Что выполняется первым умножение или деление: Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками

Содержание

Действия какой ступени выполняются в первую очередь?

Ответьте на вопрос: —

Какой порядок действий при решении длинного выражения?

Порядок выполнения действий при решении выражения.

В математике последовательность выполнения действий разделена на две ступени:
к первой ступени относятся действия — сложение и вычитание, ко второй ступени — умножение и деление.
При нахождении значения выражения в первую очередь выполняются действия заключённые в скобки (если имеются), далее выполняются действия второй ступени и в последнюю очередь действия первой ступени.
Порядок действий обозначается слева направо.

Пример:

1. Слева направо обозначим действия в скобках.

2. Вернёмся к началу примера и снова продолжим слева направо обозначать теперь действия второй ступени.
Действия второй ступени — умножение и деление.

3. Вновь вернёмся к началу примера и снова продолжим слева направо обозначать теперь действия первой ступени.


Действия первой ступени — сложение и вычитание.

Всего 10 действий. Выполняем их по проставленному порядку.

Выполним действия в скобках:

18 + 8 : (27 - 25) - 2 · 8 + 4 · (6 + 4) + 16 : 8

  1. 27 - 25 = 2
  2. 6 + 4 = 10

    После выполнения действий в скобках выражение стало выглядеть так:

    18 + 8 : 2 - 2 · 8 + 4 · 10 + 16 : 8

    Теперь выполним все действия второй ступени — умножение и деление:

    18 + 8 : 2 - 2 · 8 + 4 · 10 + 16 : 8

  3. 8 : 2 = 4
  4. 2 · 8 = 16
  5. 4 · 10 = 40
  6. 16 : 8 = 2

    После выполнения действий второй ступени выражение стало выглядеть так:

    18 + 4 - 16 + 40 + 2

    Теперь выполним все действия первой ступени — сложение и вычитание:

    18 + 4 - 16 + 40 + 2

  7. 18 + 4 = 22
  8. 22 - 16 = 6
  9. 6 + 40 = 46
  10. 46 + 2 = 48

    18 + 8 : (27 - 25) - 2 · 8 + 4 · (6 + 4) + 16 : 8 = 48

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Рейтинг: ( 0 Рейтинг )

Порядок выполнения действий в математике: правила, примеры

В данной публикации мы рассмотрим правила в математике касательно порядка выполнения арифметических действий (в том числе в выражениях со скобками, возведением в степень или извлечением корня), сопроводив их примерами для лучшего понимания материала.

Порядок выполнения действий

Отметим сразу, что действия рассматриваются от начала примера к его концу, т.е. слева направо.

Общее правило

сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение и вычитание полученных промежуточных значений.

Давайте подробно рассмотрим пример: 2 ⋅ 4 + 12 : 3.

Над каждым действием мы написали число, которое соответствует порядку его выполнения, т.е. решение примера состоит из трех промежуточных действий:

  • 2 ⋅ 4 = 8
  • 12 : 3 = 4
  • 8 + 4 = 12

Немного потренировавшись в дальнейшем можно все действия выполнять цепочкой (в одну/несколько строк), продолжая исходное выражение. В нашем случае получается:

2 ⋅ 4 + 12 : 3 = 8 + 4 = 12.

Если подряд идут несколько действий умножения и деления, то они также выполняются подряд, и их можно объединить при желании.

Решение:

  • 5 ⋅ 6 : 3 = 10 (совместное выполнение действий 1 и 2)
  • 18 : 9 = 2
  • 7 + 10 = 17
  • 17 – 2 = 15

Цепочка примера:

7 + 5 ⋅ 6 : 3 – 18 : 9 = 7 + 10 – 2 = 15.

Примеры со скобками

Действия в скобках (если они есть) выполняются в первую очередь. А внутри них действует все тот же принятый порядок, описанный выше.

Решение можно разбить на действия ниже:

  • 7 ⋅ 4 = 28
  • 28 – 16 = 12
  • 15 : 3 = 5
  • 9 : 3 = 3
  • 5 + 12 = 17
  • 17 – 3 = 14

При расстановке действий выражение в скобках можно условно воспринимать как одно целое/число. Для удобства мы выделили его в цепочке ниже зеленым цветом:

15 : 3 + (7 ⋅ 4 – 16) – 9 : 3 = 5 + (28 – 16) – 3 = 5 + 12 – 3 = 14.

Скобки в скобках

Иногда в скобках могут быть еще одни скобки (называются вложенными). В таких случаях сперва выполняются действия во внутренних скобках.

Раскладка примера в цепочку выглядит так:

11 ⋅ 4 + (10 : 5 + (16 : 2 – 12 : 4)) = 44 + (2 + (8 – 3)) = 44 + (2 + 5) = 51.

Возведение в степень/извлечение корня

Данные действия выполняется в самую первую очередь, т. е. даже до умножения и деления. При этом если они касаются выражения в скобках, то сначала производятся вычисления внутри них. Рассмотрим пример:

Порядок действий:

  • 19 – 12 = 7
  • 72 = 49
  • 62 = 36
  • 4 ⋅ 5 = 20
  • 36 + 49 = 85
  • 85 + 20 = 105

Цепочка примера:

62 + (19 – 12)2 + 4 ⋅ 5 = 36 + 49 + 20 = 105.

Формулы | ITstan.ru

Вычисления в таблицах производятся с помощью формул. Результат вычисления помещается в ячейку, в которой находится формула. При работе с Excel важно не производить никаких вычислений «в уме». Если ячейка таблицы содержит производные данные, следует занести в ячейку формулу, которая их вычисляет. Вычисление результата вручную и занесение его в таблицу в виде числа – неправильная операция, последствия которой проявятся не сразу и могут вызвать ошибки при работе с таблицей.

Основные свойства формул:

  • полученное в результатах расчетов значение может быть использовано в других вычислениях;

  • результат вычислений может быть представлен в научных единицах;

  • точность расчета вычислений обеспечивается в пределах первых пятнадцати цифр.

Формула начинается со знака равно = и представляет собой совокупность математических операторов, чисел, ссылок на ячейки и функций. Чтобы задать ссылку на ячейку, нужно указать в формуле ее имя (адрес).Это можно сделать вручную или щелчком по соответствующей ячейке по ходу ввода формулы. По окончании ввода формула в таблице не отображается, вместо нее в ячейке размещается вычисленное значение.

Чтобы вывести все формулы на экран можно воспользоваться сочетанием клавиш <Ctrl>+<`>.

При вычислениях с помощью формул соблюдается принятый в математике порядок выполнения арифметических операций.

Формулы состоят из операторов и операндов, расположенных в определенном порядке. В качестве операндов используются данные, а также ссылки отдельных ячеек или диапазонов ячеек. Операторы в формулах обозначают действия, производимые с операндами. В зависимости от используемых операторов различают арифметические (алгебраические) и логические формулы. возведение в степень.

Каждая формула в электронной таблице содержит несколько арифметических действий с ее компонентами. Установлена последовательность выполнения арифметических операций. Сначала выполняется возведение в степень, затем - умножение и деление и только после этого - вычитание и сложение. Если вы выбираете между операциями одного уровня (например, между умножением и делением), то следует выполнять их слева направо. Нормальный порядок выполнения операций изменяют введением скобок. Операции в скобках выполняются первыми.

Арифметические формулы могут также содержать операторы сравнения: равно (=), не равно (< >), больше (>), меньше (<), меньше или равно (<=), больше или равно (>=). Результатом вычисления арифметической формулы является число. Операции сравнения при записи в формулах выполняются в последнюю очередь после всех математических действий.

Логические формулы могут содержать указанные операторы сравнения, а также специальные логические операторы: логическое отрицание "НЕ", логическое "И", логическое "ИЛИ".

Логические формулы определяют, выражение истинно или ложно, и таким образом, вычисление логической формулы заканчивается получением оценки "Истина" или "Ложь" .

Пример. Приведем несколько примеров вычисления арифметических и логических формул по следующим данным:

A

B

C

1

3

5

2

2

3

12

1

3

4

7

6

Формула

Резуль­тат

Объяснение

=А1+В1*3

18

Содержимое ячейки В1 умножается на 3, и результат складывается с содержимым ячейки А1. С1-В2/А3

22

Содержимое ячейки В1 возводится в степень, определяемую содержимым ячейки С1, затем определяется частное от деления содержимого ячейки В2 на содержимое ячейки А3. Полученное частное вычитается из первого результата. (Возведение в степень выполняется первым, затем выполняется деление и только потом - вычитание).

=ИЛИ(А1>0;C3>0)

1

Поскольку содержимое ячеек А1 (3>0) и С3 (6>0) представляет собой положительные числа, всему выражению присваивается величина 'Истина'.

По умолчанию электронная таблица вычисляет формулы при их вводе, пересчитывает их повторно при каждом изменении входящих в них исходных данных.

Иногда бывает нужно получить значение формулы, которое бы в дальнейшем автоматически не пересчитывалось. Например, если мы хотим вставить в документ дату и время его создания при помощи функции ТДАТА. Чтобы функция не пересчитывалась при общем пересчёте листа (в том числе в момент его открытия), можно сделать следующее: скопировать эту ячейку и вставить обратно с помощью специальной вставки, указав, что вставлять будем только значение.

Порядок операций - элементарная математика

Уменьшение неоднозначности по соглашению

В общем, никто не хочет, чтобы его неправильно понимали. В математике настолько важно, чтобы читатели понимали выражения именно так, как задумал писатель, что математика устанавливает соглашения, согласованные правила для интерпретации математических выражений.

Означает ли 10-5-3, что мы начинаем с 10, вычитаем 5, а затем вычитаем еще 3, оставляя 2? Или это означает, что мы вычитаем 5–3 из 10?
Равно ли 2 + 3 × 10 50, потому что 2 + 3 равно 5, а затем мы умножаем на 10, или автор намеревается прибавить 2 к результату 3 × 10?

Чтобы избежать этих и других возможных двусмысленностей, математика установила соглашения (соглашения) о том, как мы интерпретируем математические выражения. Одно из этих соглашений гласит, что когда все операции одинаковы, мы переходим слева направо, поэтому 10 - 5 - 3 = 2, поэтому писатель, которому нужна другая интерпретация, должен был бы написать выражение по-другому: 10 - (5 - 2). Когда операции не такие, как в 2 + 3 × 10, некоторым может быть отдано предпочтение перед другими. В частности, умножение выполняется перед сложением, независимо от того, что появляется первым при чтении слева направо. Например, в 2 + 3 × 10 умножение должно быть выполнено первым, даже если оно отображается справа от сложения, а выражение означает 2 + 30.

См. Полные правила порядка операций ниже.

Правила чтения и записи математических выражений

Основной принцип: «более мощные» операции имеют приоритет перед «менее мощными».

Использование числа в качестве показателя степени (например, 58 = 390625), как правило, дает «самый мощный» эффект; использование того же числа в качестве множителя (например, 5 × 8 = 40) дает более слабый эффект; сложение, как правило, имеет самый «слабый» эффект (например, 5 + 8 = 13). Хотя эти термины (мощный, слабый) не используются в математике, их смысл сохраняется в языке «возведения 5 в 8-ю степень». Возведение в степень - это «мощный инструмент», и поэтому оно на первом месте! Сложение / вычитание «слабые», поэтому они идут последними. Умножение / деление - промежуточное звено.

Когда важно указать другой порядок , как это иногда бывает, мы используем круглые скобки для упаковки чисел и более слабую операцию, как если бы они представляли одно число.

Например, в то время как 2 + 3 × 8 означает то же самое, что и 2 + 24 (поскольку умножение имеет приоритет и выполняется первым), (2 + 3) × 8 означает 5 × 8, потому что (2 + 3) является Пакетная сделка, количество, которое необходимо выяснить перед его использованием.Фактически (2 + 3) × 8 часто произносится как «два плюс три, количество, умноженное на восемь» (или «количество два плюс три, умноженное на восемь»).

Сводка правил:

  • Сначала круглые скобки. Обращение к ним как к «пакетам» часто помогает детям вспомнить свою цель и роль.
  • Показатели следующей.
  • Умножение и деление дальше. (Ни один из них не имеет приоритета, и когда они идут подряд, они выполняются слева направо.)
  • Сложение и вычитание в последнюю очередь.(Опять же, ни один из них не имеет приоритета, и последовательность из них выполняется слева направо.)

Распространенные заблуждения

Многие студенты изучают порядок операций, используя PEMDAS (круглые скобки, экспоненты, умножение, деление…) в качестве вспомогательного средства для запоминания. Это очень часто приводит к неправильному представлению о том, что умножение предшествует делению, а сложение предшествует вычитанию. Понимание принципа, вероятно, является лучшим помощником для запоминания.

Объяснение урока: Порядок операций в числовых выражениях с десятичными знаками

Пример 3: Вычисление десятичного выражения с использованием порядка операций

Вычислить (0. 2) × 4 (13 + 7) −5.

Ответ

В этом расчете у нас есть два набора круглых скобок. Мы можем заметить, что круглые скобки около (0,2)  помогают поддерживать ясность того, какая часть выражение является основанием экспоненты. (0.2)  имеет тот же смысл, что и 0,2. Поскольку это показатель степени, мы оценим это на следующем шаге, после любых других скобок.

Используя порядок операций, первая операция для вычисления - это сложение, содержащееся в скобках (13 + 7).

Так как у нас 13 + 7 = 20, мы можем заменить это в вычисление дает 0,2 × 4 (13 + 7) −5 = 0,2 × 4 (20) −5.

Поскольку член 4 (20)  представляет 4 × 20, мы можем записать расчет как 0,2 × 4 (13 + 7) −5 = 0,2 × 4 (20) −5 = 0,2 × 4 × 20−5.

Следующим шагом в последовательности операций является вычислить показатели. С 0,2 = 0,2 × 0,2, напомним, что при умножении десятичных знаков мы удалите десятичную точку и считайте числа целыми числами и умножьте. Мы тут вычислить 2 × 2 = 4. Чтобы найти ответ на 0,2 × 0,2, мы ставим десятичную запятую в ответ, 4, чтобы он был таким же количество десятичных знаков как сумма десятичных знаков в исходных числах. Этот означает, что в нашем ответе должно быть два десятичных знака, поэтому цифра 4 будет в сотый столбец.

Следовательно, 0,2 = 0,2 × 0,2 = 0,04.

Заменяя это в наших расчетах, мы получаем 0,2 × 4 × 20−5 = 0,04 × 4 × 20−5.

У нас есть еще два экспоненты для вычисления, 20 и 5.Так как 20 = 4005 = 25,  и 0,04 × 4 × 20−5 = 0,04 × 4 × 400−25.

В порядке операций после экспонент у нас есть умножение и деление. С тех пор, как мы 0,04 × 4 × 400, мы вычисляем это в порядке слева направо верно. Чтобы оценить 0,04 × 4, мы убираем десятичную точку с 0,04. и рассмотрим расчет 4 × 4 = 16. Поскольку наш ответ будет иметь два десятичных знака, имеем 0,04 × 4 = 0,16.

Мы можем заменить это в наших расчетах, чтобы получить 0. 04 × 4 × 400-25 = 0,16 × 400-25.

Чтобы оценить 0,16 × 400, снова убираем десятичную точку, чтобы вычислить 16 × 400 = 6400 и вставить десятичную точку так, чтобы 6400 имеет 2 десятичных знака, что дает 0,16 × 400 = 64,00 = 64.

Заменив это в наших расчетах, мы получим 0,16 × 400-25 = 64-25.

Итак, мы можем оценить этот последний расчет и дать 64-25 = 39.

Это дает нам окончательный ответ: (0,2) × 4 (13 + 7) −5 = 39.

Алгебра - использование круглых скобок

В алгебраических уравнениях круглые скобки используются для группировки чисел или символов вместе.2 = 7 × 7 = 49.

При использовании более сложных уравнений, которые могут объединять несколько членов и использовать несколько операций, группировка членов вместе помогает организовать уравнение. Скобки () чаще всего используются при группировке, но вы также можете видеть квадратные скобки, []. Когда термин или выражение находится внутри одного из этих группирующих символов, это означает, что любая операция, указанная для выполнения в группе, выполняется для всего термина или выражения. 2].2] Сначала завершите операции внутри скобок ().

N = 2 × [3 + 49]

N = 2 × [52] Во-вторых, завершите операции внутри скобок [].

N = 104

Порядок операций

В алгебре установлены правила для порядка, в котором оцениваются операции. Эти же общепринятые правила используются также при программировании алгебраических уравнений в калькуляторах. При решении следующего уравнения порядок действий приведен ниже:

1.2 - 4 + 3 × [13] + √25 + 84 ÷ 4 + 3⁄4

2. Показатели. Затем удалите все экспоненты. Считайте любые корни (квадратные, кубические и т. Д.) Показателями степени. Заполнение степеней и корней в уравнении дает следующее:

N = 64 + 36 - 4 + 3 × 13 + 5 + 84 ÷ 4 + 3⁄4

3. Умножение и деление. Оцените все умножения и деления слева направо. Умножайте и делите слева направо за один шаг. Распространенной ошибкой является использование для этого двух шагов (то есть, чтобы очистить все знаки умножения, а затем очистить все знаки деления), но это неправильный метод.Считайте дроби делением. Завершение умножения и деления в уравнении дает следующее:

N = 64 + 36 - 4 + 39 + 5 + 21 + 3⁄4

4. Сложение и вычитание. Оценивайте сложение и вычитание слева направо. Как и выше, сложение и вычитание вычисляются слева направо за один шаг. Завершение сложения и вычитания в уравнении дает следующее:

X = 161 3⁄4

Порядок действий для алгебраических уравнений
  1. Круглые скобки
  2. Показатели
  3. Умножение и деление
  4. Сложение и вычитание

Используйте аббревиатура PEMDAS для запоминания порядка действий в алгебре.PEMDAS - это аббревиатура от скобок, показателей степени, умножения, деления, сложения и вычитания. Чтобы запомнить это, многие используют фразу: «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли». Однако всегда помните, что умножать / делить или складывать / вычитать нужно за один проход слева направо, а не по отдельности.

Летный механик рекомендует

Порядок операций с целыми числами: Урок для детей - класс математики [2021]

Две смешанные операции

Попрактикуемся в использовании правил для решения этой задачи: 12 + 2 x 3.Согласно порядку операций, мы должны работать сначала с числами в круглых скобках, а потом с показателями степени, но, поскольку их нет, мы можем двигаться дальше. Затем мы переходим к умножению, и, поскольку в задаче есть умножение, мы начнем с него.

В следующем примере мы решаем задачу, в которой есть только умножение и деление, поэтому мы начинаем решать слева направо.

Три или более смешанных операций

Теперь давайте попробуем решить проблемы, включающие три или более операций.Начнем с решения: 12 x 3 - 2 + 6.

По порядку действий. Сначала идут операции в круглых скобках и экспонентах, но, поскольку их снова нет, мы перейдем к умножению.

В приведенном выше примере, когда оставались единственные операции сложения и вычитания, мы начали решение слева направо.

Давайте решим еще одну задачу: 20/2 - 3 x 3 + 1.

Так как у нас есть три операции, нам нужно выполнить их по порядку.Во-первых, нам нужно выполнить умножение, потому что умножение должно выполняться перед делением, если задействована другая операция, в данном случае сложение и вычитание.

1.) 20/2 - 3 x 3 + 1.

2.) Умножьте 3 x 3, что даст нам 9 и следующее уравнение: 20/2 - 9 + 1.

3.) Разделите 20/2, что даст нам 10 и следующее уравнение: 10 - 9 + 1

4.) Теперь, когда остались только операции сложения и вычитания, мы решаем последнюю часть задачи, начиная слева направо: 10 - 9 = 1.

5.) 1 + 1 = 2. Наше окончательное решение - 2.

Резюме урока

Когда вам нужно решить задачу со смешанными операциями, просто запомните следующую рифму: Не бойтесь, порядок операций проясню. Вот такой порядок: скобки, показатели, умножение, деление, сложение и вычитание.

Но подождите, из этого порядка есть исключения.

admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *