Чтобы сложить две одинаковые дроби, выполните следующие действия:

1. Получите числители двух данных дробей и их общий знаменатель
2. Сложите числители, полученные на первом шаге.
3. Запишите дробь, числитель которой равен сумме, полученной на втором шаге, а знаменатель — общий знаменатель данных дробей.

Давайте разберемся с этим на примере.

Пример

Предположим, мы хотим сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{13}{5}$

Решение

Здесь мы видим, что обе дроби имеют один и тот же знаменатель, то есть 5.

Таким образом, мы идем по указанным выше шагам.

Проверяем числители обеих дробей. Это 3 и 13.

Затем складываем эти числители и получаем 3 + 13 = 16.

Теперь запишем сумму этих дробей в виде $\frac{16}{5}$

Следовательно, $\frac{3}{5} + \frac{13}{5} = \frac{16}{5}$

Чтобы яснее понять сложение одинаковых дробей, проверим графическое представление сложения подобных фракций.

Прежде чем приступить к графическому изображению сложения одинаковых дробей, необходимо вспомнить, что мы понимаем под графическим представлением дроби. Рассмотрим дробь  $\frac{3}{4}$. Эта дробь читается как «три четверти», что означает три части из четырех равных частей, на которые было разделено целое. Графически эту дробь можно представить как –

Теперь, когда мы вспомнили, как графически представлять дробь, давайте продолжим обсуждение графического представления сложения подобных дробей. Разберемся на примере.

Предположим, у нас есть дроби $\frac{2}{8}, \frac{3}{8} и \frac{1}{8}$, и мы хотим сложить эти дроби. Если мы пойдем по шагам, которые мы определили выше для сложения одинаковых дробей, мы увидим, что все три дроби имеют один и тот же знаменатель, то есть 8. Итак, чтобы сложить эти дроби, мы просто сложим их числители, то есть 2, 3 и 1. Получим 2 + 3 + 1 = 6. Следовательно,

$\frac{2}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{6}{8}$

Теперь представим каждую из этих дробей графически.

Дробь $\frac{2}{8}$ будет графически представлена ​​как 

Мы видим, что приведенная выше дробь имеет 2 заштрихованные части из 8 равных частей.

Дробь $\frac{3}{8}$ будет графически представлена ​​как 

Мы видим, что приведенная выше дробь имеет 3 заштрихованные части из 8 равных частей.

Дробь $\frac{1}{8}$ будет графически представлена ​​как 

Мы видим, что указанная выше дробь имеет 1 заштрихованную часть из 8 равных частей.

Если суммировать все заштрихованные части в трех дробях, то можно увидеть, что у нас будет 2 + 3 + 1 = 6 заштрихованных частей. Это будет представлено графически как – 

Вышеупомянутая дробь будет записана как  $\frac{6}{8}$, что является результатом, который мы получили после сложения трех приведенных выше дробей.

Теперь, когда мы поняли, как складывать одинаковые дроби как с помощью шагов, так и графически, давайте научимся находить разность двух или более одинаковых дробей.

Чтобы сложить вычитание одинаковых дробей, выполните следующие действия:

1. Получите числители двух данных дробей и их общий знаменатель
2. Вычтите вычитаемый числитель из уменьшаемого числителя, полученного в первый шаг. Напомним, что вычитаемое число называется вычитаемое , а число, из которого вычитается вычитаемое, называется вычитаемое . Результат этого вычитания называется разностью .
3. Запишите дробь, числитель которой равен сумме, полученной на втором шаге, а знаменатель — общий знаменатель данных дробей.

Давайте разберемся с этим на примере.

Пример

Предположим, мы хотим найти разницу между дробями $\frac{3}{7} и \frac{1}{7}$

Решение

Здесь мы видим, что обе дроби имеют тот же знаменатель, то есть 7,

Таким образом, мы идем по указанным выше шагам.

Проверяем числители обеих дробей. Это 3 и 1.

Затем из 3 вычтем 1, получим 3 – 1 = 2

Теперь запишем разность этих дробей в виде $\frac{2}{7}$

Отсюда , $\frac{3}{7} -\frac{1}{7} = \frac{2}{7}$

Чтобы яснее понять вычитание одинаковых дробей, проверим графическое представление вычитания одинаковых дробей.

Предположим, у нас есть дроби $\frac{5}{8} и \frac{1}{8}$, и мы хотим найти разницу между этими дробями. Если мы пойдем по шагам, которые мы определили выше для вычитания одинаковых дробей, мы увидим, что две дроби имеют один и тот же знаменатель, то есть 8. Итак, чтобы вычесть эти дроби, мы просто вычтем числители, то есть 5 и 1. Получим 5 – 1 = 4 Следовательно,

$\frac{5}{8} – \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$

Теперь представим каждую из этих дробей графически.

Дробь $\frac{5}{8}$  будет графически представлена ​​как 

Мы видим, что указанная выше дробь имеет 5 заштрихованных частей из 8 равных частей.

Дробь $\frac{1}{8}$ будет графически представлена ​​как 

Мы видим, что указанная выше дробь имеет 1 заштрихованную часть из 8 равных частей.

Если мы вычтем две заштрихованные части в этих дробях, мы увидим, что у нас будет 5 – 1 = 4 заштрихованных части. Это будет представлено графически как – 

Приведенная выше дробь будет записана как $\frac{4}{8}$, что является результатом, полученным после вычитания двух приведенных выше дробей.

Пример 1 Мария закрасила 1/5 часть стены в своей комнате. Помог ее брат Ромиль, который покрасил 3/5 стены. Сколько они рисовали вместе? Какая часть комнаты осталась неокрашенной?

Решение Нам известно, что Мария закрасила 1/5 часть стены в своей комнате. Помог ее брат Ромиль, который покрасил 3/5 стены. От нас требуется выяснить –

1. Сколько они нарисовали вместе?
2. Какая часть комнаты осталась неокрашенной?

Давайте найдем вышеуказанную информацию одну за другой.

Прежде всего, нам нужно разобраться в данных нам дробях. У нас есть,

Доля площади стены, окрашенной Марией = 1/5

Доля площади стены, окрашенной Ромилем = 3/5

Хорошо видно, что обе дробные величины имеют одинаковый знаменатель. Поэтому первое, на что следует обратить внимание, это то, что они подобны дробям. Теперь, чтобы узнать, сколько они нарисовали вместе, нам нужно будет найти сумму этих дробей. Поскольку они похожи на дроби, нам просто нужно сложить числители дробей, как мы узнали выше. Поэтому имеем

Площадь стены, окрашенная обоими = 1/5 + 3/5

= (1+3)/5 = 4/5

Следовательно, площадь стены, окрашенная ими вместе = 4/5, что является ответом на вопрос первая проблема.

Теперь давайте рассмотрим вторую задачу: какая часть комнаты осталась неокрашенной? Чтобы найти ответ на этот вопрос, нам нужно вычесть долю окрашенной стены из общего шага стены. У нас есть,

Здесь общее пространство стены будет равно 1, как единое целое.

Кроме того, мы уже выяснили, что площадь стены, закрашенная Марией и Ромилем вместе = 4/5

Следовательно,

Пространство стены, которое осталось покрасить = Общая площадь стены  – Пространство стены, окрашенное 

Получаем незакрашенное пространство = (5 – 4)/ 5 = 1/5

Следовательно, Мария и Ромил вместе покрасили 4/5 площади стены, а незакрашенная площадь комнаты составила 1/5.

Пример 2 Даниэль купил 2,5 кг сахара, а Сэм купил 3,5 кг сахара. Найдите общее количество сахара, купленного ими обоими.

Решение Нам известно, что Даниэль купил 2,5 кг сахара, а Сэм купил 3,5 кг сахара. Требуется найти общее количество сахара, купленного ими обоими.

Чтобы найти ответ на поставленную выше задачу, давайте сначала разберемся с данными нам значениями дробей.

Сахар, купленный Даниэлем = 2 ½ кг

Сахар, купленный Сэмом = 3 ½ кг

Можно ясно видеть, что обе дробные значения имеют один и тот же знаменатель, т.е. 2. Следовательно, первое, на что следует обратить внимание, это что они как дроби.

Теперь, чтобы найти стоимость всего купленного ими сахара, нам нужно сложить две дроби. Мы продолжим складывать эти дроби, добавляя числители, как мы узнали выше.

Но перед этим важно понимать, что данные дроби — смешанные дроби. Сначала нам нужно преобразовать их в неправильные дроби. Следовательно,

2 ½ кг = 5/2 кг и 3 ½ кг = 7/2 кг

Итак, общее количество сахара, купленного ими обоими = Сахар, купленный Даниэлем + Сахар, купленный Сэмом

Теперь, сложив их числители, мы имеем 5 + 7 = 12

Следовательно, 5 / 2 + 7 / 2 = 12 / 2 = 6 кг

Следовательно, Дэниел и Сэм вместе купили 6 кг сахара.

Пример 3 Складываем дроби $\frac{5}{30} + \frac{7}{30}$

Решение Нам даны дроби $\frac{5}{30} и \frac{7}{30}$. требуется найти их сумму.

Хорошо видно, что обе дробные величины имеют один и тот же знаменатель, то есть 30. Поэтому первое, на что следует обратить внимание, это то, что они подобны дробям.

Первое, что нам нужно сделать, это сложить числители обеих дробей.

Получим, 5 + 7 = 12

Следовательно, $\frac{5}{30} + \frac{7}{30} = \frac{12}{30}$

Выше Ответ можно упростить, взглянув на числитель и знаменатель дроби. Мы видим, что числитель и знаменатель дроби делятся на 2 и 6. Однако мы всегда хотим, чтобы наибольший общий делитель уменьшал дробь до ее наименьшего члена.

Следовательно, найдем наибольший общий делитель 12 и 30.

Мы знаем, что

12 = 2 x 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

Из приведенного выше видно, что наибольший общий делитель двух чисел, 12 и 30 = 6

Разделив числитель и знаменатель на 6, мы получим

$\frac{12}{30} = \frac{12 ÷6}{30 ÷ 6} = \frac{2}{5}$ , что является простейшей формой.

Следовательно, $\frac{5}{30} + \frac{7}{30} = \frac{2}{5}$

Пример 4 Вычесть дроби $\frac{10}{27} – \frac{4}{27}$

Решение Нам даны дроби $\frac{10}{27} и \ frac{4}{27}$, и нам нужно найти их разность.

Хорошо видно, что обе дробные величины имеют один и тот же знаменатель, то есть 27. Поэтому первое, на что следует обратить внимание, это то, что они подобны дробям. Итак, две дроби имеют одинаковые знаменатели, что означает, что мы должны легко вычесть их числители.

$\frac{10}{27} – \frac{4}{27} = \frac{10-4}{27}  = \frac{6}{27}$ 

Приведенный выше ответ можно упростить. глядя на числитель и знаменатель дроби. Мы видим, что числитель и знаменатель дроби делятся на 3. Однако мы всегда хотим убедиться, что мы используем наибольший общий делитель, чтобы сократить дробь до ее наименьшего члена.

Итак, найдем наибольший общий делитель 6 и 27

Мы знаем, что

6 = 2 x 3

27 = 3 x 3 x 3

Из приведенного выше видно, что наибольший общий делитель двух чисел, 6 и 27 = 3

Разделив числитель и знаменатель на 3, мы получаем

$\frac{6}{27} = \frac{6 ÷3}{27 ÷3} = \frac{2}{9}$, что является простейшей формой.

Следовательно, $\frac{10}{27} – \frac{4}{27} = \frac{2}{9}$

Пример 5 Вычесть дроби $\frac{21}{ 81} и \frac{3}{81}$

Решение Поскольку знаменатели двух дробей равны, вычтите их числители и скопируйте общий знаменатель. Мы получим,

$\frac{21}{81} – \frac{3}{81} = \frac{21-3}{81} = \frac{18}{81}$

Приведенный выше ответ можно упростить, взглянув на числитель и знаменатель дроби. Мы видим, что числитель и знаменатель дроби делятся на 3. Однако мы всегда хотим, чтобы наибольший общий делитель уменьшал дробь до ее наименьшего члена.

Следовательно, найдем наибольший общий делитель чисел 18 и 81

Мы знаем, что

18 = 3 x 2 x 3

81 = 3 x 3 x 3 x 3

Из приведенного выше видно, что наибольший общий делитель двух чисел, 18 и 81 = 9

Разделив числитель и знаменатель на 9, мы получим

$\frac{18}{81} = \frac{18 ÷9}{81 ÷9} = \frac{2}{9}$

Следовательно, $\frac{21}{81} – \frac{3}{81} = \frac{2}{9}$