Умножение дробей с целым. Дроби

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.

Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.

Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 7 11 на 9 8 .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

Все решение можно записать так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 2 27 на 5 .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Умножение обыкновенных дробей

Рассмотрим пример.

Пусть на тарелке лежит $\frac{1}{3}$ часть яблока. Нужно найти $\frac{1}{2}$ часть от нее. Необходимая часть является результатом умножения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Результат умножения двух обыкновенных дробей — это обыкновенная дробь.

Умножение двух обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей:

Результатом умножения дроби на дробь является дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Пример 1

Выполнить умножение обыкновенных дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{11}$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{11}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 11}=\frac{15}{77}\]

Ответ: $\frac{15}{77}$

Если в результате умножения дробей получается сократимая или неправильная дробь, то нужно ее упростить.

Пример 2

Выполнить умножение дробей $\frac{3}{8}$ и $\frac{1}{9}$.

Решение.

Используем правило умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}\]

В результате получили сократимую дробь (по признаку деления на $3$. Числитель и знаменатель дроби разделим на $3$, получим:

\[\frac{3}{72}=\frac{3:3}{72:3}=\frac{1}{24}\]

Краткое решение:

\[\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9}=\frac{3\cdot 1}{8\cdot 9}=\frac{3}{72}=\frac{1}{24}\]

Ответ: $\frac{1}{24}.$

При умножении дробей сокращать числители и знаменатели можно до нахождения их произведения. При этом числитель и знаменатель дроби раскладывается на простые множители, после чего сокращаются повторяющиеся множители и находится результат.

Пример 3

Вычислить произведение дробей $\frac{6}{75}$ и $\frac{15}{24}$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения обыкновенных дробей:

\[\frac{6}{75}\cdot \frac{15}{24}=\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}\]

Очевидно, что в числителе и знаменателе есть числа, которые попарно можно сократить на числа $2$, $3$ и $5$. Разложим числитель и знаменатель на простые множители и произведем сокращение:

\[\frac{6\cdot 15}{75\cdot 24}=\frac{2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{5\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{20}\]

Ответ: $\frac{1}{20}.$

При умножении дробей можно применять переместительный закон:

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

Результатом умножения дроби на натуральное число является дробь, у которой числитель равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби:

где $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь, $n$ — натуральное число.

Пример 4

Выполнить умножение дроби $\frac{3}{17}$ на $4$.

Решение.

Воспользуемся правилом умножения обыкновенной дроби на натуральное число:

\[\frac{3}{17}\cdot 4=\frac{3\cdot 4}{17}=\frac{12}{17}\]

Ответ: $\frac{12}{17}.$

Не стоит забывать о проверке результата умножения на сократимость дроби или на неправильную дробь.

Пример 5

Умножить дробь $\frac{7}{15}$ на число $3$.

Решение.

Воспользуемся формулой умножения дроби на натуральное число:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}\]

По признаку деления на число $3$} можно определить, что полученную дробь можно сократить:

\[\frac{21}{15}=\frac{21:3}{15:3}=\frac{7}{5}\]

В результате получили неправильную дробь. Выделим целую часть:

\[\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Краткое решение:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Сократить дроби также можно было заменой чисел в числителе и знаменателе на их разложения на простые множители. В таком случае решение можно было записать так:

\[\frac{7}{15}\cdot 3=\frac{7\cdot 3}{15}=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\]

Ответ: $1\frac{2}{5}.$

При умножении дроби на натуральное число можно использовать переместительный закон:

Деление обыкновенных дробей

Операция деления является обратной к умножению и результатом ее является дробь, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей.

Деление двух обыкновенных дробей

Правило деления обыкновенных дробей: Очевидно, что числитель и знаменатель полученной дроби можно разложить на простые множители и произвести сокращение:

\[\frac{8\cdot 35}{15\cdot 12}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}{3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 3}=\frac{14}{9}\]

В результате получили неправильную дробь, из которой выделим целую часть:

\[\frac{14}{9}=1\frac{5}{9}\]

Ответ: $1\frac{5}{9}. $

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Умножение дробей. Дробь. Умножение дробей обыкновенных, десятичных, смешанных

Главная > Растения > Умножение дробей. Дробь. Умножение дробей обыкновенных, десятичных, смешанных

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.

Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.

Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

• правильные;
• неправильные;
• смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Тема как умножать дроби с разными знаменателями. Правила умножения и деления дробей на целое число

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

• числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Действия с дробями

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

• Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
• Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

3. Найти НОК знаменателей дробей;
4. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
5. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
6. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели;
7. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся схемой, которую мы привели выше.

Шаг 1. Найти НОК для знаменателей дробей

Находим НОК для знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4. Нужно найти НОК для этих чисел:

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

8. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
9. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Если пример завершен, то от неправильной дроби принято избавляться. Давайте и мы избавимся от неправильной дроби в ответе. Для этого выделим ее целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним;

Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить её целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще и эстетичнее. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь. Напомним, что сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Чтобы грамотно сократить дробь нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Нельзя путать НОД с НОК. Самая распространённая ошибка многих новичков. НОД — это наибольший общий делитель. Его мы находим для сокращения дроби.

А НОК — это наименьшее общее кратное. Его мы находим для того, чтобы привести дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

Сейчас мы будем находить наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД для чисел 20 и 30:

НОД (20 и 30) = 10

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на 10:

Получили красивый ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, её нужно разделить на НОД числителя и знаменателя. Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

НОД для (105 и 150) равен 15

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД:

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменять местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножить дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. »)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы.

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать. Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет.

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но. Это решаемые проблемы.

В Особом разделе 555 «Дроби» разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как. Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков!

Да и по второй проблеме там есть кое-что.) Вполне практический совет, как стать внимательнее . Да-да! Совет, который может применить каждый .

Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде.

Можете для тренировки зайти на сайт 321start. ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Правило 1.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Правило 2.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей

2. первое произведение записать числителе, а второе — знаменателем.

Правило 3.

Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Правило 4.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример 1.

Вычислите

Пример 2.

Вычислите

Пример 3.

Вычислите

Пример 4.

Вычислите

Математика. Другие материалы

Возведение числа в рациональную степень. (

Возведение числа в натуральную степень. (

Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)

Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)

Признаки делимости (Лунгу Алена)

Проверь себя по теме ‘Умножение и деление обыкновенных дробей’

Умножение дробей

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;

знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Деление дроби на число

Как разделить дробь на число быстрее всего? Разберем теорию, сделаем вывод и на примерах посмотрим, как деление дроби на число можно выполнять по новому короткому правилу.

Обычно деление дроби на число выполняют по правилу деления дробей. Первое число (дробь) умножаем на число, обратное второму. Поскольку второе число целое, обратное к нему число — дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель — данному числу. Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

Отсюда делаем вывод:

чтобы разделить дробь на число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним. Правило можно сформулировать еще короче:

при делении дроби на число число идет в знаменатель.

Выполнить деление дроби на число:

Чтобы разделить дробь на число, числитель перепишем без изменений, а знаменатель умножим на это число. Сокращаем 6 и 3 на 3.

При делении дроби на число числитель переписываем, а знаменатель умножаем на это число. Сокращаем 16 и 24 на 8.

При делении дроби на число число идет в знаменатель, поэтому числитель оставляем таким же, а знаменатель умножаем на делитель. Сокращаем 21 и 35 на 7.

Умножение и деление дробей

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

3. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
4. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Деление дробей.

Деление дроби на натуральное число.

Примеры деления дроби на натуральное число

Деление натурального числа на дробь.

Примеры деления натурального числа на дробь

Деление обыкновенных дробей.

Примеры деления обыкновенных дробей

Деление смешанных чисел.

Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
• преобразовать смешанные дроби в неправильные;
• умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
• сократить полученную дробь;
• если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Примеры деления смешанных чисел

1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool .
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Дроби. Умножение и деление дробей.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.

Формула деления обыкновенных дробей:

Умножение дроби на натуральное число.

Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

• Недо- и не до- Переделанная песня «Весеннее танго» (Приходит время — птицы с юга прилетают) — муз. Валерий Миляев Недослышал, недопонял, недогнал, в смысле том, что я не догадался, все глаголы с не раздельно написал, о приставке недо- я не знал. Бывает так, […]
• Страница не найдена В третьем окончательном чтении был принят пакет документов Правительства, предусматривающих создание специальных административных районов (САР). Вследствие выхода из Евросоюза, Великобритания не будет включена в Европейскую зону НДС и […]
• Объединенный следственный комитет появится уже осенью Объединенный следственный комитет появится уже осенью Следствие всех силовых структур соберут под одной крышей с четвертой попытки Уже осенью 2014-го, по данным «Известий», президент Владимир Путин […]
• Патент на алгоритм Как патент на алгоритм выглядит Как патент на алгоритм готовится Подготовка технических описаний способов хранения, обработки, и передачи, сигналов и/или данных именно для целей патентования особых сложностей обычно не представляет, и […]
• ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ 12 декабря 1993 года КОНСТИТУЦИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (с учетом поправок, внесенных Законами Российской Федерациио поправках к Конституции Российской Федерацииот 30. 12.2008 N 6-ФКЗ, от 30.12.2008 N 7-ФКЗ,от […]
• Частушки про пенсию женщине прикольные для юбиляра мужчины для юбиляра мужчины — хором для юбиляра женщины — посвящение в пенсионеры женщины шуточное Будут интересны конкурсы для пенсионеров Ведущий: Дорогие друзья! Минутку внимания! Сенсация! Только […]

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a / b и c / d это можно выразить как a b · c d = a · c b · d .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 1 4 и 1 8 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8 · 4 = 32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 1 32 от площади всей фигуры, т.е. 1 32 кв. единицы.

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 5 8 числовой единицы и 3 4 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 5 8 · 3 4 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15 , значит, общая площадь составляет 15 32 квадратных единиц.

Поскольку 5 · 3 = 15 и 8 · 4 = 32 , мы можем записать следующее равенство:

5 8 · 3 4 = 5 · 3 8 · 4 = 15 32

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как a b · c d = a · c b · d . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 7 11 на 9 8 .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9 . У нас получилось 63 . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11 · 8 = 88 . Составим их двух чисел ответ: 63 88 .

Все решение можно записать так:

7 11 · 9 8 = 7 · 9 11 · 8 = 63 88

Ответ: 7 11 · 9 8 = 63 88 .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей 4 15 и 55 6 .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6 = 220 90

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10 .

Выполним сокращение дроби: 220 90 НОД (220 , 90) = 10 , 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9 . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 22 9 = 2 4 9 .

Ответ: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a · c b · d . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 4 15 · 55 6 .

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

4 15 · 55 6 = 4 · 55 15 · 6

Поскольку как 4 = 2 · 2 , 55 = 5 · 11 , 15 = 3 · 5 и 6 = 2 · 3 , значит, 4 · 55 15 · 6 = 2 · 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3 .

2 · 11 3 · 3 = 22 9 = 2 4 9

Ответ : 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби a b на натуральное число n можно записать в виде формулы a b · n = a · n b .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 2 27 на 5 .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10 . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 10 27 . Все решение приведено в этой записи:

2 27 · 5 = 2 · 5 27 = 10 27

Ответ: 2 27 · 5 = 10 27

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 5 12 .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 . Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2 , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК (40 , 12) = 4 , значит, 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 10 3 = 3 1 3 .

В этой записи можно видеть все решение целиком: 5 12 · 8 = 5 · 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 5 12 · 8 = 3 1 3 .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

a b · n = n · a b = a · n b

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 1 20 , 12 5 , 3 7 и 5 8 .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 1 · (2 · 2 · 3) · 3 · 5 2 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) = 3 · 3 5 · 7 · 2 · 2 · 2 = 9 280

Ответ: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280 .

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 7 8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5 36 , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 = 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 = = 7 · 5 3 · 10 = 7 · 5 · 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Ответ: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 = 116 2 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.

Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.

Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

Табличка на двери

Правила умножения дробей с разными знаменателями, примеры

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы — доли. Доли — это равные части, на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» — разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Оглавление:

• Умножение дробей с разными знаменателями
• Как происходит перемножение
• Простейшие действия с дробями онлайн

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи — Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи — просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Содержание

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей:

• правильные,
• неправильные,
• смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель — произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

Это интересно: как обозначается площадь, примеры для вычисления.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Это интересно: что такое модуль числа?

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

• 8/9 * 6/7 = 8*6 / 9*7 = 48/63 = 16/21,
• 4/6 * 3/7 = 2/3 * 3/7&lt,&gt, 2*3 / 3*7 = 6/21.

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/11 =1 + 4/11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

Пример 1.

2 1/2 * 7 3/5 = 2 + 1/2 * 7 + 3/5 = 2*7 + 2* 3/5 + 1/2 * 7 + 1/2 * 3/5 = 14 + 6/5 + 7/2 + 3/10 = 14 + 12/10 + 35/10 + 3/10 = 14 + 50/10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть, записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/15 = 12/15 + 12/15 + 12/15 + 12/15 = 48/15 = 3 1/5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/f = e/f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Пример 2.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/3 * 4 1/5 = 5/3 * 21/5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

Простейшие действия с дробями онлайн

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях — так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения, но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя — свои достоинства, — не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя — своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Умножение дробей правило и примеры. Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями

ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. »)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы.

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать. Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет.

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но. Это решаемые проблемы.

В Особом разделе 555 «Дроби» разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как. Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков!

Да и по второй проблеме там есть кое-что.) Вполне практический совет, как стать внимательнее . Да-да! Совет, который может применить каждый .

Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде.

Можете для тренировки зайти на сайт 321start. ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Правило 1.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Правило 2.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

1. найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей

2. первое произведение записать числителе, а второе — знаменателем.

Правило 3.

Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Правило 4.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример 1.

Вычислите

Пример 2.

Вычислите

Пример 3.

Вычислите

Пример 4.

Вычислите

Математика. Другие материалы

Возведение числа в рациональную степень. (

Возведение числа в натуральную степень. (

Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)

Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)

Признаки делимости (Лунгу Алена)

Проверь себя по теме ‘Умножение и деление обыкновенных дробей’

Умножение дробей

Умножение обыкновенных дробей рассмотрим в нескольких возможных вариантах.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей .

Чтобы умножить дробь на дробь , надо:

числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;

знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Деление дроби на число

Как разделить дробь на число быстрее всего? Разберем теорию, сделаем вывод и на примерах посмотрим, как деление дроби на число можно выполнять по новому короткому правилу.

Обычно деление дроби на число выполняют по правилу деления дробей. Первое число (дробь) умножаем на число, обратное второму. Поскольку второе число целое, обратное к нему число — дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель — данному числу. Схематически деление дроби на натуральное число выглядит так:

Отсюда делаем вывод:

чтобы разделить дробь на число, надо знаменатель умножить на это число, а числитель оставить прежним. Правило можно сформулировать еще короче:

при делении дроби на число число идет в знаменатель.

Выполнить деление дроби на число:

Чтобы разделить дробь на число, числитель перепишем без изменений, а знаменатель умножим на это число. Сокращаем 6 и 3 на 3.

При делении дроби на число числитель переписываем, а знаменатель умножаем на это число. Сокращаем 16 и 24 на 8.

При делении дроби на число число идет в знаменатель, поэтому числитель оставляем таким же, а знаменатель умножаем на делитель. Сокращаем 21 и 35 на 7.

Умножение и деление дробей

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

3. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
4. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Деление дробей.

Деление дроби на натуральное число.

Примеры деления дроби на натуральное число

Деление натурального числа на дробь.

Примеры деления натурального числа на дробь

Деление обыкновенных дробей.

Примеры деления обыкновенных дробей

Деление смешанных чисел.

Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:
• преобразовать смешанные дроби в неправильные;
• умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
• сократить полученную дробь;
• если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Примеры деления смешанных чисел

1 1 2: 2 2 3 = 1 · 2 + 1 2: 2 · 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 · 3 8 = 3 · 3 2 · 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 · 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 · 5 3 = 15 · 5 7 · 3 = 5 · 5 7 = 25 7 = 7 · 3 + 4 7 = 3 4 7

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool .
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Дроби. Умножение и деление дробей.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.

Формула деления обыкновенных дробей:

Умножение дроби на натуральное число.

Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

• Недо- и не до- Переделанная песня «Весеннее танго» (Приходит время — птицы с юга прилетают) — муз. Валерий Миляев Недослышал, недопонял, недогнал, в смысле том, что я не догадался, все глаголы с не раздельно написал, о приставке недо- я не знал. Бывает так, […]
• Страница не найдена В третьем окончательном чтении был принят пакет документов Правительства, предусматривающих создание специальных административных районов (САР). Вследствие выхода из Евросоюза, Великобритания не будет включена в Европейскую зону НДС и […]
• Объединенный следственный комитет появится уже осенью Объединенный следственный комитет появится уже осенью Следствие всех силовых структур соберут под одной крышей с четвертой попытки Уже осенью 2014-го, по данным «Известий», президент Владимир Путин […]
• Патент на алгоритм Как патент на алгоритм выглядит Как патент на алгоритм готовится Подготовка технических описаний способов хранения, обработки, и передачи, сигналов и/или данных именно для целей патентования особых сложностей обычно не представляет, и […]
• ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ 12 декабря 1993 года КОНСТИТУЦИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (с учетом поправок, внесенных Законами Российской Федерациио поправках к Конституции Российской Федерацииот 30. 12.2008 N 6-ФКЗ, от 30.12.2008 N 7-ФКЗ,от […]
• Частушки про пенсию женщине прикольные для юбиляра мужчины для юбиляра мужчины — хором для юбиляра женщины — посвящение в пенсионеры женщины шуточное Будут интересны конкурсы для пенсионеров Ведущий: Дорогие друзья! Минутку внимания! Сенсация! Только […]

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

• разделить числитель на имеющийся знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное — целое;
• и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение прибавляется к числителю;
• результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

• две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
• нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
• подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
• в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
• если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

• перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
• найти произведение числителей;
• найти произведение знаменателей;
• записать получившийся результат;
• максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
• найти произведение, несмотря на запятую;
• в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Содержание урока

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
2. Сложение дробей с разными знаменателями

Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3 . Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1 . Сложим дроби и

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2 . Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Как перемножить обыкновенные дроби. Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ — третью; ¼ — четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель — сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель — под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь — число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 — целая часть, ½ — дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное — больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

• разделить числитель на имеющийся знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное — целое;
• и остаток — числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение прибавляется к числителю;
• результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 — числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе — это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

• две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
• нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
• подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
• в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
• если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

• перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
• найти произведение числителей;
• найти произведение знаменателей;
• записать получившийся результат;
• максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
• найти произведение, несмотря на запятую;
• в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Умножение целого числа на дробь – несложная задача. Но есть тонкости, в которых вы, наверняка, разбирались в школе, но с тех пор забыли.

Как умножить целое число на дробь – немного терминов

Если вы помните, что такое числитель, знаменатель и чем отличается правильная дробь от неправильной – пропустите этот абзац. Он для тех, кто совсем забыл теорию.

Числитель – это верхняя часть дроби – то, что делим. Знаменатель – нижняя. Это то, на что делим.
Правильная дробь та, у которой числитель меньше знаменателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.

Как умножить целое число на дробь

Правило умножения целого числа на дробь очень простое – умножаем числитель на целое, а знаменатель не трогаем. Например: два умножить на одну пятую – получаем две пятых. Четыре умножить на три шестнадцатых – получится двенадцать шестнадцатых.

Сокращение

Во втором примере полученную дробь можно сократить.
Что это значит? Обратите внимание – и числитель, и знаменатель этой дроби делятся на четыре. Разделить оба числа на общий делитель и называется – сократить дробь. Получим три четвертых.

Неправильные дроби

Но, предположим, мы умножили четыре на две пятых. Получилось восемь пятых. Это неправильная дробь.
Её обязательно нужно привести к правильному виду. Для это нужно выделить из нее целую часть.
Здесь нужно использовать деление с остатком. Получаем единицу и три в остатке.
Одна целая и три пятых и есть наша правильная дробь.

Привести к правильному виду тридцать пять восьмых – задача чуть посложнее.Самое близкое к тридцати семи число, которое делится на восемь – это тридцать два. При делении получим четыре. Отнимем от тридцати пяти тридцать два – получим три. Итог: четыре целых и три восьмых.

Равенство числителя и знаменателя. А тут все очень просто и красиво. При равенстве числителя и знаменателя получается просто единица.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем по порядочку, слева направо !

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы. ..

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения . Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Чтобы правильно умножить дробь на дробь или дробь на число, нужно знать простые правила. Эти правила сейчас разберем подробно.

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы умножить дробь на дробь необходимо посчитать произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.

\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\\\)

Рассмотрим пример:
Мы числитель первой дроби умножаем с числителем второй дроби, также и знаменатель первой дроби умножаем со знаменателем второй дроби.

\(\frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{6 \times 2}{7 \times 3} = \frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\)

Дробь \(\frac{12}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{4}{7}\\\) сократили на 3.

Умножение дроби на число.

Для начала вспомним правило, любое число можно представить в виде дроби \(\bf n = \frac{n}{1}\) .

Воспользуемся этим правилом при умножении.

\(5 \times \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{4}{7} = \frac{5 \times 4}{1 \times 7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\\\)

Неправильную дробь \(\frac{20}{7} = \frac{14 + 6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = 2 + \frac{6}{7}= 2\frac{6}{7}\\\) перевели в смешанную дробь.

Другими словами, при умножении числа на дробь, число умножаем на числитель, а знаменатель оставляем без изменения. Пример:

\(\frac{2}{5} \times 3 = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}\\\\\) \(\bf \frac{a}{b} \times c = \frac{a \times c}{b}\\\)

Умножение смешанных дробей.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно сначала каждую смешанную дробь представить в виде неправильно дроби, а потом воспользоваться правилом умножения. Числитель умножаем с числителем, знаменатель умножаем со знаменателем.

Пример:
\(2\frac{1}{4} \times 3\frac{5}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{23}{6} = \frac{9 \times 23}{4 \times 6} = \frac{3 \times \color{red} {3} \times 23}{4 \times 2 \times \color{red} {3}} = \frac{69}{8} = 8\frac{5}{8}\\\)

Умножение взаимно обратных дробей и чисел.

Дробь \(\bf \frac{a}{b}\) является обратной для дроби \(\bf \frac{b}{a}\), при условии a≠0,b≠0.
Дроби \(\bf \frac{a}{b}\) и \(\bf \frac{b}{a}\) называются взаимно обратными дробями. Произведение взаимно обратных дробей равно 1.
\(\bf \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1 \\\)

Пример:
\(\frac{5}{9} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{45} = 1\\\)

Вопросы по теме:
Как умножить дробь на дробь?
Ответ: произведение обыкновенных дробей является умножение числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Чтобы получить произведение смешанных дробей нужно перевести их в неправильную дробь и перемножить по правилам.

Как выполнить умножение дробей с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, умножение происходит по правилу нахождения произведения числитель с числителем, знаменатель со знаменателем.

Как умножать смешанные дроби?
Ответ: в первую очередь надо перевести смешанную дробь в неправильную дробь и далее находить произведение по правилам умножения.

Как умножить число на дробь?
Ответ: число умножаем с числителем, а знаменатель оставляем тот же.

Пример №1:
Вычислите произведение: а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11}\) б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13}\)

Решение:
а) \(\frac{8}{9} \times \frac{7}{11} = \frac{8 \times 7}{9 \times 11} = \frac{56}{99}\\\\\)
б) \(\frac{2}{15} \times \frac{10}{13} = \frac{2 \times 10}{15 \times 13} = \frac{2 \times 2 \times \color{red} {5}}{3 \times \color{red} {5} \times 13} = \frac{4}{39}\)

Пример №2:
Вычислите произведения числа и дроби: а) \(3 \times \frac{17}{23}\) б) \(\frac{2}{3} \times 11\)

Решение:
а) \(3 \times \frac{17}{23} = \frac{3}{1} \times \frac{17}{23} = \frac{3 \times 17}{1 \times 23} = \frac{51}{23} = 2\frac{5}{23}\\\\\)
б) \(\frac{2}{3} \times 11 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{1} = \frac{2 \times 11}{3 \times 1} = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3}\)

Пример №3:
Напишите число обратное дроби \(\frac{1}{3}\)?
Ответ: \(\frac{3}{1} = 3\)

Пример №4:
Вычислите произведение двух взаимно обратных дробей: а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104}\)

Решение:
а) \(\frac{104}{215} \times \frac{215}{104} = 1\)

Пример №5:
Могут ли взаимно обратные дроби быть:
а) одновременно правильными дробями;
б) одновременно неправильными дробями;
в) одновременно натуральными числами?

Решение:
а) чтобы ответить на первый вопрос приведем пример. Дробь \(\frac{2}{3}\) правильная, обратная ей дробь будет равна \(\frac{3}{2}\) – неправильная дробь. Ответ: нет.

б) практически при всех переборах дробей это условие не выполняется, но существуют некоторые числа, которые выполняют условие быть одновременно неправильной дробью. Например неправильная дробь \(\frac{3}{3}\) , обратная ей дробь равна \(\frac{3}{3}\). Получаем две неправильные дроби. Ответ: не всегда при определённых условиях, когда числитель и знаменатель равны.

в) натуральные числа – это числа которые мы используем при счете, например, 1, 2, 3, …. Если возьмем число \(3 = \frac{3}{1}\), то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{3}\). Дробь \(\frac{1}{3}\) не является натуральным числом. Если мы переберем все числа, получать обратное число всегда дробь, кроме 1. Если возьмем число 1, то обратная ей дробь будет \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1\). Число 1 натуральное число. Ответ: могут быть одновременно натуральными числами только в одном случае, если это число 1.

Пример №6:
Выполните произведение смешанных дробей: а) \(4 \times 2\frac{4}{5}\) б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7}\)

Решение:
а) \(4 \times 2\frac{4}{5} = \frac{4}{1} \times \frac{14}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}\\\\ \)
б) \(1\frac{1}{4} \times 3\frac{2}{7} = \frac{5}{4} \times \frac{23}{7} = \frac{115}{28} = 4\frac{3}{7}\)

Пример №7:
Могут ли два взаимно обратных числа быть одновременно смешанными числами?

Рассмотрим на примере. Возьмем смешанную дробь \(1\frac{1}{2}\), найдем для нее обратную дробь, для этого переведем ее в неправильную дробь \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) . Обратная ей дробь будет равна \(\frac{2}{3}\) . Дробь \(\frac{2}{3}\) является правильной дробью. Ответ: взаимно обратные две дроби одновременно смешанными числами быть не могут.

ЖК-калькулятор — наименьший общий знаменатель

Базовый калькулятор

Наименьший общий знаменатель (ЖК-дисплей)

Найти LCD из:
введите значения через запятую

Ответ:

LCD = 24

эквивалентные фракции с LCD

1 1/2

=

36/24

3/8

=

9/24

5/6

=

9/24

5/6

=

20/24

3

=

72/24

---

Решение:

При необходимости переписать ввод в виде дробей:
3/2, 3/8, 5/6, 3/3 (2, 8, 6, 1) наименьшее общее кратное ( LCM ) равно 24.

LCM (2, 8, 6, 1)

Следовательно, наименьший общий знаменатель ( LCD ) равен 24. 3 90s, как пересчитать исходные данные. эквивалентные фракции с LCD :

1 1/2

=

3/2

×

12/12

=

36/24

3/8

=

34/24

3/8

=

36/24

3/8

=

36/24

3/8

=

36/24

3/8

=

36/24

3/8

=

36/24

/8

×

3/3

=

9/24

5/6

=

5/6

×

4/4

=

20/24

3

=

3/10003

×

24/24

=

72/24

Как этот калькулятор может быть лучше?

Поделитесь этой ссылкой для ответа: help
Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.

Получить виджет для этого калькулятора

© Calculator Soup

Поделись этим калькулятором и страницей

Calculator Используйте

Используйте этот Калькулятор наименьшего общего знаменателя, чтобы найти наименьший общий знаменатель (LCD) дробей, целых и смешанных чисел. Нахождение ЖК-дисплея важно, потому что у дробей должен быть один и тот же знаменатель, когда вы выполняете математические операции сложения или вычитания с дробями.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Наименьший общий знаменатель (LCD) — наименьшее число, которое может быть общим знаменателем для набора дробей. Также известное как наименьший общий знаменатель, это наименьшее число, которое вы можете использовать в знаменателе для создания набора эквивалентных дробей с одинаковым знаменателем.

Как найти

LCD дробей, целых и смешанных чисел:

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, сначала преобразуйте все целые числа и смешанные числа (смешанные дроби) в дроби. Затем найдите наименьшее общее кратное ( LCM ) знаменателей. Это число совпадает с наименьшим общим знаменателем ( LCD ). Затем вы можете записать каждый термин в виде эквивалентной дроби с тем же значением. ЖК-дисплей знаменатель.

Шаги, чтобы найти

LCD дробей, целых и смешанных чисел

1. Преобразование целых и смешанных чисел в неправильные дроби
2. Найти LCD всех дробей
3. Преобразуйте дроби в эквивалентные дроби, используя ЖК-дисплей

Пример с использованием калькулятора наименьшего общего знаменателя

Найдите LCD для: 1 1/2, 3/8, 5/6, 3

• Преобразуйте целые и смешанные числа в неправильные дроби.
  3/8 и 5/6 уже являются дробями, поэтому мы можем использовать их так, как они написаны.
  1 1/2 равно (1/1) + (1/2). Используя формулу сложения дробей ((n1*d2)+(n2*d1))/(d1*d2), получаем ((1*2)+(1*1))/(1*2) = 3 /2.
  3 можно переписать дробью как 3/1
• Эквивалентные дроби: 3/2, 3/8, 5/6, 3/1
• Теперь найдите наименьший общий знаменатель ( LCD ) (или наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей)
  • ЖК-дисплей = 24
• Преобразование дробей в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплей
  • 36/24, 9/24, 20/24, 72/24

Связанные калькуляторы

У нас также есть калькуляторы для наименьший общий множитель, математика с дробями, упрощение дробей, математика со смешанными числами и сравнение дробей.

 

Подписаться на калькуляторSoup:

Как умножать дроби?

Одной из самых важных операций в изучении дробей является знание того, как умножать дроби. Умножение дробей дает либо другую дробь, либо целое число. Действительно, умножать дроби очень просто. Прежде чем мы углубимся в умножение дробей, давайте изучим несколько терминов, связанных с дробями.

Что такое дробь? Дробь — это любое число, которое можно представить в виде m/n. Число над знаком «/» называется числителем, а число под знаком «/» — знаменателем. В приведенном выше случае «m» — это числитель, а «n» — знаменатель. Фракции далее делятся на 3 типа:

Правильные дроби: Дроби, в которых числитель всегда меньше знаменателя, называются правильными дробями.

            Пример: 1/2, 3/4, 7/21 и т. д. 

Неправильные дроби: Дроби, у которых числитель всегда больше знаменателя, называются неправильными дробями.

            Пример: 21/3, 99/4, 5/2 и т. д. 

Смешанные дроби: Дроби, состоящие из комбинации целого числа и дробного числа, известны как смешанные дроби.

Пример: 3

4

Мы видим, что неправильные дроби можно записать в виде смешанных дробей и наоборот.

В этой статье мы узнаем много нового об умножении дробей и умножении дробей на целые числа.

Как умножать дроби?

Умножение дробей сильно отличается от сложения и вычитания. При суммировании или вычитании двух или более дробей знаменатель должен быть одинаковым, но при умножении дробей знаменатель не обязательно должен совпадать. Любые две дроби с разными знаменателями удобно перемножать таким образом. Главное помнить, что смешанные дроби нельзя умножать; вместо этого дроби должны быть либо правильными, либо неправильными, чтобы их можно было умножить.

Умножить две дроби так же просто, как умножить два целых числа. Следуйте инструкциям ниже, чтобы научиться умножать две дроби.

• Шаг 1: Сначала умножьте числитель данных дробей.
• Шаг 2: Теперь перемножьте знаменатели.
• Шаг 3: Запишите их в виде м/н.
• Шаг 4: Если вы обнаружите, что дроби можно еще уменьшить до меньших чисел, сделайте это.

Давайте рассмотрим пример, чтобы понять шаги, упомянутые выше:

Пример: Умножьте 2/7 и 3/4.

Решение: Пошаговое решение: Если возможно, уменьшите значение дроби. Здесь мы видим, что дробь является коэффициентом 2. Таким образом, мы можем разделить дробь на два; следовательно, 6/28 = 3/14.

Следовательно, результат умножения 2/7 и 3/4 равен 3/14.

Как умножать дроби?

При умножении дробей всегда помните о следующих правилах:

• Правило 1: Если есть смешанные дроби, превратите их в неправильные дроби. Затем следует умножить числители данных дробей.
• Правило 2: Разделите числители на знаменатели по отдельности.
• Правило 3: Приведите полученное значение к его простейшей форме.

Эти три принципа можно использовать для получения произведения любых двух фракций. Давайте теперь посмотрим на множество дробей умножения с различными дробями.

Умножение дробей с одинаковым знаменателем

Подобные дроби — это дроби с одинаковыми знаменателями. Например, 5/7, 1/7 и 3/7 похожи на дроби, а 5/7 и 4/3 не похожи на дроби. Хотя сложение и вычитание одинаковых дробей отличается от сложения и вычитания разнородных дробей, подход к умножению и делению одинаков. На правило умножения дробей не влияет умножение дробей с одинаковым знаменателем. Давайте возьмем пример, чтобы понять это:

Пример: Умножить 11/4 × 5/4

Решение: Давайте вспомним шаги, изученные в предыдущем разделе, чтобы решить это

• Шаг 1: Умножить 11 и 5, 11 × 5 = 55.
• Шаг 2: Умножьте 4 на 4, 4 × 4 = 16.
• Шаг 3: Предложите результат в дробной форме, получится 55/16. Поскольку результат не является множителем любого числа, результирующая дробь равна 55/16.

Умножение дробей с разными знаменателями

Умножение дробей с разными знаменателями аналогично умножению дробей с одинаковыми знаменателями. Давайте посмотрим на пример, чтобы понять это лучше.

Пример: Умножить 2/7 × 9/11

Решение: Повторим те же шаги, что и в предыдущем примере

• Шаг 1: Умножим 2 и 9, 2 × 9 =
• Шаг 2: Умножьте 7 на 11, 7 × 11 = 77.
• Шаг 3: Предложите результат в дробной форме, получится 18/77. Поскольку результат не является множителем любого числа, результирующая дробь равна 18/77.

 Мы даже можем использовать альтернативный метод для решения задач, связанных с умножением дробей.

Альтернативный метод:

Этот метод включает запись данных нам дробей вместе с использованием знака умножения «x». Затем мы проверяем, являются ли числа, находящиеся напротив друг друга, делителями друг друга или какого-то другого числа или нет. Затем мы упрощаем уравнение и умножаем числитель и знаменатель соответственно, чтобы получить результат. Вы можете обратиться к приведенному ниже примеру, чтобы упростить понимание этого метода.

Пример: Умножьте 8/6 × 3/24.

Решение: Запишите дроби как 8/6 x 3/24. Мы видим, что 24 можно разделить на 8 три раза, а 6 можно разделить на 3 два раза. Следовательно, дробь становится равной 12 x 13. Теперь мы упростили уравнение и можем легко перемножить их, чтобы получить ответ в виде ⅙.

Разве это не было легко? Этот метод был разработан, чтобы упростить решение, потому что люди путаются при работе с большими числами.

Умножение дробей на целые числа

Прежде чем углубляться в концепцию умножения дробей на целые числа. Давайте разберемся с очень маленькой концепцией, но чрезвычайно важной для этого раздела. как мы все знаем, что целые числа 0, 1, 2, 3,………, бесконечность. Но знаете ли вы, как мы можем записать целое число в дробную форму? Мы можем легко записать любое целое число в дроби, сделав целое число числителем, а затем приняв знаменатель за 1. Таким образом, мы получим 0 как 0/1, 1 как 1/1, 2 и 2/1, и так далее. на.

Теперь, когда мы знаем это понятие, стало удобно решать задачи на умножение на целые числа. Из приведенного ниже примера вы легко поймете этот раздел.

Пример: Умножение: 13 × 2/9.

Решение: Выполните шаги, указанные ниже:

• Шаг 1: Запишите 13 в дробной форме как 13/1
• Шаг 2: Шаг

  9016 9016 9016 3: Поскольку мы не можем просто уменьшить это выражение, умножьте 13 и 2 = 13 x 2 = 26

• Шаг 4: Теперь умножьте 1 на 9. 1 x 9 = 9
• Шаг 5: Результат умножения данного коэффициента равен 26/9, что является неправильной дробью.

Умножение дробей со смешанными числами

Мы знаем, что дробь, представляющая собой комбинацию целого числа и дроби, называется смешанной дробью. Нельзя умножать дроби, если они в смешанной форме. Таким образом, мы должны сначала преобразовать смешанные дроби в форму неправильной дроби. Это можно сделать, умножив знаменатель на целое число и прибавив результат к числителю.

Например, замените 6

на неправильную дробь.

Решение:  Умножьте 6 на 5 = 6 x 5 = 30.

                Добавьте результат к числителю. 30 + 2 = 32.

                Поэтому неправильная дробь = 32/5

Остальные шаги при умножении дробей остаются такими же, как обсуждалось много раз в этой статье.

Пример: Умножить 4

и 7

• Шаг 1: Преобразуйте все смешанные дроби в неправильные дроби. 4 = 30/7 и 7 = 88/3
• Шаг 2: Запишите дроби как 30/7 x 88/3. Мы видим, что 30 делится на 3 десять раз, поэтому уравнение меняется на 10/7 x 88/1.
• Шаг 3: Умножьте выражение, и результат умножения будет 880/7.
• Шаг 4: Снова превратите неправильную дробь в смешанную. 880/7 = 125 — требуемый ответ.

Специальное примечание:

Если дробь умножить на обратную, ответ всегда будет 1. 

Например, пусть дробь будет ⅞. Обратная дробь равна 8/7. Теперь, если мы умножим их,

7/8 x 8/7, мы увидим, что 8 делят друг друга и 7 делят друг друга, оставляя нам 1 в качестве ответа.

Умножение дробей слишком просто с этими простыми шагами, упомянутыми выше. Все, что вам нужно сделать, это быстро усвоить концепции и практиковаться, чтобы овладеть ими.

Словесные задачи на умножение дробей | 10 примеров из жизни

Словесные задачи на умножение дробей

Думаю, некоторые ученики унаследовали это от своих родителей. В конце концов, я знаю, что иногда ворчал по поводу того, чему научился в школе, но никогда не использовал в реальной жизни. Я уверен, что когда дело доходит до словесных задач на умножение дробей, эта фраза, возможно, тоже слетала с ваших уст.

Но мы иногда умножаем дроби в реальной жизни и реальном мире. Например, рецепты! Рецепты и корректировка, может быть, сокращение рецепта пополам или удвоение его — это реальные примеры умножения дробей.

Содержание

Большинство школ начинают вводить дроби примерно в 3-м классе, а словесные задачи на умножение дробей начинаются в 6-м классе.

Вот 10 задачек на умножение дробей, которые помогут вам умножить дроби на реальных примерах.

Вы когда-нибудь слышали: «Я никогда не буду использовать это»?

Детям важно видеть, как математика используется в повседневной жизни. И словесные задачи — один из способов сделать это.

Умножение дробей

Умножение дробей многим учащимся кажется чуждым понятием, но мы пользуемся этим понятием.

Вы когда-нибудь хотели приготовить только 1/2 рецепта? Если это так, у вас, вероятно, есть умножающие дроби… особенно если в рецепте указано 3/4 стакана муки.

Итак, сегодня мы собираемся закончить наш модуль умножения дробей с некоторыми задачами. Я выполняю задание, указанное в посте, а также некоторые из фракционных игр и действий, приведенных ниже.

Возьмите другие мои бесплатные действия по умножению дробей на дроби.

• Как умножать дроби на дроби – пошаговые инструкции с бесплатными печатными версиями
• Вот игра BINGO на умножение дробей, которая идеально подходит для дополнительной практики Умножение дробей
• Многое другое на моей странице TeachersPayTeachers для умножения дробей

Подготовка дробей Реальные задачи

Эти карточки с заданиями легко подготовить.

1. Распечатайте на копировальной бумаге.
2. Попросите детей вырезать их и приклеить в тетради по математике.
3. Наконец, дайте им карандаши, клей и цветные карандаши. и вы готовы идти.

Словесные задачи на умножение дробей Пример

Известное печенье Рэйчел было продано в 2/3 больше, чем сахарного печенья по сравнению с печеньем с арахисовым маслом. Если они продали 1/4 коробки печенья с арахисовым маслом, сколько коробок сахарного печенья они продали?

Первый шаг — посмотреть, что мы знаем. Мы знаем, что они продали 1/4 коробки печенья с арахисовым маслом. Но они продали только 2/3 из 1/4, когда дело дошло до сахарного печенья.

Итак, если мы хотим начать с диаграммы, мы можем начать с рисования коробки печенья и раскраски в масштабе 1/4.

Многим учащимся требуется мультисенсорный подход к обучению. Недостаточно просто говорить о чем-то и слышать это. Они должны это увидеть. Эта деятельность работает как своего рода визуальный графический органайзер, чтобы учащийся мог визуализировать то, что происходит.

Теперь мы можем раскрасить 2/3.

Наконец, смотрим и видим, какая часть перекрывается, и это ответ! Два из 12 квадратов перекрываются, поэтому наш ответ будет 2/12 или 1/6, если дробь упростить. Но используя квадраты на бумаге и раскрашивая с перекрытием, мы решили нашу первую задачу на умножение дробей.

Использование дробей в реальной жизни

Я твердо убежден, что детям не следует давать задачи на умножение дробей, требующие каждый раз одни и те же действия.

Это не настоящая жизнь, и это учит их тому, что нужно сделать, чтобы решить проблему. Нам нужно дать им уверенность в том, что они могут применять эти знания в различных ситуациях и текстовых задачах.

Вот почему я включаю больше в рабочие листы задач на умножение дробей.

Итак, несмотря на то, что эта печатная форма предназначена для тренировки умножения дробей в текстовых задачах, есть несколько текстовых задач, в которых умножение не используется. Вот один пример.

Лучана отдала 1/4 торта одному другу и 1/3 другому другу. Сколько торта осталось, если она начала с целого торта?

В этой задаче со словами дети вычитают, чтобы найти ответ.

1. Мы знаем, что Лучана начала с целого торта, который равен единице. Итак, мы хотим начать с рисования квадрата.
2. Следующее, что нам нужно выяснить, это на сколько частей нам нужно разделить его. Поскольку теперь мы будем вычитать 1/4 и 1/3, нам нужно будет получить наименьшее общее кратное. Кратные числа три и четыре равны…..

4: 4, 8, 12

3: 3, 6, 9, 12

Как видите, 12 — наименьшее общее кратное. Таким образом, наш квадрат должен состоять из 12 равных частей.

3. Далее нам нужно будет найти эквивалентные дроби для обеих наших дробей.

1/4 х 3/3 = 3/12 и 1/3 х 4/4 = 4/12.

4. Теперь осталось вычесть 3 части, а затем 4 части.

5. Наконец, мы видим, что торта осталось 5/12.

Словесные задачи являются важной частью обучения математике и того, как мы занимаемся математикой в ​​повседневной жизни. Наслаждайтесь решением этих реальных жизненных проблем со своими детьми.

Распечатка, сопровождающая это задание, приведена ниже. Вот, пожалуйста, ваши бесплатные текстовые задачи на умножение дробей в формате PDF. Эта бесплатная печатная версия включает в себя задачи на умножение дробей с ответами.

Вот это да!

Задачи на умножение дробей

Получите больше заданий на дроби, заказав рабочую тетрадь (но эй, ничто не сравнится с бесплатной распечаткой!) стол»]

Умножение и деление дробей, Урок 2

Mathscene — Умножение и деление дробей, Урок 2

2006 Расмус Эхф

Дроби и

Печать

Урок 2.

 

---

Умножение дробей и целых чисел номера:

 

	Изменить все число в дробь
	Тогда умножить.

На целое умножается только числитель числа.

---

Умножение дроби на дробь: (общий знаменатель не нужен)

		Первый умножьте числители
		Тогда умножить знаменатели
2 2 = 1	2 1 = 2	Вы можно упростить, прежде чем умножать, и мы можем отменить общее фактор 2
	2 4 = 8

---

Замена смешанных чисел на неправильные дроби:

Пример: Умножьте целое число (2) по знаменателю (3) и прибавьте к числителю (1)

	Вы 2 3 + 1 = 7
	знаменатель остается прежним.

---

Смешанные номера заменены на неправильные дроби перед умножением.

	Изменить смешанные числа в неправильные дроби
	Смотреть для исключения общих факторов
	Мы может отменить фактор 4 из
	Тогда упрости, чтобы получить правильный ответ

Сначала меняются смешанные числа на неправильные дроби, затем упрощая.

---

Иногда переменные (буквы) используются.

Применяются те же правила: сначала уменьшить, а затем упростить.

---

Разделение дробей

Чтобы разделить дроби, переверните делитель (вторая дробь) и умножить.

	Инвертировать делитель (второй дробь) и умножить
	Тогда упростить, вычеркнув общие множители, умножить и упростить.

---

Целые числа необходимо заменить на дроби.

	Изменить целое число в дроби
	Инвертировать делитель (вторая дробь) и умножить

 

---

Смешанные числа должны быть заменены на неправильные дроби.

	Изменить смешанное число в неправильную дробь
	Инвертировать делитель (вторая дробь) и умножить
	Затем аннулирование общие факторы и упростить

---

Иногда алгебраические переменные использовал.

	Инвертировать делитель (вторая дробь) и умножить
	Тогда выбрасывая общие множители и упрощая

Те же правила применяются к номерам и . буквы.

---

Попробуйте тест 2 на Умножение и деление дробей.
Не забудьте использовать свой Контрольный список.

Умножение дробей Рабочие листы

Начните действовать с этой бесчисленной коллекцией печатных рабочих листов по умножению дробей, предлагающих мгновенную подготовку для учащихся 4-х, 5-х, 6-х и 7-х классов. Изучите умножение дробей визуально, используя модели площадей и массивы, попрактикуйтесь в умножении дробей и смешанных чисел на целые числа, умножая две дроби и более. Найдите недостающие члены, чтобы закончить уравнение умножения дробей, и привыкните к умножению дробей в повседневной жизни с множеством реальных задач здесь. Возьмите некоторые из наших бесплатных рабочих листов по умножению дробей с ключами ответов для отличного начала!

Умножение дробей с использованием моделей числовых линий

Визуализируйте предложение умножения на диаграмме числовых линий и получите представление о теме. Познакомить детей с множимым, множителем и произведением, используя прыжки, нарисованные через равные промежутки на числовой прямой.

(9 рабочих листов)

Умножение дробей с использованием моделей

Модели обеспечивают стратегии решения и упрощают умножение дробей на целые числа. Сформируйте дробь, посчитав заштрихованные части, и умножьте на количество моделей, чтобы найти произведение.

Умножение дробей с использованием массивов

Раздайте детям 4-х и 5-х классов наши рабочие листы по умножению дробей с использованием массивов, которые отображают равное распределение объектов в столбцах и строках для иллюстрации произведения.

Умножение дробей с использованием моделей площадей

Смоделируйте каждую задачу на прямоугольниках, разделив и заштриховав области на основе двух дробей, и подсчитайте перекрывающиеся части, чтобы обрамить дробь произведения в этих дробях, используя рабочие листы моделей площадей.

Заполнение уравнений умножения с использованием моделей площадей

Проверьте, чего не хватает, это может быть произведение, множимое или множитель. Внимательно изучите каждую из моделей площадей на этих печатных листах, найдите недостающий член и завершите уравнение умножения.

Умножение дробей на целые числа

Увлеките детей 4-х и 5-х классов набором печатных листов с заданиями по умножению дробей на целые числа и закрепите навыки умножения дробей и смешанных чисел на однозначные и двузначные целые числа.

(24 рабочих листа)

Умножение дробей с перекрестным гашением

Хотите обойти свои недостатки в умножении дробей? Практика с 20+ задач здесь! Обратите внимание на числители и знаменатели дробей и проверьте взаимное сокращение, чтобы получить произведение.

(12 листов)

Умножение двух дробей

Опередите своих сверстников в умножении двух дробей с помощью этих рабочих листов в формате PDF! Умножьте числители и знаменатели отдельно и приведите произведение к наименьшему члену.

Заполнение уравнений умножения | Две дроби

Устройте небольшое испытание, заполнив PDF-файлы уравнения умножения дробей, и посмотрите, как учащиеся выдержат бурю, найдя недостающую дробь: множитель, множимое или произведение.

Умножение трех дробей

Помогите детям 6-го и 7-го классов получить обширные знания об умножении трех дробей, упрощении произведения и преобразовании неправильной дроби в смешанные числа с помощью этого набора упражнений.

Найдите пропущенный термин | Three Fractions

Испытайте потенциал своих учеников с помощью этих печатных форм, заполняющих рабочие листы уравнения умножения дроби, и попросите их найти недостающий член, перевернув дробь, перекрестное сокращение и решив.

Умножение смешанных чисел

Сосредоточьтесь на умножении двух и трех смешанных чисел, используя этот печатный ресурс для учащихся 6 и 7 классов. Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби, прежде чем продолжить операцию.

(9 рабочих листов)

Умножение смешанных чисел и дробей

Вот еще одна возможность для учащихся сохранить навыки умножения дробей! Включайтесь и начинайте умножать смешанные числа на указанные дроби.

Умножение дробей Словесные задачи. Рабочие листы

Как насчет умножения дробей в реальной жизни? Разве это не было бы весело? Изучите множество захватывающих реальных сценариев, требующих нахождения произведения дробей, с помощью этих рабочих листов в формате PDF!

(15 рабочих листов)

Связанные рабочие листы

»Сложение дробей

»Вычитание дробей

»Деление дробей

»Задания на дроби

Умножение дробей | Как, методы, примеры

Краткое резюме

Умножение дробей относительно просто. Вот шаги:

• умножить числители
• умножить знаменатели
• привести дробь к простейшей форме

Эти три шага проиллюстрированы ниже:

Взгляните на генератор рабочих листов дробей. Он предоставляет неограниченное количество вопросов на умножение дроби, в том числе с целыми числами и со смешанными числами.

Введение

Мы знаем, что дробь — это число в форме $\frac{p}{q}$ , где q ≠ 0. В то время как нам нужно вынимать НОК, когда нам нужно сложить или вычесть два дроби, умножение дробей совершенно другое. Здесь нам не нужно проверять знаменатели дробей и узнавать НОК, чтобы сделать их равными. Вместо этого при умножении дробей мы рассматриваем как числители, так и знаменатели отдельно. Чтобы умножить две дроби, мы можем просто умножить соответствующие числители и знаменатели на каждую, чтобы получить ответ. Но для больших чисел и чисел с общими делителями это может быть не единственный необходимый шаг. Итак, как умножить две дроби? Существует один общий метод умножения дробей. Но прежде чем понять метод умножения, важно понять, как уменьшить дробь в ее низшей или стандартной форме.

Как следует из названия, говорят, что дробь имеет простейшую форму, если числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от 1, или мы говорим, что это взаимно простые числа.

Давайте разберем это на примере:

Предположим, у нас есть дробь $\frac{24}{56}$ и мы хотим привести ее к наименьшей форме.

Прежде всего, выпишем множители как числителя, так и знаменателя. У нас есть

Делители 24 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24

Делители числа 56 равны 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 и 56. числитель и знаменатель на 8, чтобы числа были взаимно простыми.

Получим

$\frac{24\div 8}{56\div 8}=\frac{3}{7}$

Дробь $\frac{24}{56}$ уменьшена в $\frac{3}{7}$. 3 и 7 являются простыми числами и не имеют между собой общих делителей. Следовательно, мы можем сказать, что простейшая форма дроби $\frac{24}{56}$ – это $\frac{3}{7}$.

Нам не нужно каждый раз сокращать дробь до простейшей. Могут быть случаи, когда числитель и знаменатель дроби уже находятся в такой форме, что у них нет общих делителей, хотя они могут не быть простыми числами. Например, числа 8 и 81 не являются простыми числами, но у них «нет общего делителя. Поэтому мы помещаем их в дробь, скажем $\frac{8}{21}$, они уже в низшей форме. Рассмотрим другой пример.

Предположим, у нас есть дробь $\frac{15}{34}$ и мы хотим привести ее к наименьшей форме.

Прежде всего, выпишем множители как числителя, так и знаменателя. У нас есть

. Делители числа 15 равны 1, 3, 5 и 15. говорят, что указанная дробь имеет простейшую форму.

Теперь давайте разберемся, каковы общие шаги для умножения дробей.

Для умножения двух или более дробей требуются следующие шаги:

1. Сначала нам нужно умножить все числители.
2. Далее нам нужно перемножить все знаменатели
3. Наконец, нам нужно упростить дробь, если требуется

Следовательно, мы можем сказать, что

Произведение дробей = $\frac{Product\,of\ ,the\,Numerators}{Произведение\,of\,the\,знаменателей}$

Давайте теперь применим эти шаги в различных условиях.

Что мы получим, если умножим 4 на $\frac{1}{5}$?

Помните, что любое целое число можно представить в виде дроби, где 1 стоит в знаменателе. Следовательно,

Мы можем записать 4 как $\frac{4}{1}$.

Теперь у нас есть две дроби: $\frac{4}{1}$ и $\frac{1}{5}$.

Выполняя шаги, описанные в предыдущем разделе, мы имеем:

$\frac{4}{1}\times \frac{1}{5}=\frac{4\times 1}{1\times 5}=\frac{4}{5}$

В общем,

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,\,\,Дробь\,\times \,Целое\,Число}{Знаменатель\,\,\,Дробь}$

Пусть мы понимаем это на другом примере.

Алиса хочет купить 12 бананов. Продавец говорит нам, что один банан стоит £$\frac{1}{5}$. Сколько она должна заплатить продавцу?

Решение

Нам известно, что у Алисы 12 бананов.

Стоимость 1 банана £$\frac{1}{5}$.

Следовательно,

Стоимость 12 бананов будет £$\frac{1}{5}\times 12$

Это пример умножения целого числа на дробь.

Итак, у нас есть

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,из\,\,Дробь\,\раз \,Целое\,Число}{Знаменатель\,из\,\,Дробь} $

Следовательно,

£$\frac{1}{5}\times 12$ = £$\frac{1\times 12}{5}$= £$\frac{12}{5}=$

Следовательно, стоимость 12 бананов £ $\frac{12}{5}$

Мы знаем, что неправильная дробь — это та, у которой числитель больше знаменателя. Итак, как умножить две неправильные дроби? Давайте узнаем.

Предположим, у нас есть две неправильные дроби: $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{4}$.

Мы видим, что обе дроби неправильные, так как в обоих случаях числитель больше знаменателя.

Умножение неправильных дробей выполняется так же, как и для любой другой дроби.

Это означает, что мы применяем тот же метод, где

Произведение дробей = $\frac{Произведение\,из\,\,Числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$

Следовательно,

 $\frac{3}{2}\times \frac{5}{4}=\frac{3\times5}{2\times4}=\frac{15}{8}$

Получим результат получается неправильная дробь.

Здесь важно отметить, что умножение двух неправильных дробей в большинстве случаев дает неправильную дробь, если только они не имеют общих множителей, которые можно исключить.

Мы знаем, что смешанные дроби — это дроби, в которых целое число смешано как дробь. Это расширенная форма неправильной дроби, в которой числитель больше знаменателя. Например, $2\frac{1}{3}$ – это смешанная дробь, которая в неправильной форме равна $\frac{7}{3}$.

Итак, как нам умножить две смешанные дроби?

Умножение смешанных дробей производится так же, как и любых других дробей, но перед этим нужно выполнить одно действие. Действие состоит в том, что мы должны сначала преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь. Теперь, когда у нас есть дробь в виде неправильной дроби, мы можем умножить ее, используя ту же технику, что и в предыдущем разделе. Например,

Предположим, мы хотим умножить $2\frac{1}{3}$ на $2\frac{1}{5}$.

Мы видим, что обе фракции перемешаны. Поэтому сначала преобразуем их в неправильные дроби, получим

$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ и

$2\frac{1}{5}=\frac{ 11}{5}$

Теперь у нас есть две неправильные дроби, $\frac{7}{3}$ и $\frac{11}{5}$ , которые можно перемножить по формуле

Произведение дробей = $ \frac{Произведение\,из\,\,числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$

Следовательно, мы получаем,

 $\frac{7}{3}\times \frac{11}{5}=\frac{7\times11}{3\times5}=\frac{77}{15} $

Мы обычно начинаем изучать дроби с помощью прямоугольников, дроби которых окрашены, чтобы понять дробное значение целого значения. Например, если мы хотим построить график $\frac{3}{4}$, мы сначала нанесем на график количество клеток, эквивалентное числу в знаменателе, которое в нашем случае равно 4. Это представление будет таким:

Далее , заштрихуем количество клеток, эквивалентное числителю дроби, которое в нашем случае равно 3. Получим:

Таким образом, заштрихованная часть представляет дробь $\frac{3}{4}$.

Умножение дробей также может быть представлено аналогичным образом. Давайте разберемся на примере.

Предположим, мы хотим вычислить $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}$ с помощью графического представления. Для этого будут выполнены следующие шаги.

Шаг 1. Сначала мы делаем прямоугольник, который будем использовать как целое число. Пусть прямоугольник будет представлен следующим образом.

Шаг 2. Чтобы отметить $\frac{4}{5}$ , мы сначала разделим прямоугольник на 5 равных горизонтальных частей. Теперь у нас будет:

Мы видим, что каждая горизонтальная часть теперь является одной из пяти частей, которые также можно записать как $\frac{1}{5}$.

Шаг 3. Затем мы затеняем четыре из этих 5 частей, так как у нас есть числитель 4 в нашей дроби. Мы получим:

Итак, мы построили первую дробь. Затем мы построим нашу вторую дробь в том же прямоугольнике, чтобы получить результат умножения двух дробей.

Шаг 4. Чтобы отметить $\frac{2}{3}$, мы делим тот же прямоугольник на 3 равные части, но на этот раз это будет вертикальное деление. Мы получим

. Мы видим, что каждая вертикальная часть представляет собой одну из трех частей, разделенных по вертикали, что также можно записать как $\frac{1}{3}$.

Шаг 5. Теперь закрасим 2 три вертикальные части, получим:

Теперь определите часть, которая была заштрихована дважды. Мы видим, что части, которые были закрашены дважды, имеют оба цвета, а части, которые были закрашены один раз, имеют только один цвет.

Подсчитайте количество частей, которые были заштрихованы дважды. Получаем 8 деталей из 15 деталей. Следовательно, мы можем сказать, что

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$

Проверим то же самое, используя нашу формулу для умножение двух дробей. Мы знаем, что:

Произведение дробей = $\frac{Product\,of\,the\,Numerators}{Произведение\,of\,the\,знаменателей}$

Следовательно,

$\frac{2 }{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times4}{3\times5}=\frac{8}{15}$

Таким образом, мы можем видеть, что мы правильно представили приведенное выше умножение в графической форме.

Пример 1    

Умножить

1. $\frac{2}{9}$ на $\frac{4}{5}$
2. 4 x $\frac{1}{4}$
3. $\frac {13}{33}$ x 22

Решение              

1. Нам нужно умножить $\frac{2}{9}$ на $\frac{4}{5}$

Чтобы умножить две дроби у нас есть формула:

произведение дробей = $\frac{произведение\,из\,\,числителей}{произведение\,из\,\,знаменателей}$

Следовательно,

$\frac{2}{9}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times4}{9\times5}=\frac{8}{45}$

Следовательно, $\frac{2}{9}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{45}$

2. Нам нужно умножить 4 на $\frac{1 }{4}$

Мы видим, что одно из чисел является целым числом, а другое — дробью. Мы знаем, что умножение целого числа на дробь определяется следующим образом:

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,of\,the\,Дробь\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель \,из\,\,фракции}$

Следовательно,

$4\times \frac{1}{4}=\frac{4\times1}{4}=1$

Следовательно, $4\times \frac{1}{4}=1 $

3. Нам нужно умножить $\frac{13}{33}$ на 22

Мы видим, что одно из чисел является целым числом, а другое — дробью. Мы знаем, что умножение целого числа на дробь определяется следующим образом:

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,of\,the\,Дробь\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель \,из\,\,фракции}$

Следовательно,

$\frac{13}{33}\times 22=\frac{13\times22}{33}$

=$\frac{13\times2}{3}=1\frac{26 {3}$

Следовательно, $\frac{13}{33}\times 22=\frac{26}{3}$

Пример 2    

Рональд хочет использовать $\frac{1 {2}$ страницы за написание своей истории. Он использует $\frac{1}{3}$ этой $\frac{1}{2}$ страницы для создания изображений. Какая часть всей страницы была использована для изображений?

Решение : Нам дали, что:

Рональд хочет использовать $\frac{1}{2}$ страницы для написания своей истории

Часть страницы, используемая для создания изображений $\frac{1}{3}$ этого $\frac{ 1}{2}=\frac{1}{3}$ из этого $\frac{1}{2}$

Чтобы узнать, какая часть всей страницы была использована для изображений, нам нужно умножьте $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$.

Мы знаем, что

Произведение дробей = $\frac{Произведение\,of\,the\,Числителей}{Произведение\,of\,\,знаменателей}$

 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1\times1}{3\times2}=\frac{1}{6}$

Следовательно, $\frac{1}{6}$  из всей страницы было использовано для изображений Рональда.

Пример 3    

Питер читает книгу в $1\frac{3}{4}$ в час каждый день. Он читает всю книгу за 6 дней. Сколько всего часов понадобилось Петру, чтобы прочитать книгу?

  Решение : Нам дано, что:

Количество часов, потраченных Питером на чтение книги каждый день = $1\frac{3}{4}$

Количество дней, потраченных Питером на чтение всей книги = 6

Нам нужно узнать, сколько часов всего потребовалось Питеру, чтобы прочитать всю книгу. Чтобы узнать это, нам нужно будет умножить = $1\frac{3}{4}$ на 6

Но мы видим, что одна из дробей является смешанным числом. Поэтому сначала нам придется преобразовать его в неправильную дробь.

Следовательно,

$1\frac{3}{4}=\frac{4\times1+3}{4}=\frac{7}{4}$

Теперь мы можем перемножить две дроби.

Мы знаем, что

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,\,\,Дроби\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель\,\,\,Дроби}$

Следовательно,

$\frac{7 }{4}\times6=\frac{7\times6}{4}=\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}$

Следовательно, количество часов, необходимое Питеру для прочитать всю книгу = $ 10\frac{1}{2}$ часов.

Пример  4  

Найдите площадь прямоугольного парка длиной $41\frac{2}{3}$ м и шириной $18\frac{3}{5}$ м.

Решение: Нам дали, что:

Длина прямоугольника = $ 41\frac{2}{3} $ m

Ширина прямоугольника = $18\frac{3}{5}$ m

 Нам нужно найти площадь этого прямоугольника.

Мы знаем, что площадь прямоугольника заданной длины и ширины равна произведению его длины на ширину. Следовательно,

                                              Площадь прямоугольника = длина x ширина

Следовательно, чтобы узнать площадь прямоугольника, нам нужно перемножить два дробных значения, данные нам в вопросе.

Теперь мы также знаем, что

Произведение дробей = $\frac{Произведение\,из\,числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$

Но прежде чем продолжить с умножением мы должны сначала проверить наши дробные значения. Мы видим, что оба значения представлены в смешанных дробях. Поэтому нам сначала нужно будет преобразовать эти значения в неправильные дроби.

Следовательно, имеем

$41\frac{2}{3}=\frac{41\times3+2}{3}=\frac{125}{3}$

Также

$18\frac{3}{5}\frac{18\times5+3}{5}=\frac{93}{5}$

Теперь, когда у нас есть оба дробных значения как неправильные, мы можем двигаться дальше. с нашим умножением.

Следовательно,

 $\frac{125}{3}\times \frac{93}{5}=775$ м ²

Отсюда площадь прямоугольного парка с размерами $41\frac {2}{3}$ млн и $18\frac{3}{5}$ млн составляет 775 м ² .

Пример 5    

В коробке 40 коробок с гвоздями, каждая коробка весит $3\frac{3}{4}$ кг. Каков будет вес коробки гвоздей?

Решение : Нам известно, что

В коробке 40 коробок с гвоздями.

Кроме того, вес коробки с гвоздями  = $3\frac{3}{4}$ кг

Теперь нам нужно узнать общий вес коробки, в которой находится 40 коробок с гвоздями.

Чтобы это узнать, нам нужно будет умножить вес одной коробки гвоздей на общее количество коробок. Но перед этим мы можем видеть, что дробное значение веса одной коробки находится в смешанной дроби. Поэтому сначала преобразуем его в неправильную дробь. Поэтому имеем:

$3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$

Теперь мы знаем, что

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,из\,\,Дробь\ ,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель\,of\,\,Дробь}$

Следовательно,

$\frac{15}{4}\times 40=\frac{15\times 40} {4}=150$ кг

                               Следовательно, общий вес 40 коробок с гвоздями = 150 кг.

Визуальное умножение дробей

Три приведенных ниже примера иллюстрируют умножение дробей.

Распространенная ошибка при умножении дробей на целое число

В приведенном ниже примере показана ошибка, которую допускают учащиеся, когда при умножении участвует целое число.

Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число равносильно умножению дроби на 1. 4/7 x 3/4

Умножение дробей и чисел, например.