0.4 Упрощение выражений и порядок операций

Порядок операций

Порядок операций — это набор соглашений, используемых для обеспечения порядка, когда требуется использовать несколько математических операций для одного выражения. Вы можете вспомнить один из способов запомнить порядок операций: « P аренда E извините M y D ухо A unt S союзник» для P арендных плат, E компонентов, M умножение/ D видение и A сложение/ S вычитание.

Порядок операций

1. Сначала выполните все операции внутри группирующих символов, включая {}, [] и ().
2. Вычисление показателей степени или квадратных корней.
3. Умножение или деление слева направо.
4. Сложение или вычитание слева направо.

Когда вы применяете порядок операций к выражениям, содержащим дроби, десятичные дроби и отрицательные числа, вам также нужно будет вспомнить, как выполнять эти вычисления. 9{2}[/latex], 7 — основание, 2 — показатель степени; показатель степени определяет, сколько раз основание умножается само на себя.)

Показатель степени представляет собой способ представления многократного умножения; порядок операций ставит его перед выполняются любые другие умножение, деление, вычитание и сложение. В следующем разделе математического обзора подробно рассматриваются правила экспоненты. Примеры порядка операций с экспонентами появятся на следующей странице под заголовком «Экспоненты»

Символы группировки

Символы группировки, такие как круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ], фигурные скобки [latex] \displaystyle \left\{ {} \right\}[/latex] и дроби, можно использовать для дальнейшего контроля порядка из четырех арифметических операций. Правила порядка операций требуют, чтобы сначала выполнялись вычисления внутри символов группировки, даже если вы выполняете сложение или вычитание внутри символов группировки и у вас есть умножение вне символов группировки. После вычисления внутри группирующих символов разделите или умножьте слева направо, а затем вычтите или прибавьте слева направо. При наличии группирующих символов внутри группирующих символов расчет производится изнутри наружу. То есть сначала начните упрощение внутри самых внутренних группирующих символов. 92]}{2}}[/latex]

Показать решение

Упрощение составных выражений с помощью действительных чисел

В этом разделе мы воспользуемся навыками из предыдущего раздела для упрощения математических выражений, содержащих множество символов группировки и множество операций. Мы используем термин составной для описания выражений, которые имеют много операций и много символов группировки. С этими выражениями нужно быть более осторожным, когда вы применяете порядок операций. Кроме того, вы увидите, как обрабатывать термины с абсолютными значениями при упрощении выражений.

Распределяющее свойство

Скобки используются для группировки или объединения выражений и терминов в математике. Вы можете увидеть, как они используются, когда вы работаете с формулами и когда вы переводите реальную ситуацию в математическую задачу, чтобы найти количественное решение.

Следующее определение описывает, как использовать свойство распределения в общих чертах.

Распределительное свойство умножения

Для всех действительных чисел a, b, и c , [латекс]а(б+с)=аб+ас[/латекс].
Это означает, что когда выражение, заключенное в скобки, умножается на число, вы можете распределить умножение на каждый член выражения отдельно.

Для упрощения  [латекс]3\влево(3+у\вправо)-у+9[/латекс] может помочь увидеть выражение, переведенное в слова:

умножить три на (сумму трех и у) , затем вычтите у, затем прибавьте 9

Чтобы умножить три на сумму трех и у, вы используете распределительное свойство –

[латекс]\begin{array}{c}\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\left(3+y\right)-y+9\\\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,=\underbrace{3\cdot{3}}+\underbrace{3\cdot{y}}-y+9\\=9+3y-y+ 9\end{array}[/latex]

Теперь вы можете вычесть y из 3y и прибавить 9 к 9.

[latex]\begin{array}{c}9+3y-y+9\\=18+ 2y\end{array}[/latex]

Абсолютное значение

Выражения с абсолютным значением — это последний метод группировки, который вы можете увидеть. Напомним, что абсолютное значение количества всегда положительно или равно 0.

Когда вы видите выражение абсолютного значения, включенное в более крупное выражение, обработайте абсолютное значение как символ группировки и сначала оцените выражение внутри знака абсолютного значения. Затем возьмите абсолютное значение этого выражения. Пример ниже показывает, как это делается.

Порядок операций — Статистика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

4725

• Ларри Грин
• Общественный колледж Лейк-Тахо

Результаты обучения

1. Используйте порядок операций для правильного выполнения многошаговой арифметики
2. Примените порядок операций к сложным вопросам, связанным со статистикой.

Когда нам дается несколько арифметических операций в рамках вычисления, существует установленный порядок, в котором мы должны выполнять их в зависимости от того, как написано выражение. Понимание этих правил особенно важно при использовании калькулятора, так как калькуляторы запрограммированы на строгое соблюдение порядка операций. Это встречается в каждой теме статистики, поэтому знание порядка операций является важным навыком для всех успешных студентов, изучающих статистику.

Порядок операций следующий:

1. P арентес
2. E экспоненты
3. M умножение и D ivision
4. Дополнение A и удаление S

При равенстве очков действует правило слева направо.

Обратите внимание, что умножение и деление перечислены вместе как элемент 3. Если вы видите умножение и деление в одном и том же выражении, правило должно идти слева направо.

Точно так же, если вы видите сложение и вычитание в одном и том же выражении, правило состоит в том, чтобы идти слева направо. То же самое касается двух одинаковых арифметических операторов. 92=9\) первый. Теперь у нас есть

\[20-6\div3+\left(2\times9\right) \nonnumber\]

Продолжаем в круглых скобках и выполняем умножение: \(2\times9=18\).

Это дает

\[20-6\div3+18 \nonnumber\]

Поскольку деление предшествует сложению и вычитанию, мы затем вычисляем \(6\div3=2\), чтобы получить

\[20-2 +18 \nonumber\]

Поскольку вычитание и сложение связаны, мы идем слева направо. Считаем: \(20-2=18\), чтобы получить

\[18+18\:=36 \нечисло\]

Ключ к правильному ответу — не спешить и записывать каждый шаг арифметики.

Вы можете подумать, что раз у вас всегда под рукой калькулятор или компьютер, то вам не нужно беспокоиться о порядке операций. К сожалению, способ написания выражений отличается от способа их ввода в компьютер или калькулятор.

В частности, с показателями степени нужно обращаться осторожно, как и с чертами дробей.

9(6 — 2) = 19,4481

Пример \(\PageIndex{4}\): z-показатели

«z-оценка» определяется следующим образом:

\[z=\frac{x-\mu}{ \sigma} \nonumber\]

Найдите z-оценку, округленную до одного десятичного знака, если:

\[x=2,323,\:\mu=1,297,\:\sigma=0,241 \nonumber\]

Решение

Еще раз, если мы подставим эти числа в формулу z-оценки и воспользуемся компьютером или калькулятором, введя \(3,323\:-\:1,297\:\div\:0,241\), мы получим -0,259, что равно неправильный ответ. Вместо этого нам нужно знать, что черта дроби разделяет числитель и знаменатель, поэтому сначала нужно выполнить вычитание. Мы вычисляем

\[\frac{2.323-1.297}{0.241}\:=\left(2.323-1.297\right)\div0.241=\:4.25726141 \nonnumber\]

Теперь округлите до одного десятичного знака, чтобы получить 4,3. Обратите внимание, что если вы округлили до того, как сделали арифметику, вы получите ровно 5, что сильно отличается.