Как делить со скобками, что вперед: деление или умножение, как решить 36:3(8–6) дробь 6, правильный ответ на пример — 17 января 2023
Все новости«На те деньги, которые получали, жить было невозможно»: бухгалтер из России рассказала, как перебралась в Канаду и стала медиком
Десятки погибших, почти сотня пострадавших. Что известно о массовом отравлении «Мистером Сидром» в регионах России
В Челябинской области нашли партию сидра, которым смертельно отравились жители нескольких регионов
На ПМЭФ состоится открытие нового проекта по урбанистике
«Унца-дрынца на всю»: музыка в популярном сквере Магнитогорска сводит с ума жителей округи
Даже штраф не заплатил. Производитель смертельного сидра отделался предупреждением. Массовую гибель людей можно было предотвратить?
ГЭС практически ушла под воду: что известно о ЧП на Каховской гидроэлектростанции
Виноградники, фондю и Альпы. Россиянка рассказала, как бесплатно жила на вилле в Швейцарии
«Всё смывает на пути»: плотина Каховской ГЭС частично разрушена
«Зерно упало в цене, молоко не продается — зачем работать?» Известный фермер Василий Мельниченко — о работе в новых условиях
«Я думала, это туалет, а тут кровь берут»: переехавшая в Турцию челябинка — о медицине на родине и за рубежом
Минобороны переписывает правила воинского учета: что изменится
Онколикбез: чем отличается КТ от МРТ, можно ли с их помощью проверить всё тело на рак
«Инициативы АВТОВАЗа нас настораживают»: эксперты — о состоянии авторынка и ценах на машины
В сидре был метанол? Всё, что известно о напитке, из-за которого массово погибли люди
В каких регионах нашли опасный сидр, которым массово отравились люди? Погибло минимум 18 человек — подробности
В Киеве подтвердили, что ВСУ ведут контрнаступление: новости СВО за 5 июня
В Челябинской области проверят сети на наличие самарского сидра, которым отравились жители трех регионов
Из Челябинска запустят прямой поезд до Калининграда
Наложили отпечаток: 7 женских имен с трудной судьбой — среди них есть популярные
«Мечтал взять ее в жены»: сварщик женился на девушке из Замбии — сейчас они живут в российской деревне
В Челябинской области повторился температурный рекорд 60-летней давности
На ПМЭФ-2023 обсудят ключевые вопросы и точки роста российского малого бизнеса
А вы любите экзотические фрукты? Пробуем гранадиллу, тамаринд и жареный плантан
Николай Голдобин перешел по обмену из «Металлурга» в «Спартак»
В нескольких регионах России прозвучало «экстренное обращение» Путина.
В Кремле назвали его взломом
«Не город — зона»: жительница Магнитогорска — о вырубке деревьев в Ленинском районе
Жители двух регионов отравились сидром: 10 человек скончались, производителя задержали
Может предупреждать о серьезном диагнозе. Хирург — о том, чем может быть опасна боль в стопах
Перспективы развития Крайнего Севера обсудят на ПМЭФ
Жители Магнитогорска вторую неделю находят на земле птенцов. Эксперт объяснил, что происходит
Силовики задержали подозреваемого в поджоге военкомата в Челябинской области
Взялись за женщин и вахтовиков: как агрегаторы заманивают к себе таксистов, которых не хватает по всей стране
21-летний житель Челябинской области попал под электропоезд и погиб
У аэропорта Челябинска высадят 1700 деревьев и кустарников, установят лавочки и качели
Отдыхающий с собакой шесть часов провели на озере в Челябинской области после поломки сапборда
Приз за лучший фильм уехал в Китай: итоги X Забайкальского международного кинофестиваля
На Южном Урале задержанному ФСБ главе райцентра предъявили обвинение в получении крупной взятки
Битва «нищемаркетов».
Что предлагает новый дискаунтер «Чижик»: изучаем полки и цены
Сможете решить правильно?
Иллюстрация: Юрий Орлов / NGS.RU
Поделиться
Минимум неделю в интернете миллионы людей ломают копья из-за простенького, на первый взгляд, примера. NGS.RU решил задачку вместе с кандидатом физико-математических наук, доцентом и преподавателем Новосибирского государственного университета Ильей Марьясовым.
Вот этот пример: 36 : 3 (8 − 6) дробь 6.
Некоторые люди готовы спорить часами, как решить этот пример
Фото: Александра Бруня / NGS.RU
Поделиться
— Подвоха здесь особо никакого нет. У нас в математике есть соглашение о том, как у нас должны выполняться арифметические операции. Умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание. Когда нужно изменить порядок вычисления, чтобы сложение и вычитание выполнялись раньше, то используются скобки.
И еще один момент — когда появляются дроби, а дробная черта — это деление, то в этом случае оно выполняется в последнюю очередь, — объяснил Илья Марьясов
Разбираемся с числителем. По очереди идут деление, умножение, вычитание — при этом последняя операция идет в скобках. Начинаем решать слева направо.
— Поскольку деление и умножение равноправны. Сначала 36 делим на 3 и получаем 12. Потом мы должны выполнить умножение, но поскольку вычитание стоит в скобках, то сначала делаем его. Из 8 вычитаем 6 и получаем 2. Теперь делаем умножение. Мы 12 умножаем на 2 и получаем 24. Теперь делим числитель на знаменатель. То есть 24 делим на 6 и получаем 4, — объяснил специалист.
Правильный ответ — 4.
— Как изучают математику в школе. В начальном звене вводят операции — сложение, вычитание, умножение и деление. Примерно до 6-го класса дети не знают, что существуют рациональные числа, которые записываются в виде дробной черты.
Когда они вводятся, то выясняется, что операцию деления можно записать не в виде двух точек. И до самого вуза очень часто все выражения записываются, как дробное число и отдельная операция деления через две точки редко используется. Так умножение у людей фиксируется как приоритетная операция, — объяснил Илья Марьясов.
В итоге это приводит к ошибке в вычислениях.
— У людей возникает соблазн 3 умножить на 8 минус 6 (то есть на 2) и получается у них 6. Потом 36 делят на 6, получая 6. И в итоге 6 делят на 6 и выходит 1. Это неверный ответ в данном случае, — отметил математик.
Ранее в Высшей школе экономики подсчитали, что средний проходной балл ЕГЭ для поступления в вузы снизился впервые за 10 лет. Предлагаем вам ответить на несколько вопросов (разных лет) из того самого итогового среза знаний.
По теме
20 января 2023, 16:00
Один и тот же пример в разных странах решают по-разному. Как это получается?12 апреля 2023, 20:00
Какая у вас миссия и где вы заработаете больше всего? Считаем по дате рождения — простая формула14 декабря 2022, 07:45
Врем про губернатора: мы попытались обмануть детектор лжи, и вот что обнаружил полиграф01 апреля 2023, 16:00
Как по дате рождения определить количество разводов — простая формула расскажет о перспективах вашей пары26 марта 2023, 16:00
Эти 10 слов с одной и двумя «н» мы со школы запомнить не можем.
А вы справитесь с нашим тестом?
А вы справитесь с нашим тестом?Александра Бруня
Корреспондент
МатематикаРешениеПримерРазбор
- ЛАЙК0
- СМЕХ0
- УДИВЛЕНИЕ0
- ГНЕВ0
- ПЕЧАЛЬ0
Увидели опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter
КОММЕНТАРИИ0
Гость
Войти
Новости СМИ2
Новости СМИ2
Порядок выполнения действий, правила, примеры | Электронная школа
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся действия, где нужно вычитать и слагать, а ко второй – умножать и делить.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.
В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям.
В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Ученые назвали правильный ответ в спорном примере из школьного курса математики
МОСКВА, 1 августа. /Корр. ТАСС Олеся Кулинчик, Александра Рыжкова/. Правильный ответ в примере из школьной математики с делением и умножением, породившем споры в социальных сетях, – “16”. Об этом ТАСС заявили известные российские математики.
Российский математик, доктор физико-математических наук, первый декан факультета математики Высшей школы экономики Сергей Ландо рассказал ТАСС, что правильный ответ в России будет 16. “На территории Российской Федерации деление и умножение имеют равные приоритеты. В США или Англии может быть другой порядок. В России сначала выполняется операция в скобках, потом деление на эту сумму, а потом результат умножается на следующий множитель. Правильный ответ – 16”, – сказал он. Ландо добавил, что в подобных спорных случаях специалисты стараются обозначить порядок операций скобками.
Заведующий кафедры высшей математики Национального исследовательского университета “Московский институт электронной техники” (НИУ МИЭТ) Александр Прокофьев подтвердил ТАСС, что правильный ответ – 16, и объяснил, почему пример вызвал столько споров.
“Ошибаются, как я полагаю, преимущественно взрослые. У школьников вопросов быть не должно. Первой выполняется операция в скобках, затем, согласно приоритету арифметических действий, деление и умножение – они являются равноправными и выполняются слева направо. Студенты привыкают отделять косой чертой числитель от знаменателя, поэтому путаются в данном примере, полагая, что умножение двойки на скобку расположено в знаменателе”, – сказал Прокофьев.
С ними согласилась и заведующая кафедры “Математика” Российского университета транспорта Людмила Кочнева. “Если бы стояла скобка после знака деление, то правильным ответом была бы единица. Если бы после восьмерки была горизонтальная черта – знак дробного деления – а внизу 2(2+2), это была бы единица.
А раз все это в строчку, вы должны делать операции в том порядке, в котором они написаны. Восемь делим на два, четыре умножаем на 2+2, получается 16. Это просто манера записи, ничего интересного – чисто арифметическая задача, но все-таки более опрятно надо писать сам пример”, – пояснила она.
Вот вам очень простой математический пример:
Вы удивитесь, но большинство людей не смогут правильно это посчитать. Посчитайте сами и потом смотрите правильный ответ:
В интернете много споров про такие примеры, поэтому мы решили разобраться, какие ошибки совершают чаще всего и почему многие считают неправильно. Для решения нам понадобятся три математических правила:
- То, что в скобках, выполняется в первую очередь. Если скобок несколько, они выполняются слева направо.
- При отсутствии скобок математические действия выполняются слева направо, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание.
- Между множителем и скобкой (или двумя скобками) может опускаться знак умножения.
Разберём подробнее, что это значит в нашем случае.
1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. То есть в нашем примере, вне зависимости от чего угодно, сначала схлопнутся скобки:
2. Между числом и скобкой можно опустить знак умножения. У нас перед скобкой двойка, то есть можно сделать такую замену:
3. Математические действия при отсутствии скобок выполняются слева направо: как при чтении, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нет такого, что сначала всегда делается умножение, затем деление, или наоборот. Со сложением и вычитанием то же самое.
Некоторые считают, что раз множители были написаны близко друг к другу (когда там стояли скобки), то оно выполняется в первую очередь, ссылаясь при этом на разные методические пособия.
На самом деле это не так, и нет такого скрытого умножения, которое имеет приоритет над другим умножением или делением. Это такое же умножение, как и остальные, и оно делается в общем порядке — как и принято во всём математическом мире.
Получается, что нам сначала надо сложить 2 + 2 в скобках, потом 8 разделить на 2, и полученный результат умножить на то, что в скобках:
8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16
Кстати, если на айфоне записать это выражение точно так же, как в условии, телефон тоже даст правильный ответ.
А инженерный калькулятор на Windows 10 так записывать не умеет и пропускает первую двойку-множитель. Попробуйте сами 🙂
Тут в тред врываются математики и с воплями «Шустеф!» поясняют криком:
«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается.
Например, a:b·c= a: (b·c)».
Этот текст из «Методики преподавания алгебры», курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)
Раз в спорном примере знак умножения опущен, то спорный пример алгебраический, а значит, сначала умножаем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!
А вот как на это отвечают те, кто действительно в теме и не ленится полностью посмотреть первоисточник:
Если апеллировать к Фриде Максовне Шустеф, то выходит, что:
- В. Л. Гончаров говорит так: «Ребята, используйте черту и ставьте скобки, чтобы ни у кого не было вопросов про приоритет».
- Если у нас всё же битва арифметики и алгебры, то, по П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, пример нужно решать слева направо, как обычно. Они, конечно, предложили решать такое по-другому, но научное сообщество их не поддержало.
Самое интересное, что дальше в примерах Фрида Максовна пользуется как раз правильным порядком действий, объясняя решение.
Даже там, где есть умножение на скобку с опущенным знаком, она выполняет действия слева направо.
На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+62:3−7.
У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+36:3−7.
Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок
Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.
Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.
В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.
Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).
Рис. 2. Порядок действий
Рассмотрим второе выражение
В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.
Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).
Рис. 3. Порядок действий
В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?
Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Расставим порядок действий.
Вычислим значение выражения.
Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками
В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?
Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.
Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.
Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками
Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?
Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:
1. действия, записанные в скобках;
2. умножение и деление;
3. сложение и вычитание.
Схема поможет запомнить это несложное правило (рис.
4).
Рис. 4. Порядок действий
Выполнение тренировочных заданий на изученное правило
Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.
Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.
43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45
В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.
32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении.
То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.
Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.
В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.
Найдем значение данного выражения.
Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.
В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание.
Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.
Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).
Рис. 5. Порядок действий
Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.
Действуем по алгоритму.
В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.
Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.
Проверим себя (рис. 6).
Рис. 6. Порядок действий
Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
- С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.
2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:
1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.
3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:
1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание
1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение
1. умножение; 2. деление; 3. сложение
Найди значение этих выражений.
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.
Если производить действия в порядке их записи.
Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.
Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:
Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:
- в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
- в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.
При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:
- сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
- затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.
Сначала выполняем умножения: 2 · 5 = 10 3 · 3 = 9 затем вычитание: 10 — 9 = 1
Сначала выполняем действия в скобках: 16 — 2 · 7 + 4 = 16 — 14 + 4 = 6 2 + 5 = 7
Теперь выполняем остающиеся действия: 9 + 16 : 4 — 2 · 6 + 6 · 7 = = 9 + 4 — 12 + 42 = = 43
Выполняем действия в круглых скобках, имеем: 8 — 6 = 2 10 — 2 · 3 = 10 — 6 = 4
действия в квадратных скобках дают: 14 — 3 · 2 = 8
выполняя остающиеся действия скобках находим: 5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29
Порядок действий: 30 — 20 = 10 35 — 10 = 25 100 — 25 = 75 75 · 2 = 150
Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий
В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот.
Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.
А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?
Сравним выражения: 8-3+4 и 8-3+4
Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.
Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).
Рис. 1. Порядок действий
Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.
Видим, что значения выражений получаются разные.
Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.
Порядок вычисления простых выражений
В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
- Все действия выполняются слева направо.
- Сперва мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение (нужно прибавлять). Теперь понятен ответ на вопрос, что первое деление или умножение.
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности этого двойного правила несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро получить проверочные результаты.
Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.
В нашем выражении или высказывании, которое обычно решают средние классы, скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Вначале делаем минус три из семи, затем делаем плюс к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
Условие: в каком порядке будут выполняться вычисления в выражении 6:2·8:3?
Чтобы дать ответ на этот вопрос, что делается первым деление или умножение, перечитаем правило для выражений без кавычек (скобок), сформулированное нами до этого.
У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок того, что нужно вычесть, и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·6:3−2+4:2.
Сначала определим верный порядок действий (приоритетность), поскольку у нас здесь есть все основные компоненты арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо делить и перемножать. Что сначала деление или умножение? Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке слева направо. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно расставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления.
Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Решение примеров по действиям в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Условие: вычислите, сколько будет равно 5+(7−2·3)·(6−4):2.
В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:
Считаем результат во вторых скобках.
Там у нас всего одно действие: 6−4=2.
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
На этом вычисления можно закончить.
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.
Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).
У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1.
Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.
сложение вычитание умножение деление
Умножение и деление; Сложение и вычитание; Это означает, что для вычисления выражения сначала вычисляется любое подвыражение внутри круглых скобок, работая изнутри наружу, если имеется более одного набора. Когда вы умножаете два числа, это то же самое, что прибавлять число к самому себе столько раз, сколько равно значению другого числа. Вы можете видеть, что это слишком много работы (особенно если у вас большие числа), поэтому вы можете использовать умножение для решения этой задачи: 5 групп яблок x 3 яблока в каждой группе = всего 15 яблок. Например, у Мэгги 5 яблок. b В D. C. Geary, D. B. Berch, R. J. Ochsendorf, & K. M. Koepke (Eds. Multiplying 789и 345, начиная со столбца единиц, произведение 789 и 5 равно 3945.
Каждое натуральное число имеет потомок, и все натуральные числа (кроме нуля) имеют предшественника. Умственные стратегии и материалы или модели для сложения и вычитания до 100 во вторых классах голландского языка. Пример умножения на однозначный множитель, Пример умножения на многозначные множители, Узнайте, как и когда удалять эти сообщения-шаблоны, Узнайте, как и когда удалять это сообщение-шаблоны, Национальный совет учителей математики (NCTM), » Важность арифметики в учебной программе начальной школы — Преподавательская пара», «Система счисления | математика | Британика», «Вычитание в Соединенных Штатах: историческая перспектива», «Преподавание арифметики: Пособие для учителей. Познание и обучение» , 31(3), 314344. Итак, сколько яблок достанется каждому? Порядок умножения двух чисел не влияет на результат. Произведение 7 и 3 равно 21, а так как это последняя цифра, то 2 не будет писаться как переносимая цифра, а будет стоять рядом с 1. Journal of Educational Psychology, 102(2), 438452.
Стратегии многозначного сложения, вычитания, умножения и деления. Введение в длинное деление (остатки) Деление на 2 цифры: 625025. https://doi.org/10.1080/10986060802583873, перекрестная ссылка (2016 г.). Журнал экспериментальной психологии: Общий, 130 (2), 299315. Раздел. Маленькая 1 отмечена под вычитаемой цифрой в качестве напоминания. Деление — четвертая основная математическая операция. Revista de Psicodidactica/Journal of Psychodidactics, 22(1), 114. Сколько у нее яблок? В алгоритме умножения разряд десятков произведения пары цифр называется «переносной цифрой». British Journal of Psychology, 104(4), 495511. В зависимости от направления математической задачи вы можете увидеть разные слова: В математике, когда вы выполняете вычислительные действия, вы должны иметь в виду, что существует последовательность, которую необходимо соблюдать. для правильного расчета. Как для аддитивной, так и для мультипликативной областей мы предлагаем всеобъемлющую основу для классификации стратегий с двумя измерениями: (1) операция, лежащая в основе процесса решения, и (2) способ обработки чисел при вычислении результата (манипулирование целые числа или отдельные цифры).
Ассоциативное свойство 3. Что такое умножение? The Journal of Mathematical Behavior, 16(1), 5161. Напоминаем: для сложения используется символ +. Наиболее часто используемыми цифрами[3] являются арабские цифры (от 0 до 9).). Вершаффель, Л., Грир, Б., и Де Корте, Э. (2007). 1 Если какое-то первое число больше второго числа, то говорят, что второе число меньше (
Джорджия Южный футбол D1,
Показать пароль Bootstrap 5,
Статьи A2.3.6: Двухшаговые уравнения с вычитанием и делением
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 4374
Брэндон и Фелиция продали рулоны оберточной бумаги для сбора средств в школе. Брэндон продал на 3 рулона меньше половины того количества, которое продала Фелиция.
Напишите алгебраическое уравнение для представления w. Помните, что w — это количество рулонов оберточной бумаги, которое продала Фелиция. Затем найдите количество рулонов оберточной бумаги, которые продала Фелиция.
В этой концепции вы будете решать уравнения, включающие обратных свойств вычитания и деления.
Обратные свойства вычитания и деления
Чтобы решить двухшаговое уравнение , вам потребуется использовать более одной обратной операции. Вы начинаете решать двухшаговые уравнения, выделяя переменную .
Например, найдите z.
z6−7=3
Ваш первый шаг должен заключаться в использовании обратных операций для получения члена, включающего переменную z6 саму по себе по одну сторону от знака равенства. В уравнение , 7 вычитается из z6. Таким образом, вы можете использовать действие, обратное вычитанию — сложению.
Поэтому прибавьте 7 к обеим частям уравнения.
z6−7z6−7+7z6===33+710
Далее можно использовать обратные операции для изоляции z. Поскольку z делится на 6, вы можете использовать обратную операцию деления — умножение.
z6z6×6z===1010×660
Ответ: 60.
Давайте рассмотрим ваши действия по решению этого уравнения, состоящего из двух шагов.
Рисунок 2.3.6.2Примеры
Пример 2.3.6.1
Ранее вам дали задачу о сборе средств Брэндоном и Фелисией.
Брэндон продал на 3 меньше половины от общего количества рулонов Фелиции, то есть 9 рулонов пленки.
Решение
Сначала используйте ключевые слова из вопроса, чтобы помочь вам перевести проблему в уравнение. Помните, что w — это количество рулонов пленки.
Торговая марка продано 3 меньше, чем половина того количества, которое продала Felicia.↓↓ −3 w2
Итак, уравнение w2−3=9.
Затем используйте операцию, обратную вычитанию — сложение, чтобы изолировать переменную.
(w/2)−3=9
(w/2)−3+3=9+3
w/2=12
Затем можно использовать обратные операции, чтобы изолировать w. Поскольку w делится на 2, вы можете использовать обратную операцию деления — умножение.
w/2=12
(w/2)×2=12×2
w=24
Ответ: 24.
Фелиция продала 24 рулона оберточной бумаги.
Пример 2.3.6.2
(x/6)−9=8
Решение
Сначала используйте операцию, обратную вычитанию — сложение, чтобы изолировать переменную.
(x/6)−9=8
(x/6)−9+9=8+9
(x/6)=17
Далее можно использовать обратные операции, чтобы изолировать x. Так как x делится на 6, вы можете использовать операцию, обратную делению — умножение.
x/6=17
(x/6)×6=17×6
x=102
Ответ: 102.
Пример 2.3.6.3
Решение
Во-первых, используйте обратную операцию вычитания — сложение, чтобы изолировать переменную.
(x/3)−8=9
(x/3)−8+8=9+8
x/3=17
Далее вы можете использовать обратные операции, чтобы изолировать x.
Поскольку х делится на 3, вы можете использовать операцию, обратную делению — умножение.
x/3=17
(x/3)×3=17×3
x=51
Ответ: 51.
Пример 2.3.6.4 0003
Решение
Сначала используйте операцию, обратную вычитанию — сложение, чтобы изолировать переменную.
(y/7)−2=13
(y/7)−2+2=13+2
y/7=15
Далее можно использовать обратные операции, чтобы выделить y. Поскольку y делится на 73, вы можете использовать операцию, обратную делению — умножение.
y/7=15
(y/7)×7=15×7
y=105
Ответ: 105.
Пример 2.3.6.5 12
Решение
Сначала используйте операцию, обратную вычитанию — сложение, чтобы изолировать переменную.
(а/7)−2=12
(a/7)−2+2=12+2
a/7=14
Далее вы можете использовать обратные операции, чтобы изолировать a. Поскольку а делится на 7, вы можете использовать операцию, обратную делению — умножение.
a7=14
a7×7=14×7
a=98
Ответ равен 98.
- х/5−4=8
- г/6−3=8
- х/7−7=10
- х/8−4=12
- г/7−5=11
- х/4−10=12
- г/4−8=2
- х/3−12=9
- а/5−3=11
- б/4−1=15
- х/2−8=4
- а/7−4=9
- б/4−7=3
- х/8−1=12
- г/6−8=5
- х/2−15=12
Обзор (ответы)
Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 3.4.
Словарь
| Термин | Определение |
|---|---|
| Алгебраическое уравнение | Алгебраическое уравнение содержит числа, переменные, операции и знак равенства. |
| Уравнение | Уравнение — это математическое предложение, описывающее две равные величины. Уравнения содержат знаки равенства. |
| обратный | Обратные функции — это функции, которые «отменяют» друг друга. Формально: f(x) и g(x) являются обратными функциями, если f(g(x))=g(f(x))=x. |
| Одношаговое уравнение | Одношаговое уравнение — это алгебраическое уравнение с одной операцией, для решения которого требуется один шаг. |
| Двухшаговое уравнение | Двухшаговое уравнение — это алгебраическое уравнение с двумя операциями, для решения которого требуется два шага. |
| Переменная | Переменная — это символ, используемый для обозначения неизвестной или изменяющейся величины. Наиболее распространенными переменными являются a, b, x, y, m и n. |
Дополнительные ресурсы
Видео:
