Все действия с обыкновенными дробями

Урок математики в 6-м классе по теме: «Все действия с обыкновенными дробями» Подготовлен: учителем математики МБОУ — гимназии № 3, г. Тулы, Ваньковой Е.В.

Этапы	Содержание учебного материала	Деятельность учителя	Деятельность учеников
Организационный момент	Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.	Приветствует учащихся, проверяет подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.	На рабочем столе тетрадь, сигнальная ракетка, ручка, карандаш, билет-ведомость, 4 карточки.
Мотивационная беседа с последующей постановкой цели	Презентация урока (приложение 1) Слайд № 1	С какими числами мы сейчас работаем на уроках? Какие операции научились с ними выполнять? Цель сегодняшнего урока повторить, закрепить все действия с обыкновенными дробями.	Рациональными или дробями. Сравнение, умножение, деление, сложение и вычитание.
Основной этап с использованием компьютерной презентации	Слайд № 2 ( при переходе на станцию используется гиперссылка на картинке станции, а к тесту – картинка вокзала)	Сегодня мы отправляемся с вами в путешествие на поезде в страну «Дроби». Возьмите свои билеты (приложение 7). В них вы видите таблицу, куда будут выставляться оценки за вашу работу в течение нашего путешествия. Их будут выставлять одноклассники, иногда – я. Проверим, готовы ли вы к путешествию. Приготовьте сигнальные ракетки (приложение 2)	Изучают билеты-ведомости.           Берут сигнальные ракетки.
	1. Тест Слайд № 3	Я читаю вам предложение. Если оно, верно, то вы показываете «+», если неверно, то «-» Начинаем выполнять тест (приложение 3) (После выполнения теста) Молодцы! Вы хорошо справились с заданием. Начинаем наше путешествие.	Работа с сигнальными ракетками В тетрадях делают записи: Дата. Классная работа.
	2. Станция «Сложение и вычитание дробей» Слайд № 4	Мы подъезжаем к станции «Сложение и вычитание дробей», чтобы выйти из поезда, вам надо вспомнить пароль-правило сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Смотрите, какие везде горы, вам нужно по ступенькам взобраться на вершину. Кто первый!? (приложение 4). После решения идет взаимопроверка.	Работа в парах (пароль-правило отвечает сначала один ученик, затем другой). Выставляют оценки. Выполняют задание из приложения 3 в тетрадях, ответы записывают в таблицу.
	3. Станция «Умножение» Слайд № 5	Подъезжаем к станции «Умножение». Проверьте друг у друга пароль-правило умножение обыкновенных дробей. Заполните таблицу (приложение 5)	Работа в парах. Заполняют таблицу (приложение 5). Сложные вычисления выполняют в тетрадях. Проверяют друг у друга задания.
	4. Станция «Деление» (слайд 6) Слайд № 6	Отправляемся на следующую станцию «Деление». Проверьте друг у друга пароль-правило деления обыкновенных дробей. Скажите, ребят, пожалуйста, какие праздники приближаются?? Майские праздники известны своими демонстрациями, возложением цветов, воздушными шарами. Вот уже стали надувать воздушные шары, но оказалось, что некоторые узоры стерлись. Помогите их восстановить (приложение 6).	Работа в парах. Отвечают на вопросы учителя. В тетрадях выполняют задания приложение 6.
	5. Станция «Сравнение» Слайд № 7	Следующая станция «Сравнение» Задание на этой станции: расположите дроби в порядке возрастания. Скажите, а что нам необходимо сделать, чтоб расположить дроби в порядке возрастания? Так давайте же вспомним правила сравнения дробей с одинаковыми числителями и знаменателями. Теперь расположите дроби в порядке возрастания.	Сравнить их. 2 ученика выполняют у доски, остальные в тетрадях.
	6. Сдача билетов-ведомостей.		Сдают билеты-ведомости.
	7. «Это интересно». Слайд № 8-10	Послушаем интересное историческое сообщение о дробях. (в ведомостях выставляет итоговую оценку)	Выступление ученика. Отвечают на поставленные вопросы.
IV. Итог урока		Подводит итог урока.	Слушают
V. Домашнее задание	Сочинить стихотворение о дробях.		Записывают в дневник домашнее задание.
VI. Рефлексия	Слайд № 11		Отвечают на вопросы на отдельных листочках.

Нахождение разности целого и смешанного чисел

• Олейникова Наталья Дмитриевна

Разделы: Математика

---

Цели:

• закрепить умения складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми  знаменателями, вычитать из 1, вычитать из целого числа дробь;
• подвести учащихся к усвоению материала – частные случаи вычитания из целых чисел дроби и смешанного числа;
• прививать навыки самостоятельной работы;
• воспитывать адекватную самооценку и коммуникативные качества личности;
• развивать математическую речь.

Учебник: «Математика-6», авторы Г.М.Капустина, М.Н.Перова.

Оборудование:  дидактические таблицы, раздаточный материал.

ХОД УРОКА

I. Опрос по ранее изученному материалу:

– Какую общую тему мы сейчас изучаем?
– Какие математические действия мы сейчас можем производить с обыкновенными дробями?
– Какие виды обыкновенных дробей вы знаете?
– Для того чтобы закрепить эти понятия, мы сейчас выразим массу продуктов о которых вы услышите в стихотворении, в виде обыкновенных дробей:

Мне купить велела мама
Полкило густой сметаны,
Двести граммов маргарина,
Килограммчик мандаринов,
Грамм пятьсот сырого теста
И осталось если место
То ещё две пачки вафель
(в каждой пачке двести грамм)
Если взять за единицу
Меру веса килограмм,
То легко и очень просто
В дроби всё перевести

Сколько же в дробях продуктов
Буду я домой нести? 

При проведении устного счёта используются карточки обратной связи, на которых учащиеся пишут обыкновенную дробь, которой они выразят продукты, названные в стихотворении.

Двое учащихся у доски восстанавливают цепочку вычислений:

5) В это время мы повторим  основное свойство обыкновенных дробей, я расскажу вам анекдот про блондинку, которая пришла в пиццерию и заказала большую пиццу, официант спрашивает у неё: «На сколько кусков вам разрезать на 6 или 12?» Блондинка: «Ну, конечно, же на 6, ведь 12 я не съем».

– О чём нам напомнил этот анекдот?  (О том, что насколько кусков  или частей не разделишь целое, оно не меняется.)

6) Повторим  вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел, учащимся предъявляются таблички, под ними на доске надо записать дроби, в которых можно выразить эти рисунки и произвести вычитание:

Последняя  табличка иллюстрирует собой пример: 
Это и будет темой нашего урока «Вычитание из целого числа смешанного»

II.   Материал урока:

Вывешивается правило: «Чтобы из целого числа вычесть смешанное, надо у целого числа занять единицу и представить её в виде неправильной дроби и  выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями».

2. Работа с учебником: страница  121  № 451 (1-й столбик):

Первый пример решается у доски учеником с подробным объяснением и ссылкой на правило. Второй пример решается комментировано (один ученик проговаривает алгоритм вычитания, все записываю в тетради), третий – самостоятельно.

III.  Физкультминутка

3. Решение задачи № 454, страница 121.

В трёх бидонах 50 литров молока. В первом бидоне  литра, во втором –  литра. Сколько литров молока в третьем бидоне?

4. Дополните примеры числовыми данными и решите их:

(Вместо уменьшаемого поставьте целое число, может ли оно быть меньше 6?)

– Какое число может быть вычитаемым, чтобы  вычитание можно было  бы произвести?

5. Индивидуальная работа по карточкам:

IV. Итоги урока, оценки

– Итак, как вычесть из целого числа смешанное?

Проведём самооценку работы на уроке. У вас на столе лежат карточки самооценки. Выставьте в них те оценки, которые вы сами себе поставите, потом мы сравним с теми оценками, которые вам поставил учитель.

Фамилия учащегося	Устная работа	Работа по таблицам	Индивидуальная работа по карточкам	Оценка

V. Домашнее задание

Страница 120  № 445, 2).  (3 и 4 столбики)

13.03.2010

2.2 Сложение и вычитание дробей – базовый обзор

К концу этого раздела вы сможете:

• Складывать или вычитать дроби с общим знаменателем
• Сложение или вычитание дробей с разными знаменателями
• Используйте порядок операций для упрощения сложных дробей
• Вычислить переменные выражения с дробями

Когда мы умножали дроби, мы просто умножали числители и прямо умножали знаменатели. Чтобы складывать или вычитать дроби, они должны иметь общий знаменатель.

Если числа где , то

Чтобы сложить или вычесть дроби, сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.

Найдите сумму: .

Решение

Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.

Найдите сумму: .

Ответить

Найдите сумму: .

Ответ

Найдите разницу: .

Решение

Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
Упрощение.
Упрощение. Помнить, .

Найдите разницу: .

Ответить

Найдите разницу: .

Ответить

Упростить: .

Решение

Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
Перепишите со знаком перед дробью.

Найдите разницу: .

Ответить

Найдите разницу: .

Ответить

Теперь мы сделаем пример, в котором есть и сложение, и вычитание.

Упрощение: .

Решение

Сложите и вычтите дроби — есть ли у них общий знаменатель? Да.
Сложите и вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
Упрощение слева направо.
Упрощение.

Упрощение: .

Ответить

Упростить: .

Ответить

Как мы видели, чтобы складывать или вычитать дроби, их знаменатели должны совпадать. Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей — это наименьшее число, которое можно использовать в качестве общего знаменателя дробей. LCD двух дробей является наименьшим общим кратным (НОК) их знаменателей.

Наименьший общий знаменатель (НОД) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

После того, как мы найдем наименьший общий знаменатель двух дробей, мы преобразуем дроби в эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея. Объединение этих шагов позволяет нам складывать и вычитать дроби, потому что их знаменатели будут одинаковыми!

Добавить: .

Раствор

Добавить: .

Ответить

Добавить: .

Ответить

1. Есть ли у них общий знаменатель?
   • Да — перейдите к шагу 2.
   • Нет — переписать каждую дробь с ЖКИ (наименьший общий знаменатель). Найдите ЖК. Превратите каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
2. Сложение или вычитание дробей.
3. Упростите, если возможно.

При нахождении эквивалентных дробей, необходимых для создания общих знаменателей, есть быстрый способ найти число, необходимое для умножения числителя и знаменателя. Этот метод работает, если мы нашли LCD, разложив на простые числа.

Посмотрите на коэффициенты ЖК-дисплея, а затем на каждый столбец над этими факторами. «Недостающие» множители каждого знаменателя — это нужные нам числа.

In (Пример 5), LCD, 36, имеет два коэффициента 2 и два коэффициента .

Числитель 12 имеет два множителя 2, но только один из 3-поэтому «не хватает» одного 3-мы умножаем числитель и знаменатель на 3

В числителе 18 отсутствует один делитель 2, поэтому мы умножаем числитель и знаменатель на 2

Мы будем применять этот метод при вычитании дробей в (Пример 6).

Вычесть: .

Решение

Имеют ли дроби общий знаменатель? Нет, поэтому нам нужно найти ЖК-дисплей.

” We have negative (13 times 3) divided by the quantity (40 times 3). We are then instructed to “Remove the common factor to simplify.” We obtain negative 13/40.» data-label=»»>

Найдите ЖК-дисплей.
Обратите внимание, 15 «отсутствует» три множителя 2, а 24 «отсутствует» 5 множителей ЖК-дисплея. Итак, мы умножаем 8 на первую дробь и 5 на вторую дробь, чтобы получить ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Упрощение.
Вычесть.
Проверьте, можно ли упростить ответ.
И 39, и 120 имеют коэффициент 3.
Упрощение.

Не упрощайте эквивалентные дроби! Если вы это сделаете, вы вернетесь к исходным дробям и потеряете общий знаменатель!

Вычесть: .

Ответить

Вычесть: .

Ответить

В следующем примере одна из дробей содержит переменную в числителе. Обратите внимание, что мы делаем те же шаги, что и в случае, когда оба числителя являются числами.

Добавить: .

Решение

Дроби имеют разные знаменатели.

The next line tells us to “Add.” Hence, we have the quantity (24 + 5x) divided by 40.» data-label=»»>

Найдите ЖК-дисплей.
Перепишите как эквивалентные дроби с помощью ЖК-дисплея.
Упрощение.
Доп.

 

Добавить: .

Ответ

Добавить: .

Ответить

Теперь у нас есть все четыре операции над дробями. В таблице ниже приведены операции с дробями.

Сводка операций с дробями

Дробная операция	Пример уравнения	Что делать
Умножение дробей		Умножить числители и умножить знаменатели
Дробное деление		Умножьте первую дробь на обратную вторую.
Сложение дробей		Сложите числители и поместите сумму над общим знаменателем.
Вычитание дроби		Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.

Для умножения или деления дробей НЕ требуется ЖК-дисплей. Для сложения или вычитания дробей необходим ЖК-дисплей.

Упростить: а) б) .

Решение

Сначала спросите: «Какова операция?» Как только мы определим операцию, которая определит, нужен ли нам общий знаменатель. Помните, нам нужен общий знаменатель, чтобы складывать или вычитать, но не умножать или делить.

а) Что такое операция? Операция — вычитание.
Имеют ли дроби общий знаменатель? №
Перепишите каждую дробь как эквивалентную дробь с помощью ЖК-дисплея.
Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.
Упростите, если возможно.	Нет общих делителей. Фракция упрощена.

б) Что такое операция? Умножение.
Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели.
Перепишите, показав общие множители. Удалите общие факторы.
Упрощение.

Обратите внимание, что нам нужен ЖК-дисплей для сложения, но не для умножения.

Упростить. а)   б)

Ответ

а) б)

Упростить: а) б) .

Ответ

а) б)

Мы видели, что сложная дробь — это дробь, в которой числитель или знаменатель содержит дробь. Дробная полоса указывает на деление. Мы упростили сложную дробь, разделив на .

Теперь рассмотрим сложные дроби, в которых числитель или знаменатель содержит выражение, которое можно упростить. Итак, мы сначала должны полностью упростить числитель и знаменатель по отдельности, используя порядок операций. Затем делим числитель на знаменатель.

Упрощение: .

Раствор

Упрощение: .

Ответить

Упрощение: .

Ответить

1. Упростите числитель.
2. Упростите знаменатель.
3. Разделить числитель на знаменатель. Упростите, если возможно.

Упрощение: .

Решение

Это может помочь заключить в скобки числитель и знаменатель.

Упростите числитель (ЖК = 6) и упростите знаменатель (ЖК = 12).
Упрощение.
Разделить числитель на знаменатель.
Упрощение.
Разделите общие множители.
Упрощение.

Упрощение: .

Ответ

2

Упрощение: .

Ответить

Раньше мы вычисляли выражения, но теперь мы можем вычислять выражения с дробями. Помните, чтобы вычислить выражение, мы подставляем значение переменной в выражение, а затем упрощаем.

Оценить, когда а) б) .

Решение

1. Чтобы оценить, когда , замените в выражении.
   

   Упрощение.	0

    

2. Чтобы оценить, когда , подставим в выражение x .
   The following line instructs us to “Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 12.” Our expression thus reads as negative (3 times 3) divided by (4 times 3) plus the quantity (1 times 4) divided by (3 times 4). The following line tells us to “Simplify.” Hence, we have negative 9/12 + 4/12. The last line tells us to “Add.” Hence, we have negative 5/12.» data-label=»»>

   Переписать эквивалентные дроби на ЖК-дисплее, 12.
   Упрощение.
   Доп.

Оценить, когда а) б) .

Ответ

а) б)

Оценить, когда а) б) .

Ответ

а) б)

Оценить, когда .

Решение

” Then our expression reads as negative 5/6 minus negative 2/3. The following line instructs us to “Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 6.” Our expression thus reads as negative 5/6 minus negative 4/6. The following line tells us to “Subtract.” Hence, we have the quantity (negative 5 minus negative 4) divided by 6. The following line instructs us to “Simplify”, which becomes one sixth.» data-label=»»>

Переписать как эквивалентные дроби с ЖК-дисплеем, 6.
Вычесть.
Упрощение.

Вычислить, когда .

Ответить

Оценить, когда .

Ответить

Оценить, когда и .

Решение

Подставьте значения в выражение.

On the following line, we have the direction “Substitute 1/4 for x and negative 2/3 for y.” Then our expression reads as 2 times (the quantity (1/4) squared) times (negative 2/3). The following line instructs us to “Simplify exponents first.” Our expression thus reads as 2 times (1/16) times (negative 2/3). The following line tells us to “Multiply. Divide out the common factors.” The common factors are crossed out. The following line instructs us to “Simplify.” We further simplify on the last line to obtain negative one twelfth.» data-label=»»>

Сначала упростите показатели степени.
Умножить. Разделите общие факторы. Обратите внимание, что мы пишем 16 как, чтобы упростить удаление общих множителей.
Упрощение.

Оценить, когда и .

Ответить

Оценить, когда и .

Ответить

В следующем примере будут только переменные, без констант.

Оценить, когда .

Решение

Чтобы оценить, когда , подставляем значения в выражение.

Сначала добавьте числитель.
Упрощение.

Оценить, когда .

Ответить

Оценить, когда .

Ответить

• Сложение и вычитание дробей: Если числа где , то
  и .
  Чтобы сложить или вычесть дроби, сложите или вычтите числители и поместите результат над общим знаменателем.
• Стратегия сложения или вычитания дробей
  1. Есть ли у них общий знаменатель?
     Да — переходите к шагу 2.
     Нет — перепишите каждую дробь с помощью ЖКИ (наименьший общий знаменатель). Найдите ЖК. Превратите каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
  2. Сложение или вычитание дробей.
  3. Упростите, если возможно. Для умножения или деления дробей ЖК-дисплей НЕ нужен. Для сложения или вычитания дробей необходим ЖК-дисплей IS.
• Упрощение сложных дробей
  1. Упростите числитель.
  2. Упростите знаменатель.
  3. Разделить числитель на знаменатель. Упростите, если возможно.

наименьший общий знаменатель

Наименьший общий знаменатель (НОК) двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем

В следующих упражнениях доп.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

В следующих упражнениях вычтите.

11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.

Смешанная практика

В следующих упражнениях упрощайте.

25.	26.
27.	28.
29.	30.
31.	32.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

В следующих упражнениях сложите или вычтите.

33.	34.
35.	36.
37.	38.
39.	40.
41.	42.
43.	44.
45.	46.
47.	48.
49.	50.
51.	52.
53.	54.
55.	56.

Смешанная практика

В следующих упражнениях упрощайте.

57. а) б)	58. а) б)
59. а) б)	60. а) б)
61.	62.
63.	64.
65.	66.
67.	68.
69.	70.

Использование порядка операций для упрощения сложных дробей

В следующих упражнениях упрощайте.

71.	72.
73.	74.
75.	76.
77.	78.
79.	80.
81.	82.
83.	84.
85.	86.
87.	88.
89.	90.
91.	92.

Вычисление переменных выражений с дробями

В следующих упражнениях оцените.

93. когда а) б)	94. когда а) б)
95. когда а) б)	96. когда а) б)
97. когда а) б)	98. когда а) б)
99. когда и	100. когда и
101. когда	102. когда

Математика на каждый день

103. Декорирование Ларонда делает чехлы для декоративных подушек на свой диван. На каждую наволочку ей нужен ярд набивной ткани и ярд однотонной ткани. Какое общее количество ткани нужно Ларонде для каждой наволочки?

104. Выпечка Сэмюэл печет печенье с шоколадной крошкой и овсяное печенье. Ему нужна чашка сахара для печенья с шоколадной крошкой и сахара для овсяного печенья. Сколько всего сахара ему нужно?

Ответы

1.	3.	5.
7.	9.	11.
13.	15.	17.
19.	21.	23.
25.	27.	29.
31.	33.	35.
37.	39.	41.
43.	45.	47.
49.	51.	53.
55.	57. а)б) 4	59. а)б)
61.	63.	65.
67.	69.	71. 54
73.	75.	77.
79.	81.	83.
85.	87.	89. 1
91.	93. а) б)	95. а) б)
97. а) б)	99.	101.
103. Двор

Принадлежности

Эта глава была адаптирована из статьи «Сложение и вычитание дробей» из книги

Elementary Algebra (OpenStax) Линн Маречек и МэриЭнн Энтони-Смит, которая находится под лицензией CC BY 4.0. Адаптация Изабелы Мазур. Дополнительную информацию см. на странице Авторские права.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Ускоренные видеокурсы

Хотите смотреть анимационные ролики и решать интерактивные задания на дроби? Нажмите здесь, чтобы попробовать ускоренные видеокурсы!

Если знаменатели в дробях разные, вы должны разложить или сократить дроби, чтобы придать им равные знаменатели. Это не меняет значение дроби. Расширение или сокращение дробей, чтобы привести их к равным знаменателям, называется нахождением общего знаменателя. Существует несколько различных методов нахождения общего знаменателя:

Умножение знаменателей:

Это всегда будет работать, но вы можете получить очень большие числа, которые излишне усложнят вычисления.

Упростить одну дробь:

Если одну дробь можно сократить так, что знаменатели сравняются, вы сэкономите много работы.

Расширение одной дроби:

Если одну дробь можно разложить так, чтобы знаменатели были равны, вычисление упрощается.

Нахождение наименьшего общего знаменателя:

Этот способ всегда будет давать вам самые простые и красивые числа для работы. Я рекомендую вам сосредоточиться на этом.

При сложении дробей с разными знаменателями нужно начинать с нахождения общего знаменателя. Затем вам нужно разложить или упростить все дроби, чтобы в итоге у вас получился общий знаменатель во всех них. Наконец, вы можете сложить числители вместе.

Формула

Сложение дробей с разными знаменателями

ac+bd=a⋅dc⋅d+b⋅cd⋅c=ad+bccd

9000 3

Формула

Вычитание дробей с разными знаменателями

ac-bd=a⋅dc⋅d-b⋅cd⋅c=ad-bccd

При вычитании дробей с разными знаменателями нужно начинать с нахождения общего знаменателя.