ПРИМЕР:

Преобразуем первую дробь:

Преобразуем вторую дробь:

ОТВЕТ:  0

Как решать дробные уравнения? | О математике понятно

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений — дробными уравнениями.

        Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Дробные уравнения — незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно — в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

        1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

        2. Тождественные преобразования уравнений.

        3. Решение линейных и квадратных уравнений.

        Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

        Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем — настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

        Итак, вперёд!

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

        Например, вот такое уравнение:

        Или такое:

        Или вот такое:

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей — четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

        Или такое уравнение:

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка — не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

        В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

        Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

        Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом. ) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум — перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае — при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

        А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

        Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой — на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные — не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

        Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно — только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

        Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

        Умножаем:

        Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача — дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

        Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

        2∙3 = х+3

        А его (надеюсь) уже решит каждый:

        х = 3

        Решаем следующий примерчик:

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

        Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

        Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».    

        Вперёд!

        А вот теперь — снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 — х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

        Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

        Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

        Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

        С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

        (9 — х)∙х = 20

        Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

        9х — х² = 20

        Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

        Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса — нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

        Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

        х₁ = 4

        х₂ = 5

        И все дела.)

        Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь — квадратным.

        А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3.  Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми — всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

        Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми — всё сократится и останется бред…

        Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее — особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) — они ко всем видам уравнений относятся. И дробные — не исключение.)

        Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

Раскладываем на множители!

        Решаем третье уравнение по списку:

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

        x(x²+2x)(x+2)

        и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

        Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

        А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х²+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

        х²+2х = х(х+2)

        Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        Вот теперь всё и прояснилось. ) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя — на х(х+2).

        Вот на х(х+2) и умножаем:

        И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем — вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х — 3) в числителе первой дроби — думаю, уже не стоит объяснять?)

        С удовольствием сокращаем все дроби:

        (x-3)(x+2) + 3 = x

        Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        x² + 2x — 3x — 6 + 3 — х = 0

        x² — 2x — 3 = 0

        И снова получили квадратное уравнение. ) Решаем и получаем два корня:

        x₁ = -1

        x₂ = 3

        Вот и всё. Это и есть ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители — обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это — дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

        Ну что, порешаем?)

        Решить уравнения:

        Ответы (как обычно, вразброс):

        x = 3

        x₁ = 0,5;    x₂ = 3

        x = 2

        х = 6

        x = 2,6

        x₁ = 2;    x₂ = 5

        Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

        Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути — избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

        Но об этом — дальше.)

Как вычитать дроби с разными знаменателями?

Вычитание дробей с разными знаменателями кажется сложным, особенно при работе с большими числами. Однако, как только вы ознакомитесь с шагами и советами, такие расчеты не так сложны, как кажутся. Ниже мы предоставим вам четырехэтапный подход и несколько советов, которые помогут вам легко решить задачу вычитания дробей.

Вычитание дробей в четыре шага

Четырехэтапный подход равен традиционный метод, применимый ко всем случаям , независимо от того, с какими типами дробей вы будете иметь дело.

Прежде чем перейти к первому шагу, необходимо понять структуру дроби . Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя , разделенных разделительной чертой. При вычитании или сложении с дробями нам необходимо убедиться, что знаменатели двух или более дробей в вычислениях совпадают, прежде чем приступать к фактическим вычислениям.

Ниже подробно описаны четыре шага, которые помогут вам в вычислении дробей. Чтобы вы лучше поняли наш четырехэтапный подход, мы разработаем один и тот же пример на всех четырех этапах.

Шаг 1. Найдите наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное двух или более знаменателей в вычитании дробей, над которым вы работаете.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, мы находим наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. В этом случае наименьший общий знаменатель равен 9.0003

17 x 6 = 106.

Шаг 2. Вычислите эквивалентные дроби

После нахождения наименьшего общего знаменателя вам нужно выяснить, что представляют собой новые дроби, когда обе дроби теперь имеют новые знаменатели.

Работая с тем же примером из шага 1, мы получаем, что новый знаменатель обеих дробей равен 106. знаменатель с 6. 

Шаг 3: Выполните вычитание

Теперь с новыми дробями нам просто нужно выполнить вычитание числителей для результата.

Шаг 4: При необходимости упростите результат

Для окончательного ответа вам нужно будет упростить результат дроби, если это необходимо. В данном примере 167106 нельзя упростить, так как числитель и знаменатель не делятся ни на одно целое число.

В других случаях, когда числители и знаменатели делятся на целое число, необходимо упростить дробь, разделив и числитель, и знаменатель на это число. Вы продолжаете такой процесс до тех пор, пока числитель и знаменатель не перестанут делиться ни на одно целое число.

Советы по вычитанию дробей с разными знаменателями

Хотя вы можете использовать четырехэтапный подход для всех вычитаний дробей, иногда это не самый быстрый метод вычитания дробей. Ниже мы приводим несколько советов, которые помогут вам выполнять вычитание дробей гораздо быстрее.

Совет 1: перекрестное умножение перед вычитанием

Это самый простой способ выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Вот детали шага с примером.

Шаг 1: Находим значение перекрестного умножения дробей, которое равно (2×7) и (1×5)

Шаг 2: Находим значение вычитания между вышеуказанным результатом, которое равно

(2×7) – (1×5) = 9. Это число является числителем окончательного ответа.

Шаг 3: Найдите знаменатель окончательного ответа, умножив знаменатели двух дробей при вычитании, что равно 5 x 7 = 35.

Совет 2: Найдите наименьший общий знаменатель при вычитании

Вам не нужно всегда умножать знаменатели, чтобы найти наименьшие общие знаменатели. Иногда наименьший общий знаменатель может быть одним из знаменателей дробей. Вам нужно посмотреть, делится ли один из знаменателей дробей на другой знаменатель.

Совет 3. Проверьте, можно ли привести дроби к более простой форме

С небольшими числами выполнять вычисления гораздо проще, поэтому всегда следует проверять, имеют ли данные дроби простейшую форму. Если это не так, приведите их к простейшим формам, прежде чем производить какие-либо расчеты.

Теперь мы можем выполнить вычитание дробей, используя подсказки или четырехэтапный подход, как обычно.

В этом случае мы видим, что наименьший общий знаменатель равен 20, а затем мы находим новые дроби с новыми знаменателями 20. пошаговый подход и советы.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь мы узнаем о вычитании дробей с разными знаменателями, а дроби являются частями целого, т. е. представляют собой часть набора. Слово «фракция» происходит от «fractio», латинского слова, означающего «ломать». Египтяне использовали дроби для решения математических задач, в том числе для деления пищи и припасов.

Древние римляне записывали дроби словами, а не числами. Индийцы сначала записывали дроби как числа, которые появлялись как одно число над другим. Арабы были первыми, кто добавил линию между числами, различая их как числители и знаменатели.

Когда мы делим что-то целое на разные части, каждая часть становится частью этого целого.

Например, если разрезать целый арбуз на две части, обе части станут половиной целого арбуза или его частью. Тогда одна половина арбуза математически представляется как 12. Если вы разрежете две половинки арбуза еще на две части, весь арбуз разделится на четыре части или четверти всего арбуза. Тогда одна часть арбуза будет представлена ​​как ¼.

Другим прекрасным примером, иллюстрирующим эту концепцию, является пицца. Пицца представляет собой круг, разделенный на 4-6 или более частей, в зависимости от размера. В этом случае каждый кусочек пиццы представляет собой часть целого, которым является пицца.

Какие части дроби?

Числитель и знаменатель составляют две части дроби. Горизонтальная черта, разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой.

• Знаменатель — это количество разделов, на которые было разделено целое. Его место находится под дробной чертой.
• Числитель указывает количество частей дроби, которые представлены или выбраны. Его место над дробной чертой.

Например, в дроби 1227 числитель 12, а знаменатель 27.

Почему мы используем дроби?

Дроби говорят нам, какая часть целого у вас есть, в чем вы нуждаетесь или хотите. Дроби также легче понять, чем десятичные. Они помогают лучше визуализировать концепцию или систему.

Типы фракций:

Существует четыре основных типа фракций. Вот они:

• Единица Дробь – Дробь с 1 в числителе. Например, 12, 14
• Правильная дробь — у них числитель меньше знаменателя. Пример:  49,  910
• Неправильная дробь — числитель у них больше знаменателя. Пример: 37, 128
.
• Смешанная дробь — состоит из целого числа с правильной дробью.
  Пример 5 34, 10 12

Как упростить дроби?

Чтобы упростить дробь, вы можете выполнить любой из следующих шагов в зависимости от того, что больше подходит:

• Найдите наибольший общий делитель:

Для этого запишите множители как для числителя, так и для знаменателя. Например:

Чтобы упростить дробь 824,

Шаг 1: Делители числителя и знаменателя:

Факторы

24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Множители 8 = 1, 2, 4, 8

Шаг 2: Наибольший/наивысший общий делитель равен числу 8.

Шаг 3 : Разделить числитель и знаменатель на 8

8 разделить на 8 = 1

24 разделить на 8 = 3

Шаг 4: Упрощенная дробь равна 13

• Упрощение неправильных дробей до смешанных чисел
3