на минус дает плюс.

Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Сокращение дробей «на лету»

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Так делать нельзя!

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Что такое дробь?

Разновидности дробей

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

разделить числитель на имеющийся знаменатель;
в конкретном примере неполное частное — целое;
и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
полученное произведение прибавляется к числителю;
результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Умножение дробей десятичных

две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
найти произведение числителей;
найти произведение знаменателей;
записать получившийся результат;
максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
найти произведение, несмотря на запятую;
в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.

Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.

Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
перемножаем числители и знаменатели дробей;
сокращаем дробь;
если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Умножение и деление обыкновенных дробей

1. Умножение и деление обыкновенных дробей

Подготовила Н.И.Короленко
МОУ СОШ №19 г.Красноярска

2. Умножение

Давайте вспомним как умножается дробь на число
или число на дробь
42
8
16
5
m
n
15
2
21
4
20 1
3
12 5
А
1 45
5
4
6
5
3
Выполните вычисления
2
8
5
3
14
8
2 1
1 7
3 2
5
4
12
5
9
6

3. Умножение дроби на дробь

а b
а с
в d
c d
Выполни умножение
Чтобы умножить дробь на
12
2 5дробь, надо
4 числитель
5
умножить9
на числитель
, а13
3 7
9
знаменатель умножить на
20
20
10
120
120
знаменатель
143
134
21
21
81
10
11
9
18

6. Деление дроби на дробь

a с
c a
: :
b dd b
Чтобы разделить
5 15
4 дробь,
16
9надо
6
3дробь
7 на
:
:
:
:
делимое
умножить
на
28 42
15
25
52
13
7 9
обратную делителю
6
3 14
5
39
27 1
дробь
12
12
104 49 3
6 15
Выполните деление:
2 3
:
5 7
3
8
1
2

9. Умножение и деление смешанных чисел

Например:
Чтобы умножить
или разделить
смешанные числа,
надо их перевести в
неправильную
4 15дробь
19 15
1 5 6 5 30
1
5 7 5 7 35
3
5
75
2 :3 :
7 5 7 5
7 19 133

10. Выполните действия

9 4
3
20 9
11
1
20
5 3
1 3
16 7
1 4
5 : 1
5 5
15
1
49 4 1
2
11 13
1 1
14 15
4 1
4 : 3
7
2
1
1 3
3
15 4
8 1
1
3 2 8 1 11 2 9 49
3
9
20
2

13. Самостоятельная работа вариант 1 вариант2

1. Выполните действия
1 5
1 2
1. 5 6
4 1
2. 9 2 4
2 9
3. 9 : 14
3 3
4. 3 4 : 4 8
1 3
6
2
1
2
1.
2. 2
6 7
11 3
6 8
3
7
3. 13 : 91 4.3 : 2
5 10
2. Вычислите удобным способом
7 2 1 2
: : 5 1
9 27 4 7
3 7
11 2
:
: 3 1
5 60
15 3

14. Проверь себя вариант 1 вариант2

1. Выполните действия
1 25
1. 1 5 3256
4 1
2. 9 2 4
2 289
:
3. 9 81
14
3 63
3 :4
4. 4 7 8
1
2
1 53
6
2
1
2
1. 2
2. 2
6 67
11 3
6 18
31 7
5:
3
:
2
1
3. 13 491 4. 5 3 10
2. Вычислите удобным способом
7 2 4 1 2
: 2: 5 1
9 27 7 4 7
3 7 2911 2
:
: 2 3 1
5 60 9815 3

15. Критерий оценивания

1. Без ошибок
— « 5»
2. Одна, две ошибки – «4»
3. Три ошибки – «3»
4. Всё остальное – «2»

Умножение и деление дробей

Урок математики в 6 классе.

Тема урока: обобщение и систематизация знаний по теме «Умножение и деление дробей».

Цели урока: закрепить и систематизировать знания по теме «Умножение и деление дробей», выявить пробелы в знаниях учащихся, развивать вычислительные навыки, математическую речь, внимание, мышление, воспитывать чувство коллективизма, взаимовыручки и взаимоподдержки, чувство ответственности, умение оценивать себя и других.

Оборудование:наборное полотно, модели машин, жетоны, карточки с ответами, карточки с номером команды, карточки для оценивания в группах, мультимедийная установка.

1. Орг. момент.

Здравствуйте, ребята! Настраиваемся на урок.Садитесь.

2.Целеполагание.

Вы изучили тему «Умножение и деление дробей». Какой же будет тема нашего урока? (дети сами называют тему).

-Да, мы должны обобщить и все повторить по изученной теме, закрепить полученные знания, выявить пробелы в знаниях, чтобы успеть их исправить (1-2слайд-тема урока).

3.Проверка домашнего задания.(3 слайд)

Подвести итог .

4.Вступительная беседа.

Запишите в тетради число, тему урока.

А чтобы вы лучше вспомнили изученный материал, нашли свои недочёты и постарались их исправить, урок проведем в форме игры. Она называется «Математическое ралли»(4 слайд).

Правила игры: класс разбит на 4 группы. Каждая группа–экипаж машины, которому предстоит совершить пробег по местности со множеством препятствий. Победит тот экипаж машины, который наберёт больше очков, пройдя по всей трассе движения. В каждом экипаже есть штурман, ученик, который будет оценивать вашу работу, помогать вам и учителю. Каждый этап гонки оценивается жетоном. (На доске прикреплены жетоны-напротив цифры: красный-5 баллов, зеленый-4 балла, синий-3 балла, желтый-2 балла.)

5.Игра.

Девиз гонки: «Торопись-медленно!»(5 слайд)

Перед отправлением в путь вы должны повторить правила дорожного движения. Экипажам за 2-3 минуты приготовить ответы на вопросы и выбрать отвечающего по каждому вопросу,решение 3 вопроса написать на доске одному из членов экипажа.(В группе 3 вопрос решают устно).

Учитель раздаёт карточки.

I этап. Правила дорожного движения. (6 слайд)

Начинаем наше соревнование!На старт! Внимание! Марш!

1 экипаж:

1) По какому правилу умножается дробь на натуральное число?

2) Как умножить дробь на дробь?

3)Запишите в виде неправильных дробей следующие дроби: =… 3=… 2=… 5=…

2экипаж:

1) По какому правилу выполняется умножение смешанных чисел?

2) Как найти дробь от числа?

3) Запишите дроби в виде правильных дробей :=… =… =… =…

3 экипаж:

1) По какому правилу смешанное число умножается на натуральное?

2) Как записать смешанное число в виде неправильной дроби?

3)Вычислите: 0=… 11=… 1=… 0=…

4 экипаж:

1) Какими свойствами обладает умножение дробей?

2) Когда при умножении дробей можно сокращать?

3) Вычислите: =… =…

Начинаем проверку. Один экипаж отвечает, остальные слушают и исправляют, если ответ неверный. Штурман не забывает отмечать работу своих членов экипажа на карточках.

Подведем итог. Учитель выставляет оценку каждому экипажу напротив их

II этап. Проверка местности.(7 слайд)

Проверим, как вы применяете эти правила при решении примеров.

Каждому экипажу даны примеры, найти среди ответов, показанных на слайде под определенным номером свои ответы и выписать эти номера.

Решить задания нужно всему экипажу, проверить ответы, если кто-то не решил или решил неверно –объяснить как нужно решить правильно.

(8 слайд)

1 экипаж

2 экипаж

3 экипаж

4 экипаж

Ответы: 1) ; 2) 1; 3) ; 4) ; 5)1 ; 6) ; 7) 1; 8) 1; 9) 1; 10) 3.

Проверка: (9 слайд)

Правильные ответы:

1 экипаж

1,7,9

2 экипаж

4,5,2

3 экипаж

3,10,2

4 экипаж

6,5,8

Оценить группу и каждого в экипаже.

Выставить оценки жетонами.

Привал. Физминутка.

-Выходим из машин. Выполняют упражнения.

Давай присядем столько раз,
Сколько гоночных машин у нас.
Сколько гоночных машин у нас,
Столько мы подпрыгнем раз.

Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!

-Садимся в машины и продолжаем путь.

III этап. Гонка с препятствиями.(10 сайд)

А теперь проверим применение правил в новых условиях.

Для этого нужно решить примеры, проверить их в своих экипажах, исправить ошибки.(11 слайд)

Проверьте решения по готовым карточкам с решениями. Штурману ответить, сколько членов экипажа решили без ошибок.

Учитель делает вывод и оценивает работу экипажей (жетоны).

IV этап. Гонка по пересеченной местности(12 слайд)

На этом этапе будем решать задачи. Повторите еще раз правило нахождения дроби от числа по учебнику.У задачи 3 вопроса, если вы ответите на вопрос под а)-решили на 3, под б)-на 4, под в)-на5. Выбираете сами, свой уровень. (13 слайд)

1 и 3 экипажи решают 1задачу, 2 и 4 экипажи-2 задачу.

Задача1. Турист проехал 450 км. На поезде он проехал пути, на велосипеде остатка пути, остальное на автобусе.

а)Сколько километров турист проехал на поезде?

Б) Сколько километров турист проехал на велосипеде?

В) Сколько километров турист проехал на автобусе?

Задача 2. В магазин привезли 630 килограммов яблок. В первый день продали 3/9 привезенных яблок, во второй день 1/3 остатка, остальное – в третий день.

А) Сколько килограммов яблок продали в первый день?

Б) Сколько килограммов яблок продали во второй день?

В) Сколько килограммов яблок продали в третий день?

Решение 1 задачи: (14 слайд)

1)450 9 4=200 (км) турист проехал на поезде.

2)450-200= 250 (км) осталось проехать.

3)2502125 (км) турист проехал на велосипеде.

4)250-125=125 (км) турист проехал на автобусе.

Решение 2 задачи:

1)630=210 (кг) яблок продали в первый день.

2)630-210=420 (кг)яблок осталось.

3) 420 (кг)яблок продали во второй день.

4) 420- 140=280 (кг) яблок продали в третий день.

Проверка. Подведение итогов по экипажам и оценивание в команде.

Vэтап. Финиш.(15 слайд)

Вот вы и добрались до последнего этапа. Чтобы его преодолеть, нужно решить задачу за 5 минут. (16 слайд)

Длина первой ленты 4 метров, а длина второй ленты в 4 раза больше. На сколько метров вторая лента длиннее первой?

Стоп экипажи! Завершаем соревнование! Проверим задачу.

Решение.(17 слайд)

1)4 (м) длина второй ленты.

2)17 (м)

Ответ. Вторая лента длиннее первой на 13 метра.

7. Подведение итогов. Выводы.

Штурманы оценивают работу своих членов экипажа, называют поставленные оценки.

Учитель подводит итог. -Экипажи хорошо справились с заданиями. Нужно поработать над …. (отметить пробелы в знаниях учащихся, недочеты).

Что мы сегодня повторяли?

Что вызвало у вас затруднение?

8. Домашнее задание. (18 слайд)

Повторить правила, №569 (а,б),№572.

9.Итог урока. На уроке вы были членами экипажа, ехали на машине. А в жизни вы чаще всего-пешеходы.(19 слайд )

Давайте вспомним правила движения пешеходов (Дети называют правила).

-Быть внимательными при переходе улиц.

-Припереходе улицы сначала посмотреть налево, потом направо.

-Ходить по пешеходным переходам.

— если идете по обочине дороги, то надо идти навстречу движущемуся транспорту.

Будьте внимательны и серьезны на дорогах!

Урок окончен. (Сдают карточки учителю.)20 слайд.

Карточка для оценивания в группах.

Штурман

1 экипаж:

1) По какому правилу умножается дробь на натуральное число?

2) Как умножить дробь на дробь?

3) Запишите в виде неправильных дробей следующие дроби: =… 3=… 2=… 5=…

2экипаж:

1) По какому правилу выполняется умножение смешанных чисел?

2) Как найти дробь от числа?

3) Запишите дроби в виде правильных дробей :=… =… =… =…

3 экипаж:

1) По какому правилу смешанное число умножается на натуральное?

2) Как записать смешанное число в виде неправильной дроби?

3)Вычислите: 0=… 11=… 1=… 0=…

4 экипаж:

1) Какими свойствами обладает умножение дробей?

2) Когда при умножении дробей можно сокращать?

3) Вычислите: =… =…

Карточки для проверки IIIэтапа.

1 экипаж

2==14

8=8=

2экипаж

5==24

6– 2=66

3экипаж

9=9

4 экипаж

5=5=

Умножение десятичных дробей на 10; 100; 1000; 0,1; 0,01; 0,001 — Kid-mama

Учимся умножать десятичные дроби. Сначала — правила, а затем — тренажёр.

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000, 10 000 и т. д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Например:

8,963 · 10 = 89,63

0,062 · 1000 = 0062 = 62 (нули перед числом не пишутся)

2,9 · 10000 = 2,9000 · 10000 = 29000

Умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Умножить число на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. — это то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого нужно перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит перед единицей в множителе (нуль перед запятой тоже считаем).

Например:

54,3 · 0,1 = 54,3 : 10 = 5,43

0,1 · 0,01 = 0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001

Умножение десятичных дробей на 10; 100; 1000; 0,1; 0,01; 0,001

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

Информация

Выполните умножение и введите ответ. Используйте на клавиатуре запятую, а не точку.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

С ответом
С отметкой о просмотре

Умножение дробей Рабочие листы

Умножение пар дробей. По возможности упростите свои ответы. Включает в себя две проблемы слова.

4-6 классы

Участники, вошедшие в систему, могут использовать картотеку рабочих листов суперучителя, чтобы сохранять свои любимые рабочие листы.

Быстрый доступ к наиболее часто используемым файлам и созданным пользователем листам!

Пожалуйста, войдите в свою учетную запись или зарегистрируйтесь и присоединитесь к нашему сообществу сегодня, чтобы использовать эту полезную функцию.

В этом рабочем листе есть пояснение, чтобы показать учащимся, как умножать дроби, а затем 11 практических задач.

5-й и 6-й классы

Умножьте дроби, чтобы решить задачу на каждое слово. Обязательно упростите, если это возможно, и покажите свою работу.

4–6 классы

Разрежьте и используйте эти 30 карточек с заданиями для дополнительной практики, обучения в малых группах, охоты за мусором в классе или занятий с равными.

5 и 6 классы

Фигуры с дробями отображаются вверху страницы.Учащиеся умножают дроби одинаковой формы. Пример: Умножьте дроби в шестиугольниках.

4-6 классы

Умножение дробей на целые числа

Этот рабочий лист содержит графические изображения задач на умножение дробей.

5-й класс

Решите задачи на умножение дробей о походе в магазин товаров для рукоделия.

4-6 классы

Каждая из этих текстовых задач требует, чтобы учащиеся умножили целое число на дробь или на другое целое число.

5-й и 6-й классы

Эти текстовые задачи требуют, чтобы учащиеся умножали дроби на целые числа.

4-й и 5-й классы

Вот 30 карточек с заданиями, которые можно использовать на документ-камере, для занятий в небольших группах или для игр в классе.

5-й и 6-й классы

Смешанные навыки: умножение дробей, целых и смешанных чисел

Используйте математические вычисления для сравнения произведений дробей и целых чисел с дробями.

5 класс

Определите, что получится при умножении неправильной дроби на целое число. Будет ли произведение больше или меньше 1? Что получится, если умножить правильную дробь на целое число? Будет ли произведение больше или меньше 1?

5 класс

Умножение и деление алгебраических дробей

11.2 — Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение алгебраических дробей

Порядок умножения алгебраических дробей такой же, как и порядок умножения алгебраических дробей. умножение обыкновенных дробей.

Умножение двух алгебраических дробей дает новую алгебраическую дробь. Умножьте два числителя, чтобы получить новый числитель, и умножьте два знаменателя, чтобы получить новый новый знаменатель:

Затем упростите, сократив новую дробь до наименьших членов.

Примеры:

Деление алгебраических дробей

Порядок деления алгебраических дробей такой же, как и порядок деления алгебраических дробей. деления обыкновенных дробей.

Замените деление на дробь на умножение на обратную дробь , например:

Затем выполните умножение двух дробей, как описано выше.

Обратите внимание, что вы берете обратную дробь внизу!

Вот почему эта процедура работает:

Суть в том, что вместо того, чтобы видеть дробь, деленную на дробь, ищите одну дробь, числитель и знаменатель которой являются дробями.На первом шаге мы умножили эту дробь на UFOO числитель и знаменатель которого являются дробями. НЛО был выбран так, чтобы дроби в знаменателе сокращались и давали 1. После другого упрощение, оставившее только окончательное умножение дробей.

Примеры: Найдите следующие три шага: (1) инвертируйте нижнюю дробь, (2) умножить дроби, (3) упростить.

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Как умножать дроби — Гедено

Умножать дроби относительно легко. Если вы хотите умножить две дроби, вам просто нужно умножить и числители, и знаменатели.

Умножать дроби совсем не сложно. Это всего лишь два умножения, а затем, может быть, некоторое упрощение. Если вы будете умножать вершины и основания, все готово. Думаю, здесь у вас не возникнет проблем.

Подготовка к GED «Все в одном»

Получите диплом за 2 месяца.
Неважно, когда ты закончил школу.
www.onsego.com

Этот урок предоставлен Onsego GED Prep.

Следующий урок: деление дробей

Транскрипция видео

Умножение простых дробей — Здесь мы начнем с простых дробей с небольшими числами. Я думаю, вы помните таблицу умножения до \(10\) (десять).

Онлайн-курсы GED от Onsego — быстро, легко и доступно

Получите сертификат GED через 7 недель .

Во-первых, давайте начнем с однозначных цифр. Вы можете заметить, что мы больше не беспокоимся об общих знаменателях. Как сказано, просто умножьте верхние числа, а затем умножьте нижние числа.

\(\frac{2}{5}* \frac{2}{3}\) равно ?

• Сначала умножьте два числителя, чтобы получить новый числитель произведения. Итак: \(2 * 2 = 4\)

• Затем умножьте два знаменателя, чтобы получить новый знаменатель произведения. Итак: \(5 * 3 = 15\)

• Затем сложите вместе новый числитель и новый знаменатель.Итак: \(\frac{4}{15}\)

• Тогда упрости. Упрощение этой дроби невозможно.

Ответ: \(\frac{2}{5}* \frac{2}{3}\) равно \(\frac{4}{15}\)

Можем ли мы сделать три дроби таким же образом? Конечно вещь.

\(\frac{1}{2}* \frac{3}{4}* \frac{2}{5}\) равно ?

• Сначала умножьте три числителя, чтобы получить новый числитель произведения. Итак, \(1*3*2 = 6\)

• Затем умножьте три знаменателя, чтобы получить новый знаменатель произведения.Значит \(2*4*5 = 40\)

• Затем сложите вместе новый числитель и новый знаменатель. Итак, \(\frac{6}{40}\)

• Тогда упрости. \(6\) и \(40\) имеют общий делитель, равный двум \((2)\). Итак, разделите верх и низ на \(2\) (два), чтобы получить упрощенную дробь \(\frac{3}{20}\).

Ответ: \(\frac{1}{2}* \frac{3}{4}* \frac{2}{5}\) равно \(\frac{3}{20}\)

Умножение сложных дробей — Будут времена, когда вы застрянете с более сложными дробями.Итак, давайте попробуем один пример с более сложным умножением:

. \(\frac{5}{12}* \frac{5}{6}\) равно ?

• Сначала умножьте оба числителя, чтобы получить новый числитель. Итак, \(5 * 5 = 25\)

• Затем умножьте оба знаменателя, чтобы получить новый знаменатель. Итак, \(12 * 6 = 72\)

• Затем сложите вместе новый числитель и новый знаменатель. Итак, \(\frac{25}{72}\)

• Тогда, если возможно, упростите. Ну, для этой дроби нет возможности упростить.

Ответ: \(\frac{5}{12}* \frac{5}{6}\) равно \(\frac{25}{72}\)

Видишь? Мы используем тот же процесс.Даже когда у нас есть большие числа для умножения.

Умножение смешанных чисел — Вы помните, когда мы вычитали смешанные числа? Затем мы сначала составили неправильные дроби, прежде чем приступить к решению задачи. В этом первом примере мы будем использовать тот же процесс.

\(5\,\frac{1}{3} * 2\,\frac{4}{9}\) равно ?

• Сначала преобразуйте все множители в неправильные дроби:

Итак, \(5\,\frac{1}{3} = 5\,+\frac{1}{3} = \frac{15}{3}+ \frac{1}{3} = \frac{ 16}{3}\)

И \(2\,\frac{4}{9} = 2\,+\frac{4}{9} = \frac{18}{9}+ \frac{4}{9} = \frac {22}{9}\)

• Затем умножьте два числителя.Итак, \(16 * 22 = 352\)

• Затем умножьте два знаменателя. Итак, \(3 * 9 = 27\)

• Затем запишите необработанный продукт, используя новый числитель и новый знаменатель. Итак, \(\frac{352}{27}\)

• Затем преобразуйте эту неправильную дробь в целое число.

Итак, \(\frac{352}{27} = 352 \div 27 = 13r1 = 13\, \frac{1}{27}\)

• Затем, если возможно, упростите дробь. Здесь упрощение невозможно.

Ответ: \(5\,\frac{1}{3} * 2\,\frac{4}{9} \) равно \(13\, \frac{1}{27}\)

Имейте в виду, что знаменатели не имеют значения, когда мы умножаем дроби.Эти три шага — единственные:

1. Сначала перемножьте все числители и получите новый числитель.
2. Затем умножьте знаменатели и получите новый знаменатель.
3. Затем просто ответьте, если необходимо.

Последнее обновление: 16 ноября 2021 г.

Как умножить дробь — Javatpoint

Дробь относится к набору чисел, записанных в виде x/y , где x и y являются целыми числами, а y ≠ 0 .(у не равно нулю). Например, 1/2, 3/7, 4/3 и т. д.

Где,

X = Это целое число называется числителем.

Y = Это целое число называется знаменателем.

Числитель может быть равен знаменателю, но не больше знаменателя. Этот тип дроби известен как правильная дробь .

Когда числитель больше знаменателя, называется неправильной дробью .

Умножение дробей может показаться немного сложным в начале, но как только вы научитесь умножать дроби, вы сможете решить эту задачу, не занимая много времени. Чтобы умножить любую дробь, сначала вам нужно превратить смешанное число в неправильную дробь, а затем умножить числители и знаменатели и решить вашу дробь, чтобы получить окончательное решение. В этом уроке мы обсудим пошаговую процедуру умножения дроби.

Умножить простую дробь:

1.Напишите вопрос на листе бумаги:

Написание вопроса на бумаге поможет вам лучше научиться умножать дроби. Если вы допустили ошибку при решении задачи, будет проще вернуться к своей рабочей тетради, чтобы найти ошибку. Как известно, у каждой дроби есть числитель (число, расположенное вверху) и знаменатель (число, расположенное внизу). Нужно отделить числитель от знаменателя прямой чертой.

Старайтесь держать свою фракцию по прямой линии, чтобы вам было легче оставаться организованным и работать эффективно.

Примечание:

Если вы собираетесь умножать какую-либо дробь, упростите вашу дробь в простейшей форме, прежде чем умножать их, чтобы вы могли иметь дело с меньшим числом.

2. Сначала умножьте числитель:

Давайте разберемся с этой концепцией на примере. Если вас попросят найти 3/4 * 4/9 , первое, что вам нужно сделать, это умножить 3*4 , что равно 12 . Это будет числитель вашего решения.

Пример: 1

Решить задачу, 4/5 * 7/3 . Здесь первое, что вам нужно сделать, это умножить 4*7 , что равно 28 . Это будет числитель вашего ответа.

Пример: 2

2/3 * 3/8

Здесь первое, что вам нужно сделать, это умножить 2*3 , что равно 6 . Это будет числитель вашего ответа.

3. Умножить знаменатель:

В данном примере 3/4 * 4/9 нужно умножить 4*9 , чтобы получить 36 .Это ваш знаменатель для вашего решения. Ответ на эту задачу: 12/36 .

Например 1

В данной задаче 4/5 * 7/3 вам нужно умножить 5*3 , что равно 15 . Это будет знаменатель вашего ответа. Ответ на ваш первый пример: 28/15 .

Например 2

2/3 * 3/8

Вам нужно умножить 3*8 , что равно 24 .Это будет знаменатель для вашего решения. Ответ на вашу задачу на умножение: 6/24 .

Примечание:

Если вы умножаете любые дроби, вам всегда нужно умножать дробь. Умножьте числитель первой дроби на числитель второй дроби и запишите это как числитель решения. Затем проделайте ту же процедуру со знаменателем каждой дроби.

4. Максимально упростите вашу новую дробь до наименьшей формы:

Если числитель и знаменатель имеют общие множители (их можно делить поровну на одно и то же число), можно упростить решение.Здесь 3/4 * 4/9 , ответ на данную задачу был 12/36 . И 12 , и 36 делятся на 12 , чтобы получить окончательное упрощенное решение, которое равно 1/3 .

Например 1

2/3 * 3/8 , ответ на данную задачу был 6/24. 6 входит и в себя и в 24 поровну. Упрощенное решение: 1/4 .

Фракция смешанной смеси:

Напишите вопрос на бумаге:

Написание вопросов на бумаге поможет вам отслеживать свою работу.У вас может быть потенциал решить свои проблемы в уме, но когда вы начинаете, это хороший способ записать все шаг за шагом. Если вы допустили ошибку в своем решении, вам удобно вернуться назад и узнать, что произошло, чтобы вы могли легко это исправить.

P и x/y = p*y+x/y

Как правило, любая дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя. Числитель — это верхнее число, а знаменатель — нижнее число фракции.Дробь отделяется горизонтальной прямой линией. Чтобы написать смешанное число, нужно поставить целое число в левой части дроби.

Изменить смешанное число на неправильную дробь:

Если вы собираетесь решить задачу со смешанной дробью, вам нужно заменить смешанное число на неправильную дробь. Например, вас попросили решить задачу 1 и 2/3 * 3 и 2/5 . Первое, что вам нужно сделать, это превратить смешанную дробь в неправильную дробь; значит числитель будет больше знаменателя.Здесь дается решение, как это решить:

1 и 2/3 = 5/3 , при преобразовании в неправильную дробь знаменатель всегда будет одним и тем же. Первое, что вам нужно сделать, это умножить знаменатель на целое число (3*1) и прибавить ответ к числителю (2). (3*1) + 2 = 5 .
Для 3 и 2/5 умножьте знаменатель на целое число (3*5) и прибавьте полученное решение к числителю (2).(3*5) + 2 = 17 . Здесь вы можете получить решение для 3 и 2/5 это 17/5 .

Максимально упростите вашу новую дробь до наименьшей формы:

На следующем шаге вам нужно упростить неправильные дроби, чтобы числа было легче умножать. В данном примере у нас осталось 5/3 * 17/5 . Если вы сможете сначала упростить дробь, кому-то будет легче решить ее. При упрощении любой дроби нужно исследовать перекрестный числитель, а знаменатель может делиться на одно и то же число или нет.Здесь на данном шаге 5/3 * 17/5, 3 и 17 не могут быть, но 5 и 5 оба делятся сами на себя поровну. Чтобы получить упрощенное решение для вашей фракции.

Вам нужно изменить первую дробь с 5/3 на 1/3 .

Вам нужно разделить 5 на 5 , чтобы получить результат 1 , и изменить вторую дробь с 17/5 на 17/1 .

Можно также упростить отдельные дроби, только если числитель и знаменатель имеют общий множитель.Например, если мы рассматриваем 5/3 как 6/3 , вы можете упростить эту дробь до 2/1 .

Решите задачу, перемножив числители и знаменатели:

После этого все, что вам нужно сделать, это решить дробь, умножив числитель 1*17 , чтобы получить 17 в качестве нового числителя, и умножить 3*1 , чтобы получить 3 в качестве нового знаменателя. Таким образом, последняя неправильная дробь для задачи равна 17/3 .

Примечание. Запишите свою работу шаг за шагом, чтобы не забыть ни одного шага в процессе. Неправильные дроби и смешанные числа могут быть немного сложными, но если вы будете практиковаться ежедневно, вы справитесь с любой задачей, связанной с умножением задачи.

Преобразуйте дробь в смешанное число, чтобы получить окончательное решение:

Теперь, когда мы возвращаемся к смешанному числу, вам нужно выполнить простую процедуру деления. Здесь вам нужно разделить числитель на знаменатель, чтобы получить окончательное решение.Например, 17/3, 3 входит в 17, 5 раза, а 2 остается. 5 становится целым числом, а 2 становится новым числителем задачи. Знаменатель 3 будет таким же. На последнем шаге 1 и 2/3 * 3 и 2/5 = 5 и 2/3 .

Когда вы упрощаете в уме какую-либо дробь и сталкиваетесь с некоторыми проблемами, запишите ее на бумаге.

Использование калькулятора:

Преобразуйте дробь в десятичную форму, чтобы решить уравнения на калькуляторе:

Чтобы решить любую задачу, основанную на умножении любых дробей, вам нужно ввести свои дроби по отдельности в калькулятор, чтобы найти их десятичные формы.Например, если вы собираетесь решить задачу 1/2*1/3 , 1/2 нужно ввести как 1 разделить на 2 , вы получите ответ 0,5. После этого вам нужно ввести следующую дробь в уравнение, 1/3 , как 1 разделить на 3 , чтобы получить ответ 0,333 .

Некоторые калькуляторы имеют некоторые дополнительные функции, которые позволяют вводить дробь как дробь, чтобы вам не приходилось иметь дело с десятичными знаками.

Используйте смешанные числа, помещая целое число вместе с десятичной дробью:

В вашем калькуляторе легко использовать смешанные числа, даже если ваш калькулятор не имеет дробной функции. Здесь вам просто нужно выполнить шаг, чтобы преобразовать дробь в десятичную форму, а затем поместить целое число вместе с десятичной точкой, чтобы продолжить уравнение.

Например, чтобы преобразовать смешанное число 1 и 1/2 в десятичную форму, все, что вам нужно сделать, это разделить 1/2 на калькуляторе, вы получите 0.5 . Затем поместите 1 вместе с десятичной точкой, чтобы получить 1.5 .

Умножить десятичную дробь:

Введите десятичную форму дроби на калькуляторе. Например, 1/2*1/3 введет в калькулятор 0,5 *0,33 . В качестве ответа вы получите десятичное число 0,165 . Если вы можете написать это на листе бумаги, это будет полезно для вас.

Если у вашего калькулятора есть дополнительные функции, вы также можете вставить уравнение прямо в свой калькулятор.

Превратить десятичную дробь в дробь:

Напишите десятичную форму над знаменателем числа 1 , используя лист бумаги. Например, 1/2*1/3 вы должны написать эту дробь в виде 0,165/1 на листе бумаги. Здесь вы найдете много мест после запятой. 0,165 имеет 3 знаков после запятой, поэтому нужно умножить знаменатель и числитель на 1000 . Ваше окончательное дробное число будет 165/1000 .

Упростите дробь:

После того, как вы превратите десятичную дробь в дробь, чтобы получить окончательный результат, для больших чисел вам, возможно, придется упростить данную дробь более одного раза, чтобы получить наименьшую возможную дробь. Например, 165/1000 число 5 входит как в числитель ( 165 ), так и в знаменатель ( 1000 ), упрощая дробь до 33/200 . Это был бы окончательный результат.

Калькулятор дробей

Ниже приведены калькуляторы нескольких дробей, способные выполнять операции сложения, вычитания, умножения, деления, упрощения и преобразования дробей в десятичные числа.Поля над сплошной черной линией представляют числитель, а поля под знаменателем.

Калькулятор смешанных чисел

Упрощение калькулятора дробей

Калькулятор десятичной дроби

Калькулятор дроби в десятичную дробь

Калькулятор дроби больших чисел

Используйте этот калькулятор, если числители или знаменатели очень большие целые числа.

В математике дробь — это число, представляющее часть целого.Он состоит из числителя и знаменателя. В числителе указано количество равных частей целого, а в знаменателе — общее количество частей, составляющих это целое. Например, в дроби

числитель равен 3, а знаменатель равен 8. Более наглядный пример может включать в себя пирог с 8 кусочками. 1 из этих 8 ломтиков будет числителем дроби, а сумма 8 ломтиков, составляющих весь круг, будет знаменателем. Если бы человек съел 3 ломтика, оставшаяся часть пирога была бы такой, как показано на изображении справа.Обратите внимание, что знаменатель дроби не может быть равен 0, так как это сделало бы дробь неопределенной. Фракции могут подвергаться множеству различных операций, некоторые из которых упомянуты ниже.

Дополнение:

В отличие от сложения и вычитания целых чисел, таких как 2 и 8, дроби требуют общего знаменателя для выполнения этих операций. Один из методов нахождения общего знаменателя включает умножение числителей и знаменателей всех дробей на произведение знаменателей каждой дроби.Умножение всех знаменателей гарантирует, что новый знаменатель наверняка будет кратным каждому отдельному знаменателю. Числители также необходимо умножить на соответствующие коэффициенты, чтобы сохранить значение дроби в целом. Возможно, это самый простой способ убедиться, что дроби имеют общий знаменатель. Однако в большинстве случаев решения этих уравнений не будут отображаться в упрощенной форме (прилагаемый калькулятор вычисляет упрощение автоматически). Ниже приведен пример использования этого метода.

Этот процесс можно использовать для любого количества фракций. Просто умножьте числители и знаменатели каждой дроби в задаче на произведение знаменателей всех остальных дробей (не включая соответствующий знаменатель) в задаче.

Альтернативный метод нахождения общего знаменателя состоит в том, чтобы определить наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей, а затем сложить или вычесть числители, как целое число. Использование наименьшего общего кратного может быть более эффективным и, скорее всего, приведет к дроби в упрощенной форме.В приведенном выше примере знаменателями были 4, 6 и 2. Наименьшее общее кратное — это первое общее кратное этих трех чисел.

0 0

5


Multiplet 2: 2, 4, 6, 8 10, 12
Множественные 6: 6, 12

Первое кратное, которое они делят, равно 12, так что это наименьшее общее кратное. Чтобы выполнить задачу на сложение (или вычитание), умножьте числители и знаменатели каждой дроби в задаче на любое значение, при котором знаменатели будут равны 12, а затем сложите числители.

Вычитание:

Вычитание дробей по существу такое же, как сложение дробей. Для выполнения операции требуется общий знаменатель. Обратитесь к разделу дополнений, а также к приведенным ниже уравнениям для пояснений.

Умножение:

Умножать дроби довольно просто. В отличие от сложения и вычитания, для умножения дробей не требуется вычислять общий знаменатель. Просто числители и знаменатели каждой дроби перемножаются, и в результате образуются новые числитель и знаменатель.Если возможно, решение должно быть упрощено. Обратитесь к приведенным ниже уравнениям для пояснений.

Подразделение:

Процесс деления дробей аналогичен процессу умножения дробей. Чтобы разделить дроби, дробь в числителе умножается на обратную дробь в знаменателе. Число, обратное числу и , равно просто

. Когда а является дробью, это по существу включает в себя перестановку позиций числителя и знаменателя.Следовательно, обратная дробь будет равна . Обратитесь к приведенным ниже уравнениям для пояснений.

Упрощение:

Часто проще работать с упрощенными дробями. Таким образом, дробные растворы обычно выражаются в упрощенной форме.

, например, более громоздкий, чем . Предоставленный калькулятор возвращает дробные входные данные как в форме неправильной дроби, так и в форме смешанных чисел. В обоих случаях дроби представляются в низшей форме путем деления числителя и знаменателя на их наибольший общий множитель.

Преобразование между дробями и десятичными числами:

Преобразование десятичных чисел в дроби очень просто. Однако это требует понимания того, что каждый десятичный знак справа от запятой представляет степень числа 10; первый десятичный разряд равен 10 ¹ , второй 10 ² , третий 10 ³ и так далее. Просто определите, до какой степени 10 распространяется десятичная дробь, используйте эту степень 10 в качестве знаменателя, введите каждое число справа от десятичной точки в качестве числителя и упростите.Например, глядя на число 0,1234, число 4 стоит в четвертом десятичном разряде, что составляет 10 ⁴ или 10 000. Получится дробь

, которая упрощается до , поскольку наибольший общий множитель между числителем и знаменателем равен 2.

Точно так же дроби со знаменателями, которые являются степенями числа 10 (или могут быть преобразованы в степени числа 10), могут быть переведены в десятичную форму с использованием тех же принципов. Возьмем, к примеру, дробь

. Чтобы преобразовать эту дробь в десятичную, сначала преобразуйте ее в дробь .Зная, что первый десятичный разряд представляет 10 ^-1 , можно преобразовать в 0,5. Если бы дробь была вместо , десятичная дробь была бы 0,05 и так далее. Помимо этого, преобразование дробей в десятичные требует операции деления в длинную сторону.

Преобразование общей инженерной дроби в десятичную дробь

В машиностроении дроби широко используются для описания размеров таких компонентов, как трубы и болты. Наиболее распространенные дробные и десятичные эквиваленты перечислены ниже.

05 0,79375

505 3,175 3,968750505 1/4 7,14375

0 9,525 10,31875 11,055 13,49375505 15,875 16,66875 18,25625 6/8 19,84375 21,43125 7/8 22,225 23,01875 24,60625 8/8

64
64 ^th	3 7	16	16 ⁹	8 ⁴	4 ^Th	2 ^ND	Десятичные	Десятичные (дюйм до мм)
1/64									0.015625	0.015625	0.0196875	2/64	1/32					0.+03125
	3/64					0,046875 1,1
	4/64 2/32	1/16				0,0625 1,5875
	5/64					0,078125 1,984375
	6/64 3/32				0.09375	2.38125	9/64						0.109375	0.109375	2778125	8/64	4/32	2/16	1/8				0,125
	9/64					0,140625 3,571875
	10/64 5/32				0.15625
	11/64					0,171875 4,365625
	12/64 6/32	3/16				0,1875 4,7625
	13/64					0,203125 5,159375
	14/64 7/32				0.21875	5.55625	5.55625									0.234375	0.2343125	5.953125	16/64	8/32	4/16	2/8			0,25 6,35
	17/64					0,265625 6,746875
	18/64 9/32				0.28 125
	19/64					0,296875 7,540625
	20/64 10/32	5/16				0,3125 7,9375
	21/64					0,328125 8,334375
	22/64 11/32				0.34375	8.73125								0.359375	9.128125	9.128125	24/64	12/32	6/16	3/8				0,375
	25/64					0,3 9,921875
	26/64 13/32				0.40625
	27/64					0,421875 10,715625
	28/64 14/32	7/16				0,4375 11,1125
	29/64					0,453125 11,509375
	30/64 15/32				0.46875
	31/64					0,484375 12,303125
	32/64 16/32	8/16 4/8	2/4	1/2	0.5	12.7								0.515625	13.096875
34/64	17/32				0.53125
	35/64					0,546875 13,8
	36/64 18/32	9/16				0,5625 14,2875
	37/64					0,578125 14,684375
	38/64 19/32				0.59375	15.08125	15.08125
							0.609375	15.478125	40/64	20/32	10/16	5/8				0,625
	41/64					0,640625 16,271875
	42/64 21/32				0.65625
	43/64					0,671875 17,065625
	44/64 22/32 11/16					0,6875 17,4625
	45/64					0,703125 17,859375
	46/64 23/32				0.71 875
	47/64					0,734375 18,653125
	48/64 24/32 12/16		3/4		0,75	19,05
	49/64					0,765625 19,446875
	50/64 25/32				0.78125
	51/64					0,796875 20,240625
	52/64 26/32 13/16					0,8125 20,6375
	53/64					0,828125 21,034375
	54/64 27/32				0.84 375
	55/64					0,859375 21,828125
	56/64 28/32 14/16					0,875
	57/64					0,8 22,621875
	58/64 29/32				0.
	59/64					0,921875 23,415625
	60/64 30/32 15/16					0,9375 23,8125
	61/64					0,953125 24,209375
	62/64 31/32				0.96 875
	63/64					0,984375 25,003125
	64/64 32/32 16/16		4/4	2/2	1	25,4

Умножение дробей | Математика для гуманитарных наук Corequisite

Результаты обучения

Умножение дробей
Умножение двух или более дробей
Умножить дробь на целое число

Введение

Прежде чем мы начнем, вот несколько важных терминов, которые помогут вам понять принципы работы с дробями в этом разделе.

произведение: результат умножения
коэффициент: что-то умножается — для [latex]3 \cdot 2 = 6[/latex] , и 3, и 2 являются множителями 6
числитель: верхняя часть дроби – числитель дроби [latex]\frac{2}{3}[/latex] равен 2
знаменатель: нижняя часть дроби – знаменатель дроби [латекс]\фракция{2}{3}[/латекс] равен 3

Примечание об инструкциях

Учебники по математике и учителя используют много разных слов, чтобы дать учащимся инструкции о том, что они должны делать с данной задачей.Например, вы можете увидеть такие инструкции, как «Найти» или «Упростить» в примере в этом модуле. Важно понимать, что означают эти слова, чтобы вы могли успешно решать задачи этого курса. Вот краткий список слов, которые вы можете встретить и которые помогут вам понять, как работать с проблемами в этом модуле.

Инструкция	Интерпретация
Найти	Выполните указанные математические действия, которые могут включать сложение, вычитание, умножение, деление.
Упрощение	1) Выполнять указанные математические действия, включая сложение, вычитание, умножение, деление 2) Запишите математическую формулировку в наименьших выражениях, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями и порядком операций
Оценка	Выполнение указанных математических операций, включая сложение, вычитание, умножение, деление
Уменьшить	Напишите математическое выражение в наименьшем или минимальном выражении, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями или делением

Умножение дробей

Подобно тому, как вы складываете, вычитаете, умножаете и делите при работе с целыми числами, вы также используете эти операции при работе с дробями.Есть много случаев, когда необходимо умножить дроби. Модель может помочь вам понять умножение дробей.

Когда вы умножаете дробь на дробь, вы получаете «долю дроби». Предположим, у вас есть [latex]\frac{3}{4}[/latex] конфеты, и вы хотите найти [latex]\frac{1}{2}[/latex] [latex]\frac{ 3}{4}[/латекс]:

Разделив каждую четвертую часть пополам, можно разделить шоколадный батончик на восьмые части.

Затем выберите половину из них, чтобы получить [латекс]\фрак{3}{8}[/латекс].

В обоих вышеперечисленных случаях, чтобы найти ответ, вы можете перемножить числители вместе и знаменатели вместе.

Умножение двух дробей

[латекс] \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{\text{произведение числителей}} {\text{произведение знаменателей}}[/latex]

Умножение более двух дробей

[латекс] \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}=\frac{a\cdot c\cdot e}{b\cdot d\ cdot f}[/латекс]

Пример

Умножить [латекс] \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}[/latex].

Показать решение Умножьте числители и умножьте знаменатели.
[латекс] \frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}[/латекс]
Упростите, если возможно. Эта фракция уже находится в наименьших условиях.
[латекс] \frac{8}{15}[/латекс]
Ответить
[латекс] \frac{8}{15}[/латекс]
Повторим: если дробь имеет общие делители в числителе и знаменателе, мы можем привести дробь к упрощенной форме, удалив общие делители.
Например,
Учитывая [латекс] \frac{8}{15}[/латекс], множители 8 равны: 1, 2, 4, 8, а множители 15 равны: 1, 3, 5, 15.[latex] \frac{8}{15}[/latex] упрощен, потому что нет общих делителей 8 и 15.
Учитывая [латекс] \frac{10}{15}[/latex], множители 10: 1, 2, 5, 10, а множители 15: 1, 3, 5, 15. [латекс] \frac {10}{15}[/latex] не является упрощенным, поскольку 5 является общим делителем 10 и 15.
Вы можете сначала упростить, прежде чем умножать две дроби, чтобы облегчить себе работу. Это позволяет вам работать с меньшими числами при умножении.
В следующем видео вы увидите пример как умножить две дроби, затем упростить ответ.

Подумай об этом
Умножить [латекс] \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}[/latex]. Упростите ответ.
Чем этот пример отличается от предыдущих на этой странице? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы умножили три дроби.
Показать решение Умножьте числители и умножьте знаменатели.
[латекс] \frac{2\cdot 1\cdot 3}{3\cdot 4\cdot 5}[/латекс]
Сначала упростите, сократив (разделив) общие делители 3 и 2.3 разделить на 3 равно 1, а 2 разделить на 2 равно 1.
[латекс]\begin{array}{c}\frac{2\cdot 1\cdot3}{3\cdot (2\cdot 2)\cdot 5}\\\frac{\cancel{2}\cdot 1\ cdot\cancel{3}}{\cancel{3}\cdot (\cancel{2}\cdot 2)\cdot 5}\\\frac{1}{10}\end{массив}[/latex]
Ответить
[латекс] \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}[/latex] = [латекс]\frac{1}{10}[/ латекс]
.