2.4: Значимые цифры в расчетах
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 47449
Цели обучения
- Правильно использовать значащие цифры в арифметических операциях.
Округление
Прежде чем разбираться с особенностями правил определения значащих цифр в вычисляемом результате, нужно уметь правильно округлять числа. Чтобы округлить число, сначала решите, сколько значащих цифр должно быть в числе. Как только вы это узнаете, округлите до указанного количества цифр, начиная слева. Если число непосредственно справа от последней значащей цифры меньше 5, оно отбрасывается, а значение последней значащей цифры остается прежним.
Рассмотрим измерение \(207,518 \: \text{m}\). Прямо сейчас измерение содержит шесть значащих цифр. Как бы мы последовательно округляли его до все меньшего и меньшего числа значащих цифр? Следуйте процессу, указанному в таблице \(\PageIndex{1}\).
| Количество значащих цифр | Округленное значение | Рассуждение |
|---|---|---|
| 6 | 207,518 | Все цифры значащие |
| 5 | 207,52 | 8 раундов от 1 до 2 |
| 4 | 207,5 | 2 выпадает |
| 3 | 208 | 5 раундов от 7 до 8 |
| 2 | 210 | 8 заменяется на 0 и округляет 0 до 1 |
| 1 | 200 | 1 заменяется на 0 |
Обратите внимание, что чем больше округление сделано, тем менее надежна цифра.
При математических операциях с числами важно помнить о значащих цифрах. Например, деление 125 на 307 на калькуляторе дает 0,4071661238… с бесконечным числом цифр. Но имеют ли цифры в этом ответе какое-либо практическое значение, особенно когда вы начинаете с чисел, каждое из которых имеет только три значащих цифры? При выполнении математических операций существует два правила ограничения количества значащих цифр в ответе: одно правило для сложения и вычитания, а другое правило для умножения и деления.
В операциях со значащими цифрами ответ сообщается таким образом, чтобы он отражал надежность наименее точной операции. Ответ не более точен, чем наименее точное число, использованное для получения ответа.
Умножение и деление
Для умножения или деления правило состоит в том, чтобы подсчитать количество значащих цифр в каждом умножаемом или делимом числе, а затем ограничить значащие цифры в ответе до наименьшего количества.
Например:
Окончательный ответ, ограниченный четырьмя значащими цифрами, равен 4094. Первая отброшенная цифра — 1, поэтому мы не округляем.
Экспертная запись обеспечивает способ передачи значащих цифр без двусмысленности. Вы просто включаете все значащие цифры в начальное число. Например, число 450 имеет две значащие цифры и будет записано в экспоненциальном представлении как 4,5 × 10 2 , тогда как число 450,0 имеет четыре значащих цифры и будет записано как 4,500 × 10 9 .0124 2 . В экспоненциальном представлении все значащие цифры указаны явно.
Пример \(\PageIndex{1}\)
Запишите ответ для каждого выражения в экспоненциальном представлении с соответствующим количеством значащих цифр.
- 23,096 × 90,300
- 125 × 9.000
Решение
a
Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ. 93\)b
| Пояснение | |
|---|---|
| Калькулятор дает ответ 1125, но мы ограничиваем его тремя значащими цифрами. 93\) |
Сложение и вычитание
Как обрабатываются значащие числа в вычислениях? Это зависит от того, какой тип расчета выполняется. Если вычисление представляет собой сложение или вычитание, правило следующее: ограничьте сообщаемый ответ крайним правым столбцом, в котором все числа имеют общие значащие цифры. Например, если вы должны сложить 1,2 и 4,71, мы заметим, что первое число останавливает свои значащие цифры в столбце десятых, а второе число останавливает свои значащие цифры в столбце сотых.
Поэтому мы ограничиваем наш ответ десятым столбцом.
Мы опускаем последнюю цифру — 1 — потому что она не имеет значения для окончательного ответа.
Отбрасывание позиций в суммах и разностях поднимает тему округления. Несмотря на некоторые соглашения, в этом тексте мы примем следующее правило: окончательный ответ следует округлить в большую сторону, если первая пропущенная цифра 5 или больше, и округлить в меньшую сторону, если первая пропущенная цифра меньше 5.
Пример \(\PageIndex{2}\)
- 13,77 + 908.226
- 1027 + 611 + 363,06
Решение
a
| Пояснение | Ответить |
|---|---|
| Ответ калькулятора: 92\) |
b
| Пояснение | Ответить | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Калькулятор дает в качестве ответа 2001,06, но поскольку 611 и 1027 имеют крайнюю правую значащую цифру в разряде единиц, окончательный ответ должен быть ограничен разрядом единиц. 90\) Помните, что калькуляторы не понимают значащие цифры. Вы тот, кто должен применить правила значащих цифр к результату вашего калькулятора. Вычисления, включающие умножение/деление и сложение/вычитание На практике химики обычно работают с калькулятором и переносят все цифры вперед в последующих вычислениях. Однако при работе на бумаге мы часто хотим свести к минимуму количество цифр, которые нам приходится записывать. В рабочих примерах в этом тексте мы часто будем показывать результаты промежуточных шагов расчета. При этом мы покажем результаты только для правильного количества значащих цифр, разрешенных для этого шага, фактически рассматривая каждый шаг как отдельный расчет. Пример \(\PageIndex{3}\)
Раствора.
б.
в.
Упражнение \(\PageIndex{3}\)Выполните вычисления и запишите свои ответы, используя правильное количество значащих цифр.
Сводка
|
Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
Первый столбец слева помечен как «Объяснение», а под ним в строке находится объяснение первого деления. Второй столбец помечен как «Ответ», а под ним в строке находится ответ.
