Сокращение Алгебраических дробей

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

133.7K

Алгебраическая дробь только с виду страшна и зубаста. На деле — это коллаборация старых-добрых обыкновенных дробей и буквенных множителей. Давайте познакомимся с ними поближе и узнаем, что такое сокращение алгебраических дробей.

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

1. Определите общий множитель.

2. Сократите коэффициенты.

3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x³ и x²

2. Всегда делим на наименьшее значение в степени

3. Вычитаем: 3 — 1

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

Как решаем:

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.

2. Х и x² делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

Как решаем:

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.

2. b³ и b делим на b.

3. Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

• сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;

• сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3).

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.

2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.

3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.

4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен.

Пример 1.

Как решаем:

1. Выносим общий множитель 6

2. Делим 42/6

3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.

Пример 2.

Как решаем: в числителе выносим общий множитель a за скобки, в знаменателе выносим общий множитель c за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Квадрат суммы	(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности	(a-b)2 = a2 — 2ab — b2
Разность квадратов	a2 – b2 = (a – b)(a+b)
Куб суммы	(a+b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
Куб разности	(a-b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
Сумма кубов	a3 + b3 = (a + b)(a2— ab+b2)
Разность кубов	a3 — b3 = (a — b)(a2+ ab+b2)

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Применяем формулу разности квадратов a² − b² = (a − b) (a + b) и сокращаем одинаковые многочлены.

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Сократите дроби:

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

• Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.

• Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.

• Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.

• Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.

• Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.

• Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.

• Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

Осевая и центральная симметрия

К следующей статье

455.8K

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Как сокращать обычные дроби.

Математика 6 класс

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Часто в задачках попадаются дроби, которые своими увесистыми числами пугают даже самого натренированного школьника. Чтобы сделать ее не такой громоздкой, нужно эту дробь сократить. Давайте научимся, как с пользой изымать из дробей лишние числа.

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: лохматыми громоздкими числами ее расположение не заслужить. Поэтому, следуя негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Общий делитель должен быть положительным и не равен нулю и единице.

В результате сокращения вы получаете новую дробь, равную исходной дроби. Такие дроби равны по основному свойству:

Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число — получится дробь, равная данной.

С основным свойством дроби знакомятся в 5 классе, но встречаться оно будет до самого окончания школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

=

=

где a, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывается вот так:

Числитель и знаменатель зачеркиваются черточками. В этом примере числитель — 8, знаменатель — 36. Справа над ними записывают результаты деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий делить 8 и 36 — 4. Это число не нужно записывать.

Больше наглядных примеров и понятных объяснений — на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart.

Пример 1. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 3.

3 : 3 =1

15 : 3 = 5

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 2. Сократим обыкновенную дробь

Разделим числитель и знаменатель на общий делитель 2.

4 : 2 = 2

16 : 2 = 8

= =

Сокращение выполнено: =

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Приведение дробей к несократимому виду

Смысл сокращения дробей в том, чтобы в результате сокращения в числителе и знаменателе оказались наименьшие из возможных чисел.

Так, в результате сокращения в примере 2, мы из дроби получили дробь

Выходит, что дробь выдержит еще одно сокращение и придет к виду

Сокращая дробь, стремитесь в итоге получить несократимую дробь.

Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Так вы приведете дробь к несократимому виду.

• — несократимая дробь, так как по свойствам НОД мы знаем, что:

  a : НОД(a, b) и b : НОД(a, b) — взаимно простые числа.

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, НОД(a, b) = 1.

• Несократимые дроби: ; ; ;

Пример 3. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 12

Найдем частное: 12 : 12 = 1

36 : 12 = 3

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 4. Приведите обыкновенную дробь к несократимому виду

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 5

Найдем частное: 15 : 5 = 3

25 : 5 = 5

= =

Сокращение выполнено: =

Правило сокращения дробей

Чтобы без труда сокращать любую обыкновенную дробь, запомните правило.

Выполняйте сокращение дробей по следующему алгоритму:

 

1. Найдите НОД числителя и знаменателя дроби.


2. Разделите числитель и знаменатель дроби на НОД.

В 6 классе каждая вторая задачка — с дробями. Чтобы легко управляться с ними и уметь сокращать любые числа, нужно хорошо потренироваться. Давайте разберем еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.

Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо бы знать таблицу умножения и уметь раскладывать числа на простые множители.

• Например, дана дробь

Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 = 12.
НОД 36 и 84 = 12.

Пример 5. Сократите дробь

Разложим числа в числителе и знаменателе на множители.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5

Мысленно убираем все общие множители и перемножаем оставшиеся.

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 6. Сократите обыкновенную дробь

Найдем НОД числителя и знаменателя. НОД = 9

18 : 9 = 2

81 : 9 = 9

= =

Сокращение выполнено: =

Дробь можно сократить, последовательно сокращая числитель и знаменатель на общий делитель. Такой способ подходит, если в числителе и знаменателе стоят крупные числа, и вы не уверены в подобранном НОД.

Пример 6. Сократите дробь:

= = =

Сокращение выполнено: =

Пример 7. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 2 * 3 = 24

НОД 168 и 240 равен 24

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7

240 : 24 = 10

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180

НОД 360 и 540 равен 180

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2

540 : 180 = 3

= =

Сокращение выполнено: =

Пример 8. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Перемножаем все общие множители между собой 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420

НОД 420 и 2520 равен 420

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1

2520 : 420 = 6

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Пример 9. Сократите дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7

3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23

Перемножаем все общие множители между собой 3 * 5 * 5 = 75

НОД 1575 и 3450 равен 72

Следующим шагом разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21

3450 : 75 = 46

= =

Сокращение выполнено. Дробь приведена к несократимому виду: =

Иногда разложение на простые множители занимает немало времени, особенно если раскладываемые числа большие, как в двух предыдущих примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно обратиться к онлайн-калькулятору — в интернете их много. Воспользуйтесь одним из них.

Если времени совсем не хватает — можно использовать онлайн-калькулятор и для нахождения НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро вычислять сами.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

193.9K

Теория графов. Основные понятия и виды графов

К следующей статье

119.4K

Сложение и вычитание смешанных чисел

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Зачем отменять общие факторы?

Джон Малони / 3 октября 2022 г. 25 января 2023 г. / 2 минуты чтения / Математика и многое другое

Когда мы учимся сокращать дроби, сокращение общих множителей может показаться случайной процедурой, разрешенной только в определенных типах задач. Наоборот, при последовательном использовании отмена общих факторов становится инструментом, который учащиеся могут с уверенностью использовать во многих задачах.

Отменяющие дроби:

Содержание

1. Отмена дробей:

• Как отменить дробь?
• Умножение дробей
• Понимание того, как упростить алгебраические дроби
• Умножение алгебраических дробей

Часто задаваемые вопросы по сокращению дробей

• 1. Как упростить дроби, сократив дроби?
• 2. Когда можно отменить дроби?
• 3. Можно ли использовать метод сокращения дробей для умножения дробей?

Как отменить дробь?

100+ бесплатных заданий по математике, практических тестов и викторин

1824 можно упростить до 34, разделив числитель и знаменатель на 6. Но другой способ думать об этом состоит в том, что существует множитель 6. в числителе и знаменателе этот множитель можно сократить.

3646, то же самое, что и 3466, то же самое, что и 341. Поскольку произведение любого числа на 1 является этим числом, мы можем по существу исключить 6.

Умножение дробей

Отмена общих множителей при умножении дробей избавляет от необходимости упрощать в конце. В этом примере после успешного умножения учащиеся должны подумать об общем множителе для 140 и 105.

Скорее всего, сразу не придет в голову делить каждое значение на 35, а упрощение займет несколько шагов.

1071415=140105

Вместо этого учащиеся могут сначала отменить общие факторы. Для этого большие числа разбиваются на меньшие множители. Например, 10 переписывается как 2, умноженное на 5,9.0003

1071415=2572735=2527735=2235577=4311=43

Понимание того, как упростить алгебраические дроби инструмент, когда пришло время упростить алгебраические дроби.

Знакомство с концепцией упрощения алгебраических выражений с помощью этого знакомого метода помогает объяснить правила экспоненты.

Посмотрите на все пары значений, эквивалентные единице, здесь:

Цифровой помощник учителя, созданный с помощью ❤️ учителями

ByteLearn экономит ваше время и гарантирует, что каждый учащийся получит необходимую поддержку

Когда все они будут отменены, у нас останется .

Умножение алгебраических дробей

Отмена значений, равных единице, оставляет нам 2w5y.

Читайте также: Как делить дроби с помощью моделей площадей

Часто задаваемые вопросы о сокращении дробей

1.

Как упростить дроби путем сокращения дробей?

Сокращение дробей означает разложение дроби путем деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

2.

Когда мы можем отменить дроби?

Мы можем сократить дроби, только если числитель и знаменатель являются множителями одного и того же числа.

3.

Можно ли использовать метод сокращения дробей для умножения дробей?

Да, вы можете использовать сокращение дробей для умножения и упрощения дробей.

Бесплатные рабочие листы по математике, соответствующие стандартам

Введите адрес электронной почты, и мы вышлем вам образцы наших самых популярных математических заданий.

Краткое и простое руководство

Вы ищете способы упростить умножение дробей? Тогда перекрестная отмена может быть ответом, который вы ищете! Взаимная отмена — это ярлык, который может помочь упростить умножение дробей.

Взаимное сокращение может быть выполнено перед упрощением дробей после выполнения с ними арифметических действий. Чтобы использовать эту технику, начните с упрощения каждой дроби, участвующей в задаче на умножение. Затем найдите и сократите любые общие множители между всеми числителями и всеми знаменателями. Наконец, найдите произведение всех несокращенных числителей и поместите результат в общие несокращенные знаменатели.

Допустим, нам нужно перемножить 3/4 и 2/5 вместе. Сначала мы можем упростить каждую дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (GCF), который в данном случае равен 1. Итак, теперь у нас есть 3/4 = 3/4 и 2/5 = 2/5. Между этими двумя дробями нет общих множителей, поэтому мы можем найти произведение каждого числителя и знаменателя по отдельности, чтобы получить окончательный ответ: 3 x 2 = 6 на 4 x 5 = 20, поэтому наш ответ 6/20. или 3/10.

Как видите, кросс-компенсация может быть невероятно полезным инструментом, когда дело доходит до быстрого и простого умножения дробей! Так что, если вы боретесь с умножением дробей, попробуйте — вы сэкономите себе много времени и усилий!

Понимание дробей с перекрестным сокращением

Дроби с перекрестным сокращением — это метод, который можно использовать для упрощения дробей перед выполнением арифметических операций. Он включает в себя выявление и устранение общих множителей между числителем и знаменателем двух или более дробей. Это упрощает умножение, деление, сложение или вычитание дробей. Чтобы начать взаимное сокращение, найдите любые общие числовые множители в числителе и знаменателе каждой дроби. Как только они определены, разделите каждый член в числителе и знаменателе на этот общий множитель. Остается упрощенная форма дробей, которую можно использовать для дальнейших расчетов. Например, если у нас есть дробь 3/6 и мы хотим ее сократить, мы будем искать какие-либо общие делители в 3 и 6. Поскольку 3 является точным делителем обоих членов, мы можем разделить каждый член на 3, чтобы получить 1/2 как наша упрощенная дробь.

Источник: showme.com

Умножение дробей с перекрестным сокращением

Чтобы умножить дроби с помощью перекрестного сокращения, сначала необходимо определить общие множители между числителями и знаменателями. Найдите любые числа, которые являются общими между ними, и разделите каждую дробь на это число. Это упростит одну из дробей в задаче. Затем перемножьте все оставшиеся числители вместе и все оставшиеся знаменатели вместе, чтобы получить окончательный ответ. Важно помнить, что при необходимости следует максимально сократить долю ответов.

Скрещивание дробей

Перемножение дробей — полезный метод решения уравнений, включающих дроби. Для перекрестного умножения нужно умножить числитель первой дроби на знаменатель второй дроби, а числитель второй дроби на знаменатель первой дроби. Это создает два уравнения, которые можно решить, разделив одну часть на другую.

Например, если вы хотите найти x в этом уравнении: 2/x = 5/6, вам нужно будет умножить его следующим образом:
2 * 6 = 12 и 5 * х = 5х.
Следовательно, 12 = 5x, а x должно быть равно 12/5 или 2,4.

Отмена членов в дроби

Вы можете отменить члены в дроби, когда члены в числителе и знаменателе являются множителями друг друга. Это означает, что числитель и знаменатель делятся на одно и то же число или выражение. Например, если у вас есть дробь $\frac{6x}{2x}$, вы можете сократить $2x$ как в числителе, так и в знаменателе, и у вас останется $\frac{6}{2}$. Однако, если ваши термины не являются факторами друг друга, то они не могут быть отменены.

Заключение

В заключение отметим, что кросс-отмена — полезный способ упростить дроби в задачах на умножение. Отыскивая и отбрасывая любые общие множители между числителями и знаменателями дробей, можно быстро уменьшить сложность задачи. Это значительно упрощает нахождение произведения всех несокращенных числителей на все несокращенные знаменатели.