Каково правило умножения и деления? – Обзоры Вики

Поскольку деление является обратным умножению, правила деления такие же, как и правила умножения. Поэтому при умножении и делении положительных и отрицательных чисел помните следующее: Если знаки одинаковый ответ положительный, если знаки разные ответ отрицательный.

Вы сначала делите или умножаете? Все выражения должны быть упрощены в этом порядке. Единственным исключением является то, что умножение и деление могут выполняться одновременно. вам разрешено делить, прежде чем вы умножаете, и то же самое касается сложения и вычитания. Однако умножение и деление ДОЛЖНЫ предшествовать сложению и вычитанию.

Дополнительно Что такое правило MDAS в математике? MDAS означает Умножение, деление, сложение и вычитание. Это часть Порядка операций, набора правил, определяющих последовательность упрощения математических операций. Он используется, когда выражение или уравнение имеют более одной операции.

Что такое правило Бодмаса? Правило Бодмаса соответствует порядку аббревиатуры БОДМАС, т.е. B – скобки, O – порядок степеней или корней, D – деление, M – умножение, A – сложение и S – вычитание.. Правило BODMAS гласит, что математические выражения с несколькими операторами необходимо решать слева направо в порядке BODMAS.

Что правильно MDAS или DMAS?

Это не MDAS. На самом деле это DMAS, что означает деление, умножение, сложение и вычитание. В математике это правило соблюдается, что означает, что в уравнении или задаче порядок упрощения будет в указанном выше формате.

Что на первом месте: сложить или умножить? Порядок операций говорит вам выполнить умножение перед сложением. Затем добавьте. Упростите 20 – 16 ÷ 4. Порядок операций говорит вам выполнить деление перед вычитанием.

Что означает N в математике? Натуральные числа, подсчет чисел. Буква (N) — это символ, используемый для обозначения натуральных чисел. Натуральные числа также известны как счетные числа, и они начинаются с цифры 1 и продолжаются до бесконечности (никогда не заканчиваются), что обозначается тремя точками (…).

Как решить Бодмас?

Согласно правилу BODMAS, в данном математическом выражении, содержащем комбинацию знаков: скобки ((), {},, -), умножение, из, сложение, вычитание, деление, мы должны сначала решить или упростить скобки затем of (степени и корни и т. д.), of, затем деление, умножение, сложение и вычитание…

Также Что такое правило Бодмаса для детей? Правило BODMAS является аббревиатурой от помочь детям запомнить порядок действий в вычислениях. Операции — это просто разные вещи, которые мы можем делать с числами в математике. Это означает «скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание». ‘

Верно ли правило Бодмаса?

Его буквы обозначают скобки, порядок (значение полномочий), деление, умножение, сложение, вычитание. … Он не содержит скобок, степеней, деления или умножения, поэтому мы будем следовать BODMAS и делать сложение с последующим вычитанием: это ошибочно. Правильное значение 3.

Как вы решаете MDAS и Pemdas?

Как рассчитывается MDAS?

MDAS = Умножение, деление, сложение и вычитание.

Какие четыре математических правила? Четыре правила математики: сложение, вычитание, умножение и деление. На следующих веб-страницах вы можете узнать, как это сделать вручную (без калькулятора), а также другую важную информацию о порядке приоритета этих операций.

Каковы четыре правила умножения? Каковы правила умножения?

• Любое число, умноженное на ноль, всегда равно нулю. …
• Любое число, умноженное на единицу, всегда является одним и тем же числом. …
• Добавьте ноль к исходному числу при умножении на 10. …
• Порядок факторов не влияет на произведение. …
• Произведения всегда положительны при умножении чисел с одинаковыми знаками.

Каков правильный порядок математических операций?

Порядок операций — это правило, указывающее правильную последовательность шагов для вычисления математического выражения. Мы можем запомнить порядок с помощью PEMDAS: Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление (слева направо), сложение и вычитание (слева направо).

Является ли ноль действительным числом? На самом деле реальные числа — это практически любые числа, которые только можно придумать. … Действительные числа могут быть положительными или отрицательными, и включить число ноль. Их называют действительными числами, потому что они не являются мнимыми, а это другая система чисел.

Что такое домен Z?

Z-домен комплексная область, также известная как комплексная частотная область, состоящий из реальной оси (ось x) и мнимой оси (ось y). Сигнал обычно определяется как последовательность действительных или комплексных чисел, которая затем преобразуется в Z-область в процессе преобразования z.

Является ли ноль целым числом? Целые числа — это числа 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. (натуральные числа и нуль). Отрицательные числа не считаются «целыми числами». Все натуральные числа являются целыми числами, но не все целые числа являются натуральными числами, так как ноль — это целое число, но не натуральное число.

Как вы делаете бодмы без скобок?

Если скобок нет, начните решение от «порядка» или «из‘ с последующим делением или умножением (то, что идет первым слева направо), затем сложением или вычитанием (то, что идет первым слева направо).

Какую скобку вы решите в первую очередь?

Согласно правилу BODMAS, если выражение содержит скобки ((), {}, []) мы должны сначала решить или упростить скобку, за которой следует «порядок» (что означает степени и корни и т. д.), затем деление, умножение, сложение и вычитание слева направо.

Когда Бодмасу обучали в школах? Этот принцип преподавался в моих школах в 1958 когда я учился в эквиваленте 6-го класса (5-й класс для читателей из США). Это было настолько базовым, что предполагалось знание для уровня O, который был получен в 11-м классе.

В какой стране используется Бодмас?

Наиболее распространенный в Великобритания, Пакистан, Индия, Бангладеш и Австралия и в некоторых других англоязычных странах это BODMAS, означающее скобки, порядок, деление/умножение, сложение/вычитание или скобки, деление/умножение, сложение/вычитание. Нигерия и некоторые другие страны Западной Африки также используют BODMAS.

Пемдас и Бодмас — одно и то же?

PEMDAS и BODMAS абсолютно идентичны; это разные названия одного и того же набора правил. В BODMAS вы не всегда делаете «деление перед умножением», а в PEMDAS вы не всегда делаете «умножение перед делением».

Кто открыл умножение? Четыре тысячи лет назад, вавилоняне изобрел умножение. В прошлом месяце математики усовершенствовали его. 18 марта два исследователя описали самый быстрый из когда-либо обнаруженных методов умножения двух очень больших чисел.

Объяснение урока: Сочетание правил произведения, частного и цепочки

В этом объяснении мы узнаем, как найти первую производную функция с использованием комбинаций произведения, частного и цепных правил.

Многие функции можно составить из более простых функций, комбинируя их в одним или несколькими из следующих способов:

• сложение и вычитание: 𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥) и 𝑢(𝑥)−𝑣(𝑥),
• умножение и деление: 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) и 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥),
• состав: 𝑢(𝑣(𝑥)).

К счастью, мы помним, что существуют правила дифференцирования функций, которые формируются этими способами. Для сложения и вычитания мы можем использовать линейность производной; для умножения и деления у нас есть правило произведения и факторное правило; для композиции мы можем применить цепное правило. Давайте рассмотрим эти правила.

Правило: Правила дифференцирования

Для дифференцируемых функций 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥) и константы 𝑎,𝑏∈ℝ, имеем следующие правила:

• Линейность : (𝑎𝑢(𝑥)+𝑏𝑣(𝑥))′=𝑎𝑢′(𝑥)+𝑏𝑣′(𝑥).
• Правило произведения : (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥).
• Частное правило : для 𝑣(𝑥)≠0, 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)(𝑣(𝑥)).
• Цепное правило : (𝑢(𝑣(𝑥)))′=𝑢′(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥).

Эти правила можно использовать не только по отдельности, но и в связи друг с другом, что позволяет различать любую комбинацию элементарные функции. Однако мы должны понимать, что это часто не тривиальное упражнение, и может быть сложно определить правильные правила для применяются, лучший порядок их применения и существуют ли алгебраические упрощения, облегчающие процесс. В этом объяснителе мы рассмотрим ряд примеров, которые подчеркнут навыки, которые нам нужны ориентироваться в этом ландшафте.

Рассмотрим пример дифференцирования сложной функции, объединяющей множество различных операций вместе, и как мы можем справиться с дифференциацией путем разделение его на отдельные части. Предположим, у нас есть 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥−3𝑥+6+√2𝑥−5.

На первый взгляд это может показаться невозможным, но мы можем разбить его на части. Как правило, лучший способ сделать это — начать с рассмотрения самых внешних слой первый и работает внутрь. Если мы это сделаем, то увидим, что это сумма из двух функций: 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥−3𝑥+6+√2𝑥−5=𝑔(𝑥)+ℍ(𝑥). ()()

Используя линейность дифференцирования, это означает, что мы можем дифференцировать 𝑔(𝑥) и ℎ(𝑥) по отдельности, а затем сложите их вместе. Если мы рассмотрим 𝑔(𝑥) отдельно таким образом, мы можем видеть, что 𝑔(𝑥)=𝑥+4𝑥−3𝑥+6=(𝑢(𝑥)).()

Другими словами, 𝑔(𝑔 ) представляет собой композицию функции, поэтому мы можем применить цепное правило, чтобы помочь нам дифференцировать его.

Это из означает, что нам нужно найти производную от 𝑢(𝑥), но его тоже можно разбить на более мелкие части. Продолжая этот процесс, мы можем продолжать удалять слои сложности. из функции, пока мы не придем к элементарным выражениям, которые мы знаем, как дифференцировать. Наглядно это можно представить следующим образом.

Обратите внимание, что все функции в нижней части дерева — это функции, которые мы можно легко дифференцировать. Таким образом, мы видим, что, применяя соответствующие правил на каждом этапе, мы можем найти производные даже самых сложных функции.

Теперь мы рассмотрим несколько примеров, где мы применяем этот подход, хотя и для чуть более простые случаи. Для начала рассмотрим полином высокой степени функция, которая была учтена.

Пример 1. Нахождение первой производной полиномиальной функции в точке с помощью Правила продукта и цепочки

Найдите первую производную от 𝑦=(𝑥−5)(𝑥−2) в точке (1,−4).

Ответ

Давайте сначала проанализируем данную функцию и посмотрим, какие правила мы можем применить к ней. это. Поскольку это полиномиальная функция, мы могли бы расширить все скобки через умножение и взять производные от отдельные компоненты, но это потребовало бы большого количества расчетов. Вместо этого было бы более эффективно разделить его на части, объединив несколько правил дифференцирования вместе. Прежде всего отметим, что это является произведением функций: 𝑦=(𝑥−5)(𝑥−2)=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥).()()

Вспомним, что правило произведения говорит нам, что производная произведения две дифференцируемые функции задаются выражением (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥).

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно знать производные 𝑢′(𝑥) и 𝑣′(𝑥). Первую функцию, 𝑢(𝑥)=𝑥−5, можно дифференцировать используя правило степени, чтобы получить 𝑢′(𝑥)=1. Для 𝑣(𝑥), заметим, что это композиция функций: 𝑣(𝑥)=(𝑥−2)=(𝑔(𝑥)). ()

То есть, если 𝑓(𝑥)=𝑥 и 𝑔(𝑥)=𝑥−2, тогда 𝑣(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥)). Мы напомним, что производная композиции функций может быть найдена с помощью цепное правило, которое (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).

Используя правило степени, мы находим, что производная от 𝑓 равна 𝑓′(𝑥)=6𝑥 и производная от 𝑔 равно 𝑔′(𝑥)=1. Подставляя их в формуле выше (вместе с 𝑔(𝑥)=𝑥−2), мы получаем 𝑣′(𝑥)=𝑓′(𝑥−2)⋅1=6(𝑥−2).

Теперь, когда у нас есть и 𝑣′(𝑥), и 𝑢′(𝑥), мы можем заменить 𝑢(𝑥)=𝑥−5, 𝑣(𝑥)=(𝑥−2), 𝑢′(𝑥)=1, и 𝑣′(𝑥)=6(𝑥−2) в формулу правила продукта, чтобы получить дд𝑦𝑥=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)=1⋅(𝑥−2)+(𝑥−5)⋅6(𝑥−2)=(𝑥−2)(( 𝑥−2)+6(𝑥−5))=(𝑥−2)(7𝑥−32).

Наконец, нам нужно найти первую производную в точке (1,−4). Обратите внимание, что (1,−4) – координата точки на график, представляющий заданную функцию, и в этот момент 𝑥-координата равна 1. Таким образом, подставляем в 𝑥=1 найти dd𝑦𝑥|||=(1−2)(7⋅1−32)=(−1)(−25)=25.

Как видим, часто бывает полезно иметь возможность разбивать вниз функции в компоненты, с которыми мы можем работать индивидуально, используя продукт и цепочку правила. Рассмотрим еще один пример, когда нам выгодно совмещать разные правила вместе.

Пример 2. Дифференцирование комбинаций полиномиальных и корневых функций с помощью Правила продукта и цепочки

Найти dd𝑥5𝑥√2𝑥+2 при 𝑥=1.

Ответ

Нас попросили дифференцировать функцию, которая является комбинацией полиномиальные функции и функции квадратного корня, поэтому давайте подумаем, как лучше поступить с этим. Одна из возможностей — взять член 5𝑥 в квадратный корень. и используйте цепное правило, чтобы дифференцировать результирующую функцию квадратного корня. Другой способ состоит в том, чтобы признать, что это произведение функций, как показано ниже: 5𝑥√2𝑥+2=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥). ()()

Таким образом, поскольку 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥) — дифференцируемые функции, мы можем использовать правило продукта, которое гласит, что (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)+𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥).

Чтобы использовать это, мы должны вычислить 𝑢′(𝑥) и 𝑣′(𝑥). Прежде всего, 𝑢(𝑥)=5𝑥 можно дифференцировать с помощью степенное правило, чтобы получить 𝑢′(𝑥)=5. Для 𝑣(𝑥), мы не можем напрямую использовать правило мощности, но мы можем разбить его на части, признав, что это композиция функций следующим образом: 𝑣(𝑥)=2𝑥+2=√𝑔(𝑥).()

То есть 𝑣(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥)), где 𝑓(𝑥)=√𝑥 и 𝑔(𝑥)=2𝑥+2. Таким образом, мы можем использовать цепное правило, т. (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).

Теперь мы можем найти как 𝑓′(𝑥), так и 𝑔′(𝑥), используя правило степени, которое дает нам 𝑓′(𝑥)=12√𝑥,𝑔′(𝑥)=4𝑥.

Подставляя их в уравнение цепочки, мы получаем 𝑣′(𝑥)=12√𝑔(𝑥)⋅4𝑥=4𝑥2√2𝑥+2=2𝑥√2𝑥+2.



Взяв эту функцию для 𝑣′(𝑥), вдоль с 𝑢′(𝑥)=5, 𝑢(𝑥)=5𝑥 и 𝑣(𝑥)=√2𝑥+2, мы можем подставить их в уравнение правила произведения, чтобы получить дд𝑥5𝑥√2𝑥+2=5⋅√2𝑥+2+5𝑥⋅2𝑥√2𝑥+2=5√2𝑥+2+10𝑥√2𝑥+2.

Теперь вспомним, что нам нужно вычислить эту функцию в 𝑥=1. Делая это, мы получаем следующее решение: дд𝑥5𝑥√2𝑥+2||=5⋅√2⋅1+2+10⋅1√2⋅1+2=5√4+10√4=10+5=15. 

В первых двух примерах мы рассмотрели функции, требующие как правило продукта, так и правило цепи должны быть дифференцированы. В следующем примере мы будем рассматривать функцию, определенную в терминах полиномов и квадратного корня функции, где нам нужно будет использовать частное правило.

Пример 3. Дифференцирование функции, включающей рациональные функции, в точке с помощью Правила дифференцирования

Оцените dd𝑦𝑥 в (1,−1), если 𝑦=−2𝑥√3𝑥+1.

Ответ

В этом примере мы хотим определить первую производную заданного рациональной функции, применяя правила дифференцирования и оценивая это в точке (1,−1).

Поскольку нам, скорее всего, придется применять более одного правила дифференциация, будет полезно рассмотреть, в каком порядке мы хотим применить их внутрь. Лучший способ сделать это — рассмотреть самую внешнюю часть функционировать и посмотреть, как его можно разбить; если мы сделаем это, мы увидим, что данная функция является частным следующих функций: 𝑦=−2𝑥√3𝑥+1=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥).()()

Чтобы определить производную от этого, мы будем использовать правило отношения, которое утверждает, что для функции 𝑦=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), имеем, для 𝑣(𝑥)≠0, dd𝑦𝑥=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑣(𝑥).

Таким образом, мы можем определить производную данной функции, полагая 𝑢(𝑥)=−2𝑥 и 𝑣(𝑥)=√3𝑥+1 в числителе и знаменатель соответственно. Чтобы применить это правило, нам нужно оценить производные от 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥).

Производная от 𝑢(𝑥) является простой и можно найти из степенного правила как 𝑢′(𝑥)=−2. С 𝑣(𝑥) — композиция двух функций, 𝑓(𝑥)=√𝑥 и 𝑔(𝑥)=3𝑥+1, чтобы найти производную 𝑣(𝑥), мы будем использовать цепное правило, которое утверждает, что для составной функции 𝑓(𝑔(𝑥)) мы имеем (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).

Чтобы применить это правило, нам нужно вычислить производные от 𝑓 и 𝑔 относительно 𝑥, оба из которых можно найти с помощью приложения силовое правило следующим образом: 𝑓′(𝑥)=12√𝑥,𝑔′(𝑥)=6𝑥.

Подстановка этих выражений обратно в правило цепочки с помощью 𝑔(𝑥)=3𝑥+1, находим производную от 𝑣 относительно 𝑥 следующим образом: 𝑣′(𝑥)=3𝑥√3𝑥+1.

Подставляя 𝑢=−2𝑥, 𝑢′(𝑥)=−2, 𝑣(𝑥)=√3𝑥+1, и 𝑣′(𝑥), как показано выше, теперь мы можем применить частное правило следующим образом: dd𝑦𝑥=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑣(𝑥)=−2√3𝑥+1+2𝑥3𝑥+1.√900900 Умножая числитель и знаменатель на √3𝑥+1, мы можем упростить дробь, что даст нам dd𝑦𝑥=−23𝑥+1+2𝑥⋅3𝑥(3𝑥+1)√3𝑥+1=−6𝑥−2+6𝑥(3𝑥+1)√3𝑥+1=−2(3𝑥+1)√3𝑥+1 . 

Подстановка заданной точки 𝑥=1 в это выражение дает dd𝑦𝑥|||=−2(3+1)√3+1=−14.

До сих пор мы видели только примеры примеров, где оптимально применять правило произведения или частного, за которым следует цепное правило, но противоположный порядок может быть более естественным в зависимости от заданной функции. В каждом случае мы должны сделать уверен, что порядок, в котором мы применяем производные правила, имеет смысл. Давайте рассмотрим ситуацию, когда нам, возможно, придется изменить порядок применения правила.

Пример 4. Дифференцирование композиции рациональных функций и функций корня с помощью Цепные и частные правила

Если 𝑦=2𝑥+12𝑥−1, определить дд𝑦𝑥.

Ответ

Здесь нас попросили вычислить производную функции, которая представляется сочетанием различных функций. Так как мы, вероятно, придется использовать более одного правила дифференцирования, чтобы сделать это, мы должны начать рассматривая, какой из них применить в первую очередь. Мы делаем это, глядя на самая внешняя часть функции и работающая внутрь. Так как внешняя часть является квадратным корнем, мы можем видеть, что у нас есть 𝑦=2𝑥+12𝑥−1=√𝑣(𝑥).()

То есть 𝑦=𝑢(𝑣(𝑥)), где 𝑢(𝑥)=√𝑥 и 𝑣(𝑥)=2𝑥+12𝑥−1. Мы заметили что, поскольку это композиция дифференцируемых функций, мы можем использовать цепное правило, которое говорит, что (𝑢(𝑣(𝑥)))′=𝑢′(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥).

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно 𝑢′(𝑥) и 𝑣′(𝑥), первое из которых может быть просто получается с помощью правила мощности, чтобы получить 𝑢′(𝑥)=12√𝑥. Для последнее, мы можем видеть, что это частное дифференцируемых функций: 𝑣(𝑥)=2𝑥+12𝑥−1=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).()()

Следовательно, мы можем применить правило отношения. Напомним, что для 𝑔(𝑥)≠0, это 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)′=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)(𝑔(𝑥)).

Каждый из 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) — полиномиальная функция, поэтому мы можем дифференцировать их по силовому правилу. Это дает нам 𝑓′(𝑥)=6𝑥,𝑔′(𝑥)=6𝑥.

Тогда, подставив эти функции в формулу правила отношения, получим 𝑣′(𝑥)=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)(𝑔(𝑥))=6𝑥2𝑥−1−2𝑥+16𝑥(2𝑥−1) =−12𝑥(2𝑥−1).

Теперь, когда у нас есть 𝑣′(𝑥), и 𝑢′(𝑥)=12√𝑥, давайте напомним, что наша исходная производная может быть найдена с использованием цепного правила как следует: dd𝑦𝑥=𝑢′(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥)=12(𝑣(𝑥))⋅−12𝑥(2𝑥−1).

Напомним, что 𝑣(𝑥)=2𝑥+12𝑥 −1, что означает, что 𝑣(𝑥)=2𝑥−12𝑥+1. Если мы подставим это в приведенное выше уравнение, мы получим dd𝑦𝑥=122𝑥−12𝑥+1⋅−12𝑥(2𝑥−1).

Мы можем немного упростить это, воспользовавшись тем фактом, что 𝑎𝑏=√𝑎√𝑏 чтобы получить dd𝑦𝑥=12√2𝑥−1√2𝑥+1⋅−12𝑥(2𝑥−1)=−6𝑥√2𝑥−1√2𝑥+1(2𝑥−1)2=−6𝑥√2𝑥+1(2𝑥−1). 

Обратите внимание, что существует альтернативный способ решения вышеуказанной проблемы. Если бы у нас было использовали тот факт, что 𝑎𝑏=√𝑎√𝑏 с самого начала, мы бы имели 𝑦=√2𝑥+1√2𝑥−1. 

Если бы мы взяли производную от этого, мы могли бы сначала использовать правило отношения вместо этого следует цепное правило для функций в числителе и знаменатель. Тем не менее, это приведет к аналогичному объему работы, чтобы добраться до Такой же ответ.

Вспомним, что существует еще одна форма задачи дифференцирования, которую мы могли бы решить. сталкиваться. Предположим, нам нужно найти dd𝑦𝑥, где 𝑦=𝑓(𝑧),𝑧=𝑔(𝑥).

Если 𝑦 не указано явно через 𝑥, мы не можем дифференцировать его напрямую. Вместо этого мы можем использовать следующую форму цепное правило: ддддд𝑦𝑥=𝑦𝑧⋅𝑧𝑥.

Поскольку мы можем дифференцировать 𝑦 по 𝑧 и 𝑧 по отношению к 𝑥, это позволяет нам вычислить производную. В качестве альтернативы мы могли бы заменить 𝑧=𝑔(𝑥) в уравнение для 𝑦, чтобы получить 𝑦=𝑓(𝑔(𝑥)).

Напомним, что, записав таким образом, мы можем вернуться к исходной форме цепочки правило, которое мы использовали до сих пор: (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).

Заметим, что это просто другой способ записи dd𝑦𝑥, как показано выше (в частности, 𝑓′(𝑔(𝑥))=𝑦𝑧дд и 𝑔′(𝑥)=𝑧𝑥dd). Также важно отметить, что замена 𝑧=𝑔(𝑥) в уравнение для 𝑦 таким образом может привести к упрощению выражения, т. возможность, мы могли бы дифференцировать его без использования цепного правила (но это не всегда так).

В любом случае, давайте рассмотрим пример в этом стиле, где мы должны использовать цепное правило с дополнительными осложнениями, связанными с необходимостью использования другого правила дифференциация.

Пример 5. Дифференцирование композиции рациональных функций с помощью Цепные и частные правила

Вычислить dd𝑦𝑥 в 𝑥=4, если 𝑦=𝑧+3𝑧+13 и 𝑧=𝑥−10𝑥−3.

Ответ

В этом примере нам нужно дифференцировать функцию по 𝑥, который явно не указан в терминах 𝑥.

Одной из возможностей дифференцировать это было бы заменить уравнение для 𝑧 в функцию для 𝑦, так что мы можем дифференцировать 𝑦 непосредственно по 𝑥. Однако это привело бы к дробям внутри дроби, которые могут быть грязными.

Вместо этого давайте воспользуемся цепным правилом, чтобы различать это. Напомним, что цепное правило может быть записано в терминах d𝑦 и d𝑥 (т. е. обозначение Лейбница) следующее: ддддд𝑦𝑥=𝑦𝑧⋅𝑧𝑥.

Таким образом, вычислим dd𝑦𝑧 и дд𝑧𝑥. Обе функции отношения многочленов (которые являются дифференцируемыми функциями), что означает мы можем использовать частное правило, чтобы дифференцировать их. Напомним, что для 𝑣(𝑥)≠0, частное правило определяется выражением 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)′=𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)(𝑣(𝑥)).

Для 𝑦 мы можем отключить переменную 𝑥 для 𝑧, и мы имеем 𝑢(𝑧)=𝑧+3 и 𝑣(𝑧)=𝑧+13. Производная от них функции со степенным правилом просты; мы получаем 𝑢′(𝑧)=1 и 𝑣′(𝑧)=1. Объединив все это в уравнение частного правила, мы получаем dd𝑦𝑧=𝑢(𝑧)𝑣(𝑧)′=1⋅(𝑧+13)−(𝑧+3)⋅1(𝑧+13)=10(𝑧+13). 

Мы можем выполнить очень похожий расчет для дд𝑧𝑥. Позволять 𝑧=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), так что 𝑓(𝑥)=𝑥−10 и 𝑔(𝑥)=𝑥−3 с производными 𝑓′(𝑥)=1 и 𝑔′(𝑥)=1. Затем, используя правило отношения, мы получаем дд𝑧𝑥=1⋅(𝑥−3)−(𝑥−10)⋅1(𝑥−3)=7(𝑥−3).

Возвращаясь к нашей формуле цепного правила, мы умножаем эти два производные вместе, чтобы получить dd𝑦𝑥=10(𝑧+13)⋅7(𝑥−3)=70(𝑧+13)(𝑥−3).

Мы могли бы выразить это чисто через 𝑥, но это ненужным, так как нам нужно только оценить производную при заданном точка, 𝑥=4. Обратите внимание, что в этот момент 𝑧=4−104−3=−6. Таким образом, позволяя 𝑥=4 и 𝑧=−6 имеем dd𝑦𝑥|||=70(−6+13)(4−3)=107.

Давайте повторим несколько важных моментов, которые мы узнали в этом объяснении.

Ключевые моменты

• Используя правила дифференцирования, а именно произведение, частное, и цепные правила, мы можем вычислить производные любой комбинации элементарные функции.
• Важно учитывать порядок, в котором мы используем правила, так как это помогите нам выбрать наиболее эффективный метод.
• Как правило, мы хотим рассмотреть самые внешние части функции и работать внутрь. Сделав это, мы можем разложить сложную функцию на более простые части, которые могут быть оценены непосредственно.
• Стоит помнить, что некоторые задачи можно упростить до момент, когда нам не нужно использовать несколько правил дифференцирования, значительно облегчая процесс (хотя такие проблемы не был показан в этом объяснителе).

Выполнение вычислений в Excel — Объяснение порядка операций

В этом уроке я расскажу, как выполнять вычисления в Excel. Вычисления в Excel следуют тем же основным правилам, что и простая математика. Идея порядка операций в математике применима к Excel таким же образом.

Знак + является оператором сложения. Оператор сложения добавит число слева к числу справа. Так, например, я хочу сложить 1, 2 и 4 вместе:

Excel выполняет вычисления слева направо, поэтому сначала будет оцениваться 1 + 2. 1 будет добавлен к 2, чтобы получить 3. Затем Excel возьмет это 3 и оценит следующую часть уравнения (3 + 4). Это дает вам в общей сложности 7, которые вы можете видеть в ячейке A1 выше. Оператор вычитания (-) работает таким же образом для вычитания чисел друг из друга.

Следующие 2 оператора — это операторы умножения (*) и деления (/). Они работают немного иначе, чем операторы сложения/вычитания. Как и в математике, сначала выполняется умножение/деление, а затем сложение/вычитание, независимо от порядка операторов. Итак, если я введу следующее уравнение:

Часть 2 * 4 моего уравнения будет рассчитана первой. 2 будет умножено на 4, чтобы получить 8. Затем Excel оценит 1 + 8. Это даст вам ответ 9которые вы можете видеть выше.

Совет: Вы можете увидеть, как это происходит, если вы выберете ячейку и перейдете на вкладку «Формулы» и нажмите кнопку «Оценить формулу», а затем наблюдайте за окном, когда вы нажимаете кнопку «Оценить».

Теперь, скажем, я хочу, чтобы Excel сначала выполнил часть моего уравнения 1 + 2, я ввожу скобки в свое уравнение следующим образом:

Если часть вашего уравнения находится в скобках (()), все внутри них будет быть вычислено до рассмотрения остальной части уравнения. Таким образом, для приведенного выше примера (1 + 2) сначала будет оцениваться (3). Затем Excel оценит (3) * 4. Это даст вам 12, как показано выше.

Функции

Порядок операций также применяется к функциям Excel, и все операторы, которые могут использоваться в формулах, могут использоваться в функциях. Если вы используете функцию, то каждый из аргументов функции будет оцениваться по очереди, слева направо, до оценки всей функции. Глядя на пример ниже:

Я объединил два предыдущих примера в функцию Sum. Во-первых, каждый из аргументов будет оцениваться, давая Sum (9, 12). Затем общая функция будет оценена как 21. Сделав еще один шаг вперед, вы даже можете вкладывать функции в функции, и они также следуют порядку операций. Ниже у меня есть формула с несколькими различными функциями в пределах 1 функции:

Поскольку каждый аргумент функции оценивается слева направо, сначала будет оцениваться среднее (A1: A4) * 2, затем максимальное (A1 :A4), а затем Min(A1:A4). Наконец, общая функция суммы будет оценена, чтобы получить окончательное число 52,5.

Оценить формулу

Если вы когда-нибудь не уверены в порядке операций для конкретной формулы/функции, запомните кнопку «Оценить формулу» в разделе «Аудит формул» на вкладке «Формула»:

Примечание. функцию «Оценить формулу», чтобы увидеть, что происходит в рабочей книге Excel, прилагаемой к этому руководству. Вы также найдете основные примеры каждого из арифметических операторов, включая примеры, которые я не рассматривал в этом руководстве.

Дополнительные примеры в прилагаемой рабочей тетради:

PEMDAS

Подсказка: запомнить PEMDAS

9 9 2 P  9 P первые арентезы

E         E         E экспоненты (т.