` ((8,9),(5,-1))((-2,3),(4,0)) `

`= ((8 xx -2+9xx4,8xx3+9xx0),( 5xx-2+ -1xx4,5xx3 + -1xx0))`

` = ((-16+36,24+0),(-10+ -4,15 + 0)) `

` = ((20 ,24),(-14,15)) `

Матрицы и системы одновременных линейных уравнений

Теперь мы видим, как написать систему линейных уравнений, используя матричное умножение.

Пример 4

Система уравнений

−3 х + y = 1

6 х — 3 у = -4

можно записать как:

`((-3,1),(6,-3))((x),(y))=((1),(-4))`

Матрицы идеально подходят для компьютерного решения задач, потому что компьютеры легко формируют

Примечание 1 — Обозначение

Уход с записью умножение матриц.

Следующие выражения имеют различных значения:

AB это умножение матриц

A × B является произведением перекрестного , которое возвращает вектор

A * B используется в компьютерной записи, но не на бумаге

А • B Произведение точек , которое возвращает скаляр .

[Дополнительную информацию о векторных и скалярных величинах см. в главе «Вектор».]

Примечание 2. Коммутативность умножения матриц

`AB = BA`?

Давайте посмотрим, так ли это на примере.

Пример 5

Если

`А=((0,-1,2),(4,11,2))`

и

`В=((3,-1),(1,2),(6,1))`

найти AB и ВА.

Ответить

Мы выполнили AB выше, и ответ был:

`AB = ((0,-1,2),(4,11,2)) ((3,-1),(1,2), (6,1))`

` = ( (11,0),(35,20) )`

Теперь BA равно (3 × 2)(2 × 3), что даст 3 × 3:

`BA= ((3,-1),(1,2),(6,1))((0,-1,2),(4,11,2))`

`= ((0 -4,-3-11,6-2),(0+8,-1+22,2+4),(0+4,-6+11,12+2))`

` = (( -4,-14,4),(8,21,6),(4,5,14)) `

Итак, в этом случае AB НЕ равно BA.

На самом деле, для большинства матриц нельзя изменить порядок умножения и получить тот же результат.

В общем случае при перемножении матриц перестановочный закон не выполняется, т. е. AB ≠ BA . Есть два общих исключения из этого:

• Матрица идентичности: IA = AI = A .
• обратная матрица: A ^-1 А = АА ^-1 = I.

В следующем разделе мы узнаем, как найти обратную матрицу.

Пример 6. Умножение на матрицу идентичности

Учитывая, что

`А=((-3,1,6),(3,-1,0),(4,2,5))`

найти AI .

Ответить

`AI = ((-3,1,6),(3,-1,0),(4,2,5)) ((1,0,0),(0,1,0),(0 ,0,1))`

`=((-3+0+0,0+1+0,0+0+6),(3+0+0,0+ -1+0,0+0 +0),(4+0+0,0+2+0,0+0+5))`

`=((-3,1,6),(3,-1,0),(4,2,5))`

`=A`

Мы видим, что умножение на единичную матрицу не изменить значение исходной матрицы.

То есть

АИ = А

Упражнения

1. Если возможно, найдите BA и AB .

`А=((-2,1,7),(3,-1,0),(0,2,-1))`

`В=(4\\-1\\\5)`

Ответить

`BA=(4\ \ -1\ \ \ 5)((-2,1,7),(3,-1,0),(0,2,-1))`

`=(-8+(-3)+0\ \ \ 4+1+10\ \ \ 28+0+(-5))`

`=(-11\ \ 15\ \ 23)`

AB невозможно. (3 × 3) × (1 × 3).

2. Определить, если B = A ^-1 , учитывая:

`А=((3,-4),(5,-7))`

`В=((7,4),(5,3))`

Ответить

Если B = A ^-1 , то `AB = I`.

`AB=((3,-4),(5,-7))((7,4),(5,3))`

`=((21-20,12-12),( 35-35,20-21))`

`=((1,0),(0,-1))`

` !=I`

Итак, B НЕ является обратным A.

3. При изучении движения электронов, одна из спиновых матриц Паули равна

`s=((0,-j),(j,0))`

где

`j=sqrt(-1)`

Покажите, что с ² = I.

[Если вы никогда раньше не видели j , перейдите в раздел, посвященный комплексным числам].

92+0))`

`= ((1,0),(0,1))`

`=I`

4. Оцените следующее матричное умножение, которое используется при управлении движением роботизированного механизма .

`( (cos\ 60° ,-sin\ 60° ,0),(sin\ 60°, cos\ 60°,0),(0,0,1))((2),(4),( 0))`

Ответить

`( (cos\ 60° ,-sin\ 60° ,0),(sin\ 60°, cos\ 60°,0),(0,0,1))((2),(4),( 0))`

`=((2(0,5)-4(0,866)+0),(2(0,866)+4(0,5)+0),(0+0+0))`

`= ((-2.464),(3.732),(0))`

Интерпретация этого заключается в том, что рука робота перемещается из позиции (2, 4, 0) в позицию (-2,46, 3,73, 0). То есть это движется в x-y плоскость, но ее высота остается равной z = 0 . Матрица 3 × 3, содержащая sin и Значения cos говорят ему, на сколько градусов двигаться.

Интерактивы Matrix Multiplication

• Другие примеры умножения матриц
• Интерактивные операции с матрицами

Как умножать матрицы? С Примерами

Умножение матриц является одной из фундаментальных, но продвинутых концепций матриц. Вы должны быть осторожны при умножении матриц. Это не так просто, как кажется. Вы должны хорошо знать все основные понятия, такие как, что такое матрица, строки и столбцы в матрице, как представлять матрицу и как умножать матрицы.

Снова в школу: Матрицы — это группы чисел, переменных, символов или выражений в прямоугольной таблице с различным количеством строк и столбцов. Это прямоугольные массивы с различными операциями, такими как сложение, умножение и транспонирование. Элементами матрицы являются числа или элементы, составляющие матрицу. Горизонтальные элементы матриц — это строки, а вертикальные — столбцы.

Количество строк и столбцов можно изобразить с помощью переменных. Например, пусть количество строк в матрице K равно «m», а количество столбцов — «n». Таким образом, мы можем представить матрицу K как [K] _{м х п} . Матрица представлена ​​в квадратных скобках «[]» с произведением ее строк и столбцов в нижнем индексе.

До 1812 года человечеству не было известно умножение матриц. Филипп Мари Бине, французский математик, изобрел умножение матриц в 1812 году для описания линейных карт с матрицами. Он обнаружил, что умножение матриц является бинарной операцией. Две матрицы перемножаются, образуя одну матрицу.

Далее в этой статье вы узнаете правила и основные принципы умножения матриц.

Matrix Multiplication Formula 

Example of Matrix Formula  

Take A and B are two matrices,   

 
A=[A11     A12       ⋯A1n 

      A21     A22        ⋯A2n 

             ………….

AM1 AM2 ⋯ AMN],

B = [B11 B12 ⋯ B1N

B21 B22 ⋯ B2N

………….

     Bm1       Bm2      ⋯Bmn] 

Матрица C = AB обозначается 

C = [C11C12 …… .C1C

C21C22 …… .C2C

……………

CA1CA2… — произведение матрицы A X B.

Элемент матрицы C, где C — произведение матрицы A X B. и y= 1…….c 

Правила умножения матриц  

• Если количество столбцов в A равно количеству строк в B, то произведение A и B определено.
• Нет необходимости определять BA, если определен AB.
• И AB, и BA определены, если A и B — квадратные матрицы одного порядка.
• Не требуется, чтобы AB равнялся BA, если определены AB и BA.

• Не требуется, чтобы одна из матриц была нулевой матрицей, если произведение двух матриц является нулевой матрицей.

Характеристики умножения матриц  

• В математике операция умножения матриц имеет некоторые специфические характеристики. Эти характеристики перечислены ниже.

• Некоммутативность: когда две матрицы A и B перемножаются, AB BA означает, что умножение матриц некоммутативно.
• Распределяемость: если A, B и C совместимы, свойство распределения можно использовать при умножении матриц, т. е. A (B + C) = AB + BC.
• Произведение со скаляром: Если перемножить матрицы A и B, результатом будет AB, тогда c(AB) = (cA)B = A(Bc), где c — скаляр.

• Транспонирование: Формула (AB)T = BTAT, где T означает транспонирование, может использоваться для выражения транспонирования произведения матриц A и B.   
• Комплексное сопряжение: (AB)* = B *A*, если A и B являются сложными элементами.
• Умножение матриц ассоциативно. Если произведения (AB)C и A(BC) трех матриц A, B и C определены, то (AB)C = A. (BC).

• Определитель: Сумма определителей каждой отдельной матрицы равна определителю произведения матриц. Например, Det (AB) = Det A Det B.

Умножение матриц с примерами  

Во введении к этой статье вы прочитали, что умножение матриц — это бинарная операция. Это означает, что всякий раз, когда вы находите произведение двух или более матриц, ответом является единственная матрица, следующая за исходными матрицами. Для перемножения двух матриц проверяется их совместимость. Это означает, что две матрицы должны следовать набору правил для умножения.

Эти параметры совместимости описаны ниже:

• Значение количества столбцов в матрице один должно быть равно значению количества строк в матрице 2.
• Если вышеуказанное условие не удовлетворяет, матрицы нельзя умножать.
• Если матрицы являются квадратными матрицами одного порядка, их можно умножать друг на друга.
•  Квадратную матрицу 2 x 2 нельзя умножить на квадратную матрицу 3 x 3. Ее можно умножить на другую квадратную матрицу 2 x 2. 

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять это:

Пример 1: Предположим, у нас есть две матрицы, K и L. Порядок матриц задан как m x n и n x o соответственно. Выяснить, можно ли перемножать матрицы?

Решение: Дано

Матрица 1 = [ K ] _{m x n}  

Матрица 2 = [ L ] _{n x o}

Мы видим, что количество столбцов в матрицах равно количеству строк K матрица L. Следовательно, две матрицы можно перемножить.

Результирующая матрица: Матрица, полученная путем умножения двух матриц, является результирующей матрицей. Эта матрица может быть представлена ​​как:

• Название матрицы в квадратных скобках
• Произведение количества строк матрицы 1 на количество столбцов матрицы два в порядке.

Снова обратимся к приведенному выше примеру:

Мы знаем, что K и L совместимы с умножением. Таким образом, результирующая матрица, скажем, D, будет = [D] _{m x o} , где m = количество строк матрицы один и o = количество столбцов матрицы 2. 

Пример 2: Матрица [ K ] _{2 x 4} умножается на матрицу [ X ] _{4 х 2} . Если [ Y ] результирующая матрица, то каков порядок Y.

Решение: Нам дано

Матрица 1 = [ K ] _{2 x 4}

Матрица 2 = [ X ] _{4 x 2}

Поскольку количество столбцов матрицы K равно количеству строк матрицы X, K и X можно перемножить. Следовательно,

Матрица Y = [ Y ] _{2 x 2} 

Порядок матрицы Y равен 2 x 2. Y – квадратная матрица.

Ориентация двух матриц также является решающим фактором для определения произведения матриц. Если есть две матрицы, K и L, то чтобы найти произведение K и L, вы должны сначала написать матрицу K, а затем написать матрицу L. Если вы запишете матрицу L перед матрицей K, вы получите совершенно другую матрицу . Коммутативный закон не применяется при умножении матриц. Это означает, что KL ≠ LK.

Теперь, когда мы разобрались с правилами умножения двух матриц, давайте научимся умножать матрицы.

Как умножать матрицы?

Давайте изучим пошаговую процедуру умножения двух матриц. Поначалу это может показаться вам запутанным, но когда вы освоитесь, перемножать матрицы так же просто, как намазать маслом свой тост.

Шаг 1: Проверьте совместимость предоставленных матриц. Если они несовместимы, оставьте умножение.

Шаг 2: Возьмите первую строку матрицы 1 и умножьте ее на первый столбец матрицы 2. Затем умножьте первую строку матрицы 1 на 2-й столбец матрицы 2. Теперь умножьте первую строку матрицы 1 на 3-й столбец матрицы 2 и так далее. Полученные из них значения заполнят первую строку матрицы продукта.

Шаг 3: Теперь возьмите вторую строку матрицы 1 и умножьте ее на первый столбец матрицы 2 и выполните те же шаги, что и для 2. Это заполнит вторую строку матрицы произведения.

Шаг 4: Продолжайте эти шаги, выполняя каждую строку, пока не будет получена матрица произведения.

Под умножением строк и столбцов мы подразумеваем, что элементы, присутствующие в этих строках и столбцах, будут умножены. Не забудьте умножить соответствующие элементы, а затем добавить продукты, чтобы найти элемент матрицы продукта.

Если вы не уверены в шагах, посмотрите на пример пошагового решения ниже:

Пример: Найдите произведение матриц, приведенных ниже:

K = и L =    

Решение:  

Шаг 1: Матрица K имеет порядок 1 x 4, а матрица L имеет порядок 4 x 2. Поскольку количество столбцов матрицы K соответствует количеству строк матрицы L, поэтому матрицы совместимы для умножения. Полученная матрица имеет порядок 1 x 2. 

Шаг 2: Поскольку K имеет только 1 строку, умножьте ее на первый столбец матрицы L следующим образом: (2 x 4) + (4 x 5) + (1 x 4) + (7 x 3) = 51. Обратите внимание, как 1-й элемент строки умножается на 1-й элемент столбца 1, аналогично 2-му, 3-му и 4-му. Затем они складываются вместе, чтобы получить результирующий матричный элемент.

Шаг 3: Теперь аналогичным образом умножьте 1-ю строку на второй столбец матрицы L. Результат будет (2 x 3) + (4 x 2) + (1 x 9) + (7 x 6) = 65. . 

Шаг 4: Разместите результат в матрице продуктов. Предположим, что [ X ] — результирующая матрица; следовательно, X = [51  65].

Мы только что научились перемножать две матрицы. В следующем разделе вы узнаете, как решить квадратную матрицу (2 x 2).

Мы только что научились перемножать две матрицы. В следующем разделе вы узнаете, как решить квадратную матрицу (2 x 2).

Как умножить матрицу 2 x 2

Для умножения матриц 2 x 2 вы должны хорошо знать шаги, описанные в предыдущем разделе. Поскольку мы перемножаем 2 квадратные матрицы одного порядка, нам не нужно проверять совместимость в этом случае. Помните, что матрица произведения также будет иметь тот же порядок, что и квадратная матрица. Давайте решим пример, чтобы понять, как умножить матрицу 2 x 2.

Пример: Умножить квадратную матрицу на

A = и B =

Шаг 1: Умножая первую строку матрицы A на первый столбец матрицы B. Получаем (2 x 1) + (9 x 3) = 29. Теперь умножаем первую строку матрицы A со вторым столбцом матрицы B. Получаем (2 x -4) + (9 x 7) = -8 + 63 = 55.

Шаг 2: Повторим шаг 1, но изменим строку матрица A. Первый и второй столбцы матрицы B будут умножены на строку 2 матрицы A. Результатом будет

(3 x 1) + (-7 x 3) = 3 – 21 = -18, и (3 x -4) + (-7 х 7) = -12 – 49= -61

Шаг 3: Разместите результаты правильно

.

Следовательно, результирующая матрица C =

Точно так же вы можете решать квадратные матрицы, такие как 3 x 3, 4 x 4 и так далее.

Часто задаваемые вопросы  

Q1.

Что такое умножение матриц?

Ответ: Процесс умножения двух матриц для получения результата в виде одной матрицы известен как умножение матриц. Используется такой вид бинарной операции.

Q2. Как умножить две заданные матрицы?

Ответ: Чтобы перемножить две матрицы, мы должны сначала определить, совпадают ли количество строк в первой матрице и количество столбцов во второй матрице. Элементы столбца и строк первой матрицы теперь должны быть умножены друг на друга и сложены. Здесь мы должны сделать скалярное произведение столбцов и строк.

Q3. Что получится в результате умножения матрицы (2×3) на матрицу (3×3)?

Ответ: Единственная матрица, полученная путем умножения матриц (2×3) и (33), — это матрица (2×3).

Q4. Как умножить матрицу 3×3?

Ответ: Первый элемент получается сложением всех строк и столбцов первой и второй матриц. Аналогичным образом умножьте и сложите компоненты двух матриц по столбцам и по строкам, чтобы получить элементы произведения двух матриц 3 × 3.

Как умножать в Excel: пошаговое руководство

Вы когда-нибудь застревали, пытаясь выполнить сложное умножение в Excel? Вы хотите научиться умножать в Excel как профессионал, даже если вы новичок? Если да, то вы пришли в нужное место.

Независимо от того, являетесь ли вы студентом, работающим специалистом или просто хотите лучше управлять своими финансами, этот навык будет полезен вам сейчас и в будущем.

Excel предлагает три различных способа умножения чисел за считанные секунды. Итак, давайте узнаем, как создавать и легко применять формулы умножения в Excel.

В этом пошаговом руководстве мы объясним, как:

• Умножать числа в Excel, используя базовую формулу
• Умножение чисел в Excel с использованием формулы ПРОИЗВЕД
• Умножение чисел в Excel с использованием константы

Умножение чисел в Excel с использованием базовой формулы

Первые два метода позволяют быстро умножать числа как в одной, так и в нескольких ячейках с использованием базовой формулы.

Умножение чисел в одной ячейке

1. Откройте Microsoft Excel и выберите любую пустую ячейку.

2. Введите знак равенства (=) в выбранную ячейку, а затем числа, которые вы хотите умножить, со звездочкой между ними.

3. Нажмите «Ввод» на клавиатуре. В выбранной ячейке ваше уравнение исчезнет, ​​и отобразится ответ.

Умножение числового содержимого разных ячеек

1. Откройте электронную таблицу Microsoft Excel, содержащую числа, которые вы хотите умножить, и введите знак равенства в любом пустая ячейка.

2. Нажмите на первую ячейку, которую вы хотите умножить, и имя ячейки появится рядом со знаком равенства. Введите звездочку рядом с появившимся именем ячейки.

3. Нажмите на вторую ячейку, которую вы хотите умножить, чтобы добавить ее в формулу. Повторите звездочку и нажмите на дополнительные ячейки, чтобы добавить больше факторов в уравнение.

4. Нажмите клавишу «Ввод», появится ответ.

Нажмите кнопку «Ввод», чтобы активировать формулу и просмотреть ответ. для умножения до 255 значений одновременно.

1. Откройте Microsoft Excel и выберите любую пустую ячейку. Введите знак равенства, а затем слово ПРОДУКТ, написанное заглавными буквами. Затем добавьте открывающую скобку.

 

В пустой ячейке введите знак равенства, ПРОИЗВЕД заглавными буквами и открывающую скобку

2. Чтобы умножить отдельные ячейки , введите имена ячеек и разделите их запятыми без пробелов.

 

Введите имена отдельных ячеек, которые вы хотите умножить, внутри открывающей скобки и разделите их запятыми

3. Чтобы умножить ряд ячеек , введите двоеточие между двумя именами ячеек, чтобы указать, что все ячейки в этом диапазоне должны быть умножены. Например, «=PRODUCT(A2:A5)» указывает, что ячейки A2, A3, A4 и A5 должны быть перемножены.

 

Чтобы умножить ряд ячеек, введите имя первой и последней ячейки ряда, разделенные двоеточием

4. Если вы хотите добавить число к уравнению, просто введите запятую, а затем это число.

 

Чтобы добавить одно число в диапазон или список отдельных ячеек, введите запятую, затем это число и закрывающую скобку

5. Закончив ввод формулы, поместите в конце закрывающую скобку и нажмите кнопку «Ввод» на клавиатуре. Ответ уравнения появится в ячейке.

Умножение чисел в Excel с использованием константы

В Excel константа — это заданное число, значение которого сохраняется на всем листе. Вы используете константу для создания формулы, которую можно применить к нескольким ячейкам.

Пользователи могут умножать набор чисел/ячеек на одно и то же число/ячейку без создания нескольких формул. Вот как:

1. Откройте Microsoft Excel. В пустой ячейке в верхней части столбца введите число, на которое вы хотите умножить ряд чисел/набор ячеек. это твой константа число.

 

В пустой ячейке в верхней части столбца введите число, на которое вы хотите умножить каждую ячейку в выбранном вами наборе

2. Определите столбец чисел, которые вы хотите умножить на вашу константу. В пустой ячейке над другим пустым столбцом введите знак равенства.

 

В этом примере столбец A — это набор чисел/ячеек, которые вы хотите умножить на вашу константу — число 20 в верхней части столбца B. Затем введите знак равенства в верхней части пустого столбца (здесь мы используйте столбец C)

3. Нажмите на первую ячейку, которую вы хотите умножить на постоянное число. Имя ячейки появится рядом со знаком равенства. Далее введите звездочку.

 

Нажмите на первую ячейку в столбце чисел, которые вы хотите умножить на постоянное число; имя ячейки появится рядом со знаком равенства. Введите звездочку рядом с именем ячейки

4. В той же ячейке (после звездочки) введите знак доллара ($), а затем букву столбца ячейки, содержащей ваш постоянный номер. Добавьте еще один знак доллара, а затем номер строки ячейки, содержащей ваш постоянный номер.

Знак доллара преобразует вашу константу в абсолютную ссылку, которую можно скопировать и вставить в любую ячейку электронной таблицы Excel.

 

После звездочки введите «$», затем букву столбца ячейки с вашим постоянным номером. Затем введите еще один знак доллара и номер строки ячейки, содержащей ваш постоянный номер

.

5. Нажмите кнопку «Ввод» на клавиатуре, и появится ответ.

 

Нажмите кнопку «Ввод» и ответ появится в ячейке, где вы набрали формулу

6. Чтобы применить формулу ко всем ячейкам в нужном столбце, дважды щелкните маленький зеленый квадрат в правом нижнем углу ячейки, содержащей ваш результат/ответ. Excel автоматически запустит уравнение и заполнит столбец вашим ответом.

 

Дважды щелкните маленький зеленый квадратик в правом нижнем углу ячейки с вычисленным ответом, и Excel применит формулу ко всем числам в выбранном столбце

7. Кроме того, вы можете щелкнуть маленькое зеленое поле, перетащить его вниз по столбцу, чтобы скопировать, и вставить формулу (получив тот же результат/ответы).

 

Вы также можете щелкнуть и перетащить маленький зеленый квадрат/уголок вниз по столбцу, чтобы получить тот же результат

Используйте Excel для четкой и эффективной передачи данных

Microsoft Excel — это больше, чем просто инструмент для умножения чисел. Многие компании используют его для хранения и анализа данных. Excel также может визуализировать данные различными способами, но есть программные решения, ориентированные исключительно на визуализацию. В этой статье рассматриваются преимущества инструментов визуализации данных, а также собраны пять бесплатных инструментов, которые помогут бесплатно визуализировать ваши данные.

Скалярное произведение матрицы. Объяснение

Данные собираются в различных форматах: от чисел до изображений, категорий и звуковых волн. Однако нам нужны числовые данные, чтобы анализировать их на компьютерах. Модели машинного обучения и глубокого обучения требуют больших объемов данных. Их производительность сильно зависит от объема данных. Таким образом, мы стремимся собрать как можно больше данных, чтобы построить надежную и точную модель. По мере увеличения объема данных операции, выполняемые со скалярами, становятся неэффективными. Нам нужны векторизованные или матричные операции для эффективного выполнения вычислений. Вот где на помощь приходит линейная алгебра.

Что такое скалярное произведение матрицы?

Скалярное произведение матрицы — это базовое вычисление линейной алгебры, используемое в моделях глубокого обучения для более эффективного выполнения операций с большими объемами данных. Это результат умножения двух матриц с совпадающими строками и столбцами, таких как матрица 3×2 и матрица 2×3. Его также можно рассчитать в NumPy с помощью операции np.dot.

Линейная алгебра — одна из самых важных тем в области науки о данных. В этом посте мы рассмотрим две основные, но очень важные операции линейной алгебры: скалярное произведение и умножение матриц. Эти основные операции являются строительными блоками сложных моделей машинного обучения и глубокого обучения, поэтому важно понимать их.

 

Как найти скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов представляет собой сумму произведений элементов относительно положения. Первый элемент первого вектора умножается на первый элемент второго вектора и так далее. Сумма этих продуктов представляет собой точечный продукт, который можно сделать с помощью функции np.dot().

Давайте сначала создадим два простых вектора в виде массивов NumPy и посчитаем скалярное произведение.

Два пустых массива. | Изображение: Soner Yildirim

Скалярное произведение этих двух векторов представляет собой сумму произведений элементов в каждой позиции. В этом случае скалярное произведение равно (1*2)+(2*4)+(3*6) .

Скалярный продукт для двух массивов NumPy. | Изображение: Soner Yildirim

Поскольку мы умножаем элементы в одних и тех же позициях, два вектора должны иметь одинаковую длину, чтобы получить скалярное произведение.

Учебное пособие по основам скалярного произведения. | Видео 3Blue1Brown.

Подробнее о науке о данных: пошаговое объяснение анализа главных компонентов

 

Как рассчитать матрицу скалярного произведения

В науке о данных мы в основном имеем дело с матрицами. Матрица — это набор векторов строк и столбцов, объединенных структурированным образом. Таким образом, умножение двух матриц включает множество операций скалярного произведения векторов. Будет понятнее, когда мы рассмотрим несколько примеров. Давайте сначала создадим две матрицы 2×2 с помощью NumPy.

Два массива 2×2 Num{y. | Изображение: Soner YildirimДва массива 2×2. | Изображение: Soner Yildirim

Матрица 2×2 состоит из двух строк и двух столбцов. Индекс строк и столбцов начинается с нуля. Например, первая строка A (строка с нулевым индексом) — это массив [4,2]. Первый столбец A — это массив [4,0]. Элемент первой строки и первого столбца равен четырем. Мы можем получить доступ к отдельным строкам, столбцам или элементам с помощью следующего синтаксиса NumPy.

Синтаксис NumPy для доступа к первому столбцу и строке массивов. | Изображение: Сонер Йилдирим

Это важные понятия, которые необходимо понять, чтобы понять умножение матриц.

Умножение двух матриц включает скалярное произведение между первой строкой матрицы и столбцами второй матрицы. Первым шагом является скалярное произведение между первой строкой A и первым столбцом B. Результатом этого скалярного произведения является элемент результирующей матрицы в позиции [0,0] (т.е. первая строка, первый столбец.)

Нахождение скалярного произведения двух матриц. | Изображение: Сонер Йилдирим

Таким образом, результирующая матрица C будет иметь (4*4) + (2*1) в первой строке и первом столбце. С[0,0] = 18 .

Следующим шагом является скалярное произведение первой строки A и второго столбца B.

Нахождение скалярного произведения первой строки A и второго столбца B. | Изображение: Soner Yildirim

C будет иметь (4*0) + (2*4) в первой строке и втором столбце. С[0,1] = 8 .

Первая строка A готова, поэтому мы начинаем со второй строки A и повторяем те же шаги.

Продолжение процесса скалярного произведения, умножение второй строки A и первого столбца B. | Изображение: Soner Yildirim

C будет иметь (0*4) + (3*1) во второй строке и первом столбце. С[1,0] = 3 .

Последний шаг — скалярное произведение между второй строкой A и вторым столбцом B.

Заключительный шаг в процессе скалярного произведения, умножение второй строки A и второй строки B. | Изображение: Soner Yildirim

C будет иметь (0*0) + (3*4) во второй строке и втором столбце. С[1,1] = 12 .

Теперь мы видели, как это делается шаг за шагом. Все эти операции также можно выполнить с помощью операции np.dot :

Нахождение матрицы скалярного произведения с помощью операции np.dot. | Изображение: Soner Yildirim

Как вы помните из векторного скалярного произведения, два вектора должны иметь одинаковую длину, чтобы получить скалярное произведение. Каждая операция скалярного произведения в матричном умножении должна следовать этому правилу. Скалярные произведения выполняются между строками первой матрицы и столбцами второй матрицы. Таким образом, строки первой матрицы и столбцы второй матрицы должны иметь одинаковую длину.

Здесь я хочу подчеркнуть важный момент: длина строки равна количеству столбцов. Точно так же длина столбца равна количеству строк.

Рассмотрим следующую матрицу D:

Пример матрицы 3×2. | Изображение: Soner Yildirim

D имеет три строки и два столбца, поэтому это матрица 3×2. Длина строки равна двум, что является количеством столбцов, а длина столбца равно трем, что является количеством строк.

Длина строки и столбца для матрицы D. | Изображение: Сонер Йилдирим

Это длинное объяснение, но суть в том, что для выполнения матричного умножения количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице.

Подробнее о науке о данных: 4 способа добавить столбец в Pandas

Например, мы можем умножить матрицу 3×2 на матрицу 2×3.

Умножение матриц 3×2 и 2×3 для получения матрицы скалярного произведения 3×3. | Изображение: Soner Yildirim

Форма результирующей матрицы будет 3×3, потому что мы выполняем три операции скалярного произведения для каждой строки A, а A имеет три строки. Простой способ определить вид получившейся матрицы — взять количество строк из первой и количество столбцов из второй:

• Умножение 3×2 и 2×3 возвращает 3×3.