Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень / Рациональные выражения / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Рациональные выражения
- Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень
Мы знаем правила умножения и деления обыкновенных дробей, рациональные дроби умножаются и делятся аналогично.
| Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей. |
Чтобы умножить одну рациональную дробь на другую, надо числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби, а знаменатель первой — на знаменатель второй, первое произведение записать в числитель, а второе — 
, где , , и — многочлены, причём многочлены и — ненулевые.
Пример 1: Найдите произведение дробей и
Так как числитель первого множителя равен , а числитель второй — 3, то числитель произведения будет равен . Знаменателем первого множителя является одночлен , а второго — многочлен , поэтому знаменатель произведения будет равен , то есть получаем:
Очевидно, что нашу дробь мы можем сократить на 3 и на многочлен , получаем, что:
Две рациональные дроби, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
То есть рациональные дроби и , где , — ненулевые многочлены, являются взаимно обратными, так как
Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя , а знаменатель — произведению знаменателя делимого и числителя делителя. |
То есть, чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
, где , , и — многочлены, причём многочлены , и — ненулевые.
Пример 2: Найдем частное дробей
Сведем деление к умножению. Обратной дробью делителю будет дробь Значит, мы должны дробь умножить на дробь получаем произведение:
Далее в числитель произведения записываем произведение числителей данных дробей, а в знаменатель — произведение знаменателей, то есть:
Мы видим, что числитель и знаменатель дроби содержат множитель , поэтому мы можем сократить данную дробь на него. Также мы можем в числителе дроби вынести за скобку общий множитель 4, а в знаменателе множитель — , получим:
Мы получили, что числитель и знаменатель дроби содержат множитель , поэтому мы можем сократить данную дробь на него, в итоге имеем, что:
Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй — как знаменатель дроби. |
, где , — многочлены, причём многочлены — ненулевой.
Заметим, что прежде, чем выполнять умножение и деление рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители.
Советуем посмотреть:
Рациональные дроби
Основное свойство рациональной дроби
Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями
Равносильные уравнения. Рациональные уравнения
Степень с целым отрицательным показателем
Свойства степени с целым показателем
Функция y=k/x и её график.
Рациональные выражения
Правило встречается в следующих упражнениях:
8 класс
Номер 150, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 154, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 158, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 161, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 186, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 7, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 256, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 290, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Деление дробей | Формулы с примерами
Деление правильных дробей
Определение
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно преобразовать целое число в дробь (1), полученную дробь перевернуть (2) и умножить на первую дробь (3).
Иными словами: чтобы разделить дробь на целое число, нужно числитель оставить прежним, а знаменатель исходной дроби умножить на данное число.
Пример
35 :
33=
35 :
31 =
35 •
13 =
3 • 15 • 3 =
3 15 =
15;
89 : 43= 89 : 41 = 89 • 14 = 8 • 19 • 4 = 8 36 = 2 9;
15 : 43= 15 : 41 = 15 • 14 = 1 • 15 • 4 = 1 20.
Правило
применить умножение на обратную дробь.
Пример
47 :
14 =
47 •
41 =
4 • 47 • 1 =
167 =
227;
68 : 36 = 68 • 63 = 6 • 68 • 3 = 3624 = 112;
79 : 47 = 79 • 74 = 7 • 79 • 4 = 4936 = 11336.
Деление смешанных дробей
Определение
преобразовать их в неправельные (1), а затем перевернуть
вторую дробь (2) и умножить на первую (3).
Пример
243 :
314 =
2 • 3 + 43 :
3 • 4 + 14 =
103 :
134 =
103 •
413 =
4039 =
1 1 39;
113 : 212 = 1 • 3 + 13 : 2 • 2 + 12 = 43 : 52 = 43 • 25 = 8 15;
352 : 514 = 3 • 2 + 52 : 5 • 4 + 14
Обратная дробь
Правило
Дробь ba — обратная к дроби ab.
Дроби ab и ba — взаимно обратные дроби.
Пример (взаимно обратные) 34 и 43;
72 и 27;
125 и 5 12.
Пошаговое руководство по разделению фракций с целыми числами
Пошаговое руководство по делениям фракций с целыми числами
Jana Russick
15 августа 2021
онлайн-репетиторство
,
Mathematics
,
Элементарная математика
Процесс деления дробей на целые числа отличается от того, что кажется.
Даже если вы делите целые числа, наиболее эффективным способом решения таких математических задач является использование знака умножения. Давайте объясним, почему.
Как работает деление дробей
Прежде чем объяснять, почему деление дробей на целые числа требует умножения дробей, давайте научимся делить дроби. Каждый раз, когда вас просят разделить дроби, вы должны перевернуть или инвертировать дробь. Вот пример:
Как видите, деление первой дроби на вторую дробь пополам — это то же самое, что умножение числителя (верхней части дроби) на 2.
Результат: неправильная дробь, что означает, что числитель больше знаменателя (нижнее число дроби). Эту неправильную дробь также можно преобразовать в смешанное число:
Итак, 6/5 и 1 1/5 — эквивалентные дроби. Используйте этот рабочий лист дробей, чтобы узнать, как превратить неправильные дроби в смешанные дроби.
Деление дробей на целые числа: пошаговое руководство
Теперь, когда мы знаем, как работает умножение и деление дробей, давайте научимся делить целые числа на дроби.
Каждый раз, когда целое число является делителем дроби, вы далее делите эту дробь на несколько равных частей. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом:
1. Инверсия целого числа
Для начала вы должны преобразовать целое число в дробь, инвертировав его. Это означает, что значение 1 станет числителем, а целое число станет знаменателем. Дробь со значением числителя 1 называется единичной дробью.
2. Умножение дробей
Теперь вы будете умножать числители и знаменатели.
3. Упростите дробь
Найдите наименьший общий знаменатель, наименьшее число, на которое можно разделить оба числа. В данном случае это число 3.
Почему важно делить дробь на целые числа?
При поступлении в 5-й и 6-й классы по математике вы начинаете изучать математические рабочие листы и текстовые задачи на сложение и вычитание дробей. Это подготовит вас к математике в средней школе, где вы начнете умножать и делить дроби с целыми числами.
Построение надежной основы дробей поможет вам с более сложными понятиями дробей, которые вы изучите в старшей школе по математике.
Дополнительная помощь с домашним заданием по математике
- 6 типов дробей, которые вам нужно знать
- Вот как работает векторное вычитание
- Как работает сложение и вычитание десятичных знаков?
Глубокие знания о делении дробей!
Делить дроби несложно. Напротив, это очень просто, если вы знаете, как умножать дроби.
Важно объяснить некоторые важные термины или понятия, прежде чем показывать, как делить дроби.
2/3 — простая дробь, и на уроке о дробях мы назвали 2 числителем, а 3 — знаменателем. Вы также можете назвать 2 делимым и 3 делителем.
Дивиденд и делитель в основном используются при длинном делении. Когда мы делим сложные дроби, эти термины также можно использовать для описания проблемы. Если вам нужно больше узнать о сложных дробях, ознакомьтесь с этим уроком о сложных дробях для более полного охвата.
Сначала изучите этот пример.
Другие примеры, показывающие, как работает деление дробей. Тщательно изучите следующие задачи на три дроби.
Пример №1:
3/4 ÷ 1/8
Инвертировать делитель, заменить деление на умножение и умножить.
3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8/1
3/4 ÷ 1/8 = (3 × 8) / (4 × 1)
3/4 ÷ 1/8 = 24 / 4
3/4 ÷ 1/8 = 6
Вы заметили, что это та же проблема, что и на рисунке выше? Однако здесь мы пишем дробь с косой чертой «/» вместо горизонтальной дробной черты. Более того, у вас есть дробь, деленная на другую дробь.
Всякий раз, когда одна дробь делится на другую, мы называем это сложной дробью. Это очень простой пример сложной дроби. Сложные дроби могут выглядеть намного сложнее, чем это.
Здесь с этой сложной дробью делимое равно 3/4, а делитель равен 1/8.
При делении одной дроби на другую переверните делитель и умножьте перевернутый делитель на делимое.
Перевернутый делитель называется обратным.
Инвертирование дроби означает, что ваш числитель станет вашим знаменателем, а ваш знаменатель станет вашим числителем.
Например, при инвертировании 2/3 получается 3/2.
Пример #2:
2/5 ÷ 4/3
2/5 ÷ 4/3 = 2/5 × 3/4
2/5 ÷ 4/3 = (2 × 3)/(5 × 4)
2 /5 ÷ 4/3 = 6/20
Чтобы упростить 6/20, найдите наибольший общий делитель 6 и 20.
GCF(6,20) = 2
Разделите числитель и знаменатель на 2.
Вы получаете 3/10
Пример №3:
3/8 ÷ 3/4
3/8 ÷ 3/4 = 3/8 × 4/3
3/8 ÷ 3/4 = ( 3 × 4)/(8 × 3)
3/8 ÷ 3/4 = 12/24
3/8 ÷ 3/4 = 1/2
Пройди тест на деление дробей и узнай, насколько хорошо ты умеешь делить дроби.
Все еще боретесь с дробями? Избавьтесь от страхов и разочарований раз и навсегда!
Если вы не очень хорошо знаете дроби, вам, вероятно, будет трудно хорошо сдать большинство математических тестов.